Tema 2. Monotonía y curvatura

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1 Tema 2. Monotonía y curvatura Fuente propia A lo largo de los contenidos de esta materia hemos intentado dejar claro la estrecha relación que existe entre las matemáticas y el mundo que nos rodea. En este tema vamos a tratar un tema que es consustancial con nuestra vida cotidiana: el crecer o decrecer. En muchos aspectos de nuestro entorno o de nosotros mismos encontramos elementos que están en constante crecimiento y decrecimiento. Aumenta nuestra estatura mientras crecemos y disminuye algo cuando nos vamos acercando a la vejez, igual que nuestra cintura tiende a crecer cuando nos adentramos en las fiestas navideñas e intentamos que disminuya de cara al verano. Sube y baja el trazado de las carreteras en algunas zonas de nuestro país, basta observar el perfil de una etapa ciclista. La atracción principal de una montaña rusa consiste precisamente en recorrerla a gran velocidad por sus cuestas en pendiente. Muchos parámetros sociales también evolucionan con el tiempo y nos interesa estudiar cuando crecen y decrecen: la tasa de paro, los precios de la gasolina, las listas de espera en los hospitales, etc. Todo ello vamos a tratarlo en este tema. Para comenzar incluimos una noticia de la prensa en la que se puede comprobar como es corriente e importante las subidas y bajadas de la gráfica de un parámetro económico como en este caso el de IPC mensual. Matemáticas II Página 1 de 27

2 1. Monotonía En el tema anterior hemos introducido una de las herramientas más potentes de las que disponen las matemáticas: el Cálculo Diferencial. En este tema y los siguientes vamos a ver como se utiliza esa herramienta para estudiar procesos que están en continuo cambio, como ocurre con las funciones. En este primer apartado vamos a trabajar con un concepto que, al menos de una forma intuitiva, seguro que hace tiempo que conoces: el crecimiento y decrecimiento de una función. Ya este curso hemos repasado ese concepto como una de las características destacables de las funciones. En concreto, en el primer tema de la anterior Unidad recordamos cuando una función crece o decrece, lo que se conoce como el estudio de la monotonía de una función. Lo que vamos a ver es como podemos utilizar las derivadas para ser más eficientes en el estudio del crecimiento o decrecimiento. Para empezar con ritmo y fuerza en estos conceptos lo mejor es poco de ritmo. Te incluimos una canción de un grupo mexicano llamado precisamente El Círculo. Matemáticas II Página 2 de 27

3 1.1. Crecimiento y decrecimiento Cuando estamos estudiando cualquier parámetro social que utilicemos en nuestra vida cotidiana no es raro que nos importe cuando esos elementos suben o bajan, pues esas variaciones indican si la situación mejora o empeora. Además, depende del estudio que realicemos unas veces será buena idea y otras no. Por ejemplo, no es lo mismo que suba el número de las personas inscritas en el paro que las inscritas en la Seguridad Social. En el gráfico adjunto podemos ver la evolución de los precios del petróleo en un margen de más de 35 años y vemos fácilmente los momentos en que ha sido creciente y cuando no el precio. Ilustración de Alejandro Cana Sánchez tomada del Banco de Imágenes del ITE. Vamos a ver como las derivadas nos ayudan a acotar esos momentos, pero antes vamos a recordar la definición de función creciente y decreciente. Una función f(x) decimos que es creciente si al dibujar su gráfica de izquierda a derecha el trazo cada vez es más alto. De forma más precisa, la función f(x) es creciente en el punto x 0 si exite un valor ε >0 tal que: Si x 0 ε < x < x 0 entonces f(x) < f(x 0 ) Si x 0 < x < x 0 + ε entonces f(x 0 ) < f(x) De forma análoga tenemos que una función f(x) decimos que es decreciente si al dibujar su gráfica de izquierda a derecha el trazo cada vez es más bajo. De forma más precisa, la función f(x) es decreciente en el punto x 0 si exite un valor ε >0 tal que: Si x 0 ε < x < x 0 entonces f(x) > f(x 0 ) Si x 0 < x < x 0 + ε entonces f(x 0 ) > f(x) Lo normal es que la función no sea siempre creciente o decreciente, sino que se alternen los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Para que una función sea creciente (decreciente) en un intervalo, debe ser creciente (decreciente) en todos los puntos del mismo. Matemáticas II Página 3 de 27

4 Es posible demostrar que si la función f(x) es continua y es: creciente en un intervalo cerrado entonces siempre que a y b sean dos puntos del intervalo tales que a < b se cumplirá que f(a) < f(b). decreciente en un intervalo cerrado entonces siempre que a y b sean dos puntos del intervalo tales que a < b se cumplirá que f(a) > f(b). Observa la siguiente ventana en la que hay representada una función y la tangente en un punto cualquiera. Como recordarás del tema anterior la derivada en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto. Recorre la función usando el deslizador que hay en la parte de abajo y observa el signo que tiene la pendiente de la tangente cuando la función crece y cuando decrece. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Habrás observado que cuando la función está creciendo la pendiente de la tangente es positiva, mientras que cuando está decreciendo es negativa. Si observas el primero de los tres dibujos, que hay en el recuadro en el que se definió que cuando la función f(x) está creciendo en x 0, verás que en un intervalo en torno de x 0 la diferencia f(x 0 + h) f(x 0 ) es siempre positiva (tanto si h es positivo como si es negativo). Por ello: Por lo tanto: Sin embargo, en los puntos x 0 en que está decreciendo la diferencia f(x 0 + h) f(x 0 ) será siempre negarita y mediante un razonamiento similar al anteior concluiremos que: A partir de lo anterior podemos enunciar el siguiente resultado: Si la función f(x) es derivable en x 0 y está creciendo en ese punto entonces su derivada es positiva o cero: f '(x 0 ) 0. De forma análoga: Si la función f(x) es derivable en x 0 y está decreciendo en ese punto entonces su derivada es negativa o cero: f '(x 0 ) 0. Habrás observado que estos resultado no nos permiten identificar cuando una función está creciendo y cundo está decreciendo. Sólo nos dicen una propiedad que se cumple en los puntos en que la función crece (decrece). Así que en realidad sólo nos permiten decir cuando no está creciendo (decreciendo). Para poder dar una respuesta afirmativa, es decir poder identificar los puntos en los que la función está creciendo (decreciendo) necesitamos de un resultado que establezca las condiciones que permitan identificar el estado de monotonía de una función en un determinado punto. Más adelante, en este mismo tema (Apartado 1.4), estaremos en condiciones de dar ese resultado. Matemáticas II Página 4 de 27

5 Considera la función Demuestra que la función f(x) está creciendo en x 0 = 0 y en x 1 = 1. Comprueba que la derivada de la función f(x) es positiva en x 0 y x 1. Observa en el ejercicio antarior cómo es posible que una función esté creciendo en un punto, como el x 1, y que en él la derivada sea nula. Matemáticas II Página 5 de 27

6 1.2. Máximos y mínimos Pico de Aneto de Wikimedia Commons A veces estamos realizando alguna labor en el trabajo o en casa y de pronto tenemos la sensación de que nos olvidamos de algo. No te ha ocurrido nunca? Por ejemplo, estamos preparando la maleta para salir de viaje y tenemos la impresión que hay algo que nos va a hacer falta y que no hemos echado. En el útimo tema de la unidad anterior estudiamos el teorema de Weierstrass que permite asegurar la existencia de máximos y mínimos de las funciones continuas en intervalos cerrados. En el apartado anterior hemos estudiado condiciones necesarias para caracterizar la monotonía de una función derivable pero no suficientes. A ambos temas les falta algo. El objetivo de este apartado y los siguientes es ir completando la caracterización de estas situaciones. En concreto, en este apartado avanzaremos en el estudio de las "cimas" y "valles" de las funciones derivables. Antes recordemos la definición de los extremos relativos y absolutos de una función que ya estudiamos en el primer tema de la Unidad 4. Una función f(x) tiene un máximo relativo o local en el punto x 0 si en todos los valores "próximos" a este punto, el valor de la función es más pequeño que f(x 0 ) o de forma más precisa: x 0 es un máximo relativo de la función f(x) si existe un valor ε > 0 tal que si x está en el intervalo (x 0 ε,x 0 +ε) entonces el valor de la función f(x) es menor o a lo sumo igual que f(x 0 ). Una función f(x) tiene un mínimo relativo o local en el punto x 0 si en todos los valores "próximos" a este punto, el valor de la función es más grande que f(x 0 ) o de forma más precisa: x 0 es un mínimo relativo de la función f(x) si existe un valor ε > 0 tal que si x está en el intervalo (x 0 ε,x 0 +ε) entonces el valor de la función f(x) es mayor o a lo sumo igual que f(x 0 ). El valor x 0 es un máximo (mínimo) absoluto si f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) para todo x del dominio de la función. Matemáticas II Página 6 de 27

7 Sea f(x) una función derivable en x 0 que es un máximo local de la función: existe por lo tanto un valor ε>0 tal que si x está en (x 0 ε,x 0 +ε) entonces f(x) f(x 0 ). Veamos que ocurre con las secantes a la función que trazamos a un y otro lado del punto x 0 pasando por él: Así que cuando h > 0: Luego las secantes trazadas a la derecha del punto x 0 tienen pendiente negativa y en consecuencia: Y cuando h < 0: Las secantes trazadas a la izquierda del punto x 0 tienen pendiente positiva y por tanto: En consecuencia, y dado que la función f(x) es derivable en x 0, ambos límites laterales deben coincidir y ser la derivada de la función en x 0. La única posibilidad que hay de que esto ocurra es que el valor de la derivada de f(x) en x 0 sea cero. Un razonamiento similar puede hacerse para los mínimos relativos. Además en el apartado anterior hemos visto un ejemplo de función en el que había un punto en el que la función estaba creciendo y sin embargo la derivada era cero. La función f(x) = x 3 es decreciente en x 0 = 0 y su derivada en ese punto también es 0. Tenemos pues que en los máximos y mínimos relativos la derivada es cero pero también hay otros puntos en los que esto ocurre. Resumiento, podemos enunciar: Si una función tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en el punto x 0 y, en él, existe la derivada, entonces f '(x) = 0. Los puntos que anulan la primera derivada reciben el nombre de puntos críticos y, entre ellos, pueden estar los extremos relativos de una función. Sería ideal que el hecho de tener derivada nula nos permitiese identificar los extremos de una función, pero ya hemos visto que una función puede anular su derivada en un punto y sin embargo no tener en él un extremo relativo. No obstante en algunas circunstancias si que podemos sacar conclusiones: Si estamos tratando con una función definida en un intervalo cerrado [a, b] que sea derivable en su interior (a, b) entonces la función es contínua y por el teorema de Weirstrass (tema 4 de la unidad anterior) sabemos que alcanza su máximo y un mínimo absolutos en el intervalo. Esos puntos o bien son del interior y por tanto según lo que acabamos de ver en ellos la derivada debe ser nula o están en la frontera del intervalo, es decir son x = a ó x = b. Estos hechos proporcionan una forma de averiguar los máximos y mínimos absolutos de una función derivable en un intervalo cerrado: Matemáticas II Página 7 de 27

8 1. Se averiguan todos lo valores en los que f '(x) = 0: x 1, x 2, 2. Se calcula el valor de la función en esos puntos y en los extremos del intervalo: f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), 3. El mayor valor corresponde al máximo absoluto y el menor valor corresponde al mínimo absoluto. Si una función está definida en x 0 y hay un intervalo (a, b) en el que está incluido de manera que en el intervalo (a, x 0 ) la función es creciente y en el intervalo (x 0, b) es decreciente entonces en el punto x 0 hay un máximo relativo ya que, evidentemente, f(x 0 ) es el mayor que toma la función en el intervalo (a, b). Pero eso no quiere decir que en x 0 la función tenga tangente horizontal. Incluso podría ser que la función fuese derivable en todos los puntos del intervalo (a, b) excepto en x 0. En el ejemplo siguiente ocurre exactamente lo que acabamos de describir: El punto x 0 = 0 es un máximo de la función. La función es creciente en todos los negativos y decreciente en los positivos. En el punto x 0 = 0 la función no es derivable: la derivada por la izquierda es + y la derivada por la derecha es. Si se invierte la situación anterior, es decir, la función es primero decreciente y luego creciente, entonces hay un mínimo relativo en ese punto Ahora regresa al applet que manejaste en el apartado anterior y observa qué ocurre con la pendiente de la tangente en los extremos relativos que ves dibujados, es decir en x=1 y en x=-1. Comprueba que la función f(x) = x 1 tiene un mínimo en x 0 = 1 pero que su derivada en ese punto no es cero. Matemáticas II Página 8 de 27

9 1.3. Dos teoremas sobre la derivada Tratado de álgebra de Michel Rolle ( ) de Wikimedia Commons Josep-Louis Lagrange ( ) de Wikimedia Commons El contenido del apartado es esencialmente teórico. En él expondremos dos importantes teoremas con nombre propio: El teorema de Rolle y el teorema del valor medio de Lagrage que proporcionan la base para teórica sobre la que sustentar las principales aplicaciones de la derivada, el estudio de las gráficas de las funciones y los problemas de optimización de funciones. Como consecuencia de estos teoremas obtendremos resultados que aparentemente son evidentes pero que no son fáciles de demostrar de forma directa. Por ejemplo, sabemos que la derivada de la función de posición de un objeto respecto del tiempo es la velocidad de dicho objeto y parece intuitivo que si la velocidad es nula en un intervalo de tiempo entonces el objeto está inmóvil o lo que es lo mismo la su posición es constante. Pues bien, como consecuencia del teorema del valor medio demostraremos que si una función tiene derivada nula en un intervalo la función es constante. Aunque el teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, lo estudiaremos antes ya que proporciona una demostración muy sencilla del teorema principal. Observa el siguiente applet. Si mueves con el cursor el punto c dentro del intervalo (a, b) podrás ver que en algún momento de su recorrido la tangente a la función f(x) es paralela al eje OX y por tanto su pendiente es nula. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Matemáticas II Página 9 de 27

10 Teorema de Rolle Si f(x) es una función continua en [a, b] y derivable en el intervalo (a, b) tal que f(a) = f(b), entonces existe un número c en el intervalo (a, b) en el que La demostración es sencilla: Al ser una función continua en un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo bien en el interior o bien en los bordes del intervalo. Si el máximo y el mínimo son del interior del intervalo, como en (a, b) la función es derivable, sabemos que la derivada es cero en ellos. Así que ya tendríamos el punto buscado. Si no es así quiere decir que el máximo y el mímino están en los bordes del intervalo, pero dado que f(a) = f(b), máximo y mínimo son iguales y por tanto la función es constante en elintervalo (a, b) y por ello podemos escoger cualquier punto del interior del intervalo pues en el la derivada se anulará. El teorema del valor medio de Lagrage se obtiene aplicando el teorema de Rolle a una función cuya definición puede parecer algo extraña pero que tiene una interpretación geométrica: Se trata de la función h(x) que mide la longitud del segmento que mide la distancia entre AB y la gráfica de la función f(x). Se trata de la función: Es fácil comprobar que cumple todas las condiciones del teorema de Rolle y que por tanto existe un número real c del intervalo (a, b) en el que la derivada de la función h(x) es nula: Observa el siguiente applet. Si mueves con el cursor el punto c dentro del intervalo (a, b) podrás ver que en algún momento de su recorrido la tangente a la función f(x) es paralela al segmento AB y por tanto su pendiente es la misma. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Matemáticas II Página 10 de 27

11 Teorema del valor medio de Lagrange Si f(x) es una función continua en [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces existe un número c en el intervalo (a, b) en el que: Como primera consecuencia del anterior teorema ya estamos en condiciones de probar la propiedad a la que hacíamos mención al principio de este apartado: las funciones que tienen derivada nula son constantes. Sea f es una función definida en un intervalo cerrado y cuya derivada sea nula en todo punto del intervalo. Tomamos dos puntos x 1 x 2 del intervalo: de acuerdo con el resultado que acabamos de establcer existe un punto x en el intervalo (x 1,x 2 ) en el que la derivada es: pero f '(x)=0, asi que sustituyendo en la igualdad anterior debe cumplirse que f(x 1 ) = f(x 2 ). Por lo tanto la función f vale lo mismo en cualquiera que sea el punto el intervalo. Por tanto la función f es constante en el intervalo. Otra consecuencia de este teorema la usaremos continuamente en la unidad siguiente: dos funciones cuya derivada es la misma en un intervalo se diferencian en una constante. En efecto, si f y g son dos funciones que tienen la misma derivada en todo un intervalo, entonces la función f g tiene derivada nula en ese intervalo y como consecuencia del resultado anterior, f g es constante: f g = k. Matemáticas II Página 11 de 27

12 1.4. Estudio del crecimiento En el primer apartado de esta unidad hemos visto que las funciones crecientes y derivables se caracterizan por tener la derivada positiva o en todo caso nula, mientras que las funciones decrecientes tienen la derivada negativa o nula. Sería interesante disponer de alguna condición de fácil comprobación que nos permitiese asegurar si una función es creciente o decreciente. Los teoremas anteriores nos permiten establecer ese resultado: Sea f(x) un función derivable en un intervalo: Si f' (x) > 0 entonces la función es creciente en el intervalo. Si f' (x) < 0 entonces la función es decreciente en el intervalo Supongamos que f' (x) >0 en el intervalo y sean a y b dos puntos del intervalo tales que a < b. Como estamos en las condiciones de aplicar el teorema del valor medio de Lagrange podemos asegurar la existencia de un valor x entre a y b en el que: Como b a y f' (x) son positivos se debe cumplir que f(a) < f(b) y por tanto la función es creciente en el intervalo. Análogamente se probaría que las funciones que tienen derivada negativa en un intervalo son decrecientes. En los valores de la variable en los que la derivada es nula no podemos pronunciarnos sobre lo que ocurre. Pueden darse diversas circunstancias: Si la función es derivable en el valor x de la variable, en resumen tenemos que: 1. Si f' es negativa en un intervalo a la izquierda de x y f' es positiva en un intervalo a la derecha de x, entonces x es un mínimo local. 2. Si f' es positiva en un intervalo a la izquierda de x y f' es negativa en un intervalo a la derecha de x, entonces x es un máximo local. 3. Si f' tiene el mismo signo en un intervalo a la izquierda de x que en un intervalo a la derecha de x, entonces x no es ni mínimo ni máximo local. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Tiene algún extremo esta función? Matemáticas II Página 12 de 27

13 A veces, contactan con la empresa de Ángela y Andrés para que se encarguen del estudio de una parte de un proyecto más grande. Eso les ocurrió cuando se construyó la nueva terminal del aeropuerto de Barajas en Madrid: la T4. Fotografía tomada del Banco de Imágenes del ITE. Les pidieron que hicieran un estudio sobre el recorrido de las brisas creadas por los aires acondicionados en lo que iban a ser los techos de la terminal. Para ello tenían que estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función que, inicialmente, iban a seguir las volutas del techo. La función se acercaba a la de expresión: Halla los intervalos en los que crece y decrece. Observemos lo que ocurre si tenemos un punto singular, es decir un punto x=a en el que f' (a)=0. Si existe la derivada segunda tendremos que ésta se calculara mediante el límite: ya que f' (a)=0 Si suponemos que la derivada segunda es positiva, es decir f" (a)>0, entonces tendremos que: f' (a+h)<0 para un h<0 lo suficientemente pequeño y por tanto f(x) decrece antes de llegar a x=a. f' (a+h)>0 para un h>0 lo suficientemente pequeño y por tanto f(x) crece después de pasar por x=a. En consecuencia la función f(x) tiene un mínimo local e x=a. Análogamente si f" (a)<0 entonces enx=a hay un máximo local. Si la función f(x) tiene derivada nula en el punto x=a, f' (a)=0, y existe la segunda derivada en dicho punto se cumple: Si f"(a)<0 entonces la función tiene un máximo relativo en x=a. Si f"(a)>0, entonces en x=a la función alcanza un mínimo relativo. Como se puede observar seguimos dejándonos casos atrás ya que en lo anterior no se dice nada sobre qué ocurre si f" (a)=0. Además puede haber funciones que tengan extremos relativos y su derivada primera no se anule porque no exista la derivada de Matemáticas II Página 13 de 27

14 la función en ese punto. Por ejemplo, eso le ocurre a la función apreciar en la imagen. en los puntos en los que tiene mínimos relativos, tal como se puede Por ello lo más comodo, en general, es estudiar el signo de la primera derivada, en aquellos puntos en los que exista la función, y tener presente las consideraciones que hicimos antes sobre los cambios de signo en la derivada Hallas los extremos relativos de la función. En la función que estudiaron Ángela y Andrés en el apartado anterior,, interesa saber donde están los extremos relativos ya que suelen coincidir con lugares en los que se instalan luces ambientales. El máximo absoluto se consigue en el punto (, ). El mínimo absoluto corresponde al punto (, ). Matemáticas II Página 14 de 27

15 En el estudio del funcionamiento de una bomba inyectora se ha estudiado el grado de calentamiento que alcanza según el tiempo en que está funcionando, obteniendose la función siguiente: Queremos estudiar en qué momentos alcanzan extremos relativos. Foto obtenida del Banco de Imágenes del ITE. Matemáticas II Página 15 de 27

16 3. Curvatura Es corriente que en el lenguaje cotidiano se utilicen palabras que provienen de las matemáticas: salirse por la tangente, tener un denominador común, división de opiniones, el círculo de amistades, la mente cuadriculada, rectángulo de juego, etc. Una de las últimas referencias añadidas al lenguaje es el de punto de inflexión. Los políticos y los periodistas suelen utilizarlo alegremente en sus comentarios, como puedes observar en el siguiente vídeo. Tu conoces exactamente lo que es punto de inflexión? No te preocupes, ellos tampoco. En general es una palabra que está mal utilizada fuera del contexto matemático. En este tema vas a conocer exactamente qué es y como se calcula. Matemáticas II Página 16 de 27

17 3.1. Concavidad y convexidad Fuente propia Seguro que tienes la sensación de que a veces el tiempo pasa muy rápido y otras veces, sin embargo, los tiempos de espera se nos hacen eternos. Algún listo diría que el tiempo es relativo, pero es que el ser relativo es algo bastante corriente. Suele ocurrir que no siempre se crece o decrece con la misma intensidad. Por ejemplo, imagina que un programa de radio abre un apartado en Facebook para que los seguidores de ese programa se hagan amigos en dicha red social. Al principio el aumento de amigos será muy rápido, pero a medida que va pasando el tiempo el aumento cada vez será más lento. Esto pasa en muchas situaciones de la vida y, por supuesto, también en las funciones. En temas anteriores has trabajado con dos funciones concretas, la exponencial y la logarítmica. Observa en las gráficas siguientes el crecimiento de ambas funciones. En la exponencial al principio se aumenta lentamente hasta llegar al valor x=0 y después comienza a aumentar mucho más rápidamente. En la logarítmica es al revés. Hasta el punto x=1 aumenta muy rápidamente y después sigue aumentando pero cada vez de una forma más lenta. Eso es debido a que las dos funciones tienen distinta curvatura. La curvatura de una función estudia la forma en que esa función se curva y se mide por su relación con la tangente. Hay dos tipos de curvatura. Matemáticas II Página 17 de 27

18 Una función se dice que es cóncava en un punto si al trazar la tangente a la función en dicho punto, la función queda por debajo de la tangente en los alrededores de ese punto. Una función se dice que es convexa en un punto si al trazar la tangente a la función en dicho punto, la función queda por encima de la tangente en los alrededores de ese punto. Decimos que la función es cóncava (convexa) en un intervalo si lo es en cada uno de los puntos del mismo. Es posible dar una definición de la concavidad y convexidad de una función en un intervalo equivalente a la anterior pero que no usa las tangentes: Una función es convexa en un intervalo si, para cualquier pareja de puntos del intervalo, el segmento que los une queda por encima de la gráfica de la función en el intervalo. Una función es cóncava en un intervalo si, para cualquier pareja de puntos del intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la gráfica de la función en el intervalo. Las figuras siguientes ilustran lo que acabamos de decir: En el apartado 1 del tema hemos visto como el signo de la primera derivada nos informa sobre la monotonía de una función. Ahora veremos como la curvatura viene determinada por el signo de la segunda derivada. Mueve el punto x a lo largo del eje OX y observa la tangente de la función que aparece en la siguiente ventana. En concreto tienes que fijarte en los siguientes aspectos: el sentido de la vaciación de la pendiente de la tangente, elsigno de la derivada segunda. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Usa tus observaciones del applet anterior parar tratar de responder a las cuestiones que se hacen a continuación rellenando los espacios en blanco (Debes usar números, el texto +Inf para + o Inf por, las palabras creciendo, decreciendo, positiva o negativa): La función es cóncava en el intervalo (, ) y en (, ). En esos puntos: La pendiente de la tangente está. Por tanto la derivada de f' (x) debe ser. En consecuencia, en esos puntos la derivada segunda es. La función es convexa en el intervalo (, ) y en (, ). En esos puntos: Matemáticas II Página 18 de 27

19 La pendiente de la tangente está. Por tanto la derivada de f' (x) debe ser. En consecuencia, en esos puntos la derivada segunda es. Si tenemos una función que admite, al menos, hasta la segunda derivada en un punto x=a tenemos el siguiente resultado. Si, la función es convexa en el punto a. Si, la función es cóncava en x=a. Luego para estudiar los intervalos de concavidad y convexidad de una función, basta estudiar donde es positiva y negativa la segunda derivada. Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la función. En un invernadero se está realizando el estudio del crecimiento de un nuevo tipo de planta. Es interesante estudiar cuando crece más y cuando menos, por ello, los científicos quieren estudiar la curvatura de la función que han aproximado al crecimiento de la planta en las primeras semanas. Esa función viene dada por la expresión Ayúdales hallando los intervalos de concavidad y convexidad de esa función. Fotografía tomada del Banco de Imágenes del ITE. Segun el libro en el que se consulte la definición de función convexa y de función cóncava en un intervalo podemos encontrar resultados contradictorios. Lo que unos llaman una función convexa los otros la denominan cóncava y al revés. Para evitar estos problemas otros autores optan por hablar de: Una función con la concavidad hacia arriba si es lo que nosotros llamamos una función convexa, y Matemáticas II Página 19 de 27

20 Una función con la concavidad hacia abajo si es lo que hemos llamado una función cóncava. Matemáticas II Página 20 de 27

21 3.2. Puntos de inflexión Ahora queremos que te pongas en una situación concreta. Piensa que vas en un autobús urbano de una gran ciudad. Vas de pie agarrado a la barra de sujeción y, de pronto, el autobús comienza a girar en una esquina. No te ha ocurrido alguna vez que de pronto tu cuerpo parece que se inclina hacia un lado y en un preciso momento cambia y ahora parece que se inclina para el lado contrario? Si has tenido alguna vez esa sensación enhorabuena, acabas de pasar por un punto de inflexión. Un punto de inflexión es aquel en el que la función cambia de curvatura, es decir, en el que pasa de cóncava a convexa o viceversa. Si trazamos una tangente a la función en ese punto se puede apreciar que a un lado del punto la función queda por encima de la recta tangente y al otro lado por debajo. Como en el punto de inflexión la función pasa de cóncava (es decir, antes de llegar a el f" (a)<0) a convexa (después de el f" (a)>0), o viceversa, lo normal es que en ese punto la derivada segunda de la función se anule. Compruebalo en la siguiente ventana observando que pasa en los puntos x= 3, x=0 y x=2, que son puntos de inflexión de la función. Please install Java 1.4 (or later) to use this page. Si una función f(x) cumple en un valor de la variable x=a que f" (a)=0 y f"'(a) 0 entonces la función tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (a, f(a)). En el caso de que la derivada tercera se anule en x=a no podemos decidir sobre si el punto es o no de inflexión. Entonces para decidir hay que estudiar si hay un cambio de signo en la derivada segunda. Ademas, como el cálculo de la derivada tercera es complicado en general, lo usual es estudiar el signo de la segunda derivada antes y después del punto x=a. Si cambia su signo entonces es punto de inflexión. Matemáticas II Página 21 de 27

22 Determina los puntos de inflexión de la función En una compañía petrolifera están estudiando el número de miles de bidones de combustible que han servido en las cuatro primeras semanas del mes. Les interesa conocer si el aumento o disminución ha sido muy rápido o no y para ello quieren localizar los puntos de inflexión en ese reparto. Foto tomada del Banco de Imágenes del ITR. Después del estudio realizado han aproximado la entrega de combustible a la función siguiente: Los puntos de inflexión de esa función se obtienen en: (1, ), (, ) En todas las actividades que hemos realizado en el tema siempre nos han dado una función y hemos estudiado su monotonía y su curvatura. Pero a veces nos piden encontrar una función de la que conocemos algunas características. Observa el siguiente ejercicio resuelto. Encuentra una función polinómica de tercer grado sabiendo que tiene un punto de inflexión en el punto (1, 3) y alcanza un extremo local en el ( 1,13). Matemáticas II Página 22 de 27

23 4. Para saber más Sea la función definida por Estudia la derivabilidad de f. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). Sea la función definida por Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f. Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f. Sea la función definida por. 1. Estudia la continuidad y derivabilidad. 2. Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanza). Sea la función definida por. Calcula los valores a, b, c y d sabiendo que f verifica: El punto (0,1) es un punto de inflexión. f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x=1. La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2 tiene pendiente 1. Matemáticas II Página 23 de 27

24 Determina una función sabiendo que su derivada viene dada por y que el valor que alcanza f en su punto de máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo). Se sabe que la función definida por tiene extremos relativos en (0,0) y (2,2). Calcula a, b, c y d. Sea la función definida por, siendo ln la función logaritmo neperiano Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa. Sea la función definida por Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. Sea la función definida por. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta. Los valores pedidos son a = y b =. Matemáticas II Página 24 de 27

25 Para reforzar el aprendizaje de los conceptos y técnicas que has estudiado en este tema te proponemos los siguientes ejercicios: * Ejercicios de consolidación. * Solución a los ejercicios propuestos. Statua Kota - Gabon de Wikimedia Commons Matemáticas II Página 25 de 27

26 5. Especial Selectividad Vamos con la última parte del tema. Recuerda que lo que pretendemos aquí es mostrarte ejemplos de actividades que han aparecido en Selectividad, en particular en la Universidad de Zaragoza, pero puedes encontrar ejercicios similares aparecidos en otras universidades. Son ejercicios parecidos a los que los que van a aparecer en la tarea presencial o en la tarea del tema, por lo que te vendrá bien ver los procesos que se han empleado para resolverlos. Recuerda que vamos a utilizar las mismas operaciones y propiedades que tienes que utilizar en los ejercicios que si debes hacer. No debes olvidar, por otra parte, que en los enlaces siguientes puedes ver: * Los enunciados de las pruebas de la Universidad de Zaragoza. * Los exámenes resueltos en la página web de José Mª Sorando. Dada la función: Junio 1996 Hallar el valor de a para que tenga un extremo relativo (máximo o mínimo) cuando x = 2. Encontrar, en este caso, todos los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de inflexión. Dada la función: Se pide: Septiembre Hallar su dominio de definición. Hallar, si los tienes, sus extremos relativos. Hallar, si las tiene, las asíntotas horizontales de la curva. Hallar los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función: Junio 2001 corte al eje OY en el punto (0, 1), pase por el punto (2,3) y en este punto tenga tangente paralela al eje OX. Una vez hallados esos valores hallar los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la citada función. Matemáticas II Página 26 de 27

27 Se sabe que la función punto f tiene un extremo. corta a su función derivada en x=1 y que además en dicho Junio Determina los valores de a y b; Determina la naturaleza del extremo que f tiene en x = 1. Tiene f algún otro extremo? Calcular los extremos y los puntos de inflexión de la función: Junio 2005 en el intervalo [0, 2π]. Sea Estudiar su dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas. Calcular. Septiembre 2008 Matemáticas II Página 27 de 27