Análisis Numérico para Ingeniería. Clase Nro. 5

Transcripción

1 Análisis Numérico para Ingeniería Clase Nro. 5

2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Temas a tratar: Tipos de Matrices Método de Triangulación de Gauss Método de Diagonalización de Gauss-Jordan Tácticas de Pivoteo Inversión de una Matriz Refinamiento Iterativo de la Solución Método de Thomas Reducción de Crout Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

3 Tipos de Matrices Matriz Densa Matriz Rala Matriz Triangular Inferior Matriz Triangular Superior Matriz Diagonal Matriz Tri-Diagonal Matriz de Banda Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

4 Matrices Densas Las matrices densas tienen pocos elementos nulos. Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

5 Matrices poco densas (Ralas) En las matrices ralas o poco densas, la mayoría de sus valores son nulos. Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

6 Sistema Triangular Inferior Dado el siguiente Sistema Triangular Inferior [a11 x1 a 21 a x 2 a 31 a 32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 a 44] [ x 3 b 2 b 3 x 4]=[b1 4] b Su solución se obtiene por sustitución progresiva: x 1 = b 1 a 11 ; x i = i 1 b i k=1 a ik x k a ii ; i=2,3,, n Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

7 Sistema Triangular Superior Dado el siguiente Sistema Triangular Superior [a11 a12 a13 a14 x1 0 a 22 a 23 a 24 x a 33 a a 44] [ x 3 b 2 b 3 x 4]=[b1 4] b Su solución se obtiene por sustitución regresiva: x n = b n a nn ; x i = n b i k=i 1 a ik x k a ii ; i=n 1,n 2,,1 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

8 Sistema Diagonal Dado el siguiente Sistema Diagonal [a11 x1 0 a x a a 44] [ x 3 b 2 b 3 x 4]=[b1 4] b Su solución se obtiene como: x 1 = b 1 a 11 ; x 2 = b 2 a 22 ; x 3 = b 3 a 33 ; x 4 = b 4 a 44 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

9 Ejemplo de aplicación Las plantas con la presencia del sol convierten durante su proceso de fotosíntesis, el dióxido de carbono y el agua en glucosa y oxígeno. Simbólicamente el proceso puede ser representado así: Dióxido de carbono( CO 2 ) + Agua( H 2 O ) Glucosa( C 6 H 12 O 6 ) + Oxígeno( O 2 ) Balancear la ecuación química de la reacción, determinando los valores enteros más pequeños para las variables, si denominamos: x = la proporción dióxido de carbono presente y = la proporción de agua presente, w = la proporción de glucosa producida, y z = la proporción de oxígeno producido. Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

10 Planteo del ejemplo de aplicación De esta forma, a ecuación de la reacción química puede ser representada así: x CO 2 + y H 2 O w C 6 H 12 O 6 + z O 2 El número de átomos presente en un elemento químico está indicado mediante un subíndice. Por lo tanto, comparando la cantidad de átomos de cada elemento que hay en los reactivos y los productos, obtenemos el siguiente sistema; x = 6w 2x + y = 6w + 2z 2y = 12w Para balancear el Carbono Para balancear el Oxígeno Para balancear el Hidrógeno Por lo tanto, reordenando obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. x - 6w = 0 2x + y - 6w - 2z = 0 2y - 12 w = 0 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

11 Notación explícita Notación explícita para un Sistema de Ecuaciones Lineales de la forma: Ax=b a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 1n x n =b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 a 2n x n =b 2 a 31 x 1 a 32 x 2 a 33 x 3 a 3n x n =b 3 a n1 x 1 a n2 x 2 a n3 x 3 a nn x n =b n Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

12 Notación Matricial Notación matricial para un Sistema de Ecuaciones Lineales de la forma: Ax=b [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn] [ x 3 b 2 b 3 x n]=[b1 n] b Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

13 Métodos Directos Métodos de Resolución Triangulación de Gauss Diagonalización de Gauss-Jordan Método de Thomas Métodos de Factorización Factorización de Crout Factorización de Doolittle Factorización de Choleski Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

14 Matriz Ampliada La matriz ampliada es una matriz que contiene los elementos de la matriz original junto con los elementos de los términos independientes, colocados como columnas adicionales. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn b1 b 2 b 3 b n Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

15 Método de Gauss (I) Matriz ampliada del sistema original a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b1 b 2 b 3 Tablero 1: Resultado de las operaciones sobre el sistema original 1 a' 12 a ' 13 0 a' 22 a ' 23 0 a' 32 a ' 33 b'1 b' 2 b' 3 F ' 1 = F 1 a 11 F ' 2 = F 2 F' 1 a 21 F ' 3 =F 3 F' 1 a 31 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

16 Método de Gauss (II) Matriz ampliada correspondiente al Tablero 1 1 a' 12 a ' 13 0 a' 22 a ' 23 0 a' 32 a ' 33 b'1 b' 2 b' 3 Tablero 2: Resultado de las operaciones sobre el Tablero 1 1 a ' 12 a ' 13 b '1 F' 0 1 a ' ' 23 b ' ' 2 2 F ' ' 2= a ' a ' ' 33 b ' ' 3 F ' ' 3 =F' 3 F ' ' 2 a ' 32 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

17 Método de Gauss (III) Tablero 2 1 a' 12 a' a' ' a' ' 33 b'1 b' ' 2 b' ' 3 Tablero 3: Resultado de las operaciones sobre el Tablero 2 1 a' 12 a' a' ' b'1 b' ' 2 b' ' ' F ' ' ' 3 = F' ' 3 3 a ' ' 33 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

18 Método de Gauss-Jordan (I) Matriz ampliada del sistema original a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b1 b 2 b 3 Tablero 1: Resultado de las operaciones sobre el sistema original 1 a ' 12 a' 13 0 a ' 22 a' 23 0 a ' 32 a' 33 b'1 b' 2 b' 3 F ' 1 = F 1 a 11 F ' 2 = F 2 F ' 1 a 21 F ' 3 = F 3 F ' 1 a 31 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

19 Método de Gauss-Jordan (II) Matriz ampliada correspondiente al Tablero 1 1 a' 12 a ' 13 0 a' 22 a ' 23 0 a' 32 a ' 33 b'1 b' 2 b' 3 Tablero 2: Resultado de las operaciones sobre el Tablero a ' ' 13 b' '1 0 1 a ' ' 23 b' ' a ' ' 33 b' ' 3 F ' ' 1 =F ' 1 F' ' 2 a ' 12 F ' ' 2 = F ' 2 a' 22 F ' ' 3 = F' 3 F' ' 2 a ' 32 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

20 Método de Gauss-Jordan (III) Tablero a' ' a' ' a' ' 33 b' '1 b' ' 2 b' ' 3 Tablero 3: Resultado de las operaciones sobre el Tablero b' ' ' b' ' ' b' ' ' 3 F' ' ' 1 = F ' ' 1 F ' ' ' 3 a' ' 13 F' ' ' 2 =F' ' 2 F ' ' ' 3 a' ' 23 F' ' ' 3 = F ' ' 3 a ' ' 33 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

21 Resolución Simultánea de Sistemas Es posible utilizar los métodos antes mencionados, para resolver n sistemas simultáneamente. Lo único que hay que hacer es agregar a la matriz ampliada los n vectores de términos independientes. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn b1 c1 d1 w1 b 2 c 2 d 2 w 2 b 3 c 3 d 3 w 3 b n c n d n w n Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

22 Tácticas de pivoteo Las tácticas de pivoteo se emplean para evitar la amplificación de los errores producidos por trabajar con aritmética finita. Por lo tanto se busca que los elementos de mayor valor absoluto, se encuentren en los pivotes. Las estrategias de pivoteo más utilizadas son el pivoteo parcial por filas, o por columnas y el pivoteo total. Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

23 Inversión de una Matriz La solución del sistema A.x = v 1, donde v 1 es el 1er. Versor, a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn equivale a : x=a 1 v 1 Es decir, dicha solución es la primer columna de la inversa de la matriz A Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

24 Inversión de una Matriz La solución del sistema A.x = v 2, donde v 2 es el 2do. Versor, a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn equivale a : x= A 1 v 2 Es decir, dicha solución es la segunda columna de la inversa de la matriz A Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

25 Inversión de una Matriz Para hallar la inversa de una matriz por medio del método de Gauss- Jordan. Simplemente se ingresan tantos versores como sea el orden de la matriz y se aplica el método a todos los sistemas simultáneamente. Como la solución de cada sistema corresponde a cada una de las columnas de la matriz inversa, al finalizar el proceso de diagonalización, se obtendrá la matriz inversa completa. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

26 Inversión de una Matriz Implementación con Gauss-Jordan SUBROUTINE Inversa(matriz)! Calcula la inversa de una matriz, por Gauss-Jordan REAL(8), DIMENSION(:,:), INTENT(IN) :: matriz REAL(8), ALLOCATABLE, DIMENSION(:,:) :: matrizidentidad INTEGER orden orden = SIZE(matriz, DIM=1) CALL creamatrizidentidad(orden, matrizidentidad) CALL GaussJordan(matriz, matrizidentidad) DEALLOCATE(matrizIdentidad) END SUBROUTINE Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

27 Refinamiento Iterativo (I) La solución exacta de un sistema de ecuaciones lineales es: A x b=0 Como solo podemos calcular una solución aproximada x*, nos queda un residuo r. A x * b=r 0 Si restamos ambas expresiones, obtenemos : A x * b=r - A x b= A (x * x)=r A (Δ x)=r Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

28 Refinamiento Iterativo (II) Por lo tanto podemos hallar la solución del siguiente sistema: A Δ x=r Sin embargo, como no conocemos el valor exacto, tenemos: A Δ x 0 =r 0 A (x 0 x 1 )=r 0 Esta solución a su vez, nos permite calcular un nuevo valor x i+1 x i+1 =x i Δ x i Con este nuevo valor de x, podemos calcular un nuevo residuo y compararlo con una cota establecida. Si dicha cota no se ha alcanzado, se repite el proceso. Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

29 Refinamiento Iterativo (III) CALCULAR x* resolviendo A.x* = b CALCULAR r como r = Ax* - b HACER x* = x* - Δx CALCULAR Δx resolviendo A.Δx = r r > ε SI NO Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

30 Método de Thomas El método de Thomas es una optimización del método de Gauss, para resolver sistemas cuyas matrices son tri-diagonales. [d1 u l 1 d 2 u l 2 d 3 u l 3 d d n 1 u n l n 1 d n x1 x 2 ] [ x 3 x 4 x n 1 x n ]=[b1 b 2 b 3 ] b 4 b n 1 b n Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

31 Variables en el método de Thomas Para trabajar con vectores del mismo tamaño, a los vectores que almacenan los valores de las diagonales secundarias, se los completa con un 0, según corresponda. Esto simplifica enormemente el algoritmo. u = u 1 u 2 u 3 u u(1) u(2) u(3) u(4)... u(n) d = d 1 d 2 d 3 d 4... d n d(1) d(2) d(3) d(4)... d(n) l = 0 l 1 l 2 l 3... l n-1 l(1) l(2) l(3) l(4)... l(n) Diagonal Superior Diagonal Principal Diagonal Inferior Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

32 Implementación del método de Thomas (I) SUBROUTINE Thomas(u_orig, d_orig, l_orig, term_indep)! Metodo de Thomas para matrices Tri-Diagonales REAL(8), DIMENSION(:,:), INTENT(IN) :: term_indep REAL(8), DIMENSION(:), INTENT(IN) :: u_orig, d_orig, l_orig REAL(8), DIMENSION(:,:), ALLOCATABLE :: b REAL(8), DIMENSION(:), ALLOCATABLE :: u, d, l INTEGER orden, cant_vec, i orden = SIZE(term_indep, DIM=1) cant_vec = SIZE(term_indep, DIM=2)! Realiza copias del original ALLOCATE(u(orden), d(orden), l(orden)) u = u_orig d = d_orig l = l_orig ALLOCATE(b(orden, cant_vec)) b = term_indep Sique en la próxima página Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

33 Implementación del método de Thomas (II)! Aqui comienza el algoritmo DO i=1, orden-1 u(i) = u(i) / d(i) b(i,:) = b(i,:) / d(i) d(i) = 1.0 d(i+1) = d(i+1) - l(i+1)*u(i) b(i+1,:) = b(i+1,:) - l(i+1)*b(i,:) l(i+1) = 0.0 ENDDO! Obtencion de la solucion por Sustitucion Inversa b(orden,:) = b(orden,:)/d(orden) DO i=orden-1, 1, -1 b(i,:) = b(i,:) - u(i)*b(i+1,:) / d(i) END DO CALL imprimematriz(b) DEALLOCATE(u, d, l, b) END SUBROUTINE Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

34 Métodos de Factorización Triangular La factorización LU (o factorización triangular) de una matriz A, consiste en reescribir dicha matriz, como producto de dos matrices triangulares L y U. Donde la matriz L es triangular inferior y la matriz U es triangular superior. Los métodos de factorización triangular más conocidos son: La Reducción de Crout ( LU 1 ) El método de Doolittle ( L 1 U ) Método de Choleski para matrices A positivas definidas. Las matrices L 1 y U 1 son matrices triangulares que poseen valores unitarios en la diagonal. Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

35 Métodos de Factorización Factorización de Crout Se especifica u 11 = u 22 = u 33 = = 1 Factorización de Doolittle Se especifica l 11 = l 22 = l 33 = = 1 Factorización de Choleski No los veremos en el presente curso Se especifica l ii = u ii Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

36 Factorización de Crout (LU 1 ) [l11 u12 u13 u14 l 21 l u 23 u 24 l 31 l 32 l u 34 l 41 l 42 l 43 l 44] [ ]=[a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44] Elementos a calcular Si multiplicamos las filas de L por la 1er. columna de U 1 podemos observar que los elementos de la 1er. columna de L son iguales a los elementos de la 1er. columna de A. l 11 =a 11 ; l 21 =a 21 ; l 31 =a 31 ; l 41 =a 41 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

37 Factorización de Crout (LU 1 ) (I) [l11 u12 u13 u14 l 21 l u 23 u 24 l 31 l 32 l u 34 l 41 l 42 l 43 l 44] [ ]=[a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 aelementos 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44] a calcular Si multiplicamos la primera fila de L por las columnas de U 1 obtenemos: l 11 =a 11 ; l 11 u 12 =a 12 ; l 11 u 13 =a 13 ; l 11 u 14 =a 14 Por lo tanto podemos calcular los valores de la primera fila de U 1 como: u 12 = a 12 l 11 ; u 13 = a 13 l 11 ; u 14 = a 14 l 11 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

38 Factorización de Crout (LU 1 ) (II) Elementos a calcular [l11 u12 u13 u14 l 21 l u 23 u 24 l 31 l 32 l u 34 l 41 l 42 l 43 l 44] [ ]=[a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44] Si multiplicamos las filas desde 2 hasta n, de L por las 2da. columna de U 1 obtenemos: l 21 u 12 l 22 =a 22 ; l 31 u 12 l 32 =a 32 ; l 41 u 12 l 42 =a 42 Por lo tanto podemos calcular los valores de la segunda columna de L 1 como: l 22 =a 22 l 21 u 12 ; l 32 =a 32 l 31 u 12 ; l 42 =a 42 l 41 u 12 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

39 Factorización de Crout (LU 1 ) (III) [l11 u12 u13 u14 l 21 l u 23 u 24 l 31 l 32 l u 34 l 41 l 42 l 43 l 44] [ ]=[a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44] Repitiendo el mismo esquema, obtenemos: l 21 u 13 l 22 u 23 =a 23 ; l 21 u 14 l 22 u 24 =a 24 Por lo tanto podemos calcular los valores de la segunda fila de U 1 como: u 23 = a 23 l 21 u 13 l 22 ; u 24 = a 24 l 21 u 14 l 22 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

40 Factorización de Crout (LU 1 ) (IV) Elementos a calcular [l11 u12 u13 u14 l 21 l u 23 u 24 l 31 l 32 l u 34 l 41 l 42 l 43 l 44] [ ]=[a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44] Si multiplicamos las filas desde 3 hasta n, de L por las 3ra. columna de U 1 obtenemos: l 31 u 13 l 32 u 23 l 33 =a 33 ; l 41 u 13 l 42 u 23 l 43 =a 43 Por lo tanto podemos calcular los valores de la tercera columna de L 1 como: l 33 =a 33 l 31 u 13 l 32 u 23 ; l 43 =a 43 l 41 u 13 l 42 u 23 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

41 Factorización de Crout (LU 1 ) (V) [l11 u12 u13 u14 l 21 l u 23 u 24 l 31 l 32 l u 34 l 41 l 42 l 43 l 44] [ Elementos a calcular ]=[a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44] Repitiendo el mismo esquema, obtenemos: l 31 u 14 l 32 u 24 l 33 u 34 =a 34 Por lo tanto podemos calcular los valores de la segunda fila de U 1 como: u 34 = a 34 l 31 u 14 l 32 u 24 l 33 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

42 Factorización de Crout (LU 1 ) (VI) [l11 u12 u13 u14 Elementos l 21 l a calcular 1 u 23 u 24 l 31 l 32 l u 34 l 41 l 42 l 43 l 44] [ ]=[a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44] Si multiplicamos la filas 4, de L por las 4ta. columna de U 1 obtenemos: l 41 u 14 l 42 u 24 l 43 u 34 l 44 =a 44 Por lo tanto podemos calcular el último valor de L 1 como: l 44 =a 44 l 41 u 14 l 42 u 24 l 43 u 34 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

43 Solución a partir de Crout (I) Dado que la matriz A se ha transformado en el producto L.U 1 A x=b L U 1 x=b L U 1 x =b Si llamamos c a (U 1.x), el sistema se transforma en: L U 1 x =b L c=b Como la matriz L es una matriz triangular inferior, podemos obtener los valores de c, aplicando sustitución progresiva. c 1 = b 1 l 11 ; c i = i 1 b i k=1 l ik c k l ii ; i=2,3,, n Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

44 Solución a partir de Crout (II) Una vez obtenidos los valores de c, como: L U 1 x =b L c=b Nos queda el siguiente sistema: U 1 x=c Y como la matriz U 1 es una matriz triangular superior, podemos obtener los valores de x, aplicando sustitución regresiva. n x n =c n ; x i =c i k=i 1 u ik x k ; i=n 1,n 2,,1 Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP

45 PREGUNTAS... Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP