3.6. Soluciones de los ejercicios

Transcripción

1 3 oluciones de los ejercicios Ejercicio 31 olución a) Las modulaciones y frecuencia de portadora son Figura (a): modulación AM convencional, con frecuencia de portadora f c = 100 khz Figura (): modulación de dole anda lateral, con frecuencia de portadora f c = 10 khz Figura (c): modulación AM de anda lateral única Aquí hay dos posiilidades Banda lateral superior con frecuencia de portadora f c = 98 khz Banda lateral inferior con frecuencia de portadora f c = 10 khz Figura (d): modulación angular, con frecuencia de portadora f c = 100 khz ) La señal moduladora es una sinusoide de frecuencia khz, es decir con c = f c y f c = khz Ejercicio 3 olución m(t) =A c cos( c t + ) El espectro de la señal modulada son deltas en las frecuencias c + m m para todo m entero, donde c es la frecuencia de la portadora y m es la frecuencia de la señal moduladora (en amos casos son frecuencias angulares en rad/s) En este caso c = f c y m = f m Laamplituddecadadeltase veces el coeficiente J m ( ), en este caso J m (5) Teniendo en cuenta que J 0 (5) = 0,18, J 1 (5) = 0,3, J (5) = 0,05 J 3 (5) = 0,37, J 4 (5) = 0,39, J 5 (5) = 0,, yquej m ( )=( 1) m J m ( ), la transformada de Fourier de la señal modulada tendrá la forma de la Figura 350 (se representan sólo las 11 frecuencias centrales, para el resto, se seguiría el mismo procedimiento) Ejercicio 33 olución En este caso se define para todos los apartados A M =1 a) El ancho de anda de B Hz La densidad espectral de potencia, para un índice de modulación genérico a, esladelafigura (j) A c A M aa c C M c W c c + W + c W + c + c + W Open Course Ware (OCW) 145 c Marcelino Lázaro, 014

2 +0,5 +0,4 +0,3 +0, +0,1 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 (j) A c c 5 m? c 4 m c 3 m? c m c m c? c + m? m c + m c +4 m c +3 m c +5 m Figura 350: Respuesta en frecuencia de la señal modulada para el Ejercicio 3 ) El ancho de anda de B Hz La densidad espectral de potencia es la de la figura (j) A M A c 4 c W c c + W + c W + c + c + W c) El ancho de anda de B Hz La densidad espectral de potencia es la de la figura (j) A M A c c W c c + W + c W + c + c + W d) El ancho de anda aproximado es 1B Hz Ejercicio 34 olución En todos los casos se considera P M = 1, que es la potencia de la señal moduladora, y W = f m a) La potencia de la señal modulada es P = A c 1+ P M4 Ladensidadespectraldepotencia, para un índice de modulación genérico a, esladelafigura (j) A c A c 4 c W c c + W + c W + c + c + W Open Course Ware (OCW) 14 c Marcelino Lázaro, 014

3 ) La potencia de la señal modulada es P = A c P M Ladensidadespectraldepotenciaeslade la figura (j) A M A c 4 c W c c + W + c W + c + c + W c) La potencia de la señal modulada es P = A cp M Ladensidadespectraldepotenciaeslade la figura (j) A M A c c W c c + W + c W + c + c + W Ejercicio 35 olución a) El ancho de anda es B Hz, y la relación señal a ruido es peor que la otenida en una transmisión en anda ase = AM AM con AM = P a P M a C = M P M M 1+P Ma = 1+ a P CM M C M a + P M ) El ancho de anda es B Hz, y la relación señal a ruido es igual que la otenida en una transmisión en anda ase = DBL c) El ancho de anda es B Hz, y la relación señal a ruido es igual que la otenida en una transmisión en anda ase = BLU d) El ancho de anda es B + B Hz, donde B es el exceso de ancho de anda deido al vestigio, y la relación señal a ruido es ligeramente que la otenida en una transmisión en anda ase = BLV con BLV BLV = B B + B Open Course Ware (OCW) 147 c Marcelino Lázaro, 014

4 e) El ancho de anda es aproximadamente 8B Hz, y la relación señal a ruido es mejor que la otenida en una transmisión en anda ase, siendo la ganancia proporcional al índice de modulación al cuadrado 3 P M CM f Ejercicio 3 olución FM a) Modulación de amplitud de dole anda lateral (DBL) ) Modulación angular de fase (PM) c) Modulación de amplitud AM convencional (o dole anda lateral con portadora) d) Modulación de anda lateral única (BLU), de anda lateral superior e) Modulación angular de frecuencia (FM) f) Modulación de anda lateral única (BLU), de anda lateral inferior Ejercicio 37 olución a) Modulación de anda lateral única (BLU), de anda lateral inferior ) Modulación de amplitud de dole anda lateral (DBL) c) Modulación de amplitud AM convencional (o dole anda lateral con portadora) d) Modulación de anda lateral única (BLU), de anda lateral superior e) Modulación angular, de fase (PM) o frecuencia (FM), cuando la señal moduladora es una sinusoide f) Modulación de amplitud AM convencional (o dole anda lateral con portadora) Ejercicio 38 olución a) Un receptor coherente es un receptor compuesto por un multiplicador por una sinusoide de la frecuencia de la portadora (a veces denominado demodulador, por su función de devolver el espectro de la señal a anda ase) seguido de un filtro paso ajo con el ancho de anda de la señal moduladora, B Hz, tal y como se muestra en la figura r(t) x(t) j cos( c t + ) LPF B d(t) En un receptor coherente, la fase de la portadora en el receptor ha de coincidir con la fase de la portadora que se utilizó en el modulador para generar la señal, c(t) =A c cos( c t+ c ), es decir, que dee cumplirse que = c ormalmente, para lograr esta sincronización de las fases se puede transmitir una señal piloto a la frecuencia y fase de la portadora, o ien se utilizará un lazo enganchado en fase, o PLL, en el receptor Open Course Ware (OCW) 148 c Marcelino Lázaro, 014

5 ) Las variantes de modulaciones AM que requieren un receptor coherente son Modulación AM de dole anda lateral (DBL) Modulación AM de anda lateral única (BLU) Modulación AM de anda lateral vestigial (BLV) La modulación AM convencional, que tamién puede hacer uso de un receptor cohetente, puede utilizar un receptor más simple, en este caso un detector de envolvente, que se puede implementar con un diodo rectificador y un filtro RC paso ajo, como se muestra en la figura s I s r(t) X X R C d(t) s s c) En el caso de la modulación de dole anda lateral, el efecto de tener una fase diferente en las portadoras del transmisor ( c )ydelreceptor( ), va a ser que la señal demodulada idealmente (sin ruido ni distorsiones) tendrá la expresión d(t) = A c m(t) cos( c ), con lo que el desfase entre portadoras generará una atenuación en la señal reciida dependiente de la diferencia de fases e puede comproar, por ejemplo, que un desfase de 90 o sería crítico, ya que en este caso se anularía totalmente la señal reciida En el caso de la modulación de anda lateral única (y de la de anda lateral vestigial, que es muy similar), el prolema es aún mayor, ya que la expresión de la señal a la salida del demodulador es d(t) = A c m(t) cos( c ) ± A c ˆm(t) sin( c ), con lo que una diferencia de fases no sólo atenuará el término asociado a la señal m(t), sino que hará no nulo el término proporcional a la transformada de Hilert de la señal moduladora, ˆm(t), que es una interferencia sore la señal deseada m(t) Ejercicio 39 olución a) (j)= ( 0, > c A c [ M (j j c )+ M (j + j c )], < @ A c A M c c + c + W + c W + c W 3 + c (rad/s) Open Course Ware (OCW) 149 c Marcelino Lázaro, 014

6 ) En términos de eficiencia espectral, la modulación BLU es la más eficiente de todas, ya que el ancho de anda requerido para transmitir una señal moduladora de ancho de anda B Hz es B Hz, mientras que tanto la AM convencional como la AM de dole anda lateral requieren el dole de ancho de anda, B Hz, mientras que la modulación FM requiere un ancho de anda mayor, dependiente del índice de modulación, en concreto, según la regla de Carson, ( +1)B Hz Ejercicio 310 olución a) El ancho de anda es BW AM =B = 10 khz La señal modulada en el dominio temporal tendrá la forma t( 10 4 ) s(t) 1+a m(t) ) Las modulaciones de amplitud que no incluyen la transmisión de la portadora son Modulación de dole anda lateral (DBL) Modulación de anda lateral única (BLU) Modulación de anda lateral vestigial (BLV) El ancho de anda de la DBL es igual que el de la AM convencional, mientras que el de la BLU es la mitad, y el de la BLV es aproximadamente la mitad (despreciando el vestigio de la anda lateral eliminada) BW DBL =B = 10 khz, BW BLU = B = 5 khz, BW BLV B = 5 khz c) El ancho de anda teórico es infinito, ya que la transformada de Fourier se puede escriir como una suma infinita de sinusoides en las frecuencias c ± n m rad/s El ancho de anda efectivo es el ancho de anda que contiene el 98 % de la potencia de la señal, y en este caso es BW FM = ( f +1) f m = 80 khz d) La principal ventaja de las modulaciones angulares es su mayor relación señal a ruido (inmunidad frente al ruido), que aumenta respecto a la relación en anda ase de forma proporcial al cuadrado del índice de modulación El principal inconveniente es que el ancho de anda se incrementa de forma proporcional a dos veces el índice de modulación más uno, lo que es sensilemente superior al requerido por las modulaciones lineales Open Course Ware (OCW) 150 c Marcelino Lázaro, 014

7 Ejercicio 311 olución a) Las modulaciones de amplitud se distinguen de las angulares en que en las primeras lo que varía con la señal de información o moduladora es la amplitud de la señal, mientras que en las últimas la amplitud permanece constante, pero se modifica la información angula instantánea o término de fase) Por tanto, las modulaciones de amplitud son las de las figuras B y C Las expresiones analíticas para la modulación AM convencional y la modulación de dole anda lateral son, respectivamente s AM (t) =[1+a m a (t)] c(t), s DBL (t) =m(t) c(t) En la primera, la envolvente de la señal es [1 + a m a (t)], que para a<1, como es el caso, es siempre positiva, mientras que en la segunda, simplemente se multiplica la señal moduladora por la portadora, lo que hace que la señal se invierta respecto a la portadora para valores negativos de m(t) Es trivial ver que eñal B: modulación AM convencional eñal C: modulación de dole anda lateral En cuanto a las modulaciones angulares, las modulaciones PM y FM tienen la siguiente expresión analítica ( k p m(t), para PM s(t) =A c cos( c t + (t)) con (t) = k f R t m( ) d, para FM 1 Por tanto, el término de fase (t) esproporcionalenuncasoalaseñalmoduladora, yenotro caso a su integral En cualquier caso, cuando (t) tomavalorespositivos,seincrementael argumento de la sinusoide, lo que significa que la señal modulada se adelanta respectoala portadora, mientras que cuando toma valores negativos, se reduce el argumento de la sinusoide, lo que significa que la señal modulada se retarda respectodelaportadoraportanto,enuna modulación PM, la señal se adelantará respecto a la portadora para valores positivos de m(t), y se retardará para valores negativos, lo que sucede en la señal A En una modulación FM, que se adelante o retrase respecto a la portadora está relacionado con el signo de la integral de m(t), lo que sucede en la figura D Por tanto eñal A: modulación PM eñal D: modulación FM ) La modulación más conveniente para cada caso es: i) En este caso lo mejor es utilizar una modulación angular con un índice de modulación alto, ya que estas tienen una mejor relación señal a ruido que las modulaciones angulares, relación que es proporcional a Deentrelasdosvariantes,paraunmismovalorde (mismo ancho de anda), tiene mejor relación señal a ruido la modulación FM (3 veces la de la PM) ii) El receptor más simple que se puede utilizar en una modulación analógica es un detector de envolvente, que se puede implementar con un diodo, y un filtro RC La modulación que puede usar este receptor es la modulación AM convencional El resto de modulaciones de amplitud dee usar un receptor coherente, y las modulaciones angulares usan receptores más complejos Open Course Ware (OCW) 151 c Marcelino Lázaro, 014

8 iii) En este caso, se podrán multiplexar más señales cuanto menor sea el ancho de anda de la señal modulada, y la modulación que tiene un menor ancho de anda es la modulación de anda lateral única, que necesita el mismo ancho de anda que la señal moduladora El resto de modulaciones usa un mayor ancho de anda Ejercicio 31 olución a) La señal modulada de una modulación AM de anda lateral vestigial se genera de la siguiente forma e genera una señal de dole anda lateral (de amplitud dole, en la notación que se siguió en la asignatura, pero este factor de amplitud no es en realidad relevante) multiplicando la moduladora por la señal portadora e realizar un filtrado de esta señal de dole anda lateral con un filtro de anda lateral vestigial, un filtro que tiene que cumplir unas ciertas condiciones (siguiente apartado) La figura muestra el diagrama de loques de un transmisor de AM de anda lateral vestigial m(t) s j DBL (t) A c cos( c t + ) Filtro BLV s(t) ) La condición que dee cumplir un filtro de anda lateral vestigial es que su respuesta en frecuencia tenga una simetría impar repecto de la frecuencia de portadora, c,demodoque la contriución de la respuesta del filtro desplazada c alaizquierdamáslamismarespuesta desplazada c aladerecha(efectodeundemodulador)seaconstanteenelanchodeandade la señal H BLV (j j c )+H BLV (j + j c ) =cte,en applew = B El único filtro que cumple la condición es el filtro A Enestecaso,setrataríadeunfiltropara una modulación de anda lateral vestigial de anda lateral superior, ya que se deja pasar la anda de frecuencias por encima de la frecuencia de portadora (más el correspondiente vestigio de la anda lateral inferior) Open Course Ware (OCW) 15 c Marcelino Lázaro, 014