Sistemas de comunicación

Transcripción

1 Sistemas de comunicación Práctico 4 Modulación Exponencial Cada ejercicio comienza con un símbolo el cuál indica su dificultad de acuerdo a la siguiente escala: básica, media, avanzada, y difícil. Además puede tener un número, como que indica el número de ejercicio del libro del curso, Communication Systems, 3th. edition. Bruce A. Carlson. Ejercicio 1 (7.1-1) Mostrar que no es posible definir una onda modulada de FM en directa analogía ( ) ) con la de AM: x c (t) = A c cos (ω c 1+mx(t) t. Sugerencia: Estudiar cómo quedaría la frecuencia instantánea si la modulante fuera un tono. Ejercicio Calcule el ancho de banda de: (a) Una portadora de 10MHz modulada en fm por una señal sinusoidal de 1 khz. La amplitud de la moduladora es tal que produce una desviación máxima de frecuencia de khz. (b) La señal de (a) con la frecuencia de la moduladora duplicada. (c) La señal de (b) con la amplitud de moduladora duplicada. Ejercicio 3 Un tono de 10 khz modula una portadora de 100 Mhz. Un ingeniero diseñó el sistema razonando que podía disminuir el ancho de banda disminuyendo la amplitud del tono. Lo acomodó para una desviación de frecuencia máxima de 10 Hz y supuso que el ancho de banda sería de 0 Hz. (a) Cuál es el verdadero ancho de banda y cuál fue el error que cometió el ingeniero? (b) Si la amplitud hubiera sido elegida para producir una desviación máxima de frecuencia de 1 MHz, verificar que en ese caso el ingeniero habría acertado a pesar de su razonamiento equivocado y explicar la diferencia con el caso anterior. Ejercicio 4 Se aplica el mismo tono a un modulador de fm y a uno de pm con un defasaje tal que los espectros de salida son los mismos. Estudiar cómo cambiarán, en general, estos espectros si: 1

2 (a) la frecuencia del tono aumenta o disminuye. (b) la amplitud del tono aumenta o disminuye. Ejercicio 5 Se desea medir el f de un transmisor de fm. Un posible método es, usando como entrada una sinusoide de frecuencia conocida, aumentar la amplitud de la sinusoide desde cero hasta el valor máximo admitido a la vez que se observa el espectro de la señal modulada. Al variar la amplitud deben registrarse los valores para los que se anula la componente de frecuencia f c del espectro. (a) Cómo se puede estimar f con los resultados de este experimento? (b) Estime f cuando = 1kHz y las primeras 9 amplitudes encontradas fueron 115.5, 87.7, 444.0, 539.9, 734.0, 906.7, , y mv. Ejercicio 6 Analizar el detector de FM balanceado de la Figura 1. T d es tal que w c T d = π/. Figura 1: Detector balanceado. (Ejercicio 6) Ejercicio 7 Se consideran las señales: 1. x 1 (t) de ancho de banda W 1, x 1 max = 1, < x 1 >= 1/, < x 1 >= 0. x (t) de ancho de banda W, x max = 1, < x >= 1/, < x >= 0 Se desea trasmitir x 1 y x multiplexados sobre un enlace en FM. Se plantean los esquemas de la Figura : (a) Hallar, en el punto A, la f 1 mínima para que se puedan recuperar x 1 y x ; y el ancho de banda de la banda base (señal en el punto A, x A ). (b) Hallar, en el punto A, la f mínima para que se puedan recuperar x 1 y x, y ancho de banda de la banda base (señal en el punto A,x A ). Graficar los espectros de las bandas base. El modulador de FM tiene portadora f c y relación de desviación de frecuencia D. (c) Hallar A 1 y A para que en los casos la señal de banda base x A y x A tengan valor máximo 1. Hallar su valor cuadrático medio.

3 Figura : Sistema el Ejercicio 7. (d) Hallar el ancho de banda de la señal modulada en FM en ambos casos. Comparar. (e) Dar un esquema de los receptores respectivos indicando los anchos de banda de los filtros. Mostrar que se puede recuperar las señales. 3

4 Ejercicio 1 Tomamos x(t) como un tono, es decir: La señal transmitida es entonces: La frecuencia instantánea es 1 π φ(t): Solución x(t) = A m sin(ω m t) x c (t) = A c cos(ω c t+mω c A m sin(ω m t)t) φ(t) 1 π φ(t) = f c +f c ma m sen(ω m t)+f c ma m tω m cos(ω m t) 1 π φ(t) = f c (1+mA m sen(ω m t)+ma m tω m cos(ω m t)) Es decir que la frecuencia instantánea obtenida no corresponde a la señal que se desearía detectar, x(t). Ejercicio (a) La señal modulada en fm es ( t ) x c (t) = A c cos ω c t+πf x(λ)dλ por lo que la frecuencia instantánea es La máxima desviación de frecuencia es f c +f x(t) = f c +f A m cos(000πt) f A m que sabemos que es khz. El ancho de banda de una señal modulada en fm es B T = M(β) (β +α) donde se toma α 1 si β 1, y α si β 1. En este caso β = Amf = 000/1000 = y está justo en el límite de validez de ambas aproximaciones; para β > 1 es una mejor estimación usar α =. Por lo tanto, B T (β +) = (A m f + ) = (+)khz = 8kHz (b) Si la frecuencia de la moduladora,, se duplica, tenemos que: β = A mf = = 1 Nuevamente, el valor de β está en el límite, y tomamos por lo tanto α =. Luego: B T (β +) = (1+) 1kHz = 1kHz 4

5 (c) Si ahora se duplica el valor de A m, y se mantiene la máxima desviación en frecuencia, tenemos que el valor de β no cambia respecto al caso anterior, y por lo tanto el valor del ancho de banda tampoco, ya que en sí lo único que hace variar A m es el valor de la máxima desviación en frecuencia. Sin embargo, si permitimos que esta desviación varíe, entonces en este caso tendremos que: β = A mf Tomando α =, llegamos a que: Ejercicio 3 (a) Cálculo de B T : Por lo que: = A mf = B T (β +) = (+)khz = 16kHz β = f A m D = f = 10Hz 10kHz 1 B T = (β +1) Entonces B T W = 0kHz. El error estuvo en no llamar a un técnico. (b) Si f = 1MHz, D = 1MHz 10kHz = 100 entonces B T = (D +1)W = (101)10kHz =,0MHz En este caso no se equivocó porque no era necesario llamar a un técnico. Ejercicio 4 (a) Las señales moduladas son, en cada caso: pm : xpm(t) = A c cos(ω ( c t+φ x 1 (t)) ) tx fm : xfm(t) = A c cos ω c t+πf (λ)dλ Para que los espectros sean iguales puede tomarse x 1 (t) = A m cos(ω m t) y x (t) = A m sin(ω m t), se tiene que: pm : xpm(t) = A c cos(ω ( c t+φ A m sin(ω m t)) ) fm : xfm(t) = A c cos ω c t+ Amf sin(ω m t) En ambos casos el espectro será un tren de delats centrados en las frecuencias de la forma f c + n, con n entero, ponderados por los coeficientes de Bessel J n (β). Se tiene β = A m f / en el caso de fm y β = A m f para pm. De aquí resulta claro que si aumenta (disminuye), la separación entre los deltas en ambos casos también aumenta (disminuye). Falta analizar como cambian los coeficientes J n (β) al variar. Analizaremos como varía la cantidad de 5

6 coeficientes de Bessel relevantes en el espectro, lo que determina el ancho de banda del mismo. El siguiente análisis se basa en la fórmula de Carlson que nos premite expresar de forma más conveniente el ancho de banda de dichos espectros, B T = (β +α) donde α toma los valores 0,1 o de acuerdo al valor que tome β. En el caso de pm el ancho de banda varía siempre de la misma forma que lo hace el parámetro por ser éste proporcional. En tanto que para el caso de fm el análisis debe hacerse teniendo en cuenta el valor numérico de β. Si β no es mucho mayor que 1, el ancho de banda también aumenta (disminuye) conforme lo hace, mientras que en caso contrario, el ancho de banda resulta independiente de. (b) Si ahora es A m quien aumenta (disminuye), tenemos que este cambio afecta de la misma forma ambos espectros: en ambos casos, si β no es mucho menor que 1, el ancho de banda también aumenta (disminuye). Ejercicio 5 (a) Sabemos que la señal modulada se puede escribir de la forma: x c (t) = A c + n= J n (β)cos(ω c t+nω m t) Como β = Amf, si varía A m varía también el valor de β. Por lo tanto cambiarán también los valores de J n (β), funciones de Bessel. Como miramos solo la componenteenf c,soloimportaelcasoenquen = 0,esdecir,J 0 (β).sabemosen qué valores de β esta función presenta ceros, e igualando dichos valores a Amf, obtenemos varios posibles valores de f. Haciendo un promedio, llegamos al valor de f buscado. (b) Considerando las nueve primeras raíces de J 0 (β), tenemos: β 1 =.4048 f 1 = β = f = β 3 = f 3 = β 4 = f 4 = β 5 = f 5 = f =.0 10 khz β 6 = f 6 = β 7 = f 7 = β 8 = f 8 = β 9 = f 9 = Ejercicio 6 x c (t) = A c cos(ω c t+φ(t)) 6

7 donde φ(t) = πf t 0 x(t)dt y como ω c T d = π u(t) = A c cos(ω c t+φ(t)) A c cos(ω c (t T d )+φ(t T d )) v(t) = A c cos(ω c t+φ(t)) A c cos(ω c (t T d )+φ(t T d )) u(t) = A c cos(ω c t+φ(t))+a c sin(ω c t+φ(t T d )) u(t) = A c (cos(ω c t+φ(t))+sin(ω c t+φ(t T d ))) u(t) = A c (cos(ω c t)cos(φ(t)) sin(ω c t)sin(φ(t)))+sin(ω c t)cos(φ(t T d ))+cos(ω c t)sin(φ(t T d ))) u(t) = A c [cos(ω c t)(cos(φ(t))+sin(φ(t T d )))+sin(ω c t)(cos(φ(t T d )) sin(φ(t)))] Análogamente: v(t) = A c [cos(ω c t)( cos(φ(t))+sin(φ(t T d )))+sin(ω c t)(cos(φ(t T d ))+sin(φ(t)))] Y luego del detector de envolvente: û(t) = A c (cos(φ(t))+sin(φ(t Td ))) +(cos(φ(t T d )) sin(φ(t))) ˆv(t) = A c ( cos(φ(t))+sin(φ(t Td ))) +(cos(φ(t T d ))+sin(φ(t))) Operando: û(t) = A c +cos(φ(t))sin(φ(t Td )) cos(φ(t T d ))sin(φ(t)) ˆv(t) = A c +sin(φ(t))cos(φ(t Td )) sin(φ(t T d ))cos(φ(t)) û(t) = A c 1 sin(φ(t) φ(t Td )) ˆv(t) = A c 1+sin(φ(t) φ(t Td )) û(t) ˆv(t) = A c [ 1 sin(φ(t) φ(t Td )) 1+sin(φ(t) φ(t T d ))] Multiplicando y dividiendo por: Se obtiene: [ 1 sin(φ(t) φ(t T d ))+ 1+sin(φ(t) φ(t T d ))] û(t) ˆv(t) = A c ( )sin(φ(t) φ(t Td )) 1 sin(φ(t) φ(t Td ))+ 1+sin(φ(t) φ(t T d )) Si T d es pequeño, entonces el denominador puede aproximarse por y sin(φ(t) φ(t T d )) φ(t) φ(t T d ) Entonces: û(t) ˆv(t) = A c (φ(t) φ(t Td )) = A c Td ( φ(t) φ(t T d) T d ) Y volviendo a considerar que T d es pequeño û(t) ˆv(t) A c Td φ(t) como tenemos que t φ(t) = πf x(t)dt û(t) ˆv(t) A c Td πf x(t) 0 7

8 Ejercicio 7 (a) La señal en el punto A es de la forma: x A (t) = A 1 x 1 (t)+a 1 x (t)cos(πf 1 t) Luego, la densidad espectral de potencia de esta señal es: G xa (f) = A 1 G x1 (f)+ A 1 4 (G x (f f 1 )+G x (f +f 1 )) El espectro entonces queda: Así, para poder recuperar x 1 (t) y x (t), se debe cumplir que: f 1 W 1 +W f 1,min = W 1 +W El ancho de banda de la señal a transmitir es: (b) La señal en el punto A es: W A = f 1 +W x A (t) = A x 1 (t)cos(πf t)+a x (t)sin(πf t) Entonces, la densidad espectral de potencia de esta señal es: G xa (f) = A 4 (G x 1 (f f )+G x1 (f +f )+G x (f f )+G x (f +f )) El espectro es de la forma: Se puede ver que si bien los espectros de ambas señales se superponen, en el tiempo las mismas son ortogonales, ya que una es multiplicada por un coseno y la otra por un seno. Luego, se transmiten en cuadratura, y entonces siempre es posible recuperar las señales originales en el destino (asumiendo detección sincrónica sin errores), siempre y cuando se cumpla que: f máx(w 1,W ) f,min = máx(w 1,W ) El ancho de banda de la señal resultante es: W A = f +máx(w 1,W ) 8

9 (c) Caso x A : x A (t) = A 1 x 1 (t)+x (t)cos(πf 1 t) A 1 x 1 (t) + x (t) cos(πf 1 t) x A (t) A 1 A 1 = 1 A 1 = 1 El valor cuadrático medio de x A (t) es: < x A >= E [ x A(t) ] = E [ A ( 1 x 1 (t)+x 1 (t)x (t)cos(πf 1 t)+x (t)cos (πf 1 t) )] Suponiendo x 1 y x independientes entre sí, se tiene que: < x A >= A 1 < x 1 > +< x 1 > < x > < cos(πf 1 t) =1/ =0 =0 =0 > + < x > =1/4 = 3A 1 4 Como A 1 = 1/, sustituyendo en la igualdad tenemos que: Caso x A : < x A >= 3 16 x A (t) = A x 1 (t)cos(πf t)+x (t)sin(πf t) = A x 1(t) +x (t) A 1 1 A = 1 El valor cuadrático medio de x A (t) es: < x A >= E[ A ( x 1 (t)cos (πf t)+x 1 (t)x (t)cos(πf t)sin(πf t)+x (t)sin (πf t) )] 9

10 Suponiendo x 1 y x independientes entre sí, se tiene que: < x A >= A < x 1 > =1/4 +< x 1 > < x > =0 =0 < cos(πf t)sin(πf t) > + < x > =1/4 = A Como A = 1/, sustituyendo en la igualdad tenemos que: < x A >= 1 4 (d) Sabemos que el ancho de banda de una señal modulada en FM es B T = (D +)W. Por lo tanto, para cada caso se tendrá que: B T,A = (D+)W A = (D+)(f 1 +W )B T,A = (D+)W A = (D+)(f +máx(w 1,W ) Comof 1,min = W 1 +W yf,min = máx(w 1,W ),entoncesw A,min = W 1 +W y W A,min = máx(w 1,W ). Comparando estos dos valores, se tiene que: { BT,A < B T,A si W 1 < W (e) B T,A > B T,A si W 1 > W 10