UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA PROGRAMA ÁLGEBRA LINEAL 7

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA PROGRAMA 1) Denominación de la Asignatura y código ÁLGEBRA LINEAL 7 Modalidad Presencial 2) Carreras CONTADOR PÚBLICO LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN LICENCIATURA EN ECONOMÍA 3) Plan de Estudio ) Año ) Profesor Responsable y Equipo Docente Prof. María del Carmen REGOLINI Cra. Alicia Reneé ALANIZ Cra. Cecilia Rita FICCO Cra. Paola Belén BERSÍA Lic. Gisela BARRIONUEVO Lic. Natalia MARTINEZ 1

2 6) Ubicación de la Asignatura en el Plan de Estudios Primer Cuatrimestre de Segundo Año correspondiente al Ciclo Básico de todas las carreras. 7) Carga Horaria La Asignatura posee una carga de seis horas semanales distribuidas en tres días con dos horas cada uno. 8) Objetivos generales Que el alumno logre: Establecer relaciones entre contenidos del álgebra lineal y los del campo profesional elegido. Valorar el lenguaje y el modo de argumentación frecuentes en la matemática coadyuvando a la formación del pensamiento y al discernimiento. 9) Objetivos Específicos Que el alumno pueda: o Aplicar los conceptos básicos del álgebra lineal indispensables en la resolución de diversas situaciones problemáticas. o Conocer, comprender y aplicar las técnicas que ofrece el álgebra lineal para la modelización de fenómenos en el ámbito de las ciencias económicas. o Resolver e interpretar los resultados de los modelos formulados con el propósito de elaborar información de utilidad para la toma de decisiones. 2

3 10) Fundamentación A través del álgebra lineal es posible facilitar y mecanizar el tratamiento de los sistemas de ecuaciones lineales. Su importancia radica en que existen numerosas situaciones en el ámbito de la economía y la administración cuya expresión cuantitativa lleva de manera natural a formular sistemas con ecuaciones lineales con varias incógnitas o a aproximarse a uno de este tipo. Un curso de álgebra lineal, para estudiantes de ciencias económicas, debería permitirles adquirir cierta capacidad de abstracción y formalización de situaciones simples de la vida real, iniciándolos de este modo en la modelización a través de la asociación de un objeto no matemático con otro objeto matemático que represente determinados comportamientos, relaciones o características. 11) Contenidos mínimos CONOCIMIENTOS PREVIOS Números Reales. Operaciones. Ecuaciones y desigualdades. Sistemas de coordenadas cartesianas. ESQUEMA DE CONTENIDOS El programa comprende conceptos básicos de álgebra lineal: matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, vectores en R n, espacios vectoriales, transformaciones lineales y programación lineal. Aplicaciones a situaciones prácticas y de la vida vinculadas a distintas áreas de las ciencias económicas. En función de la aplicación en los distintos ámbitos de la actividad profesional de los egresados de Ciencias Económicas se toma como eje temático de la asignatura: el planteo y la solución de modelos lineales, para lo que se requiere como contenidos mínimos, los sistemas de ecuaciones lineales, su resolución por diferentes métodos y el análisis del tipo de solución, los espacios vectoriales y los conjuntos convexos. 3

4 12) Contenidos (en términos de unidades temáticos o problematizaciones, etc.) Unidad Uno: MATRICES Definición de matriz. Igualdad de matrices. Clasificación de las matrices de acuerdo con el número de filas y de columnas. Matrices especiales: nula, fila, columna y transpuesta. Clasificación de las matrices cuadradas: diagonal, escalar, identidad, triangulares, simétrica. Traza de una matriz. Operaciones con matrices. Adición. Propiedades. Producto de un escalar por una matriz. Propiedades. Diferencia. Producto. Propiedades. Casos particulares del producto matricial. Propiedades de la matriz traspuesta. Propiedades de la traza. Partición de matrices. Matrices elementales. Operaciones elementales que pueden realizarse en las líneas de una matriz. Aplicaciones de las matrices elementales. Matrices equivalentes. Método de Gauss-Jordan. Forma reducida de una matriz. Rango de una matriz. Unidad Dos: DETERMINANTES Definición de determinante. Regla de Sarrus. Propiedades del determinante. Determinantes de matrices especiales. Operaciones elementales y determinante. Menor complementario. Adjunto o cofactor de un elemento. Matriz adjunta. Métodos de cálculo del determinante. Desarrollo del determinante por los elementos de una línea o Regla de Laplace. Cálculo del determinante de una matriz por reducción a uno de menor orden. Definición de matriz inversa. Unicidad de la inversa. Propiedades. Métodos para la obtención de la matriz inversa. Rango y matriz inversa. Método de Gauss Jordan. Determinante y matriz inversa. Método de la matriz adjunta. Unidad Tres: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Ecuación lineal. Clasificación de las ecuaciones lineales: homogénea y no homogénea. Solución de una ecuación lineal. Conjunto solución. Representación gráfica de las ecuaciones lineales con una, dos y tres incógnitas. Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Clasificación de los sistemas lineales en cuadrados y rectangulares, homogéneos y no homogéneos y, compatibles (determinados o indeterminados) e incompatibles. Representación gráfica de los sistemas de ecuaciones lineales en el plano y el espacio. 4

5 Unidad Cuatro: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. RESOLUCIÓN ALGEBRAICA Expresión matricial de los sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales. Resolución algebraica de los sistemas de ecuaciones lineales: Teorema de Rouché-Fröbenius, Método de Gauss-Jordan. Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes. Método de la matriz inversa. Regla de Cramer. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Propiedades. Solución y conjunto solución de los sistemas de ecuaciones lineales. Unidad Cinco: ESPACIOS VECTORIALES n Vectores en R. Representación gráfica de los vectores. Igualdad de vectores. Operaciones con vectores. Suma de vectores. Propiedades. Producto de un escalar por un vector. Propiedades. Diferencia de vectores. 2 Representación gráfica de las operaciones con vectores en R. Paralelismo de vectores. Producto interno de vectores. Propiedades. Vectores ortogonales. Norma de un vector. Propiedades. Vector normal. Normalización de un vector. Vectores unitarios. Definición de espacio vectorial. Propiedades. Subespacio vectorial. Subespacios: triviales y propios. Condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial. Ejemplos de subespacios vectoriales. Conjuntos finitos de vectores. Combinación lineal. Combinaciones lineales trivial y convexa. Sistema de generadores. Envolvente lineal. Conjuntos de vectores linealmente dependientes o independientes. Propiedades. n Base de un espacio vectorial. Base canónica en R. Dimensión de un espacio vectorial. Propiedades. Teorema del Canje o de Steinitz. Vector de coordenadas. Vector de coordenadas y base canónica. Espacio fila y espacio columna de una matriz. Rango de una matriz. Soluciones básicas. Clasificación de las soluciones básicas. Unidad Seis: TRANSFORMACIONES LINEALES Definición de transformación lineal. Propiedades. Operaciones con transformaciones lineales. Núcleo de una transformación lineal. Estructura algebraica del núcleo. Imagen de una transformación lineal. Estructura algebraica de la Imagen. Teorema de las dimensiones. Teorema fundamental de las transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Imagen de un vector a través de la matriz asociada. Transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Relación entre los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y las transformaciones lineales. Relación entre el rango de la matriz asociada a una transformación lineal y la dimensión de la imagen. 5

6 Unidad Siete: INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Inecuaciones. Conjunto solución. Inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Conjunto solución. Representación gráfica. Sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Conjunto solución. Representación gráfica. Conjunto de Puntos. Punto. Segmento de recta. Conjunto convexo. Propiedades de los conjuntos convexos. Hiperplano. Semiespacio. Hiperplano soporte. Punto interior. Punto frontera. Punto extremo. Conjunto abierto. Conjunto cerrado. Conjunto acotado y conjunto no acotado. Conjunto poliédrico convexo. Programación lineal. Características generales. Formulación general de 2 programas lineales. Resolución gráfica en R Interpretación de la solución. 13) Metodología de trabajo El dictado de la asignatura se realiza a lo largo de catorce semanas y en cada una de ellas se dictan tres clases de las cuales siempre una está destinada al teórico y otra a la parte práctica; la clase restante se empleará para el teórico, el práctico o la presentación de las aplicaciones a las ciencias económicas en función del desarrollo de los contenidos o las dificultades que manifiesten los estudiantes. Los contenidos se desarrollarán tanto en clases teóricas como prácticas. Por lo general, se usará el pizarrón y cuando el tema lo requiera se emplearán otros recursos como filminas, archivos realizados con algún tipo de software, etc. Las ideas abstractas se presentarán de manera gradual y en los casos en que sea posible se relacionarán con aspectos geométricos. Las aplicaciones a las ciencias económicas se presentarán en la medida que se trabaje el material necesario para formular una situación formular una situación particular, con el propósito que los alumnos perciban la utilidad de los conceptos matemáticos que están adquiriendo en el desempeño profesional de acuerdo con la carrera elegida. Los alumnos deberán asistir a las clases teóricas con el material estudiado y el docente creará espacios propicios para dialogar y reflexionar con los estudiantes acerca de los temas tratados. 6

7 En las clases prácticas, la ejercitación se abordará en orden creciente de dificultad y de acuerdo con la temática presentada en el teórico. Se propondrán problemas que permitirán desarrollar habilidades mecánicas pero fundamentalmente se ofrecerán ejercicios cuya resolución requerirá la integración de los conceptos aprendidos. Los estudiantes deberán asistir a las clases prácticas con los ejercicios ya resueltos lo que favorecerá el análisis de dificultades y el tratamiento de los errores que podrían cometer al resolverlos. 14) Evaluación Durante el cuatrimestre, se realizarán evaluaciones individuales, grupales, escritas u orales, según se considere conveniente. La forma de implementarlas será informada anticipadamente a los estudiantes. Para determinar la condición final de cursado, se emplearán instrumentos escritos de evaluación individual correspondientes a Exámenes Parciales y Exámenes Recuperatorios referidos en su mayoría a la parte práctica de la Asignatura con la inclusión de problemas de tipo conceptual (preguntas teóricas) y/o de aplicación. En estos exámenes NO se solicitará ningún tipo de demostración aunque se deberán utilizar los enunciados de las definiciones, propiedades y/o teoremas para justificar la resolución de los ejercicios. Criterios de corrección En la corrección de todos los exámenes se tendrán en cuenta: La adecuación a las normas dadas en las consignas. Las respuestas en función del enunciado. El uso adecuado de la notación. Las justificaciones completas. Las fechas de los exámenes serán anunciadas al inicio del cuatrimestre y, los contenidos que se evaluarán en cada una de las instancias serán informados con suficiente anticipación. Los estudiantes deberán presentarse a las evaluaciones con la Libreta Universitaria o un documento que acredite su identidad. 7

8 15) Condiciones de cursado (Regular o Libre) Finalizado el cuatrimestre el estudiante obtendrá, en función de su rendimiento académico, alguna de las siguientes condiciones: Regular o Libre. Para acceder a cualquiera de ellas, el porcentaje requerido de asistencia a las clases prácticas es del 80%. CONDICIÓN REGULAR Para ser Regular, el estudiante deberá aprobar los exámenes parciales o sus respectivos recuperatorios. CONDICIONES LIBRE Un alumno obtendrá la condición Libre por parcial cuando no apruebe los exámenes parciales o sus instancias recuperatorias. Libre por no comenzar: se refiere a aquel estudiante que se inscribió en la Cátedra pero nunca asistió a clase. Libre por faltas: corresponde al alumno que, habiendo asistido a clase, no se presentó a rendir los exámenes parciales ni recuperatorios. EXÁMENES FINALES En todos los exámenes finales se evaluarán todos los contenidos detallados en el presente Programa. Examen Final para alumnos regulares Para rendir la parte teórica de Álgebra Lineal, el estudiante deberá resolver, en forma correcta, la ejercitación solicitada correspondiente a las unidades cinco, seis y/o siete de este Programa. Completada esta instancia, el examen teórico estará compuesto por dos desarrollos -con sus correspondientes enunciados y demostraciones- y una serie de preguntas teóricas integradoras de la Asignatura. Estos exámenes podrán ser evaluados, en forma oral o escrita y será informado al inicio del examen. 8

9 EXÁMENES FINALES (continuación) Examen Final para alumnos libres El estudiante que se presente al examen final bajo la condición Libre deberá aprobar dos tipos de exámenes. Uno integrador correspondiente a la parte práctica de toda la Asignatura y otro que será idéntico al examen final teórico para cualquier estudiante regular. Está previsto que ambos exámenes se tomen el mismo día. Queda a cargo del Tribunal examinador determinar cuál de los dos exámenes se rendirá en primera instancia. APROBACIÓN Para aprobar los parciales, recuperatorios y/o exámenes finales los estudiantes deberán lograr una nota mínima de cinco puntos. Para alcanzar esta calificación mínima el estudiante deberá acreditar un mínimo del 50% de los conocimientos solicitados en el examen. En ese porcentaje deben estar incluidos los temas fundamentales de la asignatura. De acuerdo a lo que establece la Resolución del Consejo Superior de la UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO CUARTO Nº 356/2010 Anexo I. 16) Horarios de Clase y de Consulta Las clases se desarrollarán en los siguientes días y horarios Lunes: 14:00 a 16:00 ó 16:00 a 18:00 Martes: 14:00 a 16:00 ó 16:00 a 18:00 Jueves: 12:00 a 14:00, martes y jueves. Al momento de presentar este Programa los horarios de consulta por docente son: Prof. REGOLINI: Lunes de 12:00 a 14:00, martes de 13:00 a 14:00 y jueves de 14 a 17:00. Cubículo 10. Cra. ALANIZ: Lunes de 12:00 a 14:00, martes de 12:00 a 14:00 y jueves de 10:00 a 12:00. Cubículo 10. 9

10 Horarios de consulta (continuación) Cra. FICCO: Lunes de 15:00 a 16:00, martes de 18:00 a 20:00 y jueves de 15:00 a 18:00. Cubículo 38 o Dirección de Educación a Distancia. Cra. BERSÍA: Lunes de 18:00 a 19:30, martes de 18:00 a 19:30 y jueves de 14:00 a 17:00. Cubículo 38. Lic. BARRIONUEVO: Lunes de 10:00 a 12:00 y martes de 10:00 a 12:00. Cubículo 33. Lic. MARTINEZ: Miércoles de 14:30 a 16:30. Cubículo ) BIBLIOGRAFÍA Básica Unidad Uno: MATRICES. FCE. UNRC. Versión Unidad Dos: DETERMINANTES. FCE. UNRC. Versión Unidad Tres: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. FCE. UNRC. Versión Unidad Cuatro: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. RESOLUCIÓN ALGEBRAICA. FCE. UNRC. Versión Unidad Cinco: ESPACIOS VECTORIALES. FCE. UNRC. Versión Unidad Seis: TRANSFORMACIONES LINEALES. FCE. UNRC. Versión Unidad Siete: PROGRAMACIÓN LINEAL. FCE. UNRC. Versión BRESSAN, Cecilia y María del Carmen Regolini: Guía de Trabajos Prácticos. FCE. UNRC. Versión Complementaria (ordenada alfabéticamente). BUDNICK, Frank: Matemáticas aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Tercera edición. McGraw-Hill. ISBN: (1990) CHIANG, Alpha C.: Métodos fundamentales de Economía Matemática. Tercera edición. Mc Graw Hill. ISBN: (1987) 10

11 Complementaria (ordenada alfabéticamente). BUDNICK, Frank: Matemáticas aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Tercera edición. McGraw-Hill. ISBN: (1990) CHIANG, Alpha C.: Métodos fundamentales de Economía Matemática. Tercera edición. Mc Graw Hill. ISBN: (1987) FONT de MALUGANI, Elba; Luisa L. Lazzari; Beatriz L. Montero; Silvia E. Thompson; Alicia D. Fraquelli; Teresa Loiácono; Patricia Mouliá; Rolando Wartenberg.: Álgebra con aplicaciones a las Ciencias Económicas. Ediciones Macchi. ISBN: (1999) GROSSMAN, Stanley I.: Álgebra Lineal. Quinta edición. Mc Graw Hill. ISBN: (1996) GUTIÉRREZ, Sinesio: Álgebra Lineal para la Economía. 2ª Edición. Editorial AC. THOMSON. ISBN: (2002) HAEUSSLER, Jr Ernest F.; Richard S. PAUL: MATEMÁTICAS para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Octava edición. Prentice Hall. ISBN: (1997) HERAS MARTINEZ A., J. L. Vilar Zanón.: Problemas de Álgebra Lineal para la Economía. Editorial AC. THOMSON. ISBN: (2002) KOLMAN, Bernard: Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. Sexta edición. Prentice Hall. ISBN: (1996) LAY, David: Álgebra Lineal y sus aplicaciones. Editorial PEARSON ADDISON-WESLEY. ISBN: (2007) MERINO, Luis; Evangelina Santos: Álgebra Lineal con métodos elementales. Tercera. Edición. Paraninfo. ISBN: (2009) SABOGAL, Carlos; Esperanza Ardila: Álgebra y Programación Lineal. Universidad Externado de Colombia. ISBN: (2003) SANZ, Paloma; Francisco José Vázquez; Pedro Ortega: Problemas de ÁLGEBRA LINEAL. Cuestiones, ejercicios y tratamiento en DERIVE. Prentice Hall. ISBN: (1998) WILLIAMS, Gareth: Álgebra Lineal con aplicaciones. Cuarta edición. McGraw Hill. ISBN: X. (2002) WINSTON, Wayne L.: Investigación de operaciones. Aplicaciones y algoritmos. Cuarta edición. Thomson. ISBN: (2005) 11