CAPÍTULO II. Índice del capítulo. Definición general de las cónicas Cónicas sin centro. Coordenadas polares Problemas propuestos Bibliografía

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1 CAPÍTULO II CÓNICAS Índice del capítulo Definición general de las cónicas Cónicas con centro Cónicas sin centro Coordenadas polares Problemas propuestos Bibliografía 1

2 8. Cónicas. Las cónicas son curvas algebraicas de segundo grado que juegan un papel esencial en astronomía de posición. Los movimientos de los cuerpo celestes siguen trayectorias cónicas, y de ahí su importancia a la hora de desarrollar las matemáticas que permiten predecir las posiciones de tales cuerpos. En esta sección nos introduciremos en el tema desde un punto de vista métrico. Esto difiere esencialmente del enfoque proyectivo que se estudia en algunas facultades Definición general de las cónicas. Consideremos el espacio afín-euclídeo R 2 cuya norma denotaremos por y cuyo producto escalar escribiremos como ( ). La distancia euclídea es entonces la aplicación d : R 2 R 2 R tal que d(p, Q) = Q P para cualesquiera P, Q R 2. Fijemos un punto F R 2, una recta d, y una constante e R, e 0. Podemos definir entonces cónica de foco F y recta directriz d como el conjunto de todos los puntos de P de R 2 tales que d(p, F ) = e d(p, d). La constante e se llama la excentricidad de la cónica. La definición que acabamos de dar de una cónica permite ya demostrar alguna propiedad geométrica: Teorema 1. Sea C una cónica de foco F y recta directriz d. Sea r la recta perpendicular a d que pasa por el foco F. Entonces la cónica es simétrica respecto de r. Dem. Sea P un punto de R 2 y sea P su simétrico respecto de la recta r (véase la figura II.1 ). Se tiene entonces que d(p, F ) = d(p, F ) y d(p, d) = d(p, d). En consecuencia la pertenencia de P a la cónica es equivalente a la pertenencia de P a la misma cónica. 2

3 Mencionemos algunos ejemplos más o menos triviales de cónicas. (i) Sea r una recta y F r un punto cualquiera fijado. Sea d la recta perpendicular a r que pasa por F. El lector puede demostrar que para cada punto P R 2 se tiene que P r si y sólo si d(p, d) = d(p, F ). Esto demuestra que r es la cónica de foco F y recta directriz d, con excentricidad 1 (véase la (figura II.2a). (ii) Sean r 1 y r 2 dos rectas cuya intersección es {F } (como en la figura II.2b ). Sea d la mediatriz de r 1 y r 2. Entonces un punto P está sobre r 1 (o sobre r 2 ) si y sólo si d(p, d) = senθ d(p, F ) (donde θ es la mitad del ángulo que forman r 1 y r 2 ). Esto implica que r 1 r 2 es la cónica de foco F (su intersección) y directriz la recta d (mediatriz de r 1 y r 2 ). (iii) Otros ejemplos de cónicas que no se reducen a rectas, tales como elipses, 3

4 hipérbolas y parábolas, los describiremos más tarde Cónicas con centro. Veamos que es posible clasificar las cónicas en varias clases disjuntas de modo tal que cada cónica pertenezca a sólo una de dichas clases. En definitiva lo que vamos a hacer es determinar representantes canónicos de cada una de las órbitas en la acción del grupo de los movimientos directos del plano afíneuclídeo R 2 sobre el conjunto de todas las cónicas. Si C es una cónica de recta directriz d, foco F y excentricidad e, llamaremos r como antes a la recta que pasa por F y es perpendicular a d. Podemos hacer una traslación de R 2 hasta situar el origen en el punto F y después una rotación alrededor del origen hasta situar la recta r como eje X. Esto implica que podemos tomar F = (0, 0) y r la recta y = 0. La recta directriz tendría la ecuación x = k. Con estos valores, la cónica C es el lugar geométrico de los puntos (x, y) que satisfacen: (II-1) x 2 + y 2 = e 2 (x k) 2 Como se ha demostrado (y ahora resulta obvio por la forma de la ecuación (II-1), el eje X es un eje de simetría de la cónica. Denotemos por τ la simetría respecto al eje X. Estudiemos el problema general de determinar la existencia de un segundo eje de simetría perpendicular al eje X. Si dicho eje existiera denotemos por P 0 := (c, 0) su punto de corte con el eje X, y por σ la simetría respecto a dicho nuevo eje. Entonces P 0 es punto fijo de la composición de las simetrías σ τ. Evidentemente dicha composición ρ = σ τ es un giro de π radianes en torno al punto P 0. Mediante la traslación de ecuaciones { x = x c y = y el centro del giro ρ queda situado en el origen de coordenadas y el foco en el punto F = ( c, 0). En consecuencia si P := (x, y ) es un punto de la cónica, su transformado por ρ, que es ( x, y ), lo es también. Esto implica que después de efectuar el cambio de variables, la ecuación en x, 4

5 y resultante debe carecer de términos de primer grado. Haciendo pues dicho cambio tenemos: (x + c) 2 + y 2 =e 2 (x + c k) 2, x 2 + y 2 + 2cx + c 2 =e 2 (x 2 + 2(c k)x + (c k) 2 ), (1 e 2 )x 2 + y 2 + (2c 2e 2 (c k))x + c 2 e 2 (c k) 2 = 0 de donde se deduce que c e 2 (c k) = 0 o lo que es lo mismo (e 2 1)c = e 2 k. Si e = 1 entonces k = 0 y sustituyendo en la ecuación tenemos que la ecuación de la cónica es y 2 = 0, es decir la cónica se reduce a una recta. Si e 1 tenemos c = e 2 k/(e 2 1) y la ecuación anterior queda en la forma: (1 e 2 )x 2 + y 2 = k2 e 2 1 e 2 lo que pone de manifiesto la existencia del segundo eje de simetría (en este caso el eje Y ). Podemos pues enunciar el siguiente resultado: Teorema 2. Sea C una cónica de foco F, directriz d y excentricidad e. Denotemos por r la perpendicular a d que pasa por F. Supongamos que C no se reduce a una recta. Entonces son equivalentes: (1) C tiene un eje de simetría perpendicular a la recta r. (2) e 1. En caso de cumplirse alguna de las condiciones anteriores diremos que C es una cónica con centro y llamaremos centro al punto de intersección de los dos ejes de simetría. 5

6 (Experiméntese este enunciado con la figura II.3.) Dem. La implicación 1) 2) ha sido demostrada en el párrafo anterior al enunciado de este teorema. Supongamos que e 1 y que la cónica no es una recta. Sea k la distancia de F a la recta directriz (véase la figura II.3, y supongamos la ecuación de la cónica referida a un sistema ortonormal de referencia adecuado, de tal forma que dicha ecuación sea x 2 + y 2 = e 2 (x k) 2. La recta r queda identificada en este caso con el eje X. Definamos c := e 2 k/(e 2 1), entonces la traslación x = x c, y = y, transforma la ecuación anterior en (1 e 2 )x 2 + y 2 = k 2 e 2 /(1 e 2 ) y se aprecia la existencia de un segundo eje de simetría (identificado con el eje Y ). Vamos a continuación a detallar más las cónicas con centro. Ya sabemos que si C es una tal cónica que no se reduce a una recta, tiene la ecuación (1 e 2 )x 2 +y 2 = k 2 e 2 /(1 e 2 ) respecto a determinado sistema de referencia ortonormal. Si k = 0 la ecuación anterior queda en la forma (1 e 2 )x 2 +y 2 = 0 y en este caso puede ocurrir: (1) e > 1, en cuyo caso y 2 = (e 2 1)x 2 y por lo tanto y = ±ax donde a = e 2 1. La cónica se reduce a un par de rectas secantes. 6

7 (2) e < 1 en este caso la cónica se reduce al punto (0, 0). Estudiemos ahora el caso k 0. En este caso la ecuación de la cónica puede escribirse en la forma (e 2 1) 2 k 2 e 2 x 2 (e2 1) k 2 e 2 y 2 = 1 Si e < 1 y definimos a 2 := k2 e 2 (1 e 2 ) 2 y b 2 := e2 k 2, entonces la ecuación 1 e2 adopta la forma: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, en este caso a las constantes a y b se les llama semiejes. Si e > 1, definimos a 2 := k2 e 2 (1 e 2 ) 2 y b 2 := e2 k 2 e 2, entonces la ecuación se transforma en: 1 x 2 a 2 y 2 b 2 = 1. En el primer caso la cónica se dice que es una elipse y en el segundo una hipérbola. La excentricidad de la cónica y la directriz de la misma, pueden obtenerse también en función de estas nuevas constantes que aparecen, de hecho es de fácil comprobación que en el caso e < 1 tenemos: (1) a 2 = b 2 + c 2. (2) e = c a. (3) La directriz una vez efectuada la traslación es la recta de ecuación x = a 2. c La elipse es bien conocida por la siguiente propiedad (véase la figura II.4 ). Teorema 3. Sea C la elipse que en un sistema de referencia ortonormal tiene por ecuación x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (con a b > 0 ). Definamos c = a2 b 2. Entonces C coindice con el conjunto de puntos cuyas sumas de distancias a los puntos F = (c, 0) y F = ( c, 0) es constante y vale 2a. Dem. Sea P = (x, y) tal que d(p, F ) + d(p, F ) = 2a. Entonces d(p, F ) 2 = 4a 2 + d(p, F ) 2 4a d(p, F ). Por lo tanto (x c) 2 + y 2 = 4a 2 + (x + c) 2 + y 2 4a d(p, F ) 7

8 simplificando tenemos: 2cx = 4a 2 + 2cx 4a d(p, F ) o lo que es lo mismo a d(p, F ) = a 2 + cx. Elevando al cuadrado a 2 (x + c) 2 + a 2 y 2 = a 4 + c 2 x 2 + 2a 2 cx a 2 x 2 + a 2 c 2 + 2a 2 cx + a 2 y 2 = a 4 + c 2 x 2 + 2a 2 cx (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 4 a 2 c 2 = a 2 (a 2 c 2 ) = a 2 b 2 es decir b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 o lo que es lo mismo x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. Supongamos ahora que P = (x, y) es un punto que satisface la ecuación de la elipse. Entonces existe θ R tal que x/a = cos θ, y/b = senθ. Consecuentemente d(p, F ) = (a cos θ c) 2 + b 2 sen 2 θ = = a 2 cos 2 θ 2ac cos θ + c 2 + b 2 sen 2 θ = = b 2 cos 2 θ + c 2 cos 2 θ 2ac cos θ + c 2 + b 2 sen 2 θ = = b 2 + c 2 cos 2 θ 2ac cos θ + c 2 = a 2 2ac cos θ + c 2 cos 2 θ = = (a c cos θ) 2 = a c cos θ. De forma análoga d(p, F ) = a + c cos θ y tenemos d(p, F ) + d(p, F ) = 2a como queríamos demostrar. 8

9 Otra propiedad importante de la elipse hace alusión a su recta tangente en cada punto de la misma. El lector puede comprobar sin ninguna dificultad que la tangente a la elipse x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 en un punto (x 0, y 0 ) de la misma es precisamente la recta xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. La propiedad a la que hacíamos alusión antes constituye el enunciado del siguiente: Teorema 4. Sea P = (x 0, y 0 ) un punto de la cónica x 2 /a 2 +y 2 /b 2 = 1 y denotemos como es habitual por F y F los focos de dicha elipse. Denotemos por r la recta que pasa por F y por P, y por r la recta que pasa por F y por P. Sea t la recta tangente en P, entonces t es perpendicular a la mediatriz de r y r (experiméntese con la figura II.5 ). Escribamos de antemano x 0 = a cos θ 0, y 0 = b senθ 0 para algún θ 0 R. Sea v el vector unitario en la dirección de F P y v el correspondiente vector unitario en la dirección de F P. Basta demostrar que v + v es perpendicular al vector de dirección de t que no es otro que ( y 0 /b 2, x 0 /a 2 ). Como F P = (x 0 c, y 0 ) el lector puede comprobar que F P = a c cos θ 0 9

10 . Esto permite escribir ( ) x0 c y 0 v =, a c cos θ 0 a c cos θ 0 y mediante cálculos similares ( ) v x0 + c y 0 =,. a + c cos θ 0 a + c cos θ 0 Una vez más invitamos a nuestros estimados lectores a efectuar el cálculo de demuestra que ( 2b v + v 2 ) cos θ 0 2ab senθ 0 = b 2 + c 2 sen 2, θ 0 b 2 + c 2 sen 2 θ 0 y se comprueba de inmediato que v + v es perpendicular a t. La mayoría de la propiedades que hemos demostrado para la elipse admiten sus correspondientes versiones para la hipérbola. Haremos un listado de las principales propiedades con la esperanza puesta en que, nuestros nunca suficientemente valorados lectores, se dediquen a la tarea de demostrarlas: (1) c 2 = a 2 + b 2. (2) e = c /a. (3) La directriz de la hipérbola x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 es la recta x = a 2 /c. (4) Sea H la hipérbola que en un sistema de referencia ortonormal tiene por ecuación x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 y sea c como en el aparatado primero. Definamos F := (c, 0) y F := ( c, 0), entonces H coindice con el conjunto de puntos P tales que d(p, F ) d(p, F ) = 2a (figura II.6).. 10

11 (5) Sea P = (x 0, y 0 ) un punto de la hipérbola x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 y denotemos como es habitual por F y F los focos de dicha hipérbola. Denotemos por r la recta que pasa por F y por P, y por r la recta que pasa por F y por P. Sea t la recta tangente en P, entonces t es perpendicular a la mediatriz de r y r Cónicas sin centro. Para el caso en que e = 1 la ecuación (II-1) queda en la forma x 2 + y 2 = (x k) 2. Si k 0 podemos escribir x = 1 2k y2 + k 2. Esta cónica llamada parábola ofrece el aspecto que se muestra en la figura II.7. En caso de ser k = 0 tenemos x 2 + y 2 = x 2 lo que implica y 2 = 0 y la cónica se reduce a una recta. En el caso de una parábola denotemos como siempre por F el foco, por d la recta directriz y por r la perpendicular a d que pasa por F. (Véase la figura II.7). Vamos a obtener la ecuación de la parábola respecto a un sistema de referencia ortonormal con 11

12 origen en el punto medio O := (F + Q)/2 donde {Q} = r d y con ejes X e Y tales que X es la recta que pasa por O y es paralela a r e Y es la recta que pasa por O y es paralela a d. Definamos el sentido positivo del eje X como el inducido por el vector OF (es indiferente indicar un sentido positivo para el eje Y dada la simetría de la parábola respecto a X ). En este sistema de referencia positivo, el foco F tiene por coordenadas F = (k/2, 0) y la directriz d la forman los puntos que verifican la ecuación x = k/2. La parábola está formada por todos aquellos puntos P = (x, y) tales que (x k/2) 2 + y 2 = (x + k/2) 2. Elevando al cuadrado y simplificando tenemos kx + y 2 = kx lo que implica que y 2 = 2kx. Vamos a demostrar una de la propiedades más interesantes de la parábola desde el punto de vista de las aplicaciones físicas: Teorema 5. Sea la parábola que respecto de un sistema de referencia ortonormal positivo tiene por ecuación y 2 = 2kx. Sea P un punto cualquiera de la parábola, r 1 la recta paralela al eje X que pasa por P y r 2 la recta que pasa por P y F. Entonces la recta normal en P es bisectriz de r 1 y r 2 12

13 (ver figura II.8 ). Dem. Sea P = (x 0, y 0 ) un punto de la parábola, v 1 = (0, 1) el vector de dirección de r 1 y v 2 = (p/2 x 0, y 0 ) el vector de dirección de r 2. Se puede comprobar que el vector de dirección de la recta tangente a la parábola en P es (y 0, p). Para demostrar el teorema, basta demostrar que (y 0, p) es perpendicular a v 1 + v 2 / v 2. Es fácil comprobar que v 2 = x 0 + p/2. Entonces ( p/2 x0 v 1 + v 2 / v 2 = (1, 0) + x 0 + p/2, y ) 0 = x 0 + p/2 ( p = x 0 + p/2, y ) 0 x 0 + p/2 y resulta evidente que el producto escalar de este vector por (y 0, p) es nulo. Figura 1. Rayo incidente y rayo reflejado Dediquemos unas líneas a las aplicaciones física de esta ultima propiedad. Si suponemos una curva cualquiera c(t) y un rayo de luz que viaja en la dirección de la recta r incidiendo en la la curva en el punto P, entonces el rayo reflejado r es tal que la recta normal n en el punto P, es mediatriz de r y r (véase la figura anterior). Este resultado de física que parece provenir de la óptica, es en realidad aplicable a la reflexión de otros objetos físicos de naturaleza corpuscular (no sólo luz y sonido, sino ondas electromagnéticas también). Se entiende pues que cualquier rayo de luz cuya dirección sea paralela el eje de una parábola sera reflejado en una línea que pasa por el foco (véase la figura II.10 ). De este modo, la señal electromagnética de un haz de rayos paralelos al eje de la parábola, queda concentrada en el foco, donde la amplitud de tal señal se ve ampliada de modo tal que la posterior sintonización y ampliación se hace más fácil. Esto explica además el carácter 13

14 altamente direccional de las antenas parabólicas. Las centrales por reflexión de la luz solar en un foco, en que se alcanzan altas temperaturas, constituyen otro ejemplo de aplicación de esta propiedad de las parábolas 8.4. Coordenadas polares. En esta sección queremos encontrar las expresiones de determinadas cónicas en coordenadas polares. Empecemos por el caso de la parábola. Supongamos en el afín-euclídeo R 2 la parábola de ecuación y 2 = 2px. Sabemos que su foco se encuentra en (p/2, 0) y su directriz es la recta x = p/2. Figura 2. La parábola y 2 = 2px Consideremos coordenadas polares con centro en el foco y eje el de abcisas 14

15 (orientado positivamente): (II-2) x = p 2 + r cos θ, y = r senθ, donde r denota la distancia de un punto genérico de la parabola hasta su foco. Se tiene entonces que x + p/2 = r. Eliminando x entre esta ecuación y la primera de ( (II-2) ), encontramos que p/2 + r cos θ = r p/2, es decir, r(cos θ 1) = p, y finalmente (II-3) r = p 1 cos θ que es la ecuación en coordenadas polares de la parábola y 2 = 2px. realidad sólo se ha demostrado que si un punto (x, y) pertenece a la parábola de ecuación y 2 = 2px, entonces sus correspondientes coordenadas polares satisfacen la igualdad (II-3). Dejamos al lector el comprobar que si las coordenadas polares satisfacen En (II-3), entonces el punto de coordenadas cartesianas (x, y) dadas por (II-2), pertenece a la parábola en cuestión. ecuación Veamos ahora como obtener la expresión en polares de la elipse de x 2 a 2 + y2 = 1, (a b) b2 Figura 3. Coordenadas polares en la elipse. Sus focos son los puntos (±c, 0) donde c = a 2 b 2. Consideremos coordenadas polares con centro en ( c, 0) de modo que x + c = r cos θ, y = r senθ. 15

16 donde r es la distancia del punto genérico (x, y) de la elipse al foco ( c, 0). La distancia r del punto genérico P = (x, y) de la elipse al foco F = ( c, 0) es e multiplicado por la distacia de P la elipse. Teniendo en cuenta que e = c/a, podemos escribir: r = e(x + a2 ) = ex + ea2 c c = ex + c a 2 a c a la directriz x = a 2 /c de = ex + a. y como x = c + r cos θ, tendremos r = a + e( c + r cos θ) = p + er cos θ donde p := a ec. Por lo tanto (1 e cos θ)r = p y deducimos que (II-4) r = p 1 e cos θ Para acabar de comprobar que esta es la ecuación de la elipse, sólo falta ver que si r y θ están relacionados por la ecuación de arriba, y (x, y) es el punto dado por x + c = r cos θ, y = r senθ, entonces (x, y) x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. Esto lo dejamos como ejercicio para el lector. satisface Finalmente siguiendo estas técnicas, dejamos al lector la comprobación de que la ecuación de la hipérbola x 2 a 2 y2 b 2 = 1 en coordenadas polares, es también del tipo (II-4) Problemas propuestos Problema 1. En el plano afín R 2 demuéstrese que dada cualquier elipse, y cualquier circunferencia, existe una afinidad que transforma la elipse en la circunferencia. Problema 2. Si e = 0 en la definición de cónica dada al principio de este capítulo, entonces la cónica se reduce al punto F. Demuéstrese que para e > 0 la cónica tiene infinitos puntos. Problema 3. Átense los cabos sueltos de la sección dedicada a la expresión en coordenadas polares de la elipse, parábola e hipérbola. 16

17 Problema 4. Determínese la ecuación de la cónica que es tangente al eje Y en (0, 1), al eje X en (2, 0), y pasa por (2, 1). Estúdiese la cónica hallada. Problema 5. Encuéntrese la mínima distancia del centro de la cónica x + x 2 4 y + 2 y 2, a ella misma. Problema 6. Dadas las parábolas de ecuaciones y = x 2 x + 1, y = x 2 + 2x 1, compruébese que no se cortan y determínese la mínima distancia entre ellas. 17