Procedimientos de búsqueda miopes aleatorizados y adaptativos (GRASP)

Transcripción

1 Procedimientos de búsqueda miopes aleatorizados y adaptativos (GRASP) Se basan en la premisa de que soluciones iniciales diversas y de buena calidad juegan un papel importante en el éxito de métodos de búsqueda local. GRASP es un método multiarranque, cada iteración consiste en la construcción de una solución miope aleatorizada seguida de una búsqueda local sobre dicha solución. Javier Ramírez Rodríguez

2 El procedimiento se repite varias veces y la mejor solución encontrada sobre todas las iteraciones GRASP se devuelve como la solución aproximada.

3 Procedure GRASP dado: i max f* para i i max hacer x GlotAleat() x BusqLocal() si f(x) < f* entonces f* f(x) x* x fin si fin para devolver x*

4 Construcciones GRASP: En todos los mecanismos se incorpora un elemento cada vez. Un elemento que puede seleccionarse como parte de una solución parcial se llama elemento candidato.

5 Para determinar qué elemento candidato seleccionar para incluir en la solución, generalmente se hace uso de una función miope. Esta mide la contribución local de cada elemento a la solución parcial.

6 Existe varias formas de introducir aleatoriedad en este procedimiento: Una de las primeras fue el uso de una lista restringida de candidatos (LRC), que contiene un conjunto de elementos candidatos con los mejores valores de la función miope. El siguiente candidato a ser agregado a la solución se selecciona en forma aleatoria de la LRC.

7 Dicha lista puede tener un número fijo de elementos (restricción por cardinalidad) elementos con los valores de la función miope dentro de un rango dado.

8 Un POC definido por un conjunto finito base E = {1,2,,n}. En el PAV, E consta de todas las aristas que conectan las ciudades a ser visitadas.

9 Construcción por cardinalidad dados k, E, c( ), 1. x 2. C E 3. calcular c(e), e C 4. mientras C hacer 5. LRC {k elementos e C con el menor c(e)} 6. seleccionar al azar s LRC 7. x x {s} 8. actualizar el conjunto candidato C 9. fin mientras devuelve x

10 Sea c* y c, los valores mayor y menor respectivamente para los elementos candidatos y sea α tal que 0 α 1. En una lista de candidatos basada en valor, la LRC consta de los elementos candidatos e tales que c(e) c + α(c* - c ).

11 El valor de α es una especie de porcentaje de tolerancia donde se pueden aceptar no sólo al mejor, sino también a los valores más cercanos a dicho valor mínimo. Valores usuales de α son 0.1 y 0.2, lo que no impide poder usar cualquier otro valor. El glotón aleatorizado es un equilibrio entre calidad y diversidad

12 Considerar el PAV resuelto con un glotón de vecino más cercano aleatorizado, si se está en la ciudad de México y las opciones de ciudades que quedan por visitar con sus respectivas distancias son: Querétaro 200 Pachuca 80 Puebla 160 Cuernavaca 75 Morelia 320 Tulancingo 130

13 Se tiene c = 75 y c* = 320 Para α = 0.3 la cota de inclusión a la lista es de c(e) (320-75) = Lo que incluye en la lista de candidatos a Pachuca, Cuernavaca y Tulancingo y se puede incluir en el recorrido a cualquiera.

14 Construcción GRASP basado en valor Dados α, E, C( ) 1. x 2. C E 3. calcular c(e), e C 4. mientras C hacer 5. c min{c(e) e C} 6. c* max {c(e) e C} 7. LRC {e C c(e) c + α(c* - c )} 8. escoger al azar s de LRC 9. x x {s} 10. actualizar el conjunto candidatos C 11. fin mientras devuelve x

15 Se puede también mezclar una construcción al azar con una miope de la siguiente manera: Elegir al azar secuencialmente un conjunto parcial de elementos candidatos y después completar la solución usando un algoritmo miope. Otro enfoque es mediante perturbación de costos, en que éstos se perturban aleatoriamente y se aplica un algoritmo miope.

16 Construcción GRASP aleatorio-miope Dados k, E, c( ) 1. x 2. C E 3. calcular c(e), e C 4. para i = 1,2,,k hacer 5. si C entonces 6. escoger al azar un elemento e de C 7. x x {e} 8. actualizar C 1. calcular c(e), e C 2. fin si 11. fin para 12. mientras C hacer 13. e argmin {c(e) e C} 14. x x {e } 15. actualizar el conjunto candidatos C 16. calcular c(e), e C 17. fin mientras devuelve x

17 Un ejemplo de un procedimiento de construcción GRASP que es una variación de LRC basado en valor. Llamado función de sesgo, se asignan diferentes probabilidades, favoreciendo elementos bien evaluados. Los elementos de LRC se ordenan de acuerdo a la función miope.

18 La probabilidad π(r(e)) de seleccionar el elemento e es: π ( r( e) = ) s e ( sr ( eg) ) o s e ( sr ( eg) e' L R C donde r(e) es la posición del elemento e en la LRC.

19 Algunas opciones para asignar sesgos a los elementos son: - sesgo aleatorio: sesgo(r) = 1; - sesgo lineal: sesgo(r) = 1/r; - sesgo exponencial: sesgo (r) = e -r.

20 Búsqueda local (BL) Un algoritmo de BL explora repetidamente la vecindad de una solución en busca de una que la mejore. La BL juega un papel importante en GRASP ya que sirve para buscar soluciones localmente óptimas en regiones prometedoras del espacio de soluciones.

21 Aunque los algoritmos miopes pueden producir buenas soluciones, su principal desventaja como generadores de soluciones iniciales para BL s es su falta de diversidad. Aplicando repetidamente un algoritmo miope, se pueden generar muy pocas soluciones. Usar un algoritmo totalmente aleatorio produce gran cantidad de soluciones diversas.

22 Sin embargo, la calidad de estas soluciones es muy pobre y usarlas como soluciones iniciales para BL s generalmente conduce a una convergencia lenta hacia un mínimo local. Para beneficiarse de la convergencia rápida del algoritmo miope y de la gran diversidad del algoritmo aleatorio se usa un α (0,1).

23 Ya que no se sabe qué valor de α usar, una estrategia razonable es seleccionar un valor diferente en cada iteración GRASP. Esto puede hacerse usando una probabilidad uniforme o usando un esquema de GRASP reactivo.

24 En el esquema GRASP reactivo sea ψ = {α 1,, α m } el conjunto de valores posibles para α. Las probabilidades de elegir cada valor se fijan inicialmente en p i = 1/m, i = 1,,m Si z* es la mejor solución encontrada hasta el momento y A i es el valor promedio de las soluciones halladas usando α = α i ; i = 1,,m

25 Las probabilidades de selección se reevalúan periódicamente tomando p i = m q j= 1 i q j Con q i = z*/a i, i = 1,,m.

26 El valor de q i será mayor para valores de α = α i que produzcan las mejores soluciones en promedio Mayores valores de q i corresponden a valores del parámetro α más adecuados.

27 Las probabilidades asociadas con estos valores más apropiados se incrementarán cuando sean reevaluadas.

28 Reencadenamiento de trayectorias Quizás una de las principales desventajas del GRASP es su falta de estructuras de memoria. Las iteraciones GRASP son independientes y no utilizan las observaciones hechas en iteraciones previas.

29 Reencadenamiento de trayectorias fue propuesto inicialmente por Glover como una forma de explorar las trayectorias entre soluciones elite obtenidas con búsqueda tabú o búsqueda dispersa. El reencadenamiento de trayectorias para GRASP fue introducido por Laguna y Martí.

30 Ha sido usado como esquema de intensificación, en el que las soluciones generadas en cada iteración de GRASP se reencadenan con una o más soluciones de un conjunto elite o como en una fase de postoptimización donde se reencadenan pares de soluciones del conjunto elite.

31 Sean x s y x t dos soluciones en las que se aplica el reencadenamiento de trayectorias desde x s hasta x t. Procedure RT Dadas x s y x t 1. Calcular la diferencia simétrica (x s,x t ); 2. x x s ; 3. f* argmin{f(x s,x t )} 4. mientras (x s,x t ) hacer 5. m* argmin{f(x m) m (x s,x t )}; 6. (x m*,x t ) (x,x t ) \ {m*}; 7. x x m*; 8. si f(x) < f* entonces 9. f* f(x); 10. x* x; 11. fin si 12. fin mientras 13. regresa x*;

32 Donde: x m es la solución resultante de aplicar el movimiento m a la solución x. m* es el mejor movimiento. El proceso termina cuando se alcanza x t, i.e., cuando (x t,x) = φ.

33 C A B D

34 Se han propuesto varios esquemas alternativos para el reencadenamiento de trayectorias. Ya que puede ser demandante de recursos computacionales, no necesita ser aplicado después de cada iteración GRASP. Es más conveniente hacerlo periódicamente.