Enseñando proporcionalidad aritmética en 1º de E.S.O.

Transcripción

1 Enseñando proporcionalidad aritmética en 1º de E.S.O. Sergio Martínez (IES Leonardo de Chabacier, Calatayud) José M. Muñoz (F. Educación, Universidad de Zaragoza) Antonio M. Oller (Centro Universitario de la Defensa, Zaragoza) Zaragoza, 27 de febrero de 2015 Esquema charla Presentación y motivación Tratamiento escolar de la proporcionalidad Una propuesta didáctica para 1º E.S.O. Secuenciación y desarrollo de la implementación Valoración 1

2 Esquema charla Presentación y motivación Tratamiento escolar de la proporcionalidad Una propuesta didáctica para 1º E.S.O. Secuenciación y desarrollo de la implementación Valoración Concursante eliminada Qué hubiese pasado si la pregunta se formula? Si un caramelo vale 20 céntimos, cuántos céntimos valen 7 caramelos? Situación multiplicativa elemental (4º Ed. Primaria) 2

3 Regla de tres - Algoritmo para resolver problemas de valor perdido entre magnitudes directa o inversamente proporcionales y que, escolarmente, consiste en: 1. Disponer los datos de una manera específica (matriz 2x2 en un papel). 2. Evaluar si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales con algún argumento basado en el contexto de la situación. 3. Plantear y resolver una ecuación algebraica (Ed. Secundaria) o bien, multiplicar y dividir esos datos en un orden determinado (Ed. Primaria) atendiendo a la disposición espacial que tienen esos datos sobre el papel y que dependen del paso anterior. 3

4 Completa la regla de tres: Si un caramelo vale 20 céntimos, cuántos céntimos valen 7 caramelos? La concepción del que elabora la pregunta y posiblemente de la concursante viene determinada por la enseñanza de la proporcionalidad? La enseñanza refuerza el uso de la Regla de Tres como técnica de resolución principal (casi única) aplicada de manera acrítica y automática? Problema de un reciente libro de texto de una popular editorial extraído de la página donde se presenta la Regla de Tres Proporcionalidad aritmética Es uno de los objetos de enseñanza clásicos en Educación Matemática. Presente en todos los niveles de la Educación Obligatoria (Ed. Primaria y Secundaria) y por tanto, también en la Formación inicial de maestros y profesores. Culmina la formación aritmética de los estudiantes y posee distintas aplicaciones prácticas (ver PISA competencia financiera). 4

5 Proporcionalidad aritmética Proporcionalidad aritmética Es uno de los objetos de enseñanza clásicos en Educación Matemática. Presente en todos los niveles de la Educación Obligatoria (Ed. Primaria y Secundaria) y por tanto, también en la Formación inicial de maestros y profesores. Culmina la formación aritmética de los estudiantes y posee distintas aplicaciones prácticas (ver PISA competencia financiera). Despierta mucho interés por parte de la investigación en Educación Matemática debido a la gran riqueza de situaciones, conceptos, técnicas, razonamientos y procesos cognitivos que envuelve. 5

6 Proporcionalidad aritmética Estas dificultades pueden ser achacadas a diversos factores unodeelloseslamaneraenqueseenseña. Para caracterizar la enseñanza que habitualmente se realiza en el aula, se estudian libros de texto: Los libros de texto en muchas ocasiones determinan el currículo real (Monterrubio y Ortega, 2009) Esquema charla Presentación y motivación Tratamiento escolar de la proporcionalidad Una propuesta didáctica para 1º E.S.O. Secuenciación y desarrollo de la implementación Valoración 6

7 Tratamiento de la proporcionalidad aritmética Diversos estudios (Martínez, Muñoz y Oller, 2014; Oller, 2012;...) señalan (entre otras): Predominio de conocimientos procedimentales frente a los de tipo conceptual. Presentación de técnicas orientadas a la aplicación acrítica y automática (regla de tres). Se considera prioritariamente la razón interna entre números entendida como su cociente e identificada con una fracción. No se define la razón externa entre cantidades de magnitud entendida como la cantidad de una nueva magnitud. Tratamiento de la proporcionalidad aritmética Se considera prioritariamente la razón interna entre números entendida como su cociente e identificada con una fracción. No se define la razón externa entre cantidades de magnitud entendida como la cantidad de una nueva magnitud. Si 7 caramelos cuestan 35 céntimos, cuánto céntimos valen 28 caramelos?. x4 Precio total Números caramelos Procesos de covariación Razón interna 4 A cuádruple de caramelos, cuádruple de precio Luego, 28 caramelos me costarán 35x4 = 140 céntimos Procesos de invarianza Razón externa 5 cent./caramelo Cada caramelo cuesta 5 céntimos (precio unitario) Luego, 28 caramelos me costarán 28x5 = 140 céntimos x4 5 7

8 Tratamiento de la proporcionalidad aritmética Diversos estudios (Martínez, Muñoz y Oller, 2014; Oller, 2012;...) señalan (entre otras): Predominio de conocimientos procedimentales frente a los de tipo conceptual. Presentación de técnicas orientadas a la aplicación acrítica y automática (regla de tres). Se considera prioritariamente la razón interna entre números entendida como su cociente e identificada con una fracción. No se define la razón externa entre cantidades de magnitud entendida como la cantidad de una nueva magnitud. Gran cantidad de manipulaciones aritméticas (o algebraicas) de números (o expresiones algebraicas) y poca preocupación en el manejo de las magnitudes y por dotar de significado a las operaciones entre esos números o expresiones. Tendencia a la algebrización. Tratamiento de la proporcionalidad aritmética Diversos estudios (Martínez, Muñoz y Oller, 2014; Oller, 2012;...) señalan (entre otras): La proporcionalidad entre magnitudes casi se da por supuesto (salvo en su introducción y esporádicamente). Así, al estudiante solo le queda identificar si es directa o inversa (y en algunos casos con argumentos erróneos del tipo a más, más o a más, menos,etc.). Proporcionalidad simple directa e inversa simultáneamente en 1º ESO, pese a las orientaciones curriculares y lo alejado de estos fenómenos. Predominio de problemas de valor perdido: apenas hay problemas de comparación y escasos problemas de proporcionalidad compuesta (cuyas técnicas de resolución aparecen desconectadas de la simple). 8

9 Esquema charla Presentación y motivación Tratamiento escolar de la proporcionalidad Una propuesta didáctica para 1º E.S.O. Secuenciación y desarrollo de la implementación Valoración Objetivo Apoyándonos en resultados de investigaciones sobre el racional y la proporcionalidad aritmética realizados en las Universidades de Zaragoza y Valladolid desde 2001 (3 tesis doctorales y diversos artículos de investigación) Diseño de una propuesta didáctica original para 1º y 2º E.S.O. Implementación en algunos Institutos de Secundaria Evaluación del desarrollo de la implementación Investigación mediante la metodología de Investigación-Acción Acción Planifi cación Acción Planifi cación Observación Reflexión Observación Reflexión Oller (2012) y Martínez (en curso) 9

10 Ideas clave de la propuesta para 1º E.S.O. 1. Identificación y manipulación de magnitudes (frente a ordinales, códigos, etc.). 2. Idea de razón ( tanto por uno y cumplimiento de una condición de regularidad). 3. Relación de proporcionalidad simple directa y compuesta (tipo directa-directa) caracterizadas en términos de razones externas y cantidades de magnitud. 4. Ampliación tipología de problemas (comparación cuantitativas y cualitativa). 5. Aplicaciones de la proporcionalidad (porcentajes). Esquema charla Presentación y motivación Tratamiento escolar de la proporcionalidad Una propuesta didáctica para 1º E.S.O. Secuenciación y desarrollo de la implementación Valoración 10

11 Secuenciación Duración aproximada propuesta: 12 sesiones por curso (incluida sesión para prueba final). 1º E.S.O. Razón entre dos magnitudes: Razón como tanto por uno. Razón como resultado de un reparto igualitario. Razón inversa. Condición de regularidad: Magnitudes relacionadas. Uniformidad en las unidades de las magnitudes implicadas. Distinción de parejas de Magnitudes Directamente Proporcionales (MDP). Problemas de comparación con MDP: comparación de las razones. Problemas de valor perdido con MDP. Proporcionalidad compuesta. Porcentajes. Desarrollo de la implementación grupos (1º ESO) IES Avempace (Zaragoza) grupos (1º ESO) IES Leonardo Chabacier (Calatayud) grupo (2º ESO) IES Leonardo Chabacier (Calatayud) grupos (1º ESO) 1 grupo (2º ESO)? IES Leonardo Chabacier (Calatayud) grupos (2º ESO) IES Leonardo Chabacier (Calatayud) 11

12 Sesión 1: Magnitudes. Objetivos Introducir el concepto de magnitud y el vocabulario asociado. Distinguir magnitudes de propiedades no medibles. Identificar la necesidad de la unidad de medida. Asociar la cantidad a la unidad de medida utilizada Conocer los diferentes significados de un número e identificarlos. Contenidos Propiedades medibles y no medibles. Cantidad de magnitud. Valor numérico de una cantidad de magnitud. Unidades de medida. Magnitudes habituales. Cardinalidad como magnitud. Números como cantidad de magnitud, como ordinal y como identificador. Queremos que los alumnos doten de significado a las cantidades que aparecen en las situaciones de proporcionalidad y las operaciones que realizan entre dichas cantidades. Para ello, es imprescindible hacer énfasis en el concepto de magnitud y su identificación en diferentes situaciones. Sesión 1: Magnitudes. Algunas producciones de los alumnos 12

13 Sesión 1: Magnitudes. Algunas producciones de los alumnos Con este fin, presentamos actividades en la que los alumnos tienen que distinguir entre números utilizados para expresar una cantidad de magnitud y números empleados para otros fines (identificadores, ordinales, etc.). Sesión 2: Razón como tanto por uno Objetivos Calcular las razones externas asociadas a una situación de proporcionalidad. Interpretar las razones como tanto por uno asociándolas al resultado de un reparto igualitario. Identificar la Condición de Regularidad asociada a una situación de proporcionalidad. Reconocer en qué situaciones puede o no calcularse una razón entre las magnitudes involucradas. Contenidos Razones (externas) asociadas a una situaciónenlaqueseveninvolucradasdos magnitudes (proporcionales). Razón inversa. Condición de regularidad. Cantidad de magnitud. Valor numérico de una cantidad de magnitud. Unidades de medida. Magnitudes habituales. Números como cantidad de magnitud, como ordinal y como identificador. La razón (a/b) entre una cantidad a de una magnitud A y una cantidad b de una magnitud B se identifica con la cantidad de la magnitud A que se relaciona con una unidad de la magnitud B. 13

14 Sesión 2: Razón como tanto por uno Algunas producciones de los alumnos La condición de regularidad consiste en explicitar las condiciones necesarias para que tenga sentido establecer la razón entre las cantidades de las magnitudes involucradas: que las unidades de ambas magnitudes sean constantes y que a cada unidad de una de ellas le corresponda siempre la misma cantidad de la otra. Sesión 3: Magnitudes directamente proporcionales Objetivos Profundizar en el concepto de razón, cálculo e interpretación. Profundizar en la condición de regularidad asociada a una situación en la que se pueden calcular las razones. Introducir el concepto de Magnitudes directamente proporcionales. Contenidos Razón y condición de regularidad. Magnitudes directamente proporcionales. Vocabulario asociado a las situaciones de proporcionalidad directa. Proporcionalidad simple directa como aquella relación entre dos magnitudes que hace que tenga sentido definir la razón entre ambas. 14

15 Sesiones 4 y 5: Problemas de comparación Objetivos Resolver razonadamente problemas de comparación cuantitativa de razones. Resolver razonadamente problemas de comparación cualitativa de razones Contenidos Razón y condición de regularidad. Magnitudes directamente proporcionales. Identificación, análisis y resolución de problemas de comparación cuantitativa. Identificación, análisis y resolución de problemas de comparación cualitativa. Ampliamos la tipología de problemas que tradicionalmente se proponen como proporcionalidad aritmética. Los problemas de comparación cualitativa y cualitativa se basan en evaluar dos situaciones de proporcionalidad distintas mediante la comparación e interpretación de sus razones. Sesiones 4 y 5: Problemas de comparación Comparación cuantitativa: 15

16 Sesiones 4 y 5: Problemas de comparación Comparación cualitativa: Sesiones 4 y 5: Problemas de comparación Comparación cualitativa: 16

17 Sesiones 6 y 7: Problemas de valor perdido Objetivos Resolver razonadamente problemas de valor perdido en situaciones de proporcionalidad directa previo cálculo de la razón unitaria que resuelve por multiplicación. Contenidos Razón y condición de regularidad. Magnitudes directamente proporcionales. Identificación, análisis y resolución de problemas de valor perdido en situaciones de proporcionalidad directa. En todas estas sesiones se incluyen problemas en los que las magnitudes no son directamente proporcionales y en los que todos los datos no son cantidades de magnitud, para obligar a los alumnos a que identifiquen las magnitudes y evalúen la relación entre ellas. Sesiones 6 y 7: Problemas de valor perdido 17

18 Sesión 8: Proporcionalidad compuesta Objetivos Reconocer situaciones de proporcionalidad en las que intervienen tres magnitudes. Resolver problemas de proporcionalidad en los que intervienen tres magnitudes. Reducir los problemas de proporcionalidad con tres magnitudes a un problema de proporcionalidad directa con dos magnitudes realizando operaciones con las magnitudes involucradas. Contenidos Identificación, análisis y resolución de problemas de valor perdido de tipo directa-directa con tres magnitudes. Identificación, análisis y resolución de problemas de comparación con tres magnitudes reducibles a dos magnitudes previa multiplicación de dos de ellas. Amalgamación de magnitudes para reducir problemas de tres magnitudes a problemas con dos magnitudes. Sesión 8: Proporcionalidad compuesta 18

19 Sesiones 9 y 10: El porcentaje como tanto por cien. Calculo directo e inverso Objetivos Contenidos Interpretar el porcentaje como tanto por cien. Calcular el porcentaje que representa una cantidad respecto de otra, asociando el proceso al cálculo de una razón. Calcular un porcentaje de una cantidad, asociando el proceso a la resolución de problemas de valor perdido. Calcular razonadamente el total conocidos la parte y el porcentaje asociado alaparte. Porcentajes. Cálculo del porcentaje que una cantidad representa respecto de otra. Cálculo de la cantidad que representa un porcentaje de otra cantidad. Cálculo de la cantidad total conocidos la parte y el porcentaje asociado a ella. Sesiones 9 y 10: El porcentaje como tanto por cien. Calculo directo e inverso 19

20 Sesiones 9 y 10: El porcentaje como tanto por cien. Calculo directo e inverso Esquema charla Presentación y motivación Tratamiento escolar de la proporcionalidad Una propuesta didáctica para 1º E.S.O. Secuenciación y desarrollo de la implementación Valoración 20

21 Valoración de la implementación Valoración de la propuesta Hasta el momento 5 grupos de 1º ESO (115 alumnos aprox.) INSTRUMENTOS Diario de clase Producciones escritas alumnos Grabaciones de sesiones con cámara digital Entrevistas alumnos Grupo de control Valoración de la implementación Fortalezas La implementación de la propuesta en el aula es viable. Los alumnos emplean y amplían sus conocimientos previos sobre el significado de las operaciones aritméticasconnaturalesyracionalesalahorade resolver problemas. Se evita el recurso a técnicas algorítmicas y surgen de manera espontánea otros procedimientos para resolver los problemas propuestos. Los alumnos son capaces de resolver otros tipos de situaciones problemáticas con éxito distintas a las de valor perdido. 21

22 Valoración de la implementación Fortalezas Mejoran (en cantidad y calidad) los procesos de argumentación que realizan los alumnos. Los resultados en problemas de valor perdido en el grupo de control no son mejores que los resultados de nuestros grupos. Posteriormente, los estudiantes han aplicado de manera espontánea estas ideas en otros ámbitos. Se ha implicado todo el profesorado del Departamento del IES fomentando discusión y debates. Perspectivas favorables para continuar más allá de Valoración de la implementación Debilidades Dificultades al operar con fracciones provocan que los alumnos escojan el número racional como representación decimal, principalmente. Aunque se sigue un procedimiento adecuado, se obtiene resultado inexacto al aproximar. Incidir en la fracción y sus operaciones desde significados de medida y cociente 22

23 Valoración de la implementación Debilidades Trabajo complejo con porcentajes debido a la instrucción previa recibida (Ed. Primaria). Difícil incorporar nuevas técnicas sobre algo cuando ya se poseen otras. Trabajo previo con los maestros de Primaria en ejercicio y en formación en la misma línea que seguimos Valoración de la implementación Debilidades Ayudas externas (familias, profesores de apoyo, etc.) basadas en la enseñanza tradicional de la proporcionalidad. Entrevistas y circulares a las familias para hacerles partícipes de la experiencia y pedir colaboración. Cuadernillo con las ideas clavedelapropuesta. 23

24 Debilidades Valoración de la implementación Cambios en la metodología de trabajo en el aula trabajo en parejas, ausencia de libros de texto, institucionalización posterior a la realización de problemas Aspectos de la propia naturaleza investigadora del proceso uso de la cámara digital recogida diaria de fichas El transcurso de las sesiones supuso la normalización de estas situaciones Gracias por su atención Sergio Martínez - sergiomj@unizar.es José Mª. Muñoz - jmescola@unizar.es Antonio M. Oller - oller@unizar.es 24