Matemáticas Pre-Universitarias

Transcripción

1 Matemáticas Pre-Universitarias Omar Yam 1, Norma Palacios Verano Universidad de Quintana Roo, División de Ciencias e Ingeniría

2 ii

3 Índice 1 ÁLGEBRA Los Números Reales Leyes de los signos Operaciones con Fracciones Valor Absoluto de un Número Real Problemas Exponentes y Radicales Leyes de los Exponentes Raíz n-ésima Real de un Número Real Propiedades de las Raíces n-ésimas Definición de Exponentes Racionales Problemas Factorización y Productos Notables Productos Notables Fórmulas de Factorización Problemas Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una Variable Ecuaciones de Primer Grado con una Variable Guias para Resolver Problemas La Ecuación Cuadrática Sistemas de Ecuaciones de dos Variables Problemas GEOMETRÍA Ángulos y Cantidades Medibles Ángulos Agudos, Rectos y Obtusos Ángulos Complementarios y Suplementarios Triángulos Rectas Notables en el Triángulo Clasificación de los Triángulos El Teorema de Pitágoras Paralelogramos iii

4 iv ÍNDICE 2.4 Circunferencia y Círculo Volúmenes Paralelepípedo Rectangular Cilíndro Circular Recto Cono Circular Recto Esfera Problemas TRIGONOMETRÍA Funciones Trigonometricas Signos de las Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas de 0, 90, 180, 270 y Funciones Trigonométricas de 30, 45 y Solución de Triángulos Rectángulos Leyes de Senos y Cosenos Resolviendo Triángulos Generales Identidades y Ecuaciones Trigonométricas Funciones Pares e Impares y Periodicidad Fórmulas de Adición de Ángulos Ecuaciones Trigonométricas Problemas

5 ÍNDICE v El presente material ha sido diseñado para cubrir las áreas básicas, de las matemáticas, que se requieren para poder cursar con exito los programas académicos del área de Ingeniería que se ofrecen en la División de Ciencias e Ingenierías de la Universidad de Quintana Roo. El material se dividió en tres capítulos que corresponden a las áreas de: álgebra, geometría y trigonometría. A pesar de no ser un tratado profundo de cada uno las áreas mencionadas. Cada capítulo contiene el material necesario para un breve repaso de conceptos y métodos que sin duda han sido cubiertos con anterioridad. Finalmente, se pretende que el contenido sirva como material de apoyo para cursos posteriores. Omar Yam División de Ciencias e Igeniería Universidad de Quintana Roo

6 vi ÍNDICE

7 ÍNDICE 1

8 2 ÍNDICE

9 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA La palabra álgebra proviene del libro Árabe Hisâb al-jabr w al-muqabala escrito por al-khowarizmi. El título se refiere a la transposición y combinación de términos, dos procesos usados en la resolución de ecuaciones. La traducción latina del título fue acortada a Aljabr de donde se deriva la palabra álgebra. 1.1 Los Números Reales Generalment en los cursos de álgebra de bachillerato se cominenza con el conjunto de los números naturales, N = {1, 2, 3,... }. Este conjunto está asociado con la primera operación que se creé realizó el hombre: el conteo. Con este enfoque surge de manera lógica la necesidad de representar la ausencia de elementos: surge el cero. Así, el conjunto de los números naturales junto con el cero forman el conjunto de los números enteros no-negativos. Si a este último conjunto le agregamos los enteros negativos obtenemos el conjunto de los números enteros Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }. Más tarde se observó el problema de poder expresar fracciones de una unidad. La solución para este problema fue la aparición de los números racionales Q = { a b : a y b son enteros y b es distinto de cero}. Con la aprición de los racionales se creía que cualquier operación propuesta se podía resolver. Sin embargo, el problema de hayar un número tal que elevado al cuadrado de como resultado dos no tenía solución en los racionales, es decir, la solución de x 2 = 2, es un número irracional. La aparición de estos números vino a completar un conjunto de números más extenso que es conocido como el conjundo de los números reales el cual es denotado por R. Propiedades de los Números reales. Si a y b son números reales, tenemos: Propiedad de cerradura para la suma: a + b R Para cada par de números reales a, b existe un número real ú nico a + b, llamado la suma de a y b Ejemplo: es un número real 3

10 4 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Propiedad de cerradura para la multiplicación: ab R Para cada par de números reales a, b existe un número real único ab, llamado el producto de a y b Ejemplo: 4 7 es un número real Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a Cuando dos números son sumados, el orden no importa. Ejemplo: = Propiedad conmutativa de la multiplicación: ab = ba Cuando dos números son multiplicados el orden no importa. Ejemplo: 3 5 = 5 3 Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c) Cuando tres números son sumados, no importa cuales dos son sumados primero. Ejemplo: (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7) Propiedad del elemento identidad para la suma: a + 0 = a El cero es el elemento identidad para la suma Ejemplo: = 3 Propiedad del elemento identidad para la multiplicación: a 1 = a El uno es el elemento identidad para la multiplicación Ejemplo: 9 1 = 9 Propiedad del inverso aditivo: a + ( a) = 0 Para cada número real a, existe un número real ( a) llamado el inverso aditivo de a Ejemplo: 3 + ( 3) = 0 Propiedad del inverso multiplicativo: a (1 a) = 1 Para cada número real a, distinto de cero, existe un número real ( 1 a ) llamado el inverso multiplicativo de a Ejemplo: 5 (1 5) = 1

11 1.1. LOS NÚMEROS REALES 5 Propiedad asociativa de la multiplicación: (ab)c = a(bc) Cuando tres números son multiplicados, no importa cuales dos son mutiplicados primero. Ejemplo: (3 7) 5 = 3 (7 5) Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac Cuando se multiplica un número con la suma de otros dos números, se tiene el mismo resultado que al multiplicar el número con cada uno de los términos y después sumar los resultados. Ejemplo: 2 (3 + 5) = Leyes de los signos Si a y b son dos números reales cualesquiera, se tienen las siguientes leyes de los signos ( 1)a = a Ejemplo: ( 1)5 = 5 ( a) = a Ejemplo: ( 5) = 5 ( a)b = a( b) = (ab) Ejemplo: ( 5)7 = 5( 7) = (5 7) ( a)( b) = ab Ejemplo: ( 4)( 3) = 4 3 (a + b) = a b Ejemplo: (3 + 5) = 3 5 (a b) = b a Ejemplo: (5 8) = 8 5

12 6 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Operaciones con Fracciones Dados a, b, c y d, números reales con b y d diferentes de cero se cumplen las siguientes propiedades. Igualdad de fracciones: a b = c, si y solo si, ad = bc d Dos fracciones son iguales si y solamente si son iguales sus productos cruzados. Ejemplo: 2 3 = 6 9, entonces 2 9 = 3 6 a Multiplicación de fracciones: b c d = ac bd Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores. Ejemplo: = = a División de fracciones: b c d = a b d c Para dividir fracciones, se invierte el divisor y se procede como en la multiplicación. Nota: En este caso, puesto que el divisor debe ser distinto de cero, se requiere que tanto c como d sean distintos de cero. Ejemplo: = = Suma de fracciones con el mismo denominador: a c + b c = a + b c Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores y se mantine el mismo denominador. Ejemplo: = = a Suma de fracciones con diferentes denominadores: b + c ad + bc = d bd Para sumar fracciones con diferentes denominadores, el numerador es la suma de los productos cruzados y el denominador es la multiplicación de los denominadores. Ejemplo: = = Cancelación de números con factores comunes en el numerador y el denominador: ac bc = a b Es posible cancelar factores comunes en el numerador y el denominador y el resultado no se altera. Ejemplo: = 2 3

13 1.1. LOS NÚMEROS REALES Valor Absoluto de un Número Real Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es { a si a 0 a = a si a < 0 Ejemplos: i) 3 = 3 ii) 11 = 11 Nota: El valor absoluto siempre es positivo Problemas Realizar las siguientes operaciones a 2b + b a 2 3a a b b Verificar las siguientes expresiones a) = b) 3a b = 6ab 2b Simplifique las siguientes expresiones

14 8 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA a) 1 + x y x + y b) 1 x y x + y b) x + y 1 + x y 11. Resolver para n las ecuaciones siguientes a) n = 9 b) n + 1 = 9 c) 2n 3 5 = Hallar los valores más simples de las siguientes expresiones si a = 2, b = 1, c = 2 y d = 1 2 a) (a b) (c a 2 ) b) 2ab (a 4d) 1.2 Exponentes y Radicales Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es a n =a a a } {{ } n factores El número a es llamado la base y n es llamado el exponente. Si a 0 es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces a 0 = 1 a n = 1 a n Leyes de los Exponentes Multiplición de potencias con la misma base: a m a n = a m+n Para multiplicar dos potencias con la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo: a 2 a 5 = a 2+5 = a 7 División de potencias con la misma base: am a n = am n Para dividir dos potencias con la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes.

15 1.2. EXPONENTES Y RADICALES 9 Ejemplo: a7 a 2 = a7 2 = a 5 Potencia de una potencia: (a m ) n = a mn Para elevar una potencia a una nueva potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: (a 7 ) 2 = a 7 2 = a 14 Potencia de un producto: (ab) n = a n b n Para elevar un producto a una potencia, cada factor debe ser elevado a la potencia. Ejemplo: (ab) 8 = a 8 b 8 ( a n a Potencia de una fracción: = b) n b n Para elevar una fracción a una potencia se elevan ambos, el numerador y el denominador, a la potencia. Ejemplo: ( a b) 7 = a 7 b Raíz n-ésima Real de un Número Real. Si n es cualquier entero positivo, entonces cualquier número real tal que cuando se eleva a la n-ésima potencia, da el número real a, es una raíz n-ésima de a. Si n es cualquier entero positivo, entonces la n-ésima raí z principal de a es definida como: n a = b significa b n = a. Si n es par, se debe tener a 0 y b Propiedades de las Raíces n-ésimas n ab = n a n b Ejemplo: = = ( 2)(3) = 6. Ejemplo: 250 = = = 5 10 a n n b = a n b Ejemplo: 81 = 4 = Ejemplo: 25 = = = 2

16 10 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA m n a = mn a Ejemplo: = = 3 n a n = a si n es impar. 3 Ejemplo: ( 5) 3 = 5 Ejemplo: 5 25 = 2 n a n = a si n es par. 4 Ejemplo: ( 3) 4 = 3 = Definición de Exponentes Racionales Para cualquier exponente racional m, donde m y n son enteros y n > 0, se define n a m n = ( n a ) m o, equivalentemente, Si n es par, entonces se debe tener a 0. a m n = n a m Problemas Efectuar las operaciones indicadas 1. a 4 a 2 a 3 2. (a + b) 3 (a + b) 4 3. a (a + 3) 3 a 3 (a + 3) 6 4. (3x 2 ) 3 (2x 4 ) 2 e) 10m6 n 15m 3 n 5. (m + n) 15 (m + n) m 5 5n 4 8m5 15n 3

17 FACTORIZACIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES m m 3 ( 16 a 2 b 4 ( 27 a 6 b 6 ) 1/2 ) 1/3 1.3 Factorización y Productos Notables Una variable es una letra que puede representar culquier número de un conjunto de números dado. Una constante representa un nú mero fijo. El dominio de una variable es el conjunto de valores que la variable puede tomar. Por ejemplo en la expresión x el dominio de x es el conjunto de todos los números reales mayores o igual a cero, en simbolos {x x 0}. Las expresiones algebraicas se obtienen de variables y constantes relacionadas usando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, exponenciaci ón y radicación. Las expresiones algebraicas, más simples, obtenidas usando sólo sumas, restas y multiplicaciones son llamadas polinomios. La forma general de un polinomio de grado n en la variable x es a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 donde a 0, a 1,..., a n son constantes y a n 0. El grado del polinomio es la máxima potencia de la variable. Cualquier polinomio es la suma de términos de la forma ax k, llamados monomios, donde a es una constante y k es un entero no-negativo. Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios, y así sucesivamente. Con esto, 7x 6 + 4x es un binomio de grado 6, mientras que 173x 5 es un monomio de grado Productos Notables (A B)(A + B) = A 2 B 2 (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A B) 3 = A 3 3A 2 B + 3AB 2 B 3

18 12 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Fórmulas de Factorización Diferencia de cuadrados: A 2 B 2 = (A B)(A + B) Cuadrado perfecto: A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2 Cuadrado perfecto: A 2 2AB + B 2 = (A B) 2 Diferencia de cubos: A 3 B 3 = (A B) (A 2 + AB + B 2 ) Suma de cubos: A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 AB + B 2 ) Problemas Efectuar las siguientes operaciones 1. ( )( ) 2 2 x y x y 2. (2x + 3y 2 ) 2 3. (x + 2 y) 3 4. Factorizar las siguientes expresiones a) 8a b) x 2 x c) 8 (m n) 3 5. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas a) 2x 2 + 5x + 2 = 0 b) x 2 12 = x 6. Hallar dos números cuya suma sea 8 y cuyo producto sea Una pista de patinaje mide 100 m de largo por 70 m de ancho. El propietario desea aumentar el área a 1300 m 2 agregando franjas de igual ancho a un lado y a un extremo y mantener su forma rectángular. Hallar el ancho de las franjas que deben añadirse.

19 1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una Variable Ecuaciones de Primer Grado con una Variable Una ecuación de primer grado, de una variable es una ecuación en la cual cada término es una constante o una constante distinta de cero multiplicando a la variable. Estas son ecuaciones de primer grado con una variable: 4x 5 = 3 2x = 1 2 x 5 Estas ecuaciones se resuelven utilizando las propiedades de las igualdades para transformarlas en ecuaciones equivalentes de la forma x =? Es decir, se realizan pasos en los cuales se suma el mismo número en ambos lados o se multiplica ambos lados con el mismo número hasta que la variable quede sola en un lado de la ecuación. Ejemplo 1 Resolver la ecuación: Sumando 4 a cada lado: 7x 4 = 3x + 8 (7x 4) + 4 = (3x + 8) + 4 Simplificando: Restando 3x a cada lado: 7x = 3x x 3x = 3x x Simplificando: 4x = 12 Multiplicando cada lado con 1 4 : 1 4 4x = Simplificando: x = 3

20 14 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Ejemplo 2 Resolver la ecuación: x = 3 4 x El mínimo comun multiplo (MCM) de 6, 3, y 4 es 12. Reescribiendo las fracciones con el comun denominador: 2x = 9 12 x Multiplicando cada lado con 12: 12 ( 2x ) 12 ( ) 9 = x Simplificando: Restando 2x a cada lado: 2x + 8 = 9x (2x + 8) 2x = 9x 2x Simplificando: 8 = 7x Multiplicando cada lado con 1 7 : 8 7 = x Guias para Resolver Problemas 1. Identificar la variable. Identificar, en el problema, la cantidad que se está pidiendo encontrar. Esta cantidad puede ser determinada leyendo cuidadosamente la pregunta, que generalmente se hace al final del problema. Nombrar esta cantidad con una varible, x, por ejemplo. Escribir con precisión lo que representa esta variable. 2. Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable. Lea cada oración en el problema de nuevo y exprese todas las cantidades mencionadas en términos de la variable definida en el paso 1. Algunas veces realizar un bosquejo del problema es de ayuda en este paso. 3. Relacione las cantidades. Encuentre las palabras claves en el problema que relacionan dos o más xpresiones listadas en el paso dos. Estas palabras claves son usualmente: es, igual a, es lo mimo que, es el doble de, entre otras. 4. Escriba una ecuación. Escriba una ecuación que exprese los hechos cruciales encontrados en el paso tres, en forma algebraica.

21 1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE Resuelva el problema y verifique su respuesta. Resuelva la ecuación y verifique que su respuesta satisface el problema original planteado. Ejemplo 3 Interés en una inversión. María heredó $100, 000 y lo invertó en dos certificados de dep ósito. Un certificado pagó el 6% y el otro pagó el 4 1 % de interés 2 anual simple. Si María obtiene un interés total de $5025, por año, cuanto dinero fue invertido en cada tasa de interés? 1. Puesto que se pide encontrar cuanto fue invertido en cada tasa de interes, podemos representar con x la cantidad invertida con el 6% de interes, es decir, x = cantidad invertida con el 6% de interés 2. Ahora representamos la cantidad invertida con el 4 1 % en t érminos de x, es 2 decir: cantidad invertida con el 4 1 % de interés = 100, 000 x 2 Para x pesos invertidos al 6%, el interés anual pagado es 6% de x: interes anual pagado por el certificado al 6% = 0.06x Similarmente, el interés pagado al otro certificado es: interés anual pagado por el certificado al 4 1 % = (100, 000 x) 2 Por lo tanto, el interés total anual que recibió María por los dos certificados es: interés anual total = 0.06x (100, 000 x) 3. Buscando el hecho que relaciona cantidades, vemos en el problema la oración María obtiene un interés total de $5025, por año..., así que podemos decir: interés anual total ganado por María = $ Traduciendo estas dos últimas expresiones, para el interés anual total, en una sola ecuación: 5025 = 0.06x ( x) 5. Finalmente, resolviendo la ecuación: 5025 = 0.06x x = 0.015x = 0.015x = 0.015x rad35000 = x Por lo tanto María invirtió $35, 000 al 6% y los restantes, $65, 000, fueron invertidos al %.

22 16 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA La Ecuación Cuadrática Una ecuación de segundo grado o cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y a 0. Para las ecuaciones cuadráticas es posible encontrar una fórmula general usando la t écnica de completar cuadrados. Esto significa sumar una constante a una expresión para obtener un cuadrado perfecto y despues usar la t écnica de tomar raíces cuadradas en cada lado de la ecuación como se muestra a continuación. Para hacer x 2 + bx un cuadrado perfecto, sumar ( b 2: 2) x 2 + bx + ( ) 2 ( b = x + b ) A continuación usaremos la técnica de completar cuadrados para resolver la ecuación general de segundo grado. ax 2 + bx + c = 0 Primero, dividimos cada lado con a x 2 + b a x + c a = 0 A continuación restamos el término c a cada lado de manera que el término constante a aparecerá sólo en el lado derecho: x 2 + b a x = c a Ahora acompletamos el cuadrado; el coeficiente de x es b, as í que debemos sumar ( ) a 2 b ( ) 2 a b ó a cada lado: 2 2a x 2 + b ( ) 2 b a x + = c ( ) 2 b 2a a + 2a

23 1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 17 Entonces se simplifica para obtener la expresión final: ( x + b ) 2 = c 2a a + b2 4a 2 ( x + b ) 2 4ac + b2 = 2a 4a 2 x + b b2 4ac 2a = 2a x + b 2a = b2 4ac ó x + b 2a 2a = b2 4ac 2a b2 4ac ó x = b 2a 2a b2 4ac 2a x = b 2a + x = b ± b 2 4ac 2a fórmula cuadrática Debido a la naturaleza de la fórmula general, es posible determinar cuando, la ecuación ax 2 + bx + c = 0 tiene o no soluciones y cuando tiene una única solución, examinando la cantidad D = b 2 4ac. Esta cantidad es llamada el discriminante de la ecuación cuadrá tica y tiene las siguientes propiedades: Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales y distintas. Ejemplo 4 Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática x 2 + x 1 = 0 En este caso, a = 1, b = 1 y c = 1, por lo que: x = (1) ( 1) 2 (1) x = ó x = ó x = (1)( 1) 2 (1) Si D = 0, entonces la ecuación tiene exactamente una solución real. Ejemplo 5 Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática x 2 + 2x + 1 = 0 En este caso, a = 1, b = 2 y c = 1, por lo que: x = (1)(1) 2 (1) x = x = 1 ó x = 1 ó x = ó x = 2 2 2rad 4 (1)(1) 2 (1)

24 18 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Si D < 0, entonces la ecuación no tiene soución real. Sus ra íces son complejas. Ejemplo 6 Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática x 2 + x + 1 = 0 En este caso, a = 1, b = 1 y c = 1, por lo que: x = (1)(1) 2 (1) x = ó x = ó x = (1)(1) 2 (1) Pero, como no existe un real cuyo cuadrado es 3, esta ecuación no tiene solución real.rad Ejemplo 7 Lanzamiento de un proyerctil: Un objeto es disparado hacia arriba con ft una velocidad inicial de v 0 alcanzando una altura de hft despues de ts, donde h y s t están relaciondos por la fórmula h = 16t 2 + v 0 t si v 0 = 800 ft cuando caerá de regreso el proyectil al suelo? s Que el proyectil este en el suelo significa h = 0, por lo que se debe resolver la ecuación 0 = 16t t En este caso a = 16, b = 800 y c = 0, por lo que: t = ( 16) (0) ó t = ( 16)(0) 2 ( 16) 2 ( 16) t = ó t = t = 0 ó t = 50 Por lo tanto la altura es 0 en t = 0, cuando es disparado inicialmente y en t = 50; cuando cae de nuevo al suelo despues de 50 segundos.

25 1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES Sistemas de Ecuaciones de dos Variables Una ecuación lineal en x y y es una ecuación de la forma: Ax + By + C = 0, donde A, B, y C son constantes y A y B no son 0 simultaneamente La gráfica de cualquier ecuación lineal es una línea. Reciprocamente, toda línea es la gráfica de una ecuación lineal. Ejemplo 8 Bosquejar la gráfica de la ecuación 4x 3y = 5 (1.1) rad Puesto que es una ecuación lineal, su gráfica es una línea recta por lo que se puede dibujar conociendo cualesquiera dos puntos pertenecientes a la recta. Por ejemplo si x = 0, Si x = 2 4 (0) 3y = 5 3y = 5 y = (2) 3y = 5 8 3y = 5 3y = 3 y = 1 Así que los puntos ( 0, 5 3) y (2, 1) pertenecen a la recta. Graficandolos y dibujando una línea que pase por ellos obtenemos el bosquejo de la ecuación(1.1) el cual se presenta en la Figura (1.1). rad Un conjunto de ecuaciones con variables comunes es llamado un sistema de ecuaciones. La elección de valores para las variables los cuales hacen que todas las ecuaciones en el sistema se satisfagan es llamada una solución simultánea o simplemente solución del sistema. En particular, considere el sistema de dos ecuaciones lineales ax + by = c dx + ey = f donde a, b, c, d, e y f son constantes y x, y son las variables comunes del sistema. Una solución de este sistema es un par ordenado de números (x 0, y 0 ) que satisfacen simultaneamente ambas ecuaciones, cuando x 0 sustituye a x y y 0 a y; por lo tanto ax 0 + by 0 = c

26 20 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Figura 1.1: Gráfica dela ecuación 4x 3y = 5. y ax 0 + ey 0 = f son ambas satisfechas. Esto significa que el punto coordenado (x 0, y 0 ) cae en ambas líneas las cuales son las grá ficas de las ecuaciones. Puesto que dos líneas sólo pueden intersectarse en un punto (si acaso), no puede haber otra solución, a menos que se trate de la misma línea. Es decir, un sistema de dos ecuaciones lineales tiene: una solución infinitas soluciones ninguna solución si las dos líneas se intersectan si se trata de la misma línea si las líneas son paralelas Existen dos métodos básicos para la solución del sistema de ecuaciones lineales con dos variables: sustitución y eliminación. Para usar el método de sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, primero se debe usar una ecuación para expresar una de las variables en términos de la otra. Después, sustituir esta expresión en la otra ecuación, la cual se convertirá en una ecuación de una sola variable. Se resuelve esta ecuación para obtener un valor para esta variable y usando la expresi ón para la otra variable obtenemos su valrador. Ejemplo 9 Resolver el sistema 2x + 13y = 17 x 6y = 4 usando el método de sustitución. Usando la segunda ecuación expresamos la variable x en términos de y (esta elección es debida a que es la más simple para despejar una de las variable, x en este caso) x = 6y 4

27 1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES 21 Después esta expresión para x, se sustituye en la primera ecuación y resolvemos para y 2 (6y 4) + 13y = 17 12y y = 17 25y 8 = 17 25y = 25 y = 1 Finalmente, puesto que tenemos la expresión para x = 6y 4 y ya tenemos el valor 1 para y, sustituimos para obtener el valor de x x = 6 (1) 4 x = 2 Así (2, 1) es una solución para el sistema. De hecho, se puede verificar que satisface ambas ecuaciones y que por lo tanto es el punto de intersección de las dos líneas. Para usar el método de eliminación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables, se deben trabajar, algebraicamente, las dos ecuaciones para obtener una forma tal que se pueda eliminar una de las variables sumando ambas ecuaciones. De esta manera, se obtiene una ecuación de una variable. Resolviendo para la variable resultante y sustituyendo el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales obtenemos el valor de la otra variable.rad Ejemplo 10 Resolver el sistema 6x 5y = 14 3x + 7y = 2 usando el método de eliminación. La variable x puede ser eliminada de este par de ecuaciones si multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación con 2 6x 5y = 14 6x 14y = 4 y sumamos ambas ecuaciones para obtener la ecuación Resolviendo para y: 0x 19y = 10 19y = 10 y = 10 19

28 22 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Ahora sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales, la primera por ejemplo, ( 6x 5 10 ) = x = x = 19 6x = x = Algunas veces es de utilidad usar la otra ecuación para checar la respuesta 3x + 7y = 2? ( ) ( ) = 2? = 2? = 2 Mientras que el método de sustitución es más obvio y parece ser m ás fácil, resulta que, en sistemas de más ecuaciones y más variables el método de eliminación es una técnica mucho mejor Problemas 1. Resolver para x: ax = bx + c, donde a b. 2. Un terreno rectángular tiene un perímetro de 500 m. Su longitud es 30 m mayor que el doble de su ancho. Encontrar sus dimensiones. 3. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km /h en carretera y 24 km/h en ciudad o caminos vecinales. Si el tiempo invertido para un recorrido de 330 km fue de 7 h. Cuánto tiempo condujo sobre carretera y cuánto sobre otros caminos? 4. Un número es 8 veces mayor que otro. La suma de ambos números es 20. Cuáles son los números? 5. Un radiador de automóvil de 8 l, contiene 6 litros de agua y dos de anticongelante. Cuántos litros de esta mezcla hay que drenar y remplazar con anticongelante para lograr una mezcla que tenga la mitad de anticongelante?

29 1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES Resolver el siguiente sistema para x y y a) 2x 5y = 10 3x + 2y = 4 b) x = y x + y = 1 c) 1 x + 1 y = 5 2 x 3 y = 5

30 24 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA

31 CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA 2.1 Ángulos y Cantidades Medibles Una semi-recta o rayo desde un punto O, es el conjunto de puntos consistente de O y de todos los puntos en un lado de O de una línea que pasa por P. Figura 2.1: Rayo con origen en 0 y que pasa por el punto P. Un ángulo es generado al rotar un rayo o semi-recta alrededor de su punto inicial llamado vértice del ángulo. La posición original del rayo es llamado lado inicial, y la posición final es llamado lado terminal. Si O es el vértice y P y Q son puntos distintos de O en los lados del ángulo, el ángulo es llamado ángulo QOP y se escribe como QOP (Figura 2.2). Los ángulos pueden ser medidos en grados ( ) o radianes (rad). Un ángulo de un grado, denotado por 1, es igual a 1 de toda una revolución completa, en sentido 360 contrario al de las manecillas del reloj. Esta división tuvo como origen el hecho de que el año tiene aproximadamente 360 días. Con esta definición se obtiene el grado sexagesimal. A su vez, el grado se divide en 60 minutos de arco donde un minuto 25

32 26 CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA Figura 2.2: Ángulo QOP. de arco, denotado por 1, se divide en 60 segundos de arco. El segundo de arco es denotado por, 1. Cuando se usan radianes, como medida angular, sólo se debe indicar la cantidad. La relación entre grados y radianes la obtenemos de la siguiente forma. Puesto que una vuelta completa tiene 360 y equivalentemente es igual a 2π, tenemos 360 =2 π. Con esto tenemos 1 = π 180 rad rad (2.1) 1 rad = 180 π (2.2) Ángulos Agudos, Rectos y Obtusos Un ángulo es un: a) ángulo recto si su medida es igual a 90 ( π rad), 2 b) ángulo agudo si su medida es mayor que 0 y menor que 90 ( π rad), 2 c) ángulo obtuso si su medida es mayor que 90 ( πrad) y menor que 180 (π rad). 2 Ejemplos de estos ángulos se muestran en la Figura (2.3) de abajo Ángulos Complementarios y Suplementarios Dos ángulos de medidas positivas son complementarios si la suma de sus medidas es 90 ( π rad). Dos ángulos de medidas positivas son suplementarios si la suma de 2 sus medidas es 180 (πrad). Ejemplos de estos ángulos se muestran en la Figura (2.4).

33 2.2. TRIÁNGULOS 27 Figura 2.3: Ángulos obtuso (izquierda), agudo(en medio) y recto(derecha). Figura 2.4: Ángulos suplementarios (izquierda) y complementarios(derecha). 2.2 Triángulos Un triángulo es una figura geométrica cerrada con tres lados, de los cuales cada lado es un segmento de línea recta. Para los triángulos tenemos que la suma de sus ángulos interiores es igual a dos rectos Rectas Notables en el Triángulo La mediana es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Con esto en un triángulo hay tres medianas, una correspondiente a cada lado. La altura es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Consecuentemente, hay tres alturas, una correspondiente a cada lado. La bisectriz es la recta que bisecta a un ángulo interior, es decir, lo divide en dos ángulos iguales. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo. La mediatriz es la recta perpendicular de cada lado. Hay tres mediatrices, una para cada lado Clasificación de los Triángulos A su vez los triángulos se clasifican de acuerdo a sus ángulos en: a) triángulo agudo si todos sus ángulos son menos que 90,

34 28 CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA b) triángulo obtuso si uno de sus ángulos es mayor que 90, y c) triángulo rectángulo si uno de sus ángulos es igual a 90. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. De acuaerdo a las medidas de sus lados los triángulos se clasifican en: a) triángulo equilatero si triángulo es equilatero si todos sus lados son de igual longitud. Con esto, un triángulo es equilatero si y sólo si sus tres ángulos son iguales, en cuyo caso todos los ángulos son de 60 b) triángulo isóseles si dos de sus lados son de igual longitud. Los ángulos base son aquellos opuestos a los lados iguales. c) triángulo escaleno si sus tres lados son de diferentes longituds entre si. Para los triángulos rectángulos se tiene el siguiente teorema el cual es ampliamente usado El Teorema de Pitágoras Theorem 11 ( Teorema de Pitágoras) El área del cuadrado superior de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de sus catetos. Este teorema se establece mediante la ecuación c 2 = a 2 + b 2 donde c es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo y a y b son las longitudes de los catetos como se muestra en la Figura (2.5). Figura 2.5: Triángulo rectángulo con hipotenusa c y catetos a y b. Si denotamos por a, b y c los lados de un triángulo y por h la altura entonces tenemos que el área del triángulo será un medio de la base por la altura, es decir,

35 2.2. TRIÁNGULOS 29 A = 1 bh (2.3) 2 el perimetro del triángulo será la suma de sus lados, es decir, P = a + b + c (2.4) Ejemplo 12 El perímetro de un triángulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3 es P = = 9. Ejemplo 13 El área de un triángulo con base b = 4 y altura h = 2 es A = = 4 Para encontrar el área de un triángulo con sólo las longitudes de sus tres lados, debemos aplicar el teorema de Pitagoras para encontrar la altura. Por ejemplo, para encontrar la altura de un triángulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3, observemos en la Figura (2.6) Figura 2.6: Triángulo en general. h denota la altura y divide al lado b en dos segmentos de tamaño x y b x. que la línea que representa la altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos. Llamemos x a la base del triángulo de la derecha. Así el triángulo de la derecha tiene catetos de longitudes x y h y la hipotenusa es a = 2. Con esto la base del triángulo de la izquierda es b x (= 4 x ). Así el triángulo de la izquierda tiene catetos de longitudes 4 x y h y la hipotenusa es c = 3. Ahora usando el teorema de Pitágoras para ambos triángulos tenemos x 2 + h 2 = 2 2 (4 x) 2 + h 2 = 3 2 Este sistema de ecuaciones tiene como solución x = 11 8, h = así que el área es A = 1 2 bh = 1 ( ) =

36 30 CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA 2.3 Paralelogramos Un paralelogramo es una figura cerrada de cuatro lados, en los cuales cada lado es un segmento de línea recta con los lados opuestos paralelos. Sean a y b las longitudes de los lados de un paralelogramo y sea h la altura (la distancia entre dos lados paralelos) como se muestra en la Figura (2.7), entonces Figura 2.7: Paralelogramo de lados a y b. h denota la distancia entre dos lados paralelos. El perímetro de un paralelogramo es la suma de las longitudes de sus lados. P = 2a + 2b El área de un paralelogramo es el producto de la base con la altura. A = bh Ejemplo 14 El perímetro de un paralelogramo con dos lados de longitud 2 y dos lados de longitud 5 es P = = 14 Un rectángulo es una figura geométrica cerrada de cuatro lados, cada lado es un segmento de línea recta y todos los ángulos interiores son rectos. Un cuadrado es un rectángulo en el cual todos sus lados son iguales. Sean l = longitud, w = ancho y d = diagonal, como se muestra en la Figura (2.8), entonces. El perímetro del rectángulo es la suma de las longitudes de sus lados. P = 2l + 2w El área de un rectángulo es el producto de la base con la altura. A = lw

37 2.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 31 Figura 2.8: Rectángulo de lados l y w (izquierda) y cuadrado de lado w. En ambos casos d representa la diagonal. La diagonal de un rectángulos tiene como longitud la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la longitud y el ancho del rectángulo. d = l 2 + w 2 Ejemplo 15 La diagonal de un rectángulo de longitud 2 y ancho 5 es d = = Circunferencia y Círculo Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro. La distancia fija entre el centro y un punto de la circunferencia es el radio (Figura 2.9). El diametro de la circunferencia es igual a dos veces el radio. Figura 2.9: Circunferencia de radio r Un círculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma. La circunferencia de un círculo es π veces el diametro y el área del círculo es π veces el cuadrado del radio.

38 32 CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA Ejemplo 16 Hallar el diametro, circunferencia y área de un círculo con radio 5. Solución 17 Sean: r = radio, C = circumferencia, D = diámetro y A = area D = 2 5 = 10 C = 10π A = π 5 2 = 25π Un ángulo central de un círculo es un ángulo cuyo vértice esta en el centro del círculo. Sean θ un ángulo central medido en radianes y s la longitud de arco subtendida por θ. Si r es el radio de la circunferencia, entonces s = rθ y el área del sector A (sector) acotado por el arco s y los lados del ángulo θ es A (sector) = 1 2 rs = 1 2 r2 θ. 2.5 Volúmenes Paralelepípedo Rectangular Un paralelepípedo rectangular (o caja) es una figura geométrica cerrada con seis lados, en los cuales cada lado es un segmento plano rectangular, los lados opuestos son paralelos y todos los ángulos interiores son rectos. Un cubo es un paralelepípedo rectangular en el cual todos sus lados son iguales. En la Figura (2.10) presentamos un ejemplo de un paralelepípedo. Si a, b y c son tres aristas que convergen en un mismo vértice, h representa la altura, θ es el ángulo entre las dos aristas de la base (c y b) y α es el ángulo entre la tercera arista (a) y la altura entonces Figura 2.10: Paralelepípedo rectangular o caja. El área superficial S, de la base es S = bc sin θ

39 2.5. VOLÚMENES 33 Figura 2.11: Cilíndro circular recto de altura h y radio de la base r. El volumen es el producto del área de la base con su altura V = hbc sin θ Ejemplo 18 Si una caja tiene tiene longitud a = 10, ancho b = 6 y altura h = 5 entonces su área superficial y volumen son S = 2 (10 6) + 2 (10 5) + 2 (5 6) = 280 V = = Cilíndro Circular Recto Un superficie de revolución es la superficie generada por una figura plana que gira alrededor de una recta llamada eje. La porcion del espacio limitada por una superficie de revolución genera un cuerpo de revolución o sólido de revolución. Un cilíndro circular recto es un sólido de revolución generado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Como resultado, se tienen dos superficies circulares llamadas bases del cilíndro. La distancia entre las bases se llama altura. Si denotamos la altura con h y el radio de una base con r, como se muestra en la Figura (2.11), entonces El área superficial de un cillíndro es el área de la superficie cilíndrica que lo limita más dos veces el área de la base. S = (2πr)h + 2πr 2 = 2rπ (h + r) El volumen de un cilíndro es el producto del área de la base con la altura. V = πr 2 h Ejemplo 19 Si un cillíndro tiene altura h = 10 y radio r = 5, entonces su área superficial y su volumen son S = 2 5 π (10 + 5) = 150π V = π (5) 2 10 = 250π

40 34 CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA Cono Circular Recto Un cono circular recto o cono de revolución es un sólido de revolución generado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Como resultado, la hipotenusa genera la superficie lateral del cono, el cateto usado como eje de revolución es la altura del cono y el otro cateto genera la base del cono y es a su vez el radio de la base. Si denotamos con r el radio de la base y con h la altura, entonces El área supercial de un cono recto circular es el área de la base más un medio del producto del perímetro de la base con la hipotenusa del triángulo rectángulo. S = πr πr r 2 + h 2 = πr 2 + πr r 2 + h 2 El volumen de un cono es un tercio del área de la base con la altura. V = 1 3 πr2 h. Ejemplo 20 Si un cono circular recto tiene como radio de la base r = 5 y altura h = 10 entonces el área superficial y el volumen son Esfera S = π (5) 2 + π (5) ( = 25π 1 + ) V = 1 3 π = π Una esfera es un sólido de revolución generado por la rotación de una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros. Si r denota el radio de la esfera entonces El área superficial de de una esfera es cuatro veces π por el cuadrado del radio. S = 4πr 2 El volumen de una esfera es cuatro tercios de π por el cubo del radio. V = 4 3 πr3 Ejemplo 21 Considere una esfera de radio r = Entonces el área superficial y el volumen son S = 4π (4000) 2 = π V = 4 3 π (4000)3 = π

41 2.6. PROBLEMAS Problemas 1. Expresar los siguientes ángulos en grados a) 1.57 rad b) 2.0 rad 2. Expresar los siguientes ángulos en radianes a) 45 b) Hallar los complementos de los siguientes ángulos a) b) Hallar los suplementos de los siguientes ángulos a) b) Puede ser obtuso un ángulo de la base de un triángulo isoseles? 6. Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30, respectivamente. Cuánto mide el tercer ángulo? 7. Los ángulos de la base de un triángulo isoseles miden 40. Cuánto mide el ángulo opuesto a la base? 8. Hallar el ángulo que es igual a su suplemento. 9. Hallar el ángulo que es igual a la mitad de su complemento. 10. Cuál es la amplitud, en grados, del ángulo que subtiende una longitud de arco de 5.23 cmsi pertenece a una circunferencia de 20 cmde radio? 11. Hallar la longitud de arco subtendido por un ángulo de si pertenece a una circunferencia de 2 mde radio. 12. Hallar el lado de un cuadrado cuya área vale m La diagonal de un rectángulo mide 10 m y su altura 6 m. Hallar su área. 14. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm. 15. La diagonal de un cubo mide 2 3 cm. Hallar la arista.

42 36 CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA 16. Hallar el área lateral de un cilíndro circular recto, si el radio de la base mide 4 cm y la altura mide 10 cm. 17. Hallar el área total de un cilíndro circular recto si el radio de la base mide 20 cm y la altura mide 30 cm. 18. El área total de un cilíndro circular recto es 410 cm 2 y su altura es el doble del radio de la base. Hallar la altura y el radio de la base. 19. Hallar el área lateral de un cono sabiendo que el radio de la base mide 6 cm y la altura mide 8 cm. 20. Hallar el área total de un cono sabiendo que el radio de la base mide 3 cm y la altura mide 4 cm. 21. Hallar la altura de un cono sabiendo que el área lateral mide 16 5π cm 2 y el radio de la base mide 4 cm. 22. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntas para hacer una esfera mayor. Calcular el radio de la nueva esfera. 23. Se tiene una esfera situada dentro de un cilíndro de manera que al cilíndro tiene como altura y diámetro, el diámetro de la esfera. Determinar la relación entre el área de la esfera y el área lateral del cilíndro.

43 CAPÍTULO 3 TRIGONOMETRÍA 3.1 Funciones Trigonometricas Signos de las Funciones Trigonométricas Sea θ un ángulo cuyo lado inicial cae en la parte positiva del eje x, y cuyo vértice coincide con el origen (0, 0) y sea (x, y) cualquier punto en el lado terminal del ángulo. Sea r la distancia positiva desde el origen hasta el puunto (x, y), como se observa en la Figura (3.1.1). Figura 3.1: Triángulo rectángulo con hipotenusa r = x 2 + y 2 y catetos x, y. seno θ =sen θ = y r coseno θ = cosθ = x r tangente θ = tanθ = sen θ cosθ = y x, si x 0 cotangente θ = cotθ = cos θ sen θ = x y, si y 0 37

44 38 CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA secante θ = sθ = 1 cosθ = r x, si x 0 cosecante θ = csc θ = 1 sen θ = r y, si y 0 Signos de las Funciones Trigonométricas Quadrante sen cos tan cot s csc I II + + III + + IV Funciones Trigonométricas de 0, 90, 180, 270 y 360. Para θ = 0, tenemos y = 0 por lo que r = x, así las funciones trigonométricas de 0 son sen0 = 0 r = 0 cos 0 = r r = 1 tan0 = sen 0 cos 0 = 0 cot 0 = cos 0 sen0 = sec 0 = 1 cos 0 = 1 csc 0 = 1 sen0 = Para θ = 90, tenemos x = 0 por lo que r = y, así las funciones trigonométricas de 90 son sen90 = r r = 1 cos 90 = 0 r = 0 tan90 = sen 90 cos 90 =

45 3.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 39 cot 90 = sec 90 = csc 90 = cos 90 sen90 = 0 1 cos 90 = 1 sen90 = 1 Para θ = 180, tenemos y = 0 y x es negativo por lo que r = x, así las funciones trigonométricas de 180 son sen180 = 0 r = 0 cos 180 = r r = 1 tan180 = sen180 cos 180 = 0 cot 180 = sec 180 = csc 180 = cos 180 sen180 = 1 cos 180 = 1 1 sen180 = Para θ = 270, tenemos x = 0 y y es negativo por lo que r = y, así las funciones trigonométricas de 270 son sen270 = r r = 1 cos 270 = 0 r = 0 tan270 = cot 270 = sec 270 = csc 270 = sen 270 cos 270 = cos 270 sen270 = 0 1 cos 270 = 1 sen180 = 1 Para θ = 360, las funciones trigonométricas coinciden con las de 0

46 40 CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA Funciones Trigonométricas de 30, 45 y 60 Considere un triángulo equilatero con lados de longitud 2. Cada uno de sus ángulos mide 60 ( π rad). La mediana de un vértice bisecta el ángulo de ese vértice, es decir 3 es simultaneamente la bisectriz. Con esto tenemos dos triángulos rectángulos con catetos 1 y 3 y con hipotenusa 2. El ángulo opuesto al cateto de longitud 1 mide 60 y el opesto al cateto de longitud 3 mide 30. Así las funciones trigonométricas del el ángulo θ = 30 son, por definición sen 30 = 1 2 cos 30 = 3 2 tan30 = 1 3 cot 30 = 3 sec 30 = 2 3 csc 30 = 2 Ahora para θ = 60 tenemos sen 60 = 3 2 cos 60 = 1 2 tan60 = 3 cot 60 = 1 3 sec 60 = 2 csc 60 = 2 3 Para θ = 45 consideremos un triángulo rectángulo isoseles de lados (catetos) 1. Con esto la hipotenusa mide 2 y los ángulos de la base miden 45, por lo que tenemos sen 45 = 1 2 cos 45 = 1 2 tan45 = 1 cot 45 = 1 sec 45 = 2

47 3.2. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 41 csc 45 = 2 En la tabla siguiente presentamos las funciones trigonométricas de estos ángulos especiales. Grados π π π π 3π Radianes 0 π 2π sen cos tan cot sec csc Solución de Triángulos Rectángulos Usaremos la notación que sigue: a los vértices de un triángulo rectángulo se le denotará con las letras mayúsculas A, B y C, los ángulos en A, B y C, por α, β y γ y los lados opuestos a los vértices A, B y C, por a, b y c respectivamente. En un triángulo rectángulo si se conocen uno de sus ángulos agudos y un lado o dos de sus lados, se pueden encontrar las partes restantes, es decir, el otro ángulo agudo y el o los lados restantes. Al proceso de encontrar las partes restantes se le llama resolver el triángulo. Ejemplo 22 En un triángulo rectángulo se tiene α = 34 y b = Resolver el triángulo. Tenemos α + β = 90 por lo que β = 90 α = = 56. Ahora tan 34 = a b, de donde a = b tan34 = (10.5) tan34 = Por último el lado c lo podemos calcular por medio del teorema de Pitágoras o por medio de funciones trigonométricas. c = = Ejemplo 23 Resolver el triángulo rectángulo con lados a = 15 y b = 7. Por el teorema de Pitágoras tenemos c = = tanα = a b de donde α = arctan( a b ) = tan 1 ( a b ) = tan 1 ( 15 7 ) = Con esto podemos calcular β = =

48 42 CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA 3.3 Leyes de Senos y Cosenos Las leyes de los senos y los cosenos son suficientes para resolver cualquier triángulo. Son las relaciones más importantes, desde un punto de vista teorico, para un triángulo en general. Un triángulo rectángulo es resuelto usando el hecho de que los cocientes de sus lados pueden ser expresados como funciones trigonomé tricas de sus ángulos. En un triángulo arbitrario las relaciones no son tan simples. Las herramientas que permiten resolver estos triángulos generales son la ley de los senos y la ley de los cosenos. Theorem 24 (Ley de los senos) Si A, B, y C son las longitudes de los lados de un triángulo y α, β, y γ son los ángulos opuestos, respectivamente, entonces A sen α = B sen β = C sen γ (3.1) La ley de los senos nos permite resolver triángulos con sólo conocer un lado y dos ángulos, o si tenemos dos lados y un ángulo opuesto a uno de esos lados. Ejemplo 25 Para resolver un triángulo con un lado c = 2 y dos ángulos α = π 9, β = 2π 9, 1. El ángulo γ = π α β = γ = 2 3 π. 2. Resolver 3. Resolver a sen α = b sen β = c sen γ para a para obtener a = 4 3 3sen 1 π c sen γ para b para obtener b = 4 3 3sen 2π Theorem 26 (Ley de los cosenos) Si A, B, y C son las longitudes de los lados de un triángulo y θ es el ángulo entre A y B, entonce C 2 = A 2 + B 2 2AB cos θ (3.2) Resolviendo Triángulos Generales Usando ambas leyes, de los senos y los coseneos, es posible resolver un triángulo conociendo dos lados y el ángulo entre ellos, conociendo los tres lados. Ejemplo 27 Para resolver un triángulo con dos lados a = 2.34, b = 3.57 y el ángulo entre ellos γ = π, 1. Resolver c 2 = a 2 + b 2 2ab cosγ para c para obtener c =

49 3.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 43 a 2. Resolver sen α = y β = c sen γ y b sen β = c sen γ para α y β para obtener α = Ejemplo 28 Para resolver el triángulo con sus tres lados dados por, a = 2.53, b = 4.15, y c = 6.19, 1. Resolver c 2 = a 2 + b 2 2ab cosγ para γ para obtener γ = Resolver 3. Resolver a sen α = b sen β = c sen γ c sen γ para α para obtener α = para β para obtener β = Identidades y Ecuaciones Trigonométricas Un identidad trigonométrica es una ecuación que es cierta para todos los valores de la variable para los cuales ambos lados de la ecuación esta definida. Para verificar una identidad trigonomé trica se expresan todos los términos de la igualdad en función del seno y coseno y se efectuan las operciones indicadas, consiguiendose así la identidad de ambos miembros. Indentidades Pitagoricas sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = tan 2 ϕ = s 2 ϕ 1 + cot 2 ϕ = csc 2 ϕ Ejemplo 29 Demostrar que Comenzando con csc ϕ sϕ = csc ϕ sϕ = cot ϕ + tanϕ = 1 1 senϕ cos ϕ 1 senϕ cosϕ = sen2 ϕ + cos 2 ϕ senϕ cosϕ sen 2 ϕ = senϕ cosϕ + cos2 ϕ senϕ cosϕ = senϕ cosϕ + cosϕ senϕ = tanϕ + cot ϕ

50 44 CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA Funciones Pares e Impares y Periodicidad Si una función f satisface f( x) = f(x) para todo número x en su dominio, entonces f es llamada una función par. Si una función f satisface f( x) = f(x) para todo número x en su dominio, entonces f es llamada una función impar. Muchas de las funciones no pertenecen a alguna de estas categorias, pero las seis funciones trigonométricas básicas pertenecen a una categoria o a la otra. Funciones impares: sen ( ϕ) = sen ϕ tan( ϕ) = tanϕ cot ( ϕ) = cot ϕ csc ( ϕ) = csc ϕ Funciones pares: cos ( ϕ) = cosϕ s ( ϕ) = sϕ Las seis funciones trigonométricas básicas son periodicas con periodos 2π ó π. Periodo = 2π sin ϕ = sin (ϕ + 2πn), sin (ϕ ± π) = sin ϕ cos ϕ = cos (ϕ + 2πn), cos (ϕ ± π) = cos ϕ sϕ = s (ϕ + 2πn), s (ϕ ± π) = sϕ csc ϕ = csc (ϕ + 2πn), csc (ϕ ± π) = csc ϕ Periodo= π tan ϕ = tan (ϕ + πn) cot ϕ = cot (ϕ + πn)