Efecto del ruido en la modulación analógica. Luca Mar:no

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Elvira Saavedra Montes
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3 Efecto del ruido en la modulación analógica Luca Mar:no

4 Introducción Vamos a estudiar el efecto del ruido adi$vo en las diferentes modulaciones ( r(t) = s(t) + n(t) ). Vamos a ver que las modulaciones angulares son más resistentes al ruido adi:vo. Empezaremos estudiando un sistema sin modulación (ruido en sistema en banda base), así que no tendremos ningún demodulador en el receptor. Vamos a tener solo un filtro paso bajo con ancho de banda exactamente W (para intentar eliminar el ruido y recuperar la señal).

5 Introducción Esquema prac:co general ( Gaussiano blanco): n w (t) es ruido *cos(2pifc t) Filtro paso- bajo m(t) Modulador s(t) r(t) = s(t) + n w (t) n w (t) Filtro Bc r(t) = s(t) + n(t) receptor demodulador y(t) Con filtro Bc entendemos un filtro con ancho de banda exactamente el ancho de banda de la señal s(t) (Bc=W o Bc=2W); es decir, s(t) no varia al pasar por el filtro, solo filtramos el ruido. El ruido banda. n(t) se llama de banda estrecha o paso- Queremos que esto sea lo más posible parecido a m(t).

n w (t) receptor upongamos que el ruido tenga potencia, y la potencia 2 de la señal (no ruido)

6 istema en banda base istema sin modulación: s(t) = m(t) r(t) Filtro paso bajo (W) y(t) Vamos a estudia la R de esta señal (en general, es lo que haremos en toda la presentación). n w (t) receptor upongamos que el ruido tenga potencia, y la potencia 2 de la señal (no ruido) recibida a la entrada del receptor sea : P no = P R +W 0 df 2 = W 2 2W = W 0 La o está por output (salida). b = P R W

7 Tipo de Ruido Vamos a considerar ruido de banda estrecha (porque de todas formas, en la prac:ca, se u:lizan filtros selec:vos que eliminan todo lo que no sean las frecuencias de interés). La forma canónica del ruido paso- banda (de banda estrecha) es (ruido blanco n w (t) filtrado en sean las frecuencias de interés): n(t) = n c (t)cos(2πf c t) n s (t)sin(2πf c t) donde n c (t) es la componente en fase y n s (t) es la componente en cuadratura: n c (t) = n(t)cos(2πf c t) + n ˆ (t)sin(2πf c t) n s (t) = ˆ n (t)cos(2πf c t) n(t)sin(2πf c t) /2 w ( f )

8 Tipo de Ruido donde n ˆ (t) es la trasformada de Hilbert de n(t). e puede demostrar que n c (t), n s (t) : son ruidos en bajas frecuencias (banda base). :enen misma densidad espectral de potencia. Las potencias son iguales (e igual a la potencia de n(t) ): P nc = P ns = P n

9 Efecto del Ruido en BLD Ya sabemos que para BLD, la señal modulada es: s(t) = A c m(t)cos(2πf c t + φ c ) Y la señal recibida va a hacer: r(t) = s(t) + n(t) = A c m(t)cos(2πf c t + φ c ) + n(t) = r(t) = A c m(t)cos(2πf c t + φ c ) + n c (t)cos(2πf c t) n s (t)sin(2πf c t) Hemos visto que para demodular se mul:plicaba por un coseno (con fase dis:nta por error ), y filtrando paso bajo: r(t)cos(2πf c t + φ)

10 Efecto del Ruido en BLD Ya sabemos que para BLD, la señal modulada es: r(t)cos(2πf c t + φ) = A c m(t)cos(2πf c t + φ c )cos(2πf c t + φ) + n(t)cos(2πf c t + φ) Ya este calculo lo hicimos en la primera presentación 1 2 A cm(t)cos(φ c φ) A cm(t)cos(4πf c t + φ c + φ) n(t)cos(2πf c t + φ) = n c (t)cos(2πf c t)cos(2πf c t + φ) n s (t)sin(2πf c t)cos(2πf c t + φ) cos(a)cos(b) = 1 cos(a B) + cos(a + B) 2 ( ) sin(a)cos(b) = 1 sin(a B) sin(a + B) 2 ( ) n(t)cos(2πf c t + φ) = 1 [ 2 n c(t)cos(φ) + n s (t)sin(φ)] + 1 [ 2 n c(t)cos(4πf c t + φ) n s (t)sin(4πf c t + φ) ]

Efecto del Ruido en BLD Filtrando paso bajo: 1 2 A cm(t)cos(φ c φ) + 1 2 A cm(t)cos(4πf c t + φ c + φ) n(t)cos(2πf c t + φ) = 1 [ 2 n c(t)cos(φ) + n s (t)sin(φ)] + 1 [ 2 n

11 Efecto del Ruido en BLD Filtrando paso bajo: 1 2 A cm(t)cos(φ c φ) A cm(t)cos(4πf c t + φ c + φ) n(t)cos(2πf c t + φ) = 1 [ 2 n c(t)cos(φ) + n s (t)sin(φ)] + 1 [ 2 n c(t)cos(4πf c t + φ) n s (t)sin(4πf c t + φ) ] así que la señal demodulada es: e van filtrando paso bajo. y(t) = 1 2 A cm(t)cos(φ c φ) + 1 [ 2 n c(t)cos(φ) + n s (t)sin(φ)]

12 Efecto del Ruido en BLD i sincronizamos a las fases ( φ c = φ ), y además podemos asumir φ c = φ = 0 : y(t) = 1 [ 2 A cm(t) + n c (t)] Así que las potencias a la salida (output) del receptor: P o = A 2 c 4 P m e puede ver fácilmente, pensando que las constantes mul:plica:vas hay que elevar al cuadrado (suponiendo conocida la potencia de la señal m(t)). P no = 1 4 P n c = 1 4 P n Las potencias de son iguales. n c y n

13 Efecto del Ruido en BLD Vamos a calcular ( n(t) es un ruido blanco filtrado): P n P n = 2 4W = 2W 2W /2 w ( f ) 2W P o = A 2 c 4 P m P no = 1 4 P n = 1 4 2W o = P o P no = A c 2 4 P m W = A 2 c P m 2 W

14 Efecto del Ruido en BLD Ahora la potencia recibida antes de demodular: o = P R = A 2 c 2 P m BLD = A 2 CP m 2 W = El calculo lo hicimos en la primera presentación P R W = b es decir no ganamos nada modulando con banda lateral doble (en termino de inmunidad al ruido).

15 Efecto del Ruido en BLU Ya sabemos que para BLU, la señal modulada es: s(t) = A c m(t)cos(2πf c t) ± A c ˆ m (t)sin(2πf c t) Y la señal recibida va a hacer: r(t) = s(t) + n(t) = r(t) = [ A c m(t) + n c (t)]cos(2πf c t) + [ ±A c m(t) n s (t)]sin(2πf c t) repi:endo los mismos cálculos anteriores

16 Efecto del Ruido en BLU llegamos otra vez (estas formulas son iguales): y(t) = 1 [ 2 A cm(t) + n c (t)] P o = A 2 c 4 P m P no = 1 4 P n Hemos dicho que el ruido n(t) es ruido blanco filtrado en la banda de interés (en este caso siendo BLU queremos mitad banda): /2 w ( f ) W W

17 Efecto del Ruido en BLU Entonces: P n = 2 2W = W W /2 w ( f ) W P o = A 2 c 4 P m P no = 1 4 P n = 1 4 W o = P o P no = A c 2 2 P m 4 P m 1 4 W = A c W

18 Efecto del Ruido en BLU Pero en este caso la potencia recibida antes de demodular: P R = A c 2 P m o lo hemos demostrado lo siento! o = BLu = A 2 CP m W = P R W = b es decir, tampoco ahora ganamos nada modulando con banda lateral doble (en termino de inmunidad al ruido).

19 Efecto del ruido en AM convencional Asumiendo φ c = 0, tenemos: s(t) = A [ c 1+ am n (t)]cos(2πf c t) la señal recibida queda: r(t) = s(t) + n(t) = r(t) = [ A [ c 1+ am n (t)] + n c (t)]cos(2πf c t) n s (t)sin(2πf c t)

20 Efecto del ruido en AM convencional Para comparar con los otros casos, vamos a suponer el mismo :po de demodulación (mul:plicando por un coseno y filtrando paso bajo, y sin u:lizar un detector de envolvente como dijimos); desarrollando los cálculos, se lograría: y(t) = 1 2 A [ 1+ am (t) ] c n n (t) c El demodulador podría fácilmente quitar la componente en con:nua (la constante) : y(t) = 1 2 A c am n (t) n c (t)

21 Efecto del ruido en AM convencional En este caso, la banda lateral también es doble: P n = 2 4W = 2W P o = A 2 c 4 a2 P mn P no = 1 4 P n = 1 4 2W o = P o P no = A 2 c a 2 4 P mn 1 2 W = A c a 2 P mn 2 W

22 Efecto del ruido en AM convencional Ahora, asumiendo que la señal de mensaje :ene media cero, hemos ya visto que: 2 [ ] P R = A c 2 1+ a2 P m o = A 2 c a 2 P m n 2 W = A c 2 2 a2 P mn W = 1+ a2 P mn 1+ a 2 P mn A c 2 2 a2 P mn W = a2 P mn 1+ a 2 P mn A c 2 [ ] W 2 1+ a 2 P mn o = a2 P mn 1+ a 2 P mn P R W = a2 P mn 1+ a 2 P mn b o = AM = a2 P mn 1+ a 2 P mn b = η b

23 Efecto del ruido en AM convencional Hemos llegado a: Donde o = AM = η b η = a2 P mn 1+ a 2 P mn 1 Es siempre menor de 1; es decir, siempre el R para AM es menor que para el caso de banda base (no solo no ganamos perdemos). La razón de esta perdida es porque gran parte de la potencia trasmi:da es u:lizada para enviar la portadora y no la señal que lleva la información (moduladora).

24 Efecto del ruido en PM y FM En las modulaciones angulares los cálculos se hacen mucho más complejos. Pero si repe:mos, otra vez, que las modulaciones angulares :enen una inmunidad al ruido más alta. e puede ver muy bien gráficamente.

25 Efecto del ruido en PM y FM R baja R alta En ambos casos, se puede ver que una frecuencia dominante en la señal está bien definida.

26 Efecto del ruido en PM y FM Desarrollando los cálculos se llega a: o β 2 p P m = 3β 2 f P m b b PM FM Vemos que en ambos casos, la R a la salida es proporcional al cuadrado del índice de modulación. Es decir aumentando β aumento la R (imposible con AM).

27 Efecto del ruido en PM y FM o β 2 p P m = 3β 2 f P m b b PM FM El incremento de la R (aumentando el índice de modulación) se logra aumentando el ancho de banda al mismo :empo; de hecho, por la regla de Carson el ancho de banda efec:vo era: B C = 2(β +1)W Así que se puede jugar entre ancho de banda y potencia trasmi:da para lograr una R establecida.

28 Efecto del ruido en PM y FM En FM, el efecto de ruido es más alto a más altas frecuencias. Está claro pensado en la figura abajo:

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