DETERMINACIÓN DE COEFICIENTES DE DISEÑO Y TRAYECTORIAS DE AGRIETAMIENTO DE LOSAS AISLADAS CIRCULARES, ELÍPTICAS Y TRIANGULARES

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1 Congress on Numerical Methods in Engineering Coimbra, 4 to 7 June, APMTAC, Portugal, DETERMINACIÓN DE COEFICIENTES DE DISEÑO Y TRAYECTORIAS DE AGRIETAMIENTO DE LOSAS AISLADAS CIRCULARES, ELÍPTICAS Y TRIANGULARES Omar Caballero *, Gelacio Juárez y Juan A. Casillas Departamento de Materiales Universidad Autónoma Metropolitana Universidad Av. San Pablo 8, Col. Reynosa Tamaulipas, Azcapotzalco, México D.F., caballerog@gmail.com,{ gjl, 3 jcgl}@correo.azc.uam.mx, web: Palabras clave: Modelo de daño, plasticidad, losa, coeficientes de diseño, refuerzo Resumen Se determina mediante la mecánica del daño los coeficientes de diseño y patrones de agrietamiento de losas circulares, elípticas y triangulares. Los reglamentos actuales de diseño generalmente consideran el análisis y diseño de losas rectangulares mediante coeficientes, sin embargo, existen otras geometrías diferentes que requieren de recomendaciones para su diseño. Es importante que las losas de geometría irregular se analicen con procedimientos que aporten información suficiente sobre distribución de momentos y patrones de agrietamiento en su rango inelástico para determinar el peralte y la distribución del refuerzo. En este trabajo se utilizó el método de los elementos finitos para la simulación numérica del comportamiento no lineal del concreto reforzado; se utilizó un modelo continuo de daño para representar el comportamiento del concreto y un modelo bilineal de Von Misses para el comportamiento del acero de refuerzo. Los coeficientes de diseño obtenidos constituyen una base en la reglamentación para el análisis y diseño de losas irregulares.

2 INTRODUCCIÓN Los sistemas de piso son de los subsistemas estructurales más antiguos y utilizados por la humanidad, pues se le ha dado diversos usos en la mayoría de las construcciones existentes. La gran aceptación que tienen estos elementos como parte de un sistema estructural, se debe a las ventajas que presenta en cuanto a la transferencia de cargas verticales y horizontales. La geometría de sistemas de piso en estructuras de concreto y mampostería básicamente contemplan las formas rectangulares. Sin embargo, conforme aumentan las demandas de urbanización y de optimización de espacio arquitectónico surge la necesidad de crear edificaciones con geometrías irregulares en planta. Mientras que las losas de geometría rectangular presentan métodos de análisis elásticos, o bien utilizando coeficientes para su diseño, las losas no rectangulares se caracterizan por no presentar formas comunes de estructuración (Figura ) y mostrar incertidumbres en cuanto a su comportamiento estructural. Figura. Geometrías irregulares ANTECEDENTES Para el análisis de losas rectangulares, [] propusieron una metodología con base en la teoría de la elasticidad, en pruebas realizadas a losas apoyadas perimetralmente y a una redistribución de esfuerzos dependientes de la redistribución de rigideces, estos autores consideraron dos variables elementales: las condiciones de apoyo y el tipo de carga. Posteriormente, el Comité del ACI realizó modificaciones en 94 a las propuestas realizadas por [], extendiendo el método de análisis para cubrir todas las posibles combinaciones de paneles en un sistema de piso. Esto llevó a un cambio en los coeficientes de diseño; como Westergaard los presentaba directamente para cada uno de los paneles definidos antes mencionados; el comité tomaba en cuenta las condiciones de forma y de apoyo adyacentes al panel en cuestión. El Comité propuso una tabla de coeficientes para momento positivo en el centro del claro y momento negativo en los bordes, ya sean continuos o discontinuos. Con transcurso del tiempo, se realizaron modificaciones por el Comité a los métodos de

3 diseño propuestos por [], los cuales se ampliaron para incluir las condiciones de losa simplemente apoyada a sus soportes y sus correspondientes condiciones de refuerzo. [3] desarrolló un procedimiento aproximado mediante el cual, los momentos máximos elásticos en una placa apoyada en vigas rígidas se pueden determinar tomando como base el análisis de una franja de losa y obteniendo factores de reducción para corregir los momentos obtenidos. Marcus realizó cuatro tablas de coeficientes de momentos, los cuales brindan valores para la distribución del panel de carga en dos direcciones, la evaluación de momentos negativos en bordes continuos y positivos para la mitad del centro del claro. [4] proponen un método de diseño para losas en dos direcciones, resultado de estudios analíticos extensos realizados por los autores mediante un proceso de distribución de momentos. Utilizando el procedimiento de distribución de momentos como una herramienta de análisis, se estudiaron diferentes placas continuas con el fin de verificar los efectos relativos de las variables que influyen en el desarrollo de momentos en losas soportadas por vigas rígidas. Para determinar los coeficientes de momentos en losas rectangulares, como los que se tienen tabulados en los reglamentos actuales de diseño, se han realizado calibraciones con pruebas de laboratorio como los de [5], [6], [7], [8], [9], [], []y [] entre otros. Es de interés señalar que la teoría antes mencionada es la base de las investigaciones y aplicaciones que se realizan en el análisis y diseño de losas rectangulares actualmente. Sin embargo, después de revisar normatividades vigentes de diseño de losas como el ACI [3], Eurocódigo [4], y el Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal [5] y sus Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto [6], se encontró que no existen recomendaciones para el análisis y diseño de losas no rectangulares. Por lo anterior, este trabajo tiene por objetivo determinar, mediante la mecánica del daño, los coeficientes de diseño para losas con geometría circular, triangular y elipsoidal. 3 MODELOS CONSTITUTIVOS 3. Concreto Los ejemplos numéricos en este artículo considera que el concreto presentan ablandamiento por deformación, como el mostrado en la figura, el cual se representa con un modelo de daño como el de [7] definido como: 3

4 r d r Energía libre, ( ) Ecuación constitutiva ( d ) C : Variable de Daño d r ; q r, d, Ley de evolución Criterio de Daño q r rr, r r r t y E q, r f(, q) q : C : q; q r t g(, r) r : C: r; d d Regla de endurecimiento q H r r; H r q r Condiciones de f ; ; f ; f carga-descarga () donde la variable de daño d se define en términos de la variable de endurecimiento/ablandamiento q, la cual es dependiente del parámetro de endurecimiento/ablandamiento H. El multiplicador de daño λ determina las condiciones de carga-descarga, la función f(τ σ,q) limita el dominio elástico que define la superficie de daño en el espacio de esfuerzos. El valor r es el valor umbral que limita el dominio elástico inicial. u D C C T D T (-d)c Figura Comportamiento del material con ablandamiento Del modelo definido en la ec. () es posible obtener la ecuación constitutiva tangente en términos incrementales para casos de carga como: T C : () donde el operador constitutivo tangente C T, para el rango de carga no lineal se define como T q Hr C d C 3 C: C (3) r 4

5 y para el caso de carga elástica y descarga: C T d C (4) 3. Acero de refuerzo El acero de refuerzo se modelo con un modelo de plasticidad de von Mises, considerando un comportamiento bilineal, el cual se define en la siguiente ecuación: Energía libre e e e e p, r : C : Ecuación constitutiva e C : Regla de flujo p f Ley de evolución Hq ( ) ;, Criterio de fluencia f(, q) ( ) q Regla de endurecimiento/ ablandamiento Condiciones de carga-descarga e p q m p q q H f ; ; f ; y p (5) 4 CALIBRACIÓN Para validar el uso de los modelos de daño y de plasticidad, definidos respectivamente en las ecs. () y (5), se realizó el modelo de uno de los especímenes realizado por []. El espécimen consiste de una losa de.89x.89 m y.44 m de espesor, en el que se aplica únicamente cargas verticales, ver Figura 3a. Cada carga vertical se aplicó sobre cuatro gatos y distribuida sobre 6 placas de distribución de carga mediante cuatro arboles de carga como se muestra en la Figura 3b. Cada placa de distribución se centró sobre los huecos del espécimen de la losa. Las placas de distribución de cargas eran cuadradas de.38 m por lado y de.54 m de ancho. Cada placa tenía un asiento esférico cóncavo para una junta esférica cóncava. El concreto tiene un módulo elástico E c =9.9 GPa y resistencia a compresión es de 3.6 MPa, el acero de refuerzo tiene un módulo elástico E a =6 GPa y un esfuerzo de fluencia σ y =33.95 MPa. 5

6 a) b) Figura 3. a) Modelo geométrico de experimento y b) cargas en el experimento El sistema de losa y vigas perimetrales presentan acero negativo y positivo para soportar una carga uniformemente distribuida de 7.8 kpa. La distribución del acero de refuerzo de la losa se muestra en la Figura 4a y el de las trabes en la Figura 4b. 4 No. 7.6 cm 48.6 cm 4# 6#3@.95 cm Acero superior 5.4 cm 3.58 cm.79 cm 3.54 cm # # 6#3@.95 cm Acero inferior 5.8cm 4# cm 5.4 cm 3 No. 3 No cm 57.5 cm 7.6cm 6.35cm 3# a) b) Figura 4. Acero de refuerzo del espécimen: a) losa y b) trabes 6

7 El análisis no lineal de esta losa se realizó considerando la simetría del espécimen. La malla del refuerzo se muestra en la Figura 5a), la malla de la losa con el acero embebido se muestra en la Figura 5b), los nodos del acero de refuerzo coinciden con los nodos de los elementos sólidos. a) Figura 5. Malla elementos finitos a) acero y b) concreto b) En la Figura 6 se muestra la comparación el desplazamiento en el centro de la losa y la carga de la prueba experimental y la obtenida con el, se puede observar que la trayectoria ab coinciden los resultados, sin embargo, en la trayectoria bc se observa una recuperación del desplazamiento, el cual se puede atribuir a un corrimiento de los elementos de medición, pues al incrementarse la carga difícilmente se recuperaría el desplazamiento. En el punto d se muestra una intersección de ambas curvas. Finalmente, en la Figura 7 se presenta la evolución del agrietamiento, la cual es consistente con los resultados experimentales. 6 Carga (KN) c b a d Experimental d(cm) Figura 6.Carga contra desplazamiento al centro 7

8 a) b) Figura 7. Evolución del agrietamiento: a) inicio y b) final 5 EJEMPLOS NUMÉRICOS En los ejemplos elástico se utilizó un módulo elástico equivalente de concreto reforzado E=.673 GPa, relación de Poisson de.5. En los modelos no lineales se utilizó para el concreto un módulo elástico E c =7, MPa, relación de Poison =., esfuerzo último a tensión σ ut = 4.93 MPa y a compresión σ uc =4.57 MPa, y para el acero un módulo elástico E a =.5x 5 MPa, relación de Poison ν=.3, esfuerzo de fluencia σ ut =4 MPa. 5. Losas circular La obtención de coeficientes de diseño de la sección circular se realizó mediante cuatro modelos numéricos, los cuales presentan cambios tanto en dimensión como en tipo de apoyo; se realizó el análisis de losas simplemente apoyadas y empotradas en sus bordes, con radio r = m y r = m. A partir de la distribución de momentos mostrada en la Figura 8 se identificaron las zonas de momento negativo en la placa circular, teniendo que la longitud del acero superior es l neg =r/. 8

9 Lneg Figura 8 Longitud L neg que indica la zona de momentos negativos en placas circulares. Al definir la zona de momento negativo, la configuración del acero que muestra la Figura 9a presenta dificultades en la construcción, por lo que se sugiere una distribución del acero de refuerzo como la mostrada en la Figura 9b. Lneg Límite entre M+ y M- Acero M+ Acero M- a) Figura 9 Configuración del acero de refuerzo en una losa circular Una vez obtenidos los coeficiente con los con el se compararon con soluciones exactas, como se muestra en la Figura. b) 9

10 Omar Caballero, Gelacio Juárez * y Juan A. Casillas..8 M M a) b) Figura. Coeficientes para losas circulares: a) simplemente apoyados y b) empotrados. La obtención y comparación entre los diversos coeficientes con los diferentes métodos de análisis descritos en este trabajo se resume en la Tabla. Condición Apoyado Empotrado Coeficientes (M/qr ) Radio( SOLI SH m) DOS ELL Tabla Comparación entre soluciones para una placa circular ante distintas condiciones de apoyo El análisis no lineal de esta losa se realizó considerando la simetría de una losa circular con

11 radio r= m, espesor de. m y un recubrimiento para ambos lechos de acero de.5m. La malla del refuerzo se muestra en la Figura a), la cual está formada por varillas del número 8 a cada. m, la malla de la losa con el acero embebido se muestra en la Figura b), los nodos del acero de refuerzo coinciden con los nodos de los elementos sólidos. Las curvas de la variación de la carga distribuida con respecto al desplazamiento en el centro de la losa se muestran en la Figura, donde se observa que los apoyos en el perímetro de la losa influyen en el desplazamiento vertical en el centro. a) Figura. Malla elementos finitos a) acero y b) concreto b) w (KPa) d (cm) a) w (KPa) d (cm).5..5 b) Figura. Curva desplazamiento al centro contra carga distribuida: a) losa simplemente apoyada y b) empotrada El agrietamiento en losas circulares inicia en el centro de la losa y se propaga concéntricamente hacia los apoyos, como se muestra en la Figura 3. Trayectorias de agrietamiento en losas circulares: a) inicio al centro y b) propagación concéntrica.

12 a) b) Figura 3. Trayectorias de agrietamiento en losas circulares: a) inicio al centro y b) propagación concéntrica. Los momentos M x y M y se obtuvieron de los modelos realizados con elementos sólidos mediante las ecuaciones siguientes: M M Donde: σ= Esfuerzo en la dirección normal. z= Eje de referencia a lo largo del peralte de la losa. t= Peralte de la losa. t x t x zdz (.6) t y t y zdz (.7) Para obtener el coeficiente de diseño de las losas se toman los valores de esfuerzo de los elementos sólidos como se muestra en la Figura 4 y se obtienen en cada punto. t Figura 4 Configuración de esfuerzos en elementos sólidos

13 5. Losa elíptica La obtención de coeficientes de diseño de la sección elíptica se realizó mediante varios modelos numéricos, los cuales presentan variaciones en dimensión como en tipo de apoyo; se realizó el análisis de losas simplemente apoyadas y empotradas en sus bordes, con lado mayor a = 4 m y variando la relación b/a=.5,.6,.7,.8 y.9. A partir de la distribución de momentos mostrada en la Figura 5 se identificaron las zonas de momento negativo en la placa circular, teniendo que la longitud del acero superior es en el lado largo l neg =a/3 y en el lado corto l neg =b/3. b a 3 a 3 a) b) b Figura 5. Longitudes de momento negativo en elipses en condición de empotramiento: a) M y b) M A partir de la distribución de momentos, mostrada en la Figura 5, se propone el armado mostrado en la Figura 6, en el que en la zona central se tiene sólo acero en el lecho inferior, y en la zona externa, delimitada por la línea punteada, se tiene acero en la parte superior e inferior. Figura 6. Configuración de acero de refuerzo en elipse en condición de empotramiento La comparación entre coeficientes obtenidos mediante las soluciones exactas y el para placas elipsoidales se muestra en la Figura 7. 3

14 M/qb x m y.5 m M/qb x m.5 y.6 m M/qb x m y.7 m 4

15 M/qb M/qb Omar Caballero, Gelacio Juárez * y Juan A. Casillas x m y.8 m M/qb x m y.9 m Figura 7 Coeficientes para placas elipsoidales con condiciones de apoyo empotrado para distintas relaciones a/b x m y =.5 m 5

16 Omar Caballero, Gelacio Juárez * y Juan A. Casillas M/qb x m y = M/qb x m y=.7 m M/qb x m y=.8 m 6

17 M/qb x m y=.9 m Figura 8. Coeficientes para placas elipsoidales. Con los datos obtenidos de las figuras anteriores se observa que la solución numérica se aproxima con la solución exacta y que los coeficientes de diseño tanto en la dirección x como en y, varían en menor proporción conforme aumenta la relación a/b. El agrietamiento en losas elípticas inicia al centro y se extiende en forma concéntrica hacia los bordes. 5.3 Losa triangular La obtención de coeficientes de diseño de la sección triangular se realizó mediante modelos numéricos, los cuales tiene de altura a=4 m y de base a/ 3. Se consideró los casos que estas losas con geometría triangular están simplemente apoyadas y empotradas. En la Figura 9 demuestran las longitudes correspondientes al momento negativo, y en la Figura el armado del acero propuesto. a a 3 a) a 3 a 7 b) Figura 9. Longitudes de momento negativo en triangulo en condición de empotramiento: a) M y b) M 7

18 Figura.Configuración de acero de refuerzo en losa triangular en condición de empotramiento Una vez establecidos los momentos derivados del análisis aproximado, se comparan los resultados obtenidos con respecto a las soluciones exactas, ver Figura Eje X.4.6 Modelo Modelo Eje X 8

19 Modelo 3 Modelo 4 Figura. Comparación entre coeficientes para placas triangulares con: a) apoyos simples y b) apoyos empotrados 6 CONCLUSIONES De este trabajo se puede concluir lo siguiente: Se observa una buena aproximación del resultado experimental con el resultado numérico utilizando el. Como era de esperar, el desplazamiento está relacionado con las condiciones de apoyo de las losas, pues se observó que estos desplazamientos son mucho mayores cuando las losas están simplemente apoyadas en sus bordes. El agrietamiento en estas losas inician en la parte inferior del centro de las losas, donde la magnitud de los momentos y los desplazamientos son máximos, el cual se propaga en forma concéntrica. REFERENCIAS [] H.M. Westergaard y W.A. Slater, "Moments and Stresses in Slabs", ACI Journal, V. 7, No., pp (9). [] J. Di Stasio and M.P Van Buren (936), Slabs Supported on Four Sides, ACI Journal, Vol. 3, United States. [3] H. Marcus (99), Die vereinfachte Berechnung biegsamer Platten, Julius Springer, Berlín. [4] N.M. Newmark and C. P. Siess, "Proposed Design Specifications for Two-Way Floor Slabs ACI Journal, Vol. 46, (95). [5] C. Bach and O. Graf, Versuche mit allseitig aufliegenden, quadratischen and rechteckigen eisenbetonplatten, I Deutscher Ausschuss für Elsenbeton, V. 3, Berlin, (95). [6] G.T. Mayes, M. A. Sozen, and C. P. Siess, Tests on a Quarter-Scale Model of a 9

20 Multiple-Panel Reinforced Concrete Flat Plate Floor, Structural Research Series No. 8, Dept. of Civil Engineering, Univ. of Illinois, (959). [7] D.S. Hatcher, M. A. Sozen, and C. P. Siess, An experimental study of a reinforced concrete flat slab fioor, Structural Research Series No., Dept. of Civil Engineering, Univ. of Illinois, (96). [8] D.S. Hatcher, M.A. Sozen, and C. P. Siess, A study of tests-on a flat plate and a flat slab, Structural Research Series No. 7, Dept. of Civil Engineering, Univ. of Illinois, (96). [9] W.L. Gamble, M.A. Sozen, and C. P. Siess, An Experimental Study of a Two-Way Floor Slab," Structural Research Series No., Dept. of Civil Engineering, Univ. of Illinois, (96). [] M.D. Vanderbilt, M. A. Sozen, and C. P. Siess, An Experimental Study of a Reinforced Concrete Two-Way Floor Slab with Flexible Beams, Structural Research Series No. 8, Dept. of Civil Engineering, Univ. of Illinois, (96). [] A.G. Girolami, M. A. Sozen, and W.L. Gamble, Flexural istrength of reinforced concrete slabs with externally applied in-plan e forces, Structural Research Series No. 369, Dept. of Civil Engineering, Univ. of Illinois, (97). [] J.O. Jirsa, M. A. Sozen, and C. P. Siess, An experimental study of a flat slab floor reinforced with welded wire fabric, Structural Research Series No. 48, Dept. of Civil Engineering, Univ. of Illinois, (96). [3] ACI, Building code requirements for structural concrete and commentary (ACI38-8), American Concrete Institute, (8). [4] EN 99, Eurocode : Design of concrete structures. Part : General Rules and Rules for Buildings, BSI (99). [5] Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal (RCDF-4). Gaceta Oficial del Distrito Federal. [6] Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto (NTCDCEC-4) del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal. Gaceta Oficial del Distrito Federal. [7] J.C. Simo and J. Ju, Strain- and stress-based continuum damage models Part I: formulation, Int. J. Solids & Struct. Vol. 3, No. 7, pp. 8-84, (987).