Análisis de Señales Curso Teorema del muestreo Conversión A/D

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Pascual Gil Correa
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1 Análisis de Señales Curso 2011 Teorema del muestreo Conversión A/D

2 Muestreo

4 Muestreo con tren de impulsos p(t) x(t) x p (t) x(0) x(t) x(t) x p (t) t 1 p(t) 0 0 t T

5 x p ( t) = x( t) p( t) + n= p ( t) = δ ( t nt ) + n= x p ( t) = x( nt ) δ ( t nt ) X p ( ) = [ X ( ) P( )]

6 ) ( 1 ) ( + = = k s k w T P δ ) ( 1 ) ( + = = k s p k w X T X El espectro en de la señal muestreada x p (t), es el espectro de la señal original X(w) desplazado en múltiplos de la de muestreo w s =1/T

7 X() - M M P() -1/T 0 Xp () 1/T= s M S - M S S + M

8 Vemos que el eecto del muestreo ideal sobre el espectro en original, es repetirlo alrededor de la recuencia de muestreo S. Si disminuimos el valor de S los espectros se empiezan a acercar y no hay problema hasta S - M = M Como vemos en el espectro X p () de la igura anterior, podremos recuperar X() original siempre y cuando S - M > M y los espectros repetidos no se solapen. En eecto si disminuimos S hasta llegar a un punto en que se mezclen, espectro en azul, no será posible recuperar el espectro original.

9 Filtro pasabajos para recuperar espectro original

10 Teorema del muestreo Si x(t) es de banda limitada con X()=0 para > M entonces x(t) está unívocamente determinada por sus muestras x(nt), n=0,±1,±2... Si s >2 M. Para recuperar la señal original, se procesan las muestras con un iltro pasabajos ideal, con de corte > M y menor que s - M. s se la conoce como la recuencia de Nyquist.

11 Ilustración gráica de la interpointerpolación en el dominio del tiempo x p (t) Respuesta al impulso de un iltro pasabajos ideal

12 Interpolación Vimos de la diapositiva anterior que la unción de interpolación es sent/t, para el caso del iltro pasabajos ideal, sumando precursores y postcursores. Este iltro es no-causal. En un iltro real la transerencia en no será rectangular (rojo), pues su respuesta al impulso será 0 para t<0.

13 Muestreo práctico La onda muestreada está ormada por pulsos que tienen amplitud y duración initas. Los mensajes están limitados en tiempo y por ello no pueden ser de banda limitada (aliasing). Los iltros de reconstrucción no son ideales.

14 Señal de muestreo no impulsiva Forma del pulso de muestreo x p ( t) = entonces k x( kt) p( t kt ) = [ q( t)] [ k x( kt) δ ( t kt)] X p ( ) = Q( )[ n X ( k s ) = Q( ) X δ ( ) Eecto sobre el espectro por muestrear con una señal no impulsiva Espectro con muestreo ideal

15 Señal de muestreo no impulsiva Se puede interpretar la expresión anterior como que Q() es un iltro operando sobre el espectro del muestreo ideal X δ () y atenuando a componentes de. Por lo general la señal reconstruída estará distorsionada. A esta pérdida de componentes de alta, se la denomina a veces como eecto de apertura (duración del pulso)

16 X p ()

17 Filtros de reconstrucción no ideales Respuesta del iltro Componentes espectrales espurias

18 Filtros de reconstrucción no ideales El problema se puede tratar en el dominio de la recuencia. Vemos que las componentes no deseadas están muy atenuadas. El mejor procedimiento es un cuidadoso diseño del iltro. Para una orma de respuesta de iltro dada, se puede mejorar esta intererencia aumentando la de muestreo.

19 Señales de banda limitada- Intererencia de colas espectrales ( aliasing ) Espectro de la señal original Espectro de mensaje muestreado con intererencia Hay que iltrar la señal antes de muestrear

20 Muestreo con un Retenedor de Orden Cero p(t) h 0 (t) X(t) x p (t) 1 X 0 (t) 0 T X(t) x p (t) t t

21 Conversión A/D - Digitalización Señal continua en tiempo Señal discreta en tiempo Señal discreta en tiempo y amplitud Muestreador Cuantizador Codiicador Bits

22 CAD : cuatro procesos Muestreo (sampling): tomar muestras periódicas de la amplitud de la onda. Retención (hold): las muestras son retenidas hasta evaluarlas. Cuantiicación: la amplitud de la señal muestreada toma valores discretos. Codiicación: se traducen los valores obtenidos a N bits, asigna un valor entre 2 N posibles.

23 Hasta aquí CAD Luego se podría comprimir la inormación, en bits, para tener en cuenta la capacidad de almacenamiento, tasa de datos, etc. que el sistema de cómputo puede manejar.

24 Relación entrada/salida para un ADC Código digital de salida Señal analógica de entrada

26 Relación entrada salida DAC Tensión analógica de salida Bits de entrada

27 Muestreo de un sen con = recuencia límite de Nyquist La señal a muestrear no debe tener componentes en el límite establecido por Nyquist

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