Biometría. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas

Transcripción

1 Biometría Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas

2 Variables aleatorias continuas Interesa estudiar la temperatura ambiente a las 12 hs en abril en la ciudad de Buenos Aires. Utilizando un termómetro se obtiene la siguiente medición: 19 C Pero si se hubiera utilizado un instrumento con mayor precisión, se podría haber obtenido mayor información: O mejor aún: 19,25 C 19, C 2

3 Variables aleatorias continuas Se trata de una V.A. continua, ya que admite infinitos valores La probabilidad de que un día cualquiera de abril la temperatura sea exactamente igual a 19, C vale También puede deducirse que sería imposible que dos valores de la variable sean exactamente iguales (en sus infinitos decimales) 3

4 Distribuciones de probabilidad 4

5 Función de densidad función de densidad f(x) es una función que describe la distribución de probabilidades de la variable aleatoria continua x. Una función de densidad debe cumplir con los siguientes requisitos: f(x) 0 para todo x el área total bajo la curva = 1 5

6 f(x) 0,18 0,14 Cálculo de probabilidades 0,09 0,05 0,00 0,00 2,02 4,03 6,05 8,06 10,0812,0914,1116,1318,14 La probabilidad de que un evento ocurra en un intervalo [a,b] es el área bajo la curva de la función en ese intervalo Se calcula utilizando integrales: a b X Por esto, la probabilidad de que la V.A. tome un valor exacto es nula: Se define la función de distribución de la v.a. continua, F(x), como la probabilidad de que X sea menor o igual que a 6

7 Esperanza y varianza V.A. DISCRETAS V.A.CONTINUAS E ( x) x i p i E( x) x f( x) dx 2 ( x) 2 ( x i ) p i 2 ( x) ( x ) f 2 ( x ) ( x) dx 7

8 Ejemplos Diámetro a la altura del pecho de Celtis tala Edad al momento de morir en poblaciones humanas Concentración de monóxido de carbono en la atmósfera Existen numerosos modelos de distribución de probabilidades para V.A. continuas Nosotros veremos solo uno: la distribución normal 8

9 Distribución normal o de Gauss Distribución simétrica, mesocúrtica y unimodal Asintótica al eje de las x Está caracterizada por dos parámetros: la media μ localizada en el centro de la distribución el desvío estándar σ localizado en cada punto de inflexión. Aparece de manera natural: Altura, peso Error de medición En procesos donde la variable es el resultado de la acción de muchos pequeños efectos 9

10 Función de densidad f ( x) 1 2 e 1 2 x 2 El dominio de la variable es x 10

11 La regla Entre la media ± un desvío estándar tenemos siempre la misma probabilidad: aprox. 68% Entre la media ± dos desvíos estándar: aprox. 95% Entre la media ± tres desvíos estándar aprox. 99.7% 11

12 f(x) Cálculo de probabilidades El área total bajo la curva vale 1 Las probabilidades son áreas bajo la curva de f(x) Están tabuladas las áreas (integrales) para una dada variable normal, denominada normal estándar La variable en estudio debe ser transformada (reescalada) en esta variable normal estándar 0,28 0,21 0,14 0,07 0, X z 12

13 Estandarización Dada una variable de media μ y desviación estándar σ, se denomina valor estandarizado o valor Z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones estándar, es decir z x µ Cuanto más grande sea el valor de Z, más lejos estará el valor de la media. es un valor sin dimensiones, y por lo tanto es una medida útil para comparar valores de datos de dos poblaciones distintas, para saber cuál de los dos es más extremo. 13

14 f(x) f(x) La distribución normal estándar Media = 0; Desvío estandar = 1 Cuando x =, z = 0 Simétrica con respecto a z = 0 Valores de z a la izquierda del centro son negativos Valores de z a la derecha del centro son positivos El área total bajo la curva es 1. Áreas en Tabla ,28 0,21 0,14 0,07 0, X 0,28 0,21 0,14 0,07 0, Z 14

15 Ejemplo El diámetro de las matas de la forrajera Poa pratensis se distribuye normalmente con un promedio de 1 dm y un desvío estándar de 0.1 dm. Cuál es la probabilidad de que un ejemplar elegido al azar mida entre 0.8 y 0.85 dm? P( 0.80 x P( 2 z 0.85) 1.5)

16 Ejemplo El diámetro de las matas de la forrajera Poa pratensis se distribuye normalmente con un promedio de 1 dm y un desvío estándar de 0.1 dm. Cuál es el diámetro tal que sólo el 1% de las matas excede dicho valor? P( x P( x?) k) z 2.33 x x x 1.233dm 16

17 frecuencia relativa Cuantiles observados Cómo saber si una variable tiene distribución normal? Métodos analíticos Coeficiente de asimetría g 1 Coeficiente de kurtosis g 2 Otros Métodos gráficos Q-Q plot otros 0,27 0,20 0,14 g g ,043 0,036 0,029 QQ plot 0,07 0,022 0,00 0,01 0,02 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 0,04 0,05 X 0,016 0,016 0,022 0,029 0,036 0,043 Cuantiles de una Normal 17

18 frecuencia relativa Cuantiles observados frecuencia relativa Cuantiles observados Desviaciones de la normalidad 0,57 0,182 0,43 0,28 g 1 0 0,129 0,075 0,14 0,021 0,00-0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,11 0,13 0,15 0,17 0,20 X -0,032-0,032 0,021 0,075 0,129 0,182 Cuantiles de una Normal 0,34 6,999 0,25 5,606 0,17 g 1 0 4,213 0,08 2,821 0,00 1,01 1,66 2,31 2,96 3,61 4,26 4,91 5,56 6,21 6,86 X 1,428 1,428 2,821 4,213 5,606 6,999 Cuantiles de una Normal 18

19 Aproximación de la binomial a la normal El cálculo de probabilidades en la distribución binomial se complica cuando n es grande Se puede recurrir a Software Aproximaciones Cuando n es grande (n>20) y p no demasiado pequeño (np>5) ni grande (nq>5), la distribución normal con media np y varianza npq puede ser usada para aproximar distribuciones binomiales Cuando p es muy pequeño o muy grande es mejor usar la aproximación del modelo de Poisson. 19