LAB. 3: OSCILACIONES DE UNA CUERDA TENSA

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1 LAB. 3: OSCILACIONES DE UNA CUERDA TENSA EDGAR MANUEL RODRIGUEZ COD UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS LIC. MATEMÁTICAS & FÍSICA PEREIRA MAYO 2012

2 1. RESUMEN Esta práctica de laboratorio consiste en determinar los modos normales de vibración de una cuerda fija en ambos extremos, para posteriormente verificar experimentalmente la relación de la frecuencia en estado de resonancia de las cuerdas con respecto a los parámetros tensión, longitud y densidad lineal µ; deduciendo el valor más aproximado a µ teórico considerado a partir de análisis estadístico. SUMMARY This lab is to determine the normal modes of vibration of a string fixed at both ends to experimentally verify the relationship subsequently the frequency of resonance state of the cords with respect to parameters tension, length, and linear density µ; deducting the value closest to theoretical µ considered from statistical analysis. 2. INTRODUCCIÓN En esta práctica de laboratorio se diferencian los modos de oscilación respecto al cambio de variables o parámetros como son la tensión, la longitud entre los puntos fijos de la cuerda, con la intensión de observar experimentalmente la variación de la frecuencia; además se analizará si la variación de estos datos producen una relación inversa o directamente proporcional a la frecuencia. 3. OBJETIVOS 1. Determinar los modos normales de vibración de una cuerda fija en ambos extremos. 2. Verificar experimentalmente la relación de las frecuencias en estado de resonancia de las cuerdas con respecto a los parámetros: Tensión, longitud y densidad. 3. Encontrar la densidad de la cuerda utilizada.

3 4. MARCO TEORICO EXPLICACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA A continuación obtendremos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, sujeta por sus extremos. Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente, que se propaga de izquierda a derecha y i =A sen(kx-w t) y otra relejada, que se propaga de derecha a izquierda. La onda estacionaria resultante es y r =A sen(kx+w t) y =y i +y r =2A sen(kx) cos(w t). Esta expresión no corresponde a una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y una amplitud 2A sen(kx). Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A sen(kx)=0, por lo que kx=np con n=1, 2, 3,... o bien, x= l /2, l, 3l /2,... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l /2. Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente. En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=l /2. Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l. Para el tercer modo, L=3l /2, y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como

4 Para hallar las frecuencias empleamos la relación l =v/f. Figura 3.1: Ondas estacionarias en la cuerda. Cuando la cuerda esté en resonancia con el agente externo que produce el movimiento, se presentarán los distintos modos propios de oscilación y los desplazamientos transversales tendrán su máxima amplitud.

5 5. DESCRIPCION DE MATERIALES Y EQUIPOS Sensor de fuerza con su cable. Xplorer GLX con su fuente de alimentación Amplificador de potencia con un cable de dos salidas y su fuente de alimentación. Vibrador mecánico. Cuerda, porta pesas y 6 masas. Cinta métrica. 6. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. Monte el equipo como se sugiere en la Figura: 2. Conecte el vibrador mecánico al amplificador de potencia mediante dos cables (No hay polaridad)

6 3. El amplificador de potencia se debe conectar mediante el cable de dos salidas al Xplorer GLX a las dos entradas inferiores del lado izquierdo. Además se debe conectar mediante la fuente de alimentación a 110 V. 4. Conecte el sensor de fuerza mediante un cable al Xplorer GLX a la entrada1 ubicada en su parte superior. 5. Fije la tensión a un valor, mida la longitud entre los extremos fijos L. 6. Configuración del Xplorer GLX Al encender el Xplorer GLX oprima para visualizar the home screen (Pantalla inicial) En la figura 3.7 se presenta la pantalla inicial, de los iconos mostrados se van a utilizar para esta práctica solamente: Settings (Configuracin), Digits(Medidor digital), Output (Salida), Sensors (sensores). Para moverse entre estos se usan las flechas, se confirma el movimiento oprimiendo y para volver a la pantalla inicial se usa el botón home. A continuación realícelos siguientes pasos: (a) Ir al icono Configuración oprima, observe que la opción luz posterior esté en el modo ENCENDIDO, para esto baje con la flecha, oprima y el número 2. Para volver a la pantalla inicial oprima home. (b) Ir al icono Salida oprima: Parámetros trabajo: Output device Oprima se obtienen varias opciones, descienda hasta Amplificador de Potencia marque el número 4. Automáticamente se inicia el proceso de calibración. Es indispensable que se realice correctamente este proceso para la toma de datos. Verifique las siguientes opciones: Waveform: Sine Amplitude (V): 5,00 Period units: Frequency (Hz) Repeat Mode: Continuous Wave polarity: Positive Volver a la pantalla inicial home. (c) Ir al icono Sensores en la parte superior escoger el icono Hz (frecuencia del amplificador GLX). Verifique las siguientes opciones: Unidad de frecuencia de muestra: Segundos Frecuencia de muestreo: 1 Reducir/suavizar promediar: Apagar Hz Frecuencia de salida: Visible Volver a la pantalla inicial. Toma de datos

7 Ir al icono Salida, para que empiece a oscilar la cuerda oprima F1 (ON).Puede variar la frecuencia de oscilación en el ítem Frequency (Hz) con las teclas + - para aumentar o disminuir respectivamente. Utilizando la misma tensión varíe la frecuencia y trate de encontrar hasta 5 armónicos. Recuerde anotar la frecuencia que corresponde a cada uno de los armónicos. Para obtener el valor de la tensión ejercida por la masa vuelva a la pantalla inicial y posteriormente al icono Medidor digital. En el display se muestra la tensión con el nombre Fuerza (N). Sin cambiar de cuerda, en el modo fundamental, o en el segundo armónico; mantenga constante la longitud L y mida la frecuencia para cinco valores distintos de tensión T. Nota: Para realizar la variación de masa detenga siempre la oscilación, esto se realiza en la pantalla principal icono Salida oprimir F1. Posteriormente, encienda el oscilador con F1 (ON), varíe la frecuencia hasta obtener el armónico elegido y vuelva al icono medidor digital para obtener el valor de la tensión. Recuerde anotar la frecuencia que corresponde a cada tensión. Sin cambiar de cuerda, en el modo fundamental, o en el segundo armónico, mantenga constate la tensión y mida la frecuencia para cinco valores distintos de la longitud. Elabore en cada numeral las tablas de datos apropiadas. 7. DATOS OBTENIDOS 1. DATOS DE ARMONICOS & FRECUENCIA A LONGITUD Y TENSION DE LA CUERDA CONSTANTES:

8 LONGITUD DE LA CUERDA, L = (124,5 ± 0,1) cm. 8 ARANDELAS UTILIZADAS TENSION PROMEDIO, T = 2,36 N TENSION, T (N) ARMONICO, n FRECUENCIA, fn (Hz) ± 2, ± 2, ± 2, ± 2, ± 2, ± 2, DATOS DE TENSION & FRECUENCIA A LONGITUD DE CUERDA & ARMONICO CONSTANTES: LONGITUD DE LA CUERDA, L = (124,5 ± 0,1) cm. DATOS CALCULADOS EN EL SEGUNDO ARMONICO, n = 2 No. DE PESAS (ARANDELAS) * TENSION, T (N) T FRECUENCIA, fn (Hz) 7 ± 2,11 1, ± 1,82 1, ± 1,56 1, ± 1,37 1, ± 1,21 1,10 17

9 * En este experimento no fue necesario calcular la masa de las pesas porque el sensor de fuerza dio directamente cada tensión. 3. DATOS DE LONGITUD & FRECUENCIA A TENSION DE CUERDA & ARMONICO CONSTANTES: DATOS CALCULADOS EN EL SEGUNDO ARMONICO, n = 2 8 ARANDELAS UTILIZADAS TENSION PROMEDIO, T = 2,25 N TENSION, T (N) LONGITUD, L (m) 1 / L, (m -1 ) FRECUENCIA, f n (Hz) ± 2,11 (0,890 ± 0,001) ± 2,32 (1,010 ± 0,001) ± 2,29 (1,070 ± 0,001) ± 2,21 (1,150 ± 0,001) ± 2,28 (1,300 ± 0,001) ± 2,30 (1,410 ± 0,001) 1, , , , , ,709 22

10 8. ANALISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS 1. Con los datos de armónicos y frecuencia: Construye una gráfica de frecuencia f en función del número de armónicos n. Qué clase de curva obtiene? Una línea recta, con coeficiente de correlación lineal R ~ 1, lo que indica un grado de asociación entre las variables f y n casi perfecto. Cómo varía la frecuencia en función de los armónicos? Según la tabla de valores 1 y la gráfica anterior, f 2 = 2.f 1, f 3 = 3.f 1, f 4 =4.f 1, etc.

11 Si la gráfica anterior es una línea recta, haga el análisis correspondiente para obtener el valor de la densidad lineal µ (valor experimental) con su correspondiente incertidumbre. De la ecuación que se dedujo de la gráfica sabemos que: y según la ecuación (3.3) tenemos: Igualando coeficientes: Despejando µ: f n = 12,28. n f n = (( T) / (2.L. µ)).n ( T) / (2.L. µ) = 12,28 µ = T /(2.L.12,28) 2 = 2,36 N / (2.1,245 m. 12,28 s -1 ) 2 = 2, kg/m. La densidad lineal de la cuerda calculada a partir de su masa y de su longitud es de 3, kg/m. La masa se midió con una incertidumbre de ± 0,001 g y la longitud con una incertidumbre de ± 0,1 cm. Calcule la incertidumbre de la densidad lineal mediante la expresión: µ = M / L T, donde m= masa de la cuerda, l T = longitud total de la cuerda. En la sección 3.4 (Materiales & equipos) se especifica la cuerda con L T = (263,0 ± 0,1) cm y M = (9,8726 ± 0,0001) g; es decir, L T = (2,630 ± 0,001) m y M = (0, ± 0, ) kg. L tiene 4 cifras significativas y M tiene 5; por tanto, el resultado debe expresarse con 4 cifras significativas: µ = M / L T = (0, kg) / (2,630 m) = (3,754. ± 0,001) kg/m.

12 Considere este valor como teórico y compare en términos de porcentaje el valor de µ experimental. % error = (3,754 2,524) / (3, ) = 32, Con los datos de tensión y frecuencia: Construya un gráfico de frecuencia en función de la raíz cuadrada de la tensión. Es la gráfica una línea recta? La gráfica describe una línea recta con R 2 = 0,967, lo que indica una excelente representación de los datos experimentales. A partir del gráfico anterior, obtenga la ecuación que relaciona la frecuencia con la tensión y de esta ecuación deduzca un nuevo valor para µ con su respectiva incertidumbre. f n = 19,55. T, sin considerar el corte de la recta con el eje Y: (0, -4,922).

13 Comparando con la ecuación (3.3), f n = (n / (2.L. µ)). T Igualando coeficientes, (n / (2.L. µ)) = 19,55. Despejando µ, µ = (n / (2. L. 19,55)) 2 = (2 / (2. 1, ,55)) 2 = 1, kg/m. Compare este valor con el teórico. % error = (3,754 1,688) / (3, ) = 55, Con los datos de longitud y frecuencia: Construya un gráfico de frecuencia f en función de 1 / L.

14 Es el gráfico una línea recta?, Por qué? El gráfico tiene representación de línea recta, con R 2 = 0,984 que representa correlación cuasiperfecta entre las variables consideradas. A partir del gráfico anterior, obtenga la ecuación que relaciona la frecuencia con la longitud de la cuerda y de esta ecuación obtenga un nuevo valor para µ con su respectiva incertidumbre. f n = 29,31 / L, sin considerar el corte de la recta con el eje Y: (0, 1,136). Comparando con la ecuación (3.3), f n = ((n. T) / (2. µ)). (1 / L) Igualando coeficientes, (n. T) / (2. µ) = 29,31. Despejando µ, µ = ((n. T ) / (2. 29,21)) 2 = (( ) / (2. 29,21)) 2 = 2, kg/m. Compare este valor con el teórico. % error = (3,754 2,637) / (3, ) = 29, De los resultados obtenidos, cuál de los valores obtenidos de µ es el más cercano al valor real? Justificación del resultado.

15 El µ experimental más cercano al valor teórico fue el obtenido al graficar f n vs. 1/L. La razón, el porcentaje de error es el más bajo posible de las tres experiencias realizadas. 9. CONCLUSIONES 1. Aunque la gráfica f n vs. n permite visualizar una relación lineal cuasiperfecta entre las variables, no se obtiene de ella un valor para µ más cercano al µ teórico como esperaríamos a priori. 2. Las masas de las pesas (arandelas) no se midieron porque el sensor de fuerza utilizado da un valor directo del peso de las mismas. 3. Cuando se analizó las relaciones frecuencia-armónicos y frecuencialongitud, el Xplorer GLX registró ligeras variaciones de tensión inducidas por el vibrador mecánico sobre la cuerda que nos llevó a sacar el promedio de tensión, un parámetro considerado constante que puede proponerse fuente de error apreciable en las mediciones. 10. FUENTES CONSULTADAS (1) Alonso M. y Finn E. J. Física. Editorial Addison-Wesley Interamericana (1995). (2) Arcos Velasco, HECTOR IVAN et al. Guías de Física Experimental III. (2011). Publicaciones UTP, Pereira. (3) Gettys, Keller, Skove. Física Clásica y Moderna. Editorial McGraw-Hill (1991). (4) Serway. Física. Editorial McGraw-Hill (2001) (5) Tipler P. A. Física. Editorial Reverté (1994). (6) tml