LABORATORIO DE ELECTROMAGNETISMO Nº4 MEDIDAS DE RESISTENCIAS

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1 LABORATORIO DE ELECTROMAGNETISMO Nº4 MEDIDAS DE RESISTENCIAS ACOSTA TORRES JESID YESNEIDER CALDERON USECHE RICARDO GALIANO GUTIERREZ LUZ ESTHER JAIMES LEAL LUIS ANGEL PAVA MORALES HECTOR ANTONIO FACULTAD DE INGENIERÍAS Y TECNOLOGIAS UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR ELECTROMAGNETISMO GRUPO: 11 VALLEDUPAR 2015

2 LABORATORIO DE ELECTROMAGNETISMO Nº4 MEDIDAS DE RESISTENCIAS ACOSTA TORRES JESID YESNEIDER CALDERON USECHE RICARDO GALIANO GUTIERREZ LUZ ESTHER JAIMES LEAL LUIS ANGEL PAVA MORALES HECTOR ANTONIO Trabajo presentado como requisito de evaluación parcial en la asignatura de electromagnetismo, al Profesor Lic. Juan Pacheco Fernández FACULTAD DE INGENIERÍAS Y TECNOLOGIAS UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR VALLEDUPAR - COLOMBIA 2015

3 PRESENTACIÓN Mediante circuitos electrónicos en los que abundan resistencias de diversos valores se hace necesario saber el valor de las mismas para que el circuito funcione de forma correcta. Sin embargo en electrotecnia no es habitual calcular el valor de las resistencias salvo en casos muy concretos como pueden ser las líneas de distribución o el bobinado de diferentes máquinas. De hace mucho tiempo se tiene conocimiento acerca de lo que significa una resistencia, que es la oposición que tiene un elemento al paso de la corriente por él. Éste término muy bien puede ser explicado de forma sencilla, diciendo que en un partido de futbol la corriente sería un jugador con un balón, y la resistencia seria representada por los demás jugadores cuya función es la de evitar que el jugador con el balón lleguen a la portería, de esta manera podemos darnos cuenta que entre mayor sea el número de la resistencia menor será el paso de la corriente. Más adelante veremos cómo analizar y determinar los valores en Ohmios de una resistencia, al igual que como interactúan varias de ellas dentro de un circuito, además veremos las diferencias entre valores estándar y valores medidos con instrumentos de precisión, que en este caso será el multímetro.

4 OBJETIVO Medir resistencias utilizando dos métodos: el del código de colores y directamente con el óhmetro. Así como estudiar la diferencia entre las medidas de dos o más resistencias cuando éstas se colocan en serie o en paralelo utilizando el protoboard.

5 MARCO TEÓRICO. RESISTENCIA ELÉCTRICA. Resistencia eléctrica es la propiedad que tienen los cuerpos de oponerse en cierto grado al paso de la corriente eléctrica. Es decir, la resistencia eléctrica es toda oposición que encuentra la corriente a su paso por un circuito eléctrico cerrado, atenuando o frenando el libre flujo de circulación de las cargas eléctricas o electrones. UNIDADES DE MEDIDA. La unidad de resistencia en el Sistema Internacional es el ohmio, que se representa con la letra griega omega (Ω), en honor al físico alemán George Ohm. Entre los múltiplos más comunes se encuentran: Kiloohmio: 1K Ω = 10 3 Ω Megaohmio: 1M Ω = 10 6 Ω Gigaohmio: 1G Ω = 10 9 Ω TIPOS DE MATERIALES SEGÚN LA RESISTENCIA Conductores: Son los elementos que presentan una oposición muy pequeña al paso de los electrones a través de ellos; es decir, presentan una resistencia eléctrica muy baja. Ejemplo de materiales conductores son los metales. Semiconductores: Son un grupo de elementos, o compuestos, que tienen la particularidad de que bajo ciertas condiciones, se comportan como conductores. Cuando estas condiciones no se dan, se comportan como aislantes. Algunos semiconductores, son por ejemplo, el germanio, el silicio, el arseniuro de galio.

6 Aislantes: Son los materiales o elementos que no permiten el paso de los electrones a través de ellos. Un ejemplo de aislantes son los plásticos. Cuando los electrones fluyen por un buen conductor que ofrece muy poca resistencia los electrones circulan de forma organizada. Mientras que cuando fluyen por un mal conductor eléctrico que ofrece alta resistencia a su paso, los electrones chocan unos contra otros al no poder circular libremente y, como consecuencia, generan calor. Figura 1: Flujo de electrones por A) un buen conductor y B) un mal conductor. La resistencia de un conductor depende de la longitud del mismo (L), del área de su sección trasversal (A) y del material con el que está fabricado, mediante la siguiente expresión: R = ρ L A (Ec. 1) En donde ρ es el coeficiente de proporcionalidad o la resistividad del material. Por lo anterior, la resistencia de un conductor depende directamente de la resistividad del material, además es directamente proporcional a su longitud (aumenta conforme es mayor su longitud) y es inversamente proporcional a su sección transversal (disminuye conforme aumenta su grosor o sección transversal). Adicionalmente, la resistencia de un material aumenta cuando crece la temperatura.

7 Por otra parte, de acuerdo con la ley de Ohm la resistencia de un material puede definirse como la razón entre la diferencia de potencial eléctrico y la corriente en que atraviesa dicha resistencia, así: R = V I (Ec. 2) Donde R es la resistencia en ohmios, V es la diferencia de potencial en voltios e I es la intensidad de corriente en amperios. RESISTORES O RESISTENCIAS ELÉCTRICAS. Las resistencias son elementos pasivos muy comunes utilizados para introducir una resistencia eléctrica determinada entre dos puntos de un circuito eléctrico. Las resistencias de menor potencia, que son las más utilizadas, tienen marcado su valor y tolerancia en su cuerpo, utilizan cuatro bandas y se sigue un código de colores. Las potencias más utilizadas son de 1 vatio, ½ vatio, ¼ vatio y 1/8 de vatio. TIPOS DE RESISTENCIAS. Las resistencias pueden ser clasificadas en función de su composición y su uso. De acuerdo a su composición existe una amplia gama de resistencias, entre las cuales se pueden destacar las pirolíticas, las de película metálica y las de bobina. Resistencias pirolíticas. Las resistencias de uso más difundido son las pirolíticas, que consisten en una capa de compuesto conductor parecido al carbón, el grafito, depositada sobre un pequeño cilindro conductor; tiene dos contactos en los extremos y el cilindro se graba en forma espiral para lograr la resistencia indicada. Posteriormente se recubre de una capa aislante, sobre la que se marcan las bandas de colores.

8 Resistencias de película metálica. Las resistencias de película metálica también se usan con frecuencia. Desde el punto de vista constructivo, son muy parecidas a las anteriores, salvo en que la capa conductora es de una aleación metálica. Resistencia bobina. La resistencia bobina es otro tipo de resistencia muy utilizada. Estas se utilizan para potencias elevadas; se suelen utilizar a partir de los 4W y suelen ser vitrificadas o estar dentro de una forma cerámica. Suelen emitir bastante calor durante su funcionamiento. Por su parte, dentro de la clasificación de resistencias de acuerdo al uso, las más usuales son las resistencias variables. Resistencias variables. Tienen tres contactos, dos de ellos están conectados a los extremos de la superficie resistiva y el otro está conectado a un cursor que se puede deslizar a lo largo del elemento resistivo. Estas resistencias pueden variar su valor dentro de unos límites. Según su función en el circuito estos resistores se denominan: Potenciómetros: Se aplican en circuitos donde la variación de resistencia la efectúa el usuario desde el exterior. Trimmers: Se diferencian de las anteriores en que su ajuste es definitivo en el circuito donde van aplicadas. Reóstatos: Son resistencias variables en las que uno de sus terminales extremos está eléctricamente anulado.

9 CONEXIONES DE RESISTENCIAS. En un circuito eléctrico pueden haber una, dos o más resistencias conectadas. En el caso de ser dos o más, es posible establecer una resistencia equivalente (REq), es decir una resistencia que puede sustituir a todas las demás sin que el comportamiento del resto del circuito sea alterado. De esta forma, según sea esta conexión, se pueden encontrar asociaciones de resistencias en serie, en paralelo y en mixto principalmente. Conexión en serie. Las resistencias en serie son aquellas que están conectadas una después de la otra (Figura 2). Figura 2: Conexión de resistencias en serie. El valor de la resistencia equivalente es igual a la suma de los valores de cada una de ellas. REq = R1 + R2 (Ec.3) Conexión en paralelo. Las resistencias en paralelo son aquellas que están conectadas o unidas por ambos terminales (Figura 3). Figura 3: Conexión de resistencias en paralelo. La resistencia equivalente de un circuito de resistencias en paralelo es igual al recíproco de la suma de los inversos de las resistencias individuales.

10 REq = R1 R2 (Ec. 4) Conexión mixta. La conexión mixta resulta de unir en paralelo varias combinaciones de resistencias en serie, o en serie varias combinaciones en paralelo (Figura 4). Para obtener la resistencia equivalente, se deben aplicar las ecuaciones anteriores, según sea una combinación de resistencias en serie o paralelo. Figura 4: Conexión mixta de resistencias. MEDICIÓN DE UNA RESISTENCIA. Una resistencia se puede medir directamente utilizando un óhmetro o mediante un multímetro análogo o digital utilizándolo en la posición con el símbolo omega (Ω). Para logar esta medida, el instrumento se debe conectar en paralelo con el elemento resistivo a medir. La resistencia no debe estar conectada al circuito, ya que de lo contrario se puede incurrir en error en la medición. También se puede determinar el valor de una resistencia utilizando un código de colores el cual nos indica por medios de bandas el valor de ésta con una tolerancia determinada.

11 CÓDIGOS DE COLORES DE LAS RESISTENCIAS. Los resistores son fabricados en una gran variedad de formas y tamaños. En las más grandes, el valor del resistor y su tolerancia se imprime directamente en el cuerpo del mismo, pero en los más pequeños no es posible. Para poder obtener con facilidad el valor de la resistencia se utiliza el código de colores. Sobre estas resistencias se pintan unas bandas de colores. Cada color representa un número que se utiliza para obtener el valor final de la resistencia. Significado de las bandas de colores de una resistencia. COLOR VALOR Negro 0 Marrón 1 Rojo 2 Naranja 3 Amarillo 4 Verde 5 Azul 6 Violeta 7 Gris 8 Blanco 9 Dorado Plateado Sin color 5% de tolerancia 10% de tolerancia 20% de tolerancia

12 - Las dos primeras bandas indican las dos primeras cifras del valor de la resistencia. - La tercera banda indica el factor multiplicador o el número de ceros hay que aumentarle al valor proporcionado por las dos primeras bandas para obtener el valor final de la resistencia. - La cuarta banda nos indica la tolerancia. La tolerancia significa que el valor de la resistencia no puede ser garantizado con precisión ilimitada, por lo que esta ofrece un rango o intervalo de valores en el que está el valor real de la resistencia. PROTOBOARD. Una placa de pruebas o protoboard es un tablero con orificios conectados eléctricamente entre sí, habitualmente siguiendo patrones de líneas, en el cual se pueden insertar componentes electrónicos y cables para el armado y prototipado de circuitos electrónicos y sistemas similares. Está hecho de dos materiales, un aislante, generalmente un plástico, y un conductor que conecta los diversos orificios entre sí. Uno de sus usos principales es la creación y comprobación de prototipos de circuitos electrónicos antes de llegar a la impresión mecánica del circuito en sistemas de producción comercial. Figura 6: La placa de prueba o protoboard.

13 MATERIALES. 1 Multímetro UT33C. 10 Resistencias de diferentes rangos. 2 Resistencias variables o reóstatos. Protoboard.

14 PROCEDIMIENTO. Primera Parte: Manejo y Reconocimiento del Protoboard. Figura 7: Dibujo esquemático de un protoboard. Con el tester verifica cuales son los puntos continuos, ubicando la perilla del tester en la posición para medir resistencia y luego en continuidad y desarrolla el siguiente procedimiento: a) Escoge uno de los dos tableros centrales y ubica uno de los terminales del tester en uno de sus orificios. Ubica la otra punta, primero, en varios orificios que hagan parte de la misma fila del orificio y luego en varios que hagan parte de su columna. Observa que registra el tester para cada uno de los casos. b) Repite el procedimiento para el otro tablero central y para los dos tableros externos.

15 Resultados. Al poner las resistencias en la misma columna el multímetro generó un sonido indicando continuidad y la pantalla de éste mostró un número diferente de 1, demostrándose así la continuidad de los puntos del tablero en la misma columna. Paso lo contrario cuando se colocaron las resistencias en fila, ya que el multímetro no mostro continuidad y la pantalla marcó 1 lo que demuestra que el sistema está abierto, se repitió el procedimiento en varios puntos y en ambos tableros centrales y el resultado fue el mismo. Perilla del multímetro en posición para medir resistencia. Por su parte, para el caso de los dos tableros externos, al colocar una de las terminales del multímetro en uno de sus orificios y la otra punta en varios orificios de la misma fila (inicialmente entre orificios anteriores a la mitad indicada por la letra M y luego entre orificios posteriores), el multímetro registró un valor de 0.00 y emitió sonido indicando continuidad. Después, al realizar lo mismo, pero entre orificios de ambos lados de la mitad indicada por la letra M, el multímetro registró un valor de 1 y no emitió sonido alguno, indicando que no hay continuidad entre ambas mitades. Finalmente, al colocar la otra punta en el otro orificio de la misma columna, el multímetro registró un valor de 1 y no generó sonido indicando ausencia de continuidad.

16 c) Reflexiona sobre qué significa que la resistencia entre puntos sea cero. significa que no hay continuidad por esos cuando estamos en los tableros central formados en fila y en los externos formados en columnas no hay continuidad es porque las resistencia están en cero. d) Realiza un esquema que explique cómo se establece la continuidad en el protoboard. Figura 8: Líneas de continuidad en un protoboard. e) Concluye cual es la funcionalidad del protoboard y destaca su importancia. PROTOBOARD: Palabras Claves Fuente (Fuente de Voltaje), Continuidad, Voltaje, Resistencia, Led Objetivos Aprender a montar en el Protoboard Definiciones Fuente de Voltaje: Dispositivo que genera una diferencia de potencial (Voltaje, véase guía Divisores de Voltaje y Efecto de Carga) Voltaje: Es una magnitud física que impulsa a los electrones a lo largo de un conductor en un circuito. También se define como el trabajo por unidad de carga ejercido por el campo eléctrico, sobre una partícula cargada, para moverla de un lugar a otro. f) Concluye sobre lo que representa la continuidad entre dos puntos.

17 La continuidad eléctrica entre dos puntos representa o indica que es posible establecer un circuito eléctrico completo que permite el paso de la corriente eléctrica a través de dichos puntos. Segunda Parte: Medida de Resistencias. 1. Tome 10 resistencias y determine su valor utilizando el código de colores. Representa cada resistencia con sus bandas de colores y al frente determina su valor y calcula la tolerancia. Al final presenta el valor con su margen de error o incertidumbre. Resistencia # 1 Primera Banda: Marrón (1). Segunda Banda: Rojo (2). Tercera Banda: Naranja (3). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 12 x 10 3 Ω = 12000Ω ± 5% 11400Ω 12600Ω ó 11,4 KΩ 12,6 KΩ Resistencia # 2 Primera Banda: Marrón (1). Segunda Banda: Negro (0). Tercera Banda: Marrón (1). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 10 x 10¹ Ω = 100 Ω ± 5% 95 Ω Ω

18 Resistencia # 3 Primera Banda: Amarillo (4). Segunda Banda: Violeta (7). Tercera Banda: Marrón (1). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 47 x 10¹ Ω = 470 Ω (± 5%) Ω Ω Resistencia # 4 Primera Banda: Rojo (2). Segunda Banda: Rojo (2). Tercera Banda: Rojo (2). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 22 x 10² Ω = 2200 Ω (± 5%) 2090 Ω Ω ó 2,09 KΩ 2,31KΩ Resistencia # 5 Primera Banda: Marrón (1). Segunda Banda: Verde (5). Tercera Banda: Naranja (3). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 15 x 10³ Ω = Ω ± 5% Ω Ω ó 14,25 KΩ 15,75 KΩ

19 Resistencia # 6 Primera Banda: Verde (5). Segunda Banda: Marrón (1). Tercera banda: Rojo (2). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 51 x 10² Ω = 5100 Ω ± 5% 4845 Ω Ω Resistencia # 7 Primera Banda: Marrón (1). Segunda Banda: Negro (0). Tercera banda: Rojo (2). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 10 x 10² Ω = 1000 Ω ± 5% 950 Ω Ω Resistencia # 8 Primera Banda: Marrón (1). Segunda Banda: Verde (5). Tercera banda: Naranja (3). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 15 x 10³ Ω = Ω ± 5% Ω Ω ó 14,25 KΩ 15,75 KΩ

20 Resistencia # 9 Primera Banda: Naranja (3). Segunda Banda: Naranja (3). Tercera banda: Naranja (3). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 33 x 10³ Ω = Ω ± 5% Ω Ω ó 31,35 KΩ 34,65KΩ Resistencia # 10 Primera Banda: Rojo (2). Segunda Banda: Rojo (2). Tercera banda: Marrón (1). Cuarta Banda: Dorado (± 5%). Valor de la resistencia: 22 x 10¹ Ω = 220 Ω ± 5% 209 Ω Ω 2. Utiliza el multímetro y verifica los valores de las resistencias. Qué puedes decir de estos valores? Cuál método será el más confiable? Explica por qué! Utilizando el multímetro en una escala adecuada según los valores obtenidos con el código de colores, se midió el valor real de cada resistencia (Figura 21: a, b y c). Los valores obtenidos fueron:

21 Resistencia # 1 = KΩ Resistencia # 2 = 99.7 Ω Resistencia # 3 = 482 Ω Resistencia # 4 = 2.26 KΩ Resistencia # 5 = KΩ Resistencia # 6 = 5.05 KΩ Resistencia # 7 = 990 Ω Resistencia # 8 = KΩ Resistencia # 9 = 33.2 KΩ Resistencia # 10 = 217 Ω De lo anterior se puede decir que los valores reales de las resistencias se encuentran dentro del margen de error establecido por la tolerancia. El método más confiable es medir con el multímetro y obtener el valor real de la resistencia, ya que mientras el código de colores da un valor que está comprendido en un rango de tolerancia, el multímetro brinda un valor exacto y confiable. 3. Investiga qué relación tiene la longitud y el grosor de las resistencias con la potencias de estas. La resistencia eléctrica es directamente proporcional a la longitud e inversamente proporcional al grosor del conductor. la resistencia es un componente que dificulta el paso de una corriente a través de él, pero esto depende estrictamente del grosor, la longitud y el material del que esté hecho una resistencia. Entonces cuando una corriente atraviesa una resistencia parte de la energía es convertida en energía calórica que se regresa al ambiente y a este fenómeno se le conoce como potencia o calor que puede disipar la resistencia por unidad de tiempo. Las leyes que se han determinado para hallar la potencia se le atribuyen a el físico británico James Prescott Joule, quien estableció que cuando circula una corriente

22 eléctrica en un conductor parte de la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren con los átomos del material conductor por el que circulan, elevando la temperatura del mismo; y fue desde este modelo que se aplicaron las fórmulas matemáticas dichas por joule para cualquier material ya que el principio seguía siendo el mismo. Dicho esto, se puede analizar que entre más largo y grueso sea un material, mas choques de electrones se efectuaran cuando pase una corriente, lo que generará más calor y se disipara más energía que se devuelve al medio ambiente, es decir la potencia disipada de algún material es directamente proporcional al largo y grueso de éste. 4. Toma resistencias variables (reóstatos) y mide con el multímetro sus valores mínimo y máximo y establece su escala. Reóstato # 1 Este reóstato tiene marcado un valor óhmico de 5 KΩ. Al colocar las puntas del multímetro en las dos terminales externas del reóstato, el valor fijo medido es 4.16KΩ. Posteriormente, al colocar una de las puntas del multímetro en la terminal central del reóstato, se obtuvo un valor mínimo de 0.00 KΩ; y al girar la perilla hasta su tope, el valor medido fue creciendo hasta llegar al valor máximo de 4.16 KΩ Reóstato # 2 Este reóstato tiene marcado un valor óhmico de 100 KΩ. Al colocar las puntas del multímetro en las dos terminales externas del reóstato, el valor fijo medido es KΩ. Posteriormente, al colocar una de las puntas del multímetro en la terminal central del reóstato, se obtuvo un valor mínimo de 0.00 KΩ; y al girar la perilla hasta su

23 tope, el valor medido fue creciendo hasta llegar al valor máximo de KΩ (Figura 22). 5. Usando dos resistencias distintas pero del mismo orden de magnitud, determine el valor de resistencia de cada una de ellas y de las mismas cuando se las conecta, utilizando el protoboard, en una configuración a) en serie y b) en paralelo. Compare los valores medidos con los predichos teóricamente y determine el error relativo para cada caso. Valores teóricos. Resistencia # Ω ± 5% 95 Ω Ω Resistencia # Ω ± 5% 209 Ω Ω Configuración de resistencias en serie. REqu = R1 + R2 = 100 Ω Ω = 320 Ω Configuración de resistencias en paralelo. REqu = R1 R2 100Ω 220Ω = = Ω R1+R2 100Ω+ 220Ω

24 Valores medidos con el multímetro. Valores resistencias. Resistencia #1 = 99.7 Ω Resistencia #2 = 217 Ω Configuración de resistencias en serie. REqu = Ω Configuración de resistencias en paralelo. REqu = Ω Los resultados arrojados en la medición son cercanos comparándolos con los valores nominales de las resistencias, pero lo importante es que a pesar de que los valores medidos no sean iguales a los que muestran las resistencias, estas se encuentran en el rango de incertidumbre que presentan con la cuarta banda. Error relativo para los casos de resistencias en serie y paralelo. E = M m 100 (Ec. 5) M Donde la M es el valor teórico, y la m es el valor experimental. 320Ω 316.7Ω E = 100 = Ω Eserie = % E = 68.75Ω 68.31Ω 100 = Ω Eparalelo = 0,64%

25 ANÁLISIS DE RESULTADOS. Durante el desarrollo del procedimiento y en las respuestas anteriores, se dieron las especificaciones de lo que ocurrió y se observó en cada caso, además se explicaron los resultados. Error relativo de cada resistencia. Empleando la Ecuación 5, se calculó el margen de error de las 10 resistencias utilizadas en la experiencia Los resultados se muestran en la Tabla 1. A todo lo anterior se puede agregar que: - Del uso de la protoboard es fundamental saber dónde se presenta la continuidad a la hora de montar circuitos, por lo tanto, este instrumento presenta continuidad en columnas para los tableros centrales y en filas para los tableros externos. - Los reóstatos utilizados en la experiencia presentan un valor real bastante alejado del que muestran tener. Esto indica que están dañados. - El error relativo que presenta la experiencia en el último procedimiento representa una vez más los errores de fabricación e imperfecciones, es decir, que las resistencias indican su valor con un código de colores, pero este solo muestra un valor muy aproximado aunque en algunos casos es exacto. Para solucionar esto, las resistencias presentan en su cuarta banda lo que se conoce como tolerancia o incertidumbre, es decir, un rango que tiene un límite inferior y superior en el cual puede está el valor real de la resistencia.

26 CONCLUSION - Mediante el desarrollo de esta práctica, logramos conocer el funcionamiento de los instrumentos requeridos para la medición de resistencias como el protoboard. En su desarrollo logramos determinar el valor de una resistencia por medio de los métodos estudiados, comprobando que el multímetro tiene una mayor precisión ya que gener un valor fijo a diferencia del código de colores que nos muestra rangos. - Existen también resistencias de alta precisión y robustez, que aunque no se usaron en la experiencia, son igualmente útiles, por ejemplo, en instrumentos médicos, en equipos militares etc. - En cuanto a la protoboard, ya nos hemos dado cuenta que es un instrumento muy útil para simular circuitos eléctricos. - La protoboard consta de una serie de puntos los cuales tienen continuidad de acuerdo a ciertos patrones. Los puntos en la parte central de la protoboard tienen continuidad vertical o en columnas, excepto al pasar del tablero central superior al inferior. Por su parte, los puntos que están en los extremos superior e inferior tienen continuidad horizontal o en filas, excepto en el medio, lo que hace que hayan filas izquierdas y derechas.

27 BIBLIOGRAFÍA Serway, Raymond A. FÍSICA 4 edición