Universidad de Oviedo Introducción al Control Digital

Transcripción

1 Introducción al Control Digital Tema 0

2 Índice Ventajas e inconvenientes del control digital Sistemas muestreados Modelo matemático de los sistemas discretos Discretiación de reguladores continuos Implementación Algoritmo de control Retardo computacional El problema de la cuantificación Filtro antialiasing Selección del período de muestreo Equipos industriales Bibliografía 2

3 Esquema de control digital + Regulador D/A Proceso - A/D Captador D/A: Convertidor Digital - Analógico A/D: Convertidor Analógico - Digital 3

4 Estructura del bloque A/D C O M P U T A D O R inicio conversión fin conversión Convertidor A/D control control captura y mantenimiento M U L T I P L E X O R acondicionamiento transductor transductor 4

5 C O M P U T A D O R control Estructura del bloque D/A inicio conversión fin conversión buffer control Convertidor D/A control D E M U L T I P L E X O R captura y mantenimiento accionador accionador 5

6 Ventajas del control digital No hay límite de complejidad del algoritmo Facilidad de cambio de estrategia Precisión más elevada en operaciones que con dispositivos analógicos (resolución, derivas, saturaciones). Posibilidad de efectuar funciones complementarias (almacenamiento, análisis, comunicaciones) 6

7 Nuevos problemas Muestreo Aliasing Reconstrucción Cuantificación Retardo 7

8 Muestreo En esta operación se obtiene una secuencia de valores a partir de una señal analógica. x(t) {x } T x = x(t) 8

9 Muestreo. Ejemplo Señal analógica S eñal mues treada Amplitud Amplitud Tiempo (s eg.) Tiempo (s eg.) 9

10 Muestreo. Teorema de Shannon Una señal que no contenga componentes en frecuencias superiores a ω 0 puede ser reconstruida si se muestrea con una frecuencia mayor de 2ω 0. ω m > 2 ω

11 Muestreo. Aliasing Cuando la frecuencia de Nyquist (ω m /2) es inferior a la frecuencia de la señal muestreada (ω 0 ), se produce el fenómeno conocido como aliasing, según el cual una señal de alta frecuencia es interpretada como una de baja frecuencia

12 Reconstrucción Proceso por el que a partir de una secuencia se construye una señal continua. {x } Bloqueador x(t) El más sencillo y habitual en control es el de orden 0. x( t) = = 0 x( t) ( [ t T ) ( t ( + ) T )] 2

13 Reconstrucción Señal mues treada Señal recons truida Amplitud Amplitud Tiempo (s eg.) Tiempo (seg.) 3

14 Sistemas discretos Son algoritmos que permiten transformar una secuencia en otra: {u } Sistema {y } discreto Nos interesan los lineales, causales, dinámicos e invariantes, que se pueden expresar como ecuaciones en diferencias: y = a y a n y -n + b 0 u b m u -m 4

15 Secuencia de ponderación Para un sistema discreto lineal e invariante, es la secuencia de salida cuando la de entrada es {δ } {δ } = {, 0, 0,...} {δ } Sistema discreto {g } Convolución: { y } = u { g } = g { u } i= i i i= i i 5

16 Estabilidad Un sistema discreto es estable, si ante cualquier secuencia de entrada acotada, la secuencia de salida también está acotada. Condiciones necesarias: {g } acotada Condición necesaria y suficiente: lim g = 0 = g < 6

17 Transformadas de una secuencia Dada una secuencia real {x } / x = 0 para todo < 0, se define su transformada de Laplace como la función: X ( s) = = 0 x, s C Se obtienen funciones periódicas y no racionales e Dada una secuencia real {x } se define su transformada como la función: s X ( ) { x } = x, C = Z = 7

18 Transformada inversa Teorema de los residuos División larga Descomposición en fracciones simples Métodos computacionales Tablas 8

19 Universidad de Oviedo 9 Propiedades de la transformada Linealidad: [ ] [ ] [ ] y x Z y Z x Z + = + β α β α Desplaamiento: [ ] [ ] n n x Z x Z = Convolución: [ ] [ ] [ ] n n n y Z x Z w Z y x w = = = Tma. valor inicial (indice +): ) ( lim 0 X x = Tma. valor final (indice +, y estable): )] ( ) lim[( lim X x x = =

20 Universidad de Oviedo 20 Función de transferencia discreta G() {u } {y } U() Y() n n m m a a b b b U Y G = = ) ( ) ( ) ( 0 ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( 0 U b U b b U Y a Y a Y m m n n = m m n n u b b u u b y a y a y = Dado un sistema discreto lineal, por su ecuación en diferencias: Aplicando transformadas, linealidad y operador desplaamiento: Se define la función de transferencia discreta:

21 Discretiación de reguladores Discretiación de reguladores continuos Aproximación de respuesta temporal. Integración numérica Operador derivada (adelantada y atrasada) Operador integral (adelantada y retrasada) Operador integral (integración trapeoidal). Tustin. Regiones de estabilidad Distorsión de frecuencia (warping) 2

22 Discretiación de reguladores continuos Una ve diseñado un regulador continuo para un proceso, se trata de obtener un regulador discreto que aproxime su funcionamiento. e(t) {e } T C() {u } u(t) B(s) La transformación exacta, = e Ts, no da lugar a expresiones racionales 22

23 Aproximación de la respuesta temporal Igualando la respuesta ante escalón: C ) = Z C( s) s ( C( ) = s ( ) Z C( s) Igualando la respuesta ante rampa. Da resultados más exactos sobre todo en las fases. 23

24 Operador derivada e[(+)t] e[t] e[(-)t] (-)T de( t) e[( + ) T ] e[ T ] = dt T t = T s = T Diferencia adelante T T (+)T de( t) e[ T ] e[( ) T ] = dt T s t = T T = T C ( ) [ C( s) ] s= ) [ C( s) ] T Diferencia atrás C( s= T 24

25 Integral retrasada Aproxima el operador integral (/s) por el sistema discreto obtenido sumando rectángulos, con la entrada retrasada u = Te i = 0 i = u + Te ( ) U( ) = T E( ) T U( ) T T = = E( ) s C( ) [ C( s) ] s= T 25

26 Integral adelantada Aproxima el operador integral (/s) por el sistema discreto obtenido sumando rectángulos, con la entrada adelantada = Tei = u i = 0 u + Te ( ) U( ) = TE( ) T U( ) T T = E( ) s = ) [ C( s) ] C( s= T 26

27 Universidad de Oviedo 27 Integral trapeoidal. Tustin Aproxima el operador integral (/s) por el sistema discreto obtenido sumando trapecios ) ( = e e T u u ) ( ) ( ) ( ) 2( E T U + = s T T E U ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( + = + = T [ ] ) ( ) 2 ( ) ( ) ( + = T s s C C

28 Regiones de estabilidad Euler Tustin C ( ) [ C( s) ] s= ) [ C( s) ] T C( s= T C( ) [ C( s) ] 2 ( s= T (+ ) ) 28

29 Distorsión de frecuencia En las aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencia. Importante al discretiar un paso banda. ω = 2 ωt tan T 2 frequency warping Tiene valores pequeños para valores bajos de ωτ. Se puede corregir el efecto para una frecuencia determinada (frequency prewarping). 29

30 Algoritmo de control Periódicamente (cada período de muestreo) se debe ejecutar el siguiente algoritmo de control: Captura y conversión Analógico-Digital de la señal del proceso (y de la referencia si procede). Cálculo del error (comparación entre la referencia y la señal del proceso). Cálculo de la acción de control. Conversión Digital-Analógica de la acción de control. 30

31 Algoritmo de control. Cálculo de la señal de control A partir del modelo discreto del controlador obtenido bien por discretiación, bien por diseño en el plano, se obtiene directamente la ecuación en diferencias que se implementa en el computador: y m = biu i i= 0 n i= a i y i Existen técnicas de implementación que minimian tanto las necesidades de almacenamiento como los errores en los cálculos 3

32 Algoritmo de control. Estrategias Para conseguir la ejecución periódica del algoritmo de control se pueden plantear dos estrategias: Muestreo Más simple. Absorbe todos los recursos. No puede realiar otras operaciones durante las esperas Interrupción Programación más compleja. Permite realiar otras operaciones entre 2 períodos de muestreo. 32

33 Algoritmo de control. Retardo computacional Ejecución ideal 0 T 2T Ejecución real 0 T 2T t T << T t AD t C t DA t T < T 0 t T = t AD + t C + t DA 33

34 Algoritmo de control. Retardo computacional Para disminuir el retardo entre la captura y la escritura de la señal, conviene minimiar el número de operaciones entre ambas operaciones. Una opción es realiar el precálculo de parte de los valores, al final de un período para tenerlos listos para el siguiente. El algoritmo de control modificado sería: Captura (AD) Cálculo del error Cálculo mínimo (en operaciones) de la acción de control Escritura (DA) Precálculo (con valores disponibles) para próximo período 34

35 Cuantificación en los coeficientes Este error se hace más grande a medida que: aumenta el orden de la función de transferencia, los polos o ceros se aproximan a la circunferencia de radio unidad. Soluciones: Programación en serie Programación en paralelo Programación en escalera 35

36 Cuantificación Al intentar representar un número real con un número finito de bits, se produce un error de cuantificación. Puede ocurrir: En la conversión (A/D y D/A) En los cálculos En los parámetros de la ecuación en diferencias 36

37 Cuantificación AD. Modelo Este error se puede modelar como un ruido con distribución uniforme, de valor máximo: Redondeo q = ±½LSB LSB Truncado q = LSB y desviación típica: σ = 2 LSB 37

38 Cuantificación AD. [Smith-97] 38

39 Cuantificación AD. Ejemplo Rango: 0 V Tarjeta 8 bits ( ) Error sensor: mv (rms) V 255 LSB mv LSB σ sensor = LSB σ A/ D = LSB 0. 29LSB 2 σ = LSB La conversión introduce un incremento del error del 50% 39

40 Cuantificación en los cálculos En sistemas que realicen los cálculos en doble precisión, se dispone de 64 bits, con lo que los errores normalmente serán varios órdenes de magnitud menores que los cometidos en los conversores. Si se trabaja en coma fija, con 6 bits o menos, hay que ser muy cuidadoso pues el resultado de las operaciones puede ser muy sensible a la forma en que se implementen. 40

41 Filtrado de alias Puede producirse aliasing con los ruidos de alta frecuencia que entran a través del captador. Al ser convertidos en ruidos de baja frecuencia por el muestreo, el sistema amplificará sus efectos en lugar de atenuarlos, deteriorando el control. La solución es introducir un filtro analógico, entre captador y muestreador que elimine el ruido. A/D Filtro antialias Captador 4

42 Diseño del filtro Si se conoce el rango de frecuencias del ruido se puede diseñar y colocar el filtro de modo que la atenuación sea suficientemente. Para no perjudicar el MF, el filtro deberá estar al menos una década por encima de la frecuencia de cruce de ganancia. Si no es posible, habrá que tener en cuenta la dinámica del filtro en el diseño del compensador. ω cg ω f =0ω cg 42

43 Elección del período de muestreo La elección del período de muestreo puede ser crítica a la hora de controlar un sistema Un período de muestreo grande hará que el controlador reaccione con lentitud tanto a consigna como a perturbaciones, lo que inestabilia el sistema. Aumenta la sobreoscilación y disminuye el amortiguamiento. Un período de muestreo pequeño provocará una pérdida de tiempo al obligar a calcular la misma acción de control infinidad de veces. 43

44 Elección del período de muestreo Bode (Amplitudes ) ω cg ω f =0ω cg ω s ω m =20ω f Si se coloca filtro antialiasing, se calculará la frecuencia de muestreo como 0 a 20 veces superior a la del filtro, para conseguir una atenuación suficiente antes de muestrear. 44

45 Elección del período de muestreo Cuando no hace falta el filtro antialiasing: A partir de la frecuencia natural del sistema realimentado, (o de la frecuencia de cruce de ganancia, como aproximación), se elegirá la frecuencia de muestreo como veces superior. ω cg ω m =25ω cg 45

46 Ejemplo 46

47 Ejemplo 47

48 Ejemplo 48

49 Implementación. Equipos utiliados. Reguladores industriales (PID s digitales) Autómatas Programables Módulos PID. Funciones PID programadas en ROM + Módulo analógico Algoritmos programados por el usuario + Módulo analógico Ordenadores Industriales Tarjeta AD/DA + Software de Adquisición y Control 49

50 Bibliografía. [ARACIL-8] R. Aracil et al., Sistemas discretos de control. Representación externa. Sección de publicaciones, ETSI Industriales, Universidad Politécnica de Madrid, [ASTROM-88] K.J. Aström et al., Sistemas controlados por computador, Paraninfo, [ASTROM-97] K.J. Aström et al., Computer-Controlled Systems, Prentice Hall, [GOMEZ-98] J. Góme Campomanes, Sistemas digitales de control, Universidad de Oviedo, [HOUPIS-85] C. H. Houpis et al., Digital Control Systems, McGraw Hill, [ISERMANN-89] R. Isermann, Digital Control Systems, Springer Verlag, Berlin, [KUO-03] B.C. Kuo, Sistemas de control digital, CECSA, [LOPEZ-93] H. Lópe, "Control por computador", Universidad de Oviedo, [OGATA-96] K. Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, Prentice Hall,