Capítulo I: Introducción al Análisis en Rotura

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1 Capítulo I: Introducción al Análisis en Rotura Josep Casanova Colón Enero de 2015

2 Cuadernos de Teoría Avanzada de Estructuras. Capítulo I: Introducción al Análisis en Rotura Josep Casanova Colon Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras Universitat Politècnica de València Enero de 2015 Introducción al Análisis en Rotura by Josep Casanova Colon is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional License.

3 Índice Índice... III Tema 1: Formulación básica del análisis en rotura de los elementos estructurales... 1 Índice... 2 Introducción... 3 Comportamiento elasto plastico de materiales dúctiles... 5 Respuesta elasto plastica uniaxial... 5 Criterios de plastificación Hipótesis fundamentales del análisis límite Respuesta elasto plástica de la sección solicitada a axil o a flexión Axil de plastificación y relación axil alargamiento Momento plástico Relación momento curvatura. Concepto de rótula plástica Tensiones residuales Diagramas de interacción Interacción axil flector Interacción flector cortante Interacción flector axil cortante Comparación del análisis elástico y el análisis en rotura Bibliografía Tema 2: Formulación básica del análisis en rotura de los elementos estructurales (II) Índice Introducción Método paso a paso Teorema de unicidad de la solución Teoremas de la cota Bibliografía Anejo: Demostración de los Teoremas de la Cota Teorema Estático (o de la Cota Inferior) Enunciado Enunciado alternativo Enunciado alternativo Demostración III

4 Teorema Cinemático (o de la Cota Superior) Enunciado Demostración IV

5 Tema 1: Formulación básica del análisis en rotura de los elementos estructurales 1

6 Índice 2

7 Introducción 3

8 4

9 Comportamiento elasto plastico de materiales dúctiles Respuesta elasto plastica uniaxial 5

10 6

11 7

12 8

13 9

14 10

15 Criterios de plastificación 11

16 12

17 13

18 14

19 Hipótesis fundamentales del análisis límite 15

20 Respuesta elasto plástica de la sección solicitada a axil o a flexión 16

21 Axil de plastificación y relación axil alargamiento 17

22 18

23 Momento plástico 19

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25 21

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27 23

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29 25

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32 28

33 Relación momento curvatura. Concepto de rótula plástica 29

34 30

35 31

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39 35

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41 Tensiones residuales 37

42 38

43 39

44 40

45 Diagramas de interacción 41

46 Interacción axil flector 42

47 43

48 44

49 45

50 46

51 47

52 48

53 49

54 Interacción flector cortante 50

55 51

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67 Interacción flector axil cortante 63

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70 Comparación del análisis elástico y el análisis en rotura 66

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72 68

73 69

74 70

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77 Bibliografía 73

78 74

79 Tema 2: Formulación básica del análisis en rotura de los elementos estructurales (II) 75

80 Índice 76

81 Introducción 77

82 78

83 Método paso a paso 79

84 80

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87 83

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90 86

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93 89

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97 Teorema de unicidad de la solución 93

98 94

99 Teoremas de la cota 95

100 96

101 97

102 98

103 99

104 Bibliografía 100

105 101

106 Anejo: Demostración de los Teoremas de la Cota Teorema Estático (o de la Cota Inferior) Enunciado Una estructura no colapsa bajo la acción de un estado de carga en equilibrio con un conjunto de reacciones internas y externas que determinan una ley de momentos flectores que no supera en ningún punto de la estructura la condición de plastificación ( M P M M P ). OBSERVACIÓN: Tenga en cuenta que el teorema exige que las reacciones internas y externas cumplan las condiciones de equilibrio, pero no dice nada de ninguna condición de compatibilidad. En una estructura hiperestática se pueden encontrar un sinfín de configuraciones de cargas y reacciones que cumplan las condiciones de equilibrio (recuerde que recurrimos a las condiciones de compatibilidad para determinar entre todas ellas qué resuelve el problema). Enunciado alternativo El factor de carga correspondiente a una solicitación estáticamente admisible 1 que no viola el criterio de plastificación 2 determina una cota inferior de la carga de colapso 3. Enunciado alternativo 2 La carga de colapso es el máximo de los factores de carga correspondientes a solicitaciones estáticamente admisibles que no violan el criterio de plastificación. Demostración Supongamos una estructura genérica sometida a un conjunto de fuerzas puntuales P i aplicadas en los puntos i=1,2,3..., y una serie de cargas repartidas q i (x) que actúan sobre las barras j=1,2,3... Sean k=1,2,3... los puntos donde se pueden formar rótulas plásticas, y M k el momento flector en el punto k. Finalmente, representemos por u m i el desplazamiento virtual del punto i, por d m j(x) la ley de desplazamientos virtuales de la barra j y por m k el giro virtual en los puntos k, todos ellos correspondientes al desplazamiento virtual cinemáticamente admisible m. Nótese que m k = 0 si en el punto en cuestión no se ha formado una rótula plástica. El teorema de los trabajos virtuales asegura que el sistema está en equilibrio si y sólo si el trabajo virtual de las fuerzas externas iguala el de las fuerzas internas para cualquier desplazamiento virtual cinemáticamente admisible, es decir, si 1 Es decir, que cumple las condiciones de equilibrio. 2 Esto es, que determina una ley de flectores que satisface la condición M P M M P en todos los puntos de la estructura. 3 Factor de carga en el instante del colapso. 102

107 i m P u q x i i m d x m P u q x i i i j j L j L j j j dx m m j d j x dx M k k 0 k k M k m k (1) Representemos por P el factor de carga correspondiente al mecanismo de colapso real y por u P i, d P j(x) y P k los parámetros que definen un desplazamiento virtual admisible de dicho mecanismo. El teorema de los trabajos virtuales asegura el cumplimiento de (1) para cualquier desplazamiento virtual cinemáticamente admisible, y en particular para el correspondiente al mecanismo de colapso; por tanto P i donde P P u q x i M k i M P j L j P d x j si k A y j dx P k k M k P k 0 si k A. 0 (2) siendo A el subconjunto de puntos k donde se ha formado una rótula plástica en el mecanismo de plastificación considerado. Observe que el sustraendo siempre debe ser positivo porque el momento flector y el giro deben tener el mismo signo. Sea un factor de carga para el cual se puede encontrar un conjunto de reacciones en equilibrio que originan una ley de flectores M(x) que no supera en ningún punto de la estructura la condición de plastificación ( M P M(x) M P ) Como se cumple la condición de equilibrio se deberá verificar la ecuación (1) para cualquier desplazamiento virtual cinemáticamente admisible, y en particular para el correspondiente al mecanismo de colapso. Representando por M(x) la ley de momentos flectores y por M(x k ) los valores que adopta en los puntos donde se pueden formar rótulas plásticas tenemos: i donde P P u q x i M i j P j d j x dx M xk P x M x y 0 si k A. P L j k k P k 0 (3) restando ahora (3) de (2) se obtiene P P P i u i q j x d j x dx M k M xk ( a) P 0 P k (4) L j i j k donde (a) es positivo por exigencia de (2) y (b) lo es por exigencia de la condición M(x) M P. Así pues P P como queríamos demostrar. 0 (5) Teorema Cinemático (o de la Cota Superior) Enunciado El factor de carga que define una solicitación que mantiene en equilibrio un mecanismo de plastificación determina una cota superior de la carga de colapso de la estructura. ( b) 103

108 Demostración Emplearemos la misma notación del apartado anterior. Sea el factor de carga para el que se cumplen las condiciones de equilibrio del mecanismo de plastificación m. El teorema de los trabajos virtuales exige que i donde m P u q x i M k i M j P L j m d x j si k A y j dx m k k M k m k 0 si k A. 0 (6) siendo ahora A el subconjunto de puntos k donde se ha formado una rótula plástica en el mecanismo de plastificación considerado, m. Observe que los sustraendo siempre debe ser positivo porque el momento flector y el giro deben tener el mismo signo. Apliquemos ahora el teorema de los trabajos virtuales considerando el factor de carga P correspondiente al mecanismo de colapso y el desplazamiento virtual del mecanismo de plastificación m. Esto proporciona P i donde m P u q x i M P k i M P j L j m d x j si k A y j dx m k k M P k m k 0 0 si k A. (7) siendo M P k el momento flector determinado por las cargas que originan el colapso en los puntos k donde se forman rótulas plásticas en el mecanismo de plastificación m. Restando ahora (7) de (6) se obtiene P m m P m i u i q j x d j x dx M k M k k 0 P (8) L j i j k ( a) donde (a) es positivo por exigencia de (6) y (b) por exigencia de la condición M P k M P = M k. Así pues, P P 0 (9) como queríamos demostrar. ( b) 104