UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE MECANICA DE FLUIDOS

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1 Presión UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE MECANICA DE FLUIDOS Un fluido es un conjunto de moléculas que se ordenan aleatoriamente y se mantienen juntas a partir de fuerzas cohesivas débiles y fuerzas que ejercen las paredes de un contenedor. Tanto líquidos como gases son fluidos. Los fluidos no soportan esfuerzos cortantes o de tensión; debido a eso, el único esfuerzo que se puede ejercer sobre un objeto sumergido en un fluido estático es el que tiende a comprimir el objeto desde todos los lados. En otras palabras, la fuerza que ejerce el fluido estático sobre un objeto siempre es perpendicular a las superficies del objeto, como se muestra en la figura Figura 14.1 En cualquier punto sobre la superficie de un objeto sumergido, la fuerza que ejerce el fluido es perpendicular a la superficie del objeto. La fuerza que ejerce el fluido en las paredes del contenedor es perpendicular a las paredes en cualquier punto. 1

2 La presión en un fluido se mide con el dispositivo que se muestra en la figura El dispositivo consta de un cilindro al vacío que encierra un pistón ligero conectado a un resorte. Mientras el dispositivo está sumergido en un fluido, el fluido presiona arriba del pistón y comprime el resorte hasta que la fuerza hacia adentro que ejerce el fluido se equilibra con la fuerza hacia afuera que ejerce el resorte. Si el resorte se calibra antes es posible medir con exactitud la presión del fluido. Si F es la magnitud de la fuerza que se ejerce sobre el pistón y A es el área del pistón, la presión P del fluido en el nivel al que el dispositivo se sumergió se define como la relación de la fuerza al área: Figura 14.2 Un dispositivo simple para medir la presión que ejerce un fluido. La presión es una cantidad escalar porque es proporcional a la magnitud de la fuerza sobre el pistón. Si la presión varía sobre un área, la fuerza infinitesimal df sobre un elemento de superficie infinitesimal de área da es 2

3 donde P es la presión en la posición del área da. Para calcular la fuerza total que se ejerce sobre una superficie de un contenedor, se debe integrar la ecuación 14.2 sobre la superficie. Las unidades de presión son newtons por metro cuadrado en el sistema SI. Otro nombre para la unidad del SI de presión es pascal (Pa): Para una demostración táctil de la definición de presión, sostenga una tachuela entre sus dedos pulgar e índice, con la punta de la tachuela en el pulgar y la cabeza en el índice. Ahora presione suavemente. De inmediato el pulgar comenzará a sentir dolor, el índice no. La tachuela ejerce la misma fuerza sobre el pulgar y el índice, pero la presión sobre el pulgar es mucho mayor debido al área pequeña sobre la que se aplica la fuerza. 3

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6 Variación de la presión con la profundidad Como bien saben los buzos, la presión del agua aumenta con la profundidad. Del mismo modo, la presión atmosférica disminuye con la altura creciente; por esta razón, las aeronaves que vuelan a grandes alturas deben tener cabinas presurizadas para comodidad de los pasajeros. Ahora se demostrará cómo la presión en un líquido aumenta con la profundidad. Como describe la ecuación 1.1, la densidad de una sustancia se define como su masa por unidad de volumen; la tabla 14.1 menciona las densidades de diferentes sustancias. 6

7 Considere ahora un líquido de densidad ρ en reposo, como se muestra en la figura Se supone que ρ es uniforme en todo el líquido, esto significa que el líquido es incompresible. Seleccione una muestra del líquido contenido dentro de un cilindro imaginario de área de sección transversal A que se extiende desde la profundidad d a la profundidad d + h. El líquido externo a la muestra ejerce fuerzas en todos los puntos de la superficie de la muestra, perpendicular a la superficie. La presión que ejerce el líquido en la cara inferior de la muestra es P, y la presión en la cara superior es P0. Por lo tanto, la fuerza hacia arriba que ejerce el fluido exterior sobre el fondo del cilindro tiene una magnitud PA, y la fuerza descendente que se ejerce sobre la parte superior tiene magnitud P0A. La masa de líquido en el cilindro es M = ρv= ρah; en consecuencia, el peso del líquido en el cilindro es Mg = ρahg. Ya que el cilindro está en equilibrio, la fuerza neta que actúa sobre él debe ser cero. Al elegir hacia arriba como la dirección y positiva, se ve que Figura 14.3 Una parte de fluido (región más oscura) aislada en un volumen de fluido más grande. La fuerza neta que se ejerce sobre la parte de fluido debe ser cero porque está en equilibrio. 7

8 Es decir: la presión P a una profundidad h bajo un punto en el líquido donde la presión es P0 es mayor por una cantidad ρgh. Si el líquido se abre a la atmósfera y P0 es la presión en la superficie del líquido, en tal caso P0 es la presión atmosférica. Al hacer los cálculos y al trabajar los problemas al final del capítulo, por lo general la presión atmosférica se considera como La ecuación 14.4 implica que la presión es la misma en todos los puntos que tengan la misma profundidad, independientemente de la forma del contenedor. Ya que la presión en un fluido depende de la profundidad y del valor de P0, cualquier aumento en presión en la superficie debe transmitirse a todo otro punto en el fluido. Este concepto lo reconoció por primera vez el científico francés Blaise Pascal ( ) y se llama ley de Pascal: un cambio en la presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución a todos los puntos del fluido y a las paredes del contenedor. 8

9 Una aplicación importante de la ley de Pascal es la prensa hidráulica que se ilustra en la figura 14.4a. Una fuerza de magnitud F1 se aplica a un pequeño pistón de área superficial A1. La presión se transmite a través de un líquido incompresible a un pistón más grande de área superficial A2. Ya que la presión debe ser la misma en ambos lados, P = F1 / A1 = F2/A2. En consecuencia, la fuerza F2 es mayor que la fuerza F1 en un factor A2/A1. Al diseñar una prensa hidráulica con áreas apropiadas A1 y A2, se aplica una gran fuerza de salida mediante una pequeña fuerza de entrada. Los frenos hidráulicos, elevadores de automóviles, gatos hidráulicos y carretillas elevadoras utilizan este principio (figura 14.4b). Figura 14.4 a) Diagrama de una prensa hidráulica. Ya que el aumento en presión es el mismo en los dos lados, una pequeña fuerza F1 a la izquierda produce una fuerza mucho mayor F2 a la derecha. b) Un vehículo en reparación levantado mediante un elevador hidráulico en un taller. 9

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12 Mediciones de presión Un instrumento que se usa para medir la presión atmosférica es el barómetro común, inventado por Evangelista Torricelli ( ). Un tubo largo cerrado en un extremo se llena con mercurio y luego se invierte en un contenedor con mercurio (figura 14.6a). El extremo cerrado del tubo es casi un vacío, así que la presión en lo alto de la columna de mercurio se considera cero. En la figura 14.6a, la presión en el punto A, debida a la columna de mercurio, debe ser igual a la presión en el punto B, debido a la atmósfera. Si este no fuera el caso, habría una fuerza neta que movería al mercurio de un punto al otro hasta establecer equilibrio. Por lo tanto, P0 =ρhggh, donde ρhg es la densidad del mercurio y h es la altura de la columna de mercurio. Conforme la presión atmosférica varía, la altura de la columna de mercurio varía, así que la altura se puede calibrar para medir presión atmosférica. Determine la altura de una columna de mercurio para una atmósfera de presión, P0 = 1 atm : De acuerdo en tal cálculo, una atmósfera de presión se define como la presión equivalente de una columna de mercurio que tiene exactamente m de alto a 0 C. Figura 14.6 Dos dispositivos para medir la presión: a) un barómetro de mercurio y b) un manómetro de tubo abierto. 12

13 Un dispositivo para medir la presión de un gas contenido en un recipiente es el manómetro de tubo abierto que se ilustra en la figura 14.6b. Un extremo de un tubo con forma de U que contiene un líquido está abierto a la atmósfera, y el otro extremo está conectado a un sistema de presión desconocida P. En una situación de equilibrio, las presiones en los puntos A y B deben ser iguales (de otro modo, la porción curva del líquido experimentaría una fuerza neta y aceleraría), y la presión en A es la presión desconocida del gas. Por tanto, al igualar la presión desconocida P con la presión en el punto B, se ve que P = P0 + ρgh. La diferencia en presión P - P0 es igual a ρgh. La presión P se llama presión absoluta, y la diferencia P - P0 se llama presión manométrica. Por ejemplo, la presión que mide en la llanta de su bicicleta es presión manométrica. Pregunta rápida 14.3 Se construyen muchos barómetros comunes, con varios fluidos. Para cuál de los siguientes fluidos la columna de fluido en el barómetro será la más alta? a) mercurio, b) agua, c) alcohol etílico, d) benceno. 13

14 Fuerzas de flotación y principio de Arquímedes Alguna vez ha intentado empujar una pelota de playa hacia abajo del agua (figura 14.7a)? Es extremadamente difícil hacerlo debido a la gran fuerza hacia arriba que ejerce el agua sobre la pelota. La fuerza hacia arriba que un fluido ejerce sobre cualquier objeto sumergido se llama fuerza de flotación (boyante). Se puede determinar la magnitud de una fuerza de flotación al aplicar algo de lógica. Imagine una porción de agua del tamaño de una pelota de playa bajo la superficie del agua, como en la figura 14.7b. Ya que esta parte está en equilibrio, debe haber una fuerza hacia arriba que equilibre la fuerza gravitacional hacia abajo sobre la porción. Esta fuerza hacia arriba es la fuerza de flotación y su magnitud es igual al peso del agua en la porción. La fuerza de flotación es la fuerza que resulta sobre la porción debido a todas las fuerzas aplicadas por el fluido que rodean la porción. Figura 14.7 a) Un nadador empuja una pelota de playa bajo el agua. b) Las fuerzas sobre una porción de agua del tamaño de una pelota de playa. La fuerza de flotación B sobre una pelota de playa que sustituye esta porción es exactamente la misma que la fuerza de flotación sobre la porción. 14

15 Ahora imagine sustituir la porción de agua del tamaño de una pelota de playa con una pelota de playa del mismo tamaño. La fuerza neta aplicada por el fluido que rodea la pelota es la misma, sin importar si se aplica a una pelota de playa o a una porción de agua. En consecuencia, la magnitud de la fuerza de flotación sobre un objeto siempre es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. Este enunciado se conoce como principio de Arquímedes. Para comprender mejor el origen de la fuerza de flotación, considere un cubo sumergido en un líquido, como en la figura De acuerdo con la ecuación 14.4, la presión Pfondo en el fondo del cubo es mayor que la presión Psup en la parte superior por una cantidad ρfluidogh, donde h es la altura del cubo y ρfluido es la densidad del fluido. La presión en el fondo del cubo causa una fuerza hacia arriba igual a PfondoA, donde A es el área de la cara inferior. La presión en la parte superior del cubo causa una fuerza hacia abajo igual a PsupA. La resultante de estas dos fuerzas es la fuerza de flotación B con magnitud 15

16 donde V = Ah es el volumen del fluido desplazado por el cubo. Ya que el producto ρfluidov es igual a la masa de fluido desplazado por el objeto, donde Mg es el peso del fluido desplazado por el cubo. Este resultado es consistente con el enunciado anterior acerca del principio de Arquímedes, en función de la discusión de la pelota de playa. Antes de proceder con algunos ejemplos, es ilustrativo discutir dos situaciones comunes: un objeto totalmente sumergido y un objeto que flota (parcialmente sumergido). Caso 1: Objeto totalmente sumergido. Cuando un objeto está totalmente sumergido en un fluido de densidad ρfluido, la magnitud de la fuerza de flotación hacia arriba es B = gvρfluido = ρfluido gvobj, donde Vobj es el volumen del objeto. Si el objeto tiene una masa M y densidad ρobj, su peso es igual a Fg = Mg = ρobj gvobj y la fuerza neta sobre el objeto es B - Fg = (ρfluido - ρobj)gvobj. En consecuencia, si la densidad del objeto es menor que la densidad del fluido, la fuerza gravitacional hacia abajo es menor que la fuerza de flotación y el objeto sin apoyo acelera hacia arriba (figura 14.9a). Si la densidad del objeto es mayor que la densidad del fluido, la fuerza de flotación hacia arriba es menor que la fuerza gravitacional hacia abajo y el objeto sin apoyo se hunde (figura 14.9b). Si la densidad del objeto sumergido es igual a la densidad del fluido, la fuerza neta sobre el objeto es cero y el objeto permanece en equilibrio. Por lo tanto, la dirección de movimiento de un objeto sumergido en un fluido está determinada por las densidades del objeto y el fluido. 16

17 Caso 2: Objeto que flota. Ahora considere un objeto de volumen Vobj y densidad ρobj < ρfluido en equilibrio estático que flota en la superficie de un fluido, es decir, un objeto que sólo está parcialmente sumergido (figura 14.10). En este caso, la fuerza de flotación hacia arriba se equilibra mediante la fuerza gravitacional hacia abajo que actúa en el objeto. Si Vfluido es el volumen del fluido desplazado por el objeto (este volumen es el mismo que el volumen de dicha parte del objeto bajo la superficie del fluido), la fuerza de flotación tiene una magnitud B = ρfluido gvfluido. Ya que el peso del objeto es Fg = Mg = ρobj gvobj, y ya que Fg = B, se ve que ρfluido gvfluido = ρobj gvobj o Figura 14.9 a) Un objeto totalmente sumergido menos denso que el fluido en el que se sumerge experimenta una fuerza neta hacia arriba. b) Un objeto totalmente sumergido y que es más denso que el fluido experimenta una fuerza neta hacia abajo. Esta ecuación demuestra que la fracción del volumen de un objeto en flotación que está debajo de la superficie del fluido es igual a la relación de la densidad del objeto a la del fluido Figura Un objeto que flota sobre la superficie de un fluido experimenta dos fuerzas, la fuerza gravitacional Fg y la fuerza de flotación B. Puesto que el objeto flota en equilibrio, B = Fg. 17

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20 Dinámica de fluidos Hasta el momento, el estudio de los fluidos se restringió a fluidos en reposo. Ahora la atención se dirige a los fluidos en movimiento. Cuando el fluido está en movimiento, su flujo se caracteriza como uno de dos tipos principales. Se dice que el fluido es estable, o laminar, si cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme de tal modo que las trayectorias de diferentes partículas nunca se cruzan unas con otras, como se muestra en la figura En el flujo estable todas las partículas de fluido que llegan a un punto dado tienen la misma velocidad. Sobre cierta rapidez crítica, el flujo de fluido se vuelve turbulento. El flujo turbulento es flujo irregular que se caracteriza por pequeñas regiones con forma de remolino, comose muestra en la figura El término viscosidad se usa comúnmente en la descripción del flujo de fluido para caracterizar el grado de fricción interna en el fluido. Esta fricción interna, o fuerza viscosa, se asocia con la resistencia que tienen dos capas adyacentes de fluido para moverse una en relación con la otra. La viscosidad hace que parte de la energía cinética del fluido se convierta en energía interna. Este mecanismo es similar a aquel mediante el cual un objeto que se desliza sobre una superficie horizontal rugosa pierde energía cinética. 20

21 Figura Flujo laminar alrededor de un automóvil en un túnel de viento. Figura Los gases calientes de un cigarrillo se hacen visibles mediante partículas de humo. Primero el humo se mueve en flujo laminar en la parte baja y luego en flujo turbulento arriba. Ya que el movimiento de los fluidos reales es muy complejo y no se entiende por completo, en el enfoque de este libro se hacen algunas suposiciones simplificadoras. En este modelo de flujo de fluido ideal, se hacen las siguientes cuatro suposiciones: 1. El fluido no es viscoso. En un fluido no viscoso, se desprecia la fricción interna. Un objeto que se mueve a través del fluido experimenta fuerza no viscosa. 2. El flujo es estable. En flujo estable (laminar), todas las partículas que pasan a través de un punto tienen la misma velocidad. 21

22 3. El fluido es incompresible. La densidad de un fluido incompresible es constante. 4. El flujo es irrotacional. En flujo irrotacional el fluido no tiene cantidad de movimiento angular en torno a punto alguno. Si una pequeña rueda de paletas colocada en alguna parte en el fluido no gira en torno al centro de masa de la rueda, el flujo es irrotacional. La trayectoria que toma una partícula de fluido bajo flujo estable se llama línea de corriente. La velocidad de la partícula siempre es tangente a la línea de corriente, como se muestra en la figura Un conjunto de líneas de corriente como las que se muestran en la figura forman un tubo de flujo. Las partículas de fluido no pueden fluir hacia o desde los lados de este tubo; si pudieran, las líneas de corriente se cruzarían mutuamente. Figura Una partícula en flujo laminar sigue una línea de corriente y, en cada punto a lo largo de su trayectoria, la velocidad de la partícula es tangente a la línea de corriente. 22

23 Considere el flujo de fluido ideal a través de una tubería de tamaño no uniforme, como se ilustra en la figura Las partículas en el fluido se mueven a lo largo de líneas de corriente en flujo estable. En un intervalo de tiempo t, un elemento corto del fluido en el extremo inferior de la tubería se mueve una distancia x1 = v1 t. Si A1 es el área de sección transversal en esta región, la masa de fluido contenida en la región sombreada izquierda de la figura es m1 =ρa1 x1 = ρ A1v1 t, donde ρ es la densidad (invariable) del fluido ideal. De igual modo, el fluido que se mueve a través del extremo superior de la tubería en el intervalo de tiempo t tiene una masa m2 = ρa2v2 t. Sin embargo, ya que el fluido es incompresible y el flujo es estable, la masa de fluido que cruza A1 en un intervalo de tiempo t debe ser igual a la masa que cruza A2 en el mismo intervalo de tiempo. Esto es, m1 = m2 o ρ A1v1 = ρ A2v2, lo que significa Esta expresión se llama ecuación de continuidad para fluidos. Afirma que el producto del área y la rapidez del fluido en todos los puntos a lo largo de una tubería es constante para un fluido incompresible. La ecuación 14.7 muestra que la rapidez es alta donde el tubo es estrecho (A pequeña) y baja donde el tubo es ancho (A grande). El producto Av, que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo, se llama flujo volumétrico o relación de flujo. Figura Un fluido que se mueve con flujo estable de sección a través de una tubería de área transversal variable. El volumen de fluido que fluye a través del área A1 en un intervalo de tiempo t debe ser igual al volumen que fluye a través del área A2 en el mismo intervalo de tiempo. Por lo tanto, A1v1 = A2v2. 23

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26 Ecuación de Bernoulli A medida que un fluido se mueve a través de una región donde su rapidez o elevación sobre la superficie de la Tierra cambian, la presión en el fluido varía con dichos cambios. La correspondencia entre rapidez del fluido, presión y elevación la dedujo por primera vez, en 1738, el físico suizo Daniel Bernoulli. Considere el flujo de un segmento de un fluido ideal a través de una tubería no uniforme en un intervalo de tiempo t, como se ilustra en la figura Al principio del intervalo de tiempo, el segmento de fluido consiste en la porción sombreada azul (porción 1) a la izquierda y la porción sin sombrear. Durante el intervalo de tiempo, el extremo izquierdo del segmento se mueve hacia la derecha una distancia x1, que es la longitud de la porción sombreada azul a la izquierda. Mientras tanto, el extremo derecho del segmento se mueve hacia la derecha una distancia x2, que es la longitud de la porción sombreada azul (porción 2) arriba a la derecha en la figura Por lo tanto, al final del intervalo de tiempo, el segmento de fluido consiste en la porción no sombreada y la porción sombreada azul arriba a la derecha. Figura Un fluido en flujo laminar a través de una tubería que se estrecha. El volumen de la porción sombreada a la izquierda es igual al volumen de la porción sombreada a la derecha. 26

27 Ahora considere las fuerzas que se ejercen sobre este segmento por el fluido a la izquierda y a la derecha del segmento. La fuerza que ejerce el fluido sobre el extremo izquierdo tiene una magnitud P1A1. El trabajo invertido por esta fuerza sobre el segmento en un intervalo de tiempo t es W1 = F1 x1 = P1A1 x1 = P1V, donde V es el volumen de la porción 1. De forma similar, el trabajo invertido por el fluido a la derecha del segmento en el mismo intervalo de tiempo t es W2 = - P2A2 x2 = - P2V. (El volumen de la porción 1 es igual al volumen de la porción 2 porque el fluido es incompresible.) Este trabajo es negativo porque la fuerza sobre el segmento de fluido es a la izquierda y el desplazamiento es a la derecha. Por lo tanto, el trabajo neto invertido en el segmento por dichas fuerzas en el mismo intervalo t es Parte de este trabajo va a cambiar la energía cinética del segmento de fluido, y parte va a cambiar la energía potencial gravitacional del sistema segmento Tierra. Ya que se supone flujo en líneas de corriente, la energía cinética Kno somb de la porción no sombreada del segmento en la figura no cambia durante el intervalo de tiempo. En consecuencia, el cambio en la energía cinética del segmento de fluido es donde m es la masa de las porciones 1 y 2. (Ya que los volúmenes de ambas porciones son iguales, también tienen la misma masa.) Al considerar la energía potencial gravitacional del sistema segmento Tierra, una vez más no hay cambio durante el intervalo de tiempo para la energía potencial gravitacional Uno somb asociada con la porción no sombreada del fluido. En consecuencia, el cambio en energía potencial gravitacional es 27

28 A partir de la ecuación 8.2, el trabajo total invertido en el sistema por el fluido afuera del segmento es igual al cambio en energía mecánica del sistema: W = K + U. Al sustituir para cada uno de estos términos se obtiene Si divide cada término entre la porción de volumen V y recuerda que ρ = m/v, esta expresión se reduce a Al reordenar términos se obtiene que es la ecuación de Bernoulli como se aplica a un fluido ideal. Esta ecuación con frecuencia se expresa como La ecuación de Bernoulli muestra que la presión de un fluido disminuye conforme la rapidez del fluido aumenta. Además, la presión disminuye conforme aumenta la elevación. Este último punto explica por qué la presión del agua de los grifos en los pisos superiores de un edificio alto es débil a menos que se tomen medidas para proporcionar mayor presión para dichos pisos. 28

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