GUÍA DE APRENDIZAJE ALGEBRA

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1 GUÍA DE APRENDIZAJE ALGEBRA Datos Descriptivos TITULACIÓN: CENTROS IMPLICADOS: GRADO EN INGENIERIA DE COMPUTADORES E.U. DE INFORMATICA CICLO: Grado sin atribuciones MÓDULO: MATERIA: Fundamentos Científicos de la Informática ASIGNATURA: ALGEBRA CURSO: 1 º SEMESTRE: Semestre 2º (Febrero-Junio) DEPARTAMENTO RESPONSABLE: MATEMATICA APLICADA (E.U. INFORMATICA) CRÉDITOS EUROPEOS: 6 CARÁCTER: TRONCAL CURSO ACADÉMICO: 2011/2012 PERIODO DE IMPARTICIÓN: Semestre 2º (Febrero-Junio) Datos Comunes ITINERARIO: IDIOMAS IMPARTICIÓN: Español OTROS IDIOMAS IMPARTICIÓN: HORAS/CRÉDITO: 26

2 Profesorado COORDINADOR: MARIA ANGELES MARTINEZ SANCHEZ NOMBRE DESPACHO EN INGLÉS MARIA ANGELES MARTINEZ SANCHEZ 2103 No ANA ISABEL LIAS QUINTERO 2003-A No GREGORIA BLANCO VIEJO 2103 No ALBERTO ARTETA ALBERT 2002-A No (*) Profesores externos en cursiva. Tutorías NOMBRE TUTORÍAS Lugar Día De A Grupos GRUPOS ASIGNADOS EN: Nº de grupos Teoría 4 Prácticas 0 Laboratorio 8

3 Requisitos previos necesarios ASIGNATURAS SUPERADAS OTROS REQUISITOS Conocimientos previos recomendados ASIGNATURAS PREVIAS RECOMENDADAS CONOCIMIENTOS PREVIOS OTROS CONOCIMIENTOS

4 Competencias CÓDIGO COMPETENCIA NIVEL RA RA_03 RA_10 G10 Capacidad de análisis y síntesis. N1 RA_14 RA_16 RA_03 G13 Razonamiento crítico. N1 RA_10 RA_14 G14 de. N2 RA_14 RA_16 G15 Toma de decisiones. N1 RA_14 G2 Creatividad. N1 RA_14 G7 Uso de Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones. N2 RA_13 RA_02 G9. N2 RA_11 RA_14 RA_15 RA_01 I1 Capacidad para la resolución de los matemáticos que puedan plantarse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: algebra, cálculo diferencial e integral i métodos numéricos; estadística y optimización. N3 RA_02 RA_03 RA_04 RA_05

5 RA_07 RA_08 RA_09 RA_10 RA_11 RA_13 RA_14

6 Resultados de aprendizaje CÓDIGO RA_01 RA_02 RA_03 RA_04 RA_05 RA_07 RA_08 RA_09 RA_10 RA_11 RA_13 RA_14 RA_15 RA_16 DESCRIPCIÓN Conoce y aplica los conceptos principales de la aritmética entera y modular. Conoce y aplica el algoritmo de Euclides extendido para calcular el máximo común divisor, la solución de una ecuación diofántica o un inverso modular. Comprende el concepto de ecuación diofántica. Plantea y resuelve algunos que se modelizan en términos de ecuaciones diofánticas. Conoce y aplica los conceptos principales de la aritmética en el anillo de polinomios K[x], con K un cuerpo finito ó R. Conoce y aplica los métodos de Gauss y Gauss-Jordan en R y en cuerpos finitos (Zn). Conoce y aplica los conceptos principales de la independencia/ dependencia lineal. Calcula el rango de un sistema de vectores. Conoce y aplica los conceptos y resultados fundamentales de los espacios vectoriales (coordenadas, cambios de bases, ecuaciones de un subespacio). Conoce y calcula la suma y la intersección de subespacios. Conoce y aplica los conceptos y resultados fundamentales de las aplicaciones lineales (expresión matricial, núcleo, imagen, imagen de un subespacio). Construye aplicaciones lineales que verifiquen una serie de condiciones prefijadas de antemano. Maneja y aplica correctamente los conceptos y resultados principales de la diagonalización de endomorfismos en R. Calcula potencias de una matriz diagonalizable y lo aplica a la resolución de de sistemas dinámicos lineales. Conoce y aplica los códigos lineales para detectar y corregir errores. Utiliza adecuadamente software matemático para la resolución de. Construye modelos matemáticos para la resolución de. Maneja diversas fuentes bibliográficas en español y en inglés. Expresa con el nivel exigido de detalle sus argumentaciones y soluciones a los propuestos.

7 Indicadores de logro CÓDIGO INDICADOR RA IN_01 Define y sabe determinar si enteros dados son números primos, compuestos o primos relativos. RA_01 RA_02 IN_02 Enuncia y aplica propiedades elementales de divisibilidad. RA_01 RA_02 IN_03 Describe el conjunto de divisores de un número dado a partir de su factorización en números primos. RA_01 IN_04 Conoce y aplica el Algoritmo de Euclides Extendido para calcular mcd(a,b) y expresarlo como una combinación lineal de a y b. RA_02 IN_05 Resuelve una ecuación diofántica lineal de dos variables. Modeliza un enunciado en términos de una ecuación diofántica. RA_02 RA_03 RA_04 RA_15 IN_06 Calcula el representante canónico de un entero módulo n. RA_01 IN_07 Suma y multiplica en Zn. RA_01 IN_08 Decide si una clase de Zn tiene inverso y la calcula, en caso de que exista. RA_01 RA_02 IN_09 Resuelve una ecuación modular lineal. RA_01 RA_03 IN_10 Identifica expresiones que sean polinomios, determina su grado y el coeficiente principal. RA_04 IN_11 IN_12 Suma, multiplica y divide polinomios mediante el Algoritmo de División Euclídea y determina el grado de los polinomios resultantes en cada caso. Conoce y aplica la Regla de Ruffini para dividir un polinomio entre otro lineal o para calcular raíces. RA_04 RA_04

8 IN_13 Define polinomio irreducible y sabe decidir si un polinomio de grado menor o igual que 3 lo es. RA_04 IN_14 Factoriza un polinomio conocidas las raíces. RA_04 IN_15 Calcula el representante canónico de un polinomio módulo otro RA_04 IN_16 IN_17 IN_18 IN_19 IN_20 IN_21 Conoce los algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan para obtener matrices escalonadas y la escalonada reducida de una dada. Aplica los algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan a la resolución de sistemas, cálculo de la matriz inversa y cálculo de rangos de matrices. Conoce el concepto de combinación lineal de vectores, obtiene el vector resultante de una combinación lineal y determina si un vector dado es combinación lineal de un sistema de vectores. Define y sabe determinar si un sistema de vectores es generador, libre o base. Define dimensión de un espacio vectorial y obtiene bases, extendiendo un sistema libre o reduciendo un sistema generador. Define y obtiene las coordenadas de un vector respecto de una base. Calcula la expresión matricial de un cambio de base en el espacio Kn. RA_05 RA_13 RA_05 RA_13 RA_05 RA_05 RA_05 RA_07 IN_22 Define subespacio vectorial y sabe si un subconjunto dado es un subespacio vectorial o no. RA_07 IN_23 IN_24 IN_25 Obtiene una base y la dimensión de un subespacio a partir de un sistema de generadores del mismo. Calcula unas ecuaciones paramétricas o implícitas minimales de un subespacio de Kn. Determina si dos subespacios en Kn son iguales o se da alguna relación de inclusión. RA_07 RA_07 RA_07

9 IN_26 Define y obtiene el subespacio intersección y el subespacio suma de dos subespacios. RA_08 IN_27 IN_28 IN_29 IN_30 IN_31 IN_32 Obtiene unas ecuaciones implícitas o paramétricas minimales de los subespacios suma e intersección en Kn. Conoce la relación entre las dimensiones de S, T, y los subespacios suma e intersección de S y T. Determina si un espacio vectorial es suma directa de dos subespacios en Kn. Opera con subespacios (suma, intersección, contenido, igualdad) cuando éstos están definidos respecto de distintas bases. Define y comprende el concepto de aplicación lineal entre espacios vectoriales. Determina si una aplicación dada en forma explícita es lineal y obtiene, en caso afirmativo, su expresión matricial respecto de las bases canónicas. Calcula la imagen de un vector mediante una aplicación lineal a partir de la expresión explícita de la misma o de la expresión matricial. RA_08 RA_08 RA_16 RA_07 RA_08 RA_09 RA_09 RA_09 IN_33 IN_34 IN_35 IN_36 Sabe que dada la imagen de los vectores de una base B de V existe una única aplicación lineal que verifica esas condiciones y obtiene la expresión matricial de la aplicación lineal conocidas las imágenes de los vectores de la base B del espacio inicial. Obtiene la expresión matricial de una aplicación lineal cuando se cambia de base en el espacio inicial o final. Define y calcula los subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal. Enuncia y aplica la relación dimensional entre núcleo e imagen de una aplicación lineal. RA_09 RA_10 RA_07 RA_09 RA_09 RA_09 IN_37 Determina si una aplicación lineal f de Kn en Km es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. RA_09 RA_16

10 IN_38 IN_39 Define y obtiene el subespacio f(s) siendo S un subespacio del espacio inicial. Obtiene la expresión matricial de la composición de dos aplicaciones lineales, cuando ello es posible. RA_09 RA_09 IN_40 IN_41 Sabe si una aplicación lineal f de Kn en Kn tiene inversa y obtiene la expresión matricial de dicha inversa, si existe. Define autovalor y autovector de un endomorfismo lineal (o matriz cuadrada) y determina si un vector es autovector o si un escalar es autovalor de un endomorfismo dado. RA_09 RA_11 IN_42 Define y halla el polinomio característico de una matriz cuadrada (o endomorfismo). RA_11 IN_43 IN_44 Define y calcula subespacio propio asociado a un autovalor. Define endomorfismo (matriz) diagonalizable y diagonaliza una matriz cuadrada A cuando sea posible. RA_11 RA_11 IN_45 IN_46 IN_47 Modeliza cuya resolución suponga el cálculo de las potencias de una matriz. Define código lineal, matriz generadora y matriz de control (o paridad). Conoce y aplica la relación entre función de codificación, matriz generadora y matriz de control. RA_11 RA_14 IN_48 Calcula las características básicas de un código lineal (dimensión, longitud, redundancia y número de palabras). IN_49 IN_50 Define y calcula las matrices generadora y de control en forma estándar. Define código sistemático y determina si un código lineal es sistemático hallando su matriz generadora y de control estándar. RA_13 RA_13

11 IN_51 IN_52 IN_53 Calcula todas las palabras de un código lineal. Define distancia y peso de un código lineal. Halla la distancia de un código lineal a la vista de las palabras que contiene. Determina la capacidad detectora y correctora de errores de un código lineal a partir de su distancia. RA_13 RA_13 IN_54 Define función síndrome de un código y conoce su relación con el código. Construye la función síndrome sistemática de un código. IN_55 IN_56 IN_57 Define órbita de una palabra y calcula la órbita de una palabra y un líder. Descodifica por el método del síndrome y el método de distancia mínima Construye la tabla de síndromes a partir del registro de los síndromes. RA_13 RA_13 RA_14 RA_13

12 Contenidos específicos (temario) TEMA / CAPÍTULO Tema1: Aritmética Entera y Modular 1.1 Disivibilidad en Z. Números primos. Teorema Fundamental de la Aritmética. APARTADO IN_01 IN_02 IN_ Máximo común divisor. Primos relativos. Algoritmo de Euclides extendido. Identidad de Bezout. IN_02 IN_03 IN_ Ecuaciones diofánticas. IN_04 IN_ Congruencias módulo n. Aritmética Modular. IN_06 IN_ Operaciones en Zn. Inverso en Zn. IN_07 IN_ Ecuaciones modulares. IN_07 IN_08 IN_ Aplicación: función de cifrado afín. IN_07 IN_08 IN_09

13 Tema2: Polinomios con coeficientes en un cuerpo K 2.1 Aritmética en el conjunto K[x]. Algoritmo de división. IN_10 IN_ Divisibilidad en K[x]. IN_11 IN_12 IN_ Raíces de un polinomio. Regla de Ruffini. Multiplicidad. IN_12 IN_ Polinomio irreducible. Factorización. IN_13 IN_ Congruencias módulo un polinomio IN_15 Tema3: Álgebra Matricial sobre R y sobre Zp. Algoritmo de Gauss 3.1 Preliminares: definiciones, determinantes y rangos. 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales. IN_ de Gauss. Rango de una matriz. Aplicaciones. IN_16 IN_ de Gauss-Jordan. Inversa de una matriz. Aplicaciones IN_16 IN_17 Tema4: Espacios Vectoriales sobre R y sobre Zp

14 4.1 Definición axiomática. Propiedades. IN_ Sistemas de vectores. Dependencia lineal. IN_18 IN_ Bases y dimensión de un espacio vectorial. IN_18 IN_19 IN_ Coordenadas y cambios de base. IN_ Subespacios vectoriales. Ecuaciones paramétricas e implícitas. IN_22 IN_23 IN_ Inclusión e igualdad de subespacios vectoriales. IN_ Suma e intersección de subespacios vectoriales. Suma directa. IN_26 IN_27 IN_28 IN_29 Tema5: Aplicaciones Lineales 5.1 Definición y propiedades. Expresión matricial. IN_30 IN_31 IN_32 IN_ Aplicaciones lineales bajo cambios de base. IN_34

15 5.3 Núcleo e imagen de una palicación lineal. IN_35 IN_36 IN_ Imagen de subespacios. IN_ Composición de aplicaciones lineales. Inversa. IN_39 IN_40 Tema6: Diagonalización 6.1 Endomorfismo diagonalizable: autovalor y autovector. IN_ Polinomio característico. Propiedades. IN_ Subespacios propios. IN_ Diagonalización de una matriz. Matriz de paso. IN_ Aplicaciones. Potencias de matrices. IN_45 Tema7: Códigos Lineales 7.1 Definición y propiedades. Función de codificación. Matriz generadora. Matriz de control. IN_46 IN_47 IN_48 IN_ Capacidad de detección y corrección de errores: distancia. IN_52 IN_ Códigos sistemáticos. Formas estándar. IN_49 IN_50

16 7.4 Funciones de codificación y síndrome sistemáticas. IN_ Descodificación: método de distancia mínima. IN_52 IN_ Descodificación: método del síndorme. IN_51 IN_54 IN_55 IN_56 IN_57

17 Breve descripción de las modalidades organizativas utilizadas y métodos de enseñanza empleados MODALIDAD DESCRIPCIÓN MÉTODO MÉTODOS DE ENSEÑANZA Se trata de clases magistrales participativas en las que se presentan conceptos, resultados y ejemplos en grupo No está previsto realiza ningún trabajo Los estudiantes realizarán de modo las siguientes tareas: a) Estudiar conceptos y propiedades. b) Resolver ejercicios y. c) Realizar cuestionarios en la plataforma Moodle. En ellas los estudiantes, siguiendo las indicaciones del profesor, resolverán individualmente o en grupo un conjunto de de cuyos enunciados disponen con antelación. Están previstas algunas sesiones de trabajo en el laboratorio en las que se resolverán usando el sistema Derive. Basado en Basado en

18 Cronograma de trabajo de la asignatura SEMANA ACTIVIDADES Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Presentación Aula 0,8 hrs. No 0,51 1 Tema1 Aula 3 hrs. No 1,92 del Otros 4 hrs. No 2,56 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema1 Aula 4 hrs. No 2,56 2 del Otros 4 hrs. No 2,56 Ejercicio Diofántico Aula 0,4 hrs. Sí continua 0 0,26 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema1, Tema2 Aula 4 hrs. No 2,56 3 del Otros 3 hrs. No 1,92 Cuestionario Moodle T_1 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema2 Aula 4 hrs. No 2,56 4 del Otros 3 hrs. No 1,92 Cuestionario Moodle T_2 Cuestionario Moodle T_1..2

19 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema3 Aula 3 hrs. No 1,92 5 del Prueba B1 Otros 2 hrs. No 1,28 Aula 0,4 hrs. Sí continua 0 0,26 Recogida trabajo de criptología y trabajo en grupo Basado en Aula 0 hrs. Sí continua 3 1,92 Validación del trabajo de criptología y problema de polinomios. Basado en Aula 0,4 hrs. Sí continua 1 0,9 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema3, Tema4 Aula 4 hrs. No 2,56 6 del Otros 3 hrs. No 1,92 Cuestionario Moodle T_3 Cuestionario Moodle T_1..3 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema4 Aula 4 hrs. No 2,56 7 del Otros 4 hrs. No 2,56 Cuestionario Moodle T_4 (Parte 1) Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema4 Aula 4 hrs. No 2,56 8 del Otros 2 hrs. No 1,28

20 Cuestionario Moodle T_4 (Parte 2) Cuestionario Moodle T_4 Cuestionario Moodle T_1..4 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema4, Tema5 Aula 3,6 hrs. No 2,31 9 del Otros 4 hrs. No 2,56 Prueba B2 (T3, T4) Aula 0,4 hrs. Sí continua 0 0,26 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Temas 5 y 6 Aula 4 hrs. No 2,56 10 del Otros 4 hrs. No 2,56 Cuestionario Moodle T_5 Cuestionario Moodle T_1..5 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema5, Tema6 Aula 4 hrs. No 2,56 11 del Otros 4 hrs. No 2,56 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema 6 Aula 4 hrs. No 2,56 12 del Otros 4 hrs. No 2,56

21 Cuestionario Moodle T_6 Cuestionario Moodle T_1..6 Entrega Trabajo Diag. y trabajo en grupo Basado en Otros 0 hrs. No 0 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema 7 Aula 3,6 hrs. No 2,31 13 del Otros 4 hrs. No 2,56 Prueba B3 (T5, T6) Aula 0,4 hrs. Sí continua 1 0,9 Recogida trabajo Diag. y trabajo en grupo Basado en Otros 0 hrs. Sí continua 3 1,92 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Tema7 Aula 3,75 hrs. No 2,4 14 del Otros 4 hrs. No 2,56 Cuestionario Moodle T_7 Cuestionario Moodle T_1..7 Validar Diag. Aula 0,25 hrs. Sí continua 0 0,16 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Repaso de todos los temas Aula 4 hrs. No 2,56 15 Prueba Global Básica Aula 2 hrs. Sí continua 6 5,13 del. Otros 1 hrs. No 0,64 16

22 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) Repaso Aula 2 hrs. No 1,28 Examen Tema 7 (B4 + Elaborado) Laboratorio 1 hrs. Sí continua 2 1,92 del. Otros 1,5 hrs. No 0,96 Actividad Modalidad Met.Ense. Lugar Duración Tipo Prep. Carga(%) 17 Examen Final Aula 4 hrs. Sí Examen final 19,25 14,9 Examen Elaborados T4 y 5 Aula 1 hrs. Sí continua 1 1,28

23 de la asignatura SEMANA EVALUACIONES Actividad Lugar Tipo Técnica eval. Peso(%) Eval. min. 2 Ejercicio Diofántico Aula continua Pruebas de respuesta larga, de desarrollo 3 Actividad Lugar Tipo Técnica eval. Peso(%) Eval. min. Prueba B1 Aula continua Pruebas de respuesta corta 6 5 Recogida trabajo de criptología Aula continua Trabajos y proyectos 3 Nota sujeta a validación individual Validación del trabajo de criptología y problema de polinomios. Aula continua Pruebas de respuesta larga, de desarrollo 5 Actividad Lugar Tipo Técnica eval. Peso(%) Eval. min. 9 Prueba B2 (T3, T4) Aula continua Pruebas de respuesta corta 5 Actividad Lugar Tipo Técnica eval. Peso(%) Eval. min. Prueba B3 (T5, T6) Aula continua Pruebas de respuesta corta 6 13 Recogida trabajo Diag. Otros continua Trabajos y proyectos 3 Nota definitiva sujeta a la prueba de validación individual. 14 Actividad Lugar Tipo Técnica eval. Peso(%) Eval. min.

24 Validar Diag. Aula continua Pruebas de respuesta corta 2 Actividad Lugar Tipo Técnica eval. Peso(%) Eval. min. 15 Prueba Global Básica Aula continua Pruebas de respuesta corta 40 Actividad Lugar Tipo Técnica eval. Peso(%) Eval. min. 16 Examen Tema 7 (B4 + Elaborado) Laboratorio continua Pruebas de respuesta larga, de desarrollo 7 Actividad Lugar Tipo Técnica eval. Peso(%) Eval. min. 17 Examen Final Examen Elaborados T4 y 5 Aula Aula Examen final continua Pruebas de respuesta larga, de desarrollo 20

25 Criterios de calificación de la asignatura Se han clasificado los contenidos en básicos y elaborados y esta clasificación estará a disposición de los s desde el inicio del curso. cada tipo de conocimiento se evaluará por separado valorándose en la propoción 60%, 40% respectivamente. La asignatura se aprobará con una nota mayor o igual a 5 sobre 10. Para la convocatoria ordinaria se prevén dos modalidades de evaluación a elegir: 1. continua. de contenidos básicos: Mediante pruebas que constan de preguntas de test, definiciones o enunciados de propiedades y ejercicios. Habrá: - Cuatro pruebas a lo largo del curso (una por cada dos temas aproximadamente) que suman un 20% de la nota total. - Una prueba global al final del curso por valor del 40% de la nota total. de contenidos elaborados: Mediante exámenes de, junto con la entrega y validación de varios trabajos propuestos a lo largo del curso. - El conjunto de pruebas realizadas a lo largo del curso (trabajos, validaciones y exámenes de ) supondrán un 20% de la nota. - La última prueba, que consistirá en dos sobre los temas 4 y 5, supondrá el 20% restante y se realizará el día de la convocatoria oficial. 2. Examen final. Se realizará un examen único relativo al programa de la asignatura que constará de dos partes: Prueba de contenidos básicos: consistirá en preguntas de test, definiciones o enunciados de propiedades y ejercicios. Tiene una duración de 2 horas y un peso del 60% de la nota. Prueba de contenidos elaborados: consistirá en varios, tal vez alguno con ordenador. Tiene una duración aproximada de 2 horas y un peso del 40% de la nota. Los s que opten por esta modalidad de evaluación deberán solicitarlo por el mecanismo habilitado a tal efecto en los tres días siguientes de la publicación de las calificaciones de la prueba global de contenidos básicos. 3. Convocatoria extraordinaria: Se realizará un examen de las mismas características que el examen final.

26 Recursos didácticos TIPO Bibliografía Recursos web Equipamiento DESCRIPCIÓN [1] FOULQUIÉ, M. T.; GARCÍA, J.; LÍAS, A. I.: Álgebra. Aplicaciones a Teoría de Códigos. Dpto. Publicaciones de la E.U. de Informática de la U.P.M., [2] BURGOS, J.: Álgebra lineal. Mc Graw Hill, [3] DÍAZ, A.; HERNÁNDEZ, E.; GIL, E.: Addenda Álgebra (Lineal-Básica). Sanz y Torres, [4] GRIMALDI, R.P.: Matemática Discreta y Combinatoria. Ed. Addison Wesley, [5] HERNÁNDEZ, E.: Álgebra y Geometría. Universidad Autónoma de Madrid, [6] LARSON, R.; EDWARDS, B.; FALVO, D.: Álgebra Lineal (5ª edición). Pirámide, [7] ROJO, J.: Álgebra lineal. Vector ediciones, [8] ROSEN, K.H.: Matemática Discreta y sus Aplicaciones. Ed. McGraw-Hill, Web de la asignatura: Información y material de apoyo (lista de objetivos básicos y elaborados, enunciados de, exámenes de cursos anteriores, ) Moodle: Información, material de apoyo y test de autoevaluación sobre contenidos del curso. MATEX Cursos de apoyo para estudiantes de nuevo ingreso con abundante material para ayudar al estudiante a suplir sus carencias en prerrequisitos de Álgebra. Instrumentación de Laboratorio: Ordenadores personales Aplicaciones Software: Derive, Moodle

27 Otra información reseñable