SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

Transcripción

1 DE CD EÍRFE ág. ágina 6 Ruperto sale de su casa, R, compra el periódico en el quiosco, K, y va a buscar a su amiga ilar,. Cuántos caminos distintos puede tomar para ir de su casa al quiosco? Cuántos caminos distintos puede seguir para ir del quiosco a casa de ilar? Cuántos caminos distintos hay para ir de R a pasando por K? Naturalmente, los itinerarios deben siempre acercarse al destino. a) ara ir de casa al quiosco hay 6 caminos diferentes. b) Hay tres caminos diferentes. c) Hay tres caminos por cada uno de los caminos que hay para ir de la casa de Ruperto al quiosco. or tanto, habrá 6 8 caminos distintos para ir de la casa de Ruperto a la casa de ilar. ágina 7 Cuatro amigos,, B, C, D, conciertan un torneo de ajedrez. Vemos a la derecha todas las partidas que van a jugar. El jugador que figura en primer lugar lleva las piezas blancas. B C D B BC BD C CB CD D DB DC a) Si el torneo fuera de pimpón a una sola vuelta (un único enfrentamiento entre cada dos jugadores), cuáles serían las partidas previstas? b) Haz una liguilla de enfrentamientos a doble vuelta y a solo una vuelta, para cinco contendientes.

2 0 DE CD EÍRFE ág. a) B BC CD C BD D Habría 6 partidos. b) Enfrentamientos a doble vuelta implica que B es un partido distinto que B y enfrentamientos a solo una vuelta es que B es el mismo partido que B. LIUILL DOBLE RTID B B C D E C BC CB DB EB D BD CD DC EC E BE CE DE ED Total: 0 partidos LIUILL SOLO UN VUELT B BC CD DE C BD CE D BE E Total: 0 partidos Tenemos una tira de cuatro sellos y queremos plegarla, sin doblar ninguno, de modo que el conjunto ocupe el lugar de un solo sello. De cuántas formas distintas puede hacerse? ara resolver este problema, que no es tan fácil como parece, consigue una tira de cuatro sellos o fabrícatela con papel y eperimenta, juega, tantea las distintas posibilidades que pueden darse. Después, intenta proceder ordenadamente. Si solo tuviéramos dos sellos, habría dos posibles formas de plegarlos: Si en vez de dos sellos tuviéramos tres: partir de a) partir de b)

3 DE CD EÍRFE ág. artiendo de cada una de estas seis posibilidades, averigua cuántos plegados distintos pueden hacerse con cuatro sellos. Una vez los tengas hechos, te animarías a plegar cinco? artiendo de tres sellos, hacemos los dobleces para cuatro sellos: Hay 6 formas de plegar cuatro sellos sin doblar ninguno. ara plegar cinco sellos partimos de cada una de las posibilidades de plegar cuatro sellos: Con las otras ocho posibilidades salen los mismos casos, es decir, otros 5 casos. Hay formas de plegar cinco sellos sin doblar ninguno. ágina 8 Resuelve razonadamente los enunciados,, 4 y 5 anteriores:. Hay conversaciones bilaterales entre la UE y Japón. Los europeos acuden con 8 representantes, los japoneses con. l encontrarse, cada miembro de una delegación saluda, estrechando la mano, a cada miembro de la otra. Cuántos apretones de manos se dan?. Vamos a merendar a un bar. Nos ofrecen 5 tipos de bocadillos y 8 tipos de bebidas. Cuántos menús podemos confeccionarnos?

4 DE CD EÍRFE ág Cuántos resultados distintos podemos obtener al lanzar un dado rojo y otro verde? 5. Lanzamos un dado y etraemos una carta de una baraja de 40 cartas. Cuántos resultados distintos podemos obtener?. Cada representante europeo da la mano a cada uno de los once japoneses. Como hay 8 representantes europeos, en total hay 8 88 apretones de mano.. Con cada bocadillo podemos tomar 8 bebidas. Como hay 5 tipos de bocadillos, en total hay menús distintos. 4. Con cada resultado del dado rojo hay 6 resultados del dado verde. Como hay 6 resultados del dado rojo, en total hay resultados distintos. 5. Con cada resultado del dado hay 40 cartas de la baraja. Como hay 6 resultados del dado, en total eisten posibles resultados. ágina 9 Resuelve razonadamente los enunciados b, b, 4b y 5b: b. Los japoneses y los europeos se saludan, estrechándose la mano, no solamente al conocerse, sino cada día al juntarse y al separarse ( qué pesados!). Las conversaciones duran días. Cuántos apretones de manos se darán? b. En el bar donde fuimos a merendar, además de bocadillos y bebidas, decidimos pedir postre. Los hay de 4 tipos distintos. Cuántos menús distintos salen ahora? 4b. Cuántos resultados distintos podemos obtener al lanzar un dado rojo, uno verde y uno azul? 5b. Cuántos resultados distintos podemos obtener al lanzar un dado, etraer una carta de una baraja de 40 cartas y lanzar una moneda? b. Cada día se dan apretones de manos durante los tres días. or lo tanto, cada pareja se saludan 6 veces. En total se dan apretones de manos. b. Hay cuatro postres para cada menú. Entonces hay menús distintos ahora. 4b. Lanzando dos dados obtenemos resultados. Lanzando tres dados obtenemos resultados distintos. 5b. Etrayendo una carta y lanzando un dado, conseguimos 40 resultados distintos. ara cada resultado hay dos posibilidades al lanzar una moneda, luego hay resultados distintos.

5 DE CD EÍRFE ág. 5 ágina lberto, Beatriz y Claudia van a ver a su abuelo. l irse, este les dice: Escoged cada uno el libro que queráis de estos, y les muestra 0 libros distintos. De cuántas formas pueden hacer su elección? El primer nieto: elegirá libro de entre 0 libros distintos. El segundo nieto: por cada una de las 0 posibilidades que ha tenido el primer nieto tiene 9 posibilidades: posibilidades. El tercer nieto: por cada una de las 90 posibilidades que hay al haber elegido ya el segundo nieto tiene 8 posibilidades. En total tiene formas de hacer la elección. ágina 4 Luis, Carlos, onzalo, aco y Jorge, han quedado en encontrarse en la puerta del cine con sus amigas, Carmen, Elena, arta y Cristina. l encontrarse, se saludan como es habitual: dos besos en la mejilla entre un chico y una chica. Cuántos besos se dan entre todos? Cada chico da dos besos a cada chica. Cada chico da 4 8 besos. Como hay 5 chicos, en total dan besos. 5 Cuántos partidos de rimera División se juegan en una temporada de la Liga española de fútbol? (Son 0 equipos que juegan todos contra todos dos veces). Cada equipo juega 9 partidos de ida y 9 partidos de vuelta. En total juegan 8 partidos. Como hay 0 equipos, se jugarán 0 8 partidos. ero estamos contando dos veces cada partido, por lo tanto se jugarán partidos de fútbol. 6 Cuántos resultados posibles se pueden obtener al lanzar un dado y dos monedas? l lanzar dos monedas tenemos 4 posibles resultados: CC CX XC XX or cada una de estas 4 posibilidades, hay 6 resultados al lanzar un dado. En total hay posibles resultados. 7 Quiero pintar una diana como la de la figura, para jugar a los dardos. Cada una de las zonas, B, C debe tener un color distinto de las otras.

6 DE CD EÍRFE ág. 6 De cuántas formas la puedo pintar si tengo pintura de colores azul, verde y naranja? Y si tuviera 6 colores? COLOR EXTERNO COLOR INTEREDIO COLOR INTERNO V N V N N V N V N V Hay 6 posibilidades con tres colores. Si hay 6 colores (enumeramos los colores del al 6): posibilidades con el color en primer lugar. Si hacemos este árbol para los otros cinco colores, obtendremos: posibilidades. Hay 0 formas de pintar la diana. 8 La especialidad del bar La laza son los combinados de zumos de frutas y el café. Tiene 5 tipos de zumos de frutas y tipos de cafés. Cuántas combinaciones distintas se pueden hacer eligiendo un zumo y una taza de café? Si, además, se añade a cada combinación un bombón de chocolate blanco o negro, cuántas se podrán preparar de esta forma? or cada zumo se pueden hacer tres combinaciones con café. En total habrá 5 5 combinaciones de zumo y café. cada una de estas 5 combinaciones se le puede añadir un bombón a elegir entre dos tipos. Luego ahora habrá 5 0 combinaciones distintas. 9 La sociación de Libreros va a entregar los premios luma de Oro y luma de lata. ara ello ha seleccionado 0 libros entre los publicados este año. De cuántas formas pueden repartirse los dos premios entre esos libros? or cada libro que reciba la luma de Oro hay 9 posibilidades de otorgar a otro libro distinto de este la luma de lata. Como hay 0 posibilidades para otorgar la luma de Oro, en total habrá: formas distintas de repartirse los dos premios entre los 0 libros.

7 DE CD EÍRFE ág. 7 0 En un aula hay 6 ventanas que pueden estar abiertas () o cerradas (C), indistintamente. Esta mañana su posición era esta: CC, es decir, estaban abiertas la ª, ª, 4ª y 6ª, y cerradas la ª y 5ª. Cuántas posiciones distintas pueden tener las ventanas? Hacemos un diagrama en árbol. Supongamos que la primera ventana está abierta (): NÚERO DE VENTN C C C 4 C C C C 5 C C C C C C C C 6 C C C C C C C C C C C C C C C C Hay posiciones distintas de tener las ventanas. Si la primera ventana está cerrada (C), habrá otras posiciones. En total hay 64 posiciones distintas. ágina En el alfabeto orse se utilizan dos símbolos: el punto (.) y la raya ( ), para representar letras y números. or ejemplo, las vocales se representan así:. E. I.. O U.. a) Cuántas tiras de tres símbolos de estos (entre puntos y rayas) se pueden formar? b) Si utilizamos tiras de,, ó 4 símbolos, cuántas letras o números podremos representar en total? a) er SÍBOLO º SÍBOLO er SÍBOLO Se pueden hacer 8 tiras.

8 0 DE CD EÍRFE ág. 8 b) Número de tiras de símbolo: Número de tiras de símbolos: 4 Número de tiras de símbolos: 8 Número de tiras de 4 símbolos: 6 En total se representarán: letras o números. Dos amigos juegan un torneo de ajedrez en el que será vencedor el primero que logre ganar tres partidas. (No se tienen en cuenta las partidas que terminan en tablas). De cuántas formas posibles puede desarrollarse el encuentro? Basta ver lo que hace uno de los amigos (ya que, si este gana, el otro pierde). gana pierde ana ana ana ierde ana ierde ana ierde Si el primer amigo ha ganado la primera partida, hay 8 formas distintas de desarrollarse el torneo. Si pierde la primera partida, hay otras 8 formas distintas. En total hay formas distintas de desarrollarse el encuentro. demás de la locomotora, que va delante, un tren lleva 5 vagones: de segunda clase y de primera clase, que pueden ordenarse de cualquier forma. Un día, su posición era así: ; otro día, así:. De cuántas formas pueden ordenarse los vagones? Las posiciones posibles son: En total hay 0 formas de ordenar los vagones. 4 a) Se ha jugado un partido de fútbol de máima rivalidad en nuestra ciudad y solo sabemos que el resultado fue un empate: -. Cuál sería el resultado del marcador en el descanso? Escribe todas las posibilidades. b) Si en el descanso el resultado era -0, de cuántas formas posibles pudo ir variando el marcador hasta llegar al resultado final -?

9 DE CD EÍRFE ág. 9 a) er EQUIO Hay 9 posibilidades º EQUIO RESULTDOS b) 0 0 En total hay formas distintas de variar el marcador. 5 Cuatro refugios de montaña,, B, C, D, están comunicados por los caminos indicados en el dibujo. Cuántas rutas posibles se pueden seguir para ir de a D? Hay formas de llegar de a B, de llegar de B a C y 4 de llegar de C a D. En total hay 4 4 formas distintas de ir desde hasta D. 6 Cuántos capicúas de tres cifras eisten? Como empiezan y terminan por el mismo número, sólo podemos variar la cifra central. or ejemplo:

10 DE CD EÍRFE ág. 0 or cada cifra del al 9 hay diez números capicúas (00 no se considera un número de tres cifras). Entonces hay números capicúas de tres cifras. 7 Elvira es la mediana de 5 hermanos. Qué posibles distribuciones chico - chica - chica - chico - chico hay en esa familia, de la que solo conocemos a ella? Elvira (E) es la tercera. La otra chica () queda fija, entonces, en el segundo lugar. Sólo podemos hacer cambios en los lugares de los chicos. Si numeramos a los chicos del al, podemos colocarlos así: E E E E E E Hay 6 posibles distribuciones. 8 Las abejas machos nacen de huevos sin fecundar y, por tanto, tienen madre, pero no padre. Las abejas hembras nacen de huevos fecundados y, por ello, tienen padre y madre. Cuántos tatarabuelos tendrá una abeja macho? Si los tatarabuelos son los antepasados de la 4 a generación, cuántos antepasados tendrá en la 6 a generación? madre padre BEJ CHO BUELOS BISBUELOS TTRBUELOS La abeja macho tiene cinco tatarabuelos. hora seguimos con dos generaciones más: Hay antepasados en la seta generación. 9 Álvaro y Javier juegan un torneo de tenis que ganará el que consiga dos juegos seguidos o tres alternativos. Cuáles son los posibles desarrollos del torneo?

11 DE CD EÍRFE ág. Hacemos el diagrama en árbol. En cada ramificación indicamos quién gana un juego [Álvaro () o Javier (J)]: TORNEO J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J Hay 0 posibles desarrollos del torneo. 0 Carlos tiene 0. Va a un casino dispuesto a jugar, como máimo, cinco veces a la ruleta. Cada apuesta es de 0, y dejará de jugar si se queda sin dinero o si gana 0. Escribe todos los posibles resultados que pueden darse. ara ganar 0 debe quedarse con 40 ya que él empieza con Salen las siguientes combinaciones: ª ª ª 4ª 5ª En total son posibles resultados

12 DE CD EÍRFE ág. ágina 4 Resuelve cada uno de los siguientes enunciados de dos formas: a) Realizando un diagrama en árbol o razonando como si lo realizaras. b) Reconociendo el modelo de variaciones con repetición y aplicando la fórmula. Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras impares? a) ara cada cifra del número hay 5 posibilidades, las cinco cifras impares. Fijada la primera cifra, hay 5 posibles resultados para la segunda; fijadas las dos primeras, hay 5 resultados para la tercera, y así sucesivamente. En total habrá posibles números de cuatro cifras. b) Disponemos de 5 cifras impares (,, 5, 7, 9). odemos repetirlos y el orden influye. Son VR 5, números de cuatro cifras. Cuántos resultados distintos podemos obtener si tiramos un dado 4 veces? a) Hay 6 posibilidades en cada tirada, lo que significa que, fijado el primer lanzamiento, hay 6 posibilidades para el segundo, y así sucesivamente. En total habrá resultados. b) Hay 6 posibilidades en cada tirada. uede repetirse el resultado e influye el orden. Hemos de hacer grupos de 4. Son VR 6, resultados. Disponemos de 7 colores con los que hemos de pintar las tres franjas adjuntas. Cuántas banderas salen? Notas:. Cada franja hay que llenarla con un solo color.. Dos o las tres franjas pueden ser del mismo color.. Dos banderas con los mismos colores colocados en distinto orden, son distintas. a) ara cada franja disponemos de 7 colores, es decir, fijado el color de la primera franja, hay 7 colores para la segunda y otros 7 para la tercera. En total habrá banderas. b) Tenemos 7 elementos (los 7 colores) y hacemos grupos de tres elementos. Influye el orden y podemos repetirlos, luego son VR 7,. Salen: VR 7, 7 4 banderas.

13 DE CD EÍRFE ág. 4 Cuántas quinielas hemos de rellenar para acertar, son seguridad, los 5 resultados? a) ara acertar un partido hay posibilidades (, X o ); a cada una de esas tres posibilidades le corresponden las tres que se necesitan para acertar otro partido, habrá pues 9 posibilidades; a cada una de estas 9 le corresponden otras tres y así sucesivamente. Como hay 5 partidos, en total habrá que hacer: quinielas veces b) Disponemos de tres elementos (, X, ) y hemos de hacer grupos de 5 elementos. odemos repetirlos e influye el orden. Son VR, quinielas. ágina 5 5 Enuncia un problema similar al de las banderas de la página anterior que se resuelva mediante variaciones ordinarias y resuélvelo razonadamente (diagrama en árbol) y aplicando la fórmula. Disponemos de 7 colores y hemos de hacer banderas con tres franjas. Cuántas banderas salen si no podemos repetir colores? Enumerando los colores del al 7: 5 colores distintos 5 colores distintos 4 5 colores distintos 5 5 colores distintos 6 5 colores distintos 7 5 colores distintos Empezando por el han salido posibilidades distintas. Como hay seis más, tendremos posibles banderas. Otra forma de resolverlo es por variaciones ordinarias: Disponemos de 7 colores y tres franjas para pintar, pero no podemos repetir colores. Con la fórmula: V 7, banderas distintas. 6 En los ejercicios 4 al 0 del apartado anterior, identifica cuáles responden al modelo de variaciones con repetición, de variaciones o de permutaciones, y resuélvelos mediante las fórmulas.

14 DE CD EÍRFE ág No responde a ningún modelo. 5. Son 0 equipos y juegan de dos en dos, importando el orden. No pueden repetirse los equipos en cada partido: V 0, partidos. 6. No responde a ningún modelo. 7. Hay colores y hacemos elecciones de colores distintos: 6 formas distintas. Hay 6 colores y hacemos elecciones de colores distintos: V 6, formas de pintar la diana. 8. No responde a ningún modelo. 9. Hay 0 libros y se eligen de dos en dos para dar los premios: V 0, formas distintas. 0. Hay posiciones y hacemos agrupaciones de 6 en 6 y podemos repetir las posiciones de la ventana: VR, posiciones distintas.. a) Hay dos elementos (., ) y hacemos grupos de tres elementos y podemos repetirlos: VR, 8.. No responde a ningún modelo.. No responde a ningún modelo. 4. a) Hay tres posibilidades para cada uno de los dos equipos. odemos repetir el resultado de cada equipo e influye el orden: VR, 9 resultados distintos. 5. No responde a ningún modelo. 6. No responde a ningún modelo. 7. Como y E están fijas, disponemos de los tres chicos para colocarlos en tres lugares distintos. No podemos repetirlos y sí influye el orden: 6 posibilidades distintas. 8. No responde a ningún modelo. 9. No responde a ningún modelo. 0. No responde a ningún modelo. ágina 6 En un monte hay 7 puestos de vigilancia contra incendios y cada uno de ellos está unido a los demás por un camino. Cuántos caminos habrá en total?

15 DE CD EÍRFE ág. 5 De cada puesto salen 6 caminos. Como hay 7 puestos en total, habría caminos, pero están contados dos veces (el camino B es el mismo que el camino B ). Entonces, el total de caminos será: caminos. Vicente le quiere regalar a su amigo Carlos discos, y los quiere elegir entre los 0 que más le gustan. De cuántas formas puede hacerlo? Si influyera el orden que él regala los tres discos, sería V 0, formas. Como no influye el orden y hay 6 formas distintas de ordenar tres discos, tiene formas de regalarle los tres discos. ágina 7 Los alumnos y alumnas de o H quieren elegir una comisión de tres de ellos. Cuántas comisiones distintas se pueden formar con los 0 de la clase? Se hacen grupos de tres sin repetirse ninguno: V 0, comisiones dis- Como no influye el orden en cada grupo: tintas De cuántas formas se pueden elegir dos cartas de una baraja española de 40 cartas? Hay 40 cartas tomadas de dos en dos, sin influir el orden de estos grupos: formas 5 Vas a preparar un batido de frutas de tres sabores. Tienes 6 clases de fruta que vas a utilizar en cantidades iguales. Cuántos batidos diferentes podrás hacer? Tenemos 6 elementos y hacemos grupos de elementos sin que influya el orden. odemos hacer: batidos diferentes. 6 Recuerda que hay 5 poliedros regulares: Tetraedro: 4 caras triangulares. En cada vértice concurren. Heaedro o cubo: 6 caras cuadradas. En cada vértice concurren. Octaedro: 8 caras triangulares. En cada vértice concurren 4.

16 0 DE CD EÍRFE ág. 6 Dodecaedro: ya lo hemos descrito más arriba. Icosaedro: 0 caras triangulares. En cada vértice concurren 5. Con estos datos, cuenta el número de vértices y de aristas de cada uno de ellos y comprueba que, en todos los casos, se cumple la fórmula de Euler: C + V + (nº de caras + nº de vértices nº de aristas + ) Tetraedro: CRS: 4 4 VÉRTICES: 4 4 RISTS: Heaedro o cubo: CRS: VÉRTICES: RISTS: Octaedro CRS: 8 8 VÉRTICES: RISTS: Dodecaedro: CRS: 5 VÉRTICES: 0 5 RISTS: Icosaedro: CRS: 0 0 VÉRTICES: 5 0 RISTS:

17 DE CD EÍRFE ág. 7 ágina 8 Tenemos 6 puntos en el espacio de tal modo que no hay tres alineados ni cuatro coplanarios. Cuántas rectas podemos trazar uniendo dos de estos puntos? Cuántos planos que se apoyen en tres de ellos? (LINEDOS: Sobre la misma línea recta; COLNRIOS: Sobre el mismo plano.) ara trazar una recta se necesitan dos puntos: NÚERO DE RECTS: C 6, rectas. ara definir un plano se necesitan tres puntos no alineados: NÚERO DE LNOS: C 6, planos. Cuántas posibles mezclas de dos colores, en idénticas cantidades, se pueden hacer con 8 tarros de pintura de distintos colores? Cuántas mezclas de tres colores? Y de cuatro colores? No importa el orden en que se mezclen los colores: DOS COLORES: C 8, mezclas. TRES COLORES: C 8, mezclas. CUTRO COLORES: C 8, mezclas. 4 ágina Escribe como cociente de factoriales: a) b) c) n (n ) (n ) (n ) d) (n + ) n (n ) e) (n ) (n ) (n 9) f) (m + ) (m + ) (n + ) n (n ) a) b) ! 6! c) n(n )(n )(n ) n(n )(n )(n )(n 4) (n 4)(n 5) d)(n +)n(n ) (n +)n(n )(n ) (n )(n ) 7!! (n + )! (n )! n! (n 4)!

18 DE CD EÍRFE ág. 8 e) (n )(n ) (n 9) (n )(n ) (n )! (n 0)(n ) (n 0)! f)(m +)(m + ) (n +)n(n ) (m +)(m + ) (n +)n(n ) (n )(n ) (m + )! (n )! Simplifica los siguientes cocientes entre factoriales: 7! 8! a) b) c) 5! 9! m! (m + )! d) e) f) (m )! m! a) 7! 7 6 5! ! 5! b) 8! 8! 9! 9 8! 9 c) 9! ! ! 4! 5! 4! 4 d) m! m(m )! m (m )! (m )! e) (m + )! (m + ) m! m + m! m! f) (m + )! (m + ) m (m )! (m + ) m (m )! (m )! 9! 5! 4! (m + )! (m )! Resuelve las ecuaciones: a)v, 7 b) VR, V, 8 c) V, V, 6 d) VR, VR, 80 a) V, 7 ( ) 7 ( 7) 0 La solución es 8 0 No tiene sentido b) VR, V, 8 ( )

19 DE CD EÍRFE ág. 9 c) V, V, 6 ( ) ( ) ( ) d)vr, VR, Ruffini 4 Calcula utilizando factoriales y simplifica: a) C m +, n b) C m +, m a) C m +, n (m + )! n!(m + n)! (m + ) (m + ) (m n) (m (n )) (m (n ))! n!(m (n ))! b) C m +, m (m + )! (m + ) m (m )! (m )! (m + m + )! (m )!! 5 Escribe la fila once del triángulo de Tartaglia. La fila once del triángulo de Tartaglia es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (m + ) (m + ) (m n) (m + n) n! m (m +) Calcula: 8 ( ) + 8 ( ) + 8 ( ) + 8 ( ) ( ) Cuántas aleaciones distintas se pueden formar con 6 metales diferentes? Cada aleación debe estar formada por dos o más metales. Seleccionados los metales, el orden en que se mezclen no influye.

20 DE CD EÍRFE ág. 0 leaciones distintas con metales C 6, 5 leaciones distintas con metales C 6, 0 leaciones distintas con 4 metales C 6, 4 5 leaciones distintas con 5 metales C 6, 5 6 leaciones distintas con 6 metales C 6, 6 En total: aleaciones distintas. 8 Resuelve las ecuaciones siguientes sin desarrollar los números combinatorios: a) ( 8 ) + ( 8 ) ( 9 ) b) ( ) + ( ) ( ) c) ( 7 ) ( 7 ) a) 8 ( ) ( ) ( ) plicando la propiedad m ( ) ( ) ( ) + m m n n n b) ( ) ( ) ( ) + plicando la misma propiedad que en el apartado a),. c) 7 ( ) ( ) 7 + Como 7 ( ) ( 7 ) ( ) ( por ser m m ) una propiedad de los nú- 7 meros combinatorios, se tiene: se deduce que 4. 7 ( ) ( ) Tienes 8 monedas (,, 50 cent., 0 cent., 0 cent., 5 cent., cent. y cent.). Te piden un donativo y puedes responder de muchas formas distintas: no dar nada, dar una moneda, dos, todas. Cuántas posibles respuestas hay? Si no damos nada forma Si damos moneda 8 formas Si damos monedas C 8, formas Si damos 8 monedas C 8, 8 formas En total tenemos: 8 ( ) ( ) ( ) ( ) Hay 56 posibles respuestas. 4 n m n +

21 DE CD EÍRFE ág. 0 Resuelve sin desarrollar: a) ( 9 ) ( 9 ) b) ( ) + ( ) ( 4 ) 5 + a) 9 ( ) ( ) m 9 n 5 + p Si n p: 5 + No tiene sentido Si n m p: ( ) b) ( ) ( ) ( ) y 5 Si aplicamos m ( ) ( ) ( ) + m m m 4 n y 5 n 4 y n n + y, se tiene: 5 ágina Desarrolla: a) ( + ) 5 b) ( ) 4 c) ( + ) 6 a) ( + ) b) ( ) 4 () 4 4 () + 6 () ( ) 4 ( ) +( ) c) ( + ) 6 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) + 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 +6 ( ) ( ) 5 + ( )

22 DE CD EÍRFE ág. Calcula el quinto término de: a) ( + ) 0 b) ( ) 6 a) ( + ) 0 ( ) ( ) b) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 4 5 Calcula el coeficiente de 5 en el desarrollo del binomio: ( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 8 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) 56 ( ) 5 ( ) ( ) 4 ( ) 4 56 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 ( ) ( ) 7 + ( ) Observamos que en ninguno de los sumandos aparece 5. Su coeficiente es, por tanto, cero. 4 Qué signo tendrá el séptimo término del binomio del ejercicio anterior? Cuál será el término de mayor grado? El signo del término séptimo es negativo. El término de mayor grado es el primero: 8 ( ) ( )