Electromagnetismo II. Solución Proyecto 1. Cuadrado

Transcripción

1 Electromagnetismo II Semestre: Prof. Alejandro Reyes Coronado Ayud. Carlos Alberto Maciel Escudero Solución Proyecto 1. Cuadrado Genera un programa de cómputo que calcule numéricamente la solución a la ecuación de Laplace en dos dimensiones para un conjunto discreto de puntos. Los puntos de la frontera exterior se encuentran a un potencial φ = 0, mientras que los puntos de la frontera interna están a un potencial igual a φ = 100. Solución Para resolver el problema se programó el Método de Relajaciónel en Fortran 90. El método establece que en el punto (x o, y o ) el potencial φ (x o, y o ) se encuentra determinado por el valor que toma éste último en sus vecinos simétricos, como se muestra en la figura.

2 La idea para demostrar lo anterior es expandir en Taylor cada uno de los potenciales vecinos: φ (x o ± δ, y o ) = φ (x o, y o ) ± φ x δ φ x=xo 2 x 2 δ 2 + O ( δ 3) x=xo φ (x o, y o ± δ, z o ) = φ (x o, y o ) ± φ y δ φ y=yo 2 y 2 δ 2 + O ( δ 3) y=yo Entonces a segundo orden resulta que φ (x o ± δ, y o ) + φ (x o, y o ± δ) = 4φ (x o, y o ) + 2 φ (x=xo,y=y o) δ2 Como el potencial electrostático satisface la ecuación de Laplace, φ (x o, y o ) = φ (x o + δ, y o ) + φ (x o δ, y o ) + φ (x o, y o + δ) + φ (x o, y o δ) 4 lo cual prueba el argumento anterior. Una vez entendido la idea del método, podemos utilizar este resultado para resolver el problema del proyecto. De forma que, el programa en Fortran 90 debe calcular el promedio del potencial en cada punto conocidos los potencial vecinos. Con la intención de resolver lo anterior, programé un algoritmo que genera una matriz donde se guardan los valores iniciales del potencial, estableciendo un valor aleatorio a aquellos puntos que no tienen asociado un potencial, es decir, los puntos que se encuentran fuera de los contornos de los cuadrados. Después, éste invoca una subrutina, denominada relajación, que calcula una nueva matriz con el promedio de los cuatro primeros vecinos y compara la matriz inicial con la nueva. Si la magnitud de la diferencia de las matrices es mayor o igual a prec entonces vuelve a calcular una nueva matriz con los promedios y la compara ahora con la matriz anterior; esto lo realiza hasta alcanzar una matriz que prácticamente no muestre cambio alguna con su predecesora. Finalmente, con la matriz de potencial eléctrico (digamos la certera), el programa invoca la subrutina campo que calcula el campo electrostático a partir de derivar el potencial. Tanto el potencial como el campo se guardan en archivos.dat respectivamente. Observaciones: 1. Para calcular la norma de una matriz utilicé el producto interior definido en el espacio de Hilbert de las matríces de n n con coeficientes en los reales, dado por: A, A = tr (A t A). El cual pueden verificar que es bilineal, definido positivamente y simétrico. 2. La derivada numérica que utilicé para calcular el campo eléctrico es una derivada de tres puntos, la cual necesita el punto anterior, el posterior y el punto en cuestión para calcular la derivada. Para mayor detalle de esto pueden revisar el libro: Richard Burden, Análisis numérico. 3. Al ejecutar el programa les pedirá en consola que indiquen el refinamiento, esto es para que indiquen que tan fina quieren hacer la malla, es decir, cuántos puntos quieren que tenga. 2

3 Código Fortran! Main !! Declaración de la matriz program laplace real(16), allocatable :: V(:,:),Ex(:,:),Ey(:,:) integer :: i,j,k,n,m real(16) :: prec,vo,inicial open(1,file="potencial.dat",status="replace") open(2,file="campo.dat",status="replace")! llenado de la matriz y las condiciones iniciales write(*,*) ">>Indica el refinamiento:" read*, n inicial=30. m=n/10 allocate (V(n,n),Ex(n,n),Ey(n,n)) do i=1,n do j=1,n if (i==4*m.and. j>=4*m.and. j<=7*m) then else if (i==7*m.and. j>=4*m.and. j<=7*m) then else if (j==4*m.and. i>=4*m.and. i<=7*m) then else if (j==7*m.and. i>=4*m.and. i<=7*m) then else if (i==1.or. i==10*m.or. j==1.or. j==10*m) then V(i,j)=0. else V(i,j)=inicial end if! invoca la subrutina que calcula el metodo de relajación prec=1e-5 call relajacion(v,n,m,prec)! invoca la subrutina que calcula el campo eléctrico call campo(v,n,ex,ey) 3

4 ! Escritura del potencial y el campo en un archivo.dat do i=1,n do j=1,n write(1,10) i,j,v(i,j) 10 format("",2i6.0,f20.12) do i=1,n do j=1,n write(2,20) i,j,ex(i,j)/10.,ey(i,j)/ format("",2i6.0,2f20.12) end program! subrutina Método de Relajación ! subroutine relajacion(v,n,m,prec) integer, intent(in) :: n,m real(16), dimension(n,n), intent(inout) :: V real(16), intent(in) :: prec integer :: i,j real(16) :: dif real(16), dimension(n,n) :: V_ant dif=1. do while (dif>=prec) V_ant=V do i=2,n-1 do j=2,n-1 if (i==4*m.and. j>=4*m.and. j<=7*m) then else if (i==7*m.and. j>=4*m.and. j<=7*m) then else if (j==4*m.and. i>=4*m.and. i<=7*m) then else if (j==7*m.and. i>=4*m.and. i<=7*m) then else if (i==1.or. i==10*m.or. j==1.or. j==10*m) then V(i,j)=0. else V(i,j)=(V(i-1,j)+V(i+1,j)+V(i,j-1)+V(i,j+1))/4. end if 4

5 call magnitud(v-v_ant,n,dif) print*, dif end subroutine! subrutina que calcula el campo eléctrico ! subroutine campo(v,n,ex,ey) integer, intent(in) :: n real(16), dimension(n,n), intent(in) :: V real(16), dimension(n,n), intent(out) :: Ex,Ey integer :: i,j,h h=1 do i=2,n-1 do j=2,n-1 Ex(i,j)=-(V(i+1,j)-V(i-1,j))/(2*h) Ey(i,j)=-(V(i,j+1)-V(i,j-1))/(2*h) end subroutine! subrutina que calcula la magnitud de una matriz ! subroutine magnitud(a,dima,dif) integer, intent(in) :: dima real(16), dimension(dima,dima), intent(in) :: A real(16), intent(out) :: dif real(16), dimension(dima,dima) :: B integer :: i dif=0. B=matmul(transpose(A),A) do i=1,dima dif=dif+b(i,i) end subroutine Para graficar el potencial electrostático, las curvas equipotenciales y los vectores de campo eléctrico pueden utilizar gnuplot, a continuación les dejo el código para graficar cada una. 5

6 Código Gnuplot Potencial Electrostático splot "potencial.dat" using 1:2:3 set xlabel "X" set ylabel "Y" set zlabel "V(X,Y)" set xrange [0:100] set yrange [0:100] set zrange [0:100] set title "Potencial Eléctrostático" unset key replot set term png set out "potencial.png" replot Curvas equipotenciales plot "potencial.dat" using 1:2:3:4 with vector head set xlabel "X" set ylabel "Y" set xrange [0:100] set yrange [0:100] set title "Curvas Equipotenciales" unset surface set contour base unset key replot set term png set out "equipotenciales.png" replot Vectores de Campo Eléctrostático plot "campo.dat" using 1:2:3:4 with vector head set xlabel "X" set ylabel "Y" set xrange [0:100] set yrange [0:100] set title "Líneas de Campo Eléctrico" unset key replot set term png set out "campo.png" replot 6

7 Yo decidí utilizar Origin para graficar cada uno de los anteriores, a continuación les muestro mis resultados: Para realizar esta gráfica sólo agreguen los datos del archivo potencial.dat, luego seleccionen la última columna, click derecho, Properties y en Plot Designation cambien a Z. Por último seleccionen las tres columnas vayan a Plot, 3D XYZ, 3D Scatter. 7

8 Para graficar las curvas de nivel agreguen los datos del archivo potencial.dat, luego seleccionen la última columna, click derecho, Properties y en Plot Designation cambien a Z. Por último seleccionen las tres columnas vayan a Plot, Contour, XYX Contour. Para graficar el campo vectorial agreguen los datos del archivo campo.dat, luego seleccionen la penúltima columna, click derecho, Properties y en Plot Designation cambien a X. Por último seleccionen las cuatro columnas vayan a Plot, Specialized, Vector XYXY. 8

9 Solución Proyecto 1. Círculo La idea es exactamente la misma que para el caso del cuadrado, sólo que ahora las condiciones de frontera son sobre dos radios: r max y r min que yo establecí igual 5 y 2,5 respectivamente. El refinamiento que pide inicialemnte el programa es para realizar el malleo del la región sobre el cual vamos a calcular el potencial. A continuación les muestro el código que realicé en Fortran 90. Código Fortran! Main !! Declaración de la matriz program laplace real(16), allocatable :: V(:,:),Ex(:,:),Ey(:,:) complex(16), allocatable :: P(:,:) integer :: i,j,k,n real(16) :: prec,vo,inicial,r,rmax,rmin,hx,hy,x,y,eps open(1,file="potencial.dat",status="replace") open(2,file="campo.dat",status="replace")! llenado de la matriz y las condiciones iniciales write(*,*) ">>Indica el refinamiento:" read*, n hx=10./n hy=10./n inicial=50. rmax=5. rmin=2.5 eps=1e-4 x=0. i=1 j=1 allocate (V(n+6,n+6),Ex(n+6,n+6),Ey(n+6,n+6),P(n+6,n+6)) do while (x<=10.) y=0. j=1 do while (y<=10.) r=sqrt((x-5.)**2+(y-5.)**2) if (abs(r-rmin)<eps) then else if (r<rmin.and. abs(r-rmin)>eps) then 9

10 else if (r>rmin.and. r<rmax.and. abs(r-rmax)>eps) then V(i,j)=inicial else if (r>rmax) then V(i,j)=0. else if (abs(r-rmax)<eps) then V(i,j)=0. end if P(i,j)=CMPLX(x,y) y=y+hy j=j+1 x=x+hx i=i+1! invoca la subrutina que calcula el metodo de relajación prec=1e-5 call relajacion(v,n,hx,hy,rmin,rmax,prec,eps)! invoca la subrutina que calcula el campo eléctrico call campo(v,n,ex,ey)! escritura del potencial y el campo en un archivo.dat do i=1,n+6 do j=1,n+6 write(1,10) REAL(P(i,j)),AIMAG(P(i,j)),V(i,j) 10 format("",3f20.12) do i=1,n+6 do j=1,n+6 write(2,20) REAL(P(i,j)),AIMAG(P(i,j)),Ex(i,j)/10.+REAL(P(i,j)),Ey(i,j)/10.+AIMAG(P(i,j) 20 format("",4f20.12) end program! subrutina Método de Relajación ! subroutine relajacion(v,n,hx,hy,rmin,rmax,prec,eps) integer, intent(in) :: n 10

11 real(16), dimension(n+6,n+6), intent(inout) :: V real(16), intent(in) :: prec,eps,rmin,rmax,hx,hy integer :: i,j real(16) :: dif,r,x,y real(16), dimension(n+6,n+6) :: V_ant dif=1. do while (dif>=prec) V_ant=V x=0. i=1 do while (x<=10.) y=0. j=1 do while (y<=10.) r=sqrt((x-5.)**2+(y-5.)**2) if (abs(r-rmin)<eps) then else if (abs(r-rmax)<eps) then V(i,j)=0. else if (r>rmax) then V(i,j)=(V(i-1,j)+V(i+1,j)+V(i,j-1)+V(i,j+1))/4. else if (r<rmin.and. abs(r-rmin)>eps) then else if (rmin<r.and. r<rmax.and. abs(r-rmax)>eps) then V(i,j)=(V(i-1,j)+V(i+1,j)+V(i,j-1)+V(i,j+1))/4. end if y=y+hy j=j+1 x=x+hx i=i+1 call magnitud(v-v_ant,n,dif) print*, dif end subroutine! subrutina que calcula el campo eléctrico ! subroutine campo(v,n,ex,ey) integer, intent(in) :: n real(16), dimension(n+6,n+6), intent(in) :: V real(16), dimension(n+6,n+6), intent(out) :: Ex,Ey 11

12 integer :: i,j,h h=1 do i=2,n+5 do j=2,n+5 Ex(i,j)=-(V(i+1,j)-V(i-1,j))/(2*h) Ey(i,j)=-(V(i,j+1)-V(i,j-1))/(2*h) end subroutine! subrutina que calcula la magnitud de una matriz ! subroutine magnitud(a,dima,dif) integer, intent(in) :: dima real(16), dimension(dima,dima), intent(in) :: A real(16), intent(out) :: dif real(16), dimension(dima,dima) :: B integer :: i dif=0. B=matmul(transpose(A),A) do i=1,dima dif=dif+b(i,i) end subroutine 12

13 Utilizando exactamente la misma metodologa del cuadrado, obtuve las siguientes gráficas para el potencial, las curvas equipotenciales y el campo eléctrico. 13

14 14