Intervalos de conanza

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Isabel Palma Quiroga
hace 6 años
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1 M. Wiper Estadística 1 / 13 Intervalos de conanza Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid

2 M. Wiper Estadística 2 / 13 Objetivo Ilustrar como calcular intervalos de conanza para una media y una proporción.

3 M. Wiper Estadística 3 / 13 Intervalo de conanza para la media de una población normal: varianza conocida En la sesión anterior, vimos la formula general: Dada una muestra, x1,..., xn de una población con media (desconocida) µ y varianza conocida σ 2, un intervalo de 95 % de conanza para la media poblacional µ es x ± 1,96σ/ n. El cálculo del intervalo se puede hacer con calculadora o través del Excel.

Ejemplo Se quería estimar la velocidad media en una calle con un límite teórico de 50km por hora. Con un radar oculto, se observó que la velocidad media de una muestra de 25 coches fue de 58km/hora.

4 Ejemplo Se quería estimar la velocidad media en una calle con un límite teórico de 50km por hora. Con un radar oculto, se observó que la velocidad media de una muestra de 25 coches fue de 58km/hora. Si la desviación típica de la velocidad en esta calle es de 6km/hora, calcular un intervalo de 95 % de conanza para la verdadera velocidad media. Un intervalo de conanza es 58 ± 1,96 6/ 25 = 58 ± 2,35 = (55,65, 60,35). Se estima que la verdadera velocidad media en esta calle es entre 55,65km/hora y 60,35km/hora. M. Wiper Estadística 4 / 13

5 M. Wiper Estadística 5 / 13 ¾Qué pasa si la varianza poblacional es desconocida? El supuesto que se conoce la desviación típica de velocidades en la calle cuando no se conoce la media es poco realista en la práctica. Una alternativa en esta situación es usar la (cuasi) desviación típica muestral, s para estimar la desviación típica de la población. Ahora si la muestra es de tamaño grande, el intervalo es: x ± 1,96s/ n.

6 M. Wiper Estadística 6 / 13 Ejemplo En 100 pruebas de alcoholemia de conductores que han saltado un semáforo en Aranjuez el nivel medio de alcohol en aire era de 0,65 mg/litro con una cuasi desviación típica de 0,1mg/litro. hallar un intervalo de 95 % de conanza para la verdadera nivel media de alcohol en el aire para conductores que saltan el semáforo. El intervalo es 0,65 ± 0, 02 = (0,63, 0,67).

7 M. Wiper Estadística 7 / 13 Ejemplo En la encuesta del CIS de abril 2015 la valoración media de la Guardia Civil fue 6,02 (con desviación típica 2,82) de un total de 2389 encuestados. Hallar un intervalo de 99 % de conanza para la verdadera valoración media de la Guardia Civil en España. El intervalo es 6, 02 ± 0, 149 = (5,87, 6,17).

8 M. Wiper Estadística 8 / 13 El intervalo de conanza para la media dada una muestra pequeña Para una muestra pequeña (< 50), no se puede aplicar la misma fórmula. En este caso, el intervalo asociado con un nivel de conanza de 100(1 α) % es x ± t α 2,n 1s/ n.

M. Wiper Estadística 8 / 13 El intervalo de conanza para la media dada una muestra pequeña Para una muestra pequeña (< 50), no se puede aplicar la misma fórmula.

9 M. Wiper Estadística 8 / 13 El intervalo de conanza para la media dada una muestra pequeña Para una muestra pequeña (< 50), no se puede aplicar la misma fórmula. En este caso, el intervalo asociado con un nivel de conanza de 100(1 α) % es x ± t α 2,n 1s/ n. ¾Qué es t α 2,n 1? Es el punto de la distribución t de Student con n 1 grados de libertad.

10 M. Wiper Estadística 9 / 13 Ejemplo Consideramos el ejemplo del inicio de la sesión y supongamos ahora que la cuasi desviación típica de la muestra de 25 coches fue 6km/hora. Para hacer el intervalo, podemos utilizar tablas de la distribución t de Student pero también se puede hacer el cálculo con versiones recientes de Excel a través de la función INTERVALO.CONFIANZA.T. El intervalo es 58 ± 2,06 6/ 25 = 58 ± 2,477 (55,5, 60,5), ligeramente más ancho que el intervalo suponiendo la desviación conocida.

11 M. Wiper Estadística 10 / 13 Intervalo de conanza para una proporción También, se puede hacer un intervalo típico para una proporción poblacional p dada una proporción muestral ˆp con la siguiente fórmula: ˆp(1 ˆp) ˆp ± 1,96. Sería bastante lioso a mano, pero se puede hacer con Excel con un pequeño truco. n

12 M. Wiper Estadística 10 / 13 Intervalo de conanza para una proporción También, se puede hacer un intervalo típico para una proporción poblacional p dada una proporción muestral ˆp con la siguiente fórmula: ˆp(1 ˆp) ˆp ± 1,96. Sería bastante lioso a mano, pero se puede hacer con Excel con un pequeño truco. Recordamos el intervalo para una media x ± 1,96σ/ n. n Sustituimos σ por ˆp(1 ˆp) es la parte marcada en rojo.

13 M. Wiper Estadística 11 / 13 Ejemplo De una muestra de 100 pruebas aleatorias de alcoholemia, 10 conductores dan positivo. Hallar un intervalo de conanza para la verdadera proporción de conductores en España que van borrachos. n = 100 y ˆp = 10/100 = 0,1. Luego el intervalo es 0,1 ± 1,96 0,1 0,9/100 = 0,1 ± 0,059 = (0,041, 0,159). Se estima que entre 4 % y 16 % de los conductores van bebidos.

14 M. Wiper Estadística 12 / 13 Ejemplo En la encuesta del CIS del abril de 2015, en una encuesta de 2479 personas, un 75,3 % aprobaron el trabajo de la Guardia Civil. hallar un intervalo de 95 % de conanza para la verdadera proporción de españoles quie aprueban a la Guardia Civil. El intervalo es 0,753 ± 0,017 = (0, 736, 0, 770). Se estima que entra un 73,6 % y un 77,0 % de la gente apoyan al trabajo de la Guardia Civil.

15 M. Wiper Estadística 13 / 13 Resumen y siguiente sesión En esta sesión hemos ilustrado como hacer intervalos de conanza para una media y una proporción. En la siguiente sesión, mostramos como podemos ver si los datos de una muestra proprcionan evidencias a favor de un hipótesis.

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