1. Modulaciones analógicas y perturbaciones (2.5 ptos)

Transcripción

1 Examen Final de Junio de la eoría de la Comunicación 4 de Junio de. Modulaciones analógicas y perturbaciones (.5 ptos) Se quiere hacer un sistema de comunicaciones por radiodiusión de varios canales, donde la unción de transerencia del enlace que tiene asignado el sistema entre el transmisor y el receptor se encuentra en la igura. Las distintas señales a transmitir por cada canal se pueden caracterizar de la misma manera: ancho de banda máximo Bx=KHz, valor máximo unidad, y potencia normalizada pxn=.4. odo el ruido del sistema es térmico (η=kt=-4w/hz) y se puede modelar de la manera habitual como una uente de ruido a la entrada del receptor. El sistema no debe tener distorsión y cada canal individual debe uncionar con una relación señal ruido igual o superior a 3 db. Se van a estudiar dos alternativas: BLU y FM. Se pide:.. Representar un modulador con transormador de Hilbert, un demodulador y escribir la orma de la señal BLU. (.5 p) El modulador con transormador de Hilbert, con la orma de la señal, y el demodulador serían los de las siguientes iguras. El demodulador debería tener un desase que compensara los t p = µs de retardo del canal. (BLI) -9º -9º (BLI) (BLS) (BLS) - y r (t) z r (t) w r (t) x r (t) B x cos( t ) ( t ). c c p.. Representar un modulador basado en un modulador de Armstrong (éste no hace alta detallarlo), un demodulador y escribir la orma de la señal FM. (.5 p) La modulación en recuencia FM se basa en variar la desviación de recuencia instantánea d(t) de una portadora de acuerdo a la señal de inormación x (t): () t k x () t x () t, con d D N D k xmax, xmax max x(), t xn() t x(). t La señal modulada tiene la siguiente orma, xmax que se podría conseguir con el diagrama de bloques de más abajo: y () t Ac cos( ct ()) t Ac cos( ct D xn( ) d). t Ingeniería de elecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM)

2 Examen Final de Junio de la eoría de la Comunicación 4 de Junio de PM Modulador PM de banda estecha (Armstrong) (β pequeño) c,β n c,nβ +n c,nβ FM Multiplicador de recuencia (para conseguir β grande) Opcional Conversor FM-AM Detector de envolvente Elim. Cont. El demodulador se podría hacer con el siguiente diagrama.3. En el sistema BLU-inerior, cuántos canales se pueden conseguir y con qué recuencias portadoras? Qué potencia (la misma en todos los canales) habría que transmitir por canal? (.5 p). Para que no haya distorsión, el módulo de la unción de transerencia y el retardo de grupo deber ser ambos constantes en la banda de uncionamiento. De acuerdo al canal, se podría transmitir por tanto de a 6 MHz, 6 a 7 MHz y de 9 a MHz. Puesto que en BLU cada canal modulado ocupa lo mismo que en banda base: 4+8=8 MHz=B ytot =N c B y =N c B x y por tanto N c = B ytot /B x = 8/. = 8 canales con portadoras al inal de la banda de cada canal (por ser BLU-inerior): c,i [MHz] = + i. (i=,,4) y c,i [MHz] = 9 + (i-4). (i=4,,8). Hay que tener en cuenta que alrededor de 6 MHz, el canal debe estar completamente antes de 6 o completamente después de 6 MHz. Para cumplir el criterio de calidad, utilizando la snr-post de BLU, hay que cumplir: SNR P [ dbw ] A log ( B ) SNR 3 db P [ dbw ] SNR A log ( B ) tx max x min tx min max x Puesto que la potencia es la misma para todos los canales, hay que coger el caso más restrictivo, el de 9 a MHz (en la otra banda sería una potencia 8-6= db menor): Ptx[ dbw ] SNRmin A max log( Bx ) dbw 3dB 8dB dbw.4. En el sistema FM se va a utilizar una potencia por canal de.w (igual en todos ellos). Cuál es la desviación máxima de recuencia (que debe ser el mismo para todos los canales) para garantizar la SNR, que no haya distorsión y para que el número de canales sea máximo? Con qué recuencias portadoras?. ( p.). El criterio de calidad es el siguiente (snr FM =3D p xn z): Ingeniería de elecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM)

3 Examen Final de Junio de la eoría de la Comunicación 4 de Junio de SNR P [ dbw ] A log (3 D p ) log ( B ) SNR 3dB tx max min xn x min que implica coger D lo suicientemente grande: log D SNR A log( B ) log(3 ) 9. 9 min min max x P tx pxn dbd min 3dB 8dB dbw dbw.9db La desviación máxima de recuencia será D =DB x =9 KHz. Igual que en el caso anterior, se disponen de 4+4 MHz de banda para el enlace, pero ahora el ancho de banda de cada canal modulado es mayor B y =(D+)B x = KHz. Para hallar el número de canales 8 MHz = N c B y =N c (D+)B x y por tanto N c = B ytot / B y = 8/. = 4 canales con portadoras en la mitad de la banda de cada canal: c,i [MHz] =. + (i-). (i=,,) y c,i [MHz] = 9. + (i-). (i=,,4).. Modulación analógica DBL y perturbaciones ( puntos).. Representar el diagrama de bloques de un receptor DBL con la señal de inormación y el ruido a la entrada, donde el iltro de pre-detección tiene ancho de banda B y el de post-detección tiene ancho de banda B. Indicar en que recuencia están centrados esos iltros y cuál sería el menor ancho de banda de esos iltros B min y B min (.5 p.) El diagrama es el siguiente. Para que la señal de inormación no se distorsionara en el receptor B B min = B x, y B B min = B x. y c (t) ruido n(t) - Filtro paso-banda de pre-detección B SNR pre-det Demod. DBL A partir de ahora se supone que B =B >B min y B >B min (iltros de ancho estrictamente mayor que el mínimo pero B << c ).. Calcular la expresión de la relación señal ruido en pre-detección (.5 p.) c y r (t)=y c (t)+n o (t) v r (t) z r (t) - Filtro paso-bajo de post-detección B x r (t) SNR post-det - Señal recibida (se supone que el canal no aecta a la señal) después del iltrado pre-detección: y c (t): señal DBL ideal ruido iltrado - Potencias de señal y ruido en pre-detección: Y r () B c - SNR en pre-detección Ingeniería de elecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM) 3

4 Examen Final de Junio de la eoría de la Comunicación 4 de Junio de.3. Calcular la expresión de la relación señal ruido en post-detección en este sistema. (.5 p.) y c (t) y r (t)=y c (t)+n o (t) Demod. DBL z r (t) x r (t) ruido n(t) - Filtro paso-banda de pre-detección B - Señal recibida (se supone que el canal no aecta a la señal) después del iltrado pre-detección: c SNR pre-det y c (t): señal DBL ideal v r (t) - Filtro paso-bajo de post-detección ruido iltrado B SNR post-det - Potencias de señal y ruido en pre-detección: Y r () B c - SNR en pre-detección.4. En el sistema propuesto, se mantiene el mismo B >B min, pero se ensancha ahora el iltro de pre-detección B >B. Calcular la densidad espectral de potencia de ruido a la entrada y salida del iltro de post-detección. Ha cambiado el valor la relación señal ruido en post-detección? (.5 p.) Utilizando las expresiones anteriores, n in (t)=k D n I (t). A la salida del iltro de post-detección ese ruido aparece iltrado - El ruido n in (t) = k D n I (t) a la entrada del iltro tiene una d.e.p. que va de - B / a B / - Puesto que B / >B, a la salida del iltro se tiene un ruido n out (t) cuya d.e.p. es: B / K D η K D η B S nin() S nout () B B / - A la salid del iltro se tiene el mismo ruido que en el caso anterior, por lo que la snrpost es la misma. 3. Fundamentos de sistemas digitales (3.5 puntos) 3.. Por qué se usan las modulaciones analógicas en vez de transmitir directamente la señal en banda base? Y por qué se usan las modulaciones digitales paso banda en vez de las de banda base? Justiicar brevemente la respuesta con las ideas clave. (.5 p.) Sea el sistema analógico o digital, los motivos de modular las señales a recuencias altas son las mismas en los dos casos: Ingeniería de elecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM) 4

5 Examen Final de Junio de la eoría de la Comunicación 4 de Junio de - Adaptar la señal de inormación a la banda de recuencias en las que el canal tiene mejores características: donde haya menos atenuación (como en la ibra óptica), menos distorsión (de amplitud y/o ase), o trasladar el contenido espectral de la inormación a recuencias suicientemente altas para poder radiar la señal eicientemente con antenas de tamaño razonable - Para multiplexar el canal entre varios usuarios a los que se le asigna dierentes zonas del espectro (FDM). La inormación de cada usuario (que además podría multiplexarse también en el tiempo) se desplaza a bandas distintas. -Para combatir el ruido e intererencias. Algunas técnicas de modulación consiguen reducir el eecto de estas perturbaciones. 3.. Representar el diagrama de bloques de un sistema PCM (.5 p.) Conversión de uente Analógico/Digital PCM X() B x A) Muestreo B) Cuantiicación de n niveles n interv. C) Codiicación de n bits (se tienen n niveles/ intervalos) n líneas Paralelo / Serie Conversión de Destino Digital/Analógico PCM ransmisión A ) Interpolación B )Reconstrucción de n niveles C ) Decodiicación de n bits n líneas Serie / Paralelo Se tienen un sistema M-PAM que incluye un pulso del transmisor g(t)=δ(t), un canal LI, el iltro del receptor h r (t)=δ(t) y un muestreador en t=k (donde k es un entero y el periodo de símbolo). La unción de transerencia del canal H c () es un iltro paso bajo ideal de amplitud y ancho de banda B. La señal de entrada al canal es yt () agt k ( k) Escribir la señal a la salida del iltro recep. y las muestras antes del decisor. (.5 p.). k Mod. Dig. PAM bandabase con pulsos básicos: Canal Decisión Pulso iltrado por el canal Pulso en el receptor Valor muestreado que se utiliza para tomar la decisión en el detector ( s =): Ingeniería de elecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM) 5

6 Examen Final de Junio de la eoría de la Comunicación 4 de Junio de El esquema sería el anterior, donde se han ido deiniendo el pulso básico g(t), el pulso básico iltrado por el canal x c (t) y el pulso básico a la salida del iltro del receptor x(t).en este caso, puesto que g(t)=δ(t), y h r (t)=δ(t), se tiene xc() t g() t hc() t hc() t Bsinc( tb) x() t g() t h () t h () t h () t Bsinc( tb) c r c 3.4. De acuerdo a las señales y muestras que acaba de obtener, qué es la Intererencia Entre Símbolos? Cómo se puede evitar la IES en este sistema en concreto?. (.5 p.) El enómeno de IES aparece cuando al demodular la señal correspondiente al símbolo k, al muestrear aparece la contribución de su señal asociada (el primer término de la expresión anterior) más las contribuciones (intererencias) de las señales de otros símbolos q k (el último término de la expresión anterior). Es un enómeno asociado a la limitación en ancho de banda de los sistemas digitales. Para que no haya IES, de acuerdo a las señal x(t) deinidas en el apartado anterior, se tiene que cumplir el criterio de Nyquist: la suma de X() y sus réplicas desplazadas múltiplos enteros de la velocidad de símbolo (/) debe ser constante para todas las recuencias: Para el sistema en concreto, viendo la señal en el tiempo, se debe cumplir: x( n ) Bsin c( nb) B nº entero B B /( ) 4. Diseño de un sistema digital (3.5 puntos) Se dispone del modulador digital que codiica los símbolos con las señales s () t A I ()cos t t B I ()cos t t m m, c m, c m cos m, m sin m, m ( ) M,,, A C B C m m M min min donde I a,b (t)= en a t b, y en el resto y C es una constante positiva. 4.. Calcular una base ortonormal (demostrar que lo es) y las coordenadas de las señales respecto de la base (.5 p.) Como se va a demostrar a continuación, una posible base ortonormal de estas señales es: ˆ () t K I ()cos t t, ˆ () t K I ()cos t t.,, c, c Para la normalización, se tiene / / ˆ c 4 c 4 ˆ E K cos tdt K K cos tdt K ; E K K / /4 4/ (/ c ) ˆ c 4 c 4 ˆ / / E K cos tdt K K cos tdt K ; E K K 4/ (/ c ) Ingeniería de elecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM) 6

7 Examen Final de Junio de la eoría de la Comunicación 4 de Junio de Está claro que son ortogonales (y por tanto linealmente independientes) porque al multiplicarlas el producto ya sale cero por la unciones I,/ e I /, : < ˆ, ˆ >= ˆ ( t) ˆ ( t) dt. Por último, todas las señales del sistema se pueden escribir con coordenadas (A m /K, B m /K): Am Bm s () ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ m t () t ( ) () t ( Ccos m /4) () t ( Csin m /4) () t K K 4.. Representar la constelación y calcular la energía media por símbolo E simb (se suponen símbolos equiprobables). iene envolvente constante? Conoce alguna modulación con este aspecto? (.5 p.) La distancia al origen de cada señal es: Am B C C m dm Es ( ) ( ) (cos sin ) m K K m m C K K 4 La constelación son puntos sobre una circunerencia de radio R=C/K. Es una modulación con la misma orma que M-PSK. Puesto que todos los puntos están a igual distancia del origen, es una modulación con envolvente constante y la energía media por símbolo coincide con la de una señal: M = 8 θ =º E M C E E C K simb sm sm M m Calcular la distancia mínima d min entre dos señales de la constelación y el cociente d min /E simb. Qué consecuencias tiene esta expresión en la Prob de error al aumentar M? (.5 p.) La distancia mínima se da entre dos señales consecutivas sobre la circunerencia: dmin ( RRcos ) Rsin R ( cos cos sin ) M M M M M R (cos ) 4R sin C sin M M M y por tanto / sin dmin Esimb. Al aumentar M, la distancia en proporción a la energía media M cada vez es menor, por lo que es un sistema cuya protección rente al ruido empeora con M. (ambién se podría ver como al aumentar M, para el mismo R b y P rx, la distancia mínima log decrece M dminrb / Prx sin M log M M, ya que M crece más rápido que log M.) M 4.4. Diseñar un receptor digital óptimo indicando los instantes de muestreo y el criterio de decisión o umbral utilizado. (.5 p.) El diagrama es el siguiente, utilizando correladores con los elementos de la base (dos dimensiones y por tanto dos ramas), muestreando cada t= y criterio de decisión por distancia mínima (se escoge la señal cuya distancia a la recibida es la menor): Ingeniería de elecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM) 7

8 Examen Final de Junio de la eoría de la Comunicación 4 de Junio de ˆ () t KI ()cos t t., c Decisión por distancia mínima... ˆ () t KI ()cos t t, c Muestreo cada t= 4.5. Si la señal que llegara a este sistema uera yr() t QI, ()cos t ct con Q>, calcular y representar los valores que entrarían al decisor sobre el diagrama de la constelación. Qué señal se detectaría en los casos M=, M=4 y M=8? (.5 p.) / ˆ ˆ r c r R =< y (t), >=QK cos tdt QK Q, R =< y (t), >= Q Para M= la constelación sólo tiene dos puntos en azul. Para M=4, se suman los puntos en rojo. Para M=8 se suman los puntos en negro. La señal recibida estaría sobre la línea que divide el primer cuadrante ormado 45º con las abscisas, a distancia R =R =Qsqrt(/4) del origen. Para M=, se escogería s (t) (sobre las abscisas) por ser la más cercana). Para M=8 se escogería s (t) (el punto cae sobre la línea que pasa por ella). Para M=4 se escogería o s (t) o s (t), porque está a igual distancia de los dos. Q/K y r R R M =,4,8 s Este modulador se quiere utilizar para un canal de datos de Mbps con P E = -8 en una banda de recuencias centrada en c =ω c /(π)=.4 GHz, atenuación de 3dB y con un ruido blanco y gaussiano a la entrada del receptor de η= - W/Hz Para M=, obtener la expresión teórica de la probabilidad de error P E del receptor óptimo ( PE Q( d, / )) en unción de la relación señal-ruido por bit y calcular la potencia del transmisor necesaria para garantizar una P E = -8. ( p.) Para M= las señales son antipodales y al hacer el desarrollo se obtiene para este caso: d Ess ( R) 4 R ( R C / 4) Ebit R R d 4 Ebit, PE Q( ) Ebit Esimb R Si se debe conseguir P E = -6, mirando la gráica de la unción Q, se tiene que: A/ p rx ptx 5.6 A/ 5.6, ptx R 56.8 ( 8 ) b mw dbw dbm, R R b b Ingeniería de elecomunicación, Escuela Politécnica Superior (UAM) 8