TEMA 6. Distribuciones

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1 TEMA 6. Distribuciones Alicia Nieto Reyes BIOESTADÍSTICA Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 1 / 16

2 Probabilidad= Distribución= Distribución de Probabilidad Cuando queremos conocer la probabilidad asociada a una variable (aleatoria) se habla de la distribución de la variable Las variables las denotamos por letras como: X, Y, Z... Distribución de variables continuas Normal: N(µ, σ) t de Student: t n ji-cuadrado: χ 2 n... discretas Binomial: B(n, p) Poisson: Poi(λ)... X N(µ, σ) significa que la variable X sigue una distribución Normal de media µ y varianza σ 2 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 2 / 16

3 Normal o Gaussiana Ejemplo 1: Queremos estudiar la variable altura, X, de la población: niños de 17 años Histograma de una muestra de tamaño 250 Alturas de niños de 17 años. Tamaño muestra 250 Frecuencia Altura en cm Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 3 / 16

4 Normal o Gaussiana Población: niños de 17 años Variable: Altura, X Histograma de una muestra de tamaño (la muestra anterior de tamaño 250 está incluida) Alturas de niños de 17 años. Tamaño muestra Frecuencia Altura en cm Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 4 / 16

5 Normal o Gaussiana Si el tamaño de la muestra se acerca al de la población, el contorno del histograma pasaría a ser esta curva Pero, hemos ajustado el eje de ordenadas para que el area bajo la curva sea 1 Alturas de niños de 17 años: N(175, 7,41) Densidad Altura en cm Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 5 / 16

6 Normal o Gaussiana Alturas de niños de 17 años. Tamaño muestra 250 Alturas de niños de 17 años. Tamaño muestra Frecuencia Frecuencia Altura en cm P n (X <= 160) = 7 = 0, 028 con n = Altura en cm P n (X <= 160) = = 0, con n = Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 6 / 16

7 Normal o Gaussiana Alturas de niños de 17 años: N(175, 7,41) Densidad P(X ( 160) = ) X P = P(Y 2.02) = 1 P(Y 2.02) = 1 0, 9783 = 0, Altura en cm Resultado Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución N(µ, σ). Entonces la variable aleatoria Y = X µ sigue una distribución N(0, 1). σ Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 7 / 16

8 ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR, N(0, 1) z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 8 / 16

9 t de Student t n : t de Student con n grados de libertad t 5 t 100 Densidad Densidad Se calcula con una tabla del tipo de la Normal ó, al igual que esta, con un programa informático adecuado Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 9 / 16

10 Tabla t-student t 0 Grados de libertad Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones / 16

11 ji-cuadrado χ 2 n: ji-cuadrado con n grados de libertad χ χ 10 Densidad Densidad µ = n σ = 2n El tipo de gráfica con n = 1, 2 es diferente a con n 3 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 11 / 16

12 Tabla de distribución ji-cuadrado Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 12 / 16

13 Distribución de una Variable Aleatoria Discreta Binomial: B(n, p) Se lee Binomial de parámetros n y p Si X B(n, p) entonces P(X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k Mide el número k de exitos en una secuencia de n ensayos con una porbabilidad p de exito Ejemplo: La probabilidad de que 5, k, cantabros/as fumen de entre 20, n, elegidos al azar, sabiendo que el 42% de la población Cantabra es fumadora, es P(X = 5) = = ( 20 5 donde X B(20, 0, 42) ) 0, 42 5 (1 0, 42) ! 5!(20 5)! 0, 425 (0, 58) 15 = 0, 057 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 13 / 16

14 Binomial B(20, 0,42) B(40, 0,5) Probabilidad Probabilidad Número de Exitos Número de Exitos Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 14 / 16

15 Distribución de una Variable Aleatoria Discreta Poisson: Poi(λ) Se lee Poisson de parámetro λ Si X Poi(λ) entonces P(X = k) = e λ λ k k! Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida, λ, y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento Ejemplo: La probabilidad de que 5, k, jeringuillas de una tirada de 400 esten defectuosas sabiendo que el 2% lo estan es donde X Poi(8) P(X = 5) = e ! = 0, 0916 Nota que λ es el valor esperado de jeringuillas defectuosas: 2% de 400 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 15 / 16

16 Poisson Poi(8) Poi(2) Probabilidad Probabilidad Número de Eventos Número de Eventos Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 6. Distribuciones 16 / 16