"ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA" 1.1 Parte básica

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1 1 "ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA" 1.1 Parte básica

2 Introducción a la Estadística Concepto de Estadística y Estadísticas La primera acepción del término "Estadística", que tiene origen histórico, hace referencia a una determinada información numérica; esta acepción se encuentra cada día más arraigada en nuestra sociedad debido al abultado conjunto de números y cifras en el que se encuentra inmersa: P. I. B., índices de precios, tasas de inflación, evolución del paro, cotizaciones bursátiles, accidentes de circulación, porcentajes de votantes, porcentajes de personas que padecen una determinada enfermedad, etc. Una segunda acepción entiende la estadística como una ciencia que facilita los métodos precisos para la obtención de información numérica, y que también proporciona métodos de análisis de esa información recogida y métodos de investigación aplicables al resto de las Ciencias. La primera se corresponde básicamente con la estadística descriptiva y la segunda con la estadística inferencial Etapas del análisis estadístico Las diversas fases por las que atraviesa el análisis estadístico son: a) Recogida de datos, que no por ser elemental, está exenta de dificultades e indicaciones que hay que observar, ya que una recogida mal efectuada puede ocasionar un sesgo de la información y del posterior análisis, por lo que el objeto de la investigación debe plantearse de una manera minuciosa, así como la organización del trabajo de campo necesario para la recogida de datos. b) Ordenación y presentación de los datos, y que suele presentarse mediante unas tablas de simple o de doble entrada. c) Resumen de la información, para tratar de describir las características más relevantes que pueden tener los datos, y que se realiza mediante la determinación de parámetros estadísticos que intentan resumir toda la información que aporte el conjunto de datos.

3 3 d) Análisis estadístico, a través de métodos facilitados por la Estadística Matemática, para tratar de verificar hipótesis sobre regularidades que pueden detectarse en las etapas previas Población y muestra Recibe el nombre de Población, Colectivo o Universo, todo conjunto de individuos o elementos que tienen unas características comunes. Dado que no siempre es posible estudiar todos los elementos de la población, ya sea por razones económicas, de rapidez de obtención de la información, o porque los elementos se destruyen en el proceso de la investigación, con frecuencia es necesario examinar sólo una parte de la población, que se denomina muestra; para que una muestra sea válida como objeto de estudio, ha de ser representativa de la población, es decir ha de tener las mismas características, en los caracteres estudiados, que la población Caracteres de una población Llamaremos variable al carácter objeto de estudio, que puede tomar distintos valores. Las variables pueden ser cuantitativa o cualitativas, según que tomen, o no, valores cuantificables. Las variables de tipo cuantitativo, que estudian caracteres cuantificables, pueden clasificarse de diversas formas: variables discretas o continuas, según que sólo puedan tomar valores aislados o, por el contrario, todos los valores de un intervalo Tipos de escalas En determinado tipo de estudios, quizá tenga mayor relevancia diferenciar las variables según el tipo de escala utilizada, distinguiendo: Escala nominal: el carácter estudiado se clasifica en categorías no numéricas, sin que puedan establecerse ninguna relación de orden entre ellas,

4 4 por ejemplo: las profesiones laborales, el estado civil, la ideología política, el sexo, etc. Escala ordinal: el carácter estudiado es de tipo no numérico, pero se pueden establecer algún tipo de orden entre las distintas categorías. Este es el caso del nivel de estudios (primarios, medios, superiores), los tipos de clases sociales (baja, media, alta),etc. Escala de intervalo: puede establecerse alguna unidad de medida y cuantificar numéricamente la distancia existente entre dos observaciones. Es la escala cuantitativa, encontrándose en este caso gran número de variables entre ellas, como por ejemplo: salarios, presupuestos, gastos, etc. Escala de proporción: son aquellas variables en las que además de una unidad de medida, se fija un punto origen, que marca el cero. En este tipo pueden considerarse la edad, el peso, el número de unidades en stock en un inventario, etc.

5 Variables estadísticas unidimensionales Distribución de frecuencias. Clases. Vamos a tratar ahora de estructurar y ordenar los conjuntos numéricos de los datos obtenidos en la observación de una muestra o población para así poder proceder con más facilidad a su estudio. Empezaremos estudiando las frecuencias en sus diversas clases: Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite cada valor de la variable en el conjunto de todas las observaciones de la misma. En general la frecuencia absoluta del dato x i se representa por f i Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos u observaciones. El número total de datos lo representamos por n, y la frecuencia relativa del dato x i se representa por h i Se verifica por lo tanto: h i = f i /n Frecuencia absoluta acumulada: es la suma de las frecuencias absolutas de los valores inferiores o iguales al considerado. Evidentemente los valores de la variable deben de estar ordenados en forma creciente. En general, la frecuencia absoluta acumulada del dato x i se representa por F i Evidentemente, la última frecuencia absoluta acumulada coincide con el tamaño de la muestra. i Se verifica pues: F i =! f j j=1 Frecuencia relativa acumulada: es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos u observaciones. Análogamente a la anterior, los valores de la variable deben de estar ordenados en forma creciente, es decir, la escala debe de ser numérica o, al menos, ordinal.

6 6 La última frecuencia relativa acumulada es 1. Generalmente la frecuencia relativa acumulada del dato x i de la variable se representa por F i, y verifica: H i = F i n = i! f j j=1 n Propiedades de las frecuencias 1ª La suma de las frecuencias absolutas coincide con tamaño de la muestra:! f i = n i 2ª Todas las frecuencias absolutas son positivas y menores o iguales que n. 0 f i n 3ª La suma de las frecuencias relativas es 1:! h i =1 i 4ª Todas las frecuencias relativas son positivas y menores o iguales que 1: 0 h i n 5ª La frecuencia absoluta acumulada correspondiente a un valor de la variable se obtiene sumando la frecuencia absoluta acumulada del valor anterior, con la frecuencia absoluta del dato. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Llamaremos distribución de frecuencias al conjunto de los valores que toma una variable, junto con sus frecuencias correspondientes. Así pues, para determinar una distribución de frecuencias debemos conocer todos los valores x i de la variable y cualquiera de las columnas de frecuencias (pues el paso de una a otra es inmediato).

7 7 Distinguiremos dos tipos fundamentales de distribución de frecuencias: las no agrupadas en intervalos y las agrupadas en intervalos. La distribución de frecuencias no está agrupada en intervalos cuando cada valor de la variable tiene asociado su frecuencia. Pero ocurre frecuentemente, sobre todo en variables de tipo continuo, que el número de valores distintos que toma la variable es demasiado grande; en este caso, para mayor comodidad en el tratamiento de la información, parece aconsejable agrupar esos valores en intervalos, teniendo en cuenta que lo que ganamos en manejabilidad lo perdemos en información de la distribución. En la agrupación en intervalos hay que tener en cuenta tres aspectos: a) Que el máximo de información se obtiene en la recogida de datos y que ésta se pierde al agrupar en intervalos. b) Las distribuciones agrupadas en intervalos no se presentan realmente así, sino que es el investigador el que las agrupa para manejar mejor los datos. c) Al agrupar hay que tener en cuenta las frecuencias. Un intervalo queda determinado por sus extremos y, en general, el intervalo i- ésimo se representa por [L i-1,l i ), donde L i es el extremo superior del intervalo y L i-1 el extremo inferior del mismo. Llamaremos amplitud del intervalo, a i, a la diferencia entre sus extremos superior e inferior: a i = L i - L i-1 Esta amplitud puede ser constante para todos los intervalos, o variable, aunque es más cómodo que sea constante. Cuando un investigador decide agrupar los datos en intervalos se encuentra con dos cuestiones iniciales: 1ª.- Cómo se debe tomar la amplitud, constante o variable? 2ª.- Cuántos intervalos conviene tomar? La respuesta a estas pregunta depende de la naturaleza del problema, y aunque hay muchas reglas escritas en los textos de estadística, en la práctica suelen resultar estériles.

8 8 Posteriormente se hace un recuento de los datos que corresponden a cada intervalo, para determinar la frecuencia de cada uno de ellos. Aparece un problema cuando un dato coincide con alguno de los extremos de los intervalos; como regla general, se toman los intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha [L i- 1,L i ), es decir, se incluirán dentro del intervalo los datos que coincidan con el extremo inferior del mismo, y se excluirán de éste los que coincidan con su extremo superior, incluidos, por lo tanto, en el intervalo posterior. Para evitar este problema de incluir o no incluir los datos en los intervalos, los extremos se suelen tomar con un decimal más que los de los datos, siendo, normalmente este decimal un 5. Por último cabe destacar que tomaremos como representante de cada intervalo su punto medio, que denominaremos marca de clase, y designaremos por c i. Así la marca de clase del intervalo [L i-1,l i ) será: c i = L i!1 + L i 2 EJEMPLO 1.1: Investigados los precios por habitación de 50 hoteles de una ciudad, se han obtenido los siguientes resultados: Determinar la distribución de precios: a) Sin agrupar en intervalos. b) Agrupadas en 5 intervalos de amplitud constante. a) Solución: Precio (xi) en miles Nº de hoteles (fi)

9 9 b) Precio en intervalos marca de clase (xi) Nº de hoteles (fi) [3000, 5500) [5500, 8000) [8000, 10500) [10500, 13000) [13000, 15500)

10 Representaciones gráficas La información proporcionada por las tablas de distribución de frecuencias es bastante completa, pero tiene la dificultad de que su lectura requiere un cierto tiempo y capacidad de comparación para relativizar la información de unas clases respecto de las otras. Además, en la experiencia del lector, al comenzar a leer un determinado artículo (científico o no), su vista se dirige primero al título, luego a los gráficos y, finalmente, a las tablas. Así pues, las representaciones gráficas constituyen uno de los principales y más sencillos métodos de exponer la información, por su capacidad de impactar al lector con muy poco esfuerzo por su parte, dando una información rápida y global de los datos, siendo útiles incluso al investigador, pues le permiten tener una idea general de los resultados y, a veces, sugerir nuevas hipótesis Tipos de representaciones gráficas Los diversos tipos de gráficos utilizados son: 1º DIAGRAMAS DE BARRAS PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS NO AGRUPADAS: En un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, se representan en el eje de abscisas los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias. Posteriormente, sobre cada valor de la variable se levanta una barra vertical de altura proporcional a la frecuencia, ya sea absoluta o relativa. Sobre el eje de abscisas la escala de medida puede ser cualquiera y no coincidir con la escala del eje de ordenadas. Incluso el cero del eje de abscisas no tiene porque coincidir con el cero de la medida utilizada. EJEMPLO 1.2: Supongamos una variable X que presenta los siguientes valores : x i = { a, e, i, o, u } con las siguientes frecuencias: f 1 = 1 f 2 = 2 f 3 =1 f 4 = 3 f 5 = 3, correspondientes a las veces que aparecen dichas vocales en una frase.

11 11 Construya el diagrama de barras correspondiente y el diagrama de barras acumulado, o diagrama de escalera. Solución: Podemos presentar entonces la siguiente tabla: x i f i F i h i H i a 1 1 0,1 0,1 e 2 3 0,2 0,3 i 1 4 0,1 0,4 o 3 7 0,3 0,7 u ,3 1 El diagrama de barras correspondiente aparece en la figura 1.1: 4 3. FRECUENCIAS a e i o u VOCALES Figura 1.1: Diagrama de brarras Si lo que queremos representar son las frecuencias acumuladas, se procede igual que en el caso anterior con los ejes cartesianos y levantando sobre cada valor de la variable, una altura proporcional (igual) a la frecuencia acumulada, uniendo mediante trazos horizontales el extremo de cada coordenada con el siguiente; este diagrama recibe el nombre de diagrama de escalera (ver figura 1.2).

12 12 Figura 1.2: Diagrama de barras acumulado. (Diagrama de escalera) Los gráficos de diagrama de barras y de escalera suelen utilizarse en variables de tipo cualitativo, o en las de tipo cuantitativo discretas. 2º POLÍGONOS DE FRECUENCIAS PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS NO AGRUPADAS EN INTERVALOS: Sobre unos ejes cartesianos, análogos a los anteriores, se levanta en cada valor de la variable una ordenada de altura igual a la frecuencia absoluta (o relativa) de dicho valor, uniendo a continuación con una poligonal dichas ordenadas. La primera ordenada se une con el cero del eje de abscisas, teniendo en cuenta que si hay algún valor de la variable con frecuencia cero también ha de ser considerado y unir dicho dato con los anteriores. Veamos el polígono de frecuencias del ejemplo anterior (ver figura 1.3):

13 13 Figura 1.3: Polígono de frecuencias. Análogamente se procedería con las frecuencias acumuladas (ver figura 1.4). FRECUENCIAS ACUMULADAS a e i o u VOCALES Figura 1.4.: Polígono de frecuencias acumulado. Estos polígonos de frecuencias se utilizan cuando la variable es de tipo cualitativo o cuando es de tipo cuantitativo discreta. 3º HISTOGRAMA PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS EN INTERVALOS Se construyen levantando, sobre cada intervalo de la variable, un rectángulo de área proporcional a la frecuencia absoluta de dicho intervalo. Si los intervalos son de amplitud constante, las alturas de los rectángulos serán iguales a las frecuencias absolutas respectivas, pues al ser las bases iguales las áreas son proporcionales a las alturas; pero si las amplitudes de los intervalos son diferentes, las alturas de los rectángulos deben calcularse dividiendo la frecuencia absoluta por la longitud del intervalo; ésta se puede representar por a i y vale pues: a i = f i c i y de esta forma, el área del rectángulo coincide con la frecuencia: S i = a i c i = f i c i c i = f i

14 14 La altura a i correspondería a la frecuencia correspondiente a cada unidad de medida de la variable en cada intervalo, y se le conoce a veces, con el nombre de densidad de frecuencia del intervalo. EJEMPLO 1.3: La distribución del saldo de imposiciones en las Cajas de Ahorros viene dada en la tabla siguiente: Saldo 4-6,9 7-8,9 9-14, , , ,9 100 Nº provincias Representar el histograma correspondiente Solución: Como los intervalos son de amplitud no constante, hay que calcular las alturas de los mismos, obteniéndose la siguiente tabla: intervalos f i alturas Fi hi Hi Grados Total que da lugar al histograma de la figura 1.5:

15 15 Figura 1.5: Histograma. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros). 4º POLÍGONO DE FRECUENCIAS PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS Para construir este gráfico se levanta en el extremo superior de cada intervalo una ordenada igual a su frecuencia, uniendo a continuación dichas ordenadas. La primera ordenada se une al extremo inferior del primer intervalo, prolongando el polígono desde ese punto a la izquierda sobre el eje x, y prolongando también por la derecha a partir del extremo superior del último intervalo, con una recta paralela al eje de abscisas. Suele utilizarse esta representación sobre todo en el caso de que las frecuencias sean acumuladas. En este caso la altura correspondiente al extremo superior del último intervalo, coincide con n, si las frecuencias son absolutas, y con 1 si las frecuencias son relativas. EJEMPLO 1.4: El polígono de frecuencias acumuladas para el ejemplo estudiado de las distribuciones del saldo de las Cajas de Ahorros viene dado por el gráfico que aparece en la figura 1.6:

16 16 Figura 1.6: Polígono de frecuencias acumuladas. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros). En el caso de representar las frecuencias no acumuladas se procede de diferente forma, uniendo los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos del histograma y prolongando por los extremos hasta cortar al eje X en los puntos medios de las bases del primer y del último rectángulo (ver figura 1.7). 5 Alturas x i Figura 1.7: Polígono de frecuencias. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros). El área del polígono cerrado resultante es igual al área de los rectángulos formados mediante el histograma.

17 17 A veces se representan en el mismo gráfico el histograma y el polígono de frecuencias. 5º DIAGRAMA DE SECTORES Este caso, en una circunferencia se representan sectores circulares cuyo ángulo central coincida con la frecuencia absoluta (no se puede utilizar para acumuladas) o relativa del elemento, representando, mediante colores o incluyendo dentro de dicho sector el nombre de la clase o elemento a representar. Vale tanto para frecuencias agrupadas, como no agrupadas. Previamente hay que calcular los grados que corresponde a cada elemento multiplicando la frecuencia correspondiente a cada dato por el cociente entre 360º y el total de datos: g i = f i 360 n EJEMPLO 1.5: Obtener el gráfico de sectores correspondiente a los datos anteriores de las cajas de ahorros: Solución: intervalos f i alturas Fi hi Hi Grados Total y su representación en sectores en la figura 1.8:

18 18 Figura 1.8: Diagrama de sectores. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros). EJEMPLO 1.6: Los datos siguientes corresponden a gastos de inversión publicitaria en los países de la C.E.E. durante el año PAÍSES R.F.A INGLATERRA FRANCIA ESPAÑA HOLANDA ITALIA DINAMARCA BÉLGICA GRECIA IRLANDA INVERSIÓN (MILLONES $) No se poseen datos de Portugal y Luxemburgo Representar el correspondiente diagrama de sectores Solución: El gráfico de sectores aparece en la figura 1.9:

19 19 R.F.A INGLATERRA FRANCIA ESPA ÑA HOLANDA ITALIA DINAMARCA IRLANDA BELGICA GRECIA Figura 1.9: Diagrama de Sectores. Inversión publicitaria en la C.E. (datos de 1.986) En este gráfico se observa que cuando ciertos datos presentan una frecuencia baja, en relación con los demás, su sector circular seria no detectable visualmente, por lo que se une con otros de frecuencias también bajas, dándole el nombre de "otros", o bien, si es posible, indicando todos los elementos que lo forman. 6º PICTOGRAMAS Son dibujos alusivos a la distribución que se pretende estudiar y que mediante su forma, tamaño, etc., ofrecen una descripción, lo más expresiva posible, de la misma. Consideremos el siguiente ejemplo: EJEMPLO 1.7: Representar el pictograma correspondiente a la tabla de datos siuiente: PAÍSES BRASIL MÉJICO ARGENTINA VENEZUELA CHILE PERU COLOMBIA ECUADOR URUGUAY BOLIVIA PARAGUAY INVERSIÓN (MILLONES $)

20 20 Solución: DEUDA EXTERNA DE AMERICA LATINA (Diciembre 1986) BRASIL MEXICO ARGENTINA VENEZUELA CHILE PERU ECUADOR BOLIVIA COLOMBIA URUGUAU PARAGUAY Figura 1.10: Pictograma (Deuda externa de América Latina) En el caso anterior, el área de la figura debe de ser proporcional a la frecuencia, aunque existe también la posibilidad de que una figura represente un número determinado de frecuencias, y entonces contenga este dato. Este tipo de representación suele utilizarse en las distribuciones cualitativas, como por ejemplo en la siguiente: EJEMPLO 1.8: El censo ganadero español, en el mes de Septiembre de 1.977, según fuentes del Ministerio de Agricultura, era: GANADO BOVINO OVINO CAPRINO PORCINO EQUINO Nº DE CABEZAS (EN MILES) TOTAL Represente el correspondiente pictograma

21 21 Solución: El correspondiente pictograma sería de la forma que aparece en la figura 1.11: Figura 1.11: Pictograma (Censo ganadero español) 7º CARTOGRAMAS Son los gráficos realizados sobre mapas, representando el carácter estudiado en ciertas regiones, señalando las zonas con distintos colores o tramas, poniendo de manifiesto las diferencias existentes entre las regiones del plano. Se suelen utilizar para representar densidades demográficas de una nación, la renta per capita, índices de lluvia, etc. 8º DIAGRAMAS DE PERFIL RADIAL: Se toma un punto de partida y se trazan tantos radios como modalidades tenga la variable estudiada y después, sobre estos radios, se toma una distancia al centro proporcional a la frecuencia de cada modalidad. Uniendo los puntos extremos de cada radio se obtiene un polígono cerrado, que es el perfil radial. En el ejemplo del censo ganadero en Septiembre de 1977 seria (ver figura 1.12):

22 22 Caprino Bovino Equino Porcino Ovino Figura 1.12: Perfil radial (Censo ganadero español) 9º DIAGRAMAS LINEALES Se utilizan para mostrar las fluctuaciones de un determinado carácter estadístico con el paso del tiempo. Interesa únicamente la altura de la línea, referida a la base del diagrama, que se levanta con una longitud proporcional al valor del carácter estudiado en dicho mes. Con frecuencia se aprovecha para representar sobre la misma escala varios diagramas lineales muy relacionados entre sí. Por ejemplo, ingresos y gastos, nacimientos y defunciones, etc. EVOLUCION DEL IPC (Acumulado en 1987) 3'8 2'9 2'9 0'7 1'1 FEBRERO ENERO 6'0 6'0 1'7 MARZO 6'3 2 ABRIL 6'2 EVOLUCION DE LA TASA DE INFLACION 1'9 1'9 MAYO JULIO JUNIO 5'8 4'9 4'9 SEPTIEMBRE AGOSTO 4'5 4'4 Figura 1.13: Diagrama lineal

23 23 El gráfico anterior (figura 1.13) reproduce un diagrama aparecido en DIARIO 16, que expresa la evolución del IPC y la tasa de inflación durante los nueve primeros meses del año A veces se unen en un mismo gráfico varios grupos para considerarlos conjuntamente, compararles y observar donde las distribuciones coinciden o se separan, permitiendo así un análisis gráfico comparativo. Así, el gráfico siguiente (figura 1.14) muestra los polígonos de frecuencias porcentuales correspondientes a las distribuciones de ingresos en familias de población blanca y negra en los Estados Unidos. % 14'0 12'0 10'0 Población blanca 8'0 Población negra 6'0 4'0 2'0 Indice de integración=0' $ 2000$ 5000$ 10000$ 15000$ 25000$ 50000$ Figura 1.14: Polígonos de frecuencias porcentuales

24 Medidas de tendencia central Las tablas de distribuciones de frecuencia ofrecen toda la información disponible, pero a veces, debido a su extensión nos encontramos con dificultades a la hora de su interpretación, por lo que interesa resumirla con el fin de facilitar, tanto su análisis como la comparación entre distintas muestras o poblaciones. En este proceso de síntesis se buscan valores que determinen el comportamiento global del fenómeno estudiado Las medidas de síntesis de la distribución se consideran operativas cuando: a) Intervienen todos y cada uno de los elementos en su formación. b) Es siempre calculable. c) Es única para cada distribución de frecuencias. Estos valores se denominan medidas de posición, en general son promedios de los valores y pueden ser de tendencia central o no. Sólo tienen sentido si la variable es cuantitativa. Entre las más importantes están la media aritmética, la mediana, la moda y los cuantiles; además de éstos, también estudiaremos la media geométrica, la media armónica, la media cuadrática y la media aritmética ponderada Media aritmética Se define como la suma de todos los valores de la distribución, dividida por el nº total de datos. Si designamos por x i al valor de la variable X, que se repite f i veces, la media aritmética será: x = x 1 n f 1 + x 2 n f 2 +!+ x k n f k = k! i=1 x i f i n n x = i f! i =! x n i h i i=1 k i=1

25 25 EJEMPLO 1.9: Por ejemplo, sea la variable X que representa los pesos en kilogramos de 10 estudiantes y que presenta los valores: x i ={ 54, 59, 63, 64 } con las siguientes frecuencias f i ={ 2, 3, 4, 1 }. Calcular la media aritmética. Solución: La media aritmética vendrá dada por: x = = = = 60.1 Kg En el caso de que las variables estuvieran agrupadas en intervalos no se podría utilizar dicha expresión, por no saber el valor exacto de la variable, usándose en este caso como x i la marca de clase del intervalo. Veámoslo con el siguiente ejemplo: EJEMPLO 1.10: Consideraremos la siguiente tabla de distribución de frecuencias: Intervalo fi Marca de clase Total 10 Calcular la media aritmética de los datos Solución: Resultará, según la definición dada, que x = x i f i ! = = 47 n 10

26 26 No obstante, y dado que la media aritmética está muy influenciada por los valores extremos de las observaciones, no siempre sirve para representar lo que ocurre en cada una de éstas, tal y como puede observarse en el siguiente ejemplo: EJEMPLO 1.11: La tabla siguiente recoge el número total de goles marcados en los ocho primeros campeonatos de liga de primera división correspondientes a las temporadas en que han participado en el mismo 20 equipos: Temporada Número de goles Calcular e interpretar la media aritmética. Solución: Calculada la media aritmética se observa que es 917,75; no obstante, este valor es poco representativo de lo ocurrido en cada temporada, puesto que solamente en los años y se obtuvo un número de goles próximo a dicho valor, mientras que en el resto de temporadas se obtuvieron bastantes más ( 92-93, y ) o bastantes menos ( 87-88, 88-89, 90-91). Por otro lado qué sentido tiene decir que se marcaron 917,75 goles?, acaso hubo alguna ocasión en la que solamente penetró en la portería el 75% del balón?.

27 27 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA: 1ª. La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su media es 0. k "( x i! x )f i = " x i f i! x " f i = n i=1 k i=1 k i=1 k " i=1 x i f i n! x n = nx! x n = 0 2ª. Si a todos los valores de la variable les sumamos una constante k, la media aritmética queda aumentada en esa constante. Si consideramos la distribución ( x i + k, f i ) su media será: x ' = k ' f i f i! x i =! x n i + k =! x n i + k! = x + k n n i=1 k i=1 ( ) f i k i=1 k i=1 f i 3ª. Si a todos los valores de la variable los multiplicamos por una constante k, su media aritmética queda multiplicada por esa constante. Para demostrar esta propiedad basta considerar la distribución ( x i k, f i ), su media será: k '' f i f x ' ' =! x i =! x n i k = k! x i n i = kx n i=1 k i=1 ( ) f i k i=1 4ª. Si a una variable X le efectuamos una transformación lineal de la forma Y = ax + b, con a y b constantes, la media de la nueva variable queda afectada por dicha transformación lineal: y = ax + b media. La demostración es consecuencia inmediata de las propiedades 2ª y 3ª de la

28 28 VENTAJAS E INCONVENIENTES Como ventajas de utilizar la media aritmética como un promedio para sintetizar los valores de la variable podemos citar las siguientes: - Considera todos los valores de la distribución. - Es siempre calculable (en variable cuantitativa). - Es única. Como inconvenientes de la utilización de la media aritmética cabe citar que, a veces, puede dar lugar a conclusiones erróneas, cuando la variable presenta valores muy extremos, que influyen mucho en la media, haciéndola poco representativa Media aritmética ponderada Se calcula esta media aritmética cuando cada valor de la variable tiene asociado una ponderación o un peso, distinto de la frecuencia, y que le haga tener más o menos importancia en la distribución. En este caso si el dato x i tiene un peso w i, su media ponderada sería: x p = k! x i w i i=1 k! w i i=1 Si cada dato presenta una frecuencia f i, la media ponderada sería: x p = k! x i f i w i i=1 k! f i w i i=1

29 29 EJEMPLO 1.12 Veamos un ejemplo de un estudiante que realiza tres exámenes de media hora, una hora y una hora y media respectivamente, obteniendo unas puntuaciones de 50, 80 y70. Por la duración de los exámenes cabría atribuirles las ponderaciones de 1, 2 y 3 respectivamente. xi Ponderación Calcular la puntuación media del alunno. Solución: Obtendríamos la siguiente media aritmética ponderada: x = = = Media geométrica Se define como la raíz n-ésima del producto de todos los n valores de la distribución: G = n f x 1 f 1 x 2 f 2!x k k Tomando logaritmos quedaría: log G = 1 " k $ %! f n i logx # i ' i=1 & Es decir, el logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos de los valores. En su cálculo se suele utilizar esta propiedad. tiempo. Veamos, por ejemplo, cómo calcular la renta media durante varios periodos de

30 30 EJEMPLO 1.13 Si invertimos pts al 3% durante un año, al 5% durante otro año y al 8% durante un tercero, cuál es la renta media a la que está invertido el dinero durante los tres años?. Solución: Cabría esperar que la solución fuera la media aritmética de las tres rentas, es decir el 5%, pero la realidad es otra; en efecto: Teniendo en cuenta que: C( 1 + r m ) 3 =C( 1 + r 1 )( 1 + r 2 )( 1 + r 3 ) Se verificará que r m = 1 + r 1 ( )( 1 + r 2 )( 1+ r 3 ) Es decir, que 1+r m es la media geométrica de las rentas de cada anuales, expresadas en tanto por uno, más uno. En nuestro problema: 1 + r m = !1.05!1.08 = es decir, el rédito medio es del 4,97% ( media geométrica de los réditos anuales ), y no el 5% como parecía ser. Veamos otro ejemplo en el que interese utilizar logaritmos. EJEMPLO 1.14 Sea una clase de 22 niños, cuya talla se distribuye del modo siguiente: Talla en cm Frecuencia Calcular la talla media Solución: La media geométrica sería: G = !120 5!125 4!140 3

31 31 Para calcular el valor de G tomaremos logaritmos, de manera que: log G = 1 10 log log log log ( ) = = = G = anti log = 113.6cm La media geométrica tiene una ventaja sobre la media aritmética y es que es menos sensible a los valores extremos. Como inconvenientes principales señalar que tiene un significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética, su cálculo es difícil y a veces no se puede calcular (si un valor de la variable es 0) Media armónica Se define como el inverso de la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. Es decir: A = n k 1! i=1 x f i i Como ventajas podemos mencionar que intervienen todos los valores de la variable y que, en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética. Como inconvenientes hay que citar la gran influencia de los valores pequeños y que a veces no se puede calcular (si un valor de la variable es 0). Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, etc. EJEMPLO 1.15: Supongamos un móvil que efectúa un recorrido de 100 km, en dos sentidos. En un sentido va a una velocidad constante v 1 = 60 Km/h y en el otro también circula a una velocidad constante v 2 =70 Km/h y, por tanto, diferente de la anterior.

32 32 armónica. armónica. Calcular la velocidad media del recorrido total debemos calcular la media Solución: En este caso, si queremos calcular la velocidad media debemos calcular la media Pero v = espacio timpo = 2s t 1 + t 2 t 1 = s v 1 = 100Km 60 Km h t 2 = s v 2 = Luego, sustituyendo, obtenemos que: v = 2s t 1 + t 2 = 200Km 100 Km 60 Km h + 100Km 70 Km h 100 Km 70Km h 2Km = 1 60 h + 1 = 64.62Km h 70h RELACION ENTRE LAS MEDIAS La relación existente entre estas tres medias es: H! G! x cuando las tres medias existen Mediana Es el valor de la distribución que, una vez ordenados los valores de la variable de menor a mayor, deja igual número de frecuencias a su izquierda que a su derecha, es decir, el valor que ocupa el lugar central. Puede entenderse también como aquel valor cuya frecuencia absoluta acumulada es n/2.

33 33 DATOS SIN AGRUPAR Nº impar de términos Si la distribución está sin agrupar, y hay un nº impar de términos, la mediana será el que ocupa la posición central. Por ejemplo, si los valores de la variable son { 1, 2, 3, 4, 5 } la mediana sería M e = 3 Nº par de términos Pero si hay un nº par de términos habría dos términos centrales y se toma como mediana la media aritmética de ellos. Por ejemplo, si los valores de la variable son {1, 2, 5, 7, 9, 10, 13, 14} La mediana seria: M e = = 8 DATOS CON FRECUENCIAS Variable discreta Si los datos presentan diferentes frecuencias, el método más práctico es buscar en la columna de frecuencias acumuladas n/2. EJEMPLO 1.16: Si la distribución es: xi fi Fi Total 35 Calcular la mediana

34 34 Solución: n 2 = 35 2 =17.5 La mediana es M e = 7, puesto que desde el que ocupa el lugar 17 hasta el de lugar 26 todos los valores son 7. Es decir, si F i-1 < n/2 < F i, entonces, Me = x i Variable continua o datos agrupados en intervalos En el caso de estar la distribución agrupada en intervalos (sean o no de la misma amplitud) al buscar el valor que ocupa el lugar n/2 nos encontramos con un intervalo, el intervalo mediano, y no con un dato. Para determinar un único representante de dicho intervalo como mediana, determinaremos el elemento que en el polígono de frecuencias acumuladas toma de frecuencia n/2. Figura 1.15: Polígono acumulativo de frecuencias para el cálculo de la Mediana

35 35 En el gráfico de la figura 1.15 se observa la forma de determinar la mediana. La mediana vale: M e = L i-1 + m Como los triángulos ABC Y AB'C' son semejantes, resulta que: AC AC' = BC B' C' es decir: m c i = n 2! F i!1 F i! F i!1 por lo tanto: m = n 2! F i!1 c f i i De lo anterior se deduce que la Mediana se calcula de la siguiente forma: Me = L i!1 + n 2! F i!1 c f i i VENTAJAS E INCONVENIENTES Como ventajas de la mediana podemos citar que no está influida por los valores extremos como en el caso de la media, y además tiene sentido en casos de distribuciones en escala ordinal (datos que pueden ser ordenados), siendo la medida más representativa de estos por describir la tendencia central de los mismos. Como inconvenientes puede ser la determinación de ésta en los casos de variables agrupadas en intervalos.

36 36 EJEMPLO 1.17: Sea la siguiente distribución de salarios y calculemos el salario mediano. Clase Salario anual Nº de obreros Nº acumulado de obreros a a a a a Solución: Tenemos que n 2 = pertenece a la tercera clase. = 335.5, valor que nos indica que el salario anual mediano La amplitud del tercer intervalo es c i = 5000, luego: Me = es decir, M e = ! = Moda Es el valor de la variable que más veces se repite en una distribución de frecuencias, es decir, el que tiene mayor frecuencia absoluta. Para calcular la moda, en el caso que la distribución no esté agrupada o esté agrupada en intervalos, se procede de forma diferente: DISTRIBUCIÓN SIN AGRUPAR EN INTERVALOS DE CLASE La moda es el valor ( o valores ) que presenten mayor frecuencia absoluta.

37 37 EJEMPLO 1.18: Consideremos la siguiente distribución: xi fi Observando la fila de frecuencias, se ve que M o = 7 Puede ocurrir que una distribución presente más de una moda (bimodal, trimodal, etc.), e incluso que presente una moda absoluta y alguna moda relativa. Las representaciones serian (ver figuras 1.16 y 1.17): Figura 1.16: Representación de una distribución con una única moda y otra bimodal Figura 1.17: Modas en una distribución bimodal

38 38 DISTRIBUCIÓN AGRUPADA EN INTERVALOS DE CLASE Si la distribución está agrupada en intervalos, se procederá de forma diferente según que la amplitud sea constante o no. Amplitud constante Si la amplitud es constante, la máxima frecuencia nos determina un intervalo, el intervalo modal, pero hay que seleccionar un valor de ese intervalo que haga el papel de moda. En este caso hay varios criterios: unos seleccionan el extremo inferior del intervalo, otros el extremo superior y otros la marca de clase, pero habrá que tener en cuenta que la moda estará más cerca del intervalo contiguo de mayor frecuencia. Figura 1.18: Histograma para el cálculo de la Moda Es claro que M o = L i-1 + m. Veamos la determinación de "m". Dado que los triángulos OAA' y OBB' son semejantes por tener los ángulos iguales, se puede establecer la proporción: OQ PO = BB' AA'! OQ BB' OQ + PO +1 = +1! PO AA' PO = BB' +AA' AA' invirtiéndola resulta:

39 39 PO OQ + PO = AA' BB' +AA' m c i " m! d 1 + d 2 siendo d 1, d 2 las diferencias de frecuencias absolutas entre el intervalo modal y los ( ) + m = d 1 intervalos anterior y posterior respectivamente. Por lo tanto la moda valdría: Mo = L i!1 + d 1 d 1 + d 2 c i EJEMPLO 1.19: Calculemos la Moda de la siguiente distribución: Intervalo Frecuencia Total 220 Solución: El intervalo modal es el 50-75, y como resulta que Mo = 50 + d 1 = = 60, d 2 = = = = Amplitud no constante Si la amplitud de los intervalos es variable, teniendo en cuenta que la altura del rectángulo indica la densidad de frecuencia, el intervalo modal será el que tenga mayor densidad de frecuencia, es decir mayor altura. EJEMPLO 1.20: Calculemos la Moda de la siguiente distribución:

40 40 Intervalo f i c i a i más de ,5 2,8 0,8 0,1 0, Total 50 Solución: Primero se procede a buscar la mayor altura: a i = f i / c i Se continúa como en el caso anterior sustituyendo la frecuencia por la altura. El intervalo modal es el 7-9, y por lo tanto: d 1 = 3,5-2 = 1,5 d 2 = 3,5-2,8 = 0,7 Así la moda será: 1.5 Mo = = = VENTAJAS E INCONVENIENTES Como ventajas de la moda cabe citar que cuando la distribución es de escala nominal (no susceptible de ordenación) es la medida más representativa, pues no es posible hacer operaciones con sus observaciones, y por tanto no se pueden calcular las otras medidas. Además igual que la mediana, no viene influida por los valores extremos de la variable. Como inconveniente cabe citar el modo de calcularla en los casos de variables agrupadas en intervalos y el hecho de que utiliza un único dato de la distribución.

41 41 Calculemos en un ejemplo la media aritmética, la moda y la mediana de una distribución para hacernos una idea de cuál de ellas es la medida de centralización más representativa en la situación estudiada. EJEMPLO 1.21: El sueldo anual de los 25 trabajadores de una empresa viene expresado en la tabla siguiente: Director Gerente Dos ingenieros Tres peritos Cinco encargados Contable Resto plantilla pts pts pts. cada uno pts. cada uno pts. cada uno pts. cada uno pts. cada uno. Calcular la media, la moda y la media y efectuar un estudio comparativo de los resultados. Solución: Calculando la media aritmética de los sueldos vemos que es de pts. cantidad que, además de no ser el sueldo de ningún empleado de la compañía, da una idea poco aproximada de la realidad, toda vez que la mayoría de los trabajadores ganan bastante menos de esa cantidad. La moda, por su parte, vale pts., mientras que la mediana es pts. Estas dos medidas indican más claramente la situación en la empresa, siendo la moda la que mejor resume la situación.

42 Medidas de posición no centrales Estos valores no reflejan ninguna tendencia central, sino una posición de la distribución, dividiéndola a ésta en partes iguales. Cabe citar entre los de uso más frecuente: cuartiles, deciles y percentiles. 1) Los cuartiles son tres valores que dividen a la distribución en cuatro partes iguales, estando en cada una de ellas el 25% de sus observaciones. Se indican con Q i. 2) Los deciles son nueve valores que dividen a la distribución en diez partes iguales, estando en cada una de ellas el 10% de las observaciones. Se indican por D i. 3) Los percentiles son noventa y nueve valores que dividen a la distribución en cien partes iguales, dejando un 1% de las observaciones entre cada dos de ellos consecutivos. Se nombran por P i. Hay que tener en cuenta algunas relaciones entre ellos, como son: M e = Q 2 = D 5 = P 50 Q 1 = P 25 ; Q 3 = P 75 D 1 = P 10 ; D 2 = P 20 ; D 3 = P 30 ; D 4 = P 40 ; D 6 = P 60 Para el cálculo de todos los cuantiles el proceso es análogo al cálculo de la mediana, sustituyendo n/2 por r.n/k, siendo r el orden del cuantil y k las partes en que dicho cuantil divide a la distribución. Así en los cuartiles k = 4 y r = 1, 2, 3 ; en los deciles k = 10 y r = 1, 2,..., 9, y en los percentiles k = 100 y r = 1, 2, 3,..., 99. Se procede pues buscando en las frecuencias acumuladas el valor de rn/k, y si la distribución está agrupada, el cuantil r/k será: r n C r k = L i!1 + k! F i!1 f i c i

43 43 VENTAJAS E INCONVENIENTES Las ventajas e inconvenientes son las mismas que los de la mediana. EJEMPLO 1.22: En el ejercicio de la distribución de salarios, calculemos Q 1, Q 3, D 4, P 88 Solución: Para Q 1 : como 1.671/4 = 167,75, el intervalo del primer cuartil es el Q 1 = ! = = Para Q 3 : como 3.671/4 = 503,25,el intervalo del tercer cuartil es el Q 3 = ! = = Para D 4 : como 4.671/10 = 268 4, el intervalo del cuarto decil es el D 4 = ! = = Para P 88 : como /4 = 590,48, el intervalo del percentil ochenta y ocho es el P 88 = ! = =

44 Medidas de dispersión En el apartado anterior hemos definido una serie de medidas de tendencia central, cuyo objetivo era tratar de sintetizar toda la información disponible, pero cabe preguntarse posteriormente si esa medida es o no representativa de la distribución de frecuencias. Si consideramos dos variables X e Y con distribuciones: xi yi fi fi 1 1 Las medias son : x = = 500 y = = 500 Las dos medias son iguales y sin embargo las dos distribuciones son muy diferentes pues los valores de X están mucho más dispersa que los de Y. Así pues, para intentar medir la representatividad de una determinada medida debemos de cuantificar la separación de los valores de la distribución respecto de dicha medida. Así pues, resulta necesario que, para completar la información de un promedio (por ejemplo media aritmética), éste vaya acompañado de uno o varios coeficientes que nos midan el grado de dispersión de la distribución de la variable con respecto a él. Distinguiremos dos tipos de medidas de dispersión: absolutas y relativas Medidas de dispersión absoluta Cabe citar entre éstas el recorrido, el recorrido intercuartílico, la desviación media, la varianza y la desviación típica. Todas son referidas en general a un promedio.

45 45 RECORRIDO O RANGO: Hemos dicho ya que éste es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la distribución: R e = Max (x i ) - Min (x i ) Si este recorrido es pequeño respecto al número de datos puede entenderse que existe poca dispersión. Tiene el inconveniente de que se ve totalmente influenciado por los valores extremos (con los que se calcula). RECORRIDO INTERCUARTÍLICO: Es la diferencia existente entre el tercer y el primer cuartil R I = Q 3 - Q 1 En esta medida se suprimen el 25% superior e inferior de la distribución, y por lo tanto no se ve influenciado por los valores extremos, y nos indica la longitud del intervalo en el que están el 50% central de los valores En algunos casos se utiliza el recorrido semiintercuartílico que se define como la mitad del recorrido intercuartílico. R SI = (Q 3 -Q 1 )/2 DESVIACIÓN MEDIA: Esta medida de dispersión hace referencia a un promedio, cosa que no hacen las anteriores; puede entenderse como la media de las desviaciones de los datos de la variable respecto al promedio utilizado; no obstante, para evitar que las desviaciones positivas queden compensadas por las negativas y que esta desviación media resulte igual a 0, (que nos haría pensar que no hay dispersión) se utiliza el valor absoluto de la desviación de los datos respecto del promedio. Así se definirá la desviación media respecto de la media como:

46 46 D x = k " i=1 x i! x f i n También se puede utilizar la desviación media respecto de la mediana como: D Me = k " i=1 x i! Me f i n Las dos nos indicarían la dispersión de los datos respecto del promedio utilizado, en el caso de que ésta fuera grande el promedio sería poco representativo. VARIANZA: Se define como la media de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto de la media aritmética, es decir: s 2 = k " i=1 ( x i! x ) 2 f i n = k " i=1 ( x i! x )2 h i Se utiliza el cuadrado para lograr que todas las desviaciones sean positivas; nos indica la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto de la media aritmética, y por lo tanto, su representatividad. Tiene el inconveniente de no venir expresada en las mismas unidades que la variable, sino en el cuadrado de las mismas, por ello se utiliza más la siguiente. DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR: Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir: s = k ( x i! x ) 2 f k i " = " x i=1 n i! x i=1 ( ) 2 h i Al ser la raíz cuadrada de la varianza viene expresada en las mismas unidades que la variable, lo que la hace más apta como medida de dispersión que la varianza, siendo en la actualidad la más utilizada.

47 47 A menudo, en lugar de dividir entre el tamaño de los datos, n, se divide entre n-1, obteniéndose la llamada cuasivarianza: ˆ s 2 = k " i=1 ( x i! x ) 2 f i n!1 y cuasidesviación típica: ˆ s = k ( x i! x ) 2 f i " i=1 n!1 Siendo la relación entre la varianza y la cuasivarianza la siguiente: ˆ s 2 = n n!1 s2 PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y DE LA DESVIACIÓN TÍPICA: cuadrados: La varianza y la desviación típica no pueden ser negativas, por ser suma de s 2 0, s 0 Si en una distribución le sumamos a todos los valores de la variable una constante, la varianza y la desviación típica no varían. f Si en la distribución (x i f i ) de media x =! x i i, y de varianza n k ( ) 2 f i s 2 = " x i! x sumamos a todos los elementos una constante k, obtenemos otra i=1 n distribución de variable x' i = x i + k. k i=1 Como, x ' = x + k resulta que la varianza de la nueva distribución será:

48 48 ( ) 2 f i s' 2 k k ' = " x i! x ' = [( x i=1 n i + k)! ( x! k) ] 2 f i " = i=1 n k = ( x i! x ) 2 f i " = s 2 i=1 n es decir, que la varianza no varia, y por lo tanto, la desviación típica tampoco. Si en una distribución multiplicamos a todos los valores de la variable por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante y la desviación típica queda multiplicada por la constante. En efecto: '' Si tomamos la distribución x i la varianza de la nueva distribución vale: = kx i teniendo en cuenta que x ' = kx, resulta que ( ) 2 f i s' ' 2 k k = x '' " i! x ' ' = ( kx i=1 n i + kx ) f i " = i=1 n k = k 2 ( x i! x ) 2 f i " = k 2 s 2 i=1 n y por ser la desviación típica la raíz cuadrada de la varianza queda: s' ' = s'' 2 = k 2 s 2 = ks expresión: CÁLCULO PRÁCTICO DE LA VARIANZA * En la práctica, al calcular la varianza conviene tener en cuenta la siguiente * La media, la varianza y la desviación típica las proporciona directamente cualquier calculadora de bolsillo, luego nomerece la pena hacer perder tiempo al alumno escribiendo tablas con x i f i etc.

49 49 ( ) f i s 2 k = ( x i! x ) 2 f k i 2 " = " x i=1 n i! 2xi x + x 2 = i=1 n k = x 2 f k i f " i! 2x " x i i + x 2 k f k " i i=1 n i=1 n i=1 n = x 2 f " i i! 2x 2 + x 2 = x 2! x 2 i=1 n Veamos el cálculo de la varianza y desviación típica en los ejemplos 1.9 y 1.10: x i f i f x =! x i i = 60.1 Kg n i k s 2 = s 2 2 f =! x i i " x = 36247/10 -(60,1) 2 = 3624,7-3612,01 = 12,69 Kg 2 n i=1 s = = 3,5623 Kg. En el ejemplo de datos agrupados en intervalos es: Intervalo marca de clase f i x = 470/10 = 47 S 2 = 22850/10 -(47) 2 = = 76 S = 76 = 8,718

50 Medidas de dispersión relativas En el caso de intentar comparar la dispersión de dos distribuciones mediante alguna de las medidas de dispersión halladas antes, no podríamos efectuar tal comparación porque las distribuciones, en general, no vendrán dadas en las mismas unidades y tampoco porque los promedios en general también serán diferentes. Por ello, para poder comparar las dispersiones, es preciso definir medidas de dispersión adimensionales. Entre éstas se encuentra el coeficiente de variación de Pearson. COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: Es el cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética. CV = s x Este coeficiente es adimensional luego permite comparar las dispersiones de dos distribuciones diferentes. A menudo se le suele utilizar en forma de porcentaje, empleando CV = s x 100 Obviamente, a mayor CV menor es la representatividad de x, pues la desviación típica será mayor comparada con la media Momentos Existen dos tipos de momentos: Momentos centrales (respecto a la media aritmética)