Variables continuas: la distribución normal
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- María Isabel Olivares Naranjo
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1 M. Wiper Estadística 1 / 23 Variables continuas: la distribución normal Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid
2 M. Wiper Estadística 2 / 23 Objetivo Intropducir la distribución normal; la variable continua más importante.
3 M. Wiper Estadística 3 / 23 La curva de campana El histograma de muchos tipos de datos reales tiene la forma de una curva de campana: Alturas de gente del mismo genero. Resultados en examenes. Velocidades de vehículos en un punto dado del autopista. En estos casos, se pueden modelizar los datos con una distribución normal o Gaussiana.
4 M. Wiper Estadística 4 / 23 La distribución normal Una variable normal es parameterizado por su media µ y desviación típica σ. Tiene una distribución simétrica. P( X < 2σ) = 0,954. Recordamos la regla empírica de antes cuando hablamos de la regla de Chebyshev.
5 M. Wiper Estadística 5 / 23 La distribución normal estandár La distribución normal con media 0 y desviación títpica 1 se llama la distribución normal estandár. Existen tablas que se pueden utilizar para calcular las probabilidades para esta distribución. Si tenemos una variable normal X con media µ y desviación típica σ, podemos convertirla a una normal estandár a través de la siguiente transformación. Z = X µ. σ
6 M. Wiper Estadística 6 / 23 Ejemplos Sea Z una variable normal estandár. Calcular P(Z 1,11). Calcular P(Z > 1,11). Calcular P(0,5 < Z < 1). Encuentre el valor z tal que P(Z < z) = 0,975. ¾Y el valor z tal que P( z < Z < z) = 0,95?
7 M. Wiper Estadística 6 / 23 Ejemplos Sea Z una variable normal estandár. Calcular P(Z 1,11). Calcular P(Z > 1,11). Calcular P(0,5 < Z < 1). Encuentre el valor z tal que P(Z < z) = 0,975. ¾Y el valor z tal que P( z < Z < z) = 0,95? Sea X una variable normal con media 3 y desviación típica 2. Calcular P(4 < X < 5). Encuentra x tal que P(X < x) = 0,975.
8 Tablas de la distribución normal M. Wiper Estadística 7 / 23
9 Tablas de la distribución normal M. Wiper Estadística 8 / 23
10 M. Wiper Estadística 9 / 23 Ejemplo P(Z 1,11) = P(Z < 1,11) = 0,8665
11 M. Wiper Estadística 10 / 23 Ejemplo P(Z > 1,11) = 1 P(Z 1,11) = 1 0,1335 = 0,8665.
12 M. Wiper Estadística 10 / 23 Ejemplo P(Z > 1,11) = 1 P(Z 1,11) = 1 0,1335 = 0,8665. De otra manera, por la simetría de la distribución normal, P(Z > 1,11) = P(Z < 1,11) = 0,8665.
13 M. Wiper Estadística 11 / 23 Ejemplo P(0,5 < Z < 1) = P(Z < 1) P(Z < 0,5) = P(Z < 1) P(Z < 0,5) = 0,8413 0,6915 = 0,1498
14 M. Wiper Estadística 12 / 23 Ejemplo P(Z < 1,96) = 0,975. Utilizaremos este valor bastantes veces en las siguientes sesiones.
15 M. Wiper Estadística 13 / 23 Ejemplo P( z < Z < z) = P(Z < z) P(Z < z) = P(Z < z) P(Z > z) por simetría de la normal = P(Z < z) (1 P(Z < z)) = 2P(Z < z) 1 Buscamos z tal que 2P(Z < z) 1 = 0,95, es decir P(Z < z) = 0,975. Luego z = 1,96.
16 M. Wiper Estadística 14 / 23 Ejemplo X es normal con media 3 y desviación típica 2. En este caso no tenemos tablas de X y tenemos que estandardizar. P(4 < X < 5) = P(X < 5) P(X < 4) = P(X 3 < 5 3) P(X 3 < 4 3) restando la media ( X 3 = P < 5 3 ) ( X 3 P < 4 3 ) = P(Z < 1) P(Z < 0,5) = 0,1498. dividiendo por la desviación típica
17 M. Wiper Estadística 15 / 23 Ejemplo P(X < x) = 0,975 ( X 3 P < x 3 ) = 0, ( P Z < x 3 ) = 0,975 2 x 3 2 = 1,96 x = ,96 = 6,92
18 M. Wiper Estadística 16 / 23 Uso de Excel Con Excel, podemos hacer los cálculos para la distribución normal de manera mucho más directa. DISTR.NORM.ESTAND calcula la probabilidad P(Z z).
19 M. Wiper Estadística 17 / 23 Uso de Excel DISTR.NORM.ESTAND.INV encuentra el valor de z tal que P(Z z) = p para p conocido.
20 M. Wiper Estadística 18 / 23 Uso de Excel DISTR.NORM calcula la probabilidad P(X x) para una variable normal cualquiera.
21 M. Wiper Estadística 19 / 23 Uso de Excel DISTR.NORM.INV encuentra el valor de x tal que P(X x) = p para p conocido y una variable normal cualquiera.
22 M. Wiper Estadística 20 / 23 Aproximando la distribución binomial con la distribución normal Cuando n es suciente grande (y p no es muy pequeño o muy grande), la distribución binomial tiene forma parecida a la distribución normal.
23 M. Wiper Estadística 21 / 23 Aproximando la distribución binomial con la distribución normal ¾Porqué aproximar?
24 M. Wiper Estadística 21 / 23 Aproximando la distribución binomial con la distribución normal ¾Porqué aproximar? Supongamos que n = 1000, x = 500 y p = 0,4. muy difícil de evaluar con calculadora. P(X = x) = C ,4500 0,6 500
25 M. Wiper Estadística 21 / 23 Aproximando la distribución binomial con la distribución normal ¾Porqué aproximar? Supongamos que n = 1000, x = 500 y p = 0,4. muy difícil de evaluar con calculadora. P(X = x) = C ,4500 0,6 500 Sii X es una variable binomial con parámetros n y p, recordamos que E[X ] = np y V [X ] = np(1 p). Luego P(X x) P(Y x) donde Y es una variable normal con media np y varianza np(1 p).
26 M. Wiper Estadística 22 / 23 Ejemplo Tiramos una moneda equilibrada 400 veces. ¾Cuál es la probabilidad de sacar entre 180 y 210 cruces?
27 M. Wiper Estadística 22 / 23 Ejemplo Tiramos una moneda equilibrada 400 veces. ¾Cuál es la probabilidad de sacar entre 180 y 210 cruces? La probabilidad exacta usando la distribución binomial a través de Excel es 0,833. La probabilidad aproximada a través de la distribución normal es 0,819. ½Una aproximación poca precisa!
28 M. Wiper Estadística 22 / 23 Ejemplo Tiramos una moneda equilibrada 400 veces. ¾Cuál es la probabilidad de sacar entre 180 y 210 cruces? La probabilidad exacta usando la distribución binomial a través de Excel es 0,833. La probabilidad aproximada a través de la distribución normal es 0,819. ½Una aproximación poca precisa! Se puede mejorar la aproximación con una correccion de continuidad y en este caso, la probabilidad aproximada es identica a la verdadera (a 3 plazos decimales) pero ¾teniendo Excel, porqué aproximar?
29 M. Wiper Estadística 22 / 23 Ejemplo Tiramos una moneda equilibrada 400 veces. ¾Cuál es la probabilidad de sacar entre 180 y 210 cruces? La probabilidad exacta usando la distribución binomial a través de Excel es 0,833. La probabilidad aproximada a través de la distribución normal es 0,819. ½Una aproximación poca precisa! Se puede mejorar la aproximación con una correccion de continuidad y en este caso, la probabilidad aproximada es identica a la verdadera (a 3 plazos decimales) pero ¾teniendo Excel, porqué aproximar? Veremos más adelante.
30 M. Wiper Estadística 23 / 23 Resumen y siguiente sesión Hemos introducido la distribución normal y mostrado como utilizarla. En las siguientes sesiones, mostramos como utilizar la distribución normal para la inferencia estadística.
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