MODELOS DE TURBULENCIA EN MECÁNICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL

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1 Velocidad Frecuencia Espectro Variabilidad Multianual Variabilidad Intranual Rango de grandes vórtices Subrango Intermedio Subrango Inercial Rango disipativo Fenómeno Hidráulico MODELOS DE TURBULENCIA EN MECÁNICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL Ruiz Solorio Gerardo Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. Circuito Exterior S/N, Ciudad Universitaria, Del. Coyoacán, México D.F., México. C.P Introducción En los últimos años, el desarrollo de la tecnología de Mecánica de Fluidos Computacionales (CFD, Computational Fluid Dynamics) y la potencia computacional ha traído grandes avances en la investigación y aplicación de códigos CFD en hidráulica, ingeniería de ríos, marítima, aerodinámica, energía, irrigación y drenaje por mencionar algunas (Lorezini, 2012). El CFD se ha desarrollado significativamente en las últimas décadas y tiene un papel muy importante en estudiar el flujo de los fluidos. Uno de los retos más significativos, particularmente para la ingeniería hidráulica, es el tratamiento de la turbulencia. A primera vista el principal problema radica en las limitaciones computacionales disponibles, y la aplicación de la simulación numérica directa podría hacer las predicciones de estos códigos de casi el 100% confiable. Esto podría ser potencialmente alcanzado solamente en el caso cuando somos capaces de determinar con precisión todas condiciones iniciales y de frontera. Esto no es posible en sistemas de ingeniería realistas. Por lo tanto, cualquier predicción de códigos CFD siempre se espera que sean aproximadas, (Hirsch, 2009). Debido a que muchos flujos son muy complejos, ya que no sólo son turbulentos y altamente tridimensionales, sino también tienen fronteras irregulares y complejas, (Sparlat, 2000). En este trabajo se analiza los diferentes métodos de la obtención de la turbulencia, sus ventajas y desventajas que se tienen en los diversos problemas que se presentan en el campo de la hidráulica. Esto es un intento de clarificar y tamaño de los muchos niveles posibles para la predicción numérica del flujo turbulento. Estos niveles todavía van desde una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes Reynolds-Averaged (RANS) constante a una simulación numérica directa, con la simulación de LES. Sin embargo estos últimos años han añadido estrategias intermedias: DNS (Simulación Numérica Directa), LES (Simulación de grandes vórtices), RANS (Ecuaciones promediadas de Reynolds Navier-Stokes) y Double-Averaged Equations (Ecuaciones doblemente promediadas) que se pueden derivar para la conservación de la masa, momentum, energía y esfuerzos cortantes turbulentos. Lorenz en 1963 y dio comienzo a la ciencia moderna de la dinámica del caos. En las últimas décadas, ha ganado una gran importancia en los estudios de dinámica ambiental, mezclado de químicos y en la ingeniería hidráulica, tanto en forma teórica como en estudios de laboratorio, obteniendo mejoras en las técnicas experimentales y simulaciones por computadora. La turbulencia resulta de la naturaleza no lineal de la advección, que permite la interacción entre movimientos en diferentes escalas espaciales. En consecuencia, una perturbación inicial con una escala de longitud característica determinada tiende a diseminarse a escalas progresivamente más grandes y más pequeñas. Esta expansión del rango espectral es limitada en gran escala por las fuerzas del cuerpo, de las fronteras y en pequeñas escalas de la viscosidad. Si el rango de escalas se vuelve lo suficientemente grande, el flujo adopta una forma muy compleja cuyos detalles desafían la predicción. En la Ilustración 1, se muestra la variación de la turbulencia en diferentes escalas. Los principales mecanismos físicos que conducen a la turbulencia en las escalas más pequeñas se presentan en términos de tensión y vorticidad, cantidades que representan la tendencia del flujo en cualquier punto a deformarse y a la rotación del fluido, respectivamente. Una lección importante y reciente es que la vorticidad y el esfuerzo no están distribuidos al azar en el flujo turbulento, sino más bien se concentran en regiones coherentes, cada una de ellas dominada por tipo de movimiento. El primer mecanismo que se considera es el enrollado de vórtice debido a la inestabilidad del cortante. Este proceso resulta en una concentración de vorticidad cercana a la unidad, es decir un vórtice de línea. Cuando un vórtice es estirado por el flujo circundante, su rotación aumenta para conservar el momento angular. La oposición de estos procesos en la viscosidad hace que se disipe la vorticidad y los flujos se alejan de las regiones fuertemente rotacionales. Variación Hidrológica Turbulencia Macro Meso Micro Turbulencia El flujo turbulento ha sido una fuente de fascinación por siglos, el término 'turbulencia' parece haber sido utilizado primero en referencia a los flujos de fluidos por Leonardo Da Vinci, quien estudió el fenómeno extensivamente. Hoy en día, la turbulencia se caracteriza con frecuencia como el último gran problema no resuelto de la física clásica. Juega un papel central en flujos de fluidos en la ingeniería. Su estudio condujo al descubrimiento del primer atractor extraño de Años Semanas ~W/U ~H/U ~Z/U = ( / ) 1/2 Escala de tiempo Ilustración 1. Escala de turbulencia.

2 La turbulencia puede visualizarse como un 'spaghetti' libremente enredada de vórtices lineales que continuamente se entrelazan unos a otros en formas complejas, ver Ilustración 2. En un momento dado, se crean unos vórtices enrollados, algunos están creciendo debido al estiramiento del vórtice, y algunos están decayendo debido a la viscosidad. Muchos, sin embargo, están en un estado de equilibrio aproximado entre estos procesos y mantenga las características del flujo por la formación de las estructuras coherentes. La mezcla no se logra dentro de los vórtices, estas regiones son relativamente estables, como el ojo de un huracán. En cambio, la mezcla ocurre principalmente en las regiones de intensa tensión que existe cuando están cercas dos vórtices que giran en el mismo sentido. Es en estas regiones que el fluido se deforma para producir gradientes amplificados y consecuencia sucede una mezcla rápida. Jones y Launder (1972) propusieron por primera vez su el modelo k-e estándar, con Launder y Sharma (1974) proporcionaron mejores constantes al modelo. La formulación matemática de este modelo es:. (1) (2) (3) (4) El segundo método más utilizado es el modelo, originalmente propuesto por Wilcox, (Wilcox 1988a, Wilcox 1988b, Wilcox 2007), que es: (5) (6) (7). (8) Ilustración 2. Estructuras coherentes en la turbulencia. Aunque las estructuras esenciales de la turbulencia no son complejas, se combinan en una desconcertante variedad de tamaños y orientaciones de estructuras que hacen de un análisis complejo. Debido a esto, la turbulencia se entiende más provechosamente en términos estadísticos. Aunque el enfoque estadístico impide una predicción detallada de la evolución del flujo, da información del rango del transporte y propiedades de mezclado, que son de primordial importancia en la mayoría de las aplicaciones. El análisis estadístico se centra en los diversos momentos del campo de flujo, definido con respecto a alguna operación promedio. La media puede tomarse sobre el espacio o tiempo, o un promedio del conjunto asumiendo que se comienza con flujo en condiciones iniciales similares. El análisis a menudo se simplifica usando tres condiciones estándar, se asume que la las condiciones estadísticas del flujo son: estacionario (invariante con respecto a las traslaciones en el tiempo), homogéneo (invariante con respecto a las traslaciones en el espacio) e isotrópico (invariante con respecto a las rotaciones). Análisis de los modelos clásicos de turbulencia Los modelos clásicos de la turbulencia ampliamente estudiados son: y modelo Spalart Allmaras (S-A). El modelo es el modelo de turbulencia más ampliamente utilizado y está incorporado en la mayoría del software CFD. Spalart y Allmaras (1992) propusieron un modelo de una ecuación usado en flujos aerodinámicos, que resuelve la ecuación de transporte para una viscosidad variable:, y las relaciones auxiliares son: Modelos de turbulencia (9) (10), (11) (12) (13) Dentro de los modelos de turbulencia se tiene una gran diversidad, a continuación se enlistan algunos de esos métodos utilizados para la modelación de la turbulencia: Modelos RANS

3 1. Modelos RANS para fluidos incompresibles Modelo Laminar: Modelado de la turbulencia para flujo laminar SST: Modelo del tipo SST RNG : Modelo del grupo renormalizado RNG No lineal : Modelo no lineal del tipo LienCubicKE: Modelo del tipo q-z Launder-Sharma : Modelo del tipo para Re bajos LamBremhorst : Modelo del tipo para Re bajos LienCubic Low Re: Modelo del tipo para Re bajos Lien Leschsiner Low Re: Modelo del tipo para Re bajos LRR: Modelo de Transporte de Esfuerzos de Reynolds (RSTM) Launder-Reece-Rodi Launder Gibson RSTM: Modelo tipo RSTM que considera reflexión en las paredes del dominio Realizable : Modelo del tipo Sparlart-Allmaras: Modelo de longitud de mezcla de una ecuación. 2. Modelos RANS para fluidos compresibles Laminar: Modelado de la turbulencia para flujo laminar : Modelo para flujo estándar SST: Modelo del tipo SST RNG : Modelo del grupo renormalizado RNG LRR: Modelo de Launder-Reece-Rodi tipo (RSTM) Launder Gibson RSTM: Modelo tipo RSTM Realizable : Modelo del tipo Sparlart-Allmaras: Modelo de longitud de mezcla de una ecuación. Modelos LES 1. Modelos LES para Turbulencia Isotrópica Smagorinsky Smagorinsky 2: Modelo con un filtro en 3D Dyn Smagorinsky: Modelo Smagorinsky dinámico Homogeneus Dyn Smagorinsky: Modelo dinámico y homogéneo. Dyn Lagrangian: Modelo Lagranciano de viscosidad de remolino, dos ecuaciones Scale Similarity Smagorinsky mexclado: Modelo de mezcla de la escala Smagorinsky Dyn Mixed Smagorinsky: Modelo de mezcla dinámico One Eq Eddy: Modelo de la viscosidad de remolino de una ecuación del tipo k One Eq Eddy: Modelo dinámico de la viscosidad de remolino del tipo k Loc Dyn One Eq Eddy: Modelo dinámico localizado de viscosidad de remolino de una ecuación tipo k Spect Eddy Viscosity: Modelo espectral de viscosidad de remolino LRD Diff Stress: Modelo de esfuerzos diferenciales LRR Deardorff Diff Stress: Modelo de esfuerzos diferenciales Dearddorff Sparlart-Allmaras Sparlart-Allmaras DDES: Modelo tipo DDES de simulación de vórtices Sparlart Allmaras Sparlart-Allmaras IDDES: Modelo tipo IDDES mejorado de Sparlart-Allmaras 2. Modelos LES para turbulencia anisotrópica Smagorinsky One Eq Eddy: Modelo de viscosidad de remolino de una ecuación tipo k Dyn One Eq Eddy: Modelo dinámico de viscosidad de remolino tipo k Low Re One Eq Eddy: Modelo de viscosidad de remolino de una ecuación tipo k para Reynolds bajos Deardorff Diff Stress: Modelo de esfuerzos diferenciales Dearddorff Sparlat-Allmaras 3. Modelos LES deltas PrandtlDelta cuberootvoldelta maxdeltaxyz smoothdelta 4. Filtros LES Laplace Filter Simple Filter Anisotropic Filter Modelo RANS El modelo de turbulencia RANS (Ecuaciones promediadas de Reynolds Navier-Stokes) se puede derivar las ecuaciones de conservación de la masa, momentum, energía y esfuerzos cortantes turbulentos, (Versteeg, 2007). Las ecuaciones básicas utilizadas son: Continuidad: Momento: Energía cinética turbulenta, k: Disipación turbulenta, : (14) (15) (16) (17) donde, t, tiempo; u j, componente de la velocidad; x i, componente de las coordenadas;, densidad; coeficiente viscoso; P, presión; u, coeficiente de la viscosidad turbulenta,, energía cinética turbulenta y, disipación turbulenta. Las constantes empíricas; = 1.0, = 1.3, C = 1.44, C = 1.92 y la energía cinética turbulenta esta en términos de G con la siguiente ecuación: Continuidad: (18)

4 Los proveedores de CFD hacen más difícil la elección ofreciendo en algunos casos más de 20 diferentes variantes de solución de la turbulencia por medio de RANS, con apenas alguna sugerencia respecto a que modelo deben usarse para alguna aplicación. Esto no es una situación adecuada y, paradójicamente, a pesar de la evidente necesidad de innovación, parece no ser un gran incentivo para la investigación fundamental un modelado RANS convencional. Sólo unos pocos grupos el mundo seriamente participan en investigación de RANS. Además, debido a la saturación y anteriormente numerosas decepciones, las novedades se encuentran hoy generalmente con desconfianza entre los usuarios de CFD. Por el contrario, parece ser que mucho más actividad está investigando nuevos enfoques, principalmente en la academia, algunos aparentemente partiendo de las estrategias tradicionales de RANS, entre estos nuevos desarrollos podemos identificar los siguientes: Inestable RANS (U-RANS) implica una solución en el tiempo en 3D para problemas inestables. Multiescala RANS (un punto y análisis espectral). Transitorio RANS (basado en una condicional o un ensamblado de las ecuaciones de Navier-Stokes) con la posibilidad de modificar el modelo RANS en sub-escalas del movimiento, ver Hanjalic (2001) y Ha Minh (1993). VLES basado en T-RANS (modelo semi-determinista) modelación de los vórtices coherentes y parcialmente un promedio de las ecuaciones de Navier-Stokes, ver Farge (2003) y Girimaji (2003). Híbrido RANS/LES con una acoplamiento de los dos métodos y usando cada uno en la región donde estratégicamente resuelve la turbulencia de manera más sencilla, ver Spalart (2000) y Hanjalic (2004). En la Ilustración 3 se ven las diferencias entre los métodos, LES, Des y URANS, para el flujo que pasa por una esfera, con un número de Reynolds, Re = 10,000, ver EAWAG (2012). Ilustración 4. Configuración de fondo con vegetación. Se forman fuerzas de arrastre viscosas que actúan dentro de una capa de rugosidad que no se encuentra explícitamente en los métodos RANS. Dado que el método RANS no toma en cuenta lo anteriormente visto, usa un promedio en los operadores, realiza una descomposición del Reynolds y promedia las ecuaciones, lo que trae como consecuencia con los siguientes pasos: comienza con las ecuaciones de Navier- Stokes, representa las variables instantáneas usando una descomposición modificada del Reynolds y realiza un promedio de manera similar al método RANS. La descomposición del Reynolds modificado se hace la siguiente forma: (19) (20) donde:, promedio doble de la velocidad en el espacio y tiempo;, forma inducida de la componente de la velocidad;, fluctuación de la componente de la velocidad. La ecuación de momento con DANS es, donde promedio en el espacio o tiempo: puede ser un (21) La ecuación de advección y difusión queda: (22) Modelo DAM U-RANS Ilustración 3. Flujo que pasa por una esfera. El modelo de turbulencia DAM (Double-Averaging Methodology) es una modificación al método RANS que hace un doble promedio y también se le conoce como DANS (Double Averaging Navier Stokes). En las aplicaciones de la Ingeniería Hidráulica se tienen parámetros de la rugosidad espacial, con el método RANS sólo toma en cuenta las propiedades de flujo en forma local, por lo cual existe un desajuste en la escala, ver Ilustración 4, como ejemplo de una configuración de fondo con vegetación. En la Tabla 1 se presenta un comparativo de las diferentes variables. Tabla 1. Comparación de algunos parámetros entre RANS y DANS. Variable Método Componente velocidad media de Intensidad turbulenta Asimetría Kurtosis Esfuerzo de Reynolds RANS DANS Las principales ventajas de un enfoque de doble promedio son: mejora significativamente la escala entre los parámetros de flujo y rugosidad, las fuerzas de arrastre son más fáciles de evaluar, las variables se pueden escalar de forma más sencilla y mejores definiciones de los parámetros hidráulicos. Sus aplicaciones del método DANS son: en el desarrollo de

5 modelos numéricos más complejos; en el diseño de experimentos numéricos, campo y laboratorio; análisis de datos y su interpretación y finalmente en la integración de los efectos de pequeña escala dentro de problemas a gran escala. Conclusiones Podemos concluir que los códigos CFD no pueden usarse como herramientas exclusivas para la investigación en ingeniería. Sin embargo, pueden, ser útiles en esta investigación si se utiliza junto con otras herramientas de análisis de flujo. Necesitamos tener una idea clara acerca de las propiedades generales del flujo antes de aplicar un código CFD y es necesario contar con todos los detalles del flujo. El vínculo entre códigos CFD y otras herramientas utilizadas para el análisis de los flujos es todavía una línea de investigación con un amplio campo. Recientemente, una nueva dirección en el desarrollo de código CFD, basado en la aplicación directa de nuevas soluciones analíticas en estos códigos. Agradecimientos El autor expresa agradecimiento a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México y al Swiss Federal Institute of Aquatic Research and Technology EAWAG por los conocimientos adquiridos durante el Gerhard Jirka Summer School Referencias EAWAG. Apuntes del curso Gerhard Jirka Summer School, Environmental Fluid Mechanics, EAWAG, Swiss Federal Institute of Aquatic Research and Technology, junio 2012, Horw, SUIZA. FARGE, M., SCHNEIDER, K., PELLEGRINO, G., WRAY, A. A., y ROGALLO, R. S., Coherent Vortex Extraction in Three-Dimensional Homogeneous Turbulence: Comparison Between CVS-Wavelet and POD-Fourier Decompsition, Phys. Fluids, 15, 10, pp , GIRIMAJI, S. S., SRINIVASAN, R. y JEONG, E., PANS Turbulence Model for Seamless Transition Between RANS and LES: Fixed-Point Analysis and Preliminary Results, Paper No FEDSM , Proc. ASME FEDSM 03, HA MINH, H. y KOURTA, A., Semi-Deterministic Turbulence Modeling for Flows Dominated by Strong Organized Structures, Proc. 9th Int. Symp. on Turb. Shear Flows, Kyoto, Japan, pp , HANJALIC, K., AND KENJEREŠ, S., T-RANS Simulation of Deterministic Eddy Structure in Flows Driven by Thermal Buoyancy and Lorentz Force, Flow, Turbul. Combust., 66, pp , HANJALIC, K., HADZIABDIC, M., TEMMERMAN, L. y LESCHZINER, M., Merging LES and RANS Strategies: Zonal or Seamless Coupling? in Direct and Large Eddy Simulations V., R. Friedrich, B. Geurts, and O. Metais, eds., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp , HIRSCH, CH. Numerical Computation of Internal and External Flows. Fundamentals of Computational Fluid Dynamics. Butterworth-Heinemann, Gran Bretaña, JONES, W.P. y LAUNDER, B.E. The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence. International Journal of Heat and Mass Transfer, 15, , LAUNDER, B.E. y SHARMA, B.I., Application of the energy-dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc. Letters in Heat and Mass Transfer, 1 (2), , LOREZINI, G., CONTI, A. y DE WRACHIEN, D.G. Computational Fluid Dynamics (CFD) picture of water droplet evaporation in air. Irrigation Drainage System Engineering 1, pp. 1-12, SPALART, P.R. Strategies for turbulence modelling and simulations. International Journal of Heat and Fluid Flow 21, pp , SPALART, P.R. y ALLMARAS, S.R., A one-equation turbulence model for aerodynamic flows. AIAA Paper , VERSTEEG, H.K. y MALALASEKERA, W. An Introduction to computational fluid dynamics. Prentice Hall, USA, WILCOX, D.C., Formulation of the k-w turbulence model revisited. AIAA Paper , WILCOX, D.C., Reassessment of the scale determining equation for advanced turbulence models. AIAA Journal, 26, , 1988a. WILCOX, D.C., Turbulence modeling for CFD. La Canada, CA: DCW Industries, 1988b. WILCOX, D.C., Turbulence modelling: an overview. AIAA Paper , 2001.