TEMA 3 ESTIMACIÓN PUNTUAL

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1 ESQUEMA Planteamiento del problema: La Estimación Puntual Propiedades de los estimadores Insesgadez Eficiencia. La cota de Cramér-Rao. EIMV Consistencia Sufuciencia. Criterio de Factorización Métodos de obtención de estimadores El método de los momentos. Propiedades El método de la máxima verosimilitud. Propiedades Planteamiento del problema: La Estimación Puntual. Recordemos que a la hora de estudiar un fenómeno aleatorio básicamente podemos encontrarnos con dos problemas: Puede resultar que desconozcamos el modelo de probabilidad al que se ajusta la v.a. que estemos estudiando. (inferencia no paramétrica) O bien conozcamos el modelo de probabilidad, pero desconozcamos el parámetro (o parámetros) que lo definen. (inferencia paramétrica) Este segundo problema va ha ser el objeto de nuestro estudio en los próximos temas. Este primer tema dedicado a la inferencia estadística lo dedicaremos a la Estimación Puntual. Básicamente estudiaremos la forma en que debemos hacer uso de la información muestral para determinar el valor de los parámetros que determinan un modelo de probabilidad. Por ejemplo, en un proceso industrial de llenado de paquetes de detergentes, sabemos que esta variable se ajusta a una distribución Normal, y debido a la larga experiencia podemos afirmar que en términos medios cada paquete es llenado con 5 Kgr. de detergente, pero desconocemos la regularidad del proceso (la desviación típica). Con el fin de determinar este valor desconocido debemos seleccionar una muestra y en función de los valores obtenidos asignar un valor a este parámetro. Desde un punto de vista teórico el problema lo vamos a plantear en los siguientes términos: Sea ξ una v.a. que tiene asociada una función de distribución F que depende de un parámetro θ. Supongamos que conocemos la forma funcional de F a falta de este parámetro. A partir de ahora nombraremos la función de distribución como F(x;θ) ó F θ para hacer referencia a que desconocemos el valor de este parámetro. Definición.- El conjunto de todos los valores admisibles de los parámetros de una función de distribución se llama espacio paramétrico. Este conjunto lo simbolizaremos por Θ. Para cada posible valor que tome θ tendremos una función de distribución distinta. El conjunto {F θ ; θεθ} se llama familia de distribuciones de ξ GARCÍA CÓRDOBA 1

2 Ejemplo: TEMA 3 ESTIMACIÓN PUNTUAL Si ξ B(3;p) tendremos que el espacio paramétrico es el intervalo Θ = [0,1]. Y la familia de distribuciones será {B(3;p) ; 0 p 1} Definición.- Sea (ξ 1, ξ 2,...,ξ n ) una m.a.s. de F(x;θ). Un estadístico θ* = f (ξ 1, ξ 2,...,ξ n ) se dice que es un estimador puntual de θ si θ* aplica R n en Θ. Obsérvese que el estimador no es un valor concreto sino una variable aleatoria, ya que aunque depende unívocamente de los valores de la muestra observados (ξ i = x i ), la elección de la muestra es un proceso aleatorio. Una vez que la muestra ha sido elegida, se denomina estimación el valor numérico que toma el estimador sobre esa muestra. Un estimador es siempre una función de los valores muéstrales cuyo resultado debe ser siempre un posible valor del parámetro. Por ejemplo, con el fin de estimar la proporción de éxitos p (desconocido) en un experimento que se repite 3 veces (modelo B(3;p)) tomamos una muestra de tamaño 4, pongamos (2,5,1,2), es decir, en estas cuatro realizaciones hemos obtenido cuatro valores diferentes para p, que son 0,2; 0,5; 0,1 y 0,2. Qué valor asignamos a p? Podemos pensar, y en principio es lo más coherente, tomar la media: p*=0,25. Pero otra alternativa podría ser la media geométrica p*=0,21 o quizás el mínimo valor muestral p*=0,1. Todas estas funciones (estadísticos) nos dan siempre valores aceptables para p. En cambio si tomamos la suma de todos los valores muéstrales p*=1 (que también es un estadístico=función de la muestra) este no será un estimador pues no siempre da valores posibles para p. Todo esto indica dos cosas: No todos los estadísticos son estimadores. No todos los estimadores asignan el mismo valor al parámetro desconocido. Al ser desconocido el valor real del parámetro no podemos a priori indicar el estimador que nos ofrezca el valor más próximo al parámetro, y por tanto, nunca sabremos exactamente cual es el error que estamos cometiendo al realizar nuestra predicción. Claro que, si que será posible estudiar los estimadores como v.a. y buscar propiedades que hagan a unos más deseables que a otros Propiedades de los estimadores.- Como hemos visto en el apartado anterior, el método del selección de estimadores mediante el ECM no es útil en todos los casos pues éste depende en ocasiones del parámetro desconocido. Con el fin de seleccionar el mejor o los mejores estimadores de un parámetro vamos a presentar algunas propiedades que en principio parezca aceptable exigir a un estimador para que realice su función de estimar un valor desconocido. Vamos a presentar las cuatro propiedades más importantes: GARCÍA CÓRDOBA 2

3 Propiedad de insesgadez: Hemos dicho en el apartado anterior que al realizar una estimación de θ mediante un determinado estimador θ* unas veces cometeremos errores por exceso y otras por defecto. El error es una v.a. θ*-θ. La primera propiedad que vamos a requerir de un estimador es que en términos medios el error que se cometa al estimar un parámetro sea cero Definición.- Sea ξ una v.a. y F θ su función de distribución. Diremos que θ* es un estimador insesgado de θ, si se verifica que: E[θ*] = θ. A la diferencia entre la esperanza matemática del estimador de un parámetro y el parámetro a estimar se llama sesgo del estimador que escribiremos como b(θ): b(θ) = E[θ*] - θ Si el sesgo de un estimador es positivo, este tenderá a sobreestimar el valor del parámetro, mientras que si el sesgo es negativo, el estimador tenderá a infravalorar el valor a estimar. Ejemplo: Consideremos los tres estimadores de la media de una población normal que presentamos en el apartado anterior. Sabemos que: E[μ*] = nμ/(n-1) su sesgo será b(μ) = nμ/(n-1) - μ = μ/(n-1) E[μ**] = μ su sesgo será b(μ) = μ - μ = 0 Estimador Insesgado. E[μ***] = nμ/(n+1) su sesgo será b(μ) = nμ/(n+1) - μ = - μ/(n+1) El primero de estos estimadores tiene un sesgo positivo, y tenderá a sobreestimar la media de la población, mientras que el segundo tiene sesgo negativo y tenderá a asignar a la media valores inferiores a su valor real. Frente a éstos, el estimador μ** es un estimador insesgado. Gráficamente, las funciones de densidad de cada uno de estos estimadores será: 0,5 0,4 0,3 0,2 0, GARCÍA CÓRDOBA 3

4 El estimador de mínimo error cuadrático medio. Supongamos que estamos estudiando una v.a. ξ que sabemos que se ajusta a un modelo probabilístico con función de distribución F conocida que depende de un parámetro θ desconocido. Con el fin de estimar el valor de este parámetro consideramos el estimador θ*. θ* es una v.a. función de la m.a.s. Como tal v.a. podrá tomar diversos valores dependiendo de la muestra seleccionada. El error que cometemos al estimar θ mediante θ* será la diferencia θ*-θ. Unas veces esta diferencia será positiva (cometiendo un error por exceso) y otras veces la diferencia será negativa (cometiendo un error por defecto). Por tanto la diferencia θ*-θ será también una v.a. que nos informa del error que estamos cometiendo al realizar la estimación. Con el fin de obtener una medida global de este error vamos a eliminar el signo de los errores considerando la diferencia al cuadrado (θ*-θ) 2 (error cuadrático). De esta manera podemos obtener una medida del error medio que estamos cometiendo al realizar la estimación mediante la esperanza matemática del error cuadrático. Definimos así: Definición.- Se llama error cuadrático medio del estimador a: ECM(θ*) = E[ (θ*-θ) 2 ] Si el error cuadrático medio es un número pequeño, podríamos asegurar que error que estamos cometiendo en la estimación es pequeño (en media), e inversamente, si el ECM es un número grande, cabe esperar que la estimación que realicemos no sea muy precisa. A partir de esta idea vamos a deducir las propiedades más importantes que debe cumplir un estimador para ser considerado aceptable. Vamos ahora a encontrar otra expresión para el ECM de un estimador: ECM(θ*) = E[ (θ*-θ) 2 ] = E[ ( { θ*- E[θ*] } - { θ -E[θ*] } ) 2 ] = = E[ ( θ*- E[θ*] ) 2 ] + E[ ( θ -E[θ*] ) 2 ] - 2 E[( θ*- E[θ*] )( θ -E[θ*] ) ] = = Var (θ*) + ( θ -E[θ*] ) 2-2( θ -E[θ*] ) E[( θ*- E[θ*] ) ] = = Var (θ*) + ( θ -E[θ*] ) 2 De esta manera podemos observar que el error cuadrático medio que cometemos al realizar una estimación es la suma de dos contribuciones positivas. En primer lugar el tamaño del error vendrá determinado por la varianza del estimador, es decir, por su precisión. Si el estimador tiene poca capacidad de variación para los distintas muestras que podamos tomar esto contribuirá de forma positiva a la obtención de un error más pequeño. En segundo lugar el tamaño del error vendrá determinado por la diferencia entre el valor medio que tome el estimador y el parámetro desconocido. Así, por ejemplo, si para los distintos valores muéstrales la media del estimador coincide con θ habremos obtenido un buen estimador. Observamos finalmente que las propiedades que nos van a permitir medir la calidad de un estimador están en función de sus dos primeros momentos: la media y la varianza de un estimador. GARCÍA CÓRDOBA 4

5 Estas no van a ser las únicas propiedades que observemos sobre la calidad de los distintos estimadores, pero quizás sí las más importantes. Ejemplo: Supongamos que estamos estudiando un fenómeno aleatorio que suponemos que se ajusta a una v.a. ξ, Normal N(μ;3). Con el fin de determinar el valor medio desconocido de la población se toma una m.a.s. de tamaño n y se plantean tres posibles estimadores: μ* = ξ i / (n-1) μ** = ξ i / n = la media muestral μ*** = ξ i / (n+1) Con el fin de saber cual de ellos es mejor se calcula el ECM de cada uno de ellos, para lo cual necesitamos saber cuales son sus dos primeros momentos: E[μ*] = nμ/(n-1) Var(μ*) = 30 n/(n-1) 2 E[μ**] = μ Var(μ**) = 30 / n E[μ***] = nμ/(n+1) Var(μ***) = 30 n/(n+1) 2 De tal forma que: ECM(μ*) = 30 n/(n-1) 2 + (μ- nμ/(n-1)) 2 = (30n+μ 2 )/(n-1) 2 ECM(μ**) = 30 /n + (μ- μ) 2 = 30/n ECM(μ***) = 30 n/(n+1) 2 + (μ- nμ/(n+1)) 2 = (30n+μ 2 )/(n+1) 2 Como podemos observar, el error cuadrático medio queda en función de dos valores: El tamaño muestral y el valor desconocido del parámetro. Veamos esto en una gráfica (tomando n=3): 2,5 2 ECM[µ*] ERROR CUADRATICO MEDIO 1,5 ECM[µ***] 1 ECM[µ**] 0, VALOR CONJETURABLE PARA LA MEDIA POBLACIONAL Observando la gráfica, deducimos sin ningún problema que el estimador μ* es el peor de los tres. Ahora bien dependiendo del valor del parámetro desconocido μ unas veces GARCÍA CÓRDOBA 5

6 será mejor μ** y otras μ***. Claro esto nos lleva a una situación difícil pues este valor es desconocido. Esta situación hace disminuir la aplicación universal de este método para determinar la calidad de un estimador. El error cuadrático medio depende en ciertos casos del parámetro desconocido En los tres casos el ECM disminuye conforme aumenta el tamaño muestral (algo que comentaremos mas adelante) 15 µ* ERROR CUADRATICO MEDIO 10 5 µ** µ*** TAMAÑO MUESTRAL Propiedad de eficiencia: Una vez que tengamos dos estimadores insesgados de un parámetro para determinar cuál de los dos es más adecuado debemos fijarnos en su varianza. Entre los dos elegiremos a aquel que presente una menor variación entorno al valor medio, ya que será un estimador más preciso. Definición.- Sea ξ una v.a. y F θ su función de distribución. Sean θ* y θ** dos estimadores insesgados de θ, Se dice que θ* es más eficiente que θ** si: Var(θ*) < Var(θ**) En este sentido hablaremos de la eficiencia relativa como: eficiencia relativa = Var(θ*) / Var(θ**) Definición.- Sea ξ una v.a. y F θ su función de distribución. Si θ* es un estimador insesgado de θ, y no hay ningún otro que tenga menor varianza, entonces se dice que θ* es el estimador insesgado de mínima varianza de θ. Ejemplo: Estas dos primeras propiedades las podemos relacionar con el ECM de un estimador. Como vimos en el apartado correspondiente: ECM(θ*) = Var (θ*) + ( θ -E[θ*] ) 2 = Var (θ*) + b(θ*) 2 De tal forma que entre todos los estimadores insesgados aquel que presente una varianza mínima será el que presente un error cuadrático mínimo ( podemos encontrar un estimador sesgado con menor ECM?). GARCÍA CÓRDOBA 6

7 El problema de obtener estimadores de varianza mínima está solucionado por el siguiente resultado: Proposición.- (Cota de Cramér-Rao) Sea ξ una v.a. y f(x;θ) su función de densidad. Tomemos una m.a.s. de tamaño n y sea θ* un estimador de θ. Entonces: 2 * [1+ b ( θ) ] Var( θ ) 2 ln f (x; θ) n E θ Siendo b (θ) la primera derivada del sesgo del estimador. Sin demostración. La Cota de Cramér-Rao (CCR) permite determinar el valor mínimo que puede alcanzar la varianza de un estimador de un parámetro desconocido. Si la varianza de un estimador coincide con la cota sabremos que de la clase de estimadores con ese sesgo (quizás insesgados) ninguno tendrá menor varianza. Por otra parte no podemos asegurar la existencia de un estimador que alcance esta cota. Ejemplo: La media muestral en poblaciones normales Propiedad de Consistencia.- Las dos propiedades anteriores tienen vigencia independientemente de cual sea el tamaño muestral. Este factor, el tamaño de la muestra, debe también ayudarnos a determinar la calidad de un buen estimador. Así, parece lógico exigir a un estimador que al aumentar el tamaño de la muestra su precisión aumente. Definición.- Sea ξ una v.a. y F θ su función de distribución. Si θ* n es un estimador de θ para una muestra de tamaño n. Diremos que θ* n es un estimador consistente si la sucesión de estimadores {θ* n } converge en probabilidad a θ. Es decir, si: lim n * P( θ n - θ ε) = 0 De esta manera un estimador será inconsistente si al utilizar toda la población como muestra (teóricamente una muestra infinita), el estimador no daría el resultado correcto. Una caracterización de los estimadores consistentes que resulta más simple de aplicar en la práctica es la siguiente: Proposición.- Sea ξ una v.a. y F θ su función de distribución. Sea θ* n es un estimador de θ para una muestra de tamaño n. Si se verifica que: GARCÍA CÓRDOBA 7

8 lim n E [ θ * n TEMA 3 ESTIMACIÓN PUNTUAL ] = θ lim n Var [ θ * n ] = 0 Entonces θ* es un estimador consistente. Sin demostración. De esta manera, un estimador consistente será aquel que, a medida que la muestra se hace más grande, el valor esperado del estimador tiende hacia el verdadero valor del parámetro (se vuelve insesgado), y la varianza del estimador se hace despreciable (la varianza tiende a cero). Gráficamente, podemos observar que le ocurre a la media muestral de una población N(0,1) al aumentar el tamaño muestral. Hemos simulado m.a.s. de tamaños de 1 a y hemos calculado a cada una de las muestras su media aritmética. Gráficamente el resultado es el siguiente: 0,6 0,4 0,2 MEDIA MUESTRAL 0-0,2-0,4-0, TAMAÑO MUESTRAL Ejemplo: Como ejemplos de estimadores consistentes μ* μ** μ*** Propiedad de Suficiencia.- Definición.- Se dice que un estimador es suficiente si incluye toda la información que la muestra puede suministrar sobre el parámetro desconocido. Esta definición de estimador suficiente no es muy formal y tampoco operativa. Hay definiciones más formales pero no entraremos en ellas. Si veremos un procedimiento más operativo para determinar la suficiencia de un estimador: GARCÍA CÓRDOBA 8

9 Proposición.- (Criterio de factorización de Fisher-Neyman) Si un estimador θ* de θ es suficiente si la función de densidad de la m.a.s. (función de Verosimilitud) L(ξ;θ) se puede descomponer en el producto de dos funciones, una de ellas g(θ*,θ) dependiente del parámetro y de la muestra a través de θ*, y otra, h(ξ) no dependiente de θ. L(ξ;θ) = g(θ*,θ) h(ξ) Este criterio es el habitualmente utilizado para la búsqueda de estimadores suficientes. Ahora bien, si no somos capaces de descomponer la función de verosimiltud como indica el criterio de factorización no podemos afirmar que el estimador en cuestión no sea eficiente. Otras propiedades.- Estas cuatro propiedades sobre los estimadores no son ni mucho menos las únicas, aunque quizás sí las más importantes. Sería otro objetivo presentar exhaustivamente las propiedades deseables de un estimador. No obstante podríamos haber hablado de propiedades como: invarianza, robustez y propiedades asintóticas Métodos de obtención de estimadores.- Hemos estudiado en el apartado anterior las diversas propiedades que debe cumplir un estimador para poder considerarlo adecuado para predecir un valor desconocido de la población. Como ya comentamos, al existir una infinidad de estimadores de un parámetro, sería desmesurado buscar entre esta infinidad aquél que mejores propiedades tenga. Para solucionar este problema la Estadística ha desarrollado métodos matemáticos que permiten obtener estimadores aceptables, esto es, que cumplen determinadas propiedades. En este apartado estudiaremos dos de estos métodos: El método de los momentos y el método de la máxima verosimilitud El método de los momentos. El método de los momentos está sustentado por la siguiente idea: Si una muestra representa perfectamente a una población, los momentos muéstrales y poblacionales deben coincidir. La forma de operar para obtener estimadores mediante este método es la de plantear un sistema de ecuaciones en la que el término independiente sea el momento muestral E[ξ] = ξ En el caso de que se desconozcan más de un parámetro de la población se presentarán tantas ecuaciones como parámetros se desconozcan, igualando siempre los primeros momentos poblacionales a los muéstrales. Si desconocemos dos parámetros plantearemos el sistema: E[ξ] = ξ Var(ξ) = s 2 GARCÍA CÓRDOBA 9

10 Propiedades de los estimadores obtenidos por el método de los momentos. Insesgadez: No tienen porqué ser insesgados aunque si lo son asintóticamente. Consistencia: Son consistentes Normalidad: Son asintóticamente normales El método de la máxima verosimilitud. Fue, en la década de 1.920, R.A. Fisher ( ) quien desarrollo el método de la máxima verosimiltud como técnica para la obtención de estimadores que cumplieran (quizás no todas) las propiedades presentadas anteriormente. La filosofía que sustenta el método es muy simple, pero su ejecución y la traducción de ésta a fórmulas estadística es un poco más compleja. Intentaremos realizar esta transición mediante un sencillo ejemplo. El método de la máxima verosimilitud consiste en elegir (entre todos los estimadores del parámetro desconocido) aquel estimador que haga máxima la probabilidad de haber obtenido la muestra que hemos encontrado. Debemos elegir como parámetro aquel que hace máxima la probabilidad de observar lo que en realidad hemos visto. Para explicar este galimatías pondremos un ejemplo. Ejemplo: Estimación de una proporción. Tengo aquí 5 papeletas, unas llevan marcada una cruz u otras un asterisco y desconocemos la proporción (p) de cruces (+) (esto es, cuantas hay de cada clase). Antes de nada veamos que posibilidades pueden plantearse: a) * aquí p=1 b) * aquí p=0,8 c) * aquí p=0,6 d) * aquí p=0,4 e) * aquí p=0,2 f) * aquí p=0 Tomaremos una muestra de tamaño 3, independientes e identicamentes distribuidas (e.d. cada vez que realizo una extracción devuelvo la papeleta a la urna (independientes) y las mezclo muy bien antes de cada extracción (idénticamente distribuidas)) Supongamos que las tres extracciones sucesivas han sido (+,*,*) El objetivo del método es determinar el valor de p (la proporción) que haga máxima la probabilidad de haber seleccionado esta muestra y no otra. Para empezar la muestra ya nos hace imposible (con probabilidad cero) determinadas proporciones. Este es el caso de las situaciones a) y f). Es más de forma lógica podemos aventurarnos a indicar cuál de las anteriores opciones es más coherente con la muestra elegida. Parece que lo normal sería que la composición de la urna fuera d) ya que la GARCÍA CÓRDOBA 10

11 proporción de cruces que tenemos en este caso es la más parecida a la proporción que encontramos en nuestra muestra. En este caso el método de la máxima verosimilitud nos indica que debemos maximizar: Máx (en θ) P(obtener una muestra determinada) en nuestro ejemplo Máx (en p) P(obtener (+,*,*)) debido a la independencia Máx (en p) P(+)P(*)P(*) = Max (en p) p(1-p)(1-p) el valor de p que hace máxima esta función es p=1/3=0,33 Por tanto y tal y como habíamos aventurado la composición que ustedes desconocen (y no van a conocer, así es la realidad) será la que se corresponda con el valor más próximo a 1/3, en este caso d). El planteamiento operativo del método de estimación máximo-verosímil es el siguiente: Tenemos una v.a. ξ con función de densidad f(x;θ) (o f.p.p. P(ξ=x;θ)) siendo θ el parámetro desconocido de la población. Tomamos una m.a.s. de ξ de tamaño n. Definición.- A la función de densidad conjunta ( o f.p.p. conjunta) de la muestra la llamaremos función de verosimilitud que denotaremos como L(x 1,...,x n ;θ) o de forma abreviada como L(x:θ). Como estamos siempre trabajando con muestras independientes resulta que la función de verosimilitud es igual al producto de las funciones de densidad (o f.p.p.): L(x:θ) = L(x 1,...,x n ;θ) = f(x 1 ;θ)... f(x n ;θ) El método de la máxima verosimilitud consiste en elegir, de entre los posibles valores del parámetro desconocido, aquel que hace máxima la función de verosimiltud. Definición.- El valor de θ que maximice la función de verosimiltud se llama estimación máximo-verosimil, y a su forma funcional θ* estimador máximo-verosimil L(x;θ*) = máx (en θ) L(x;θ) En general, la función de verosimiltud es complicada, y con el fin de simplificar el cálculo del máximo, se calcula el máximo al logaritmo (función monótona creciente) de la función de verosimilitud. L(x;θ*) = máx (en θ) ln L(x;θ) No siempre se puede obtener el estimador máximo-verosímil por el método analítico que hemos expuesto, en cuyo caso se procese de forma directa partiendo del fundamento del método: lo sucedido es lo más probable que puede suceder. Como ejemplo de esta situación el caso de la distribución uniforme. Otras veces es necesario recurrir a métodos numéricos para determinar este valor máximo. Propiedades de los estimadores máximo verosímiles. La razón por la que este método es útil para la obtención de estimadores es debido a que los estimadores así obtenidos cumplen una serie de propiedades que los hacen deseables: GARCÍA CÓRDOBA 11

12 Insesgadez: Los estimadores máximo verosímiles no tienen porque ser insesgados (aunque si lo son asintóticamente) Eficiencia: Si existe un estimador de mínima varianza, este es el obtenido por el método de la máxima verosimilitud. Consistencia: Los estimadores máximo verosímiles son consistentes Normalidad: Los estimadores máximo verosímiles son asintóticamente normales Suficiencia: El estimador máximo verosímil no tiene porque ser suficiente, pero si un parámetro tiene un estimador consistente, el estimador máximo verosímil es función de éste. BIBLIOGRAFÍA: **García Córdoba, Palacios Sánchez, Ruiz Marín: Probabilidad e Inferencia Estadística: Una Introducción. Ed. Horacio Escarabajal. Durá Peiró: "Fundamentos de Estadística" Ed: Ariel Escuder, R. "Introducción a la Teoría de la Probabilidad" Ed: tirant to blanch economía. Evans J.R y Olson D.L. Statistics, Data análisis and decisión modeling Prentice Hall. Fernández Abascal: "Cálculo de Probabilidades y Estadística" Ed: Ariel. Gutiérrez Jaímez R. y otros.: "Curso Básico de Probabilidad" Ed: Pirámide. Llopis Perez J. "La estadística: una orquesta hecha instrumento" Ed: Ariel Ciencia. Martín Pliego F.J. Montero Lorenzo J.M. Riuz-Maya Pérez L. "Problemas de Probabilidad" Ed: AC. Martín Pliego, Ruiz Maya: "Estadística: I Probabilidad. II Inferencia Estadística" Ed: AC. **Newbold P. "Estadística para los Negocios y la Economía" Ed: Prentice Hall **Novales A., Estadística y Econometría Ed: Mc Graw Hill. Problemas: Murgui, J.S. "Estadística para la Economía y Administración de Empresas" Ed: Purchades. Ruiz Maya: "Problemas de Estadística" Ed:AC Sarabia Alegría J.M. : "Curso Práctico de Estadística" Ed: Cívitas. Serret Moreno-Gil J.: "Manual de Estadística Universitaria" Ed. ESIC. Tussel F. Garín A: "Problemas de Probabilidad e Inferencia Estadística" Ed:Tebar Flores. ** Palacios González y otros. Ejercicios resueltos de inferencia estadística. Delta ** Sierra, Miguel Ángel. Ejercicios resueltos de estadística. Ed. Ceura Para saber más o comprobar dudas: GARCÍA CÓRDOBA 12