Frecuencias Naturales en una Máquina de Vibraciones de Dos Dimensiones

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1 Frecuencias Naturales en una Máquina de Vibraciones de Dos Dimensiones "Finalmente se encontró que el dispositivo también sirve para ilustrar en forma sencilla los aspectos prácticos involucrados en la medición de vibraciones y en sistemas de análisis de señales propios de esta área de la ingeniería." - Jose Ignacio Huerta Cardozo, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey El Reto: Este documento presenta el diseño, construcción, instrumentación y pruebas de un dispositivo demostrativo de los fenómenos de vibraciones que puede presentar cualquier maquinaria industrial con restricción de movimiento a dos grados de libertad. La Solución: El dispositivo fue instrumentado con dos acelerómetros. Adicionalmente se le incorporo un sistema de control que permite determinar automáticamente las 2 frecuencias naturales del dispositivo. Autor(es): Jose Ignacio Huerta Cardozo - Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Julián Mauricio Echeverry Mejía - Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Oscar Leonardo Calle Vallejo - Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey I. INTRODUCCIÓN Para propósitos académicos se requiere contar con un dispositivo que ilustre sobre los fenómenos de vibración que experimenta cualquier tipo de maquinaria industrial restringida a moverse con dos grados de libertad. Adicionalmente se busca que el dispositivo muestre los aspectos involucrados en instrumentación, adquisición de datos y control automático de procesos en el área de vibraciones. II. METODOLOGÍA A. Diseño y construcción del dispositivo La figura 1 muestra la configuración más simple posible de un dispositivo con dos grados de libertad de movimiento. Este consiste en dos masas de Nylamic, las cuales poseen dos rodamientos lineales de bolas que deslizan sobre dos barras de acero rectificadas. Se aseguró el paralelismo de las barras para garantizar la libertad de movimiento de las masas y minimizar las pérdidas de energía por fricción. Las masas están unidas entre sí por resortes industriales tipo espiral. El dispositivo incluye un shaker o excitador de vibraciones disponible comercialmente. El shaker provee una fuerza de excitación de hasta 45 N en un rango de frecuencias entre 10 y 20 khz. El tipo de excitación se controla por medio de una señal eléctrica de forma y frecuencia igual al tipo de excitación deseada. Adicionalmente el dispositivo fue instrumentado con dos acelerómetros uni-axiales disponibles comercialmente y un sistema de adquisición de datos y control. Estos sistemas serán descritos posteriormente. B. Modelo analítico La siguiente sección describe el modelo analítico que describe el movimiento de un sistema masa resorte con dos grados de libertad de movimiento, como el ilustrado en la figura 1. 1) Determinación de la constante de los resortes: Para determinar la constante de elasticidad [1] de cada uno de los resortes ( k) se fijó un extremo del resorte a una superficie y se haló el otro extremo con un dinamómetro. Se midió la fuerza de contracción del resorte ante diferentes distancias de elongación del mismo. La figura 2 muestra los resultados obtenidos. La pendiente de la grafica fuerza vs. distancia determina la constante del resorte. Se encontró que los resortes tienen una constante de 2539 N-m. 2) Medición del peso de las masas: Estas se determinaron con una balanza de precisión. Se encontró que cada masa pesa 358 gr. 3) Calculo de las frecuencias naturales. Aplicando la segunda ley de newton a cada una de las masas se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento [2, 3]. Donde: x i k i t F i Posición de la masa i Constante del resorte i tiempo Fuerza i de excitación externa de tipo sinusoidal Para determinar las frecuencias naturales de movimiento se resuelve la parte homogénea del sistema de ecuaciones asumiendo que la respuesta es del tipo [2]: (3) (4) (1) (2) Lea el Caso de Estudio Completo Donde: X i w Constante que depende de las condiciones iníciales Frecuencia Angulo de desfase que depende de las condiciones iníciales Para el caso donde las masas y los resortes son iguales se obtiene: (5) (6) Las frecuencias se conocen como las frecuencias naturales del sistema. Para el presente caso se obtuvo que y. 1/10

2 Para cada una de estas frecuencias se obtiene que la relación de amplitudes r = X 1/X 2 es: (7) r 1 representa el primer modo de vibración donde masas se mueven en forma sincronizada (en fase) y con el mismo desplazamiento. r 2 representa el segundo modo de vibración donde las masas se mueven en sentidos opuestos (desfasadas 180º) C. Instrumentación y control La figura 3 muestra los equipos usados para instrumentar el dispositivo y controlar su operación. 1) Equipo utilizado: Los productos de National Instruments utilizados para instrumentar y controlar la operación del dispositivo fueron: Software NI LabVIEW 8.6 ( Tarjeta de adquisición de datos NI USB-6251 ( Adicionalmente se utilizaron los siguientes equipos, los cuales se encuentran disponibles en el Laboratorio de Ingeniería Automotriz del Tecnológico de Monterrey. Acelerómetros uniaxiales utilizados para medir la aceleración de las masas. Fuente de alimentación y acondicionador de señales para los acelerómetros. Generador de vibraciones utilizado para excitar el sistema. Acondicionador de señal que alimenta el generador de vibraciones. Este equipo recibe la señal de salida de la tarjeta de adquisición de datos. 2) Diagrama de funcionamiento: La figura 4 muestra el diagrama de conexiones del sistema instrumental y de control. El sistema está compuesto por las siguientes fases: Transducción de las señales físicas, la cual se realiza por medio de los acelerómetros dispuestos en las masas y del acondicionador de señales. Digitalización de las señales, la cual se realiza por medio de la tarjeta de adquisición de datos NI USB Control, la cual se realiza por medio de un PC y del software LabVIEW 8.6. En esta fase se interpreta la información entregada por las señales de los acelerómetros, se analiza y entrega una señal de retroalimentación. En este caso la señal de retroalimentación consiste en una señal análoga de frecuencia variable. Retroalimentación donde la señal análoga pasa por un amplificador y acondicionamiento y se entrega al shaker El proceso se retroalimenta hasta encontrar las frecuencias naturales del proceso. Esta se determina cuando el sistema alcanza la máxima amplitud de vibración. De acuerdo a las ecuaciones 7 y 8 la primera frecuencia se determina cuando las señales de los acelerómetros están en fase y la segunda cuando están desfasadas 180º 3) Diagrama de control: La figura 5 muestra el diagrama de control. En primer lugar se fija el set-point (10Hz) y se calcula la nueva frecuencia que alimentará el sistema por medio de la retroalimentación y el error generado (). Luego se aplica un filtro pasa-bajas de 30Hz para evitar señales de ruido que puedan afectar los cálculos ( ) y se toman cuatro períodos de la señal con el fin de obtener más información al analizar el siguiente intervalo de tiempo (ƒ). A continuación se separan las señales y se utilizan el valor RMS de cada señal (m) y el valor RMS de su suma ( o) para tomar la decisión de control ( r). El RMS de una señal representa el valor efectivo de la misma, por lo tanto permite hacer una comparación entre señales independientemente de la forma de onda de la señal [4]. Para ello se usan dos variables de control: Por amplitud: Para ambas frecuencias naturales la relación entre la amplitud de la aceleración de la masa 1 y la masa2 debe ser 1 (n). Por fase: Para la primera frecuencia natural las señales de aceleración de las dos masas están en fase, esto quiere decir que, la relación entre el RMS de las suma de las señales (o) y la suma de las RMS (p) de las señales debe ser 1 (q). En la segunda frecuencia natural las señales de aceleración están desfasadas 180º, es decir, la relación entre el RMS de las suma de las señales (o) y la suma de los RMS de las señales (p) debe ser 0 (q). 4) Diagrama de flujo: En el diagrama de control (fig.5) se muestra un bloque de toma de decisión (r) con un error máximo de 20%, esto quiere decir que: La relación entre amplitudes debe ser al menos mayor al 85%. La relación entre fases para la primera frecuencia natural debe ser mayor al 80%. La relación entre fases para la segunda frecuencia natural debe ser menor al 15%. La figura 6 presenta el diagrama de flujo con las condiciones descritas anteriormente. 5) Implementación en Software: Con ayuda de la herramienta LabVIEW y sus módulos de adquisición de datos [5] se desarrolla el control autónomo retroalimentado para encontrar las frecuencias naturales de una maquina de vibraciones en 2D, la figura 7 muestra el diagrama de bloques y la figura 8 el panel frontal La figura 9 y 10 esquematizan la aceleración registrada para las masas en cada una de las frecuencias naturales. Se observa que en el primer modo de vibración las aceleraciones están en fase, mientras que en el segundo modo están desfasadas 180º. Adicionalmente se observa que en los dos modos de vibración las amplitudes son iguales, lo cual concuerda con lo estimado por el modelo analítico. Finalmente se encontró que las frecuencias naturales medidas por el sistema instrumental y de control implementado se aproximan a la respuesta analítica del sistema, con un error menor al 10%. El error relativo respecto a la primera frecuencia fue de 4.5% y respecto a la segunda frecuencia fue de 9.6%. Estos errores se pueden disminuir mejorando la resolución del sistema de control e incorporando dentro del modelo analítico las pérdidas de energía por fricción en los rodamientos. IV. CONCLUSIONES Con propósitos didácticos se diseñó y construyó un dispositivo de vibraciones mecánicas con dos grados de libertad de movimiento. El dispositivo fue instrumentado con acelerómetros. Adicionalmente se implementó un sistema de control que permite determinar automáticamente estas frecuencias naturales. El dispositivo fue probado para el caso de masas iguales y resortes iguales. Se usó un modelo analítico para estimar las frecuencias naturales. Se encontró que los valores reportados por el sistema instrumental del dispositivo y el hallado mediante el modelo analítico son similares. El error relativo es menor al 10%. Finalmente se encontró que el dispositivo también sirve para ilustrar en forma sencilla los aspectos prácticos involucrados en la medición de vibraciones y en sistemas de análisis de señales propios de esta área de la ingeniería. Información del Autor: Jose Ignacio Huerta Cardozo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Eduardo Monroy Cárdenas No Toluca México Tel: (722) Ext jhuertas@itesm.mx (mailto:jhuertas@itesm.mx) (8) 2/10

3 Figura 1. Dispositivo de vibraciones con dos grados de libertad de movimiento. Figura 2. Determinación de la constante de los resortes. 3/10

4 Figura 3. Instrumentación del dispositivo de vibraciones en 2D. 4/10

5 Figura 4. Diagrama de bloques del sistema de control de operación del dispositivo de vibraciones en 2D. 5/10

6 Figura 5. Diagrama de control del dispositivo de vibraciones en 2D. 6/10

7 Figura 6. Diagrama de flujo. 7/10

8 Figura 7. Diagrama de Bloques. Figura 8. Panel Frontal. 8/10

9 Figura 9. Respuesta del controlador primera frecuencia natural. 9/10

10 Figura 10. Respuesta del controlador segunda frecuencia natural. Legal Este caso de estudio (este "caso de estudio") fue desarrollado por un cliente de National Instruments ("NI"). ESTE CASO DE ESTUDIO ES PROPORCIONADO "COMO ES" SIN GARANTÍA DE NINGUN TIPO Y SUJETO A CIERTAS RESTRICCIONES QUE SE EXPONEN EN LOS TÉRMINOS DE USO EN NI.COM. 10/10