NOTAS PARA EL DICTADO DE CLASES DEL CURSO DE POSGRADO TEORÍA DE CATEGORÍAS

Transcripción

1 NOTS PR EL DICTDO DE CLSES DEL CURSO DE POSGRDO TEORÍ DE CTEGORÍS (Primera clase: deinición y ejemplos) Introducción Teoría de Categorías tiene que ver con graos y tiene que ver con unciones. Tiene que ver con unciones porque pretende abstraer ciertos conceptos y propiedades de unciones. Tiene que ver con graos porque las categorías son graos y porque es un lenguaje gráico, uno en que los diagramas juegan un rol muy destacado. Hablemos un poco de graos. Qué tienen que ver las categorías con los graos? Veremos que las categorías son graos dirigidos. Hay muchas deiniciones de graos, incluso muchas de graos dirigidos. Comencemos por ésta: Deinición 1. Un grao dirigido es un par ordenado G = (N, ) donde N es un conjunto de nodos, vértices u objetos y, un conjunto de lechas, aristas o arcos dirigidos, es decir, pares (a, b) donde tanto a como b (llamados respectivamente origen y destino de la lecha) pertenecen a N. Esta deinición admite, para cada par de objetos a y b a lo sumo una lecha de a a b. Una variante, a veces llamada multigrao dirigido, es aquélla en que es un multiconjunto en vez de un conjunto. sí se admite cualquier número de lechas de a a b ya que (a, b) puede ocurrir varias veces en : Deinición 2. Un multigrao dirigido es un par ordenado G = (N, ) donde N es un conjunto de nodos, vértices u objetos y, un multiconjunto de lechas, aristas o arcos dirigidos, es decir, pares (a, b) donde tanto a como b (llamados respectivamente origen y destino de la lecha) pertenecen a N. Sobre initud del grao. En teoría de graos suelen omitirse cuestiones sobre initud o ininitud, habitualmente los ejemplos son de graos initos: tienen un número inito de objetos y entre todo par de objetos, un número inito de lechas. Pero la deinición que acabamos de dar permite que N sea ininito ya que no dijimos que deba ser inito. Tampoco dijimos que deba ser inito, por lo tanto puede ser ininito. De hecho si hay ininitos objetos es lógico que haya también ininitas lechas, sino casi todos los objetos estarían muy aburridos, sin lechas de llegada ni de salida. Pero la deinición incluso la de multigrao dirigido no permite que ijados los objetos a y b haya ininitas lechas de a a b. Esto es culpa de la noción de multiconjunto que sólo permite que cada elemento se repita un número inito de veces. Para permitir ininitas lechas con el mismo origen a y destino b, podemos hacer tres cosas: la primera sería airmar que nuestros multiconjuntos permiten repeticiones

2 arbitrarias (no sólo initas, sino ininitas). Pero no es el objetivo revisar acá la noción de multiconjunto. Sólo pretendemos tener una deinición que permita cantidad arbitraria de lechas. Descartamos este primer enoque. La segunda sería retocar la deinición de multigrao dirigido: Deinición 3. Un multigrao dirigido es un par ordenado G = (N, ) donde N es un conjunto de nodos, vértices u objetos y, una unción que aplicada a dos objetos a y b nos devuelve un conjunto (denotado (a, b)) de lechas, aristas o arcos dirigidos, de a a b. No decimos que las lechas sean pares. La tercera también sería retocar la deinición de multigrao dirigido: Deinición 4. Un multigrao dirigido es una cuadrupla G = (N,, dom, cod) donde N es un conjunto de nodos, vértices u objetos,, un conjunto de lechas, aristas o arcos dirigidos, y dom y cod, unciones de en N. No decimos que las lechas sean pares. La unción dom aplicada a una lecha devuelve su origen, y la unción cod, su destino. La elección de los nombres dom y cod hacen reerencia a las palabras dominio y codominio que son habituales en matemática cuando se habla de unciones en vez de lechas. Se utilizan éstos nombres por coherencia con las deiniciones que usaremos en el resto del curso. Cualquiera de estas dos deiniciones admite suiciente lexibilidad para cantidades de objetos, de lechas e incluso de lechas que comparten el mismo origen a y destino b. Personalmente, tengo preerencia por la deinición 3, pero para ser coherente con la literatura que utilizaremos como reerencia, adoptaremos la deinición 4. demás, los llamaremos simplemente graos. l conjunto de lechas de a a b (denotado (a, b) en la deinición 3) lo denotaremos G(a, b) = { dom() = a cod() = b}. Decimos que un grao es inito cuando N y lo son, y que es localmente inito cuando para todo par de objetos a, b N, el conjunto G(a, b) es inito. Si hubiéramos adoptado la deinición 2, todos los graos serían localmente initos. Ejercicio 5. Dar una deinición ormal del siguiente grao utilizando cada una de las deiniciones presentadas. a j b m g n c h k d Ejercicio 6. Dar un ejemplo de un grao ininito no trivial que sea localmente inito. Dar luego otro ejemplo de un grao que no sea localmente inito.

3 Hablemos de unciones. l igual que las lechas, las unciones tienen habitualmente un origen (su dominio) y un destino (su codominio). demás, las unciones tienen las siguientes propiedades: Pueden componerse, eso da una nueva unción. La composición es asociativa. Todo conjunto tiene una unción que va de él en sí mismo: la unción identidad. La unción identidad es el elemento neutro de la composición. Las unciones tienen muchas otras propiedades (por ejemplo, pueden aplicarse a un argumento y devolver un valor). Pero son solo estas cuatro propiedades básicas las que se capturan en la teoría de categorías. Por ello, se trata de una abstracción de la noción de unción. Deinición de Categorías. continuación, la deinición de categoría: Deinición 7. Una categoría C está compuesta por Una colección C 0 de objetos:, B, C,..., a, b, c,.... Una colección C 1 de lechas, morismos, homomorismos:, g, h.... Toda lecha tiene asociado un origen o dominio dom() y un destino o codominio cod(). Escribimos : B ó B para indicar que dom() = y cod() = B. Dadas : B y g : B C hay una lecha g : C, llamada la composición de y g. La composición de lechas es asociativa. Para todo objeto existe una lecha 1 : llamada la lecha identidad de. Esta lecha es neutra para la composición. Observar que utilizamos la palabra colección en vez de conjunto. No vamos a prestar mucha atención a esta distinción, pero en algunos casos, tendrá relevancia. La explicaremos oportunamente. Salvo por esa distinción, se observa inmediatamente de las tres primeras componentes que toda categoría es un grao. Ejercicio 8. Observar que la deinición de categoría es una extensión de la deinición 4. Dar una deinición alternativa de categoría que sea una extensión de la deinición 3. En teoría de categorías es común la airmación de que lo importante son las lechas, no los objetos. Esto signiica que la estructura de la categoría está dada por la operación de composición. Los objetos cumplen el rol de condicionar la deinición de la composición (una especie de buen tipado de la composición). Se suele denotar por C(, B) ó Hom C (, B) (o incluso Hom(, B), si no es necesario mencionar la categoría C) a la colección de lechas de en B, es decir, a la colección de lechas cuyo dominio es y cuyo codominio es B. Que la composición sea asociativa signiica que dadas : B, g : B C y h : C D, la igualdad h (g ) = (h g) vale. Gráicamente, (y utilizando la terminología propia de teoría de categorías) podemos decir que asociatividad signiica

4 que el siguiente diagrama siempre conmuta: B g g h g h C D Que un diagrama conmute signiica que para todo par de objetos a y b del diagrama, las composiciones que se hagan a lo largo de cualquier camino dirigido de a a b dan idéntico resultado. En el ejemplo, el camino de a D que se obtiene bajando por g y luego continuando por h determina la misma lecha que el camino que primero realiza y luego baja por h g. Es decir, h (g ) = (h g). Observar que podríamos haber omitido los rótulos de las lechas g y h g. En eecto, al airmar que el diagrama B g h C D conmuta, también estamos airmando que la lecha que va de a C es g, y la que va de B a D es h g. Que la identidad sea elemento neutro de la composición signiica que dada : B, las igualdades 1 = y 1 B = se cumplen. Esto se puede expresar airmando que el diagrama B 1 1 B B conmuta. Se puede comprobar que para cada objeto, la lecha identidad es única. En eecto, sea un objeto con dos lechas identidad: 1 y 1. La conmutatividad del siguiente diagrama se obtiene como consecuencia de que 1 es la identidad, tomando =

5 De igual modo, la del siguiente se obtiene como consecuencia de que 1 es la identidad, tomando = Observar que el triángulo superior derecho del primer diagrama dice que 1 1 = 1, mientras que el inerior izquierdo del segundo expresa que 1 1 = 1. Por lo tanto 1 = 1. Por supuesto que idéntica conclusión puede obtenerse (y más brevemente) sin apelar a los diagramas, pero es habitual en teoría de categorías utlizar los diagramas en las pruebas. Ejercicio 9. Comprobar ecuacionalmente que para cada objeto de una categoría, la lecha identidad es única. Ejemplos de Categorías. Existen numerosos ejemplos de categorías. Tantos, que iremos introduciendo nuevas categorías a lo largo de la materia. lgunos ejemplos con graos. continuación algunos ejemplos de categorías a partir de graos. Ejemplo 10. La categoría más sencilla es la categoría vacía 0: no tiene objetos, ni lechas. Las demás propiedades se satisacen trivialmente porque están universalmente cuantiicadas sobre conjuntos vacíos. Ejemplo 11. La siguiente categoría más sencilla es la categoría 1: con un único objeto y una única lecha (la identidad de ese objeto). Las demás propiedades se satisacen trivialmente porque la composición es trivial. Es tan sencilla que se la puede graicar: El asterisco representa el único objeto de la categoría 1. Por convención, la lecha identidad no se dibuja. Una categoría que solo tiene lechas identidad se dice discreta. Ejemplo 12. Un ejemplo sencillo de categoría no discreta es la categoría 2: tiene dos objetos y una única lecha (además de las dos identidades) de un objeto en el otro. También puede graicarse: cá el asterisco representa un objeto dierente en cada ocurrencia, y la lecha dibujada es la única que no es la identidad. Observar que decimos la categoría 1, la categoría 2, etc., pero en realidad hay ininitas de cada una de ellas: depende de cuáles sean los objetos y las lechas. La categoría 0, en cambio, es una sola.

6 Ejercicio 13. Corresponde el siguiente gráico a una categoría? Justiicar. Ejercicio 14. Corresponde el siguiente gráico a una categoría? Justiicar. lgunos ejemplos con unciones. continuación algunos ejemplos de categorías a partir de unciones. Ejemplo 15. Seguramente el ejemplo de categoría más importante es Set: la categoría en que los objetos son conjuntos y las lechas son unciones totales, la composición es la usual y la identidad es la unción identidad. Observar que acá resulta relevante que la deinición de categorías requiera una colección de objetos en vez de un conjunto. La colección de objetos de la categoría Set es la de todos los conjuntos, que no puede a la vez ser un conjunto. Se pueden derivar otros ejemplos: Ejemplo 16. La categoría Set in : la categoría en que los objetos son conjuntos initos y las lechas son unciones totales. Ejemplo 17. La categoría Inj (resp. Surj) cuyos objetos son conjuntos y las lechas, unciones totales inyectivas (resp. suryectivas). Ejercicio 18. Comprobar que Set in, Inj y Surj son categorías. Ejercicio 19. Las unciones inyectivas : B son aquéllas que satisacen que 1 (b) tiene a lo sumo un elemento, para todo b B. Si tomamos las lechas que satisacen que 1 (b) tiene a lo sumo dos elementos, para todo b B, obtenemos una categoría? Y si pedimos 1 (b) inito? o ininito? Ejercicio 20. Las unciones suryectivas satisacen que 1 (b) tiene al menos un elemento. Si pedimos que tenga al menos dos? Ejemplo 21. La categoría Pn: la categoría en que los objetos son conjuntos y las lechas son unciones parciales. Ejemplos de computación. Ejemplo 22. La categoría λ de los tipos del cálculo lambda simplemente tipado, donde los objetos son tipos dados por la siguiente gramática, B ::= ciertos tipos básicos B... y las lechas son términos lambda cerrados correctamente tipados. Los términos del cálculo lambda están dados por la siguiente gramática M, N ::= c v M N λv.m... y satisacen las ecuaciones (λx. b) a = b[a/x] (regla β) y λx. a x = a si x no está libre en a (regla η), entre términos de igual tipo. Ejercicio 23. Comprobar que λ es una categoría. Ejercicio 24. Deinir una categoría en que los objetos son estados y las lechas son programas imperativos.