Caso de Aplicación: Sistema Hidrogeológico de la Cuenca del Río Bermellón, (Tolima). Rubén Darío Londoño Aguirre

Transcripción

1 Definición de un Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Acuífero en un Medio Fracturado. Caso de Aplicación: Sistema Hidrogeológico de la Cuenca del Río Bermellón, (Tolima). Rubén Darío Londoño Aguirre Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Minas Posgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos Medellín, Colombia 2015

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3 Definición de un Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Acuífero en un Medio Fracturado. Caso de Aplicación: Sistema Hidrogeológico de la Cuenca del Río Bermellón, (Tolima). Rubén Darío Londoño Aguirre Tesis de investigación presentada como requisito parcial para optar al título de: Magíster en Ingeniería Recursos Hidráulicos Director: I.G, Ms.C., Ph.D., Gaspar Monsalve Mejía Línea de Investigación: Hidrogeología en medios fracturados Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Minas Posgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos Medellín, Colombia 2015

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5 A MI FAMILIA: Porque ustedes son el motor de mi vida, mi motivación para salir adelante, siempre han estado conmigo y han perdonado mis ausencias. Absolutamente nada sería posible sin el apoyo que me han dado Porque todos mis esfuerzos son una pequeña obligación ante mi suerte de crecer con ustedes A CARO Y MARÍA V: Porque me han brindado sus consejos, me han tenido mucha paciencia, me han señalado mis errores, me han enseñado cómo ser un profesional y siempre han creído en mí todo eso me ha hecho crecer, en todas las formas posibles Porque me han enseñado mucho más de lo que piensan, y mis logros siempre serán suyos también Rubén Darío Londoño

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7 Agradecimientos Al profesor Gaspar Monsalve, quien dirigió este trabajo y me brindó su ayuda y conocimientos, porque siempre me tuvo paciencia, creyó en mi trabajo e hizo posible la finalización de este trabajo. A la profesora Carolina Ortiz Pimienta por ser mi apoyo en todas las formas posibles, porque siempre me motivó a seguir adelante y no es exagerado decir que sin su ayuda no existiría ni una sola de estas páginas. A la profesora María Victoria Vélez por su interés en este trabajo, por brindarme sus consejos y darme el impulso que necesitaba en el momento justo. A todos los profesores del PARH por brindarme sus conocimientos y por ejercer la docencia como lo hacen, muchas gracias por mostrarme nuevas formas de pensar. A mis compañeros de la maestría: Natalia Bustamante, Camilo Flórez, Juan José Guerrero, Alejandro Jaramillo y Alejandra Romero, por ser los mejores colegas, amigos y maestros. A la empresa Servicios Hidrogeológicos Integrales (SHI) S.A.S. por su apoyo a mi maestría, por ser como una familia para mí y por estar tan expectantes a la realización de este trabajo. A todos mis compañeros de SHI por su apoyo, especialmente a Katherine Heredia por escuchar todos mis problemas y brindarme su punto de vista. A la empresa Anglo Gold Ashanti S. A. por permitirme hacer uso de su información para la elaboración de este trabajo.

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9 Resumen y Abstract IX Resumen En este trabajo se muestra la determinación de la escala espacial de referencia, a partir de la cual el comportamiento de la permeabilidad hidráulica de un macizo rocoso permanece constante. Se parte del análisis estadístico de la información estructural levantada en campo para las cuatro unidades litológicas que conforman el macizo de estudio, ajustando los datos de orientación, persistencia, frecuencia y abertura a funciones de distribución de probabilidad apropiadas. A partir de estos resultados se construyen 100 modelos de fracturas discretas bidimensionales de 1024 m 2 de área, para cada unidad litológica, y se simula el flujo a través de 20 ventanas tomadas de cada modelo de fracturas, con áreas entre los 0.25 y los 400 m 2. Se obtiene que el medio se homogeniza, es decir, se logra una estabilidad de la permeabilidad equivalente entre los 64 y 81 m 2 de área; escalas para las cuales también se comprobó el comportamiento tensorial de la permeabilidad haciendo rotaciones de los modelos originales. Las componentes principales de los tensores de permeabilidad equivalentes encontrados varían entre 3.64x10-6 y 9.06x10-6 m/s, con el eje mayor ubicado a 23 de la horizontal para las rocas tipo esquisto y entre los 70 y 80 para las demás unidades. Palabras clave: Hidrogeología, macizos rocosos, permeabilidad equivalente, redes de fracturas discretas, volumen elemental de referencia, flujo en redes de fracturas. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

10 X Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Abstract The aim of this work is to determine the reference spatial scale, from which the behavior of the equivalent hydraulic permeability of a rock mass remains constant. First, a statistical analysis was done on the information from structural geology collected in the field for a rock mass composed by four lithological units; then, the orientation, persistence, frequency and aperture data was adjusted to the appropriate probability distribution functions. 100 discrete fracture networks models in 2D of 1024 m 2 were generated for each lithological unit, and the flow was simulated through 20 windows taken from each fracture pattern, with areas between 0.25 and 400 m 2. The fractured media can be homogenized, ie stability of equivalent permeability is achieved, between 64 and 81 m 2 in area; at these scales the tensorial behavior for the permeability was verified by rotations of the original models. The main components of equivalent permeability tensor range from 3.64x10-6 and 9.06x10-6 m/s, with the major axis located at 23 from the horizontal axis for the schist-type rocks and between 70 and 80 for the other units. Keywords: Hydrogeology, rock masses, equivalent permeability, discrete fracture network, basic reference volume, flow in fracture networks. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

11 Contenido XI Contenido Resumen...IX Lista de figuras... XIV Lista de tablas... XIX Introducción Marco Teórico y Antecedentes Introducción Caracterización geométrica de los medios fracturados Modelos estocásticos de los sistemas de fracturas Modelos de flujo en medios fracturados Aproximación continua: medio poroso equivalente (EPM) Aproximación discreta: redes de fracturas discretas (DFN) Escala espacial del problema Volumen elemental de referencia (REV) para un macizo rocoso asociado con la conductividad hidráulica Antecedentes en la determinación del REV Caracterización del Sistema Fracturado Zona de Estudio Marco Geológico Marco Geomorfológico Marco Hidrológico Datos Estructurales Disponibles Caracterización Estadística del Sistema Fracturado Modelamiento de la Orientación Metodología específica Esquistos del complejo Cajamarca Cornubiana Brecha de Intrusión Rocas Hipoabisales Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

12 XII Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Modelamiento del Espaciamiento y la Frecuencia Histogramas de frecuencias relativas Ajuste de funciones de distribución de probabilidad (fdp) Modelamiento de la Persistencia Histogramas de frecuencias relativas Ajuste de funciones de distribución de probabilidad Estimación de la persistencia media Consideraciones sobre la Abertura Estimación de la abertura hidráulica a partir de ensayos Lugeon Histogramas de frecuencias relativas Ajuste de funciones de distribución de probabilidad Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas Metodología Específica Modelos Geométricos Generados Elección de Ventanas de Análisis Selección de Tramos de Flujo Simulación de Flujo en las Redes de Fracturas y Estimación de la Permeabilidad Modelo de flujo Metodología Específica Estimación de Cabezas Hidráulicas en Nodos Internos Distribución de cabezas hidráulicas en un modelo continuo Distribución de cabezas hidráulicas en los esquistos de Cajamarca Distribución de cabezas hidráulicas en la Cornubiana Distribución de cabezas hidráulicas en la brecha de intrusión Distribución de cabezas hidráulicas en las rocas hipoabisales Estimación de Caudales Caudales en los esquistos del complejo Cajamarca Caudales en la cornubiana Caudales en la brecha de intrusión Cálculo de la Permeabilidad Equivalente para una Red de Fracturas Esquistos del complejo Cajamarca Cornubiana Brecha de Intrusión Rocas Hipoabisales Variación Direccional de la Permeabilidad Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

13 Marco Teórico y Antecedentes XIII 5. Resumen de Resultados y Discusión Caracterización estadística de la geometría del medio fracturado Vectores de flujo preferencial a partir del análisis estructural Generación de redes de fracturas discretas Simulación del flujo en redes de fracturas Escala de referencia para la permeabilidad equivalente Modelo de conductividades hidráulicas equivalentes Conclusiones Referencias Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

14 Contenido XIV Lista de figuras Figura 1-1: Parámetros geométricos de un plano de discontinuidad (modificada de Jing & Stephansson, 2007) Figura 1-2: Modelos de flujo con base en la escala del dominio de interés (modificada de Assteerawalt, 2008) Figura 1-3: Concepto de REV (modificada de Jing, 2007) Figura 1-4: Rangos de variación del volumen elemental de referencia para un medio poroso fracturado (modificada de Bear, 1979) Figura 2-1: Topografía de la zona de estudio Figura 2-2: Ubicación de la zona de estudio en el contexto municipal, departamental y nacional Figura 2-3: Fotografías de un afloramiento de rocas hipoabisales en la zona de estudio (UNALMED, 2012) Figura 2-4: Mapa de unidades litológicas para la zona de estudio (Fuente: AGA, 2011) Figura 2-5: Ubicación espacial de las líneas de muestreo dentro de la zona de estudio Figura 2-7: Línea de muestreo CMG-053 sobre la cornubiana (Solingal y Geoblast, 2011) Figura 2-8: Histogramas básicos de los datos obtenidos (izquierda: líneas de muestreo por unidad geológica; derecha: número de datos -discontinuidades- por unidad geológica) Figura 2-9: Histogramas de la dirección de las líneas (izquierda: dirección de las líneas de muestreo; derecha: inclinación) Figura 2-10: Algoritmo para la clasificación de familias Figura 2-11: Código de colores utilizado en los diagramas de frecuencia estadística Figura 2-12: Histogramas de orientación para el esquisto: (a) Histograma de frecuencia absoluta para el dip-direction (b) Histograma de frecuencia absoluta para el buzamiento (c) Histograma de frecuencias relativas conjuntas para el dip y dip-direction Figura 2-13: Diagrama polar equi-angular para los datos estructurales sobre esquisto Figura 2-14: Análisis estructural del esquisto: (a) diagrama polar de frecuencia estadística, (b) Familias identificadas en la proyección polar Figura 2-15: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre el esquisto a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher Figura 2-16: Histogramas de orientación para la cornubiana: (a) Histograma de frecuencia absoluta para el dip-direction (b) Histograma de frecuencia absoluta para el buzamiento (c) Histograma de frecuencias relativas conjuntas para el dip y dip-direction Figura 2-17: Diagrama polar equi-angular para los datos estructurales sobre la cornubiana. 63 Figura 2-18: Análisis estructural de la brecha de la cornubiana: (a) diagrama polar de frecuencia estadística, (b) Familias identificadas en la proyección polar Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

15 Contenido XV Figura 2-19: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre la cornubiana a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher Figura 2-20: Histogramas de orientación para la brecha de intrusión: (a) Histograma de frecuencia absoluta para el dip-direction (b) Histograma de frecuencia absoluta para el buzamiento (c) Histograma de frecuencias relativas conjuntas para el dip y dip-direction Figura 2-21: Diagrama polar equi-angular para los datos estructurales sobre la brecha de intrusión Figura 2-22: Análisis estructural de la brecha de intrusión: (a) diagrama polar de frecuencia estadística, (b) Familias identificadas en la proyección polar Figura 2-23: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre la brecha de intrusión a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher Figura 2-24: Histogramas de orientación para las rocas hipoabisales: (a) Histograma de frecuencia absoluta para el dip-direction (b) Histograma de frecuencia absoluta para el buzamiento (c) Histograma de frecuencias relativas conjuntas para el dip y dip-direction Figura 2-25: Diagrama polar equi-angular para los datos estructurales sobre las rocas hipoabisales Figura 2-26: Análisis estructural de la brecha de las rocas hipoabisales: (a) diagrama polar de frecuencia estadística, (b) Familias identificadas en la proyección polar Figura 2-27: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre las rocas hipoabisales (familias 1 a 3) a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher Figura 2-28: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre las rocas hipoabisales (familia 4) a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher Figura 2-29: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre los esquistos.. 76 Figura 2-30: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la cornubiana.. 76 Figura 2-31: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la brecha de intrusión Figura 2-32: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre las rocas hipoabisales Figura 2-33: Funciones de distribución de frecuencias ajustadas al espaciamiento en los esquistos Figura 2-34: Funciones de distribución de frecuencias ajustadas al espaciamiento en la cornubiana Figura 2-35: Funciones de distribución de frecuencias ajustadas al espaciamiento en la brecha intrusiva Figura 2-36: Fdp ajustada al espaciamiento en las rocas hipoabisales Figura 2-37: Discontinuidades intersectando una línea de muestreo (modificado de Priest & Hudson, 1981) Figura 2-38: Distribuciones relativas de la persistencia para las discontinuidades sobre los esquistos Figura 2-39: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la cornubiana.. 90 Figura 2-40: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la brecha de intrusión Figura 2-41: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre las rocas hipoabisales Figura 2-42: Ajuste de distribución de frecuencia a la persistencia sobre los esquistos Figura 2-43: Ajuste de distribución de frecuencia a la persistencia sobre la cornubiana Figura 2-44: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la brecha de intrusión Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

16 XVI Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 2-45: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre las rocas hipoabisales Figura 2-46: Distribuciones relativas de la persistencia para las discontinuidades sobre los esquistos Figura 2-47: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la cornubiana Figura 2-48: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la brecha de intrusión Figura 2-49: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre las rocas hipoabisales Figura 2-50: Esquema de ensayo lugeon con dos opturadores Figura 2-51: Aberturas hidráulicas estimadas a partir de ensayos Lugeon Figura 2-52: Ajuste de aberturas hidráulicas estimadas a partir de ensayos Lugeon Figura 3-1: Diagrama de flujo del algoritmo implementado para la generación de fracturas Figura 3-2: Ejemplo de modelo DFN generado para los esquistos. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ) Figura 3-3: (a) Función de probabilidad acumulada para el ángulo de desviación teórica vs resultados en el modelo simulado y (b) función de distribución de probabilidades de persistencia ajustada vs histograma de frecuencias relativas obtenidas en el modelo DFN Figura 3-4: Ejemplo de modelo DFN generado para la cornubiana. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ) Figura 3-5: Ejemplo de modelo DFN generado para la brecha de intrusión. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ) Figura 3-6: Ejemplo de modelo DFN generado para las rocas hipoabisales. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ) Figura 3-7: Ajuste de aberturas hidráulicas simuladas para las rocas hipoabisales Figura 3-8: Histograma de frecuencias (a) y de frecuencias acumuladas (b) de longitud de líneas de muestreo Figura 3-9: Persistencias máximas (a) y medias (b) observadas en cada unidad geológica Figura 3-10: Esquema de ventanas de análisis seleccionadas a partir de los modelos parentales Figura 3-11: Diagrama de flujo del algoritmo implementado para la selección de tramos de flujo Figura 3-12: Ejemplo de tramos de flujo definidos para los esquistos. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ) Figura 3-13: Ejemplo de tramos de flujo definidos para la cornubiana. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ) Figura 3-14: Ejemplo de tramos de flujo definidos para la brecha de intrusión. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ) Figura 3-15: Ejemplo de tramos de flujo definidos para las rocas hipoabisales. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ) Figura 3-16: Distribución del coeficiente de variación del número de tramos de flujo encontrados en cada ventana de análisis Figura 3-17: Densidad promedio de (a) nodos internos y (b) tramos de flujo en los modelos generados Figura 4-1: Diagrama del modelo de placas paralelas planas Figura 4-2: Diagrama de la conexión típica entre dos fracturas (modificado de Priest, 1993). 139 Figura 4-3: Condiciones de frontera adoptadas Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

17 Contenido XVII Figura 4-4: Diagrama de flujo del algoritmo para determinar la conexión entre nodos Figura 4-5: Diagrama de flujo del algoritmo implementado para el cálculo de las cabezas en los nodos internos Figura 4-6: Diagrama de flujo del algoritmo implementado para la el cálculo de los caudales Figura 4-7: Distribución teórica de los potenciales dentro de un medio continuo (gradiente horizontal y vertical) Figura 4-8: Distribución de las cabezas simuladas en los nodos internos en el modelo DFN-25 de los esquistos de complejo Cajamarca Figura 4-9: Distribución de las cabezas simuladas en los nodos internos en el modelo DFN-25 de la cornubiana Figura 4-10: Distribución de las cabezas simuladas en los nodos internos en el modelo DFN- 25 de la brecha de intrusión Figura 4-11: Distribución de las cabezas simuladas en los nodos internos en el modelo DFN- 25 de las rocas hipoabisales Figura 4-12: Caudales promedios obtenidos en los modelos correspondientes a los esquistos Figura 4-13: Coeficientes de variación para cada ventana de análisis del caudal simulado en los esquistos Figura 4-14: Caudales promedios obtenidos en los modelos correspondientes a la cornubiana Figura 4-15: Coeficientes de variación para cada ventana de análisis del caudal simulado en la cornubiana Figura 4-16: Caudales promedios obtenidos en los modelos correspondientes a la brecha de intrusión Figura 4-17: Coeficientes de variación para cada ventana de análisis del caudal simulado en la brecha de intrusión Figura 4-18: Caudales promedios obtenidos en los modelos correspondientes a las rocas hipoabisales Figura 4-19: Coeficientes de variación para cada ventana de análisis del caudal simulado en las rocas hipoabisales Figura 4-20: Relación entre el flujo horizontal y vertical promedios (Q xx /Q yy ) Figura 4-21: Condiciones de frontera para la estimación de la permeabilidad Figura 4-22: Variaciones en las componentes del tensor de permeabilidad para el esquisto, para cada escala de análisis Figura 4-23: Promedios (a) y desviaciones estándar (b) de las componentes del tensor de permeabilidad del esquisto, para cada escala de análisis Figura 4-24: Coeficientes de variación para las componentes, (a) k xx, k yy y (b) k xy, k yx, del tensor de permeabilidad del esquisto, para cada escala de análisis Figura 4-25: Variaciones en las componentes del tensor de permeabilidad para la cornubiana, para cada escala de análisis Figura 4-26: Promedios (a) y desviaciones estándar (b) de las componentes del tensor de permeabilidad de la cornubiana, para cada escala de análisis Figura 4-27: Coeficientes de variación para las componentes, (a) k xx, k yy y (b) k xy, k yx, del tensor de permeabilidad de la cornubiana, para cada escala de análisis Figura 4-28: Variaciones en las componentes del tensor de permeabilidad para la brecha de intrusión, para cada escala de análisis Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

18 XVII I Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 4-29: Promedios (a) y desviaciones estándar (b) de las componentes del tensor de permeabilidad de la brecha de intrusión, para cada escala de análisis Figura 4-30: Coeficientes de variación para las componentes, (a) k xx, k yy y (b) k xy, k yx, del tensor de permeabilidad de la cornubiana, para cada escala de análisis Figura 4-31: Variaciones en las componentes del tensor de permeabilidad para las rocas hipoabisales, para cada escala de análisis Figura 4-32: Promedios (a) y desviaciones estándar (b) de las componentes del tensor de permeabilidad de las rocas hipoabisales, para cada escala de análisis Figura 4-33: Coeficientes de variación para las componentes, (a) k xx, k yy y (b) k xy, k yx, del tensor de permeabilidad de las rocas hipoabisales, para cada escala de análisis Figura 4-34: Rotación del gradiente para verificar el comportamiento tensorial Figura 4-35: Comportamiento direccional de los coeficientes de permeabilidad para los esquistos en los modelos de (a) 9 metros y (b) 16 metros de lado. Las gráficas de la izquierda muestran sólo los resultados experimentales, mientras que en las gráficas de la derecha se superpone también la elipse teórica de acuerdo a las ecuaciones Figura 4-36: Comportamiento direccional de los coeficientes de permeabilidad para la brecha de intrusión en los modelos de (a) 8 metros y (b) 18 metros de lado. Las gráficas de la izquierda muestran sólo los resultados experimentales, mientras que en las gráficas de la derecha se superpone también la elipse teórica de acuerdo a las ecuaciones Figura 4-37: Comportamiento direccional de los coeficientes de permeabilidad para la cornubiana en modelos de (a) 10 metros y (b) 18 metros de lados. Las gráficas de la izquierda muestran sólo los resultados experimentales, mientras que en las gráficas de la derecha se superpone también la elipse teórica de acuerdo a las ecuaciones Figura 4-38: Comportamiento direccional de los coeficientes de permeabilidad para la brecha de intrusión en modelos de (a) 8 metros y (b) 18 metros de lados. Las gráficas de la izquierda muestran sólo los resultados experimentales, mientras que en las gráficas de la derecha se superpone también la elipse teórica de acuerdo a las ecuaciones Figura 5-1: Diagramas polares y diagramas polares de frecuencia estadística Figura 5-2: Vectores de flujo descritos por las familias identificadas en cada unidad geológica Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

19 Contenido XIX Lista de tablas Tabla 2-1: Generalidades de las cuencas en la zona de estudio Tabla 2-2: Distribución de los datos existentes en cada unidad litológica Tabla 2-3: Líneas de muestreo de datos estructurales sobre el esquisto Tabla 2-4: Líneas de muestreo de datos estructurales sobre la cornubiana Tabla 2-5: Líneas de muestreo de datos estructurales sobre la brecha de intrusión Tabla 2-6: Líneas de muestreo de datos estructurales sobre las rocas hipoabisales Tabla 2-7: Familias estructurales del esquisto. Sin corrección de datos por sesgo Tabla 2-8: Familias estructurales del esquisto. Con corrección de datos por sesgo Tabla 2-9: Familias estructurales de la cornubiana. Sin corrección por sesgo Tabla 2-10: Familias estructurales de la cornubiana. Con corrección por sesgo Tabla 2-11: Familias estructurales de la brecha de intrusión. Sin corrección por sesgo Tabla 2-12: Familias estructurales de la brecha de intrusión. Con corrección por sesgo Tabla 2-13: Familias estructurales para las rocas hipoabisales. Sin corrección por sesgo Tabla 2-14: Familias estructurales para las rocas hipoabisales. Con corrección por sesgo Tabla 2-15: Espaciamiento observado entre las discontinuidades muestreadas en esquisto Tabla 2-16: Espaciamiento entre las discontinuidades muestreadas sobre la cornubiana Tabla 2-17: Espaciamiento entre las discontinuidades muestreadas sobre la brecha de intrusión Tabla 2-18: Espaciamiento entre las discontinuidades muestreadas sobre las rocas hipoabisales Tabla 2-19: Ajuste de distribuciones de probabilidad al espaciamiento en los esquistos Tabla 2-20: Pruebas de bondad de ajuste del espaciamiento en los esquistos Tabla 2-21: Ajuste de distribuciones de probabilidad al espaciamiento en la cornubiana Tabla 2-22: Pruebas de bondad de ajuste del espaciamiento en la cornubiana Tabla 2-23: Ajuste de distribuciones de probabilidad al espaciamiento en la brecha de intrusión Tabla 2-24: Pruebas de bondad de ajuste del espaciamiento en la brecha de intrusión Tabla 2-25: Ajuste de distribuciones de probabilidad al espaciamiento en las rocas hipoabisales Tabla 2-26: Pruebas de bondad de ajuste del espaciamiento en las rocas hipoabisales Tabla 2-27: Persistencia observada en las discontinuidades muestreadas en esquisto Tabla 2-28: Persistencia observada en las discontinuidades muestreadas en cornubiana Tabla 2-29: Persistencia observada en las discontinuidades muestreadas en la brecha de intrusión Tabla 2-30: Espaciamiento entre las discontinuidades muestreadas en las rocas hipoabisales Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

20 XX Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Tabla 2-31: Parámetros de ajuste para la persistencia de las discontinuidades en esquisto Tabla 2-32: Pruebas de bondad de ajuste de la persistencia sobre esquistos Tabla 2-33: Parámetros de ajuste para la persistencia de las discontinuidades en cornubiana.95 Tabla 2-34: Pruebas de bondad de ajuste de la persistencia en la cornubiana Tabla 2-35: Parámetros de ajuste para la persistencia de las discontinuidades en la brecha de intrusión Tabla 2-36: Pruebas de bondad de ajuste de la persistencia en la brecha de intrusión Tabla 2-37: Parámetros de ajuste para la persistencia de las discontinuidades en las rocas hipoabisales Tabla 2-38: Pruebas de bondad de ajuste de la persistencia en las rocas hipoabisales Tabla 2-39: Persistencia media para cada unidad geológica y familia estructural Tabla 2-40: Estimación de la abertura hidráulica, a partir de ensayos lugeon, para los esquistos Tabla 2-41: Estimación de la abertura hidráulica, a partir de los ensayos luegon, para la cornubiana Tabla 2-42: Estimación de la abertura hidráulica, a partir de los ensayos luegon, para las rocas hipoabisales Tabla 2-43: Estimación de la abertura hidráulica, a partir de los ensayos luegon, para las rocas hipoabisales Tabla 2-44: Ajuste de los datos de abertura hidráulica efectiva Tabla 2-45: Pruebas de bondad de ajuste de la abertura hidráulica efectiva Tabla 3-1: Parámetros utilizados en la estimación de la frecuencia de fracturamiento Tabla 3-2: Constante k de Fisher para cada familia de cada unidad geológica Tabla 3-3: Parámetros utilizados en la estimación del ángulo de desviación Tabla 3-4: Parámetros utilizados en la generación de la persistencia Tabla 3-5: Parámetros utilizados en la generación de la abertura hidráulica Tabla 3-6: Parámetros utilizados en la generación de la abertura hidráulica Tabla 3-7: Ventanas de análisis seleccionadas Tabla 4-1: Promedios (µ) y desviaciones estándar (σ) de las componentes del tensor de permeabilidad del esquisto, para cada escala de análisis Tabla 4-2: Coeficientes de variación de las componentes del tensor de permeabilidad del esquisto, para cada ventana de análisis Tabla 4-3: Promedios (µ) y desviaciones estándar (σ) de las componentes del tensor de permeabilidad de la cornubiana, para cada escala de análisis Tabla 4-4: Coeficientes de variación de las componentes del tensor de permeabilidad de la cornubiana, para cada ventana de análisis Tabla 4-5: Promedios (µ) y desviaciones estándar (σ) de las componentes del tensor de permeabilidad de la brecha de intrusión, para cada escala de análisis Tabla 4-6: Coeficientes de variación de las componentes del tensor de permeabilidad de la brecha de intrusión, para cada ventana de análisis Tabla 4-7: Promedios (µ) y desviaciones estándar (σ) de las componentes del tensor de permeabilidad de las rocas hipoabisales, para cada escala de análisis Tabla 4-8: Coeficientes de variación de las componentes del tensor de permeabilidad de las rocas hipoabisales, para cada ventana de análisis Tabla 5-1: Escala de homogenización - criterio de coeficiente de variación menor a 15% Tabla 5-2: Escala de homogenización - criterio de coeficiente de variación menor a 10% Tabla 5-3: Modelo de permeabilidades obtenido Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

21 Contenido XXI Tabla 5-4: Componentes principales y direcciones principales de los tensores de permeabilidad Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

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23 Introducción La modelación del flujo de agua subterránea en macizos rocosos fracturados es un campo de investigación muy amplio dentro del estudio de la hidrogeología. Aunque los recursos hídricos subterráneos son muy limitados en este tipo de medios y su explotación para el consumo o la industria no resulta ser económica (especialmente en un país con una amplia oferta hídrica como Colombia), la importancia del tema radica en la necesidad de poder predecir el comportamiento del agua subterránea, y determinar los impactos hidrogeológicos ante la explotación de recursos naturales como es el caso de la minería y, en general, de excavaciones subterráneas de gran longitud como los túneles, ya que estos impactos se ven reflejados sobre los ecosistemas que dependen del agua subterránea, o de su interacción con el agua superficial, y sobre la estabilidad misma de la obra. De igual forma, el uso generalizado de este tipo de formaciones para el almacenamiento de residuos nucleares en países que utilizan este tipo de energía, ha ampliado el campo de investigación en torno al transporte de contaminantes en este tipo de medios (Berkowitz, 2002). Los acuíferos en formaciones geológicas fracturadas son sistemas altamente complejos y la caracterización de este tipo de medios, así como la cuantificación del flujo a través de ellos, se ha convertido en un tema desafiante para la hidrogeología (Faybishenco y Benson, 2000); por tal motivo se han formulado distintos modelos para investigar, entender y predecir las características del flujo en este tipo de ambientes, y para lograrlo es necesario comprender que se trabaja en un entorno con una heterogeneidad altamente errática, dependencia direccional y de características multiescalares (Neuman, 2005). Lo que quiere decir que las propiedades hidráulicas pueden variar punto a punto, y depender de la dirección de análisis y de la escala de trabajo. Es así como existen distintos enfoques para la modelación hidrogeológica de los medios fracturados, siendo los más destacados el modelamiento de fracturas discretas y el modelamiento continuo equivalente; a escala regional, este último enfoque parece ser la mejor aproximación, en cuanto a nivel de información y esfuerzo de cálculo requerido; sin embargo es necesario establecer la existencia de un volumen elemental de referencia (REV, del inglés Reference Elementary Volume ), a partir del cual las propiedades hidráulicas sean esencialmente constantes, para que el enfoque sea válido (Bear, 1972); adicionalmente es necesario garantizar que los parámetros hidráulicos a esta escala tengan propiedades tensoriales (Min, 2004). El enfoque continuo equivalente nos enfrenta de esta manera a importantes interrogantes entre los que se destacan la escala a la cual pueden determinarse las propiedades hidráulicas (conductividad hidráulica, porosidad, almacenamiento, etc) y si es apropiado o no aplicar principios de la mecánica continua a problemas de flujo en rocas fracturadas. Por tanto, previo a la aplicación de este enfoque de modelamiento en un sistema hidrogeológico fracturado, se hace Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

24 24 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado necesaria la estimación de una escala de referencia hidráulica y el cálculo de un modelo de conductividades hidráulicas para el medio. Por todo lo anterior se considera que es importante estudiar la definición de un medio continuo equivalente que sea capaz de capturar los procesos que ocurren en el medio fracturado real y que cumpla con todas las condiciones establecidas para que sea adecuadamente representativo. En este trabajo se emplea la metodología para la determinación de la escala de referencia hidráulica definida por Long et al. (1982), quiénes la emplearon de manera sintética (sin utilizar datos de campo reales) para comprobar que no siempre es posible establecer esta escala, y que básicamente depende de los parámetros geométricos de la red de fracturas estudiada. En este caso dicha metodología es aplicada a un macizo de rocas fracturadas ubicado en el municipio de Cajamarca (Tolima), en la Cordillera Central Colombiana. El objetivo general de este trabajo es establecer el volumen elemental de referencia (REV) para las distintas unidades geológicas que conforman la zona de estudio, que corresponde al sistema hidrogeológico de la parte alta de la cuenca del río Bermellón (Tolima); esto se logra mediante la generación de múltiples modelos estocásticos de fracturas discretas y la modelación numérica del flujo a través de éstos en diferentes escalas, derivando finalmente las propiedades hidráulicas equivalentes de cada unidad en las diferentes escalas de análisis; de este modo, se desprenden los siguientes objetivos específicos: 1- Caracterizar estadísticamente la geometría del sistema fracturado en la zona de estudio, a partir de datos geológicos de campo e información de perforaciones exploratorias; lo cual incluye la modelación estadística de la orientación, la frecuencia del fracturamiento, la persistencia de las trazas y la abertura hidráulica. 2- Generar múltiples modelos de fracturas discretas (DFN, del inglés Discrete Fracture Network ) para cada unidad geológica; teniendo en cuenta la modelación estadística de los datos reales en campo, de modo que cada modelo sea una representación plausible del medio fracturado. 3- Simular el flujo a través de las redes de fracturas generadas para diferentes escalas de análisis, para lo cual se utiliza modelación numérica. A partir de los resultados de la modelación se deriva la permeabilidad equivalente para cada red de fracturas, en cada escala de análisis. 4- Determinar el volumen elemental de referencia (REV) para cada unidad geológica dentro de la zona de estudio, analizando las variaciones en los parámetros hidráulicos determinados para cada modelo de fracturas en cada escala de análisis. 5- Calcular los tensores de conductividades hidráulicas equivalentes a escala del volumen elemental de referencia para cada unidad geológica, obteniendo finamente un modelo de conductividades hidráulicas equivalentes para el medio fracturado. La metodología general propuesta por Long et al. (1982) es complementada con un análisis estadístico detallado de las características geométricas de las fracturas levantadas en campo como parte del estudio de prospección geológica del proyecto minero La Colosa, incluyendo un algoritmo para la selección de familias estructurales con sentido estadístico; la construcción de un Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

25 Introducción 25 algoritmo para la generación de redes de fracturas discretas a partir de las funciones de probabilidad construidas en el análisis anterior y otro para la depuración de dichos modelos de fracturas en redes de tramos de flujo y, finalmente, la construcción de algoritmos para el cálculo de las cabezas hidráulicas en los nodos de la redes de flujo y para la cuantificación del caudal a través de ellos. Las principales limitaciones en la construcción de este trabajo se debieron a la naturaleza de los datos de campo; como éstos obedecen a afloramientos superficiales levantados en líneas de muestreo, no fue posible obtener los parámetros necesarios para la generación de fracturas en tres dimensiones, por lo tanto los modelos generados se hicieron dentro de un plano vertical con una orientación norte-sur, asumiendo un ancho unitario para la cuantificación de los caudales; la medición de las aberturas de las discontinuidades en afloramientos de roca está fuertemente afectada por las limitaciones de instrumentos adecuados para su medición, de igual forma no son un buen indicativo de la abertura hidráulica efectiva, pues la roca se ha visto sujeta a procesos de meteorización; debido a esto se hace uso de resultados de pruebas Lugeon en perforaciones exploratorias, que se encuentran en su mayoría sobre una de las cuatro unidades litológicas presentes en el área. Finalmente, los resultados obtenidos son válidos para las capas más superficiales de la roca fracturada en la zona, debido a que no se tiene en cuenta la variación del fracturamiento en profundidad. Establecer una escala de referencia para el comportamiento hidráulico en las unidades rocosas de la zona, y el modelo de conductividades hidráulicas equivalentes resultante de este trabajo, constituye un insumo muy importante en el modelamiento de la hidrogeología del sistema. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

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27 1. Marco Teórico y Antecedentes En este capítulo se presenta una síntesis del estado del arte en el estudio del flujo subterráneo en rocas cristalinas fracturadas, partiendo de la caracterización geométrica del medio fracturado en campo y el análisis estadístico de los datos recolectados. Se presentan algunos conceptos básicos acerca de los enfoques de modelación comunes en el estudio hidrogeológico de los medios geológicos fracturados, del modelamiento estocástico de la geometría de los sistemas de fracturas y se aborda el problema de la escala espacial de trabajo. Finalmente se presenta el concepto de volumen elemental de referencia (REV, del inglés Reference Elementary Volume ), y las condiciones que se deben satisfacer para que el medio fracturado estudiado pueda ser tratado con un enfoque de modelamiento de medio poroso equivalente (EPM, del inglés Equivalent Porous Medium ); seguido de algunos antecedentes en la literatura especializada acerca de la determinación del REV en casos sintéticos y aplicados. 1.1 Introducción El modelamiento del flujo de agua a través de rocas fracturadas es uno de los problemas más complejos que enfrenta la hidrogeología. El estudio de este tipo de formaciones geológicas es importante en múltiples temas propios de la ingeniería, como ejemplo se puede citar el estudio del comportamiento de las aguas subterráneas en el desarrollo de embalses asentados en medios rocosos, el diseño de pozos para la extracción de petróleo y gas, la planeación para la disposición final de desperdicios nucleares, el desarrollo de programas de energía geotermal, el estudio de la contaminación de aguas subterráneas en medios fracturados, la investigación de estabilidad geotécnica de obras civiles y el estudio de lixiviación de contaminantes en minas (Berkowitz, 2002). En general, los factores que influyen en el comportamiento del flujo en los medios fracturados son la estratigrafía, el patrón de la red de fracturas, el comportamiento del flujo a nivel de fractura simple, las propiedades de la matriz rocosa, el sistema de esfuerzos in situ y las condiciones hidráulicas de frontera (Kulatilake et al. 2000). La capacidad de conducción de agua subterránea en los medios rocosos está gobernada por las discontinuidades existentes en éstos; para la mayoría de rocas ígneas y metamórficas, la permeabilidad de la matriz rocosa es despreciable en comparación con la conductividad hidráulica de las fracturas, debido a la cristalización de los minerales que la componen; por lo tanto, el comportamiento del flujo en el macizo rocoso depende en gran medida del patrón de la red de fracturas, la distribución de aberturas y la conectividad existente entre las discontinuidades que componen la red; tradicionalmente esta propiedad de los medios rocosos es conocida como permeabilidad secundaria. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

28 28 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado El enfoque tradicional en el estudio del flujo en los sistemas geológicos fracturados se hizo en la escala de fractura simple, idealizando el plano de la fractura como un par de placas paralelas planas (Jing & Stephansson, 2007); sin embargo, se ha optado por caracterizar la morfología de las superficies de las paredes de las fracturas y se ha demostrado que las irregularidades en dichas paredes poseen propiedades de autosemejanza fractal (Brown et al. 1985; Schmittbuhl et al. 1995). En conjunto con el concepto de rugosidad, se ha explorado con mayor profundidad el concepto de abertura, que es un parámetro importante en la cuantificación del flujo; la medición de este parámetro en campo es muy complicada porque las aberturas observadas en afloramientos y perforaciones no son representativas de las discontinuidades al interior del macizo rocoso, ya que son afectadas por procesos de meteorización y de intervenciones antrópicas como cortes para carreteras, sino que es necesario recurrir a una manera de medición indirecta, donde la abertura termina siendo función del proceso físico para el cual es necesaria (Silliman, 1987; Tsang, 1992). A una escala mayor, considerando el medio geológico fracturado como una red de fracturas interconectadas, se ha demostrado la existencia de canales y caminos preferenciales de flujo tanto en fracturas individuales como en redes de fracturas (Neretnieks, 1982; Bear et al, 1993); como ejemplo se puede citar un yacimiento de uranio llamado Fanay-Augéres en Francia, conformado por un granito fracturado, donde se determinó que sólo el 0,1% de las fracturas que conforman el sistema contribuyen al flujo en gran escala (Cacas et al, 1990), de manera que un medio altamente fracturado puede no ser tan apto para el flujo como otro medio menos fracturado pero con un grado de conectividad mayor. Debido a que es imposible conocer la disposición geométrica de todas las discontinuidades que componen un medio geológico real, un segundo enfoque de trabajo de los medios fracturados propone tratarlo como un medio poroso equivalente (EPM, del inglés Equivalent Porous Media ). Esta aproximación se constituye en una manera efectiva para el análisis del flujo en medio fracturados de regiones extensas, pero plantea la necesidad de establecer en qué escala espacial pueden determinarse esas propiedades equivalentes y si es correcto aplicar principios de la mecánica continua al problema del flujo en medios fracturados (Min et al, 2004). Para poder aplicar los principios de la mecánica continua es necesario encontrar una escala de análisis macroscópica en la que el medio fracturado pueda asimilarse a un medio homogéneo; dicha escala depende de la existencia de un volumen elemental de referencia (REV, del inglés Reference Elementary Volume ), que es el volumen a partir del cual el parámetro de interés, en este caso la permeabilidad, deja de variar (Long et al, 1982). El REV puede ser determinado con la medición de la permeabilidad al incrementar volúmenes de roca hasta que el valor no cambie de manera significativa con la adición o extracción de un pequeño volumen de roca (Long et al, 1982). 1.2 Caracterización geométrica de los medios fracturados Un macizo rocoso puede considerarse constituido por tres componentes: la red de fracturas, la matriz rocosa y el relleno de las fracturas (si está presente). Varios planos de discontinuidades del mismo tipo conforman una familia estructural; de igual manera, varias familias interconectadas crean una red de fracturas que facilita el flujo a través del medio. Uno de los mayores problemas para la modelación numérica en los medios fracturados es la representación del sistema de fracturas con un modelo geométrico, ya que el movimiento del agua subterránea en rocas Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

29 Marco Teórico y Antecedentes 29 cristalinas masivas está controlado principalmente por las fracturas y demás discontinuidades presentes en dichos medios, y como primer paso en la caracterización del flujo en el medio fracturado es necesaria una caracterización de las discontinuidades que lo conforman, entendiendo así de manera indiferente todas las grietas, fisuras, diaclasas y fallas presentes en la formación (A pesar de su diferenciación geológica, hidrogeológicamente reciben el mismo tratamiento). La caracterización adecuada del sistema de fracturas es importante para tener una comprensión adecuada del flujo y la distribución de la conductividad hidráulica en el medio, esto implica la identificación de los diferentes conjuntos de fracturas en función de su orientación (dirección y buzamiento), la frecuencia, la interconectividad, la apertura, la continuidad y la forma (Singhal & Gupta, 2010). Bajo un grupo determinado de condiciones de frontera, el comportamiento hidráulico de un macizo de roca fracturada, con una matriz impermeable (desde un punto de vista práctico), queda determinado completamente por la geometría del sistema de fracturas. Las discontinuidades en un medio geológico real presentan superficies complejas, pero es necesaria una simplificación con propósitos prácticos (Long et al, 1982). Adicionalmente, no es fácil levantar (mapear) con precisión las fracturas y redes de fracturas, debido a que conseguir mediciones en campo con precisión es difícil (porque sólo se puede observar la roca que está expuesta, que se ve afectada por procesos de meteorización) y la medición de todas las discontinuidades es imposible; en aplicaciones prácticas el único enfoque realista es vía modelación estocástica a partir de datos escasos (Xu et al, 2010). Es importante señalar que existen planos de discontinuidades en distintas escalas espaciales, que afectan de manera distinta el comportamiento hidráulico global del macizo rocoso. Las estructuras geológicas de gran escala como fallas y grandes zonas de fracturamiento, pueden extenderse por kilómetros y tienen orígenes tectónicos; debido a ello son sistemas que pueden ser caracterizados con cierta facilidad y generalmente se tratan de manera discreta dentro del modelamiento regional. Por otro lado, existen discontinuidades microscópicas (micro-fracturas y límites intragranulares) que son distribuidas de manera más aleatoria y en concentraciones mucho más altas, son imposibles de modelar de manera discreta y se asume que su efecto en el comportamiento hidráulico del macizo tiene efecto sólo a escala de la matriz rocosa. Finalmente, existe un tercer grupo de discontinuidades, cuya escala se sitúa entre los dos casos presentados anteriormente; este grupo comprende diaclasas, planos de estratificación, foliaciones, etc.; la persistencia de estas discontinuidades varía de centímetros a metros, y generalmente se presentan en familias en términos de la agrupación de sus orientaciones y en una densidad importante, separando la roca en bloques de geometrías complejas (Jing & Stephansson, 2007); este grupo de discontinuidades tiene un efecto importante en el comportamiento hidráulico del macizo rocoso y es imposible una modelación determinística de todas ellas. La manera en que se incorpora la presencia de estas discontinuidades en la modelación numérica es la que origina dos enfoques de trabajo diferentes: por un lado el modelamiento continuo equivalente (que les confiere propiedades continuas) y el modelamiento discreto de fracturas (que les confiere propiedades discretas). La caracterización de un sistema de fracturas puede considerarse completa cuando cada una de las discontinuidades es descrita en términos de las propiedades que definen su geometría: - Orientación: Los planos de las discontinuidades son orientados en el espacio con la determinación del rumbo (ángulo con respecto al norte de la línea descrita por la intersección del plano de discontinuidad con un plano horizontal imaginario), el buzamiento o dip (ángulo Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

30 30 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado descrito entre la línea de mayor pendiente del plano de la discontinuidad y un plano horizontal imaginario que lo intersecta) y el rumbo del buzamiento o dip direction (ángulo con respecto al norte de la proyección horizontal de la línea de buzamiento). Gráficamente los parámetros referentes a la orientación de los planos de las discontinuidades se muestran en la Figura 1-1. En cuanto al sistema de fracturas, la orientación es el principal criterio utilizado para la separación de diferentes familias (o grupos) de fracturas usando técnicas de proyección estereográfica. Figura 1-1: Parámetros geométricos de un plano de discontinuidad (modificada de Jing & Stephansson, 2007). - Densidad y espaciamiento: Se entiende como densidad al número de fracturas por unidad de volumen (o área en el caso bidimensional) de la masa rocosa, la densidad es definida para cada familia (o grupo) de fracturas determinada con base en la orientación y siguiendo criterios estadísticos; este valor está muy relacionado a la frecuencia y/o espaciamiento, que es la distancia entre dos fracturas adyacentes de una misma familia siguiendo la misma función de distribución para sus orientaciones (pertenecientes a una misma familia). En un proceso de generación de fracturas estos parámetros determinan la cantidad de fracturas a generar para cada familia. - Forma: Básicamente es desconocida la forma que tienen los planos de las discontinuidades, frecuentemente se asume como elíptica, circular, rectangular o un polinomio planar. - Tamaño: En la práctica es completamente desconocido y no puede ser determinado directamente del levantamiento estructural en superficie o del registro de perforaciones; usualmente se estima de la longitud de la traza, su persistencia y la forma asumida. En la práctica, se asume frecuentemente que el tamaño (el diámetro de los discos circulares) tiene la misma distribución que la longitud de traza, con alguna corrección por sesgo (Jing & Stephansson, 2007). - Longitud de traza (persistencia): Inicialmente, en el estudio de los medios fracturados se consideraba la existencia de fracturas de extensión infinita (fracturas continuas o extensivas). En los medios geológicos reales este tipo de fracturas obedece a grandes fallas regionales que Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

31 Marco Teórico y Antecedentes 31 pueden persistir por kilómetros; las discontinuidades más comunes presentan una naturaleza finita o no-extensiva, en cuanto a la persistencia. El que las discontinuidades tengan dimensiones finitas implica que cada fractura sólo puede contribuir al flujo (y por tanto a la permeabilidad global de la roca) si intersecta otras fracturas conductoras; este hecho se traduce en que el flujo en una fractura dada no es independiente del flujo en todas las demás fracturas y, además, que la permeabilidad de la red de fracturas no es la suma simple de las permeabilidades de cada fractura individual (Long et al, 1982). - Abertura: La caracterización del comportamiento hidráulico de una fractura requiere la determinación de su abertura hidráulica o abertura efectiva. La abertura es el parámetro más sensible para la cuantificación del flujo a través de la fractura; sin embargo, es difícil de medir en campo directamente. La superficie de las discontinuidades puede ser simplificada como un plano a una escala macroscópica; sin embargo, en la realidad presentan alguna sinuosidad, con amplitudes y longitudes de onda variables. A nivel microscópico existen numerosas asperezas en las superficies de los planos de las discontinuidades. Estas asperezas ocasionan que las paredes de las discontinuidades sean rugosas, y es una de las causas de la complejidad en el comportamiento mecánico e hidráulico de las rocas fracturadas (Jing & Stephansson, 2007). - Localización del centro geométrico: Desconocida y no puede ser determinada de medidas en superficie o registro de perforaciones. En la literatura este parámetro es expresado en términos de una función de distribución de probabilidad; el caso más simple es el puramente aleatorio. - Relleno: No siempre está presente en las discontinuidades; cuando el material que rellena las fracturas es menos permeable que la matriz rocosa, las fracturas se constituyen en barreras del flujo; sin embargo, la literatura especializada se centra principalmente en el estudio de las discontinuidades que son más permeables que la roca que las contiene (Neuman, 2005). 1.3 Modelos estocásticos de los sistemas de fracturas El enfoque estocástico adoptado en el estudio del flujo de agua subterránea se basa en que las variables que influencian el flujo, especialmente las relativas al medio fracturado, son afectadas fuertemente por la incertidumbre, y propone considerar estás variables sujetas a un nivel de aleatoriedad, de modo que se puedan definir modelos en un contexto estocástico que hagan predicciones en términos de probabilidades. La conductividad hidráulica en los macizos rocosos esta comúnmente controlada por una red de fracturas discretas, debido a que la roca parental se ha visto afectada por esfuerzos de diferente naturaleza y la porosidad primaria normalmente es muy baja (Voeckler y Allen, 2012). Por esta razón la representación geométrica de las redes de fracturas toma una gran relevancia en la modelación del flujo a través de la roca fracturada. Los modelos que representan el flujo a través de las fracturas individuales o redes de fracturas (conocidos como modelos de fracturas discretas) son establecidos bajo dos factores clave: la geometría del sistema de fracturas y la transmisividad individual de cada fractura discreta (Min et al, 2004). Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

32 32 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Debido a que es imposible conocer de manera determinística la geometría del sistema fracturado, el modelo geométrico de este sistema (base para el análisis del flujo), se construye mediante un enfoque estocástico. Específicamente este enfoque se basa en el levantamiento de datos geométricos del macizo en campo y su descripción estadística mediante funciones de distribución de probabilidad; la combinación de la descripción estadística de cada variable geométrica del sistema se utiliza para la generación de modelos geométricos del sistema de fracturas plausibles. La construcción estocástica del sistema fracturado comienza con la división en grupos o familias (en un sentido estadístico) con base en las orientaciones de los planos de discontinuidad del medio fracturado real observados en campo; se asume entonces que cada familia es independiente de las demás y que el proceso de generación de fracturas es igualmente independiente. La geometría de cada grupo de discontinuidades se caracteriza para obtener las funciones de distribución de probabilidad para cada parámetro del sistema fracturado (generalmente orientación, espaciamiento, persistencia y aberturas); este grupo de funciones de distribución de probabilidad describe la distribución estadística de los parámetros geométricos de cada familia de discontinuidades. Las propiedades de las redes de fracturas son aproximadas por la distribución estadística teórica que ofrezca un mejor ajuste con base en los datos de campo, y cada fractura generada es producto de un muestreo Monte Carlo de varias funciones de distribución estadística, cada una representando una cierta propiedad de la fractura (Voeckler y Allen, 2012); la combinación de todos los factores generados de esta manera para todas las familias de discontinuidades es un campo de fracturas discretas. Los sistemas geométricos en las masas rocosas son geométricamente complejos y la práctica usual en la modelación de fracturas discretas es asumir que cada propiedad geométrica de las fracturas puede ser estadísticamente distribuida (Baghbanan y Jing, 2006). Cada modelo estocástico sólo puede ser considerado como una representación parcial plausible del sistema fracturado real, en un sentido estadístico. Adicionalmente, cada modelo generado a partir de las propiedades estadísticas de las fracturas levantadas en campo tendrá diferente geometría y producirá un comportamiento hidráulico diferente de modelo a modelo, aunque obedezcan a las mismas distribuciones estadísticas de los parámetros del sistema fracturado (esta es la manifestación de los efectos de la descripción estocástica de las estructuras de la roca que son desconocidas). Por lo tanto un número considerable de modelos es necesario para dar una evaluación adecuada de los efectos sobre el tamaño de la muestra, la existencia del REV y sus propiedades hidráulicas generales promedio (Min et al, 2004). Se ha encontrado que la longitud de traza o persistencia sigue frecuentemente una distribución potencial y la transmisividad de las fracturas (que se relaciona con la abertura hidráulica a través de la ley cúbica (Snow, 1969)) sigue distribuciones log-normales o potenciales. Con ayuda de mediciones de laboratorio se ha reportado que las aberturas siguen distribuciones log-normales a escala de fractura simple, distribuciones potenciales han sido usadas también en algunas aplicaciones y validadas con medidas de campo usando técnicas tales como logueo con micro escáner, televiewer de perforaciones exploratorias y medida directa sobre afloramientos (Baghbanan y Jing, 2006). Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

33 Marco Teórico y Antecedentes Modelos de flujo en medios fracturados Para tratar la gran variedad de problemas que se presentan en el medio fracturado se ha encontrado que los procesos en dichos medios pueden ser modelados desde una serie de enfoques, que a grandes rasgos se clasifican en dos grupos, dependiendo de la forma en que se representan las discontinuidades y al grado de heterogeneidad representado: medio poroso equivalente (EPM, del inglés Equivalet Porous Medium ) y redes de fracturas discretas (DFN, del inglés Discrete Fracture Network ), (Molinero, 2001; Wang & Kulatilake, 2008). El primero asume que los efectos hidráulicos combinados de las discontinuidades y la matriz rocosa pueden ser representados por un medio poroso continuo equivalente y el segundo trata las discontinuidades, distribuidas en la matriz rocosa, como elementos independientes (discretos) con conductividades hidráulicas significativamente mayores en comparación a la conductividad hidráulica de la matriz rocosa, que frecuentemente se asume impermeable en el caso de rocas cristalinas fracturadas (Kulatilake & Panda, 2000). Se resalta que los ensayos de campo para la determinación de la conductividad hidráulica, incluyendo pruebas de bombeo en acuíferos o datos de ensayos packer, están basados en la hipótesis de que el agua subterránea fluye a través de un medio geológico continuo, isotrópico y homogéneo (Wang et al, 2002). Adicionalmente se desprenden otros enfoques basados en la conceptualización continua; como los modelos de doble porosidad y triple porosidad que se basan en el enfoque continuo y son utilizados para representar medios geológicos donde las permeabilidades de la matriz rocosa y del sistema de fracturas son ambas relevantes (rocas porosas fracturadas como las areniscas) y cuando, adicionalmente, se pueden desarrollar geoformas propias de la disolución de carbonatos (como calizas), creando canales que se convierten en caminos preferenciales de flujo. Dentro de la conceptualización discreta los modelos se diferencian por la manera en que representan las transmisividades de las fracturas simples, incluyendo el modelo de placas paralelas planas clásico y el modelo de placas paralelas locales Singhal & Gupta, 2010) Aproximación continua: medio poroso equivalente (EPM) La aproximación por EPM es la más simple de todas, y está basada sobre la consideración que la heterogeneidad inherente al sistema puede ser descrita completamente por el uso de parámetros representativos de procesos más simples; esta aproximación se deriva naturalmente del concepto de volumen elemental de referencia (REV, del inglés Reference Elementary Volume ) y el dominio es modelado como el conjunto de un medio poroso continuo equivalente con un tensor de conductividad hidráulica (Berkowitz, 1988; Durlofsky, 1991; Bear, 1993). La dirección principal del tensor efectivo k es gobernada por la dirección de los conductos principales, la cual puede ser encontrada de las observaciones y levantamientos de campo. Una desventaja de este modelo es la dificultad de definir el REV, ya que los valores del tensor de k cambian con respecto a la escala de interés. Los modelos continuos son generalmente determinísticos, para los cuales los valores de los parámetros hidráulicos y las propiedades del flujo resultantes son definidos en cada punto del dominio de interés. Bajo el enfoque continuo es posible aplicar los modelos numéricos basados en la continuidad (como diferencias finitas, elementos finitos o cualquier aplicación continua) al problema del flujo en el medio fracturado; la asunción básica es que el medio discontinuo se comporta, a escala macroscópica y en un sentido estadístico, como un medio poroso continuo equivalente de modo Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

34 34 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado que es posible aplicar la ley de Darcy para solucionar el campo de flujo subterráneo. Es importante formular el EPM de modo que los efectos de las fracturas puedan ser representados apropiadamente dentro de las propiedades del material equivalente definidas para el medio continuo asumido; este proceso es llamado homogenización, que puede ser válido solamente en un sentido estadístico y mediante un operador promedio sobre una muestra de cierto volumen del medio discontinuo, que es el REV. El enfoque de un medio continuo equivalente depende de la existencia del volumen de referencia para el sistema de fracturas y de que las propiedades físicas equivalentes derivadas a esta escala puedan ser aproximadas a una representación tensorial (Long 1982, Jing & Stephansson; 2007); un ejemplo es el tensor de permeabilidad hidráulica equivalente establecido con el criterio de que el recíproco de la raíz cuadrada de la permeabilidad direccional en la dirección del gradiente hidráulico se puede aproximar por una elipse en un diagrama polar para el caso en dos dimensiones. (Bear, 1972; Long et al, 1982; Khaleel, 1989). Existe otra clase muy amplia de modelos continuos que abarca una gama de modelos estocásticos, con base en un conjunto de promedios sobre un dominio, que caracterizan a los parámetros hidráulicos y las propiedades de flujo en términos de campos aleatorios y distribuciones de probabilidad. Los enfoques estocásticos son diversos, e incluyen el análisis de Monte Carlo basado en múltiples regresiones deterministas de un sistema de fracturas, modelos de código cerrado que utilizan campos al azar y/o conceptualizaciones jerárquicas que incorporan análisis fractal y conceptos de percolación. Debido a su flexibilidad y capacidad de proporcionar rangos cuantitativos del comportamiento (en términos de probabilidad), los enfoques continuos estocásticos son generalmente considerados de mayor utilidad práctica que los enfoques deterministas (Berkowitz 2002). Ejemplos de estudios usando el enfoque EPM son los trabajos de Neuman (1987, 1988), Neuman y Depner (1988), Follin y Thunvik (1994), Tsang et al. (1996) y Ando et al. (2003) Aproximación discreta: redes de fracturas discretas (DFN) La aproximación discreta asume que la permeabilidad de la matriz rocosa es despreciable en comparación a la de las discontinuidades que conforman el medio fracturado, y pretende hacer una descripción discreta de la red de discontinuidades en un modelo geométrico a través del cual se simula el flujo; existen dos factores clave en este enfoque: la representación geométrica del medio fracturado y la transmisividad de cada fractura (que depende directamente de la abertura hidráulica de la misma). Dado que es imposible establecer toda la información geométrica de manera determinística acerca de las fracturas en profundidad, e incluso algunos aspectos relativos a las más superficiales, el enfoque con redes de fracturas discretas (DFN) está basado en simulaciones estocásticas de sistemas fracturados usando la técnica de simulación de Monte Carlo (Jing & Stephansson, 2007). Como se mencionó anteriormente cada simulación debe ser entendida como una representación parcial del sistema fracturado real plausible, en un sentido estadístico, y es necesario realizar múltiples modelos de redes de fracturas a partir de las propiedades estadísticas de la información estructural de campo, ya que éstos pueden tener características diferentes entre sí, lo que se traduce en un comportamiento hidráulico distinto también (Min et al, 2004). Esta es la manifestación de los efectos de la descripción estocástica del sistema de fracturas en profundidad, que en realidad es un proceso determinístico, por lo que el enfoque DFN es, necesariamente, un enfoque estocástico (Min & Jing 2003; Min et al, 2004). Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

35 Marco Teórico y Antecedentes 35 En general, el enfoque DFN requiere mucha información acerca de las propiedades de la red de fracturas tales como distribución del tamaño, orientación y transmisividad; es así como la cabeza hidráulica es calculada en cada intersección de fracturas y se obtiene el flujo en cada segmento (Botros et al, 2008). El enfoque DFN tiene muchas aplicaciones para problemas de rocas fracturadas a pesar de los problemas que presenta (principalmente los requerimientos de información, el costo computacional y la naturaleza estocástica de la representación geométrica del sistema fracturado); esto se debe a que es una herramienta importante para el modelamiento del flujo y el transporte en escalas pequeñas e intermedias, dado que la geometría de las fracturas a estas escalas puede ser aproximada en detalle de manera explícita. Esta ventaja disminuye para problemas a escalas mayores, donde la representación explicita de un gran número de fracturas hace el modelo computacionalmente ineficiente, la caracterización del sistema fracturado es mucho más compleja y el modelo continuo con propiedades equivalentes llega a ser más atractivo. Esto depende de dos condiciones: que pueda establecerse un REV para el sistema y las propiedades hidráulicas derivadas a escala del REV pueden ser aproximadas por tensores con un nivel aceptable de confiabilidad (Long, 1982). Otro problema importante en la modelación discreta de los medios fracturados es la representación de las aberturas de las discontinuidades, debido a que las observaciones de campo no son totalmente representativas de este parámetro y la estimación por ensayos de campo o laboratorio se hace por medio de medidas indirectas. La aberturas son indispensables para la adopción de un modelo de flujo; a escala de fractura simple (que es el caso más sencillo) se asume una abertura constante a largo de cada fractura individual, con el objetivo de darle a dicha discontinuidad un valor de transmisividad, relacionada directamente con la abertura de la fractura usando la ley cúbica (Snow, 1969) en un modelo de placas planas paralelas; ignorando de esta manera los efectos de la rugosidad de la fractura en el flujo y asumiendo la hipótesis de flujo laminar. A escala de red de fracturas es posible considerar una abertura constante para toda la red de fracturas o describir la distribución estadística de este parámetro por medio de funciones de distribución de probabilidad, lo que se dificulta ante la ausencia de información. Ejemplos de estudios usando DFN incluyen los trabajos de Cacas et al. (1990), Liu and Bodvarsson (2001), Park et al. (2001) y Dreuzy et al. (2002, 2004) Escala espacial del problema Al trabajar temas relacionados con medios fracturados es necesario enfrentar problemas inherentes a la escala, incluyendo la escala de los procesos físicos, del problema de estudio y de las medidas en campo y laboratorio; quizá la consideración más importante es que las mediciones e interpretaciones que sobre este medio se hagan son función de la escala de trabajo y por tanto el enfoque de modelamiento también lo es; en medios fracturados también se presenta nounicidad, porque generalmente no existe una sola manera de modelar los procesos que ocurren en ellos (por ejemplo en la interpretación de pruebas hidráulicas y en la modelación cuantitativa no existe un único enfoque válido), y la dificultad para encontrar correlaciones entre la geometría y las propiedades hidráulicas de las formaciones fracturadas, particularmente asociados a la incertidumbre de las medidas (Berkowitz, 2002). En la Figura 1-2 se muestra de manera esquemática la elección del modelo de flujo más conveniente para cada escala de interés. La formulación de modelos continuos con propiedades equivalentes es conveniente, y en ocasiones necesaria, para aplicaciones a escala regional, donde la representación explicita de un Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

36 36 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado gran número de fracturas de diferentes tamaños llega a ser computacionalmente intratable e imposible de representar adecuadamente. Al adoptar este enfoque es necesario tener en cuenta que la determinación de las propiedades hidráulicas equivalentes es indispensable para el entendimiento del comportamiento hidráulico de las masas de roca fracturada. Luego de que las propiedades hidráulicas son determinadas, se puede adoptar un análisis continuo a gran escala para simulaciones numéricas más eficientes (Baghbanan & Jing, 2007). Por otro lado, los modelos discretos de fracturas permiten cuantificar fenómenos de flujo que no son adecuadamente capturados mediante el uso de modelos continuos. Una ventaja importante del enfoque de fracturas discretas es que puede dar cuenta explícitamente de los efectos de las fracturas individuales en el flujo. Como consecuencia, los modelos discretos de fracturas se han hecho populares para los estudios teóricos y para aplicaciones prácticas, a pesar de sus limitaciones computacionales a escala regional de flujo (Sahimi 1995; Lee et al. 1993). La aplicación práctica de los modelos discretos de redes de fracturas puede ser limitada si los datos detallados sobre el terreno no están disponibles. Para su calibración estos modelos demandan más datos que los modelos continuos. Figura 1-2: Modelos de flujo con base en la escala del dominio de interés (modificada de Assteerawalt, 2008). Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

37 Marco Teórico y Antecedentes Volumen elemental de referencia (REV) para un macizo rocoso asociado con la conductividad hidráulica El aspecto más importante que se debe tener en cuenta al seleccionar un enfoque de modelamiento continuo para los medios geológicos fracturados es que no es adecuado modelar todos estos medios, en todas las diferentes escalas, usando un enfoque poroso continuo equivalente; ya que esencialmente son medios discontinuos con una heterogeneidad altamente errática, dependencia direccional, naturaleza doble o multicomponente y de características multiescalares (Neuman, 2005). Esto debido a que estos medios pueden mostrar un comportamiento continuo equivalente sólo en algunas escalas, o incluso no mostrar dicho comportamiento a ninguna escala de trabajo (Panda y Kulatilake, 1999). Para poder encontrar parámetros equivalentes del medio fracturado en un medio continuo equivalente, es necesario que se pueda establecer un volumen elemental de referencia REV para las propiedades hidráulicas del sistema y que dichas propiedades hidráulicas derivadas a escala del REV pueden ser aproximadas por tensores con un nivel aceptable de confiabilidad (Long, 1982). Dado lo anterior es importante investigar los criterios para poder asumir un comportamiento continuo equivalente desde el punto de vista hidráulico, con respecto a los parámetros geométricos de las fracturas y los tamaños de bloque asociados (o escalas); la existencia de dicho volumen elemental puede ser investigado usando el enfoque de flujo a través de fracturas discretas que es aplicable a pequeñas escalas (Wang et al, 2002). Adicionalmente, aunque las propiedades hidráulicas equivalentes puedan ser establecidas sobre un REV definido de manera apropiada, pueden o no tener propiedades tensoriales, y además pueden o no ser adecuadas para un análisis continuo, de modo que es necesario el estudio detallado de cada problema, que será función del sitio específico (Min et al, 2004). Teóricamente el volumen elemental de referencia (REV) se define como el volumen mínimo de muestra, por encima del cual las propiedades características del material permanecen esencialmente constantes (Bear, 1972). Esto solamente se consigue cuando el sistema fracturado es homogéneo en términos de la distribución estadística de sus parámetros geométricos como densidad, tamaño, orientación y su grado de conectividad; pero en la realidad los sistemas fracturados son heterogéneos y las propiedades geométricas de las fracturas muestran usualmente una dependencia de la escala, por lo que no siempre hay garantía de la existencia de un REV para un sistema de rocas fracturadas dado (Neuman 1987; Panda and Kulatilake 1996; Neuman 2005). En la Figura 1-3 se muestra gráficamente el concepto del volumen elemental de referencia REV, que es necesario para dar el paso de un medio discontinuo a un medio continuo equivalente. Es importante resaltar que el concepto de volumen elemental de referencia no sólo es aplicable al medio fracturado, a escalas detalladas los medios porosos también se comportan de manera discontinua debido a que a nivel microscópico forman una red compleja de poros y canales compuestos por el espacio vacío entre los poros; esta escala de trabajo es intratable para problemas prácticos, por tanto se opta por una escala macroscópica donde los efectos hidráulicos de la estructura porosa se comporten de manera estable y en la cual se puedan definir esos efectos en términos de coeficientes, que en el caso del flujo a través del medio serían dependientes de la conductividad hidráulica (Bear, 1987). De modo que para poder trabajar el Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

38 38 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado medio poroso como un medio continuo es necesario trabajar con escalas macroscópicas mayores al volumen de referencia para ese medio, y la escala del REV para los medios porosos es significativamente menor al correspondiente para un medio fracturado. El volumen elemental de referencia para los medios rocosos puede ser buscado con la medición de la permeabilidad media al incrementar volúmenes de roca hasta que el valor no cambie de manera significativa con la adición o extracción de un pequeño volumen de roca (Long et al, 1982). Figura 1-3: Concepto de REV (modificada de Jing, 2007). En la Figura 1-4 se presenta de manera esquemática la variación de las propiedades (en este caso hidráulicas) de una matriz porosa (en el eje superior de la gráfica) y un sistema de fracturas (en el eje inferior de la gráfica) a medida que se aumenta el volumen de la muestra. La región que se encuentra por debajo del límite inferior de la matriz (L.I. Matriz) muestra las escalas en que la conductividad hidráulica global presenta variaciones debido a los efectos de micro-escala, tanto para el medio poroso como para el fracturado; en este intervalo de escalas no es posible la definición de un volumen elemental de referencia. La región comprendida entre los límites inferiores de la matriz porosa (L.I. Matriz) y del medio fracturado (L.I. Fracturas) representa las escalas para las cuales los efectos de micro-escala en el medio poroso dejan de influir en su comportamiento hidráulico, pero en las que el sistema fracturado aún es afectado por el sistema de fracturas, como se señaló anteriormente, el volumen de muestra necesario para la consideración del medio como un continuo es menor al de un medio fracturado; en este intervalo de escalas el medio poroso puede ser tratado como un continuo, pero el fracturado no. Por encima del límite inferior del sistema fracturado se tiene que ambos medios pueden ser considerados como un continuo, hasta alcanzar ciertas escalas en las que se debe tener en cuenta la heterogeneidad del sistema a escala macroscópica. En la Figura 1-4 se señalan también los rangos de variación del volumen representativo para cada medio como un continuo, el intervalo (1) corresponde al rango en que se puede considerar como un continuo a un medio poroso, el intervalo (2) corresponde al rango de validez del enfoque continuo en un medio poroso fracturado (constituido por una matriz porosa y fracturas de dimensión finita) y el intervalo (3) corresponde al intervalo en que es válido el enfoque continuo equivalente para un medio geológico fracturado con una matriz de conductividad hidráulica despreciable. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

39 Marco Teórico y Antecedentes 39 Figura 1-4: Rangos de variación del volumen elemental de referencia para un medio poroso fracturado (modificada de Bear, 1979). 1.6 Antecedentes en la determinación del REV Snow (1969) abordó el problema de la permeabilidad equivalente en medios fracturados postulando que ésta, en una red de fracturas interconectadas, puede encontrarse sumando la contribución de cada fractura discreta y desarrolló una expresión matemática para obtener el tensor de conductividad hidráulica de una fractura simple con orientación arbitraria y apertura constante; el tensor se forma entonces agregando las componentes de cada fractura individual. Posteriormente Oda (1985) postuló también una expresión para un tensor de permeabilidades equivalentes de rocas fracturadas agrupándolas en familias estructurales; la expresión formulada depende de los parámetros geométricos de cada familia de fracturas y los cosenos direccionales de los planos normales a las fracturas; sin embargo, se basa en la hipótesis de discontinuidades extensivas o persistentes en todo el dominio de trabajo. El problema de la parametrización macroscópica del comportamiento hidráulico de los medios porosos altamente heterogéneos como medios continuos se hizo a través de diversos modelos para el cálculo de las permeabilidades equivalentes usando diferentes criterios (entre otros el flujo o energía disipada por fuerzas viscosas); Renard y de Marsily (1997) presentan una revisión exhaustiva, así como un inventario de los modelos utilizados hasta ese momento, para la obtención de los parámetros equivalentes en medios porosos heterogéneos. En la actualidad los mayores avances en el estudio de la permeabilidad de los medios fracturados obedecen a la necesidad de utilizar este tipo de sistemas como depósito de desperdicios nucleares en países Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

40 40 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado que dependen de este tipo de fuentes de energía, lo que ha permitido la documentación cuidadosa de diferentes casos de estudio específicos, tales como Yucca Mountain en los Estados Unidos (Bodvarsson, 2003), Äspö Hard Rock Laboratory en Suecia y Fanay Augéres en Francia (Cacas et al. 1990). En el caso del macizo rocoso en Fanay Augéres en Francia, Cacas et al. (1990), realizaron una modelación estocástica tridimensional de fracturas discretas para interpretar medidas de flujo en el sitio de estudio y encontraron que era posible reproducir resultados experimentales seleccionados. Por otro lado, Ando et al. (2003) modelan el flujo en el mismo macizo rocoso con el enfoque de un medio continuo equivalente estocástico, encontrando que también era posible reproducir resultados experimentales sin depender en exceso de la geometría del sistema fracturado. Los resultados de ambos estudios pudieron comprobar que un sistema abierto y altamente complejo, como lo es el medio geológico naturalmente fracturado, no puede ser descrito de una manera unívoca a partir de datos escasos, pero que no es necesario describirlo en gran detalle para capturar su comportamiento general. La aplicación de modelos de fracturas discretas a sitios específicos ha seguido básicamente dos enfoques. El primero ha sido la generación de numerosas redes discretas aleatorias, cada una incluyendo cientos o miles de fracturas con el propósito de encontrar parámetros efectivos aleatorios a sub-dominios de macizos rocosos, los cuales son tratados como un continuo aleatoriamente homogéneo (estocástico) (Cacas, 1990). El otro enfoque ha sido simular el flujo a través del macizo rocoso completo usando redes de fracturas discretas de alta resolución (Dershowitz, 2000). En 1982, Long et al. desarrollaron una herramienta para distinguir entre los sistemas de fracturas que pueden ser tratados como medios porosos y aquellos que deben ser tratados como una colección de elementos discretos, usando la teoría del flujo a través de la roca fracturada en un modelo discreto bidimensional y el enfoque continuo aplicado a un medio poroso homogéneo. Postularon que puede decirse que una roca fracturada se comporta como como un medio poroso continuo equivalente cuando hay un cambio insignificante en el valor de la permeabilidad equivalente con una pequeña adición o extracción del volumen de muestra y si existe un tensor de permeabilidades que predice de modo correcto el flujo cuando la dirección del gradiente cambia, es decir, cuando existe un volumen elemental de referencia para las propiedades hidráulicas, las cuales presentan propiedades tensoriales a esa escala. Demostraron que las rocas fracturadas no se comportan siempre como un medio poroso, continuo y homogéneo con un tensor de permeabilidad simétrico, que tienden a comportarse de dicha manera cuando se incrementa la intensidad de fracturamiento, cuando las aberturas constantes y cuando hay una mayor dispersión en la orientación de las discontinuidades. Kulatilake et al. (2000) exploran los efectos de los parámetros geométricos y el tamaño del bloque de muestra considerado sobre las propiedades hidráulicas de una roca fracturada, incluyendo adicionalmente la capacidad de éste de presentar un comportamiento continuo equivalente; con dicho objetivo utilizaron experimentación numérica. Se encontró que el tamaño del REV depende de la orientación de los grupos de fracturas dentro del sistema fracturado, y que el tamaño del volumen elemental decrece a medida que se incrementa la densidad y tamaño de las discontinuidades. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

41 Marco Teórico y Antecedentes 41 Posteriormente, Wang et al. (2002) reportaron la determinación del volumen elemental de referencia tridimensional para un gneis fracturado. El modelo geométrico de fracturas fue calibrado y validado con el medio geológico real con base en pruebas de permeabilidad tipo packer realizadas en el sitio de estudio y el levantamiento geológico estructural de la zona; el tamaño del REV encontrado fue de 15 metros de lado y comprobaron que las direcciones del tensor de conductividades hidráulicas coincidían adecuadamente con el sistema fracturado de la zona de estudio y que la conductividad hidráulica calculada a escala del REV era comparable a la estimada en los ensayos de campo, basados en la teoría del flujo radial aplicable sólo a los medios continuos. La existencia del volumen elemental de referencia también fue explorada por Min et al. (2004) con una metodología similar a la propuesta por Long et al. (1982); los resultados obtenidos muestran la existencia de un volumen elemental de referencia para la modelación propuesta, ya que se encontró que la varianza de los valores de permeabilidad calculada con múltiples modelos estocásticos de fracturas decrecen con el incremento de la escala de dichos modelos; en el caso específico de estudio se encontró un valor de 5 metros de lado para el REV; adicionalmente se comprobó que las propiedades hidráulicas de los modelos a escala del REV presentaban una naturaleza tensorial al evaluar la permeabilidad direccional rotando los modelos de prueba y al verificar la aproximación a una elipse en un diagrama polar. En este trabajo se introduce el término Stochastic REV approach (enfoque REV estocástico). Baghbanan & Jing (2006) investigaron la permeabilidad de rocas fracturadas considerando una correlación entre la abertura y la longitud de traza de las discontinuidades simples que componen la red de fracturas, desarrollando para ellos una ecuación adecuada de correlación. Luego de simular el flujo a través de un gran número de modelos geométricos de redes de fracturas discretas de diferentes tamaños y propiedades pudieron comprobar que el tamaño del REV incrementaba con el incremento de la dispersión (segundo momento estadístico) de la distribución log-normal utilizada en la descripción estadística de las aberturas, y encontraron diferencias equivalentes a un orden de magnitud por encima en la conductividad hidráulica calculada para los modelos que suponían una correlación entre la abertura y la longitud de traza y los que consideraban estos parámetros independientes; pudieron además comprobar las propiedades tensoriales del comportamiento hidráulico para tamaños de muestra mucho mayores en los modelos que consideran una variabilidad estadística en las aberturas que en aquellos que consideran dicho parámetro constante. Existen revisiones cuidadosas acerca del desarrollo de la caracterización y cuantificación del flujo y el transporte en medios fracturados, incluyendo los problemas de escala y el volumen elemental de referencia. Berkowitz (2002) ofrece un análisis de las mediciones, la conceptualización y los modelos matemáticos del flujo en los sistemas de rocas fracturadas, mientras que Neuman (2005) muestra una revisión detallada de los modelos aplicados en la cuantificación del flujo en las rocas fracturadas, haciendo un énfasis especial en los medios continuos estocásticos. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

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43 2. Caracterización del Sistema Fracturado En este capítulo se presenta la caracterización geométrica del sistema fracturado, incluyendo la descripción general de la zona de estudio y de los datos de campo adoptados, así como el ajuste de los parámetros geométricos del sistema, mediante funciones de distribución de probabilidad estadística (pdf). Esta información es la base para construir modelos estocásticos de la geometría del medio y primer paso en el esfuerzo de establecer el volumen elemental de referencia (REV). La zona de estudio está ubicada en el occidente del departamento del Tolima, en el municipio de Cajamarca Zona de Estudio El macizo rocoso objeto de estudio está localizado al occidente del departamento del Tolima, sobre el flanco oriental de la Cordillera Central colombiana, entre la cabecera municipal de Cajamarca y el sector del Alto de La Línea. El sistema hidrográfico en la zona se encuentra dentro de la microcuenca del río Bermellón, subcuenca del río Coello y cuenca del río Magdalena. El macizo es denominado cerro la Guala y constituye la divisoria de aguas superficiales de las quebradas La Arenosa y La Colosa. Con fines hidrogeológicos se establece como volumen de control y zona de estudio a las cuencas hidrográficas de las dos quebradas mencionadas, por lo que se incluyen también los flancos opuestos de ambas cuencas. En la Figura 2-1 se muestra la topografía de la zona de estudio, y en la Figura 2-2 la ubicación de la zona en el contexto municipal, departamental y nacional Marco Geológico El macizo rocoso está conformado por rocas paleozoicas del Complejo Cajamarca (UNALMED, 2012), intruidas por rocas plutónicas intermedias, y cubiertas por depósitos piroclásticos cuaternarios provenientes del Complejo Ruiz - Tolima y el volcán Cerro Machín. Las unidades rocosas paleozoicas se encuentran plegadas, fracturadas y falladas, debido a la evolución tectónica compleja que ha tenido lugar en la Cordillera Central. Los depósitos piroclásticos cubren con un espesor variable, casi la totalidad de la zona, a excepción de los cauces de las corrientes superficiales. El interés en este trabajo está centrado en las unidades rocosas que conforman el basamento de la zona de estudio, por lo que no se presenta una descripción de los depósitos encontrados en la zona. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

44 44 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 2-1: Topografía de la zona de estudio. - Rocas Paleozoicas del Complejo Cajamarca (Pze): Este complejo comprende un grupo de rocas metamórficas que conforman el núcleo de la Cordillera Central. Dicho complejo contiene una gran variedad de rocas, producto de metamorfismo regional de medio a bajo grado (metasedimentos), facies esquisto verde hasta anfibolita, entre las cuales las más frecuentes son esquistos de clorita-albita-epidota, clorita-albita-actinolita, cuarzo-sericita-grafito y en menor medida cuarcitas, cuarcitas biotíticas, mármoles, esquistos micáceos, esquistos anfibólicos y ocasionalmente anfibolitas; es común encontrar en la zona de estudio afloramientos de esquistos bastante fracturados y meteorizados. Los cuerpos principales de este Complejo dentro de la zona están representados por intercalaciones de esquistos cuarzo micáceos con grafito y esquistos cloríticos-actinolíticos (Ingeominas, 2001). Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

45 Caracterización del Sistema Fracturado 45 Figura 2-2: Ubicación de la zona de estudio en el contexto municipal, departamental y nacional. - Rocas Hipoabisales. Pórfidos, Andesitas y Dacitas Porfídicas (Tda): Bajo esta denominación se agrupan una serie de diques y cuerpos subvolcánicos de composición dacítica andesítica, microdiorítica y tonalítica con textura afanítica porfirítica (Ingeominas, 2001). Es frecuente encontrar estas rocas intruyendo esquistos del Complejo Cajamarca, e incluso se encuentran diques de rocas porfídicas de composición tonalítica de hasta 1,5 m de espesor en cuerpos Hipoabisales compuestos por Pórfidos con fenocristales de cuarzo, anfíboles y matriz de color grisáceo (UNALMED, 2012). En la Figura 2-3 se muestran fotografías del afloramiento de rocas hipoabisales en la zona. Figura 2-3: Fotografías de un afloramiento de rocas hipoabisales en la zona de estudio (UNALMED, 2012). Como resultado de la actividad ígnea en la zona, también afloran cornubianas y brechas de intrusión. La distribución espacial de las unidades geológicas en la zona se presenta en la Figura 2-4. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

46 46 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 2-4: Mapa de unidades litológicas para la zona de estudio (Fuente: AGA, 2011) Marco Geomorfológico Las geoformas que se pueden observar en la zona son resultado de la evolución tectónica compleja, y están controladas especialmente por los flancos de los plegamientos y el sistema de fallas de Romeral (UNALMED, 2012); dejando como resultado afloramientos rocosos, taludes de grandes pendientes y la presencia de paquetes de cenizas volcánicas, que se ven afectadas por erosión superficial; se evidencian además deslizamientos con procesos muy avanzados de reptación. Las corrientes superficiales presentan cauces incisivos, generalmente rectos y de alta pendiente. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

47 Caracterización del Sistema Fracturado 47 Los principales drenajes en la zona definida son las quebradas La Colosa y La Arenosa, que tienen igual dirección y son paralelas entre sí; ambas presentan un patrón de drenaje subdendrítico a subparalelo. La morfología de esta zona se caracteriza por pendientes fuertemente inclinadas a escarpadas, con pendientes superiores a 30. En cuanto a la distribución de las pendientes, se tiene que muy pocas zonas muestran pendientes bajas (inferiores a 15 ) solamente se encuentran en los topes del cerro La Guala y el Filo San Julián (Figura 2-1), la pendientes medias (entre 15 y 30 ) se concentran en la ladera del filo San Julián, las pendientes moderadas (30-45 ) y altas (> 45 ) dominan la zona Marco Hidrológico Los ejes fluviales en la zona son las quebradas La Colosa y La Arenosa, ambas desembocan en la quebrada La Guala; la cual conforma uno de los afluentes más importantes del río Bermellón, que nace en el Alto de La Línea y forma parte de la cuenca del río Coello, afluente de río Magdalena. En la Tabla 2-1 se muestran los aspectos más relevantes de las cuencas que componen la zona de estudio. La precipitación media anual de la zona es de aproximadamente 1795 [mm/año] y su variación temporal es bimodal, como sucede en toda la zona andina del territorio Colombiano debido al doble paso de la zona de convergencia intertropical; los picos de precipitación se encuentran en los periodos de marzo-mayo y septiembre-octubre. Los caudales medios para las corrientes son determinados con la metodología de balance hidrológico de largo plazo; de esta manera se determinó que el caudal medio a largo plazo para la quebrada La Arenosa en su punto de desembocadura a la quebrada La Guala es de 97 l/s y el de la quebrada La Colosa, en su desembocadura, es de 160 l/s (UNAL, 2012). El Caudal de ambas cuencas representa el 37% del caudal medio a largo plazo de la quebrada La Guala en su desembocadura al río Bermellón. Tabla 2-1: Generalidades de las cuencas en la zona de estudio. Cuenca Cotas [msnm] Geometría Máxima Salida Área [km 2 ] Perímetro [km] Quebrada La Arenosa Quebrada La Colosa Datos Estructurales Disponibles Con el propósito de entender y cuantificar la influencia que las discontinuidades tienen sobre el comportamiento del macizo rocoso es necesario primero medir y representar cuantitativamente las características de las discontinuidades que conforman la red de fracturas en el macizo rocoso. Por dicha razón es necesario efectuar la recolección de datos estructurales en campo, y proceder luego a un análisis estadístico de dicha información. Una de las técnicas de muestreo más objetivas es el uso de líneas de muestreo en afloramientos de roca expuesta; dicha técnica consiste básicamente en el muestreo sistemático de todas las discontinuidades intersectadas por una cinta métrica (con una orientación conocida) dispuesta sobre un afloramiento. Solingral y Geoblast Colombia (2011) levantaron, con fines geotécnicos, 94 Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

48 48 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado líneas de muestreo (2793 discontinuidades), distribuidas en 4 unidades litológicas diferentes (esquistos cuarzosos y cloríticos del complejo Cajamarca, rocas hipoabisales, cornubianas y brechas asociadas a la intrusión). En la Figura 2-5 se muestra la distribución espacial de las líneas de muestreo dentro de la zona de estudio. Figura 2-5: Ubicación espacial de las líneas de muestreo dentro de la zona de estudio. Los datos levantados en cada línea de muestreo fueron: - Coordenadas geográficas del afloramiento - Designación de la calidad de la roca (RQD, del inglés Rock Quality Designation ) - Índice Geológico de Resistencia (GSI, del inglés Geological Strength Index ) - Grado de meteorización de la roca - Orientación del plano del afloramiento [xxx /xx ] - Orientación de la línea de muestreo [xxx /xx ] Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

49 Caracterización del Sistema Fracturado 49 Y para cada discontinuidad interceptada por las líneas de muestreo, se determinó: - Litología de la roca caja - Tipo de discontinuidad (diaclasa, foliación o falla) - Contenido de agua - Ángulo de buzamiento (dip) [ ] - Orientación de la línea de máximo buzamiento (dip direction) [ ] - Persistencia o longitud de traza [m] - Tipo de terminación de la discontinuidad arriba (roca u otra discontinuidad) - Tipo de terminación de la discontinuidad abajo (roca u otra discontinuidad) - Distancia desde el inicio de la línea [m] - Abertura de la discontinuidad (expresada en los rangos: <1mm, 1-5 mm y >5mm) - Presencia y naturaleza de relleno En la Figura 2-6 se muestra como ejemplo una de las líneas de muestreo levantadas en campo; es importante resaltar que debido a que casi toda la zona se encuentra cubierta de depósitos de ceniza volcánica, los afloramientos levantados se ubican cerca a los cauces de las quebradas o de los caminos existentes en la zona. Figura 2-6: Línea de muestreo CMG-053 sobre la cornubiana (Solingal y Geoblast, 2011). En la Tabla 2-2, y gráficamente en la Figura 2-7, se presenta la cantidad de líneas de muestreo y discontinuidades levantadas en campo para cada unidad litológica de la zona de estudio, en términos absolutos y relativos. Se observa que la mayor cantidad de datos existentes se encuentran sobre las rocas hipoabisales (59% de las líneas de muestreo y 52% de las discontinuidades totales) y los esquistos del complejo Cajamarca (20% de las líneas de muestreo y 18% de las discontinuidades). Tabla 2-2: Distribución de los datos existentes en cada unidad litológica. Unidad Geológica Líneas de muestreo Datos Estructurales Cantidad Porcentaje Cantidad Porcentaje Esquisto % % Cornubiana % % Brecha de Intrusión 7 7 % % Rocas Hipoabisales % % Total % % Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

50 50 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado En la Figura 2-8 se muestran los histogramas de la dirección e inclinación de las líneas de muestreo existentes, este aspecto es relevante porque la orientación de las líneas de muestreo es una fuente de sesgo y es necesario realizar una corrección a los datos, como se mostrará más adelante. Figura 2-7: Histogramas básicos de los datos obtenidos (izquierda: líneas de muestreo por unidad geológica; derecha: número de datos -discontinuidades- por unidad geológica). Figura 2-8: Histogramas de la dirección de las líneas (izquierda: dirección de las líneas de muestreo; derecha: inclinación). A continuación, en la Tabla 2-3, Tabla 2-4, Tabla 2-5, y Tabla 2-6 se presentan las características más relevantes de las líneas de muestreo levantadas sobre el esquisto, la cornubiana, la brecha de intrusión y las rocas hipoabisales, respectivamente. Se incluye la ubicación espacial, y la orientación de la línea. Tabla 2-3: Líneas de muestreo de datos estructurales sobre el esquisto. ID Este [m] Norte [m] Altura [msnm] Orientación línea CMG /16 CMG /04 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

51 Caracterización del Sistema Fracturado 51 ID Este [m] Norte [m] Altura [msnm] Orientación línea CMG /06 CMG /04 CMG /10 CMG /12 CMG /06 CMG /13 CMG /14 CMG /15 CMG /21 CMG /17 CMG /08 CMG /01 CMG /06 CMG /11 CMG /05 CMG /-25 CMG /-20 Tabla 2-4: Líneas de muestreo de datos estructurales sobre la cornubiana. ID Este [m] Norte [m] Altura [msnm] Orientación línea CMG /07 CMG /12 CMG /-15 CMG /14 CMG /04 CMG /03 CMG /04 CMG /03 CMG /10 CMG /11 CMG /07 CMG /07 CMG /08 Tabla 2-5: Líneas de muestreo de datos estructurales sobre la brecha de intrusión. ID Este [m] Norte [m] Altura [msnm] Orientación línea CMG /04 CMG /05 CMG /07 CMG /15 Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

52 52 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado ID Este [m] Norte [m] Altura [msnm] Orientación línea CMG /04 CMG /08 CMG /08 Tabla 2-6: Líneas de muestreo de datos estructurales sobre las rocas hipoabisales. ID Este [m] Norte [m] Altura [msnm] Orientación línea CMG /24 CMG /06 CMG /04 CMG /05 CMG /23 CMG /21 CMG /04 CMG /16 CMG /02 CMG /03 CMG /19 CMG /01 CMG /03 CMG /01 CMG /27 CMG /28 CMG /45 CMG /-05 CMG /12 CMG /08 CMG-045a /03 CMG-045b /02 CMG /04 CMG /08 CMG /16 CMG /10 CMG /20 CMG /10 CMG /13 CMG /10 CMG /05 CMG /07 CMG /07 CMG /16 CMG /11 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

53 Caracterización del Sistema Fracturado 53 ID Este [m] Norte [m] Altura [msnm] Orientación línea CMG /26 CMG /04 CMG /04 CMG /03 CMG /02 CMG /21 CMG /-15 CMG /-10 CMG /10 CMG /-25 CMG /-05 CMG /04 CMG /10 CMG /09 CMG /18 CMG-088a /12 CMG-088b /37 CMG /06 CMG /09 CMG / Caracterización Estadística del Sistema Fracturado A continuación se presenta el análisis y modelamiento estadístico de las principales características geométricas del medio fracturado; esta caracterización es el insumo fundamental para la modelación estocástica de la geometría y el posterior análisis del flujo a través de dicho medio. Las características analizadas comprenden la orientación, la persistencia, la frecuencia, el espaciamiento y algunas consideraciones sobre la abertura Modelamiento de la Orientación Una de las principales características de las discontinuidades es su orientación espacial, que está completamente determinada por el ángulo de buzamiento (denominado en este trabajo como dip o buzamiento) y el ángulo horizontal entre el norte y la proyección horizontal de la línea de máximo buzamiento (denominado en este trabajo dip direction o rumbo del buzamiento). Se ofrece la metodología específica y el análisis aplicado a los datos correspondientes a cada unidad litológica. Metodología específica El análisis de la orientación de las discontinuidades está encaminado a la identificación de las tendencias estructurales más importantes a partir de los datos disponibles; a partir de éstas se Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

54 54 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado definen grupos y se ajustan las desviaciones del vector normal de cada discontinuidad con el vector medio normal del grupo al que pertenece, por medio de una función de distribución de probabilidad adecuada. La metodología específica empleada es como se lista a continuación: - 1. Elaboración de histogramas de frecuencias, para el dip y el dip-direction de los datos correspondientes a cada unidad geológica, y del histograma de probabilidad conjunta de ambas variables; a partir de éstos se identifican concentraciones de probabilidad y dependiendo de la cantidad de picos de probabilidad identificados se define el número de familias de cada unidad La manera más común de representar gráficamente la distribución de las orientaciones de las discontinuidades es por medio de una proyección estereográfica, en la cual se ubican los vectores unitarios normales (polos) correspondientes a cada estructura. Para cada unidad geológica se construye el diagrama polar correspondiente Separación de las estructuras de cada unidad geológica en grupos de discontinuidades de acuerdo a su orientación; para lograrlo se emplea un algoritmo de agrupamiento desarrollado por Jiménez-Rodríguez y Sitar (2006), que se basa en la aplicación del algoritmo k-means (MacQueen, 1967) al grupo de vectores propios de una matriz de afinidad construida a partir de los datos estructurales. El flujograma del algoritmo se muestra en la Figura 2-9. Como resultado se tiene la clasificación de cada estructura dentro de un grupo a familia. El algoritmo de agrupamiento espectral lleva a cabo una transformación de todos los datos de orientación de las estructuras, desde el espacio original de coordenadas cartesianas, en términos del vector unitario normal correspondiente, a un espacio de dimensión Nf (número de familias identificadas). Las coordenadas de los puntos en el espacio de la transformación son dadas por las filas normalizadas de una matriz obtenida del apilamiento de los vectores propios principales de la matriz de afinidad normalizada de los datos (Jiménez-Rodríguez & Sitar, 2006) Luego de clasificar las estructuras en grupos, de acuerdo al algoritmo descrito anteriormente, se procede a la verificación de dicho agrupamiento con la elaboración del diagrama polar de frecuencia estadística correspondiente a cada unidad geológica. Este diagrama es construido sobre la proyección estereográfica equi-angular, asignando un código de colores (como se muestra en la Figura 2-10) de acuerdo a la densidad de polos en ventanas de muestreo iguales al 1% del área de diagrama total; las concentraciones de polos se pueden ver como frecuencias relativas al escalar el diagrama de acuerdo al número de polos totales Se procede con el cálculo de la orientación representativa de cada grupo; las coordenadas cartesianas del vector unitario normal de cada estructura están dadas como se muestra en la Ecuación 2-1, de modo que la orientación representativa es el vector resultante de todos los vectores normales de cada familia (Priest, 1993). = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) Ecuación 2-1 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

55 Caracterización del Sistema Fracturado 55 Figura 2-9: Algoritmo para la clasificación de familias. Figura 2-10: Código de colores utilizado en los diagramas de frecuencia estadística. La magnitud del vector resultante se obtiene de la Ecuación 2-2, y la dirección media de la familia de la Ecuación 2-3 para el dip y la Ecuación 2-4 para el dip-direction. La magnitud del vector Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

56 56 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado resultante R, es un indicativo del grado de agrupamiento del grupo de estructuras; para un grupo de N estructuras, si la razón R/N se acerca a 1 significa que los vectores normales están muy agrupados, mientras que valores pequeños indican grados de agrupamiento menores; esta relación se conoce como grado de agrupamiento (Priest, 1993). = + + / Ecuación 2-2 = + / Ecuación 2-3 = Ecuación Corrección de los datos por sesgo: a pesar de que la técnica de líneas de muestreo para el levantamiento de estructuras en campo es una estrategia de muestreo objetiva, introduce un sesgo en el muestreo de la orientación, porque las discontinuidades con orientaciones similares a la línea de muestreo tienen una probabilidad menor de ser levantadas. Se parte del ángulo entre la línea de muestreo y el vector unitario normal a cada discontinuidad (δ), calculado como se muestra en la Ecuación 2-5, donde α n y β n corresponden al vector unitario normal de la discontinuidad y α s y β s a la orientación de la línea de muestreo. cos( ) = cos( ) cos( ) cos( ) + ( ) ( ) Ecuación 2-5 Un ángulo δ de cero indica que la línea de muestreo es paralela al ángulo unitario normal (es decir, perpendicular al plano de la discontinuidad), lo que significa que la discontinuidad tiene una probabilidad muy alta de ser interceptada por la línea de muestreo, mientras que un valor de 90 indica que la línea de muestreo es perpendicular al ángulo unitario normal (es decir, paralela al plano de la discontinuidad), lo que significa que tiene una probabilidad muy baja de ser interceptada por la línea de muestreo. La expresión para el factor de corrección por sesgo se muestra en la Ecuación 2-6; el peso se incrementa dramáticamente a medida que el ángulo se aproxima a 90 ; por tal motivo y siguiendo la recomendación de Priest (1993) se asume un valor máximo para el peso sin ponderación de 10 (equivalente a un ángulo de 24.3 entre la línea de muestreo y el polo de la estructura). Por último se pondera el peso de cada estructura, de acuerdo a la sumatoria de los pesos de todas las Ne estructuras, como se muestra en la Ecuación 2-7. = 1 cos( ) Ecuación 2-6 = Ecuación 2-7 Con el peso ponderado de cada discontinuidad se calcula la orientación representativa de cada grupo nuevamente, como se mostró en el paso 5, multiplicando el peso ponderado de cada estructura por cada componente del vector normal (nx, ny, nz), dado en la Ecuación Caracterización estadística mediante el ajuste de la función de distribución de probabilidades de Fisher (1953), que se realiza con base en el ángulo agudo existente entre el vector normal al plano de cada discontinuidad y el vector normal a la orientación representativa de cada uno de los grupos definidos, asumiendo ésta como la dirección verdadera de las discontinuidades; dicho ángulo es denominado aquí como δ. Fisher asumió que una población de valores orientados Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

57 Caracterización del Sistema Fracturado 57 estaban distribuidos alrededor de algún valor verdadero; esta asunción es directamente equivalente a la idea de discontinuidades normales siendo distribuidas alrededor de algún valor real dentro de un grupo (Priest, 1993). Se define la probabilidad de que un valor de orientación seleccionado aleatoriamente de una población forme un ángulo entre δ y δ + d δ con la orientación verdadera, como se muestra en la Ecuación 2-8. ( ) = ( ) Ecuación 2-8 Donde K es una constante que controla la forma de la distribución y η es una variable que asegura que el área de un anillo con ancho dδ y un ángulo δ desde la verdadera orientación sea proporcional a sen(δ) sobre una esfera unitaria, y asimismo, asegura también que la suma de todos los valores posibles de P(δ) sea unitaria; esto se logra con el valor de η que se muestra en la Ecuación 2-9. ( ) = Ecuación 2-9 El parámetro K, comúnmente referenciado como constante de Fisher, es una medida del grado de agrupamiento dentro de una población. Fisher (1953) mostró que un estimativo muestral k del parámetro K de la población puede ser encontrado de una muestra de M vectores unitarios, para los cuales la magnitud del vector resultante es r n, resolviendo la ecuación de máxima verosimilitud mostrada en la Ecuación = Ecuación 2-10 La función de densidad de probabilidad está dada por la expresión mostrada en la Ecuación 2-11 y la función de distribución acumulada correspondiente se muestra en la Ecuación ( ) = (< ) = ( ) ( ) ( ) Ecuación 2-11 Ecuación 2-12 Esquistos del complejo Cajamarca En la Figura 2-11 se pueden observar los histogramas de frecuencia absoluta para el máximo buzamiento y la dirección de buzamiento, así como el histograma de probabilidad conjunta en código de colores, que muestra la variación de ambas variables. La distribución de la frecuencia absoluta en los intervalos de clase para el buzamiento de las estructuras es suave, exhibiendo un crecimiento constante a medida que se aumenta el ángulo, alcanzando un pico en el intervalo de buzamiento y un leve decrecimiento en el intervalo ; por otro lado la dirección del buzamiento muestra un comportamiento más aleatorio, pero es posible observar algunos picos en los intervalos , y En el histograma de probabilidad conjunta se refleja el comportamiento de ambas variables: se puede observar que en general el comportamiento del buzamiento es independiente de la Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

58 58 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado dirección del buzamiento, sin embargo es más fácil observar las variaciones conjuntas y la verdadera ubicación de los picos en la orientación, obteniendo que existen 3 picos claramente diferenciables. El primero de dichos picos corresponde a una dirección del buzamiento en el intervalo y a un buzamiento en el intervalo ; este es el pico más importante porque concentra la mayor densidad de datos y cabe resaltar que no corresponde con los picos en los histogramas de una sola variable. El segundo pico se ubica el intervalo para la dirección del buzamiento y en el intervalo para el buzamiento. Finalmente un pico menos importante se ubica en el intervalo para la dirección del buzamiento y en el intervalo para el buzamiento. Los tres picos en el histograma de probabilidad conjunta sugiere que existen tres direcciones predominantes para las estructuras; por tal razón se hace la clasificación de las estructura en tres familias con sentido estadístico. Figura 2-11: Histogramas de orientación para el esquisto: (a) Histograma de frecuencia absoluta para el dip-direction (b) Histograma de frecuencia absoluta para el buzamiento (c) Histograma de frecuencias relativas conjuntas para el dip y dip-direction. (a) (b) (c) En la Figura 2-12 se muestra en una proyección estereográfica equi-angular del hemisferio inferior con los vectores normales correspondientes (491 polos en total). El diagrama polar de frecuencia estadística construido para los datos sobre el esquisto, mostrando la densidad de polos con una ventana de muestreo igual al 1% del área de diagrama total, se muestran en la Figura 2-13; de igual manera se presenta el diagrama polar que muestra la distribución en familias con significado estadístico luego de aplicar la metodología descrita con la Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

59 Caracterización del Sistema Fracturado 59 orientación representativa para cada familia es obtenida como la resultante de todos los datos dentro de una misma familia, calculando para ello los cosenos directores de cada vector unitario normal (polo); Tabla 2-7 se presenta la dirección representativa para cada familia (dip y dip direction), así como el grado de agrupamiento de cada familia (calculado como la magnitud del vector resultante divida entre el número de datos de cada familia) y la constante de Fisher k. Se encuentran grados de agrupamiento superiores a 0.75, llegando a ser 0.90 para la familia 2, lo que indica un grado de agrupamiento alto. Figura 2-12: Diagrama polar equi-angular para los datos estructurales sobre esquisto. Tabla 2-7: Familias estructurales del esquisto. Sin corrección de datos por sesgo Familia Datos Dip [ ] Dip direction [ ] Grado de agrupamiento k Familia Familia Familia En la Tabla 2-8 se muestra la dirección representativa para cada familia luego de corregir los datos por sesgo en el muestreo (obtenida multiplicando el coseno director de cada polo por el peso normalizado); como los pesos están normalizados el tamaño de muestra no cambia, por lo cual se puede aplicar un análisis estadístico válido. La corrección se hizo para cada familia de manera independiente. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

60 60 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Se obtiene que el cambio en la dirección representativa para cada familia no es significativo al corregir los datos por sesgo: en cuanto a la dirección del buzamiento se obtiene un cambio máximo de 2 para la familia 3, mientras que para el buzamiento el cambio 6.5 para esta misma familia. Esto se debe a que la mayoría de las líneas de muestreo tienen inclinaciones bajas, y por tanto las estructuras con buzamientos más bajos obtienen un peso ponderado mayor e influencian el vector resultante. Como el cambio no es muy significativo es posible concluir que los datos no se encuentran especialmente sesgados. (a) (b) Figura 2-13: Tabla 2-8: Análisis estructural del esquisto: (a) diagrama polar de frecuencia estadística, (b) Familias identificadas en la proyección polar. Familias estructurales del esquisto. Con corrección de datos por sesgo Familia Datos Dip [ ] Dip direction [ ] Grado de agrupamiento k Familia Familia Familia En la Figura 2-14 se muestra el ajuste encontrado entre la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher, controlada por el parámetro k, que se presenta en la Tabla 2-7 para los datos sin corrección por sesgo del muestreo, y en la Tabla 2-8 para los datos corregidos por sesgo, y el histograma acumulado para los datos de discontinuidades sobre el esquisto para cada familia. Se observa que el ajuste es adecuado, especialmente para las familias de discontinuidades con Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

61 Caracterización del Sistema Fracturado 61 valores el parámetro de Fisher alto; este parámetro controla la forma de la distribución y es un índice del grado de agrupamiento de los datos. Figura 2-14: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre el esquisto a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher. (a) Familia 1. Sin corrección por sesgo (b) Familia 1. Con corrección por sesgo (c) Familia 2. Sin corrección por sesgo (d) Familia 2. Con corrección por sesgo (e) Familia 3. Sin corrección por sesgo (f) Familia 3. Con corrección por sesgo Cornubiana En la Figura 2-15 se presentan los histogramas de frecuencia absoluta para el buzamiento real y la dirección de buzamiento, y el histograma de probabilidad conjunta en código de colores, para Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

62 62 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado las discontinuidades muestreadas sobre la cornubiana. Al igual que en el caso de los esquistos, la distribución de la frecuencia absoluta en los intervalos de clase para el buzamiento de las estructuras está suavizada, exhibiendo un crecimiento constante a medida que se aumenta el ángulo, alcanzando un pico en el intervalo de buzamiento y un leve decrecimiento en el intervalo ; por otro lado la dirección del buzamiento muestra tres picos, en los intervalos 30-75, y Figura 2-15: Histogramas de orientación para la cornubiana: (a) Histograma de frecuencia absoluta para el dip-direction (b) Histograma de frecuencia absoluta para el buzamiento (c) Histograma de frecuencias relativas conjuntas para el dip y dip-direction. (a) (b) (c) En el histograma de probabilidad conjunta se refleja el comportamiento de ambas variables: se puede observar la variación conjunta y la verdadera ubicación de los picos en la orientación, se obtienen tres zonas de mayor densidad de datos diferenciables. El primero de ellos corresponde a una dirección del buzamiento en el intervalo y a un buzamiento en el intervalo 70-90, este es el pico más importante porque concentra la mayor densidad de datos. El segundo pico se ubica el intervalo para la dirección del buzamiento y en el intervalo para el buzamiento. Finalmente un pico menos importante se ubica en el intervalo para la dirección del buzamiento y en el intervalo para el buzamiento. Los tres picos en el histograma de probabilidad conjunta sugieren que existen tres direcciones predominantes para las estructuras, y por tal razón se hace la clasificación de las estructura en tres familias con sentido estadístico. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

63 Caracterización del Sistema Fracturado 63 En la Figura 2-16 se presenta la ubicación de los polos en una proyección estereográfica equiangular, mientras que en la Figura 2-17 se muestra el diagrama polar de frecuencia estadística, indicando la densidad de polos con una ventana de muestreo igual al 1% del área del diagrama; en la misma figura se muestra el diagrama polar con la distribución de los polos en familias estructurales con significado estadístico. La dirección representativa para cada familia con significado estadístico (dip y dip direction), el grado de agrupamiento de cada familia y la constante de Fisher k para las discontinuidades sobre la cornubiana, son presentados en la Tabla 2-9. Se encuentran altos grados de agrupamiento, superiores a 0.80 para las familias 1 y 3; mientras que para la familia 2 se encuentra un grado de agrupamiento de 0.60 (significativamente menor que el de las demás), indicando que en este caso los datos se encuentran más dispersos. Los resultados descritos corresponden a los datos sin corrección por sesgo en el muestreo de la orientación; en la Tabla 2-10 se muestran los resultados obtenidos al aplicar el factor de corrección ponderado y normalizado para cada una de las estructuras. Figura 2-16: Diagrama polar equi-angular para los datos estructurales sobre la cornubiana. Después de aplicar la corrección por sesgo, para todas las familias se obtiene un cambio en la dirección del buzamiento cercano a los 5, pero en la familia 2 se presenta una disminución del buzamiento representativo de 10.7, mientras que para las familias 1 y 3 la disminución ene l buzamiento es de 3.5 y 5.1, respectivamente. En este caso se tiene que los datos sí poseen un sesgo por el muestreo, especialmente la familia 2, por lo que se trabaja con los valores ponderados. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

64 64 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Tabla 2-9: Familias estructurales de la cornubiana. Sin corrección por sesgo. Familia Datos Dip [ ] Dip direction [ ] Grado de agrupamiento k Familia Familia Familia Figura 2-17: Análisis estructural de la brecha de la cornubiana: (a) diagrama polar de frecuencia estadística, (b) Familias identificadas en la proyección polar. (a) (b) Tabla 2-10: Familias estructurales de la cornubiana. Con corrección por sesgo. Familia Datos Dip [ ] Dip direction [ ] Grado de agrupamiento k Familia Familia Familia En la Figura 2-25 se muestra el ajuste encontrado entre la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher, controlada por el parámetro k, que se presenta en la Tabla 2-9 para los datos Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

65 Caracterización del Sistema Fracturado 65 sin corrección por sesgo del muestreo y en la Tabla 2-10 para los datos corregidos por sesgo, y el histograma acumulado para los datos de discontinuidades sobre el esquisto para cada familia. Figura 2-18: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre la cornubiana a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher. (a) Familia 1. Sin corrección por sesgo (b) Familia 1. Con corrección por sesgo (c) Familia 2. Sin corrección por sesgo (d) Familia 2. Con corrección por sesgo (e) Familia 3. Sin corrección por sesgo (f) Familia 3. Con corrección por sesgo Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

66 66 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Brecha de Intrusión Para la brecha de intrusión se tiene un número significativamente menor de datos (7 líneas de muestreo y 219 discontinuidades, lo que representa el 7% y 8% de los datos disponibles, respectivamente. Los histogramas de frecuencia absoluta para el máximo buzamiento y la dirección de buzamiento se presentan en la Figura 2-19, así como el histograma de probabilidad conjunta. En este caso se obtiene una distribución de la frecuencia absoluta para el máximo buzamiento de las estructuras con un comportamiento creciente suave a medida que se aumenta el ángulo, de modo que la mayor densidad de puntos se localiza en el intervalo de buzamiento. La dirección del buzamiento sólo muestra un pico diferenciable en el intervalo ; no se pueden observar tendencias marcadas en esta característica, debido probablemente al tamaño de la muestra. Figura 2-19: Histogramas de orientación para la brecha de intrusión: (a) Histograma de frecuencia absoluta para el dip-direction (b) Histograma de frecuencia absoluta para el buzamiento (c) Histograma de frecuencias relativas conjuntas para el dip y dip-direction. (a) (b) (c) En el histograma de probabilidad conjunta (Figura 2-19 c), se puede observar la ubicación de los picos en la orientación, donde a pesar de que no son evidentes, es posible diferenciar tres zonas de mayor densidad de datos. La primera zona corresponde a una dirección del buzamiento en el intervalo y un buzamiento en un intervalo amplio 50-90, siendo éste el pico más importante. La segunda zona está en el intervalo para la dirección del buzamiento y en Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

67 Caracterización del Sistema Fracturado 67 el intervalo para el buzamiento. Finalmente, un pico menos importante se ubica en el intervalo para la dirección del buzamiento y en el intervalo para el buzamiento. Los tres picos en el histograma de probabilidad conjunta sugieren que existen tres direcciones predominantes para las estructuras, por tal razón se hace la clasificación de las estructura en tres familias con sentido estadístico. En la Figura 2-20 se muestra la proyección estereográfica equi-angular y la ubicación de los vectores unitarios normales a cada discontinuidad dentro de ella, mientras que en la Tabla 2-22 se muestra el diagrama polar de frecuencia estadística, indicando la densidad de polos con una ventana de muestreo igual al 1% del área del diagrama; en la misma figura se muestra el diagrama polar con la distribución de los polos en 3 familias estructurales con significado estadístico. Figura 2-20: Diagrama polar equi-angular para los datos estructurales sobre la brecha de intrusión. La dirección representativa para cada familia (dip y dip direction), el grado de agrupamiento de cada una y la constante de Fisher k para las discontinuidades, son presentados en la Tabla Se encuentran altos grados de agrupamiento (0.88) para las familias 1 y 3; mientras que para la familia 2 se encuentra un grado de agrupamiento inferior (de 0.71). Los resultados descritos corresponden a los datos sin corrección por sesgo en el muestreo de la orientación; en la Tabla 2-12 se muestran los resultados obtenidos al aplicar el factor de corrección ponderado y normalizado para cada una de las estructuras. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

68 68 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Tabla 2-11: Familias estructurales de la brecha de intrusión. Sin corrección por sesgo. Familia Datos Dip [ ] Dip direction [ ] Grado de agrupamiento k Familia Familia Familia Tabla 2-12: Familias estructurales de la brecha de intrusión. Con corrección por sesgo. Familia Datos Dip [ ] Dip direction [ ] Grado de agrupamiento k Familia Familia Familia Al aplicar la corrección por sesgo, para todas las familias se obtiene un cambio en la dirección del buzamiento menor a 5, mientras que la dirección del buzamiento presenta un cambio máximo de 2.3 b para la familia 2. En este caso se tiene que los datos no poseen un sesgo importante en los datos de orientación, producto de la técnica de muestreo. (a) Figura 2-21: Análisis estructural de la brecha de intrusión: (a) diagrama polar de frecuencia estadística, (b) Familias identificadas en la proyección polar (b) Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

69 Caracterización del Sistema Fracturado 69 Figura 2-22: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre la brecha de intrusión a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher. (a) Familia 1. Sin corrección por sesgo (b) Familia 1. Con corrección por sesgo (c) Familia 2. Sin corrección por sesgo (d) Familia 2. Con corrección por sesgo (e) Familia 3. Sin corrección por sesgo (f) Familia 3. Con corrección por sesgo Rocas Hipoabisales En la Figura 2-23 se pueden observar los histogramas de frecuencia absoluta para el buzamiento real y la dirección de buzamiento, así como el histograma de probabilidad conjunta. La distribución de la frecuencia absoluta para el buzamiento exhibe un crecimiento constante a medida que se Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

70 70 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado aumenta el ángulo de inclinación, alcanzando un pico en el intervalo de buzamiento; por otro lado la dirección del buzamiento muestra un comportamiento más aleatorio. En el histograma de probabilidad conjunta se refleja el comportamiento de ambas variables, pudiéndose observar que en general el comportamiento del buzamiento es independiente de la dirección del buzamiento, manteniéndose una distribución similar sin importar la dirección del buzamiento; en dicho diagrama es más fácil observar las variaciones conjuntas y la verdadera ubicación de los picos en la orientación, obteniéndose 4 zonas de concentración de datos claramente diferenciables. Figura 2-23: Histogramas de orientación para las rocas hipoabisales: (a) Histograma de frecuencia absoluta para el dip-direction (b) Histograma de frecuencia absoluta para el buzamiento (c) Histograma de frecuencias relativas conjuntas para el dip y dip-direction. (a) (b) (c) La primera zona de densidad de datos corresponde a una dirección del buzamiento en el intervalo y a un buzamiento en el intervalo El segundo pico se ubica el intervalo para la dirección del buzamiento y en el intervalo para el buzamiento. Una tercera zona de densidad se ubica en el intervalo para la dirección del buzamiento y buzamientos entre 70 y 90. Finalmente, un pico menos importante se ubica en el intervalo para la dirección del buzamiento y en el intervalo para el buzamiento. Los cuatro picos en el histograma de probabilidad conjunta sugiere que existen cuatro direcciones predominantes para las estructuras en las rocas hipoabisales, y por tal razón se hace la clasificación de las estructura en 4 familias con sentido estadístico. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

71 Caracterización del Sistema Fracturado 71 En la Figura 2-24 se muestra en una proyección estereográfica equi-angular del hemisferio inferior con los vectores normales correspondientes (1466 polos en total). El diagrama polar de frecuencia estadística construido para los datos sobre las rocas hipoabisales, mostrando la densidad de polos con una ventana de muestreo igual al 1% del área de diagrama total, se presenta en la Figura 2-25; de igual manera, se presenta el diagrama polar que muestra la distribución en cuatro familias con significado estadístico luego de aplicar la metodología descrita con anterioridad. Figura 2-24: Diagrama polar equi-angular para los datos estructurales sobre las rocas hipoabisales. La orientación representativa para cada familia es obtenida como la resultante de todos los datos dentro de una misma familia, calculando para ello los cosenos directores de cada vector unitario normal (polo), en la Tabla 2-13 se presenta la dirección representativa para cada familia (dip y dip direction), así como el grado de agrupamiento de cada una (calculado como la magnitud del vector resultante divida entre el número de datos de cada familia) y la constante de Fisher k. Para las rocas hipoabisales se encuentran altos grados de agrupamiento (superiores a 0.70) para las familias 1, 2 y 4, mientras que para la familia 3 se obtiene un grado de agrupamiento relativamente bajo (0.30). Luego de asignar a cada vector normal un peso ponderado normalizado con el objetivo de corregir el sesgo en el muestreo de la orientación que se puede presentar debido a la elección de la dirección de la línea de muestreo, se obtienen los resultados que se listan en la tabla Tabla Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

72 72 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 2-25: Análisis estructural de la brecha de las rocas hipoabisales: (a) diagrama polar de frecuencia estadística, (b) Familias identificadas en la proyección polar. (a) (b) Tabla 2-13: Familias estructurales para las rocas hipoabisales. Sin corrección por sesgo. Familia Datos Dip [ ] Dip direction [ ] Grado de agrupamiento k Familia Familia Familia Familia Tabla 2-14: Familias estructurales para las rocas hipoabisales. Con corrección por sesgo. Familia Datos Dip [ ] Dip direction [ ] Grado de agrupamiento k Familia Familia Familia Familia Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

73 Caracterización del Sistema Fracturado 73 La dirección del vector representativo de cada familia varía ligeramente con la corrección de los datos por sesgo en la orientación; se obtiene una variación máxima en la dirección del buzamiento de 6 para la familia 3 (mientras que para las demás permanece por debajo de los 2 ), el mayor cambio en el ángulo de buzamiento representativo lo muestra la familia 2, con una disminución de casi 6. Estas variaciones son pequeñas y son un indicativo de que los datos no están afectados particularmente por sesgo en el momento del muestreo. Figura 2-26: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre las rocas hipoabisales (familias 1 a 3) a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher. (a) Familia 1. Sin corrección por sesgo (b) Familia 1. Con corrección por sesgo (c) Familia 2. Sin corrección por sesgo (d) Familia 2. Con corrección por sesgo (e) Familia 3. Sin corrección por sesgo (f) Familia 3. Con corrección por sesgo Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

74 74 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 2-27: Ajuste de los datos de discontinuidades sobre las rocas hipoabisales (familia 4) a la función de probabilidad acumulada teórica de Fisher. (g) Familia 4. Sin corrección por sesgo (h) Familia 4. Con corrección por sesgo Modelamiento del Espaciamiento y la Frecuencia La frecuencia existente entre las discontinuidades en un macizo rocoso es una medida fundamental del grado de fracturamiento del mismo; lo cual tiene una influencia importante en la posible interconexión de las fracturas. Debido a la naturaleza del levantamiento de campo realizado, los datos obtenidos corresponden a la frecuencia lineal observada (comúnmente denominada λ) en las líneas de muestreo, que puede ser vista como el promedio de discontinuidades intersectadas por una línea de muestreo de longitud unitaria; es más común expresar la frecuencia de fracturamiento como espaciamiento medio entre fracturas (que será denominado S); debido a que la frecuencia es el inverso del espaciamiento (λ = 1/S) y a que es más sencillo trabajar con datos de espaciamiento por su significado físico y el manejo de cifras significativas. La frecuencia puede ser expresada como el número de discontinuidades observadas (o predichas) en un volumen unitario (λv), un área unitaria (λa) o una longitud unitaria (λ) de una muestra de macizo rocoso (Priest, 1993). Se ha encontrado que existe una relación lineal entre la frecuencia líneal (λ) y la frecuencia areal (λa), que depende de la persistencia media de las discontinuidades (Priest y Damaniego, 1983); de modo que a partir de una frecuencia lineal dada y un buen estimativo de la persistencia de las trazas de las continuidades, es posible calcular el número de fracturas por unidad de área que deben ser generadas en un modelo de fracturas discretas. Las frecuencias lineales se calculan para cada familia estructural de cada unidad geológica, teniendo en cuenta la dirección media del vector característico de cada una de ellas y la dirección de la línea de muestreo correspondiente; de este modo se tienen las frecuencias máximas (correspondientes a espaciamientos mínimos) que se dan en dirección del vector característico de la familia en cuestión, y que son comparables para todo el macizo rocoso; según se muestra en la Ecuación 2-13 y Ecuación 2-14 (Priest, 1993). = cos( ) Ecuación 2-13 ( ) = ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) Ecuación 2-14 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

75 Caracterización del Sistema Fracturado 75 Donde λs es la frecuencia lineal observada en dirección de la línea de muestreo s, λn es la frecuencia lineal en dirección normal a la dirección media de la familia estructural, αs y βs son el rumbo y plunge de la línea de muestreo s y αn y βn las orientaciones del vector normal correspondiente a la familia estructural. Histogramas de frecuencias relativas Como primer paso para el modelamiento de la frecuencia en el macizo rocoso, se presenta un análisis practicado a los espaciamientos (corregidos de acuerdo a la orientación de la línea de muestreo y familia estructural correspondiente). Para cada unidad geológica se presentan los estadísticos básicos de los datos disponibles y sus histogramas de frecuencias relativas; la forma de dichos histogramas es un indicativo de las funciones de distribución de probabilidad que mejor pueden representar los datos. Esquistos del complejo Cajamarca: En la Tabla 2-15 se presentan los estadísticos básicos del espaciamiento entre discontinuidades de cada grupo estructural sobre los esquistos; en la Figura 2-28 se presentan los histogramas de frecuencias relativas correspondientes. Tabla 2-15: Espaciamiento observado entre las discontinuidades muestreadas en esquisto. Estadísticos Familia 1 Familia 2 Familia 3 Tamaño muestral Rango (mín - máx) [m] 4.09 ( ) 9.08 ( ) 3.28 ( ) Media [m] Mediana [m] Varianza [m 2 ] Desviación estándar [m] Coeficiente de asimetría Cornubiana: En la Tabla 2-16 se presentan los estadísticos básicos del espaciamiento entre discontinuidades de cada grupo estructural correspondientes a la cornubiana; en la Figura 2-29 se presentan los histogramas de frecuencias relativas de estos datos. Tabla 2-16: Espaciamiento entre las discontinuidades muestreadas sobre la cornubiana. Estadísticos Familia 1 Familia 2 Familia 3 Tamaño muestral Rango (mín - máx) [m] 4.33 ( ) 4.30 ( ) 3.70 ( ) Media [m] Mediana [m] Varianza [m 2 ] Desviación estándar [m] Coeficiente de asimetría Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

76 76 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 2-28: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre los esquistos. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Figura 2-29: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la cornubiana. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

77 Caracterización del Sistema Fracturado 77 Brecha de intrusión: En la Tabla 2-17 se presentan los estadísticos básicos del espaciamiento entre discontinuidades de cada grupo estructural correspondiente a la brecha de intrusión; en la Figura 2-39 se presentan los histogramas de frecuencias relativas. Tabla 2-17: Espaciamiento entre las discontinuidades muestreadas sobre la brecha de intrusión. Estadísticos Familia 1 Familia 2 Familia 3 Tamaño muestral Rango (mín - máx) [m] 2.51 ( ) 1.31 ( ) 1.72 ( ) Media [m] Mediana [m] Varianza [m 2 ] Desviación estándar [m] Coeficiente de asimetría Figura 2-30: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la brecha de intrusión. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

78 78 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Rocas hipoabisales: En la Figura 2-31 se presentan histogramas de frecuencias relativas para el espaciamiento entre discontinuidades levantadas en rocas hipoabisales de cada familia estructural; en la Tabla 2-18 se muestran los estadísticos básicos de la serie de datos. Figura 2-31: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre las rocas hipoabisales. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 (e) Familia 4 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

79 Caracterización del Sistema Fracturado 79 Tabla 2-18: Espaciamiento entre las discontinuidades muestreadas sobre las rocas hipoabisales. Estadísticos Familia 1 Familia 2 Familia 3 Familia 4 Tamaño muestral Rango (mín - máx) [m] 4.09 ( ) 3.95 ( ) 3.69 ( ) 3.19 ( ) Media [m] Mediana [m] Varianza [m 2 ] Desviación estándar [m] Coeficiente de asimetría Ajuste de funciones de distribución de probabilidad (fdp) Como paso necesario hacia la construcción de redes de fracturas discretas que hagan una representación estadísticamente correcta del macizo rocoso real, se procede a realizar el ajuste de los espaciamientos levantados (y por tanto, frecuencias lineales observadas) a funciones de distribución de probabilidad conocidas; esto posibilitará la generación de fracturas discretas en modelos sintéticos cuyas frecuencias de fracturamiento sean similares a las reales (Min et al, 2004; Jing & Stephansson, 2007; Singhal & Gupta, 2010; Voeckler y Allen, 2012). De acuerdo a la forma de los histogramas de frecuencias relativas, construidos a partir de los datos reales, se seleccionan las funciones de distribución de probabilidad log-normal (de 2 y 3 parámetros) y exponencial (de 1 y 2 parámetros) para realizar el ajuste correspondiente; se hace un ajuste independiente para cada familia estructural encontrada a partir de los datos de orientación de las estructuras. Las formas generales de las funciones de distribución de probabilidad consideradas se muestran en la Ecuación 2-15 a la Ecuación Log-normal (2 parámetros) ( ) = 1 2 Ecuación 2-15 Log-normal (3 parámetros) ( ) = 1 ( ) 2 ( ) Ecuación 2-16 Exponencial (1 parámetro) ( ) = Ecuación 2-17 Exponencial (1 parámetros) ( ) = ( ) Ecuación 2-18 A continuación se presentan, para cada unidad geológica encontrada y cada familia estructural, los parámetros resultantes del ajuste a cada función de distribución de probabilidad considerada; de igual manera se ofrece un análisis de bondad de ajuste de las distintas distribuciones Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

80 80 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado empleando las pruebas de Smirnov - Kolmogorov, Chi-cuadrada y Anderson-Darling, con grados de significancia α de 0.05 y Los resultados de bondad de ajuste se califican con A (aceptada), en caso que no pueda rechazarse la hipótesis de que los datos levantados en campo se ajustan a la distribución correspondiente, con el nivel de significancia dado, y con R (rechazada) en caso de que dicha hipótesis pueda rechazarse. Esquistos del complejo Cajamarca: En la Tabla 2-19 se muestran los parámetros ajustados para las distribuciones log-normal y exponencial negativa. Se resalta que no existen diferencias significativas en los parámetros encontrados para cada familia estructural; en la Tabla 2-20 se muestran los resultados de las pruebas de bondad de ajuste, se obtiene que la distribución lognormal (de 2 y 3 parámetros) ofrece un mejor ajuste, debido a que todas las pruebas de bondad de ajuste utilizadas arrojan como resultado que no es posible rechazar la hipótesis de que los datos se ajustan a dicha distribución; caso contrario ocurre para la distribución exponencial, para la cual sólo la familia 3 muestra un ajuste aceptable en todos los casos. Se tiene finalmente que los datos de espaciamiento se ajustan adecuadamente a la fdp log-normal, se selecciona la correspondiente a 2 parámetros por principio de parsimonia. Tabla 2-19: Ajuste de distribuciones de probabilidad al espaciamiento en los esquistos. Distribución Parámetros Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Exponencial λ Exponencial (2 parámetros) λ γ De acuerdo a la distribución adoptada se tiene que el valor esperado (primer momento de la fdp) para la separación entre discontinuidades es de 0.50, 0.45 y 0.61 metros para las familias 1, 2 y 3, respectivamente; esto se traduce en frecuencias lineales medias de 2.00, 2.24 y 1.64 fracturas por metro para las familias 1, 2 y 3, respectivamente. En la Figura 2-32 se muestra el ajuste gráfico de la distribución log-normal de los datos de espaciamiento obtenidos de campo. Tabla 2-20: Pruebas de bondad de ajuste del espaciamiento en los esquistos. Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Smirnov - Kolmogorov Chi - cuadrada Log-normal α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A Anderson - Darling α=0.05 A A A Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

81 Caracterización del Sistema Fracturado 81 Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 α=0.01 A A A Log-normal (3 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A α=0.01 A A A Chi - cuadrada α=0.05 R A A α=0.01 A A A Anderson - Darling α=0.05 A A A α=0.01 A A A Exponencial Smirnov - Kolmogorov α=0.05 R R A α=0.01 A R A Chi - cuadrada α=0.05 R R A α=0.01 R R A Anderson - Darling α=0.05 R R A α=0.01 A R A Exponencial (2 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 R R A α=0.01 A R A Chi - cuadrada α=0.05 R R A α=0.01 R A A Anderson - Darling α=0.05 R R A α=0.01 A R A Cornubiana: Los parámetros obtenidos del ajuste en este caso se muestran en la tabla Tabla 2-21 y los resultados de las pruebas de bondad de ajuste en Tabla 2-22, nuevamente se obtiene que el mejor ajuste es el log-normal; en la Figura 2-33 se presenta el ajuste gráfico de la distribución adoptada para cada familia estructural. En este caso las frecuencias lineales medias obtenidas son 2.00, 2.99 y 1.89 fracturas por metro para las familias 1, 2 y 3, respectivamente. Tabla 2-21: Ajuste de distribuciones de probabilidad al espaciamiento en la cornubiana. Distribución Parámetros Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Exponencial λ Exponencial (2 parámetros) λ γ Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

82 82 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 2-32: Funciones de distribución de frecuencias ajustadas al espaciamiento en los esquistos. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Tabla 2-22: Pruebas de bondad de ajuste del espaciamiento en la cornubiana. Smirnov - Kolmogorov Chi - cuadrada Anderson - Darling Smirnov - Kolmogorov Chi - cuadrada Anderson - Darling Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A Log-normal (3 parámetros) α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

83 Caracterización del Sistema Fracturado 83 Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Exponencial Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A R A α=0.01 A A A Chi - cuadrada α=0.05 A R R α=0.01 A R A Anderson - Darling α=0.05 A R A α=0.01 A A A Exponencial (2 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A α=0.01 A A A Chi - cuadrada α=0.05 A A R α=0.01 A A R Anderson - Darling α=0.05 A A A α=0.01 A A A Figura 2-33: Funciones de distribución de frecuencias ajustadas al espaciamiento en la cornubiana. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

84 84 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Brecha de intrusión: Los parámetros obtenidos del ajuste en este caso se muestran en la Tabla 2-23 y los resultados de las pruebas de bondad de ajuste en Tabla 2-24; en este caso todas las distribuciones consideradas tienen un buen ajuste. Tabla 2-23: Ajuste de distribuciones de probabilidad al espaciamiento en la brecha de intrusión. Distribución Parámetros Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Exponencial λ Exponencial (2 parámetros) λ γ Tabla 2-24: Pruebas de bondad de ajuste del espaciamiento en la brecha de intrusión. Smirnov - Kolmogorov Chi - cuadrada Anderson - Darling Smirnov - Kolmogorov Chi - cuadrada Anderson - Darling Smirnov - Kolmogorov Chi - cuadrada Anderson - Darling Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A Log-normal (3 parámetros) α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A Exponencial α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

85 Caracterización del Sistema Fracturado 85 Smirnov - Kolmogorov Chi - cuadrada Anderson - Darling Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Exponencial (2 parámetros) α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A α=0.05 A A A α=0.01 A A A Aunque todas las distribuciones consideradas presentan un buen ajuste se considera la fdp lognormal para representar la distribución de los datos, en la Figura 2-33 se presenta el ajuste gráfico de la distribución adoptada para cada familia estructural. Los valores esperados para el espaciamiento, de acuerdo a la distribución adoptada son 0.33, 0.37 y 0.48 metros, lo que significa que las frecuencias lineales medias para las familias 1, 2 y 3 son, respectivamente, 3.07, 2.68 y 2.10 fracturas por metro. Figura 2-34: Funciones de distribución de frecuencias ajustadas al espaciamiento en la brecha intrusiva. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

86 86 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Rocas hipoabisales: Los parámetros obtenidos del ajuste para las rocas hipoabisales se muestran en la Tabla 2-25 y los resultados de las pruebas de bondad de ajuste en la Tabla 2-26; nuevamente se obtiene que el mejor ajuste es el log-normal; en la Figura 2-35 se presenta el ajuste gráfico de la distribución adoptada para cada familia estructural. En este caso las frecuencias lineales medias obtenidas son 2.00, 2.03, 2.00 y 1.37 fracturas por metro para las familias 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Tabla 2-25: Ajuste de distribuciones de probabilidad al espaciamiento en las rocas hipoabisales. Distribución Parámetros Familia 1 Familia 2 Familia 3 Familia 4 Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Exponencial λ Exponencial (2 parámetros) λ γ Figura 2-35: Fdp ajustada al espaciamiento en las rocas hipoabisales. (a) Familia 1 (b) Familia 2 (c) Familia 3 (d) Familia 4 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

87 Caracterización del Sistema Fracturado 87 Tabla 2-26: Pruebas de bondad de ajuste del espaciamiento en las rocas hipoabisales. Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Familia 4 Log-normal Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A A α=0.01 A A A A Chi - cuadrada α=0.05 A A A A α=0.01 A A A A Anderson - Darling α=0.05 A A A A α=0.01 A A A A Log-normal (3 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A A α=0.01 A A A A Chi - cuadrada α=0.05 R A A A α=0.01 A A A A Anderson - Darling α=0.05 A A A A α=0.01 A A A A Exponencial Smirnov - Kolmogorov α=0.05 R R A A α=0.01 A A A A Chi - cuadrada α=0.05 R R A A α=0.01 R A A A Anderson - Darling α=0.05 R R A A α=0.01 A A A A Exponencial (2 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 R R A A α=0.01 A A A A Chi - cuadrada α=0.05 R A A A α=0.01 R A A A Anderson - Darling α=0.05 R R A A α=0.01 A R A A Modelamiento de la Persistencia La estimación del tamaño de las discontinuidades es una tarea complicada porque es necesario asumir una forma para los planos generados por éstas (discos circulares, elipsoides, poliedros, etc) y no es posible observar por completo el plano generado para estimar su tamaño; sería necesario diseccionar una muestra de roca para poder determinar el tamaño real, lo cual no es posible en un sentido práctico; como respuesta a estas dificultades es preferible trabajar este problema en sólo 2 dimensiones por medio de técnicas de muestreo bidimensionales (Priest, 1981). Por tanto el mejor estimativo del tamaño de las fracturas se puede encontrar por medio del análisis de la persistencia de las trazas producidas por la intersección del plano de discontinuidad con una cara de roca plana; pero la técnica de muestreo de las discontinuidades en campo Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

88 88 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado supone una fuente de sesgo, así como la existencia de trazas que se extienden más allá del afloramiento levantado. En la Figura 2-36-a se muestra un esquema de una línea de muestreo sobre un afloramiento que es interceptada por una familia de discontinuidades, se observa que se producen trazas de diferentes longitudes, debido a que los planos de discontinuidades son de tamaños diferentes. La técnica de muestreo implica en sí misma una fuente de sesgo porque la línea de muestreo tiende a intersectar de manera preferencial las trazas más largas, de igual forma es posible que existan trazas que no son muestreadas por completo, debido a que parte de la traza permanece oculta, como se muestra de forma esquemática en la Figura 2-36-b. Figura 2-36: Discontinuidades intersectando una línea de muestreo (modificado de Priest & Hudson, 1981). (a) (b) Histogramas de frecuencias relativas A continuación se presenta el análisis realizado a la persistencia observada en campo para cada familia estructural y cada unidad geológica; para cada una se estiman los principales estadísticos asociados y se construyen histogramas de frecuencias relativas, cuya forma ayudará en la elección de funciones de distribución de probabilidad que puedan representar adecuadamente la distribución de los datos reales. Esquistos del complejo Cajamarca: En la Figura 2-37 se muestran los histogramas de frecuencia relativa de la persistencia observada para las discontinuidades levantadas en esquistos, en la Tabla 2-27 se presentan los estadísticos básicos para cada familia estructural, Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

89 Caracterización del Sistema Fracturado 89 donde puede observarse que la familia 2 es la que presenta un rango mayor, así como una persistencia media mayor. Figura 2-37: Distribuciones relativas de la persistencia para las discontinuidades sobre los esquistos. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Los estadísticos presentados muestran algunas diferencias apreciables entre las tres familias estructurales encontradas; por un lado la familia 1 muestra la menor varianza y un coeficiente de asimetría muy bajo, de igual forma una persistencia media menor y el rango de variación más bajo. El mayor rango de variación corresponde a la familia 2, que también presenta la persistencia media mayor. Tabla 2-27: Persistencia observada en las discontinuidades muestreadas en esquisto. Estadísticos Familia 1 Familia 2 Familia 3 Tamaño muestral Rango [m] 3.72 ( ) 5.43 ( ) 4.53 ( ) Media [m] Mediana [m] Varianza [m 2 ] Desviación estándar [m] Coeficiente de asimetría Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

90 90 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Cornubiana: La persistencia de las discontinuidades muestreadas en la cornubiana muestra un comportamiento diferente a las correspondientes al esquisto; como puede verse en la Figura 2-38, donde se muestran los histogramas de frecuencias relativas para esta variable; la persistencia se concentra hacia la izquierda del histograma (valores bajos) y se exhibe una cola hacia el lado derecho del histograma (valores altos). En la Tabla 2-28 se muestran los estadísticos básicos para esta unidad geológica, donde se resalta que la familia 1 muestra una persistencia media mayor a las demás, pero así mismo es la que presenta mayor varianza y coeficiente de asimetría. Figura 2-38: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la cornubiana. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Tabla 2-28: Persistencia observada en las discontinuidades muestreadas en cornubiana. Estadísticos Familia 1 Familia 2 Familia 3 Tamaño muestral Rango [m] 7.93 ( ) 6.09 ( ) ( ) Media [m] Mediana [m] Varianza [m 2 ] Desviación estándar [m] Coeficiente de asimetría Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

91 Caracterización del Sistema Fracturado 91 Brecha de intrusión: En la Tabla 2-29 se muestran los estadísticos correspondientes a esta unidad geológica, de donde se resalta que las persistencias observadas en este caso son significativamente menores a las levantadas en las demás unidades geológicas y el rango de variación es mucho más pequeño; en la Figura 2-39 se presentan los histogramas de frecuencia relativa, todos ellos mostrando una tendencia similar, en la cual la probabilidad está concentrada en los valores más pequeños y desciende hacia la derecha (persistencias mayores). Figura 2-39: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la brecha de intrusión. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Tabla 2-29: Persistencia observada en las discontinuidades muestreadas en la brecha de intrusión Estadísticos Familia 1 Familia 2 Familia 3 Tamaño muestral Rango [m] 2.16 ( ) 1.75 ( ) 2.10 ( ) Media [m] Mediana [m] Varianza [m 2 ] Desviación estándar [m] Coeficiente de asimetría Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

92 92 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Rocas hipoabisales: Los histogramas de frecuencias relativas para las discontinuidades levantadas sobre las rocas hipoabisales se muestran en la Figura 2-40; puede observarse que para la familia 2 y la familia 3 la forma del histograma es similar, con los datos agrupados alrededor de una valor medio situado hacia la derecha y una cola hacia los valores de persistencia más alta; la familia 1 tiene un comportamiento similar pero en el intervalo 5.0 a 6.5 metros se tiene un leve aumento en la frecuencia, de modo que la cola no es constante; en la familia 4 se observa que las persistencias se concentran en el intervalo 0.5 a 2.5 metros, y no alrededor de sólo un valor medio. Figura 2-40: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre las rocas hipoabisales. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 (e) Familia 4 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

93 Caracterización del Sistema Fracturado 93 Los estadísticos asociado a la persistencia de las discontinuidades en las rocas hipoabisales se muestra en la Tabla Tabla 2-30: Espaciamiento entre las discontinuidades muestreadas en las rocas hipoabisales. Estadísticos Familia 1 Familia 2 Familia 3 Familia 4 Tamaño muestral Rango [m] 6.45 ( ) 5.65 ( ) 5.36 ( ) 5.22 ( ) Media [m] Mediana [m] Varianza [m 2 ] Desviación estándar [m] Coeficiente de asimetría Ajuste de funciones de distribución de probabilidad Al igual que en el caso de la frecuencia de las discontinuidades, es necesario realizar el ajuste de las persistencias levantadas a funciones de distribución de probabilidad conocidas. De acuerdo a la forma de los histogramas de frecuencias relativas, construidos a partir de los datos, se seleccionan las funciones de distribución de probabilidad log-normal (de 2 y 3 parámetros) y, para el caso de la brecha de intrusión se exploran las funciones exponenciales (de 1 y 2 parámetros) para realizar el ajuste correspondiente; se hace un ajuste independiente para cada familia estructural encontrada a partir de los datos de orientación de las estructuras. Las formas generales de las funciones de distribución de probabilidad consideradas se mostraron en la Ecuación 2-15 a Ecuación A continuación se presenta, para cada unidad geológica encontrada y cada familia estructural, los parámetros resultantes del ajuste a cada función de distribución de probabilidad considerada; de igual manera se ofrece un análisis de bondad de ajuste de las distintas distribuciones empleando las pruebas de Smirnov - Kolmogorov, Chi-cuadrada y Anderson-Darling, con grados de significancia α de 0.05 y Los resultados de bondad de ajuste se califican con A (aceptada), en caso que no pueda rechazarse la hipótesis de que los datos levantados en campo se ajustan a la distribución correspondiente, con el nivel de significancia dado, y con R (rechazada) en caso de que dicha hipótesis pueda rechazarse. Esquistos del complejo Cajamarca: En la Tabla 2-31 se presentan los parámetros de la función de distribución de probabilidad log-normal de 2 y 3 parámetros; las pruebas de bondad de ajuste correspondientes se muestran en la Tabla 2-32, para la familia estructural 2 no se puede rechazar la hipótesis de que los datos se ajustan a ambas funciones con grados de significancia α de 0.05 y 0.01 para las tres pruebas empleadas; para la familia 1 se rechaza la hipótesis de que los datos se ajustan a la distribución log-normal de 2 parámetros para el grado de significancia de 0.05 para las pruebas chi-cuadrada y Anderson-Darling, pero no es posible rechazar la hipótesis para la distribución de tres parámetros para todas las pruebas; de igual modo en la familia 3 se rechaza la hipótesis para la log-normal de dos parámetros según las pruebas chi-cuadrada y Anderson- Darling, pero se acepta para todos los casos para la log-normal de 3 parámetros, a excepción de la prueba chi-cuadrada con una significancia de Por lo anterior se concluye que la mejor Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

94 94 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado función de distribución para representar la persistencia es la función de distribución de probabilidad de tres parámetros. Tabla 2-31: Parámetros de ajuste para la persistencia de las discontinuidades en esquisto. Distribución Parámetros Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Tabla 2-32: Pruebas de bondad de ajuste de la persistencia sobre esquistos. Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A α=0.01 A A A Chi - cuadrada α=0.05 R A R α=0.01 A A R Anderson - Darling α=0.05 R A R α=0.01 A A A Log-normal (3 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A α=0.01 A A A Chi - cuadrada α=0.05 A A R α=0.01 A A A Anderson - Darling α=0.05 A A A α=0.01 A A A Los ajustes gráficos obtenidos, de acuerdo a la función de distribución de probabilidad log-normal de 3 parámetros, se muestran en la Figura Cornubiana: Los parámetros de ajuste correspondientes se muestran en la Tabla 2-33 y los resultados de las pruebas de bondad de ajuste se presentan en la Tabla 2-34, se observa que en este caso todas las pruebas (para los grados de significancia de 0.05 y 0.01) rechazan la hipótesis de que los datos se ajusten a una fdp log-normal de 2 parámetros, pero sólo se rechaza la hipótesis con respecto a la fdp log-normal de 3 parámetros para la familia 3 según la prueba chi-cuadrada; por tanto se concluye que la función de distribución de probabilidad lognormal de 3 parámetros es la que mejor representa los datos de campo, en la Figura 2-41 se muestra el ajuste realizado sobre los histogramas de probabilidad de frecuencias relativas. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

95 Caracterización del Sistema Fracturado 95 Figura 2-41: Ajuste de distribución de frecuencia a la persistencia sobre los esquistos. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Tabla 2-33: Parámetros de ajuste para la persistencia de las discontinuidades en cornubiana. Distribución Parámetros Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Tabla 2-34: Pruebas de bondad de ajuste de la persistencia en la cornubiana. Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal α=0.05 R R R Smirnov - Kolmogorov α=0.01 R R R Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

96 96 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Chi - cuadrada α=0.05 R R R α=0.01 R R R Anderson - Darling α=0.05 R R R α=0.01 R R R Log-normal (3 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A α=0.01 A A A Chi - cuadrada α=0.05 A A R α=0.01 A A R Anderson - Darling α=0.05 A A A α=0.01 A A A Figura 2-42: Ajuste de distribución de frecuencia a la persistencia sobre la cornubiana. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Brecha de intrusión: Debido a la forma observada en los histogramas de frecuencia relativa para la persistencia de las discontinuidades levantadas en la brecha de intrusión, se emplean las fdp log-normal (de 2 y 3 parámetros) y exponencial (de 1 y 2 parámetros); los parámetros de ajuste se presentan en la Tabla 2-35 para cada familia estructural, identificada de acuerdo a la orientación. En la Tabla 2-36 se muestran los resultados de las pruebas de bondad de ajuste; allí se observa que solamente para la fdp log-normal de 3 parámetros las tres pruebas empleadas, para Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

97 Caracterización del Sistema Fracturado 97 significancias de 0.05 y 0.01, se obtiene que no sea posible rechazar la hipótesis de que los datos se ajustan a dicha distribución, por lo tanto se acepta que ésta es la fdp que mejor representa la distribución de los datos de persistencia. En la Figura 2-43 se muestra el ajuste gráfico obtenido usando la fdp log-normal de 3 parámetros y el histograma de frecuencias relativas de los datos de persistencia levantados en campo. Tabla 2-35: Parámetros de ajuste para la persistencia de las discontinuidades en la brecha de intrusión. Distribución Parámetros Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Exponencial λ Exponencial (2 parámetros) λ γ Tabla 2-36: Pruebas de bondad de ajuste de la persistencia en la brecha de intrusión. Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Log-normal Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A R A α=0.01 A R A Chi - cuadrada α=0.05 A R A α=0.01 A A A Anderson - Darling α=0.05 A R A α=0.01 A A A Log-normal (3 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A α=0.01 A A A Chi - cuadrada α=0.05 A A A α=0.01 A A A Anderson - Darling α=0.05 A A A α=0.01 A A A Exponencial Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A R A α=0.01 A R A Chi - cuadrada α=0.05 A A A α=0.01 A A A Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

98 98 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Anderson - Darling α=0.05 A R A α=0.01 A A A Exponencial (2 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A R A α=0.01 A R A Chi - cuadrada α=0.05 A A A α=0.01 A A A Anderson - Darling α=0.05 A R A α=0.01 A A A Figura 2-43: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la brecha de intrusión. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Rocas hipoabisales: Los parámetros de ajuste en este caso se muestran en la Tabla 2-37; en el caso de la distribución log-normal de 2 parámetros, éstos son muy similares entre sí; no así en la distribución log-normal de 3 parámetros. La bondad del ajuste se muestra en la Tabla 2-38, se tiene que para la familia 1 no es posible rechazar la hipótesis de que los datos se ajustan a la distribución log-normal de 2 parámetros, pero para las familias 2, 3 y 4 se rechaza está hipótesis; para la fdp log-normal de 3 parámetros se tiene que la hipótesis no puede ser rechazada para Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

99 Caracterización del Sistema Fracturado 99 todas las familias, según las pruebas implementadas y los niveles de significancia usados (0.05 y 0.01); por lo tanto se acepta que la fdp log-normal de 3 parámetros es la que mejor representa la distribución estadística de los datos de campo levantados sobre las rocas hipoabisales. En la Figura 2-44 se muestra el ajuste gráfico entre los datos de campo (por medio del histograma de frecuencias relativas) y la fdp log-normal de 3 parámetros, se muestra el ajuste para cada familia estructural identificada según el análisis de las orientaciones. Tabla 2-37: Parámetros de ajuste para la persistencia de las discontinuidades en las rocas hipoabisales. Distribución Parámetros Familia 1 Familia 2 Familia 3 Familia 4 Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Tabla 2-38: Pruebas de bondad de ajuste de la persistencia en las rocas hipoabisales. Prueba Significancia Familia 1 Familia 2 Familia 3 Familia 4 Log-normal Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A R R R α=0.01 A R R R Chi - cuadrada α=0.05 A R R R α=0.01 A R R R Anderson - Darling α=0.05 A R R R α=0.01 A R R R Log-normal (3 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A A A α=0.01 A A A A Chi - cuadrada α=0.05 A A A A α=0.01 A A A A Anderson - Darling α=0.05 A A A A α=0.01 A A A A Estimación de la persistencia media Como se pretende generar fracturas en modelos bidimensionales, es necesario estimar la frecuencia areal para cada familia estructural y unidad geológica. Se ha encontrado que existe una relación lineal entre la frecuencia líneal (λ) y la frecuencia areal (λa), que depende de la persistencia media de las discontinuidades (Priest y Damaniego, 1983); por lo tanto se hace Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

100 100 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado necesario un buen estimativo de la persistencia de las trazas de las discontinuidades. Como se mencionó con anterioridad, la técnica de líneas de muestreo genera un sesgo debido a que la probabilidad de que las discontinuidades más persistentes intercepten la línea es mayor que la asociada a las discontinuidades menos persistentes. Figura 2-44: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre las rocas hipoabisales. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 (e) Familia 4 A continuación se utilizará la metodología utilizada por Priest y Hudson (1981) para la estimación de la persistencia media real. Se asume que la función de distribución de probabilidad de las Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

101 Caracterización del Sistema Fracturado 101 trazas completas reales sobre una roca dada está dada por f(l). Si la línea de muestreo está localizada de manera aleatoria con respecto a un grupo de trazas de discontinuidades paralelas, entonces la probabilidad de que dicha línea de muestreo intersecte una traza dada es directamente proporcional a la longitud de esa traza; entonces la probabilidad de que la línea de muestreo intersecte una traza con longitud en el rango l a l+dl está dada por k l f(l) dl, donde k es una constante (Priest, 1993). Las deducciones correspondientes se muestran en la secuencia Ecuación 2-19 a Ecuación Función de distribución de probabilidad de la longitudes de traza intersectadas por la línea de muestreo ( ) = ( ) Ecuación 2-19 La suma de las probabilidades descritas por la Ecuación 2-19 debe ser igual a 1 ( ) = 1 ( ) = 1 Ecuación 2-20 Expresión para el primer momento de la distribución f(l) ( ) = Ecuación 2-21 Despejando el valor de k ( ) = ( ) Ecuación 2-22 Asumiendo que la función de distribución de probabilidad f(l) (asociada a las longitudes reales) es de tipo exponencial negativo se tiene: fdp de las longitudes de trazas reales en la roca ( ) = Ecuación 2-23 fdp de las longitudes de traza intersectadas por la línea de muestreo ( ) = ( ) Ecuación 2-24 Primer momento (valor esperado) de la fdp g(l) = 2 Ecuación 2-25 A partir de la Ecuación 2-25 se estima el valor de la persistencia real, asumiendo que el valor medio de las persistencias muestreadas en campo corresponde a µ gl. Usando el valor estimado para cada fdp ajustada a los datos de persistencia se ajustan las funciones f(l) y g(l), esta última debe ser similar a las fdp ajustadas a los datos. Esquistos del complejo Cajamarca: Los valores esperados para la persistencia, de acuerdo a la distribución log-normal de 3 parámetros son: 1.28, 1.72 y 1.39 metros para las familias 1, 2 y 3, respectivamente; de modo que los valores medios para la persistencia real corresponden a 0.64, Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

102 102 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado 0.86 y 0.70 metros. En la Figura 2-45 se muestra el ajuste de las funciones f(l) y g(l) correspondientes; en este caso el ajuste de la función teórica g(l), que describe el comportamiento de las trazas muestreadas por la línea de muestreo, con los datos reales y la función log-normal ajustada no es satisfactorio, debido a que corresponde a una distribución con los valores más concentrados a la izquierda. Figura 2-45: Distribuciones relativas de la persistencia para las discontinuidades sobre los esquistos. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Cornubiana: En este caso los valores esperados para la persistencia para las familias estructurales 1, 2 y 3, fueron respectivamente: 2.36, 1.95 y 2.05 metros; de esta manera los valores esperados para los valores medios de la longitud de traza real son 1.18, 0.98 y 1.03, respectivamente. Como se puede ver en la Figura 2-46 el ajuste entre la función de distribución g(l) es muy similar al ajuste log-normal de 3 parámetros realizado a los datos de campo, de igual manera se muestra la distribución f(l) que corresponde a las persistencias reales (no sólo las interceptadas por la línea de muestreo); en este caso se puede afirmar entonces que los datos exhiben el comportamiento esperado teóricamente. Brecha de intrusión: Los valores esperados para los valores medios de la longitud real son menores a las correspondientes a las demás unidades geológicas, siendo de 0.36, 0.41 y 0.39 metros para las familias 1, 2 y 3, respectivamente; correspondientes a valores esperados del ajuste log-normal de 0.72, 0.81 y 0.79 metros. En la Figura 2-47 se observa que el ajuste entre g(l) y el ajuste log-normal realizado a los datos es satisfactorio. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

103 Caracterización del Sistema Fracturado 103 Figura 2-46: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la cornubiana. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 Rocas hipoabisales: Los ajustes log-normales de 3 parámetros realizados a las familias estructurales 1, 2, 3 y 4, arrojan como persistencias medias 2.25, 1.76, 1.70 y 1.86 metros, respectivamente; lo que se traduce en 1.13, 0.88, 0.85 y 0.93 metros para la media de las trazas reales. En la Figura 2-47 se muestran los ajustes entre la distribución g(l) y la distribución lognormal de 3 parámetros, el ajuste es satisfactorio para todas las familias. A modo de resumen, en la Tabla 2-39 se presentan los valores µ gl, correspondientes al valor medio para la función de distribución de probabilidades de las persistencias de las discontinuidades muestreadas con las líneas de muestreo g(l), y µ l, correspondiente al valor medio de la función de distribución de probabilidades de las persistencias reales de las discontinuidades, luego de hacer la corrección por sesgo. Tabla 2-39: Persistencia media para cada unidad geológica y familia estructural. Familia Esquistos Cornubiana Brecha de intrusión Rocas hipoabisales µ gl [m] µ l [m] µ gl [m] µ l [m] µ gl [m] µ l [m] µ gl [m] µ l [m] Familia Familia Familia Familia Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

104 104 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 2-47: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre la brecha de intrusión. (a) Todas las discontinuidades (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 (a) Todas las discontinuidades Consideraciones sobre la Abertura La estimación de la abertura hidráulica efectiva es muy importante en la caracterización del comportamiento hidráulico de una fractura; el tamaño de las aberturas de las discontinuidades en un macizo rocoso depende, entre otros factores, de los esfuerzos a los que está o ha sido Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

105 Caracterización del Sistema Fracturado 105 sometido el macizo, de la rugosidad de las paredes de las discontinuidades, de los caminos de deformación de la roca, de la existencia de material de relleno, del flujo de agua e, incluso, de la persistencia de la fractura (Jing & Stephansson, 2007). Es necesario entonces, hacer una distinción entre dos tipos de aberturas; por un lado la abertura mecánica e m es el espacio vacío, lleno de aire o agua, existente entre las dos paredes de una discontinuidad dada, y cuya distancia es medida de forma normal al plano de la discontinuidad, siendo ésta la abertura que puede medirse directamente por medios físicos como la inyección de resinas o el uso de sistemas láser de alta precisión; por otro lado, la abertura hidráulica efectiva e h, es la que efectivamente interviene en el flujo de agua a través de la discontinuidad en un modelo de placas paralelas y no puede medirse por medios directos (Priest, 1993). Figura 2-48: Distribuciones relativas del espaciamiento para los datos sobre las rocas hipoabisales. (b) Familia 1 (c) Familia 2 (d) Familia 3 (e) Familia 4 Barton et al. (2005) reportó que la abertura hidráulica efectiva e h, asociada a un modelo de placas paralelas lisas, es, en general, menor que la abertura mecánica e m que puede ser medida de forma directa; se encontró que de acuerdo a resultados de una serie de ensayos de flujo, realizados en un rango amplio de rocas, la relación e m /e h era cercana a la unidad para discontinuidades de paredes lisas y aberturas mecánicas relativamente mayores, pero dicha relación se incrementa a valores superiores a 7, a medida que la rugosidad aumenta o la abertura mecánica disminuye. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

106 106 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado La abertura de las discontinuidades (mecánica e hidráulica) puede aumentar de forma natural por procesos de erosión física o química inducida por el flujo de agua a través de las discontinuidades; son especialmente susceptibles a tales cambios las discontinuidades en la roca más próxima a la superficie, que está expuesta más fácilmente a los agentes físicos y químicos de la erosión, por tanto los valores resultantes de la medición de aberturas en afloramientos no son aproximaciones confiables a la verdadera abertura de las discontinuidades en un macizo rocoso; como la abertura es un parámetro muy sensible en la cuantificación del flujo a través de la discontinuidad y debido a que los afloramientos en la zona de estudio están sujetos a los agentes de erosión, las aberturas obtenidas en campo no serán utilizadas para la estimación de la abertura hidráulica efectiva; en su lugar se utilizarán los resultados de pruebas de bombeo tipo Lugeon realizadas en la zona en los años 2011 y Estimación de la abertura hidráulica a partir de ensayos Lugeon Básicamente, los ensayos tipo Lugeon miden la cantidad de agua que se introduce dentro del medio fracturado en un tiempo dado bajo una cierta presión; el agua es introducida a presión dentro de la sección de ensayo en la perforación, primero con incrementos en la presión y luego con disminución de ésta en pasos secuenciales de intervalos de tiempo fijo. Presiones superiores a 1 MPa (10 bars) no son recomendables para estimar la permeabilidad, porque altas presiones pueden incrementar la permeabilidad localmente al inducir nuevas fracturas y/o aumentar las aberturas de las existentes, igualmente se incrementa la posibilidad de turbulencia (Singhal & Gupta, 2010). En la Figura 2-49 se muestra de modo esquemático el montaje de una prueba Lugeon. Figura 2-49: Esquema de ensayo lugeon con dos opturadores. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

107 Caracterización del Sistema Fracturado 107 La permeabilidad de la matriz en rocas cristalinas es despreciable, lo que significa que el flujo de agua a través de los macizos rocosos, y por tanto su permeabilidad, depende de la geometría del sistema de fracturas; debido a que el flujo de agua a través de una fractura simple es dependiente de la abertura de ésta, cualquier medida de la permeabilidad de un macizo rocoso da, de manera indirecta, una estimación de la abertura hidráulica efectiva e h de las fracturas conductoras. Partiendo de un modelo de placas paralelas lisas, sujetas a un flujo laminar, se obtiene la expresión para el flujo Q a lo largo de una fractura de abertura hidráulica e h, ancho b y persistencia l, sujeta a una pérdida de cabeza total ΔH, tal como se muestra en la Ecuación Ley cúbica para el flujo en placas paralelas lisas. = 12 Ecuación 2-26 Para que la ecuación sea válida en un volumen de roca idealizado, con dimensiones b por h por l, a través del cual el flujo ocurre a lo largo de los planos de discontinuidades que lo componen, es necesario asumir las siguientes hipótesis (Priest, 1993): 1. Las discontinuidades son planas y cada una tiene una abertura hidráulica efectiva eh constante. 2. Las discontinuidades están orientadas de forma paralela a la dirección del flujo y de forma normal a la dimensión h. 3. La roca es un material inerte, incompresible e impermeable al fluido en las fracturas. 4. El flujo es laminar y obedece la ley de Darcy. Si la frecuencia de discontinuidades es λ, habrá en promedio λ h discontinuidades, ya que el elemento de roca es de espesor h, de modo que el flujo total será el mostrado en la Ecuación Sólo las fracturas en el tramo de ensayo conducen agua, se incluye el número de fracturas (λ h). = h 12 Ecuación 2-27 Si se realiza un ensayo de flujo en este mismo elemento de roca fracturada, resultando en un coeficiente de permeabilidad km, entonces el flujo predicho, bajo el gradiente hidráulico ΔH/l, será igual al mostrado en la Ecuación Aplicando la ley de Darcy se obtiene la Ecuación 2-28, y a partir de ésta y la Ecuación 2-27 se obtiene la Ecuación 2-29, que es un estimativo de la abertura hidráulica efectiva promedio. Por ley de Darcy (Q=k i A) se tiene el caudal del ensayo Lugeon. = h Ecuación 2-28 Abertura hidráulica media estimada a partir del ensayo Lugeon = 12 / Ecuación 2-29 Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

108 108 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Las dificultades prácticas que surgen de la estimación de la estimación de la abertura hidráulica efectiva e h de las discontinuidades a parir de los ensayos Lugeon, son básicamente (Priest, 1993): 1. El análisis está basado en la asunción de un solo grupo de fracturas, orientado perpendicular al eje de la perforación; en realidad es posible que existan diferentes grupos de fracturas, con diferentes orientaciones. 2. Se asume que la abertura hidráulica eh es constante para todas las discontinuidades intersectadas; en la realidad es posible que exista una distribución de aberturas, de modo que la abertura calculada solamente es una abertura hidráulica efectiva promedio. 3. En la práctica las rocas son deformables, bajo presiones de flujo altas, particularmente cuando la frecuencia de las discontinuidades es baja y las aberturas son altas; las aberturas efectivas pueden incrementarse por deformación elástica de la roca adyacente bajo la influencia de la presión hidráulica del ensayo. En la zona de estudio, en los años 2011 y 2012, se realizaron pruebas tipo Lugeon en perforaciones correspondientes a esquistos, cornubiana y rocas hipoabisales, a partir de los cuales se obtuvieron permeabilidades equivalentes de 4.63 x 10-7 m/s (0.040 m/d) para los esquistos, 1.94 x 10-7 m/s (0.017 m/d) y 6.30 x 10-7 m/s (0.054 m/d) para las rocas hipoabisales; en la Tabla 3 40, Tabla 3 41 y Tabla 3 42 se muestran los resultados de cada ensayo y la abertura hidráulica promedio efectiva calculada, para cada unidad geológica, de acuerdo a la ecuación e No es posible hacer una diferenciación en familias estructurales, por la naturaleza del ensayo Lugeon. Tabla 2-40: Estimación de la abertura hidráulica, a partir de ensayos lugeon, para los esquistos. Profundidad [m] Longitud del ensayo [m] Número de fracturas Frecuencia de fracturamiento [fracturas/m] Conductividad hidráulica [m/s] Abertura hidráulica [mm] x x x x x x x x x x x x x x 10-2 Tabla 2-41: Estimación de la abertura hidráulica, a partir de los ensayos luegon, para la cornubiana. Profundidad [m] Longitud del ensayo [m] Número de fracturas Frecuencia de fracturamiento [fracturas/m] Conductividad hidráulica [m/s] Abertura hidráulica [mm] x x x x x x 10-2 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

109 Caracterización del Sistema Fracturado 109 Profundidad [m] Longitud del ensayo [m] Número de fracturas Frecuencia de fracturamiento [fracturas/m] Conductividad hidráulica [m/s] Abertura hidráulica [mm] x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 10-2 Tabla 2-42: Estimación de la abertura hidráulica, a partir de los ensayos luegon, para las rocas hipoabisales. Profundidad [m] Longitud del ensayo [m] Número de fracturas Frecuencia de fracturamiento [fracturas/m] Conductividad hidráulica [m/s] Abertura hidráulica [mm] x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 10-2 Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

110 110 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Profundidad [m] Longitud del ensayo [m] Número de fracturas Frecuencia de fracturamiento [fracturas/m] Conductividad hidráulica [m/s] Abertura hidráulica [mm] x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 10-1 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

111 Caracterización del Sistema Fracturado 111 Profundidad [m] Longitud del ensayo [m] Número de fracturas Frecuencia de fracturamiento [fracturas/m] Conductividad hidráulica [m/s] Abertura hidráulica [mm] x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 10-2 Histogramas de frecuencias relativas Los estadísticos básicos de las aberturas calculadas a partir de los ensayos Luegon se muestran en la Tabla 2-43; se resalta que el número de ensayos para los esquistos y la cornubiana son muy bajos y que el rango de variación éstos se encuentra dentro del de las rocas hipoabisales; y que al combinar todos los datos no se obtienen diferencias apreciables. En la Figura 2-50 se muestran los histogramas correspondientes. Tabla 2-43: Estimación de la abertura hidráulica, a partir de los ensayos luegon, para las rocas hipoabisales. Estadístico Todos Rocas hipoabisales Cornubiana Esquisto Tamaño muestral Rango [mm] ( ) ( ) ( ) ( ) Media [mm] Mediana [mm] Varianza [mm 2 ] Desviación estándar [mm] Coeficiente de asimetría Ajuste de funciones de distribución de probabilidad Al igual que las otras características geométricas de las discontinuidades, se procede a realizar un ajuste de la abertura hidráulica efectiva con funciones de distribución de probabilidad conocidas. De acuerdo a los histogramas de frecuencias obtenidos se elige la fdp log-normal (de 2 y 3 parámetros) para realizar el ajuste; en la Tabla 2-44 se muestran los parámetros obtenidos; no se realizó un ajuste para los datos correspondientes a los esquistos y la cornubiana porque la cantidad de los datos no es suficiente para que la media o varianza de los datos sea considerada estable. En la Tabla 2-45 se muestran las pruebas de bondad de ajuste practicadas, tanto para los Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

112 112 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado datos en las rocas hipoabisales como para los datos de todas las litologías; se obtiene un ajuste aceptable (no se puede rechazar la hipótesis de que los datos se ajustan a la distribución lognormal de 2 y 3 parámetros), y por principio de parsimonia se asume que la fdp log-normal de 2 parámetros es la que mejor representa los datos de abertura hidráulica efectiva. Figura 2-50: Aberturas hidráulicas estimadas a partir de ensayos Lugeon. (a) Todos los datos (b) Rocas Hipoabisales (c) Esquistos del complejo Cajamarca (d) Cornubiana Tabla 2-44: Ajuste de los datos de abertura hidráulica efectiva. Distribución Parámetros Rocas hipoabisales Todos Log-normal σ µ σ Log-normal (3 parámetros) µ γ Tabla 2-45: Pruebas de bondad de ajuste de la abertura hidráulica efectiva. Smirnov - Kolmogorov Prueba Significancia Rocas hipoabisales Todos Log-normal α=0.05 A A α=0.01 A A Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

113 Caracterización del Sistema Fracturado 113 Prueba Significancia Rocas hipoabisales Todos Chi - cuadrada α=0.05 A A α=0.01 A A Anderson - Darling α=0.05 A A α=0.01 A A Log-normal (3 parámetros) Smirnov - Kolmogorov α=0.05 A A α=0.01 A A Chi - cuadrada α=0.05 A A α=0.01 A A Anderson - Darling α=0.05 A A α=0.01 A A En la Figura 2-51 se muestra el ajuste gráfico de las aberturas hidráulicas efectivas con la función de distribución log-normal de 2 y 3 parámetros; finalmente se obtiene que el valor esperado es de mm, para ambas distribuciones (de 2 y 3 parámetros). Figura 2-51: Ajuste de aberturas hidráulicas estimadas a partir de ensayos Lugeon. (a) Rocas hipoabisales (log-normal 2P) (b) Rocas Hipoabisales (log-normal 3P) (c) Todos los datos (log-normal 2P) (d) Todos los datos (log-normal 3P) Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

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115 3. Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas Con el objetivo de producir múltiples representaciones de la geometría de las fracturas del macizo rocoso, que reflejen adecuadamente las características del medio real, se procede a la generación de redes de fracturas discretas; para lograrlo, se parte de las propiedades geométricas primarias del sistema (orientación, frecuencia y espaciamiento, persistencia y abertura) que a este nivel ya han sido caracterizadas por distribuciones estadísticas relativamente simples, y se utiliza un enfoque de muestreo de Montecarlo sobre las funciones de distribución de probabilidad acumuladas. A continuación se presenta la metodología específica empleada para la generación de las redes de fracturas, se detalla la estructura del algoritmo construido y las características de los modelos generados; finalmente se procede a seleccionar los tramos de flujo que se forman cuando las fracturas se cruzan entre sí y se eligen las ventanas de análisis que se utilizarán para la simulación del flujo a través de las redes de fracturas simuladas Metodología Específica El proceso de generación de redes de fracturas discretas es detallado en Priest (1993), donde se señalan las hipótesis acerca de las características de las discontinuidades, que son necesarias para llevar a cabo el proceso de generación, tanto para generar representaciones geométricas realistas como para mantener una simplicidad computacional. En este caso específico se realizará la generación de redes bidimensionales en un plano de generación arbitrario en dirección N-S. Se asume que existe un número finito de familias estructurales para cada unidad geológica estudiada y que las discontinuidades de cada familia son similares entre sí, en un sentido estadístico; la distribución de las orientaciones de cada familia estructural identificada puede ser caracterizada por una función de distribución de probabilidad, controlada por uno o más parámetros estadísticos. La frecuencia de cada grupo puede ser caracterizada en términos de una frecuencia observada a lo largo de una línea de muestreo y expresada en términos de frecuencia superficial (número de fracturas por unidad de área) con base en la frecuencia lineal y la persistencia media. La ocurrencia de las discontinuidades dentro de la roca es un fenómeno aleatorio; las discontinuidades pueden ser representadas geométricamente como líneas rectas en un plano bidimensional, cuyas persistencias obedecen una función de distribución de probabilidades continua. Finalmente, se asume que la abertura puede ser caracterizada por funciones continuas, pero se asume uniforme para una discontinuidad dada, de modo que es posible usar un enfoque de paredes planas, paralelas y lisas. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

116 116 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Para la construcción de redes de fracturas se usa una técnica tipo Montecarlo; que efectúa un muestreo aleatorio apoyado en el teorema del límite central y la ley de los grandes números y está basado en la generación de números pseudo-aleatorios ajustados a funciones de distribución de probabilidad conocidas. Este enfoque permite crear diferentes representaciones del medio geológico real, estadísticamente equivalentes. Para cada unidad geológica presente en la zona de estudio se generarán 100 modelos de fracturas discretas independientes, con la finalidad de verificar distintas configuraciones geométricas basadas en las mismas funciones de distribución de probabilidad, que describen los rangos de valores que pueden tomar las principales características geométricas de las fracturas (orientación, persistencia y abertura), así como la probabilidad asignada a cada valor o rango de valores. La frecuencia superficial de fracturamiento (λ a, expresada como número de fracturas por unidad de área [fr/m 2 ]) será constante para todos los modelos generados, de modo que en cada uno se generarán el mismo número de fracturas; esto se hace con el propósito de evaluar los efectos de distintas distribuciones de los factores geométricos que describen las fracturas espacialmente, sobre la densidad de fracturamiento. Priest y Samaniego (1983) encontraron que existe una relación lineal entre la frecuencia lineal (λ) y la frecuencia superficial (λa), que depende de la persistencia media de las discontinuidades, tal cómo se muestra en la Ecuación 3-1. = 2 Ecuación 3-1 Con base en la frecuencia lineal λ encontrada (estimada como el primer estadístico de la función de distribución de probabilidad del espaciamiento S) y la persistencia media µ gl de cada familia y cada unidad geológica, se calcula la frecuencia superficial correspondiente como se muestra en la Tabla 3-1. La frecuencia total de fracturamiento para cada unidad geológica es entonces la suma simple de la frecuencia de cada familia; se tiene como resultado preliminar que la cornubiana es la unidad que presenta menor densidad de fracturamiento (5,22 fracturas/m 2 ), pero con un resultado muy similar a los esquistos y las rocas hipoabisales (6,34 y 6,22 fracturas/m 2, respectivamente), a pesar que esta última muestra 4 familias estructurales. Por otro lado la brecha de intrusión es la que muestra mayor densidad de fracturamiento (15,99 fracturas/m 2 ). Tabla 3-1: Parámetros utilizados en la estimación de la frecuencia de fracturamiento. Unidad Grupo S [m] λ [fr/m] µ gl [m] λ a [fr/m 2 ] λ a Total Esquistos Cornubiana Brecha de Intrusión Rocas Hipoabisales Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

117 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 117 Luego de definir la densidad bidimensional de fracturamiento para cada familia estructural de cada unidad geológica, se hace la definición del espacio de generación de fracturas. En este caso el espacio de generación comprende un cuadrado de 32 m de lado (con un área total de m 2 ), de modo que la ventana de generación está dada por los pares coordenados (0, 0), (32, 0), (32, 32) y (0, 32). Larson (1974) estipuló que la ocurrencia aleatoria de discontinuidades a lo largo de una línea de muestreo es un ejemplo de un proceso Poisson unidimensional, en donde cualquier diferencial de longitud a lo largo de la línea tiene igual oportunidad de contener una discontinuidad. De este modo puede establecerse que la probabilidad de que ocurran exactamente m eventos (discontinuidades) a lo largo de una línea de muestreo se distribuye de forma exponencial. Priest (1993) confirma esto y establece que la ocurrencia de los puntos medios de las trazas de discontinuidades en un plano obedece también un proceso Poisson, en este caso bidimensional; de modo que si la frecuencia espacial de fracturamiento es λa y el área total de generación A es dividida en m diferenciales de área, la probabilidad Pn de que el centro de la traza de una discontinuidad ocurra en un diferencial de área está dado en la Ecuación 3-2. = Ecuación 3-2 Así que para llevar a cabo la generación de una red de fracturas es necesario asignar el centro de traza de una discontinuidad a un total de λa A puntos seleccionados aleatoriamente del espacio de generación; por lo tanto se generan un total de λa A pares coordenados aleatorios (Xc, Yc) siguiendo una función de distribución de probabilidad uniforme en el rango 0-32 para cada componente. Habiendo generado el par coordenado, correspondiente a la ubicación del centro de la traza de la discontinuidad en el plano de generación, se procede a generar la orientación del plano de la discontinuidad a partir de la distribución Fisher, que describe la forma en que se distribuye el ángulo de desviación δ del vector unitario normal al plano que describe la orientación media de cada familia estructural con el vector unitario normal correspondiente a las discontinuidades de la misma familia. En la Tabla 3-2 se muestra el valor del parámetro k de Fisher que gobierna la forma de esta distribución, para cada familia de cada unidad geológica considerada. Tabla 3-2: Constante k de Fisher para cada familia de cada unidad geológica. Familia Esquistos Cornubiana Brecha de Intrusión Rocas Hipoabisales Constante k - Familia Constante k - Familia Constante k - Familia Constante k - Familia El ángulo obtenido δ es un ángulo plano (unidimensional) que representa la desviación del vector unitario normal de la discontinuidad generada y el vector unitario normal al plano medio de la familia estructural; para llevarlo a tres dimensiones se hace necesario rotar el vector unitario normal generado alrededor del vector unitario normal a la familia un ángulo aleatorio α tomado de una distribución uniforme en el rango 0 a 2π (Priest, 1993). Para llevar a cabo este proceso es necesario realizar dos rotaciones, la primera de ellas es equivalente al ángulo δ alrededor de un Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

118 118 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado eje perpendicular al vector normal al plano de orientación media de la familia, y la segunda es equivalente a un ángulo α alrededor del vector unitario normal al plano medio de la familia, para plantear correctamente las matrices de rotación necesarias se expresa la orientación media de cada familia en términos de sus cosenos directores, como se muestra en la Tabla 2-1. A partir de la orientación del plano de la discontinuidad generada y la orientación del plano de generación que lo corta (plano N-S) se calcula el buzamiento aparente originado por la intersección de ambos planos. Tabla 3-3: Parámetros utilizados en la estimación del ángulo de desviación. Unidad Grupo dip [ ] dip-dir [ ] u ox u oy u oz Esquistos Cornubiana Brecha de Intrusión Rocas Hipoabisales Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia Familia La persistencia se genera con el muestreo aleatorio de la función de distribución log-normal de 3 parámetros, los cuales se muestran en la Tabla 3-4 para cada familia estructural dentro de cada unidad geológica. A partir del buzamiento aparente y la persistencia se calculan las coordenadas de los extremos de inicio (X1, Y1) y final (X2, Y2) de la fractura generada dentro del espacio de generación; es posible que alguno de estos extremos se ubique por fuera de la ventana de generación. Tabla 3-4: Parámetros utilizados en la generación de la persistencia. Familia Parámetro Esquistos Cornubiana Brecha Rocas Hipoabisales σ Familia 1 µ γ σ Familia 2 µ γ σ Familia 3 µ γ σ Familia 4 µ γ Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

119 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 119 Finalmente, sólo resta generar la abertura hidráulica asociada a la fractura generada, realizando un muestreo aleatorio en la función de distribución de probabilidad log-normal de 2 parámetros, de acuerdo a los que se presentan en la Tabla 3-5. Como no existen suficientes datos de abertura hidráulica se utiliza una misma distribución con un único par de parámetros para todas las familias estructurales y todas las unidades geológicas. Tabla 3-5: Parámetros utilizados en la generación de la abertura hidráulica. Unidad y familia Parámetro Abertura Todas las familias estructurales y todas las unidades geológicas σ µ Un resumen detallado de la metodología empleada se muestra en la Figura 3-1, que corresponde al diagrama de flujo del algoritmo implementado para la generación de fracturas discretas para cada unidad geológica. La metodología presentada se basa en el enfoque Montecarlo, efectuando el muestreo aleatorio de las propiedades geométricas para cada fractura generada en cada modelo. Figura 3-1: Diagrama de flujo del algoritmo implementado para la generación de fracturas. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

120 120 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Como el muestreo aleatorio se hace sobre funciones de distribución de probabilidad construidas con datos geológicos reales, los modelos generados son resultado de un proceso estocástico (determinístico y aleatorio) Modelos Geométricos Generados Como se mencionó en el apartado anterior, se generan 100 modelos geométricos, que conforman redes de fracturas discretas (DFN, del inglés Discrete Fracture Network) de 32 metros de lado (1024 m 2 ) para cada unidad geológica, de forma que en total se tienen 400 modelos geométricos de redes de fracturas discretas, los cuales reciben el nombre de modelos parentales, ya que más adelante se sustraerán ventanas de muestreo para el análisis de flujo a través de los tramos de fracturas conectados. Las fracturas fueron generadas mediante un muestreo aleatorio de funciones de distribución estadística, las cuales describen la forma en que se distribuye la orientación, persistencia y abertura; se asume una misma densidad superficial de fracturamiento en el espacio de generación para cada unidad. Cada fractura,dentro de cada modelo generado, está determinada por las coordenadas del centro de su traza (Xc, Yc), el ángulo entre el vector unitario normal de la discontinuidad y el vector unitario normal al plano medio de la familia estructural correspondiente δ, el buzamiento y el rumbo del buzamiento, la persistencia de la traza de la fractura, el punto de inicio (X1, Y1) y final (X2, Y2) de la fractura en el plano de generación (por convención la coordenada de inicio se adopta en la izquierda, correspondiente a la coordenada X menor) y la abertura hidráulica eh. En la Figura 3-2-a se muestra gráficamente uno de los modelos generados para los esquistos del complejo Cajamarca (correspondiente exactamente al modelo DFN 25) de 32 metros de lado (1024 m 2 de área); allí se indican, con ayuda de un código de colores, las fracturas correspondientes a cada una de las 3 familias estructurales de esta unidad geológica. En la Figura 3-2-b se presenta una ventana de 2 metros de lado (4 m 2 de área) extraída de la representación del sistema fracturado completo. A modo de verificación del modelo generado, en la Figura 3-3 se presentan, para las 3 familias de los esquistos, la función acumulada de probabilidades de Fisher teórica (de acuerdo al parámetro k encontrado en el análisis estructural para cada grupo de fracturas, y mostrada como una línea continua en las gráficas) y las frecuencias acumuladas de los ángulos de desviación de las fracturas simuladas con respecto al vector medio normal de la familia correspondiente (mostrada como puntos en la gráficas); también se muestran los histogramas de frecuencias relativas para la persistencia de trazas contra la función de distribución de probabilidades ajustada con los datos disponibles para cada familia. Se observa una correspondencia entre las distribuciones teóricas de entrada y los datos de salida, lo que confirma que el modelo generado es una representación estadísticamente equivalente a los datos reales de campo. Al igual que en el caso de los esquistos, en la Figura 3-4, en la Figura 3-5 y en la Figura 3-6 se presenta un ejemplo del modelo generado para la cornubiana, la brecha de intrusión y las rocas hipoabisales, respectivamente; y de igual forma se muestran también las figuras correspondientes a la coincidencia entre los parámetros de entrada y los datos de salida para la representación de la orientación y la persistencia en la traza de las discontinuidades. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

121 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 121 Figura 3-2: Ejemplo de modelo DFN generado para los esquistos. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ). Coordenada y [m] Leyenda: ---- Familia Familia Familia 3 Coordenada x [m] (a) Modelo DFN 25 (1024 m 2 ) Coordenada y [m] Leyenda: ---- Familia Familia Familia 3 Coordenada x [m] (b) Ventana de 4 m 2 tomada del centro Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

122 122 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 3-3: (a) Función de probabilidad acumulada para el ángulo de desviación teórica vs resultados en el modelo simulado y (b) función de distribución de probabilidades de persistencia ajustada vs histograma de frecuencias relativas obtenidas en el modelo DFN-25. Familia 1 Familia 1 Familia 2 Familia 2 Familia 3 Familia 3 (a) Ángulo de desviación respecto a la media (b) Persistencia Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

123 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas Ejemplo de modelo DFN generado para la cornubiana. (a) Modelo DFN 25 de m de lado (1024 m ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m ). Coordenada y [m] Figura 3-4: 123 Leyenda: ---- Familia Familia Familia 3 Coordenada x [m] 2 Coordenada y [m] (a) Modelo DFN 25 (1024 m ) Leyenda: ---- Familia Familia Familia 3 Coordenada x [m] 2 (b) Ventana de 4 m tomada del centro Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

124 124 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Ejemplo de modelo DFN generado para la brecha de intrusión. (a) Modelo DFN de 32 m de lado (1024 m ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m ). Coordenada y [m] Figura 3-5: Leyenda: ---- Familia Familia Familia 3 Coordenada x [m] 2 Coordenada y [m] (a) Modelo DFN 25 (1024 m ) Leyenda: ---- Familia Familia Familia 3 Coordenada x [m] 2 (b) Ventana de 4 m tomada del centro Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

125 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 125 Figura 3-6: Ejemplo de modelo DFN generado para las rocas hipoabisales. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ). Coordenada y [m] Leyenda: ---- Familia Familia Familia 3 Coordenada x [m] (a) Modelo DFN 25 (1024 m 2 ) Coordenada y [m] Leyenda: ---- Familia Familia Familia 3 Coordenada x [m] (b) Ventana de 4 m 2 tomada del centro Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

126 126 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado En la Figura 3-7 se muestra el histograma de frecuencias relativas para las aberturas hidráulicas simuladas con el modelo DFN, junto con la función de distribución de probabilidad teórica ajustada a las aberturas estimadas a partir de las pruebas lugeon practicadas en la zona; se resalta que la cantidad de datos para el esquisto y la cornubiana no es suficiente para realizar un ajuste de fdp (no se puede asegurar que los momentos muestrales sean estables), por lo que se usan los datos combinados de rocas hipoabisales, esquistos y cornubiana para realizar el ajuste y se usa de modo indistinto para las cuatros unidades geológicas en la zona de estudio. Figura 3-7: Ajuste de aberturas hidráulicas simuladas para las rocas hipoabisales Elección de Ventanas de Análisis El objetivo general de este trabajo consiste en verificar la influencia de la escala espacial en las propiedades hidráulicas del medio fracturado, por tanto es necesario establecer ventanas de muestreo de los modelos parentales que sean adecuadas para la simulación del flujo. El tamaño de estas ventanas obedece a dos criterios diferentes. Por un lado se realiza un análisis a la longitud de las líneas de muestreo levantadas en campo; dicha longitud es condicionada por las dimensiones del afloramiento levantado, de modo que la longitud de la línea es similar a la correspondiente al afloramiento levantado. En la Figura 3-8 se muestra el histograma de frecuencias relativas y el histograma de frecuencias relativas acumuladas de la longitud de las líneas de muestreo. La línea más extensa que se levantó fue cercana a los 13 metros, pero se observa que más del 90% de las líneas se encuentran por debajo de los 8 metros; así mismo se observa que ninguna de las líneas fue menor a 1 metro, y de hecho menos del 5% de las líneas de muestreo tuvieron longitudes menores a los 2 metros. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

127 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 127 Figura 3-8: Histograma de frecuencias (a) y de frecuencias acumuladas (b) de longitud de líneas de muestreo. (a) (b) Por otro lado, en la Figura 3-9, se muestran las persistencias máximas y medias observadas para cada familia estructural de cada unidad geológica; se observa que en términos absolutos la familia 3 de la cornubiana es la que muestra una persistencia máxima observada mayor (10.1 m), mientras que la brecha de intrusión exhibe la persistencia media observada menor (0.71 m). Figura 3-9: Persistencias máximas (a) y medias (b) observadas en cada unidad geológica. (a) (b) Como criterio para la elección de la ventana de análisis se tomará la mitad de la persistencia media mínima y la mitad de las líneas de muestreo más cortas para el caso de la ventana mínima, y el doble de la persistencia máxima observada y el doble de las líneas de muestreo más largas para el caso de la ventana máxima, tal como se muestra en la Tabla 3-6. Estos criterios se adoptan con el fin de que las escalas estudiadas sean acordes a las dimensiones de los afloramientos observados y caracterizados en campo, y que puedan contener las trazas de las fracturas reales levantadas. Tabla 3-6: Parámetros utilizados en la generación de la abertura hidráulica. Criterio Ventana mínima [m] Ventana máxima [m] Análisis de la longitud de líneas de muestreo Análisis de las persistencias medias y máximas Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

128 128 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Con base en los criterios establecidos, y en busca de simplicidad matemática se adoptan modelos entre los 0,5 y los 20,0 metros de lado. En total se seleccionan 20 ventanas de diferentes tamaños a partir del centro de los modelos parentales de fracturas discretas generados; las primeras 10 ventanas se toman con un paso de 0,5 m, las siguientes 5 ventanas con un paso de 1,0 m y las 5 restantes con pasos de 2 metros; esto con la finalidad de privilegiar el análisis en las escalas más pequeñas, donde se supone que se manifiestan los mayores efectos de la geometría de las fracturas. En la Figura 3-10 se muestra un esquema de la selección de ventanas de análisis a partir de un modelo parental; aunque las ventanas de análisis más grandes contienen a las ventanas más pequeñas, cada una de ellas puede entenderse como una red de fracturas diferente. En la Tabla 3-7 se muestran el lado, área y coordenadas mínimas y máximas dentro del espacio de generación para cada ventana. Figura 3-10: Esquema de ventanas de análisis seleccionadas a partir de los modelos parentales. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

129 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 129 Tabla 3-7: Ventanas de análisis seleccionadas. Ventana Lado [m] Área [m2] Xmín = Ymín Xmáx = Ymáx Selección de Tramos de Flujo Los modelos generados hasta el momento comprenden una superposición de trazas de fracturas de diferentes familias estructurales dentro de un espacio de generación dado, y aunque son redes de fracturas discretas aún, no constituyen redes de flujo porque existen tramos de fracturas que no contribuyen al flujo ya que no están conectados con los demás. El paso siguiente es la definición de una red de flujo compuesta por nodos internos (ubicados dentro de la ventana de análisis) y externos (ubicados en la frontera de la ventana de análisis), unidos por medio de tramos de trazas de discontinuidades que serán los tramos de flujo en la simulación hidráulica. En la Figura 3-11 se presenta el diagrama de flujo del algoritmo implementado para la definición de nodos internos, externos y tramos de flujo. La base del procedimiento es encontrar la expresión matemática de la recta que describe la traza de cada discontinuidad dentro del plano de generación, de la forma Y = m X + b, donde m y b son los parámetros que describen la pendiente y el intercepto de la recta. Posteriormente se analizan una a una las fracturas que conforman el arreglo generado contra las demás fracturas y las fronteras para encontrar el intercepto (puntos espaciales donde se cortan ambas líneas) y determinar si dichos puntos quedan dentro del dominio de generación y dentro del dominio de ambas fracturas de pruebas (en términos de los puntos de inicio y fin de cada fractura). Como resultado se obtienen vectores que describen las Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

130 130 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado coordenadas de los nodos internos (NI) y externos (NE), así como una arreglo matricial que contiene la ubicación espacial de cada tramo de flujo, incluyendo el punto de inicio y fin (por convención se asume el punto ubicado a la izquierda, correspondiente a la coordenada X menor, como el punto de inicio, independiente de la inclinación de la línea). Figura 3-11: Diagrama de flujo del algoritmo implementado para la selección de tramos de flujo. En la Figura 3-12 se muestra la red de flujo correspondiente para el modelo DFN 25 de los esquistos, para una ventana de análisis de 30 m de lado (900 m 2 ) y una de 2 m de lado (4 m 2 ); puede observarse que todos los nodos internos y externos se encuentran comunicados a través de tramos de flujo y no existen extremos de tramos que no estén conectados a la red. En la Figura 3-13, Figura 3-14 y Figura 3-15 se muestran las redes de flujo construidas para la cornubiana, la brecha de intrusión y las rocas hipoabisales, respectivamente. Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

131 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 131 Figura 3-12: Ejemplo de tramos de flujo definidos para los esquistos. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ). Coordenada y [m] Coordenada x [m] (a) Modelo DFN 25 (900 m 2 ) - Esquistos Coordenada y [m] Coordenada x [m] (b) Ventana de 4 m 2 tomada del centro Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

132 132 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 3-13: Ejemplo de tramos de flujo definidos para la cornubiana. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ). Coordenada y [m] Coordenada x [m] (a) Modelo DFN 25 (900 m 2 ) - Cornubiana Coordenada y [m] Coordenada x [m] (b) Ventana de 4 m 2 tomada del centro Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

133 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 133 Figura 3-14: Ejemplo de tramos de flujo definidos para la brecha de intrusión. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ). Coordenada y [m] Coordenada x [m] (a) Modelo DFN 25 (900 m 2 ) - Brecha de Intrusión Coordenada y [m] Coordenada x [m] (b) Ventana de 4 m 2 tomada del centro Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

134 134 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 3-15: Ejemplo de tramos de flujo definidos para las rocas hipoabisales. (a) Modelo DFN 25 de 32 m de lado (1024 m 2 ) y (b) Modelo DFN 25 de 2 m de lado (4m 2 ). Coordenada y [m] Coordenada x [m] (a) Modelo DFN 25 (900 m 2 ) - Rocas Hipoabisales Coordenada y [m] Coordenada x [m] (b) Ventana de 4 m 2 tomada del centro Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL

135 Modelos Estocásticos de Fracturas Discretas 135 Aunque para todos los modelos de fracturas discretas construidos para una misma unidad geológica se generó el mismo número de fracturas (se asume constante la densidad superficial de fracturamiento), las diferencias en la disposición geométrica de las fracturas (producidas por el muestreo aleatorio Montecarlo en las funciones de distribución de probabilidad correspondientes a orientación y persistencia) se refleja en cambios en el número de nodos internos, nodos externos y tramos de flujo de las redes de flujo correspondientes a cada modelo de fracturas discretas. En la Figura 3-16 se muestra la variación del coeficiente de variación para el número de tramos de flujo encontrados dentro de cada ventana de análisis. Este coeficiente se calcula como la razón de la desviación estándar y el valor promedio (σ/µ); en este caso del número de tramos de flujo encontrados en todos los 100 modelos para cada ventana de análisis; este valor hace referencia a la relación entre la magnitud del valor medio del número de tramos y la variabilidad de éstos. Para las escalas más pequeñas (correspondientes a las ventanas de análisis menores) se tienen coeficientes altos, lo que indica una alta variabilidad; el coeficiente disminuye rápidamente a medida que se aumenta el tamaño de la ventana de análisis, de modo que para ventanas superiores a los 16 metros de lado se obtienen coeficientes menores al 5%. Figura 3-16: Distribución del coeficiente de variación del número de tramos de flujo encontrados en cada ventana de análisis. Al igual que el número de tramos de flujo, se observa también una alta variabilidad en la densidad de tramos de flujo y de nodos internos. En la figura 4-16 se presenta la variación de la densidad promedio de nodos internos y de tramos de flujo (calculadas con el número de nodos internos y tramos de flujo promedio entre el área de la ventana de análisis). Para las escalas más pequeñas se tiene que la densidad de tramos de flujo es mínima, mientras que la densidad de tramos de flujo es máxima; en ambos casos las densidades obtenidas muestran una mayor variabilidad y tienden a estabilizarse a medida que se aumenta la escala del modelo; este comportamiento pone de manifiesto la influencia de la escala de análisis en las propiedades geométricas de las redes generadas. Tesis de Maestría I.C. Rubén Darío Londoño Aguirre

136 136 Definición del Volumen Elemental de Referencia y Estimación de un Modelo de Conductividades Hidráulicas Equivalentes para un Sistema Hidrogeológico en un Medio Fracturado Figura 3-17: Densidad promedio de (a) nodos internos y (b) tramos de flujo en los modelos generados Esquistos de complejo Cajamarca Cornubiana Brecha de intrusión Rocas Hipoabisales (a) Número de nodos internos promedio / m 2 (b) Número de tramos de flujo promedio / m 2 Posgrado en Aprovechamiento de los Recursos Hidráulicos - PARH UNAL