Colección de Problemas de Control Automático

Transcripción

1 Colección de Problemas de Control Automático 3 o Ingeniería Industrial F. Salas, T. Álamo, F. Cuesta, D. Limón y C. Vivas Depto. Ingeniería de Sistemas y Automática Universidad de Sevilla 1

2 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. ii

3 Parte I Diseño de controladores en el dominio frecuencial 1

4

5 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 3 Problema I.1 Cuestión 1 Parcial Dada la función de transferencia: Se pide: G(s) = 10 s(s + 1) 2 1. Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia. 2. Diseñar una red mixta de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase de 50 grados y un error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 2 por ciento. 3. Diseñar para el mismo sistema un controlador PD que tenga una ganancia tal que el error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 5 por ciento. Problema I.2 Cuestión 1 Final Para el sistema cuyo diagrama de bode aparece en la figura I.2.a: 1. Obtenga la función de transferencia G(s) del sistema. Justifique la respuesta. 2. Como puede apreciarse en el diagrama de bode del sistema, si éste fuese controlado con acción proporcional el sistema se haría críticamente estable para un valor de K = 10. Se pide: (a) Indicar sobre el bode original, el bode del sistema controlado K G(s) para K = 10. (b) Para el sistema del apartado 2a, diseñar una red de avance de fase tal que el sistema resultante tenga un margen de fase de 60 grados. 3. Diseñe un controlador PID para el sistema original utilizando alguno de los métodos de Ziegler-Nichols (ver tabla adjunta). Justifique la respuesta. K p T d T i 1.2T B.A. KL 2L 0.5L B.C. 0.6K cr 0.5P cr 0.125P cr

6 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 4 Figura I.2.a: Problema I.3 Cuestión 1 Sept Dado el sistema con función de transferencia: Se pide: G(s) = 1 s(s + 2)(s + 3) 1. Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia. 2. Calcular la ganancia de un controlador proporcional que garantice un error en régimen permanente frente a una entrada en rampa inferior al 6%. 3. Diseñar una red mixta tal que el error en régimen permanente frente a entrada en rampa sea inferior al 6% y el margen de fase sea superior a 50 o. Problema I.4 Cuestión 4 Parcial Dado el siguiente diagrama de bloques (Fig. I.4.a):

7 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 5 + K(s) + + Figura I.4.a: Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. Supóngase que el controlador viene dado por K(s) = 1 + τs 1 + ατs (4.1) donde τ = 10 y α = 0.1. Calcule el margen de fase del sistema compensado, así como el error en régimen permanente frente entrada rampa. Suponiendo que α = 0.1, seleccione el valor de τ de forma que el sistema compensado tenga el mayor margen de fase posible. Supóngase ahora que K(s) = K ( ) T i s (4.2) Calcúlese K y T i de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase de 30 grados. Problema I Cuestión 1 Final Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado: + K (s) + Figura I.5.a:

8 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guía: usar valores de 0 o y -90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Suponer que K(s) es un controlador PI. Diseñar éste de forma que el margen de ganancia del sistema compensado sea de 20 db. 3.- Suponer que K(s) es una red mixta. Diseñar ésta de forma que el sistema realimentado tenga un error en régimen permanente frente entrada escalón menor o igual del 1% y margen de fase de 30 grados. 4.- Suponer que K(s) es un controlador PID. Diseñar éste de forma que se parezca lo más posible a la red mixta diseñada en el punto anterior. 5.- Indique ventajas e inconvenientes del controlador PID del apartado 3 frente a la red del apartado 4. Problema I.6 Cuestión 1 Septiembre Dado el diagrama de bode de un sistema G 1 (s) (Fig: ) 1.- Se introduce una red de adelanto G a (s) = K a 1+τ a 1+α aτ as con α a = 0.2 y con su cero en 1/τ a = 20. Cómo se debe cambiar la ganancia K a para obtener una frecuencia de corte en ω c = 20rad/s? Explicar paso a paso el procedimiento que emplea para obtener su respuesta. Dibujar el sistema compensado en línea discontinua o en otro color utilizando la siguiente tabla como referencia para dibujar la fase. Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Calcular el tiempo de subida aproximado del sistema compensado en 1. Explique su respuesta. 3.- Añadida a la red de adelanto del apartado 1, se emplea otra red de retardo de fase 1+τ G r (s) = K r r 1+α para reajustar la ganancia al valor inicial (con G rτ rs 1(s)) de la constante de error de velocidad estática K v1 y conseguir igualmente ω c = 20rad/s. Cuáles son los valores requeridos de K r y α r? Explicar paso a paso el procedimiento que emplea para obtener su respuesta. Dibujar el sistema compensado e indicar en la figura los márgenes de fase y de ganancia.

9 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 7 Fase (grados) Magnitud (db) Frecuencia (rad/s) Figura I.6.a:

10 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 8 Problema I.7 Cuestión 1 Parcial Dado el sistema con función de transferencia: Se pide: G(s) = 1 s(s + 1) Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia. Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Se desea controlar el proceso de forma que el sistema controlado cumpla EXACTA- MENTE TODAS las siguientes especificaciones: Error en régimen permanente ante entrada escalón = 0 Error en régimen permanente ante entrada en rampa > 0 Margen de fase = 45 o Para ello se pide diseñar (si es posible) los siguientes controladores: (JUSTIFIQUE LA RESPUESTA) (a) Control PD (b) Control PI (c) Red de retardo de fase 3. Diseñar una red de avance de fase para que el sistema controlado cumpla las siguientes especificaciones: Error en régimen permanente ante entrada escalón = 0 Error en régimen permanente ante entrada en rampa > 0 Margen de fase 45 o ω c 1rad/s Problema I.8 Cuestión 1 Final Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:

11 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 9 + K(s) 1 (10s+ 1) ( s+ 1) Figura I.8.a: 1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guía: usar valores de 0 o y -90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Suponer que K(s) es una red de retardo. Diseñar ésta de forma el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 5% y el margen de fase de 35 grados. 3.- Suponer que K(s) es un PID. Diseñar éste de forma que el sistema realimentado tenga un error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 10% y margen de fase de 45 grados. Problema I.9 Cuestión 1 Septiembre Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado: ( s 1) K(s) s + 11s + 10s Figura I.9.a: 1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guía: usar valores de 0 o y -90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados)

12 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US Suponer que K(s) es un controlador proporcional. Se puede controlar el sistema de manera que el sistema resultante cumpla las especificaciones de error en régimen permanente ante entrada en rampa<10% y margen de fase 40 o? 3.- Además, con objeto de garantizar la rapidez del sistema se desea que la frecuencia de corte del sistema con 0dB sea superior a 20 rad/s. Diseñar una red de compensación que cumpla las 3 especificaciones. Problema I.10 + Cuestión 1 parcial Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado: + K(s) + Figura I.10.a: 1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guía: usar valores de 0 o y -90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Obtenga un controlador K(s) = K c (1 + T d s) de forma que el sistema compensado tenga ganancia 0 db en ω c = 5rad/s y margen de fase de 45 grados 3.- Diseñe una red de avance tal que ésta tenga una máxima aportación de fase de 50 grados y el margen de fase del sistema compensado sea de 45 grados. 4.- Obtenga una red de retardo de forma que el error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 20 por ciento y el margen de fase de 45 grados

13 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 11 Problema I.11 Cuestión 1 Final Dado el sistema con función de transferencia: Se pide: G(s) = K(s + 50) s(2s + 1)(s + 1) Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guía: usar valores de 0 o y -90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Para qué valor aproximado de K > 0 se hace el sistema en bucle cerrado críticamente estable? Sintonice los parámetros de un PID por las reglas de Ziegler-Nichols en bucle cerrado: K p = 0.6K cr, T i = 0.5P cr y T d = 0.125P cr. 3.- Es necesario controlar G(s) con un PID para conseguir que el sistema en bucle cerrado tenga error nulo en régimen permanente ante entrada en escalón? Justifique su respuesta 4.- Se podría controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0? Justifique con el diagrama de Bode si su respuesta es negativa, o diseñe un PD si su respuesta es positiva. 5.- Diseñe una red de retardo de fase con K = 1 para que el margen de fase sea mayor que 20 o. Problema I.12 Cuestión 1 parcial Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado: 1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guía: usar valores de 0 o y -90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados)

14 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US K(s) 10 (10s + 1)(0.1s + 1) Figura I.12.a: 2.- Suponer que K(s) es una red de red de avance. Diseñar, si es posible, ésta de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 1% y el margen de fase de 50 o. Justifique su respuesta. 3.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional derivativo. Diseñar, si es posible, éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 1% y el margen de fase de 45 o. Justifique su respuesta. 4.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional integral. Diseñar, si es posible, éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea inferior al 1% y el margen de ganancia de 30 db. Justifique su respuesta. Problema I.13 Cuestión 1 parcial Se desea controlar un sistema dinámico con un esquema de realimentación unitaria que se muestra en el siguiente diagrama de bloques en el cual, K(s) representa el controlador. Se desea que el sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante un escalón unitario con una sobreoscilación inferior al 20% y que alcance el valor 1 en régimen permanente. Se desea además que el error en régimen permanente cuando la entrada es una rampa sea inferior a 0.1. Figura I.13.a:

15 Control Automático, 3 o Ing. Industrial Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia así como la ganancia mínima que debe tener el controlador. 2.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guía: usar valores de 0 o y -90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Diseñar (si es posible) una red de avance que controle el sistema. 4.- Diseñe (si es posible) una red de retardo que controle el sistema. 5.- Diseñe (si es posible) una red mixta que controle el sistema. 6.- Trace (de forma aproximada) y compare las respuestas ante escalón unitario del sistema controlado con una red de retardo y una mixta, indicando salida en régimen permanente, sobreoscilación y tiempo de subida. Figura I.13.b: Problema I.14 Cuestión 1 final Se desea controlar la temperatura de salida de una caldera de vapor actuando sobre la válvula de regulación de combustible. Para que la caldera funcione aceptablemente se debe cumplir que para una temperatura deseada de 200 o C, la temperatura no supere 230 o C y en régimen permanente la temperatura sea superior a 198 o C. Para ello se modela dicho sistema obteniéndose la siguiente función de transferencia. G(s) = 1 (100s + 1)(10s + 1) Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia así como la ganancia mínima que debe tener el controlador.

16 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guía: usar valores de 0 o y -90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Diseñar (si es posible) una red de avance que controle el sistema. 4.- Diseñe (si es posible) una red de retardo que controle el sistema. 5.- Diseñe (si es posible) una red mixta que controle el sistema. 6.- Finalmente se decide implementar la red mixta diseñada en el apartado anterior y al probarla sobre el sistema se observa que el comportamiento de la caldera es aceptable, aunque se desea que fuese más rápido, es decir, con un menor tiempo de subida. Justifique razonadamente cómo ajustar el controlador para este fin. Problema I.15 Cuestión 1 Septiembre Se desea controlar un sistema del cual se conoce su diagrama de Bode, que se muestra en la figura I.15.a. El sistema en bucle cerrado debe cumplir que el error en posición sea nulo, en velocidad inferior a 0.01 y la sobreoscilación inferior al 20% (Margen de Fase superior a 45 o ).Se pide: 1.- Calcular (si es posible) una red de avance que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones. 2.- Calcular (si es posible) una red de retardo que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones. 3.- Calcular (si es posible) una red de mixta que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones. 4.- Estime los tiempos de subida de cada uno de los controladores anteriormente diseñados. 5.- Diseñe un controlador PID mediante el método de Ziegler-Nichols en bucle cerrado (Kc=0.6 Kcrit, Ti=0.5 Pcrit, Td=0.125 Pcrit ), siendo Kcrit la ganancia crítica y Pcrit el periodo crítico.

17 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 15 Figura I.15.a:

18 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 16 Problema I.16 Cuestión 1 parcial Se desea controlar un sistema dinámico con un esquema de realimentación unitaria, como se representa en la figura, donde K(s) representa el controlador. Se desea que el sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante escalón con una sobreoscilación inferior al 5%, un tiempo de subida inferior a 1s, y un error de seguimiento ante entrada en rampa inferior al 10%. + K(s) - s+0.1τ s(s+1) 2 (s+10τ) Figura I.16.a: 1. Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia, así como la ganancia mínima que debe tener el controlador. (Puede aproximar el tiempo de subida por la expresión t s π 2ω c ) Para τ = 1, Dibujar el diagrama de Bode del sistema sin compensar (con la ganancia mínima calculada en el apartado anterior), y calcule los márgenes de fase y ganancia del sistema. Como guía: usar valores de 0 o y 90 o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas, y la siguiente tabla para las intermedias (Tome valores simétricos para un cero). Frecuencia relativa al polo Separación del valor central (en grados) Para τ = 1, Podría diseñar una red de avance que compensase el sistema?, y un PD?, quizás un PI?. Razone las respuestas. 3. Para τ = 1, diseñe (si es posible), una red de retardo que controle el sistema. Si no pudiese diseñar una red de retardo para cumplir todas las especificaciones, relaje la restricción de sobreoscilación, y estime la sobreoscilación resultante para el sistema controlado. 4. Para τ = 1, diseñe (si es posible), una red mixta que controle el sistema. 5. Suponga ahora que τ puede tomar valores entre 0.1 y 1. Rediseñe la red mixta del apartado anterior para que el controlador verifique las restricciones para todo el rango de valores de τ. Nota: Observe que el sistema original, puede descomponerse como 1 s(s+1) 2 en cascada con una red de avance que depende de τ.

19 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 17 Problema I.17 Cuestión 3 final En una planta de producción de biocombustible se ha diseñado un control proporcional para controlar la concentración del producto de un reactor mediante la manipulación de la válvula de refrigerante. El sistema controlado no tiene un comportamiento adecuado y se ha decidido su mejora. Para ello, se ha procedido a la obtención de un diagrama de Bode experimental del sistema a controlar, obteniéndose la siguiente gráfica: 60 Bode Diagram Magnitud (db) Desfase (grados) Frequency (rad/sec) Figura I.17.a: Las condiciones deseables del sistema en bucle cerrado son un error en régimen permanente frente a entrada en escalón inferior al 1% y una sobreoscilación inferior al 20%. Responda y justifique las siguientes cuestiones: 1. El controlador P se había diseñado tomando K c = 1. Cumple el sistema realimentado las especificaciones impuestas? Para ello calcule el error que tendría el sistema realimentado en régimen permanente, la sobreoscilación y el tiempo de subida ante

20 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 18 una entrada en escalón. 2. Calcule las especificaciones en el dominio de la frecuencia. 3. Diseñe (si es posible) una red de avance de fase que controle el sistema. 4. Diseñe (si es posible) una red de retardo de fase que controle el sistema 5. Diseñe (si es posible) una red de mixta de fase que controle el sistema. En este caso, procure que el sistema realimentado sea lo más rápido posible. Problema I.18 Cuestión 2 septiembre En el denominado Control sin hilos de los aviones, el movimiento de los alerones se lleva a cabo por un sistema de posicionamiento hidráulico, uno de los cuales se muestra en la siguiente figura u(t) Figura I.18.a: en la cual se observa cómo un motor eléctrico impulsa una bomba que a su vez suministra la presión de alimentación de un pistón al cual se haya conectado el alerón. De esta forma, variando la tensión de alimentación del motor, por mediación de la señal u(t) de entrada del amplificador de potencia, se puede variar la posición del alerón. El modelo dinámico de éste sistema es 0.1 G(s) = s(s + 3)(s + 1) 2 siendo la entrada u(t) en voltios y la salida θ(t) grados. Se desea controlar el posicionamiento del alerón con un error en velocidad en régimen permanente que no supere 0.1 grados. Para ello se pide: 1.- Trazar el diagrama de Bode del sistema sin compensar.

21 Control Automático, 3 o Ing. Industrial Calcular una red de retardo de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un 20% de sobreoscilación y posea un margen de ganancia superior a 20 db. 3.- Diseñar un PID por las reglas de Ziegler Nichols en bucle cerrado. (K = 0.5K cr, T i = 0.5P cr, T d = 0.125P cr ). 4.- Diseñar una Red Mixta de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un 20% de sobreoscilación y el ancho de banda del sistema en bucle abierto sea superior a 1 rad/s.

22 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 20

23 Parte II Diseño de controladores usando el lugar de las raíces 21

24

25 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 23 Problema II.1 Cuestión 2 Parcial Dado el sistema con función de transferencia: Se pide: G(s) = 1 (s + 2)(s + 3)(s + 4) 1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las raíces cuando el control es proporcional con ganancia K negativa. 2.- Si al controlador del apartado anterior con K negativa se añade un polo en s = 1, cuál sería el valor de K para obtener un sistema en bucle cerrado con coeficiente de amortiguamiento δ = 0.6? 3.- Si se introduce en el controlador un cero adicional al polo en en el intervalo ( 1,0), se podría hacer el sistema estable para cualquier valor de K < 0? Dibujar el lugar de las raíces aproximado (sin calcular valores numéricos del lugar) para algún valor del cero propuesto con el fin de justificar la respuesta. 4.- Calcule el rango de valores de K > 0 válidos para obtener un sistema con coeficiente de amortiguamiento δ 0.6 y tiempo de subida t s 1.5 si el sistema sólo tuviese los polos en s = 2 y s = 3. Problema II.2 Cuestión 2 Parcial Dado el sistema a controlar: Se pide: G(s) = K(s + 8) (s + 1)(s + 3)(s + 10) 1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las raíces cuando el control es proporcional con ganancia K positiva. No hace falta calcular puntos de separación o ingreso. Para ellos aportar una solución cualitativa. 2.- Se puede despreciar el efecto del polo en s = 10, en el sistema original, para cualquier valor de K? Razone su respuesta.

26 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US Estudiar cualitativamente la variación de la sobreoscilación con K en el sistema original y en el sistema modificado eliminando el polo en s = 10. Dibujar el lugar de las raíces aproximado del sistema modificado (sin calcular valores numéricos del lugar) para justificar la respuesta. 4.- Si se modifica nuevamente el sistema, eliminando tanto el polo en s = 10 como el cero en s = 8, calcular el rango de K para que se cumplan las siguientes especificaciones de diseño: e rp (escalon) 20% δ 0.6 t s < 1s Problema II.3 Cuestión 2 septiembre Al sistema servomecanismo G(s) = 1 s(s+1) se le aplica un controlador consistente en un amplificador de ganancia K A > 0 y una realimentación de la señal de velocidad medida con un tacómetro de ganancia K T > 0 como se muestra en el diagrama de bloques de la figura. R(s) + E(s) + 1 K U(s) V(s) 1 P(s) A s + 1 s - - K T Figura II.3.a: 1.- Obtener el lugar de las raíces generalizado del sistema en bucle cerrado respecto a la variación de la ganancia K T si se fija K A = 4. Dibujar detalladamente el lugar con trazo grueso y puntas de flecha. 2.- Para qué valor de K T el sistema en bucle cerrado deja de tener sobreoscilación?. 3.- Si se elige K T = 5, qué rango de valores de K A consigue que el sistema no tenga sobreoscilación?

27 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 25 Problema II.4 Cuestión 2 Parcial Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = K(Xs 1)(s + 3) s 2 + 2s + 2 Se pide: 1.- Dibujar el lugar de las raíces y estudiar la estabilidad del sistema en función del parámetro X para K = 1. Suponiendo realimentación unitaria y negativa. 2.- Dibujar el lugar de las raíces y estudiar la estabilidad del sistema en función del parámetro K para X = 1. Suponiendo realimentación unitaria y negativa. 3.- Para el caso del apartado 2 (X = 1, K variable), dibujar cualitativamente cómo se modificaría el lugar de las raíces al introducir un polo doble en s = 2, sabiendo que no existen puntos de separación e ingreso. 4.- Para el caso del apartado 2, diseñar un controlador PI (si es posible) para que el error en régimen permanente ante una entrada en escalón sea nulo. Problema II.5 Cuestión 2 final Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = K(s + 1) s 2 + 2s + 2 Dibujar detalladamente el lugar de las raíces del sistema realimentado para cualquier valor de K (tanto positiva como negativa). Indicar también el rango de valores de K para los cuales el sistema es estable en bucle cerrado. 2.- Dado el sistema con dos ceros imaginarios puros: G(s) = K(s + pj)(s pj) s(s 2 + 1) Se pide representar el lugar de las raíces del sistema realimentado para K > 0, y para los casos p = 0.5, y p = 1.5. Indicar, en ambos casos, el rango de valores de K para los que el sistema es estable en bucle cerrado. (Nota: no existen puntos de separación ni ingreso).

28 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 26 Problema II.6 Cuestión 2 Septiembre Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = K(Ts + 1) (0.2s + 1)(0.5s + 1)(s + 1) Se pide: 1.- Suponga que T es igual a cero. Dibuje el lugar de las raíces (K > 0) y determine la estabilidad del sistema en función de K suponiendo realimentación unitaria y negativa. 2.- Determine el valor de T de forma que el lugar de las raíces (K > 0) pase por el punto j. Dibuje para dicho valor de T el lugar de las raíces (no es necesario calcular el punto de separación). Calcule el valor de K para que el sistema en bucle cerrado (realimentación unitaria y negativa) tenga un polo en j. Problema II.7 Cuestión 2 Parcial Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = 3 (s + 1)(s + 3) Se pide: 1.- Utilizar el lugar de las raíces para calcular un controlador proporcional que minimice el error en régimen permanente frente entrada escalón y garantice una sobreoscilación no superior al 20%. (Supóngase realimentación unitaria negativa). 2.- Supóngase que se quiere controlar el sistema a través de un controlador proporcional derivativo. Calcúlese la ganancia de éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 10%. Represente el lugar de las raíces generalizado en función del tiempo derivativo (T d ) (Asúmase valores tanto positivos como negativos para T d ). 3.- Dado el lugar de las raíces generalizado del apartado anterior determine para qué rango de valores de T d el sistema no sobreoscila. Calcule el valor de T d que hace que el sistema compensado tenga una sobreoscilación del 20%.

29 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 27 Problema II.8 Cuestión 2 final Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = K s((s + 4) ) Se pide: 1.- Calcule y dibuje con detalle el lugar de las raíces para todo valor de K. 2.- Se podría calcular un controlador PI que estabilizase el sistema para todo valor de K > 0? Razone su respuesta y dibuje los lugares que precise a mano alzada. 3.- Considere el PD G PD (s) = K(s+c). Encuentre el rango de valores de c que garantiza que el sistema compensado G(s)G PD (s) en bucle cerrado es estable para cualquier valor de K > 0. Problema II.9 Cuestión 2 Septiembre Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = K(s + 6) s 2 + 2s + a Se pide: 1.- Supóngase que a = 17. Para dicho valor de a, dibuje el lugar de las raíces (para valores positivos y negativos de K). 2.- b) Supóngase que el sistema representado por la función de transferencia G(s) se controla a través de un controlador proporcional de ganancia K = 0.1 (realimentación unitaria negativa). Utilizando el lugar de las raíces generalizado, determine si existe un rango de valores del parámetro a que garantice que la sobreoscilación del sistema se encuentre entre el 10% y el 20%.

30 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 28 Problema II.10 Cuestión 2 Parcial Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = K(s + 2)(s + 3) s(s + 1) Se pide: 1.- Dibuje el lugar geométricos de las raíces para K > 0. (a) Indique cómo es la sobreoscilación de la respuesta del sistema en bucle cerrado para todo el rango de K > 0. (b) Para qué valor de K > 0 es el error en régimen permanente ante entrada en escalón menor o igual que el 10%? Justifique su respuesta. (c) Dónde se podría añadir un polo real no positivo para que el sistema en bucle cerrado se volviera críticamente estable para algún valor de K > 0? Justifique su respuesta. 2. Dibuje el lugar geométricos de las raíces para K < 0. Podría estabilizarse el sistema para todo valor de K < 0 añadiendo algún controlador de los estudiados en este curso? Justifique su respuesta. Problema II.11 Cuestión 3 final Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = K(s + 50) s(2s + 1)(s + 1) 2 Se pide: 1.- Dibujar el lugar de las raíces para K > 0. No es necesario calcular puntos de separación ni de ingreso. 2.- Se podría controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0? Diseñe un PD si su respuesta es afirmativa, y tanto si es afirmativa como negativa dibuje un boceto del lugar de las raíces resultante.

31 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 29 Problema II.12 Cuestión 3 Septiembre Dado el sistema con función de transferencia: G(s) = K(Ts + 1)(s + 2) (s + 3)(s + 4) Se pide: 1.- Suponiendo que T = 1, dibujar el lugar de las raíces para K mayor o igual a cero. 2.- Suponiendo que T = 1, determinar el valor positivo de K que hace máxima la sobreoscilación del sistema en bucle cerrado. 3.- Determinar el valor de K y T de forma que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en j. Problema II.13 Cuestión 3 parcial Dado el siguiente sistema: Figura II.13.a: Se pide 1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las raíces en función de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa). 2.- Diseñar un controlador PD de forma que el sistema compensado tenga como frecuencia natural ω n = 5rd/s y coeficiente de amortiguamiento δ = 0.5 (considérese ganancia positiva). 3.- Compruebe cualitativamente que utilizando el lugar de las raíces que al controlar el sistema con un PI con cualquier T i > 0, el sistema es estable para algún valor de la ganancia positivo.

32 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 30 Problema II.14 Cuestión 4 final Dado el siguiente sistema: Figura II.14.a: Se pide: 1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las raíces en función de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa). 2.- Suponer que K(s)=5+(Ki/s). Dibujar el lugar de las raíces generalizado en función del parámetro Ki>0. (Nota: el lugar generalizado tiene un solo punto de separación, el cual no es necesario que se calcule con exactitud) 3.- Utilizando el lugar generalizado del apartado anterior, calcular el rango de valores positivos de Ki tales que el error en régimen permanente frente entrada rampa sea inferior al 10% y la sobreoscilación menor del 20%. Problema II.15 Cuestión 3 septiembre Dado el siguiente sistema: (1 + τs) 0.1 G(s) = K (1 + ατs) (s + 3)(s + 4) Se solicita: 1.- Suponiendo que α = 0.1 y τ = 2 dibujar el lugar de las raíces para valores positivos y negativos de K. 2.- Dibuje el lugar de las raíces generalizado respecto al parámetro 1/τ suponiendo que K = 10 y α = 0.1.

33 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 31 Problema II.16 Cuestión 3 parcial Se desea controlar la concentración (y) de un reactor actuando sobre la válvula de reactivo (u). Para ello se modela el comportamiento dinámico del sistema obteniéndose la siguiente función de transferencia G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s s + 13) El sistema se debe controlar de forma que el error en régimen permanente ante una referencia constante sea inferior al 1% y que la dinámica en bucle cerrado se aproxime a la de un sistema de segundo orden con δ = 0.5 y ω n = 2 rad/s. 1.- Trazar el lugar de las raíces del sistema. Nota: los posibles puntos de separación e ingreso son 1.44, 2.65 ± 1.34j 2.- Justifique si es posible controlar el sistema con un controlador P. 3.- Para controlar este sistema se ha elegido un controlador PID que responde a la siguiente función de transferencia C(s) = K 1 + T i s + T i T d s 2 s T i (α T d s + 1) Diseñar el controlador mediante el lugar de las raíces y determinar el valor de los parámetros T i, T d, K y α.( Asumir que los ceros del PID son reales.) Problema II.17 Cuestión 1 final Dado el sistema: r + - K ( s + 1)( s + 2) y a a + s Figura II.17.a: Se solicita:

34 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 32 a) Determinar el valor de K > 0 y a > 0 para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en j. b) Suponga que K = 1. Dibuje el lugar de las raíces generalizado en función del parámetro a > 0. (No es necesario calcular con precisión los puntos de separación e ingreso). Problema II.18 Cuestión 3 septiembre Dado el sistema representado por el siguiente diagrama de bloques + K(s) - 1 (s+1)(s+2)(s+4) Figura II.18.a: 1.- Suponga que K(s) = Kc τ s+1 ; obtenga utilizando el lugar de las raíces el valor de K c y τ para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s 0 = 1 + j. Trace, de forma aproximada, el lugar de las raíces resultante. 2.- Suponga que K(s) = Kc s+b ; obtenga utilizando el lugar de las raíces el valor de K c, τ, a y b para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s 0 = 1 + j y el error en régimen permanente frente entrada a escalón sea inferior al 10%. τ s+1 s+a

35 Parte III Automatismos 33

36

37 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 35 Problema III.1 Cuestión 4 Parcial Se desea controlar de forma automática el acceso a un banco mediante un sistema de dos puertas (ver figura III.1.a). El funcionamiento del mismo es el siguiente: Figura III.1.a: PROCESO DE ENTRADA AL BANCO Cuando una persona entra en la zona intermedia se cierra la puerta exterior y se comprueba si lleva algún objeto de metal. En ese caso, se activará una alarma (AL) y se abrirá la puerta exterior para que la persona salga (la alarma se desactivará una vez que la persona haya salido). En caso contrario (no metal), se abrirá la puerta interior y cuando la persona se encuentre dentro del banco se cerrará la puerta interior y se abrirá la exterior. PROCESO DE SALIDA DEL BANCO Cuando una persona desee salir deberá pulsar y soltar el botón (P). Una vez pulsado, se cerrará la puerta exterior, se abrirá la interior y la persona pasará a la zona intermedia. Una vez allí, se cerrará la puerta interior y se abrirá la exterior para que pueda abandonar el recinto. SE PIDE Diseñar una red de petri que permita controlar el sistema. NOTAS IMPORTANTES La puerta exterior se encuentra inicialmente abierta y la interior cerrada. Una persona no podrá acceder a la zona intermedia mientras esta esté ocupadada.

38 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 36 En cada puerta se dispone de un sensor (SE en la puerta exterior y SI en la puerta interior) que permite detectar el paso de una persona mediante una activación y desactivación consecutivas. La detección de metales se realiza mediante el sensor SM (SM=1 - metal detectado). Las señales PE (puerta exterior) y PI (puerta interior) permiten abrir y cerrar las puertas (1 abrir, 0 cerrar). Sólo puede pasar una persona a la vez. Problema III.2 Cuestión 4 final Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello se dispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores (SS y SB) que indican respectivamente cuando el toldo está completamente subido o bajado y de un pulsador (P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo. El funcionamiento que se desea es el siguiente: Suponemos el toldo inicialmente subido. Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final o hasta que se vuelva a pulsar P, momento en el que debe pararse el toldo. Si una vez parado se vuelve a pulsar P, el toldo deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a la posición superior o se pulse nuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. En resumen, el pulsador P para el toldo y cambia el sentido de movimiento. Se pide: Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB). Problema III.3 Cuestión 5 final Se desea controlar de forma automática el funcionamiento de un semáforo de peatones que dispone de un botón (P) para que los peatones soliciten cruzar. El esquema de funcionamiento es el siguiente:

39 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 37 El semáforo cambia de rojo (R) a verde (V), y de verde a rojo cada minuto. Si el semáforo está en rojo y el peatón pulsa el botón de solicitud de cruce, el semáforo debe cambiar a verde, teniendo en cuenta lo siguiente: si el semáforo lleva más de 30 segundos en rojo, el cambio se realizará de forma inmediata, pero si lleva menos de 30 segundos deberá esperar otros 30 segundos para realizar el cambio. Se pide: Diseñar una red de petri que permita controlar el proceso. NOTAS: El semáforo estará inicialmente en rojo. El peatón sólo puede cruzar cuando el semáforo está en verde. Se dispone de un único temporizador de 30 segundos. No es necesario soltar el botón P para que se realice la conmutación Problema III.4 Cuestión 4 septiembre Se desea automatizar el elevalunas eléctrico de un coche. Para ello se dispone de un motor para subir y bajar la ventanilla, de dos sensores (VS y VB) que indican respectivamente cuando la ventanilla está completamente subida o bajada y de un pulsador (P) que va a servir para controlar la subida y bajada de la ventanilla. El funcionamiento que se desea es el siguiente: Suponemos la ventanilla inicialmente subida. Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final o hasta que se suelte P, momento en el que debe pararse la ventanilla. Si una vez parada se vuelve a pulsar P, la ventanilla deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a la posición superior o se suelte nuevamente P, casos en los que debe pararse. En resumen, el pulsador P para la ventanilla y cambia el sentido de movimiento. Se pide: Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).

40 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 38 Problema III.5 Cuestión 5 septiembre Se desea controlar de forma automática la entrada y salida de productos en un almacén, utilizando cintas transportadoras y un robot (para desplazar los productos de una cinta a otra), como se muestra en la figura III.5.a. Figura III.5.a: El número máximo de piezas que puede haber en el almacén es de 100. Asimismo es necesario controlar que el almacén esté vacío o que esté lleno. El funcionamiento del almacén es como sigue: Cuando se desea almacenar una pieza, el operario la coloca sobre la cinta de entrada y pulsa el botón de entrada (PE). En ese momento la pieza debe ser transportada sobre la cinta (CE) hasta llegar al final de la misma (SE). Si el almacén está lleno, la pieza permanecerá en dicha posición hasta que se saque alguna pieza del mismo. Cuando haya sitio, el robot deberá recogerla y depositarla en la cinta auxiliar 2. Para ello, será necesario activar la señal RE, de modo que el robot se acerque a la posición de entrada, y esperar 30 segundos para que el robot complete el movimiento. Del mismo modo, cuando se desee sacar una pieza se pulsará el botón de salida (PS). Si no hay piezas, la petición será ignorada. En caso contrario la pieza se desplazará sobre la cinta de salida hasta la posición SS y esperará allí para ser trasladada por el robot a la cinta auxiliar 1. Para dicho traslado será necesario activar la señal RS y esperar 30 segundos para completar el movimiento. Se pide: Diseñar una red de petri que permita controlar el proceso. NOTAS IMPORTANTES:

41 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 39 Se dispone de un contador de 100 piezas con dos entradas (IC, DC, para incrementar/decrementar el contador) y dos salidas (C100, C0, que valen 1 cuando el contador vale 100 y 0, respectivamente). Es necesario incrementar/decrementar el contador cuando se finalice el proceso de entrada/salida de piezas. La cinta de entrada se pone en marcha/paro con la señal (CE), y la de salida con (CS). Las cintas auxiliares están siempre en funcionamiento. Se dispone de un temporizador de 30 segundos. El robot sólo puede atender una petición a la vez, por lo que no se deben activar simultáneamente las señales RE y RS. Se dará prioridad a la salida de piezas frente a la llegada. Problema III.6 Cuestión 2 parcial Para describir el comportamiento de un sistema de gestión de alarma ante intruso en una habitación se utilizó la matriz de fase de la figura III.6.a, donde M activa el sistema de alarma (si M pasa a 0 no se desactiva), P lo desactiva, D es un detector de movimiento dentro de la habitación, S es un indicador de sistema de alarma activo o no y A es la señal que enciende el altavoz de alarma (que ha de sonar cuando se active D) o lo apaga M S P AUTÓMATA GESTOR SISTEMA DE ALARMA + - D A DETECTOR DE MOVIMIENTO Figura III.6.a: a) Descubra 4 errores en la matriz de la figura III.6.b indicando la solución correcta. b) Rellene los huecos libres.

42 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 40 Notas: M y P no se pulsa uno mientras se suelta el otro (01 10) ni se pulsan a la vez (00 11). D puede cambiar a la vez que se pulsa M ó P ( ó ) y en estos casos las salidas S y A corresponden a las funciones de M ó P. MPD MPD MPD MPD MPD MPD S A Figura III.6.b: Problema III.7 Cuestión 2 parcial Se desea diseñar una Red de Petri (RdP) que modele el funcionamiento del limpiaparabrisas de un coche (figura III.7.a) mediante una palanca de 4 posiciones: parado, sin paradas (Posición 0=P), paradas de 5 seg. (Posición 1=P1) y paradas de 10 seg. (Posición 2=P2). El sistema posee dos contactos de fin de carrera que indican la posición final de medio ciclo B y de ciclo completo A. PALANCA Parad o P=Posición 0 P1=Posición 1 P2=Posición 2 Figura III.7.a: Se pide completar la RdP de la figura III.7.b, desde donde se ha dejado, sin posibilidad de añadir en más lugares las señales de motor derecha (MD) y motor izquierda (MI).

43 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 41 Figura III.7.b: Problema III.8 Cuestión 5 final Un sistema de gestión de alarma anti-intruso funciona con las siguientes señales: MI: Activa (MI=1) el sistema anti-intruso. PI: Desactiva (PI=1) el sistema anti-intruso. SI: Enciende una luz piloto indicando si el sistema anti-intruso está activado (SI=1) o no (SI=0). DI: Sensor de detección del movimiento (DI=1) dentro de la habitación. El sensor funciona independientemente de que el sistema anti-intruso esté activado o no. A: Hace sonar (A=1) o apaga (A=0) el altavoz de alarma. El funcionamiento del sistema es el siguiente: el altavoz sonará cuando se detecte movimiento y el sistema anti-intruso esté activo, y no dejará de sonar hasta que se pulse PI. (NOTA: MI y PI nunca están pulsados a la vez). Se pide: a) Dibujar una red de Petri que describa el comportamiento del sistema.

44 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 42 b) Utilizando el sensor de movimiento DI, se desea que la luz L de la habitación se encienda automáticamente (L=1) siempre que se detecte movimiento en dicha habitación. La luz se mantendrá encendida durante 5 minutos excepto en el caso en el que el sistema anti-intrusos estuviera haciendo sonar el altavoz, caso en el que deberá permanecer encendida hasta que se desactive el sistema anti-intrusos (es decir, que se pulse PI). Vuelva a dibujar su red de a) y complétela para realizar dicha tarea teniendo en cuenta lo siguiente: Una vez encendida la luz de la habitación, NO se podrá activar el sistema de detección de intrusos hasta que la luz se haya apagado. Se dispone de un temporizador de 5 minutos (AT, FT). c) Volviendo al caso del apartado a) (sin control de la luz de la habitación), se instala adicionalmente un sistema de detección de incendios que comparte el altavoz A con el de anti-intrusos. El sistema de detección de incendios maneja señales con funcionalidades análogas a las del sistema anti-intruso, a saber, MF, PF, SF, DF (para activar, desactivar, indicar funcionamiento del sistema y detectar fuego), con las que controla el altavoz A de forma similar al detector de intrusos. Además, dispone de una luz indicadora de fuego F que debe ser activada (F=1) cuando se detecte un fuego, y cuya misión es distinguir desde el exterior si el altavoz suena por un incendio o por un intruso. Vuelva a dibujar su red del apartado a) y complétela para realizar dicha función teniendo en cuenta lo siguiente: Si cuando está sonando la alarma por intruso se detecta fuego, NO se activará el indicador F. La prioridad en el uso del altavoz la tendrá el sistema ante incendio. Problema III.9 Cuestión 4 septiembre El cuadro de relación entre estados de la figura III.9.a rige el funcionamiento del código de seguridad del autorradio de un automóvil. Dicho autorradio dispone de dos pulsadores (A y B) que deben ser accionados en la secuencia descrita en dicha matriz para ponerlo en funcionamiento. Se pide: 1.- Describir el funcionamiento de dicho código de seguridad (3 líneas máximo). 2.- Minimizar la matriz de fases a través de la tabla de inferencia analizando la compatibilidad de estados de modo que se reduzca al mínimo número de estados. Es necesario que se describa dicho análisis de compatibilidad de forma explícita. No debe limitarse a poner el resultado, caso éste en el que no tendría validez.

45 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 43 Q Salida A B 3.- Realizar una Red de Petri que controle el funcionamiento del sistema. Q Q Q Q (S) Figura III.9.a: Problema III.10 Cuestión 5 septiembre Se desea automatizar los accesos y salidas de un aparcamiento con dos entradas y una salida y con un aforo máximo de 100 vehículos. Barrera 1 Barrera 2 Entrada 1 Entrada 2 PE1 PE2 SE1 SE2 SF SF SABEi MABEi PS GARAJE Barrera i SBBEi MBBEi SSS Salida Figura III.10.a: El esquema del sistema a automatizar es el que se muestra en la figura y que se describe a continuación:

46 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 44 Para controlar el número de coches se dispone de un contador que tiene dos señales de entrada (IC) para incrementar el contador y (DC) para decrementarlo y una de salida (C100) para indicar que se han contado 100 coches (C100=1). El sistema consta de 2 entradas cada una con una barrera que funciona de la misma forma: Se dispone de un motor que levanta la barrera (MABEi) y que la baja (MBBEi), y de dos sensores, uno de barrera totalmente levantada (SABEi) y otro de barrera bajada (SBBEi). Además existe un pulsador (PEi) que se usa para que se levante la barrera, y un sensor que indica cuando ha pasado el coche en su totalidad (SEi). El proceso de entrada será el siguiente: Al llegar un vehículo, el conductor deberá pulsar el pulsador (PEi), una vez pulsado se levantará la barrera que permanecerá levantada hasta que el coche haya entrado en el garaje, en ese momento el contador debe incrementarse en una unidad y bajar la barrera. El autómata debe controlar también que no entren dos coches al mismo tiempo por ambas puertas. La salida se hará a través de una única barrera que consta de un motor que la levanta (MABS) y que la baja (MBBS), y de dos sensores, uno de barrera totalmente levantada (SABS) y otro de barrera bajada (SBBS). Además existe un pulsador (PS) que se usa para que se levante la barrera, y un sensor que indica cuando ha pasado el coche en su totalidad (SS). El proceso de salida será el siguiente: Al llegar un vehículo, el conductor deberá pulsar el pulsador (PS), una vez pulsado se levantará la barrera que permanecerá levantada hasta que el coche haya salido del garaje, en ese momento el contador debe decrementarse en una unidad y bajar la barrera. En el caso de que el garaje esté completo deberá encenderse un semáforo (SF) y no se podrá entrar en el garaje por ninguna puerta hasta que haya plazas libres. SE PIDE REALIZAR LA RED DE PETRI CORRESPONDIENTE A LA AUTOM- ATIZACIÓN DEL SISTEMA Problema III.11 Cuestión 4 parcial Se desea realizar un automatismo para controlar el nivel de un depósito alimentado por una tubería de entrada cuyo flujo se controla por una válvula de control de nivel (FCV). Para ello se dispone de dos sensores S1 y S2 colocados como se muestra en la figura III.11.a. El comportamiento deseado es el siguiente: En caso de que el nivel esté por debajo de los dos sensores debe abrirse la válvula de control de nivel (FCV=1), si partiendo de este

47 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 45 funcionamiento el nivel sube por encima de S1 la válvula debe seguir abierta, y si supera S2 debe cerrarse. Si por el contrario, sin llegar al nivel S2, vuelve a bajar por debajo de S1 debe permanecer abierta. Si partiendo de un nivel superior a S2 (válvula cerrada) el nivel disminuye por debajo de S2 la válvula debe permanecer cerrada y si disminuye por debajo de S1 debe abrirse. Si por el contrario, sin llegar al nivel S1, vuelve a subir por encima de S2 debe permanecer cerrada. En resumen el sistema debe comportarse con una característica de histéresis. Se pide: Realizar la matriz de fases que modele el comportamiento deseado del sistema, reducir dicha matriz eliminando los estados compatibles y realizar el diagrama de contactos del automatismo necesario para controlar el sistema. Nota: Suponer que el nivel del depósito es inicialmente inferior a S1. Los sensores S1 y S2 se activan (S1=1, S2=1) si están cubiertos de agua y se desactivan si no lo están. FCV S1 S2 Figura III.11.a: Problema III.12 Cuestión 5 parcial Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello se dispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores (SS y SB) que indican respectivamente cuando el toldo está completamente subido o bajado y de un pulsador (P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo.

48 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 46 El funcionamiento que se desea es el siguiente: Suponemos el toldo inicialmente subido. Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final (permanezca P pulsado o no) o hasta que se vuelva a pulsar P, momento en el que debe pararse el toldo. Si una vez parado se vuelve a pulsar P, el toldo deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a la posición superior (permanezca P pulsado o no) o se pulse nuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. En resumen, el pulsador P para el toldo y cambia el sentido de movimiento. Se pide: Diseñar la red de Petri que controle el comportamiento del sistema, suponiendo que el motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB). NOTA: Una vez pulsado el botón P en cualquiera de los casos este podrá ser soltado o permanecer pulsado, debiendo tener el mismo comportamiento en ambos casos. Problema III.13 Cuestión 4 final Con vistas a mejorar la calidad de las tostadas de la cafetería se propone instalar una tostadora automática, de modo que mediante un conjunto de interruptores situados en su frontal (H, A, M, T, Y, S, P, PT) es posible seleccionar cómo de hecha se quiere la tostada, el acompañamiento y un complemento. En concreto: Debe ser posible elegir entre tostadas poco hechas (30 segundos) (H=0) o normales (1 minuto) (H=1). La tostada puede ir acompañada de aceite (A=1) o mantequilla (M=1) o nada. Como complemento se puede incluir tomate (T=1), jamón york (Y=1), jamón serrano (S=1) o nada. IMPORTANTE: sólo se puede seleccionar un complemento. Para utilizarla, el camarero deberá 1 o ) situar el pan en la tostadora; 2 o ) seleccionar poco hecha o normal con el botón H; 3 o ) pulsar los botones correspondientes para seleccionar el acompañamiento (A ó M o ninguno); 4 o ) pulsar los complementos (T, Y, S o nada) y 5 o ) pulsar el interruptor de puesta en marcha P, momento en el que comienza a prepararse la tostada de forma automática con las opciones elegidas. Una vez lista la tostada se activará una campana (C=1) indicando que está preparada. La campana estará activa hasta que el camarero desconecte el interruptor P.

49 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 47 Además: Para que el pan se tueste, el sistema de control debe mantener activa una señal llamada TOSTAR que enciende los filamentos de la tostadora. La tostadora dispone de unos mecanismos para aplicar de forma automática las porciones de aceite, mantequilla, etc. Para aplicar los distintos elementos el sistema de control debe activar y desactivar de forma consecutiva la señal de control correspondiente (AA: Aplicar aceite, AM: Aplicar mantequilla, AT: Aplicar tomate, AY: Aplicar york, AS: Aplicar serrano). (Ej: haciendo consecutivamente AM=1, AM=0 el sistema deposita una porción de mantequilla sobre la tostada). El complemento (tomate, york o serrano) se aplicará SIEMPRE acompañamiento básico (aceite,). DESPUÉS del Se dispone de un temporizador de 30 segundos (AT1: Activar temporizador, FT1: fin de temporización). Asimismo, para evitar un posible tostado excesivo, existe un pulsador PT que permite detener el proceso de tostado en cualquier instante, pasando el sistema a aplicar el acompañamiento y complemento. Este pulsador sólo detiene el tostado no el proceso de preparación. Se pide: a) Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el proceso. b) Realizar una red de petri que controle el sistema. Problema III.14 Cuestión 4 septiembre a) Se desea automatizar un elevador en un centro comercial. Dibuje una red de Petri que describa el comportamiento del autómata que proporcione dos señales al motor del elevador y una a la puerta del elevador: S para SUBIR elevador B para BAJAR elevador PA deberá estar a 1 para mantener la puerta abierta a partir de las entradas

50 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 48 de LLAMADA desde cada planta del centro comercial A: LA1, LA2 y LA3 desde tres pulsadores en el ELEVADOR: E1, E2 y E3 desde los SENSORES de planta: S1, S2 y S3 que están a 1 cuando el elevador esté en cada planta. Cuando el elevador se para en una planta la puerta PA se abre durante 10 s y se cierra. Sólo en ese momento queda disponible para ser llamado desde el elevador o desde la planta. También se abre la puerta durante 10 s cuando se le indica ir a la planta en la que está. En las plantas 2 y 3, si el elevador no es llamado desde otra planta durante el siguiente minuto en que está la puerta cerrada, bajará a la planta primera y esperará allí. Considérese inicialmente el elevador en la planta 1 con la puerta cerrada. Se dispone de un temporizador de 1 minuto de entrada AT1 (activación de temporizador) y salida FT1 (fin de temporización), y de otro de 10 s (AT10, FT10). CENTRO COMERCIAL A LA3 S3 CALLE LA2 S2 GARAJE B LA1 S1 E1 E2 E2 LB1 PA S B PB AT10 TEMP 10 s FT10 AT1 TEMP 1 min FT1 AT30 TEMP 30 s FT30 Figura III.14.a: b) El elevador es compartido con los clientes para subir del garaje B adosado en la primera planta. Para ello dispone de una PUERTA al garaje (PB a 1 cuando puerta abierta. Diseñe la red que gestiona el elevador desde el garaje según lo siguiente: Cuando el elevador se para en la planta primera la puerta PB permanece cerrada hasta que es llamado con el pulsador de planta LB1. En ese caso se abre PB durante 30 sg (para ello se dispone de un temporizador de señales AT30 y FT30) y tras cerrarse sube hacia la tercera planta, abre durante otros 30 sg, cierra y vuelve a bajar. Cuando un cliente del garaje utiliza el elevador la puerta PA permanece cerrada en dichas plantas. Considere al comienzo el elevador en la primera planta. Indique en la red que acaba de dibujar cómo se comparte el elevador con el centro comercial, marcando las transiciones de a) que necesite con etiquetas de la forma

51 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 49 TRANS-1, TRANS-2,... (y los lugares con etiquetas LUG-1, LUG-2, etc) y referenciándolas desde la red b). Problema III.15 Cuestión 4 parcial Dado el automatismo definido por la siguiente matriz de fases: Figura III.15.a: Se pide: a) Simplificar dicha matriz al número mínimo de estados. b) Obtener la función lógica mínima correspondiente a la salida del sistema (función de lectura). Problema III.16 Cuestión 4 parcial Se desea controlar el proceso de entrada y salida a un parking con una capacidad máxima para cien vehículos, y en el que los vehículos deben atravesar una rampa estrecha por la que sólo puede circular un vehículo en cada momento. Para ello se dispone de un semáforo de entrada (SME) y uno de salida (SMS) que permiten, respectivamente, que un vehículo entre o salga del parking (SME=1 (SMS=1) pone el semáforo de entrada (salida) en verde, SME=0 (SMS=0) semáforo en rojo). Inicialmente ambos semáforos se encuentran en rojo.

52 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 50 Asimismo, se dispone de un sensor (SE1) que indica la presencia (SE1=1) de un vehículo que desea entrar en el parking. Si el semáforo de entrada está en rojo o el parking está lleno el vehículo esperará en este punto hasta que pueda entrar. En ese momento el semáforo de entrada se pondrá en verde para permitir que el vehículo pase, e inmediatamente que haya cruzado se pondrá de nuevo en rojo para que no pase ningún otro vehículo. Para saber que el vehículo ha terminado de entrar en el parking se dispone de otro sensor (SE2) que se pone a 1 cuando un vehículo está cruzando en ese carril por delante del mismo. Análogamente, para gestionar la salida de vehículos se dispone de sendos sensores (SS1 y SS2). Si el semáforo de salida está en rojo o hay otro vehículo entrando o saliendo deberá esperar junto al sensor SS1. De nuevo, para permitir sólo la salida de un vehículo el semáforo de salida debe ponerse a verde e inmediatamente que cruce a rojo. Al igual que antes, el sensor SS2 permite saber que el vehículo ha completado el proceso de salida. Se dispone de un contador con dos entradas (IC, DC) para incrementar y decrementar, y una única salida (C100) que se pone a 1 cuando en el contador vale 100. La salida de vehículos tendrá prioridad frente a la entrada. SS2 SMS SS1 PARKING SE1 SME SE2 Figura III.16.a: a) Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el proceso. b) Realizar una red de petri que controle el sistema. Problema III.17 Cuestión 4 final Se desea automatizar el secador de un túnel de lavado de coches para que se mantenga a una altura fija de la carrocería del coche. Para ello se dispone de un secador con dos sensores, SS (sensor superior) y SI (sensor

53 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 51 inferior), más un sensor de presencia de coche en la parte de secado del túnel de lavado (SC). Se dispone también de varias señales de actuación (MA y MB para subir o bajar el secador respectivamente y S para poner en marcha el secador) SS SI S MA MB SC Figura III.17.a: El funcionamiento del sistema es el siguiente: Cuando el coche llegue al sensor SC deberá ponerse en funcionamiento el proceso de secado, que comenzará poniendo en marcha el secador (S=1). En ese momento el secador debe acercarse lo más posible al coche y permanecer cerca de él usando los sensores SS y SI, de tal forma que si ninguno de los sensores está activado significa que el secador está lejos del coche y debe bajar hasta que el sensor SI se active; a partir de ese momento, si se activa el sensor SS el secador debe subir para alejarse del coche hasta que deje de activarse y si dejase de activarse SI debe bajar hasta que vuelva a acercarse al coche de nuevo. Por el contrario, si al activarse el sensor SC estuvieran también activos los sensores del secador (SS y SI) el secador debe alejarse primero hasta que sólo esté activo SI y posteriormente proceder de la forma descrita anteriormente. Una vez el coche haya pasado totalmente por el sensor SC el secador se parará y se quedará a la espera de la llegada de un nuevo vehículo. Se pide diseñar una red de Petri que controle el funcionamiento del sistema. Nota: El coche es desplazado sobre un rail por el túnel de lavado y su movimiento no es gobernado por el automatismo que se ha de diseñar. Problema III.18 Cuestión 4 septiembre El nuevo ZEAT IBISA viene equipado con un novedoso sistema de cierre centralizado que además permite el cierre automático de las ventanillas al dejar el vehículo.

54 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 52 La cerradura del conductor tiene tres posiciones: Centro (posición de reposo), girada a la izquierda para Abrir Puerta (AP) y girada a la derecha para Cerrar Puerta (CP). Para pasar de la posición AP a CP, o viceversa, es necesario pasar siempre por la posición central (momento en el cual tanto AP como CP estarán a cero). Obviamente, es físicamente imposible que AP=1 y CP=1 simultáneamente. El coche se supone inicialmente con la cerradura en posición de reposo (AP=0, CP=0). Cuando el conductor gira la llave a la posición de cerrar puertas (CP se pone a 1) y la mantiene así durante cinco segundos (CP a 1 cinco segundos), el sistema sube automática y simultáneamente la ventanilla derecha (SVD enciende el motor para Subir la Ventanilla Derecha) y la ventanilla izquierda (SVI), hasta que ambas estén cerradas (VDC es un sensor para saber que la Ventanilla Derecha está Cerrada (VDC=1) y VIC, para la Ventanilla Izquierda). Importante: para evitar daños en los motores de los elevalunas eléctricos, éstos deben ser apagados en cuanto la ventanilla correspondiente se cierre completamente. Es decir, si se están cerrando ambas ventanillas (SVD=1, SVI=1) y, por ejemplo, la Ventanilla Derecha se Cierra antes (VDC=1,VIC=0), entonces se parará el motor de Subir Ventana Derecha (SVD=0) pero el de la izquierda seguirá en marcha (SVI=1) hasta que se haya cerrado por completo. Además, si el conductor gira la llave a la posición de reposo los elevalunas se detendrán inmediatamente en la posición en la que se encuentren. Si vuelve a girar la llave durante cinco segundos se repetirá el proceso. Se dispone de un temporizador de 5 segundos (AT, activa temporizador; FT indica fin de temporizador). a) Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el proceso. b) Realizar una red de petri que controle el sistema. Problema III.19 Cuestión 4 parcial Se desea controlar el funcionamiento del nuevo cepillo dental eléctrico ORAL-P de BRAUM. Dicho cepillo cuenta con un pulsador (P) que permite poner en marcha y detener el funcionamiento del mismo. Cuando el usuario desea poner el cepillo en marcha debe pulsar y soltar el botón P. En ese instante, el cepillo debe empezar a funcionar.

55 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 53 Teniendo en cuenta que, para una correcta higiene bucal, el cepillado debe durar al menos 120 segundos, el cepillo no se podrá parar durante ese tiempo. Transcurridos los 120 segundos, el cepillo debe emitir una señal para que el usuario sepa que ya han pasado dos minutos. Dado que el cepillo no dispone de un altavoz, para avisar al usuario realizará una pequeña vibración. Para ello, detendrá el motor durante 1 segundo, lo pondrá en marcha durante otro segundo, lo volverá a parar durante un segundo y, posteriormente, seguirá funcionando indefinidamente hasta que el usuario pulse y suelte P, momento en el que deberá quedar preparado para un nuevo cepillado. Para conseguir que el motor gire, el sistema de control debe mantener la señal M a uno (si M vale cero el motor se para). Se dispone de un contador con dos entradas (BC, IC) para poner a cero e incrementar el contador, respectivamente, y una única salida (C120) que toma valor 1 cuando en el contador vale 120. El contador se encuentra inicialmente a cero. Asimismo, se dispone de un único temporizador de 1 segundo, el cual es gestionado mediante las señales (AT, FT) para activar y avisar de fin de temporización, respectivamente. Se pide: a) Indicar claramente las entradas y salidas del controlador b) Diseñar una Red de Petri que controle el proceso Problema III.20 Cuestión 3a final Con objeto de garantizar el buen funcionamiento de los servidores informáticos de la escuela, es necesario mantener la temperatura de la sala de ordenadores donde están instalados a una temperatura próxima a 15 o C. Para lograrlo se ha adquirido un aparato de aire acondicionado al que se pretende diseñar un control todo-nada con histéresis de ±5 o C. Para ello se dispone de dos sensores T10 y T20. El primero de ellos se activa (T10=1) cuando la temperatura es inferior a 10 o C y el otro lo hace (T20=1) cuando la temperatura es superior a 20 o C. El funcionamiento que se pretende es el siguiente: Si la temperatura es superior a 20 o C el aire acondicionado deberá estar funcionando (AIRE=1), si baja por debajo de 20 o C pero es superior a 10 o C debe seguir funcionando y si baja por debajo de 10 o C debe apagarse (AIRE=0).

56 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 54 Si por el contrario la temperatura es inferior a 10 o C (el aire acondicionado debe estar apagado (AIRE=0)) y la temperatura sube por encima de 10 o C el aire debe permanecer apagado hasta que se suba por encima de 20 o C momento en el que debe encenderse. Se pide: Diseñar el automatismo que implemente el control todo-nada con histéresis antes descrito, calculando la matriz de fases, reducción de estados, matriz de fases reducida, simplificación usando tablas de Karnaught, indicando la función de transición y la de salida y realizando la implementación mediante la lógica de contactos. Problema III.21 Cuestión 3b final Se pretende controlar la iluminación de una sala, de manera que la luz esté encendida cuando haya alguien dentro de la sala y apagada cuando esté vacía, para ello se dispone de dos sensores (S1 y S2) situados en la puerta que indican cuando una persona ha salido o entrado de la habitación de la siguiente forma: Entrada: activación/desactivación de S1 y después lo mismo de S2. Salida: activación/desactivación de S2 y después lo mismo de S1. Además se dispone de un contador con el que se pretende saber si la habitación está vacía, hay alguien o se ha superado el aforo máximo de 100 personas. Para ello el contador tiene dos entradas (IC: Incrementa contador y DC: Decrementa contador) y dos salidas (C0: Contador=0 y C100: Contador=100). El funcionamiento que se pretende es que si la sala está vacía la luz esté apagada (LUZ=0) y si hay alguien esté encendida (LUZ=1). Asimismo si se supera el aforo de 100 personas debe encenderse la señal de aviso de sala completa (COMPLETO=1) y permanecer encendida hasta que el número de personas sea inferior a 100. Se pide diseñar la red de Petri que implemente el comportamiento deseado. NOTAS: Suponer que inicialmente la sala está vacía y el contador a 0. Una vez completado el aforo puede seguir entrando gente, pero la señal de completo debe estar activa hasta que se deje de superar las 100 personas. Es imposible que una persona salga a la vez que otra entra.

57 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 55 Suponer que una vez empezado el proceso de entrada o de salida éste se completa en su totalidad. Problema III.22 Cuestión 4 septiembre Se desea controlar el sistema de apertura y cierre de las puertas de los vagones del futuro Metro de Sevilla. Cada vagón dispone de dos puertas (A y B) identificadas con la letra y el número de vagón correspondiente (por ejemplo, A1, es la puerta A del vagón 1, y B7 es la puerta B del vagón 7). Para abrir cada puerta se dispone de una señal Apv, donde p indica la letra de la puerta y v el número de vagón (p.ej., mientras las señales AA1 y AB2 están a 1, la puerta A del vagón 1 y la puerta B del vagón 2, respectivamente, permanecerán abiertas). Cuando el metro llega a la estación y se para (el sensor MPE=1, indica que el Metro está Parado en la Estación) se deberán abrir todas las puertas. Las puertas permanecerán abiertas durante 10 segundos, y además, durante los 5 últimos segundos se activará una señal sonora de aviso (ACP) de que las puertas están próximas a cerrarse. Una vez transcurrido ese tiempo se cerrarán todas las puertas. No obstante, para evitar atrapar a algún pasajero con la puerta, se dispone de un sensor Spv, que indica que hay alguien obstruyendo la puerta correspondiente (p.ej, si el sensor SB2 está a uno significa que hay un pasajero obstruyendo la puerta B del vagón 2). De este modo, transcurridos los 10 segundos desde que se paró el metro, se deberán cerrar todas las puertas en las que no haya nadie obstruyendo la entrada, debiendo mantenerse abiertas las restantes puertas. Estas puertas se deberán ir cerrando conforme dejen de estar obstruidas. Mientras haya alguna puerta obstruida se activará una alarma sonora (AL). Una vez que todas las puertas hayan sido cerradas, el sistema de control deberá activar la señal Puertas Cerradas (PC) para que el conductor sepa que puede iniciar la marcha camino a la próxima estación, y deberá mantenerse activa hasta que el metro deje de estar parado en la estación. Se dispone de un único temporizador de 5 segundos, el cual es gestionado mediante las señales (AT, FT) para activar y avisar de fin de temporización, respectivamente. Se pide: a) Indicar claramente las entradas y salidas del controlador. b) Diseñar una Red de Petri que controle el proceso para dos vagones.

58 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 56 Problema III.23 Cuestión 4 parcial Se desea automatizar el funcionamiento de una mesa de mecanizado con dos puestos de trabajo y un brazo manipulador que se encarga de la alimentación y descarga de piezas a la mesa. El esquema de la mesa de mecanizado puede verse en la figura III.23.a. Puesto de avellanado y descarga Puesto de taladrado G120 ROBOT Puesto de carga Figura III.23.a: Esquema de la mesa de mecanizado El proceso de mecanizado consta de dos procesos que han de hacerse de forma secuencial en los dos puestos de trabajo (puesto de taladrado y de avellanado), el autómata deberá también de gestionar la carga y descarga de piezas a la mesa por parted del robot (en los puestos de carga y de avellanado/descarga), así como el giro de la misma para llevar las piezas de un puesto a otro. El proceso de carga y los de mecanizado en cada puesto se realizarán de forma simultanea, la evacuación de las piezas se hará una vez hayan terminado todos los procesos. Para ello el sistema cuenta con los siguientes elementos y señales: Pulsadores PM: Pone en marcha el sistema y PAR que inicia el proceso de parada. de mecanizado. Señales CAR (Indica al robot que deba cargar una pieza en la mesa) y FCAR(El autómata la recibe del robot cuando ha terminado de cargar la pieza) Señal G120 (Gira la mesa) y sensor FG120 (Indica cuando la mesa ha terminado de girar 120 o ) Sensores TA (Taladro arriba) y TB (Taladro abajo) Señales ST (Subir taladro), BT (Bajar taladro) y MT (poner en marcha el taladro) Sensores AA (Avellanadora arriba) y AB (Avellanadora abajo) Señales SA (Subir Avellanadora), BA (Bajar Avellanadora) y MA (poner en marcha la Avellanadora)

59 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 57 Señales DESCAR (Indica al robot que deba descargar una pieza de la mesa) y FDESCAR(El autómata la recibe del robot cuando ha terminado de descargar la pieza). El sistema consta de tres modos de funcionamiento diferenciados: 1. Puesta en marcha: El sistema de mecanizado se pondrá en marcha cuando se pulse el pulsador PM. A partir de ese momento se realizará la puesta en marcha del sistema que consiste en el siguiente proceso: Carga de pieza en la mesa en el puesto de carga: Se realizará enviando al robot la señal CAR y habrá acabado cuando se reciba la señal FCAR del robot. Una vez cargada la pieza se girará la mesa 120 o mediante la señal G120 para que la pieza cargada quede debajo de puesto de taladrado. El giro debe terminar cuando se activa la señal FG120. Ahora debe producirse el proceso de carga de otra pieza en el puesto de carga y el de taladro de la pieza que está en el puesto de taladrado. Una vez terminados los procesos de carga y taladrado la mesa debe volver a girar 120 o y pasar al siguiente modo de funcionamiento. 2. Funcionamiento normal: Durante este modo de funcionamiento el sistema debe: Realizar de manera simultanea la carga, el taladrado y el avellandado de la piezas que hay en cada puesto de trabajo. Una vez terminados los tres procesos se sacará la pieza desde el puesto de avellanado/descarga enviando la señal DESCAR al robot (acaba cuando se recibe la señal FDESCAR) volver a girar 120 para que haya una pieza en cada punto de trabajo. Este proceso debe repetirse hasta que después de la descarga de pieza se detecte que se ha activado la señal PAR, momento en el que debe comenzar el proceso de parada. En resumen, durante el funcionamiento normal cada pieza debe ser cargada en el puesto de carga, taladrada, avellanada y ser descargada desde el puesto de avellanado y descarga, finalizando así su proceso de mecanizado. 3. Parada: En el proceso de parada el sistema debe de sacar todas las piezas de la mesa a través del puesto de avellanado independientemente de si están mecanizadas o no, de manera que la mesa quede libre de piezas. En ese momento el sistema volverá al estado inicial. El proceso de taladrado consiste en: poner en marcha el taladro con la señal MT, bajar el taladro hasta TB, mantenerlos durante 10 segundos, volver a subirlo, pararlo y esperar otros 10 segundos hasta que se enfríe la pieza.

60 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 58 Análogamente, el proceso de avellanado consiste en poner en marcha la avellanadora con la señal MA, bajarla hasta AB, mantenerla durante 10 segundos, volver a subirla, pararla y esperar otros 10 segundos hasta que se enfríe la pieza. NOTAS: El proceso de carga y descarga por parte del robot no está gobernado por el autómata, éste sólo indica cuando debe comenzar y retoma el control del proceso cuando haya terminado. Se dispone de un temporizador de 10 segundos con señales AT (activa temporización) y FT (Fin de temporización). Se pide: 1. Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el proceso. 2. Realizar la Red de Petri que automatice el proceso de mecanizado. Problema III.24 Cuestión 2 final Se desea controlar de manera automática los niveles de los tanques de la figura actuando sobre sus válvulas. Cuando se pulsa uno de los botones (T1T2 o T2T1), el sistema activa los elementos para la transferencia de fluido de la salida en la base de un contenedor hacia la entrada superior del otro, hasta que se pulse parar, se llene el contenedor destino o se vacíe el contenedor origen. Los sensores de nivel se ponen a 1 cuando el fluido está por encima del sensor. LTH1 Tanque 1 VLL1 VLL2 BOMBA Tanque 2 LTH2 LTL1 VV1 VV2 LTL2 T1T2 T2T1 PARAR Figura III.24.a: Sistema de dos tanques.

61 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 59 Para ello se dispone de los siguientes elementos y señales LTH1 y LTH2 Sensores de nivel superior de los tanques 1 y 2 respectivamente. LTL1 y LTL2 Sensores de nivel inferior de los tanques 1 y 2 respectivamente. VLL1 y VLL2 Señales que gobiernan las válvulas de llenado de tanques 1 y 2 respectivamente ( Señal a 1 = Válvula abierta) VV1 y VV2 Señales que gobiernan las válvulas de vaciado de tanques 1 y 2 respectivamente ( Señal a 1 = Válvula abierta) BOMBA Señal que gobierna la bomba que se encarga de mover el líquido entre ambos tanques (BOMBA a 1 = bomba en marcha). T1T2 y T2T1 Pulsadores que indican al proceso el paso de fluido del tanque 1 al 2 o viceversa, respectivamente. PARAR Pulsador de paro del proceso Se pide: 1. Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el proceso. 2. Realizar la Red de Petri que automatice el proceso. Problema III.25 Cuestión 4 septiembre Se desea automatizar la gestión de entrada y salida de vehículos a un aparcamiento que admite dos tipos de vehículos: abonados y público en general. Los abonados tienen una tarjeta que los identifica y les garantiza aparcamiento en caso de falta de espacio para aparcar. El programa debe gestionar los accesos al parking del siguiente modo. Cada vez que un vehículo solicita entrar, se comprueba si hay espacio en el parking (contador). Si el parking está a no más del 50% de su capacidad, cualquier vehículo que lo solicite entrará, pero si está por encima del 50%, sólo los vehículos abonados tendrán permiso de entrada. El automatismo debe gestionar el funcionamiento del semáforo de entrada al parking así como de las barreras de entrada y salida del mismo. Para ello se dispone de las siguientes señales:

62 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 60 SE: Célula fotoeléctrica (sensor) que indica que hay un coche esperando para entrar. AB: Indica si el vehículo que está esperando para entrar está abonado (AB=1) o no (AB=0). SPE: Célula fotoeléctrica colocada en la barrera de entrada que se usa para saber si el coche está pasando bajo la barrera. SS: Célula fotoeléctrica (sensor) que indica que hay un coche esperando para salir. SPS: Célula fotoeléctrica colocada en la barrera de salida que se usa para saber si el coche está pasando bajo la barrera. SEMÁFORO: Pone el semáforo de entrada en verde SEMÁFORO=1 o en rojo SEMÁFORO=0. BE: Señal para subir la barrera de entrada. Debe de permanecer activada mientras la barrera esté levantada. Si no está activada, se supone que la barrera estará bajando o bajada. No se consideran necesarios sensores de barrera totalmente subida o bajada. BS: Igual que BE pero para la salida. El funcionamiento que se desea es el siguiente: Cuando se detecte un coche en la entrada, el automatismo debe: decidir si el coche puede entrar (viendo si es abonado o no y dependiendo del número de coches que haya dentro). Si el coche no es admisible el semáforo debe permanecer en rojo y la barrera de entrada bajada. Si el coche si puede entrar el automatismo debe poner el semáforo en verde, levantar la barrera e incrementar el contador de coches. En el momento en que el coche que esté entrando active el sensor SPE el semáforo debe ponerse en rojo. Cuando hayan pasado dos segundos desde que ha pasado totalmente el coche por la barrera debe bajarse la misma. Cuando se detecta un coche en la salida el proceso debe ser similar al de entrada, pero sin el semáforo. Debe decrementar el contador, levantar la barrera y mantenerla levantada hasta que hayan pasado 2 segundos desde que el coche ha pasado totalmente por ella. En caso de que otro coche pase por la barrera durante esos dos segundos el contador debe decrementarse de nuevo y la barrera debe estar levantada hasta 2 segundos después de que pase el nuevo coche. Se dispone de dos temporizadores de 2 segundos con señales AT1, FT1 y AT2, FT2.

63 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 61 Se dispone de un contador con señales IC (incrementa contador), DC (decrementa contador), C0 (contador=0), C50 (contador 50%) y C100 (contador =100 %). Los procesos de entrada y salida pueden realizarse simultáneamente. Se pide realizar la Red de Petri correspondiente al automatismo indicado.

64 Soluciones de Problemas de Control Automático 3 er Curso de Ingeniería Industrial Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Universidad de Sevilla Teodoro Álamo Federico Cuesta Daniel Limón Francisco Salas Carlos Vivas Manuel Ruiz Arahal

65 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. ii

66 Parte I Diseño de controladores en el dominio frecuencial 1

67

68 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 3 Solución del problema I Diagrama de bode del sistema sin compensar El sistema presenta tres polos localizados en s = 0.2, s = 1 y s = 10. Se trata por tanto de un sistema estable a lazo abierto. El diagrama de Bode resulta tal como muestra la figura I.5.a módulo asintótico de G(w*j) ω Mg c Fase de G(w*j) Mf ω Figura I.5.a: Bode de G(s) = 5 (5s+1)(s+1)(s+10) Con w 180 = 3.48rd/s y M g = 41.65dB. 2.- Diseño de controlador PI para que M g = 20dB. El margen de ganancia del sistema sin compensar es db, superior al requerido. Por tanto es posible aumentar la ganancia del sistema para incrementar la frecuencia de corte del sistema. Podemos tomar la ganancia proporcional del PI igual a 21db para recortar el margen de ganancia hasta los 41.65dB 21dB = 20.65dB, ligeramente por encima de los 20dB requeridos. No es conveniente apurar demasiado porque la introducción del término integral provoca una ligera disminución de la frecuencia ω 180 del sistema compensado, que lleva asociado una disminución del margen de ganancia. Tomamos por tanto K p = 21dB = Si representamos del diagrama de bode K p G(s), tal como muestra la figura I.5.b Puede observarse que la frecuencia de corte de K p G(s) es ω c = 1rd/s con un margen de fase de Nos resta fijar el tiempo integral, T i, de modo que se incremente la ganancia de baja frecuencia (aumenta el tipo del sistema), sin afectar sensiblemente a los márgenes de fase y ganancia. Tal y como se ha descrito en teoría es necesario localizar 1/T i por debajo de la frecuencia de corte del sistema, en una década y década y media. Podemos tomar, por ejemplo, 1/T i = ω c /50, es decir, T i = 50s.

69 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US módulo asintótico de G(w*j) M f Fase de G(w*j) M g Figura I.5.b: Bode de K p G(s) El controlador finalmente resulta K(s) = s s con una frecuencia de corte ω c = 1rd/s, M f = , y ω 180 = 3.47rd/s, M g = 20.62dB. El bode del sistema compensado con el PI puede observarse e n la figura I.5.c. 3.- Diseñar Red mixta para ep rp 1% y M f 30. Para satisfacer la especificación de error en régimen permanente, ep rp 1%, imponemos: ep rp = k p 0.01 k p 99 con 5 k p = lim s 0 (5s + 1)(s + 1)(s + 10) K 1 + α 1 τ 1 s c 1 + τ 1 s luego k c 198. Se puede tomar por tanto k c = 198 = 45.94dB 1 + τ 2 s 1 + α 2 τ 2 s = 0.5k c Dado que no tenemos especificaciones en frecuencia de corte podemos tomar como frecuencia de corte deseada ω c la frecuencia de 180, ω 180. En este caso, y ya que G(jω c) = 180, el aporte de fase de la red mixta debe coincidir con el margen de fase deseado, más el aporte extra necesario para compensar la disminución de la frecuencia de corte inherente al método de diseño de la red. Es decir, tomamos Φ m = = 35, de donde deducimos α 2 = 1 senφ m 1 + senφ m = 0.271

70 Control Automático, 3 o Ing. Industrial módulo asintótico de G(w*j) M g 0 Fase de G(w*j) M f Figura I.5.c: Bode del sistema compensado K(s) G(s) Interesa localizar el máximo avance de fase de la red en la frecuencia de corte deseada para el sistema compensado. Dado que el máximo avance de fase se produce en 1/ α 2 τ 2, tendremos 1 α2 τ 2 = ω c = ω τ2 = 3.48rd/s τ 2 = 0.552rd/s Sabiendo que la ganancia a baja frecuencia de la red mixta es K c, y que K c G(jω c) = M g = 41.65dB, podemos calcular K c M g = 20log 10 1 α 1 10log 10 1 α dB 41.65dB = 20log 10 1 α 1 10log Ecuación de la que deducimos que α 1 = Por último seleccionamos τ 1 para localizar el polo de la componente de retardo de la red suficientemente por debajo de la frecuencia de corte ω c, pero no demasiado alejado para evitar la aparición de dinámicas lentas en lazo cerrado. En la práctica suele bastar con separar ambas frecuencias entre una década y década y media, por ejemplo 1 = ω c α 1 τ 1 10 = 0.348rd/s luego τ 1 = 9rd/s. Así pues, la red de compensación resulta K(s) = s 1 + 9s s s La figura I.5.d muestra el diagrama de bode del sistema compensado, donde puede observarse una frecuencia de corte ω c = 3.5rd/s con margen de fase M f = 31.04,

71 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 6 y ω 180 = 7.25rd/s y margen de ganancia M g = 7.06dB. Se verifican por tanto las especificaciones impuestas módulo asintótico de G(w*j) Fase de G(w*j) Figura I.5.d: Bode del sistema compensado mediante una red mixta 4.- Diseño de un PID de características similares a la red mixta del apartado anterior. La red mixta y el controlador PID presentan una estructura idéntica en la zona de frecuencia intermedia. Las diferencias se localizan en la zonas de baja y alta frecuencia, donde la red mixta introduce un cero y un polo respectivamente, para limitar la ganancia en estas zonas del espectro. Para obtener un controlador PID que coincida con nuestra red mixta en la zona de frecuencia intermedia sólo es necesario fijar los dos ceros del PID en 1/α 1 τ 1 y 1/τ 2, y ajustar la ganancia para que coincida con la de la red mixta entre estas dos frecuencias. Es decir, si tomamos un PID de la forma C(s) = K 1 + T 1s (1 + T 2 s) T 1 s es fácil comprobar que este controlador tiene dos ceros localizados en 1/T 1 y 1/T 2, y ganancia K en la zona de frecuencia intermedia (entre los dos ceros). Igualando la posición de los ceros de la red mixta con los del PID tenemos 1 1 = = 0.348rd/s T 1 α 1 τ 1 T 1 = 2.872s 1 = 1 = 1 T 2 τ rd/s T 2 = 0.552s e igualando las ganancias en la zona de frecuencia intermedia tenemos K = k c α 1 K = = 63.16

72 Control Automático, 3 o Ing. Industrial Diagrama de Bode 55 Módulo PID Módulo (db) Módulo Red Mixta ω (rad/s) Fase (grados) 0 50 Fase Red Mixta Fase PID ω (rad/s) Figura I.5.e: Bode del controlador PID y la red Mixta La figura I.5.e representa el diagrama de Bode del controlador PID y la Red Mixta. 5.- Ventajas e inconvenientes de un controlador PID frente a la red mixta. Tal como se ha descrito en teoría, los efectos sobre un sistems de un controlador PID y una red mixta presentan importantes similitudes, especialmente en la zona de frecuencias intermedias. Las diferencias esenciales aparecen en las zonas de baja y alta frecuencia. Así, por ejemplo, si atendemos a la zona de bajas frecuencias, observamos que un controlador PID introduce un polo en el origen que induce un incremento del tipo en el sistema controlado. En el diagrama de bode este cambio es observable como una aumento creciente de la ganancia a bajas frecuencias (idealmente, ganancia infinita a frecuencia cero). Como principal ventaja de este cambio tenemos una mejora en el comportamiento de de régimen permanente y ante perturbaciones mantenidas externas. Por ejemplo, un sistema tipo 0, controlado con un PID puede diseñarse para presentar error de seguimiento en posición nulo ante entradas en escalón, y rechazar igualmente con error de seguimiento en posición nulo, perturbaciones mantenidas sobre el sistema. Un inconveniente asociado a las altas ganancias a baja frecuencia de PID, se encuentra en el fenómeno de saturación de efecto integral, que aparece por efecto de las saturaciones de la acción de control, y que deteriora el comportamiento en el régimen transitorio del sistema. La red mixta en cambio, no introduce polos en el origen y por tanto no cambia el tipo del sistema. El controlador no tiene capacidad de rechazar perfectamente las perturbaciones mantenidas (inconveniente), aunque si puede limitar en gran medida su efecto. La ganancia limitada a bajas frecuencias reduce el efecto de saturación del término integral (ventaja).

73 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 8 En la zona de altas frecuencias, la ganancia creciente del PID con la frecuencia, presenta el inconveniente de la amplificación de ruidos, normalmente localizados en esta zona del espectro. La red mixta mitiga este efecto introduciendo un polo de alta frecuencia que limita la ganancia a altas frecuencias y por tanto la amplificación del ruido.

74 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 9 Solución del problema I Diagrama de bode del sistema sin compensar En primer lugar calculamos los polos y ceros de la función de transferencia en bucle abierto, que en este caso son: ceros s = 1 y polos s = 0, s = 1 y s = 10, por lo que como se deduce fácilmente se anulan en polo y el cero en s = 1 y el sistema a controlar queda: Por lo tanto el diagrama de Bode queda G(s) = 1000 s(s + 10) = 100 s( s ) módulo asintótico de G(w*j) wc Fase de G(w*j) Mf Figura I.9.a: Bode de G(s) = 1000 s(s+10) Con w c = 31.5rd/s, M f = y M g =. 2.- Diseño de controlador proporcional para que ev rp 10% y M f En primer lugar calculamos la ganancia necesaria para cumplir la especificación de error en régimen permanente ev rp = 1 K v 0.1 K v = lim s 0 sc(s)g(s) = 100K c por lo tanto para que se cumpla la especificación de error en régimen permanente el controlador proporcional ha de cumplir K c 0.1

75 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 10 Para cumplir la especificación en margen de fase, si nos fijamos en el bode del sistema sin compensar, es necesario desplazar hacia la izquierda la ω c de tal forma que la fase quede por encima de Este desplazamiento hacia la izquierda debe hacerse disminuyendo la ganancia del controlador, por lo tanto si para la ganancia mínima que cumple la especificación de error en régimen permanente el sistema tiene un M f 40 0 ya tendríamos resuelto el problema y en caso contrario no se podrían cumplir las especificaciones con un controlador proporcional. En el diagrama de bode de 0.1G(s) de la figura I.9.b se observa que la el margen de fase es de 45 0 y por lo tanto se cumplen ambas especificaciones para un controlador C(s) = módulo asintótico de K c *G(w*j) Fase de K c *G(w*j) Figura I.9.b: Bode de 0.1G(s) 3.- Diseño de controlador proporcional para que ev rp 10%, M f 40 0 y ω c 20rd/s. Del diagrama de bode del sistema es fácil ver que no es posible cumplir las tres especificaciones sólo variando la ganancia del sistema en bucle abierto por lo que será necesario recurrir a otro tipo de controlador. Dado que tenemos que aumentar la fase sin disminuir el ancho de banda del sistema recurriremos a una Red de Avance de fase. C(s) = K c 1 + τs 1 + ατs con α < 1 En primer lugar elegimos la ganancia K c de tal forma que se cumplan las especificaciones de error en régimen permanente y de ω c y dibujamos el bode de K c G(s). En nuestro caso vamos a coger K c = 1 que cumple ambas especificaciones y además ya tenemos dibujado su diagrama de bode (ver figura I.9.a).

76 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 11 Una vez elegida la ganancia diseñamos el resto de la red de avance. El margen de fase del sistema K c G(s) es de 17 0 y por lo tanto la suma máxima de fase de la red debe ser: φ m = M fd M f + = = 28 0 α = 1 sin φ m 1 + sin φ m = 0.4 Una vez calculado el valor de α, la suma de magnitud por parte del controlador en la frecuencia ω m a la que se se produce el máximo incremento de fase φ m es A = 10log 1 α = 4dB Buscando en el diagrama de bode de K c G(s) la frecuencia para la que la magnitud es A, ésta será la nueva ω c = ω m = 40rd/s. Por lo tanto Así pues la red de avance queda ω m = 1 τ α τ = 1 ω m α = 0.04 C(s) = s s y el diagrama de bode de C(s)G(s) será el de la figura I.9.c con ω c = 40rd/s y M f = módulo asintótico de C(s)G(s) Fase de C(s)G(s) Figura I.9.c: Bode de C(s)G(s)

77 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 12 Solución del problema I Diagrama de bode del sistema sin compensar El sistema presenta tres polos a lazo abierto localizados en s = 0, s = 1 y s = 5. El diagrama de Bode resulta tal como muestra la figura I.10.a módulo asintótico de G(w*j) M ω g c Fase de G(w*j) M f ω Figura I.10.a: Bode de G(s) = 10 s(s+1)(s+5) Con ω c = 1.42rd/s, M f = 19.29, ω 180 = 2.23rd/s y M g = 7.92dB. 2.- Diseñar un controlador PD para que tenga una ganancia de 0dB en ω c = 5rd/s y margen de fase de 45. Para desplazar la frecuencia de corte del sistema compensado a ω c = 5rd/s necesitamos en primer lugar conocer que ganancia debe aportar el PD a esa frecuencia. Así calculamos G(jω c) db = 20log log 10 (jω c) 20log 10 (jω c+1) 20log 10 (jω c+5) = 25.12dB El PD deberá aportar por tanto 25.12dB en ω c = 5rd/s. Análogamente, si calculamos G(jω c) = 0 90 (jω c + 1) (jω c + 5) = concluimos que el PD debe aportar ( ) = en ω c = 5rd/s, para obtener un margen de fase de 45 para el sistema compensado. De esta condición podemos deducir T d de la expresión (1 + T d ω cj) = 80 T d ω c = tan 80 T d = 1.134rd/s Conocido T d, calculamos K c imponiendo la condición de módulo K c (1 + T d ω cj) = 25.12dB K c db + T d ω db 25.12dB

78 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 13 de donde deducimos K c = 25.12dB 20log 10 ( )dB = 10.05dB La figura I.10.b muestra el diagrama de Bode del sistema compensado con el controlador PD, mostrando una frecuencia de corte de 5.05rd/s y margen de fase módulo asintótico de G(w*j) Fase de G(w*j) Figura I.10.b: Bode del G(s) = 10 s(s+1)(s+5) compensado con un PD 3.- Diseño de una red de avance con Φ m = 50 y margen de fase del sistema compensado de 45. Una aportación de fase Φ m = 50 se corresponde con un valor de α α = 1 senφ m 1 + senφ m = Para obtener un marge de fase de 45, el máximo aporte de fase debe producirse a la frecuencia, ω c, en que G(jω c ) = 185. Podemos calcular esta frecuencia de la expresión G(jω c ) = 0 90 (jω c + 1)(jω c + 5) = 90 arctan 6ω c 5 ω 2 c de donde obtenemos = 185 6ω c 5 ω 2 c = tan 95 = ω c = 2.514rd/s El módulo del sistema a esta frecuencia puede calcularse G(jω c ) = 20log log 10 (jω c ) 20log 10 (jω c +1) 20log 10 (jω c +5) = 11.61dB

79 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 14 Conocida la frecuencia de corte del sistema compensado, calculamos τ sabiendo que el máximo aporte de fase se produce a la frecuencia 1 ατ 1 ατ = ω c τ = 1.093s Resta por determinar la ganancia K c de la red de avance, que podemos calcular imponiendo que el sistema compensado tenga su frecuencia de corte en la frecuencia ω c previamente calculada. Es decir K c db + 10log 10 1 α + G(jω c) = 0 K c db = 2.83dB La red de avance diseñada queda pues K(s) = s s 4.- Diseño de una red de retardo para obtener ev rp 20% y M f = 45 Para comenzar, imponemos la especificación de régimen permanente 1 + τs k v = lim sk c s ατs Tomamos por tanto K c = 2.5 ev rp = 1 k v 0.2 k v 5 10 s(s + 1)(s + 5) = 2K c 5 K c 2.5 Si dibujamos el diagrama de Bode de K c G(s), tal como muestra la figura I.10.c, podemos observar que el sistema presenta frecuencia de corte ω c = 2.23rd/s y margen de fase M f = 0. Tomamos a continuación la frecuencia ω ω c a la cual G(jω ) = 180+M fd +. En nuestro caso G(jω ) = = 130 expresión que puede resolverse según se mostró en el apartado 3 G(jω ) = 90 arctan 6ω = ω 2 6ω 5 ω 2 = tan 40 = ω = 0.64rd/s Calculamos el valor de α imponiendo que la frecuencia de corte del sistema compensado esté en ω, o lo que es lo mismo K c G(jω ) = 20log 10 (α)db α = 6.53 Para finalizar fijamos τ, para que la red no produzca una caída apreciable de fase en el sistema. Como se ha discutido en teoría, una regla práctica consiste en localizar el cero del controlador, 1/τ, entre una década y década y media por debajo de la frecuencia de corte del sistema. Podemos tomar por ejemplo 1 τ = ω = 0.032rd/s τ = 31.25s 20

80 Control Automático, 3 o Ing. Industrial módulo asintótico de G(w*j) Fase de G(w*j) Figura I.10.c: Bode de K c G(s) = 25 s(s+1)(s+5) La red de retardo final resulta K(s) = s s con la que es fácil comprobar que el sistema compensado cumple las especificaciones impuestas, presentando el error en régimen permanente requerido, y una frecuencia de corte ω c = 0.64rd/s, con un margen de fase de

81 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 16 Solución del problema I Ganancia mínima del sistema La constante de error en velocidad del sistema puede expresarse como k v = lim s 0 s k c s + 0.1τ s(s + 1) 2 (s + 10τ) = 0.01k c Luego e v = 1 k v 10% k c 1000 Sobreoscilación De la gráfica proporcionada obtenemos Tiempo de subida SO 5% δ 0.6 M f 60 o t s π 2ω c 1s ω c π 2 1.6rd/s 100 Diagrama de Bode 50 Módulo (db) ω (rad/s) Fase (grados) ω (rad/s) Figura I.16.a: Bode para τ = 1 con k c = 1000

82 Control Automático, 3 o Ing. Industrial El sistema con k c = 1000 presenta un M f = o luego Con una red de avance necesitamos incrementar la fase del sistema en M f = 60 o ( o ) = o. Valor mayor que los teóricos 75 o recomendables como máximo para una red de este tipo. Con un PD, tampoco es posible por el mismo motivo. En teoría podríamos alcanzar un avance de fase máximo de 90 o, si bien este valor es excesivo en la práctica por cuestiones de sensibilidad del control y amplificación de ruidos. Un PI, incrementa en 1 el tipo del sistema, por lo que no es necesario fijar k c = 1000 (e v = 0 con independencia del valor de la ganancia), pero el margen de fase del sistema a la frecuencia de corte deseada, 1.6rd/s es , menor que los 60 o requeridos. Luego, un PI tampoco nos sirve. 4.- La red de retardo, al igual que el PI, no aporta fase al sistema, luego la máxima frecuencia de corte que podremos obtener a lazo cerrado será aquella para la cual el sistema sin compensar presente el margen de fase requerido. Esto es, tomamos como frecuencia de corte deseada ω, tal que G(jω ) = 180 o + 60 o + 5 o = 115 o. De la gráfica del Bode deducimos que ω = 1.27rd/s, valor que es inferior a los 1.6rd/s requeridos, luego el diseño con una red de retardo no es posible. Si no imponemos restricciones a la sobreoscilación, no tendremos tampoco restricción sobre el margen de fase, por lo que podemos diseñar la red de retardo fijando la frecuencia de corte deseada en ω = 1.6rd/s. Así, podemos calcular α de la expresión k c G(jω ) = 20log 10 α resultando α = 27.86, valor que proporciona un margen de fase de 51.3 o (ya calculado en el apartado anterior) que se corresponde a su vez con una sobreoscilación aproximada del 15% según la gráfica. 5.- Calculamos en primer lugar el aporte de fase necesario a la frecuencia de corte deseada ω = 1.6rd/s. M fd + = 180 o G(jω ) + Φ m Expresión que particularizamos para obtener 60 o + 7 o = 180 o + ( 128 o ) + Φ m. Es decir. necesitamos aportar Φ m = 15 o, valor que nos proporciona un α 2 = 1 senφ m 1 + senφ m = 0.59 Dado que pretendemos que el máximo avance de fase se produzca a la frecuencia de corte deseada, tendremos ω m = 1 α2 τ 2 = ω = 1.6rd/s τ 2 = 0.815rd/s

83 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 18 Para el diseño de la parte de retardo de la red imponemos en primer lugar, la condición de que el sistema compensado tenga la frecuencia de corte a la frecuencia deseada. Es decir k c G(jω ) = 20log 10 ( 1 α 1 ) 10log 10 ( 1 α 2 ) expresión de la que obtenemos un valor α 1 = Finalmente alejamos lo suficiente (una década) la red de retardo de la frecuencia de corte, para no deteriorar el avance de fase conseguido 1 = ω τ 1 = s α 1 τ 1 10 La red diseñada será por tanto K(s) = s s s s Para que el diseño sea válido para el rango de valores de τ requerido, es suficiente con diseñar para el caso más desfavorable. Podemos determinar cual es el caso más desfavorable si tenemos en cuenta la descomposición del sistema mencionada en el enunciado. Si trazamos el bode, tal como representa la figura, de G 1 (s) = 1000 s(s+1) 2 junto con la red de avance asociada para τ = 0.1 y τ = 1, podemos observar que la red de avance está siempre situada a frecuencias inferiores a la frecuencia de corte del sistema, ω c = 10rd/s, por lo que ésta no varía aunque modifiquemos τ. Además es fácil comprobar que, para frecuencias superiores a 1rd/s, el aporte de fase de la red disminuye a medida que disminuye τ (ver figura). Por tanto, el caso más desfavorable, aquel que implica un menor margen de fase del sistema a la frecuencia de corte deseada ω = 1.6rd/s, será el correspondiente a τ = 0.1. Para este valor obtenemos un valor para la fase del sistema en ω = 1.6rd/s G(jω ) = 177 o Es necesario por tanto aportar como mínimo 60 o 180 o +177 o = 57 o a la frecuencia de corte deseada, para verificar las especificaciones impuestas. Si añadimos una margen adicional = 5 o, obtenemos Φ m = 62 o. Este valor proporciona un α 2 = 1 senφ m 1 + senφ m = Para obtener el máximo avance de fase a la frecuencia de corte deseada, tendremos ω m = 1 α2 τ 2 = ω = 1.6rd/s τ 2 = 2.51rd/s Para el diseño de la parte de retardo de la red, imponemos de nuevo la condición de que el sistema compensado tenga la frecuencia de corte a la frecuencia deseada. Es decir k c G(jω ) τ=0.1 = 20log 10 ( 1 α 1 ) 10log 10 ( 1 α 2 ) expresión en la sustituyendo obtenemos 43.5dB = 20log 10 ( 1 α 1 ) 12.06dB

84 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 19 Diagrama de Bode Módulo (db) τ = 0.1 Bode de G 1 (s) = 1000 s(s+1) 2 τ = ω (rad/s) Fase (grados) ω (rad/s) Luego α 1 = Finalmente alejamos lo suficiente (una década) la red de retardo de la frecuencia de corte, para no deteriorar el avance de fase conseguido 1 α 1 τ 1 = ω 10 τ 1 = s La red diseñada será por tanto K(s) = s s s s Cabe comentar sobre este diseño, que el valor obtenido para α 1 es muy pequeño (menor que 0.01), lo que puede resultar problemático desde el punto de vista de la implementación práctica del controlador. Además valores tan reducidos de α 1, típicamente introducen polos lentos en el controlador, que hace que la respuesta del sistema a bucle cerrado sea muy lenta.

85 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 20

86 Parte II Diseño de controladores usando el lugar de las raíces 21

87

88 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 23 Solución del problema II Lugar de las raíces para K positiva El sistema tiene 3 polos reales en -1, -3, -10 y un cero real en -8 Lugar de las raíces sobre el eje real: El lugar de las raíces sobre el eje real queda como en la figura II.2.a Figura II.2.a: Lugar de las raíces sobre el eje real Puntos de separación e ingreso: Los puntos de separación e ingreso no es necesario calcularlos (ver enunciado) aunque se puede estimar a la vista del lugar de las raíces sobre el eje real que debe haber uno entre los polos en -1 y -3 ya que habitualmente hay un punto de separación cuando el eje real entre dos polos reales pertenece al lugar de las raíces sobre el eje real. Asíntotas: El sistema tiene tres polos y un cero, por lo que el exceso de polos sobre ceros es dos, con lo que debe haber dos asíntotas en ±90 0. Efectivamente si aplicamos la fórmula para el cálculo de asíntotas γ = l n m y el centroide queda: l = 0...n m 1 { γ 1 = = 90 0 γ 2 = = σ = pi c i n m = = 3 Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos el criterio de Routh.

89 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 24 El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es: d bc (s) = s s 2 + (K + 43)s + (8k + 30) La tabla de Routh queda del siguiente modo: 3 1 K K (43+K) (8K+30) K Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, que en nuestro caso significa 14(43 + K) (8K + 30) = 0 K = K + 30 K = 3.75 Por lo tanto, como era de esperar no existen cortes con el eje imaginario. Así pues el lugar de las raíces del sistema es: K Figura II.2.b: Lugar de las raíces del sistema

90 Control Automático, 3 o Ing. Industrial La sobreoscilación en el sistema original G(s) = evoluciona de la siguiente forma: K(s + 8) (s + 1)(s + 3)(s + 10) para valores de K < K 1 el sistema no presenta sobreoscilación puesto que tiene todos sus polos reales para valores de K > K 1 la sobreoscilación aumenta a medida que lo hace K, ya que aumenta el ángulo de los polos en bucle cerrado. El lugar de las raíces del sistema modificado G(s) = K(s + 8) (s + 1)(s + 3) es y la sobreoscilación evoluciona de la siguiente forma: 6 4 K K 3 K Figura II.2.c: Lugar de las raíces del sistema modificado G(s) = K(s+8) (s+1)(s+3) para valores de K < K 1 el sistema no presenta sobreoscilación puesto que tiene todos sus polos reales para valores de K 2 > K > K 1 la sobreoscilación aumenta a medida que lo hace K, ya que aumenta el ángulo de los polos en bucle cerrado, teniendo su valor máximo en K = K 2.

91 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 26 para valores de K 3 > K > K 2 la sobreoscilación disminuye a medida que aumenta K, ya que disminuye el ángulo de los polos en bucle cerrado, pasando a valer cero en K = K 3. para valores de K > K 3 la sobreoscilación es cero puesto que todos los polos de bucle cerrado son reales. 3.- Las especificaciones temporales del sistema se pueden transformar en especificaciones en el plano complejo e rp (escalon) 20% K > 12 δ 0.6 t s < 1s ω n 2.76 de tal forma que se produce una región permitida en el lugar de las raíces del sistema modificado K G(s) = (s + 1)(s + 3) 3 B A Figura II.2.d: Lugar de las raíces del sistema modificado G(s) = K (s+1)(s+3) Por lo tanto valores de K que hacen que el sistema tengan los polos entre A (K A ) y

92 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 27 B (K B ) cumplirán las especificaciones de transitorio (δ y ω n ). Por lo tanto hay que calcular K A y K B Los polos del sistema en bucle cerrado cuando son complejos serán s = δω n ± jω n 1 δ 2 El punto A tendrá δω n = 2 y ω n = 2.76 por lo tanto el valor del polo es s = j. Si sustituimos ese valor en el denominador de la función de transferencia en bucle cerrado y despejamos K obtenemos el valor de K A = 4.61 El punto B tendrá δω n = 2 y δ = 0.6 por lo tanto el valor del polo es s = j. Si sustituimos ese valor en el denominador de la función de transferencia en bucle cerrado y despejamos K obtenemos el valor de K B = 8.11 Por lo tanto valores de K comprendidos entre 4.61 y 8.11 cumplirán las especificaciones de transitorio (δ y ω n ). Como además para cumplir la especificación de error en régimen permanente ha de cumplirse que K > 12 podemos concluir que no hay ningún valor de K que cumpla las tres especificaciones.

93 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 28 Solución del problema II Lugar de las raíces generalizado tomando K A = 4. Es fácil comprobar que la función de transferencia de lazo cerrado del sistema de la figura tiene la forma T(s) = 1 + K A s(s+k T +1) K A s(s+k T +1) = K A s 2 + s(k T + 1) + K A = K A s 2 +s+k A 1 + K T s s 2 +s+k A A la vista de la expresión anterior, y teniendo en cuenta el valor K A = 4 impuesto por las especificaciones, resulta evidente que el lugar de las raíces generalizado del sistema en función de K T puede obtenerse como el lugar de las raíces de G (s) = s s 2 +s+4. El sistema generalizado equivalente tiene 2 polos complejos conjugados en 1±j 15 2, y un cero real en 0. Lugar de las raíces sobre el eje real: A la vista de la configuración de polos y ceros del sistema, el lugar de las raíces sobre el eje real coincide con el eje real negativo. Puntos de separación e ingreso: Los puntos de separación e ingreso pueden obtenerse imponiendo dk T dt = 0 con luego dk T dt K T = (s2 + s + 4) s = (2s + 1)s (s2 + s + 4)) s 2 = s2 4) s 2 = 0 de donde deducimos que los puntos de separación se encuentran el s = ±2, de los cuales sólo el punto s = 2 tiene sentido. Asíntotas: El sistema tiene dos polos y un cero, por lo que el exceso de polos sobre ceros es uno, con lo que tenemos una única asíntota en Efectivamente, aplicando la fórmula para el cálculo de asíntotas γ = l n m l = 0...n m 1 { γ 1 = = } El cálculo del centroide no aporta información relevante en este caso, pero podemos calcularlo como σ = pi c i n m = 1 0 = 1 1 Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos el criterio de Routh. El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es: d bc (s) = s 2 + s(k T + 1) + 4

94 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 29 La tabla de Routh queda del siguiente modo: K T Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse negativo o cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, que en nuestro caso implica K T 0. Dado que se asumen valores positivos para K T, podemos concluir que el lugar de las raíces no presenta cortes con el eje imaginario, o equivalentemente, el sistema es estable a lazo cerrado para todo valor de K T 0. Así pues el lugar de las raíces del sistema resulta, tal como muestra la figura II.3.a Eje Imaginario Eje Real Figura II.3.a: Lugar de las raíces del sistema 2.- Valor de K T para que el sistema no presente sobreoscilación a lazo cerrado. El sistema a lazo cerrado es de segundo orden sin ceros, luego la sobreoscilación desaparece valores del amortiguamiento crítico (δ = 1) y superiores, o equivalentemente, para aquel valor de K T que sitúe ambos polos de lazo cerrado sobre el eje real. Podemos calcular este valor a partir del resultado previamente calculado de los puntos de separación del eje real. Sabiendo que el punto de separación está situado en s = 2, podemos imponer la condición de pertenencia al lugar de las raíces y calcular s 2 + s(k T + 1) + 4 = 0 para s = 2, y obtener K T = 3.

95 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 30 Por tanto para valores de K T 3 el sistema no sobreoscila. 3.- Rango de valores de K A que anulan la sobreoscilación con K T = 5. En este caso, a partir de las expresiones desarrolladas en el apartado 1, podemos deducir que el polinomio del sistema a lazo cerrado resulta d BC (s) = s 2 + 6s + K A El sistema no presenta sobreoscilación para aquellos valores de K A que hacen que el polinomio anterior no tenga raíces complejas conjugadas. Esto se verifica si el discriminante del polinomio es positivo, es decir 36 4K A 0. Luego el rango de valores buscado es K A (0,9].

96 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 31 Solución del problema II Lugar de las raíces en función de K. El sistema presenta un par de polos conjugados en s = 4 ± 4j y un polo real en s = 0. A continuación se calculan los parámetros que definen la forma del lugar de las raíces. Lugar de las raíces sobre el eje real: A la vista de la configuración de polos y ceros del sistema, es inmediato concluir que el lugar de las raíces sobre el eje real coincide con el eje real negativo. Puntos de separación e ingreso: Los puntos de separación e ingreso pueden obtenerse imponiendo dk dt = 0 con K = s((s + 4) ) luego dk dt = (3s2 + 16s + 32) = 0 expresión que sólo tiene soluciones complejas, s = ±1.8856j. Por tanto, no tenemos puntos de separación del eje real. Asíntotas: El sistema tiene tres polos y ningún cero, por lo que el exceso de polos sobre ceros es tres. Esto indica que tenemos tres asíntotas en ±60 0 y Aplicando la fórmula para el cálculo de asíntotas γ = l n m l = 0... n m 1 γ 1 = = 60 0 El cálculo del centroide nos indica pi c i σ = n m = 8 0 = γ 2 = = γ 3 = = = 60 0 Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos una ve más el criterio de Routh. El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es: d bc (s) = s 3 + 8s s + K La tabla de Routh queda del siguiente modo: K 1 32 K K 0 Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, que en nuestro este caso implica

97 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US K 8 = 0 K = 256 K = 0 (0.1) De estos dos valores, nos interesa tomar el valor K = 256, ya que K = 0 representa trivialmente el corte asociado a la presencia de un polo en el origen. Para obtener el punto de corte con el eje imaginario podemos hacer s = aj en la expresión del denominador de lazo cerrado del sistema, con K = 256. Es decir (aj) 3 + 8(aj) (aj) = 0 (32a a 3 )j + (256 8a 2 ) = 0 expresión compleja que se verifica para a = ± 32 = ± Es interesante observar que la última ecuación proporciona un método indirecto de verificación de los cálculos, ya que debemos obtener el mismo valor de a, haciendo nulas tanto la parte real como la imaginaria. Un procedimiento alternativo que requiere en general menos cálculos, puede plantearse a partir de la tabla de Routh. Si hacemos K = 256, obtenemos que la tercera fila de dicha tabla es enteramente nula. Este hecho pone en evidencia que el sistema posee un par de polos complejos conjugados puros que pueden calcularse a partir del factor par de la fila 2. Es decir 8s = 0 s = ± 32j = ±5.657j Con estos datos podemos representar el lugar de las raíces del sistema, tal como muestra la figura II.8.a 2.- Puede un PI lograr que el sistema sea estable a lazo cerrado para todo valor de K > 0? La introducción de un PI, equivale a añadir un polo en el origen y un cero adicionales. El grado relativo del sistema no varía, sigue siendo 3. Luego la orientación de las asíntotas no varía, y por tanto seguiremos teniendo un sistema con dos asíntotas a ±60 0 que se adentran en el semiplano real positivo, lo que implica que siempre podremos encontrar un valor de K que haga inestable el sistema. La respuesta a la pregunta planteada es por tanto negativa. 3.- Rango de valores de c para que el PD G PD (s) = K(s + c) haga estable el sistema a lazo cerrado para todo K > 0. En este caso podemos razonar de manera análoga al caso anterior. El PD contribuye con un cero adicional al sistema que reduce el grado relativo del sistema a 2. Tenemos por tanto en este caso únicamente dos asíntotas situadas a ±90 0 respecto al eje real. Esta disposición permite encontrar configuraciones en las que el lugar de las raíces esté enteramente contenido en el semiplano real negativo, o equivalentemente, en las que el sistema sea estable para cualquier K > 0. Para encontrar estas configuraciones, deberemos encontrar para qué valores de c el lugar de las raíces no presenta cortes con el eje imaginario.

98 Control Automático, 3 o Ing. Industrial Eje Imaginario Eje Real Figura II.8.a: Lugar de las raíces del sistema La función de transferencia del sistema a lazo cerrado con el PD resulta T(s) = K(s+c) s((s+4) 2 +16) 1 + K(s+c) s((s+4) 2 +16) Para este sistema la tabla de Routh resulta: = K(s + c) s 3 + 8s 2 + (32 + K)s + Kc K 2 8 Kc K Kc Kc 0 El sistema no presenta cortes con el eje imaginario siempre y cuando no haya cambios de signo en los valores de la primera columna. Esto es 32 + K Kc 0 c K Kc 0 c 0 Dado que las expresiones anteriores deben ser válidas para K (0, + ), concluimos que c debe verificar 0 < c < 8

99 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 34 Para el caso particular que nos ocupa, este resultado podría haberse obtenido también razonando sobre la expresión del centroide del lugar de las raíces σ = pi c i n m 0 + ( 4 + 4j) + ( 4 4j) ( c) = 2 Si queremos asegurar que el lugar de las raíces esté íntegramente situado en el semiplano real negativo, deberemos imponer que el centroide σ < 0, para que las ramas que tienden a dichas asíntotas no invadan del semiplano real positivo. Luego tendremos 0 + ( 4 + 4j) + ( 4 4j) ( c) < 0, o equivalentemente c < 8. Este resultado, aún siendo equivalente al obtenido por el primer procedimiento, merece algún comentario adicional. El procedimiento del centroide es, en general, más económico y directo en términos de cálculo, aunque sólo es fiable si las ramas del lugar que tienden a las asíntotas no cambian el signo de su curvatura en todo su recorrido. En otras palabras, si la curvatura cambia de signo, las ramas del lugar de las raíces podrían adentrarse en el semiplano real positivo para un cierto rango de valores de K, y terminar sobre una asíntota enteramente situada en el semiplano real negativo, invalidando de este modo el argumento. Verificar la condición de curvatura es a menudo difícil, por lo que el procedimiento del centroide resulta útil como método secundario para comprobar los resultados obtenidos mediante la tabla de Routh, más fiable.

100 Parte III Automatismos 35

101

102 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 37 Solución del problema III.1 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración y que los productos lógicos vienen representados por &. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.1.a. Figura III.1.a:

103 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 38 Solución del problema III.2 La matriz de fases del automatismo que gobierna el funcionamiento del toldo es la siguiente P SS SB MOTOR X 0 1 X - - MP X - 0 X - 2 MB X - - X 4 2 MB X - - X - 6 MB 4-5 X - - X 4 - MP 5-5 X - - X 7 - MP X - - X - 6 MP X - - X 7 9 MS X - - X - 9 MP X - 11 X - 9 MS X 0 - X - 12 MS X 0 11 X - - MP X - - X - 12 MP X - - X - 2 MP Definición de los estados: 0: Estado inicial toldo subido, pulsador sin pulsar y motor parado. 1: Toldo subido (sensor SS activado) empezando a bajar, pulsador P pulsado y motor bajando. 2: Toldo en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor bajando. 3: Toldo en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor bajando. 4: Toldo en posición inferior, pulsador P pulsado y motor parado, (el toldo ha llegado abajo sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P y volverlo a pulsar para que el toldo se vuelva a poner en marcha). 5: Toldo en posición inferior, pulsador P sin pulsar y motor parado. 6: Toldo en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor parado, antes bajando. 7: Toldo en posición inferior empezando a subir, pulsador P pulsado y motor subiendo. 8: Toldo en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes bajando. 9: Toldo en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor subiendo. 10: Toldo en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor subiendo.

104 Control Automático, 3 o Ing. Industrial : Toldo en posición superior, pulsador P pulsado y motor parado, (el toldo ha llegado arriba sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P y volverlo a pulsar para que el toldo se vuelva a poner en marcha). 12: Toldo en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor parado, antes subiendo. 13: Toldo en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes bajando. Notas: Supongo que el toldo está inicialmente arriba se supone que el movimiento del toldo es instantáneo, es decir no da tiempo a soltar el botón P antes de que el toldo abandone la posición superior.

105 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 40 Solución del problema III.3 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.3.a. Figura III.3.a:

106 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 41 Solución del problema III.4 La matriz de fases del automatismo que gobierna el funcionamiento del ventanilla es la siguiente P VS VB MOTOR X 0 1 X - - MP X - 0 X - 2 MB X - - X 4 2 MB X - - X - 5 MP 4-6 X - - X 4 - MP X - 8 X - 5 MS 6-6 X - - X 9 - MP X - - X - 2 MP X 0 8 X - - MS X - - X 9 5 MS Definición de los estados: 0: Estado inicial ventanilla subida, pulsador sin pulsar y motor parado. 1: Ventanilla subida (sensor VS activado) empezando a bajar, pulsador P pulsado y motor bajando. 2: Ventanilla en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor bajando. 3: Ventanilla en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes bajando. 4: Ventanilla en posición inferior, pulsador P pulsado y motor parado, (la ventanilla ha llegado abajo sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P y volverlo a pulsar para que la ventanilla se vuelva a poner en marcha). 5: Ventanilla en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor subiendo. 6: Ventanilla en posición inferior, pulsador P sin pulsar y motor parado. 7: Ventanilla en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes subiendo. 8: Ventanilla en posición superior, pulsador P pulsado y motor parado, (la ventanilla ha llegado arriba sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P y volverlo a pulsar para que la ventanilla se vuelva a poner en marcha). 9: Ventanilla en posición inferior empezando a subir, pulsador P pulsado y motor subiendo.

107 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 42 Notas: Supongo que la ventanilla está inicialmente arriba se supone que el movimiento de la ventanilla es instantáneo, es decir no da tiempo a soltar el botón P antes de que la ventanilla abandone la posición superior.

108 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 43 Solución del problema III.5 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración y que los productos lógicos vienen representados por &. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.5.a. Figura III.5.a:

109 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 44 Solución del problema III.6 La matriz de fases rellena y corregida es la siguiente:

110 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 45 Solución del problema III.7 La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.7.a. Figura III.7.a:

111 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 46 Solución del problema III.8 Las redes de Petri que describen el comportamiento del sistema son las representadas en las figuras III.8.a, III.8.b y III.8.c. Figura III.8.a: Red de Petri del problema III.8.a

112 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 47 Figura III.8.b: Red de Petri del problema III.8.b Figura III.8.c: Red de Petri del problema III.8.c

113 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 48 Solución del problema III.10 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.10.a. Figura III.10.a:

114 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 49 Solución del problema III.11 En primer lugar hay que hacer la matriz de fases que describe el funcionamiento del sistema: S1 S FCV 0 0 X X X X Definición de los estados: 0: Estado inicial depósito vacío (Nivel por debajo de S1). 1: Nivel por encima de S1 y por debajo de S2, subiendo. 2: Nivel por encima de S2. 3: Nivel por encima de S1 y por debajo de S2, bajando. Para minimizar el número de estados hay que hacer la matriz de inferencias: 1-2 X X 3 X X De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son (0-1) y (2-3). A continuación se agrupan estados n-compatibles entre sí para minimizar el número de estados y obtenemos que los grupos son: (0 1) a (2 3) b Una vez minimizado el número de estado obtenemos la matriz de fases reducida como:

115 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 50 S1 S FCV a a X b a 1 b a X b b 0 Codificación de estados: Asignamos un número binario a cada estado estable de la matriz de fases reducida, como hay 2 estados necesitaremos 1 bit para codificar el número binario: a 0 b 1 Con esta calificación la matriz de transición de estados queda S1 S Para realizar la simplificación usamos la basada en tablas de Karnaught: S1 S Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificación de al función de transición correspondiente al estado q queda q = S2 + Q S1 Función de Salida (lectura) del sistema. Esta función se calcula como la relación de la salida del sistema con los estados obtenidos en la función de transición

116 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 51 FCV = Q Con lo que atendiendo a la función de transición y de lectura el diagrama de contactos queda: S2 q S1 Q Q FCV Figura III.11.a:

117 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 52 Solución del problema III.12 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.12.a. Figura III.12.a:

118 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 53 Solución del problema III.13 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.13.a. Figura III.13.a:

119 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 54 Solución del problema III.14 Las redes de Petri que describen el comportamiento del sistema son las representadas en las figuras III.14.a y III.14.b. Figura III.14.a: Red de Petri del problema III.14.a

120 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 55 Figura III.14.b: Red de Petri del problema III.14.b

121 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 56 Solución del problema III En primer lugar para minimizar el número de estados hay que hacer la matriz de inferencias: 1 X 2 X (5 6) 3 (2 3) X X 4 (1 4) X X - 5 X - (5 6) (2 3) X X 6 X (5 6) (1 4) (1 4) X X (5 6) De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son: (0-3), (0-4), (1-2), (1-5), (1-6), (2-5), (2-6), (3-4), (5-6). A partir de esta tabla de inferencias obtenemos la que nos da la 1-compatibilidad, viendo si las parejas que hay en las casillas correspondientes a estados 0-compatibles son 0-compatibles entre sí. Haciendo esto obtenemos la siguiente matriz de inferencias: 1 X 2 X (5 6) 3 X X X 4 X X X - 5 X - X X X 6 X X X X X (5 6) A partir de esta tabla se puede ver que los estados 1-compatibles son: (1-2), (1-5), (3-4), (5-6).

122 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 57 Es fácil ver que si repetimos el proceso para hallar los estados 2-compatibles se repite el mismo conjunto de estados, por lo que podemos asegurar que los estados 1-compatibles serán también estado n-compatibles. A continuación se agrupan estados n-compatibles entre sí para minimizar el número de estados y obtenemos que los grupos son: 0 a (1 2) b (3 4) c (5 6) d Una vez minimizado el número de estado obtenemos la matriz de fases reducida como: S a a b X b V b d b X b R c a c X c V d d c X c R Con esto ya habríamos contestado la primera pregunta ya que piden el número mínimo de estados, y esto es la matriz de fases, de todas formas vamos a continuar y a realizar la codificación de estados y la simplificación usando tablas de Karnaught para obtener la función de transición. Codificación de estados: Asignamos un número binario a cada estado estable de la matriz de fases reducida, como hay 4 estados necesitaremos 2 bits para codificar el número binario: a 00 b 01 c 11 d 10 Con esta calificación la matriz de transición de estados queda X X X X 11 Para realizar la simplificación separamos en dos tablas el primer y segundo bit. La del primer bit que llamaremos q 1 es:

123 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificación de al función de transición correspondiente al estado q 1 queda q 1 = Ā B Q 1 Q 2 + ĀQ 1 Q 2 + ĀBQ 1 + A BQ 1 Haciendo lo mismo para el segundo estado q Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificación de al función de transición correspondiente al estado q 2 queda 2.- Función de Salida (lectura) del sistema. q 2 = ĀB + A B Esta función se calcula como la relación de la salida del sistema con los estados obtenidos en la función de transición: Tomando V = 0 y R = 1 la relación es: y por lo tanto la función de lectura es: S = Q 1 Q 2 + Q 1 Q2

124 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 59 Solución del problema III.16 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.16.a. Figura III.16.a:

125 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 60 Solución del problema III.17 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.17.a. Figura III.17.a:

126 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 61 Solución del problema III.18 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.18.a. Figura III.18.a:

127 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 62 Solución del problema III.19 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.19.a. Figura III.19.a:

128 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 63 Solución del problema III.20 En primer lugar hay que hacer la matriz de fases que describe el funcionamiento del sistema: T10 T AIRE X X X X 2 1 Definición de los estados: 0: Estado inicial, temperatura intermedia, AIRE=0 viene de temperatura menor de 10. 1: Temperatura por encima de T20, AIRE=1. 2: temperatura por debajo de T10. 3: Temperatura intermedia, viene de temperatura alta. Para minimizar el número de estados hay que hacer la matriz de inferencias: 1 X 2 - X 3 X - X De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son (0-2) y (1-3). A continuación se agrupan estados n-compatibles entre sí para minimizar el número de estados y obtenemos que los grupos son: (0 2) a (1 3) b

129 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 64 Una vez minimizado el número de estado obtenemos la matriz de fases reducida como: T10 T FCV a a b X a 0 b b b X a 1 Codificación de estados: Asignamos un número binario a cada estado estable de la matriz de fases reducida, como hay 2 estados necesitaremos 1 bit para codificar el número binario: a 0 b 1 Con esta calificación la matriz de transición de estados queda T10 T X X 0 Para realizar la simplificación usamos la basada en tablas de Karnaught: T10 T X X 0 Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificación de al función de transición correspondiente al estado q queda q = T10T20 + QT10 Función de Salida (lectura) del sistema.

130 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 65 Esta función se calcula como la relación de la salida del sistema con los estados obtenidos en la función de transición AIRE = Q Con lo que atendiendo a la función de transición y de lectura el diagrama de contactos queda: T10 T20 q T10 Q Q AIRE Figura III.20.a:

131 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 66 Solución del problema III.21 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.21.a. Figura III.21.a:

132 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 67 Solución del problema III.23 Rutina de Taladrado PM (RTAL) CAR MT, BT FCAR TB G120 MT, AT1 CAR FG120 (RTAL) FCAR (RRTAL) FT1 MT, ST TA AT1 FT1 G120 FG120 (RRTAL) CAR (RAV) FCAR (RRAV) (RTAL) (RRTAL) Rutina de Avellanado (RAV) MA, BA PAR DESCAR FDESCAR PAR AB MA, AT2 G120 FG120 DESCAR FDESCAR G120 FG120 FT2 MA, SA AA AT2 FT2 DESCAR FDESCAR (RRAV) Figura III.23.a:

133 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 68 Solución del problema III.24 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.24.a. Figura III.24.a:

134 Control Automático, 3 o Ing. Industrial. 69 Solución del problema III.25 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.25.a. Figura III.25.a: