LAB. 4: ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA COLUMNA DE AIRE

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1 LAB. 4: ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA COLUMNA DE AIRE EDGAR MANUEL RODRIGUEZ COD LABORATORIO DE FISICA III UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS LIC. MATEMÁTICAS & FÍSICA PEREIRA

2 1. RESUMEN En este informe se describe cómo funcionan un tubo sonoro desde el punto de vista acústico, es decir, cómo se comportan sus columnas de aire dentro del mismo. La columna gaseosa al ser convenientemente excitada es capaz de producir sonido. El cuerpo sonoro es la columna gaseosa, y no el tubo que la contiene; en efecto, el tubo tiene la importante función de definir la forma de la columna pero fuera de esto, influye relativamente poco sobre los fenómenos sonoros. Los tubos sonoros pueden ser cerrados, es decir, que poseen una sola abertura y tubos abiertos, que poseen dos o más. Trataré de calcular con un mínimo de incertidumbre las frecuencias de vibración para los modos respectivos y evidenciar cómo la velocidad del sonido depende de la temperatura del medio. Las columnas de aire contenidas en los tubos sonoros se comportan, como cuerdas musicales, por lo tanto las columnas de aire vibrantes poseen nodos, o sea puntos donde la vibración es nula, y vientres, equidistantes de los anteriores, donde la vibración alcanza su máxima amplitud. La vibración de las columnas de aire es longitudinal; los nodos serán por tanto, puntos de condensación y los vientres puntos de dilatación o rarefacción; en los extremos cerrados siempre se producen nodos y en los extremos abiertos generalmente se producen vientres. El punto de excitación no puede ser un nodo, pero no necesita ser un vientre, pudiendo estar en un punto intermedio. Una columna de aire puede vibrar con toda su longitud o dividida en segmentos iguales lo mismo que las cuerdas; en el primer caso se obtiene el sonido llamado fundamental, y en los otros los armónicos segundo, si la columna vibra dividida en mitades; tercero, si vibra en tercios, etc. Tomando como punto de partida el que en los extremos de un tubo abierto, sólo pueden haber vientres de vibración, el tubo producirá su fundamental cuando vibre con un nodo único en su centro. Cuando el tubo produce su segundo armónico, producirá dos nodos y tres vientres; cuando produce su tercer amónico, producirá tres nodos y 4 vientres, y así sucesivamente. En los Tubos Cerrados, la onda se forma con un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el extremo abierto. A igualdad de longitud de tubo, el tubo abierto produce un sonido de frecuencia doble que el cerrado. Los tubos abiertos emiten la serie completa de armónicos correspondientes a su longitud, mientras que los cerrados, emiten sólo los armónicos de orden impar. Estos aspectos también serán tratados en la presente práctica. SUMMARY

3 This report describes how tubes sound from the acoustic point of view, that is, how they behave columns of air within it. Column to be conveniently excited gas is able to produce sound. The sound body is the gas column, not the tube that contains, in effect, the tube has an important role in defining the shape of the column but otherwise, relatively little influence on sound phenomena. The sound tube may be closed; they have a single opening and open tubes, which possess two or more. Try to calculate an uncertainty minimum vibration frequency for the respective modes and demonstrate how the speed of sound depends on the temperature of the medium. The columns of air contained in the sound components behave as musical strings, so the vibrating air columns have nodes, ie points where the vibration is zero, and bellies, equidistant from the previous ones, where the vibration reaches its maximum amplitude. The vibration of the air columns is longitudinal, the nodes will therefore dew points and antinodes dilation or rarefaction points, in the closed ends and nodes always occur at the open ends are generally produced bellies. The excitation point can not be a node, but need not be a stomach, and may be at an intermediate point. A column of air may vibrate with full length or divided into equal segments the same as the strings in the first case one obtains the sound called fundamental and second harmonic other, if the column vibrates divided into halves, third, if it vibrates into thirds, etc. Taking as its starting point at the ends of an open tube, can only have bellies of vibration, the tube will produce its key vibrate when a single node at its center. When the tube produces its second harmonic, produce two nodes and three sows, when producing a third ammonium produce three nodes and four bellies, and so on. In closed tubes, the wave is formed with a node at the closed end and an open end belly. A tube equal length, the open tube produces a double frequency sound that closed. The open tubes emit the full set of harmonics corresponding to its length, while the closed emit only odd order harmonics. These aspects will also be covered by this practice.

4 2. INTRODUCCIÓN Cuando se produce una perturbación periódica en el aire, se originan ondas sonoras longitudinales. Por ejemplo, si se golpea un diapasón con un martillo, las ramas vibratorias emiten ondas longitudinales. El oído, que actúa como receptor de estas ondas periódicas, las interpreta como sonido. El comportamiento de estas ondas sonoras, es lo que estudiaremos en este laboratorio, la propagación de estas ondas sonoras en el interior de un tubo abierto y de un tubo cerrado y la forma en que estas se superponen dentro de los mismos para dar lugar a un patrón de ondas estacionarias. 3. OBJETIVOS 3.1 Identificar los distintos modos de vibración de las columnas de aire en un tubo abierto y en un tubo cerrado. 3.2 Medir la velocidad del sonido en el aire. 4. MARCO TEORICO Si las ondas armónicas se combinan en determinado medio y tienen la misma frecuencia y longitud de onda, se encuentra que la resultante posee un patrón estacionario, denominado onda estacionaria. 4.1 Tubos abiertos: Si un tubo es abierto, el aire vibra con su máxima amplitud en los extremos. En la figura, se representan los tres primeros modos de vibración.

5 La distancia entre dos nodos o entre dos vientres es media longitud de onda. Si la longitud del tubo es L, tenemos que: L=l /2, L=l, L=3l /2,... En general L=n (l /2), n=1, 2, 3... Un número entero. (Patrones de ondas estacionarias correspondientes a ondas de presión en un tubo abierto en los dos extremos) Considerando que l =v s /f (velocidad del sonido dividido la frecuencia) Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula 4.2 Tubos cerrados:

6 Si el tubo es cerrado se origina un vientre en el extremo por donde penetra el aire y un nodo en el extremo cerrado. Como la distancia entre un vientre y un nodo consecutivo es l /4. La longitud L del tubo es en las figuras representadas L=l /4, L=3l /4, L=5l /4... En general L= (2n+1) l /4; con n = 0, 1, 2, 3,... (Patrones de ondas estacionarias correspondientes a ondas de presión en un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro) Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula

7 4.3 LEYES DE BERNOULLI Las fórmulas obtenidas explican las denominadas leyes de Bernoulli: La frecuencia del sonido en un tubo es: 1. Directamente proporcional a la velocidad del sonido v s en el gas que contiene el tubo, 2. Inversamente proporcional a la longitud del tubo L, 3. En un tubo abierto, se puede producir el sonido que corresponde a la frecuencia fundamental (n=1) y sus armónicos (n=2, 3, 4,...) 4. En un tubo cerrado, se puede producir el sonido que corresponde a la frecuencia fundamental y los armónicos impares (2n+1=3, 5, 7,...). 5. En dos tubos idénticos y con el mismo gas, uno abierto y otro cerrado, el abierto produce un sonido cuya frecuencia (fundamental) es el doble que la del cerrado. 5. MATERIALES Y EQUIPOS 1. Generador de señales. 2. Parlante. 3. Tubo de resonancia de acrílico. 4. Embolo móvil.

8 5. Amplificador y micrófono. 6. Osciloscopio. 6. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL PRECAUCION: Trabajar a frecuencia máxima de 1600 Hz. 6.1 FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE UN TUBO ABIERTO 1. Mida la temperatura en el laboratorio usando el termómetro de pared disponible. Anote el valor medido. 2. Monte el equipo como se muestra en la imagen anterior. Coloque el generador de señales en el modo sinusoidal, con la frecuencia de salida en la escala de 1 khz, con el dial en 0 Hz. conecte esta señal al canal CH1 del osciloscopio. Coloque la velocidad de barrido en 1 ms/div y la ganancia en el canal uno en 5 V/div. Verifique que las perillas de calibración estén giradas completamente a la derecha. Aumente levemente la frecuencia y observe la señal. 3. Coloque el micrófono aproximadamente en la mitad del tubo. El amplificador conéctelo al canal CH2 y actívelo. Ajuste la amplitud del generador hasta que pueda distinguir el sonido proveniente del parlante. Varíe la frecuencia lentamente a partir de cero hasta que observe el efecto de resonancia entre las dos señales. La condición de resonancia se observa cuando la señal del micrófono es muy similar a la proveniente del generador y además tiene una amplitud máxima. 4. Tenga en cuenta que debido al ruido del laboratorio, es difícil encontrar el primer armónico. Si no lo encuentra, intente con el siguiente armónico. Utilice la perilla trigger del osciloscopio para estabilizar la señal de salida del micrófono, si es necesario. Deduzca, comparando la frecuencia encontrada con la dada por la teoría, si la primera corresponde al armónico fundamental o a otro armónico. 5. Una vez hallada la frecuencia de resonancia, active el modo XY del osciloscopio; su efecto es independizar las señales del tiempo, para observar la figura de Lissajous que se forma al superponerlas. Qué figura espera observar si hay resonancia entre las dos señales? 6. Desactive el modo XY y mida en el osciloscopio la frecuencia proveniente del generador. Esta es la frecuencia f 0, correspondiente al modo

9 fundamental ( Hz) o al armónico encontrado. Verifique que es el armónico más bajo que es capaz de medir. 7. Eleve lentamente la frecuencia hasta que encuentre nuevas resonancias procediendo de la misma forma que en los pasos anteriores. Estas serán las frecuencias correspondientes a los armónicos superiores al fundamental. Encuentre al menos cinco frecuencias de resonancia. Tenga en cuenta mover el micrófono hasta las posiciones donde se esperan observar los máximos de presión para cada armónico. Para guiarse observe la figura de los patrones de ondas estacionarias correspondientes a ondas de presión en un tubo abierto en los dos extremos (sección 4.1). Registre los resultados en una tabla. 8. Para observar el patrón de la onda estacionaria, retire el micrófono lentamente y observe en la pantalla de osciloscopio la señal correspondiente a éste. Corresponde lo observado con lo que espera de acuerdo a los patrones de ondas estacionarias correspondientes a ondas de presión? 6.2 FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE UN TUBO CERRADO 1. Coloque el émbolo dentro del tubo en la posición de 50 cm. Cerciórese que el extremo frente al parlante esté abierto. Coloque el micrófono dentro del tubo donde se presente un máximo de presión (cerca al pistón). 2. Repita el procedimiento seguido para tubo abierto, hasta el ítem 5, para obtener la frecuencia correspondiente al modo fundamental. 3. Para hallar las frecuencias correspondientes a los armónicos superiores al fundamental repita el ítem 6, pero deje el micrófono en la posición inicial. Por qué es mejor hacer esto? Explique. Registre los datos en una tabla. 4. Para observar el patrón de la onda estacionaria, retire el micrófono lentamente y observe en la pantalla de osciloscopio la señal correspondiente a este. Corresponde lo observado con lo que espera de acuerdo a los patrones de onda estacionarias correspondientes a ondas de presión? 7. DATOS OBTENIDOS Temperatura del laboratorio, T = 26 o C. 7.1 FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE UN TUBO ABIERTO:

10 L A = 0,90 m Corrección de la longitud del tubo, L = L A + 0,8.d = 0,90 m + 0,8. 0,031 m = 0,9248 m, donde d = diámetro del tubo. ARMONICO PERIODO, T (ms) FRECUENCIA, f (Hz) 1 5,4 185,18 2 2,7 370,37 3 1,8 555,56 4 1,3 769,23 5 1,1 909, FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE UN TUBO CERRADO L C = 0,50 m Corrección de la longitud del tubo, L = L A + 0,8.d = 0,50 m + 0,8. 0,031 m = 0,5248 m, donde d = diámetro del tubo. ARMONICO PERIODO, T (ms) FRECUENCIA, f (Hz) 1 6,2 161, ,2 833,33 7 0, ,11 9 0, ,46 8. ANALISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS FRECUENCIAS DE RESONANCIA EN UN TUBO 1. Para cada configuración del tubo (abierto y cerrado) divida cada una de las frecuencias de resonancia halladas por la frecuencia de resonancia más baja que encontró. Sus resultados deberían dar una serie de números cercanos a números enteros. Confirman sus resultados esta aseveración? Explique. R//.

11 FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE UN TUBO ABIERTO: ARMONICO FRECUENCIA, f (Hz) RELACION f n / f ,18 185,18 / 185,18 = ,37 370,37 / 185,18 = 2, ,56 555,56 / 185,18 = 3, ,23 769,23 / 185,18 = 4, ,09 909,09 / 185,18 = 4,91 La serie esperada es 1, 2, 3, 4, 5 y la serie experimental es 1, 2, 3, 4,15, 4,91: los resultados dan una serie de números cercanos a números enteros como se esperaba de un experimento hecho con rigurosidad. FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE UN TUBO CERRADO ARMONICO FRECUENCIA, f (Hz) RELACION f n / f ,29 161,29 / 161,29 = / 161,29 = 3, ,33 833,33 / 161,29 = 5, , ,11 / 161,29 = 6, , ,46 / 161,29 = 9,54 La serie esperada es 1, 3, 5, 7, 9 y la serie experimental es 1, 3,10, 5,17, 6,89, 9,54: los resultados dan una serie de números cercanos a números enteros como se esperaba, excepto por la última relación que se aparta en un 6% del valor esperado, pero en general se obtienen buenas aproximaciones. 2. Es la serie de números que usted ha hallado, la misma para el tubo cerrado que para el tubo abierto? R//. La serie para el tubo abierto se ajusta a un modelo continuo (1, 2, 3, 4, 5) y la obtenida para el tubo abierto sólo involucra los números que se ajustan a enteros positivos impares en orden ascendente (1, 3, 5, 7, 9). 3. Con los datos para tubo abierto y cerrado construya dos gráficos de frecuencia en función del número de armónico. Halle la ecuación de la recta en cada caso y comparándola con la ecuación teórica para tubo abierto y cerrado respectivamente, deduzca la velocidad del sonido con su incertidumbre. R//. 3.1 PARA EL TUBO ABIERTO:

12 Comparando la ecuación experimental Y = 184,6.X + 3,882, con la ecuación teórica de tubos abiertos f n = (v / (2.L)).n, se concluye que: 184,6 = v / (2.L), entonces: v = ,6. L = ,6 s -1. 0,9248 m = 341,44 m/s. Cálculo de la incertidumbre en la velocidad del sonido en el tubo abierto: Depende del cálculo del período y de la longitud. Para el período, T: Como el osciloscopio es instrumento digital, incertidumbre por resolución, U r = 0,0002 s / (2. 3) = 0,00006 s. Para la longitud, L: Como la regla (ó cinta métrica) es instrumento análogo, Incertidumbre por resolución, U r = 0,001 m / ( 3) = 0,0006 m. Incertidumbre por especificación, U s = 2% (0,90 m / ( 3) = 0,010 m. Incertidumbre estándar combinada: U c = (0, , ,010 2 ) = 0,01. Incertidumbre expandida: U e = U c * K = 0,01. 1,96 = 0,02, siendo k el factor de cobertura para un número infinito de grados de libertad y un 95 % como nivel de confianza. Finalmente, v s = (341,44 ± 0,02) m/s.

13 3.2 PARA EL TUBO CERRADO: Comparando la ecuación experimental Y = 168,2.X 12,52, con la ecuación teórica de tubos abiertos f n = (v / (4.L)).n, se concluye que: 168,2 = v / (4.L), entonces: v = ,2. L = ,2 s -1. 0,5248 m = 353,08 m/s. Cálculo de la incertidumbre en la velocidad del sonido en el tubo cerrado: Depende del cálculo del período y de la longitud. Para el período, T: Como el osciloscopio es instrumento digital, incertidumbre por resolución, U r = 0,0002 s / (2. 3) = 0,00006 s. Para la longitud, L: Como la regla (ó cinta métrica) es instrumento análogo, Incertidumbre por resolución, U r = 0,001 m / ( 3) = 0,0006 m. Incertidumbre por especificación, U s = 2% (0,50 m / ( 3) = 0,006 m. Incertidumbre estándar combinada: U c = (0, , ,006 2 ) = 0,006. Incertidumbre expandida: U e = U c * K = 0,006. 1,96 = 0,01, siendo k el factor de cobertura para un número infinito de grados de libertad y un 95 % como nivel de confianza.

14 Finalmente, v s = (353,08 ± 0,01) m/s. 4. Promedie los resultados para la velocidad obtenida de los dos gráficos y obtenga el mejor estimado con su respectiva incertidumbre. R//. Ū = (341, ,08) / 2 = 347,26 m/s. U c = (0, ,01 2 ) = 0,02 m/s. Tenemos, entonces: v s = (347,26 ± 0,02) m/s, a 26 o C. 5. Compare el valor obtenido con el calculado a través de la expresión v = 333,5 + 0,607. T, donde T es la temperatura en grados Celsius medida en el laboratorio. Halle el porcentaje de error y explique las posibles razones de la discrepancia. R//. Valor teórico esperado para la velocidad del sonido dependiente de la temperatura: v = (333,5 + 0, ) m/s = 349,28 m/s. Porcentaje de error: % e = (349,28 347,26) * 100 / 349,28 = 0,56. Un error tan pequeño, < 1% realmente es despreciable para nuestros efectos; mas algunas de las posibles causas de discrepancia pueden ser: Estimación subjetiva de la temperatura en el laboratorio y baja resolución del termómetro, ruido en el laboratorio que puede influir en la toma de datos para las frecuencias, paralaje en visualización al osciloscopio, aproximación de decimales (aunque se hizo conforme a las reglas de redondeo en cifras significativas) y errores aleatorios que siempre existen y pueden volverse incontrolables. 9. CONCLUSIONES 9.1 Los valores para la velocidad del sonido obtenidos indirectamente a partir de las frecuencias de resonancia en el tubo abierto y en el tubo cerrado, están muy cercanos entre sí, dentro de los errores experimentales considerados; lo cual indica que las mediciones se realizaron con buen cuidado.

15 9.2 Con los dos experimentos fue posible constatar la serie continua esperada para los armónicos en el tubo abierto y la serie impar ascendente para los armónicos en el tubo cerrado. 9.3 El sonido requiere un medio para su propagación y la velocidad del mismo se afecta con la densidad de dicho medio y con la temperatura del ambiente; último factor que se tuvo en cuenta para comparar el valor teórico esperado con el valor experimental depurado de diferentes fuentes de error. 9.4 El extremo cerrado de una columna de aire es un nodo de desplazamiento debido a que la pared en este extremo no permite el movimiento molecular. 10. FUENTES CONSULTADAS (1) Arcos Velasco, HECTOR IVAN et al. Guías de Física Experimental III. (2011). Publicaciones UTP, Pereira. (2) abiertos (EXCELENTE APPLET para entender estos fenómenos). (3) (4) (Excelente presentación en diapositivas de ondas estacionarias). (5) (6)