UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO COORDINACIÓN DE FÍSICA DOCTORADO EN FÍSICA TESIS DOCTORAL

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO COORDINACIÓN DE FÍSICA DOCTORADO EN FÍSICA TESIS DOCTORAL ESTUDIO in vivo DE LA DINÁMICA DEL CRECIMIENTO TUMORAL CEREBRAL MEDIANTE EL ANÁLISIS DE ESCALAMIENTO Por FRANCISCO JOSE TORRES HOYOS Marzo, 2012

2 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO COORDINACIÓN DE FÍSICA DOCTORADO EN FÍSICA ESTUDIO in vivo DE LA DINÁMICA DEL CRECIMIENTO TUMORAL CEREBRAL MEDIANTE EL ANÁLISIS DE ESCALAMIENTO Tesis Doctoral presentada a la Universidad Simón Bolívar por Francisco José Torres Hoyos como requisito parcial para optar al grado académico de Doctor en Física Con la asesoría de los Profesores Miguel Martín Landrove Leonardo Reyes Carranza Marzo, 2012

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4 iii DEDICATORIA Dedico este trabajo de todo corazón a mi esposa Migdonia y a mis queridos hijos Francisco José y José Javith, por el tiempo que me regalaron al separarme de su lado y hacer posible este sueño.

5 iv AGRADECIMIENTOS Quiero agradecer a las siguientes personas y entidades por haber contribuido para que este proyecto se pudiera llevar a cabo: A mi querida madre Estebana, por su bello amor incondicional. Un profundo agradecimiento a Miguel Martín Landrove, mi tutor de tesis, por confiar en mí al emprender este proyecto, por su excelente tutoría en la elaboración del trabajo, por su contribución en mi formación científica, y por su encomiable labor en la educación e investigación. Al Dr. Leonardo Reyes Carranza, mi co-tutor de tesis por su apoyo incondicional. A Juanchy por estar a mi lado en todos esos momentos de tristeza y alegría por ser mi apoyo incondicional y alentarme en todo momento. A las universidades de Córdoba y Simón Bolívar, por la comisión de estudios y la preparación académica, respectivamente. A mis jurados de tesis, los profesores Haydn Barros, Leonardo Trujillo y Gustavo Gutiérrez por sus oportunas sugerencias para la redacción final del trabajo. A Johny Linares por sus oportunos y excelentes servicios en la Coordinación de Física. A los panas de la nueva generación de la USB: Rubén Alí y José Arquímedes, compañeros de lideas académicas, por su especial amistad para conmigo. A mi amigo, Nicolás de la Espriella, por su excelente apoyo y desinteresada colaboración desde que llegué a la USB. A mi amigo Miguel Ángel ( tonsche ) por sus aportes con la bendita máquina. A mis amigos Carlos Borrás y Lyseth Abdala por su apoyo y ayuda en todo momento. Al grupo de Física Nuclear de la USB, por su solidaridad conmigo, especialmente al Dr. HaydnBarros por creer en mi.

6 v UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO COORDINACIÓN DE FÍSICA DOCTORADO EN FÍSICA ESTUDIO in vivo DE LA DINAMICA DEL CRECIMIENTO TUMORAL CEREBRAL MEDIANTE EL ANALISIS DE ESCALAMIENTO Por: Torres, Francisco Carnet No: Tutor: Miguel Martín Landrove Cotutor: Leonardo Reyes Carranza Marzo, 2012 RESUMEN A través de un algoritmo (desarrollado exclusivamente), se estudia el crecimiento tumoral cerebral in vivo mediante el análisis de escalamiento, que incluye un análisis detallado de la morfología de la interfaz tumor - anfitrión, para el cálculo de sus dimensiones geométricas, es decir, dimensión fractal ( ) y exponente de rugosidad local ( ), elementos estos que permiten caracterizar el grado de malignidad de las lesiones. El modelo se fundamenta en la fractalidad y en la invariancia de escala del contorno de la colonia celular. Para ello se tomaron imágenes de resonancia magnética (IRM) en 3-D en pacientes con lesiones tales como: glioblastomas, astrocitomas, metástasis y tumores benignos de acuerdo con el protocolo estándar usado en radioterapia y radiocirugía cerebral. Adicionalmente se analizó el crecimiento virtual de tumores cerebrales de alto y bajo grado de malignidad, utilizando el modelo reacción - difusión. En éste se utilizaron imágenes de la base de datos BrainWeb, en las cuales se crecieron las lesiones antes mencionadas, con el objetivo de calcular su dimensión fractal y exponente de rugosidad local. Los resultados obtenidos se compararon con algunos trabajos previos basados en crecimientos in vivo e in vitro. Palabras claves: Análisis de escalamiento, crecimiento tumoral, exponente de rugosidad, dimensión fractal.

7 vi ÍNDICE GENERAL Pág. APROBACION DEL JURADO... ii DEDICATORIA... iii AGRADECIMIENTOS... iv RESUMEN... v ÍNDICE GENERAL... vi ÍNDICE DE TABLAS... ix ÍNDICE DE FIGURAS... x INTRODUCCIÓN... 1 CAPITULO I: NEOPLASIAS MALIGNAS Y BENIGNAS DEL SISTEMA NERVIOSO CENTRAL Introducción Gliomas Gliomas del tronco cerebral Glioblastomas multiformes Metástasis Tumores benignos CAPITULO II: CRECIMIENTO TUMORAL Introducción Modelos de Crecimiento Tumoral Modelo de Eden Modelo de Malthus o Exponencial Modelo de Verhulst o Logístico... 27

8 vii Modelo de Gompertz Modelo Entrópico de C. P. Calderon y T. A. Kwenbe Modelo de Crecimiento Epitaxial mediante Haces Moleculares (MBE) CAPITULO III: ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA Introducción Resonancia Magnética Magnetización del tejido Relajación del tejido Procesamiento Digital de Imágenes Imagen digital Segmentación de imágenes Morfología Matemática Transformaciones morfológicas CAPITULO IV: ESTUDIO IN VIVO EN 3-D DE LA DINÁMICA DEL CRECIMIENTO TUMORAL CEREBRAL MEDIANTE EL ANÁLISIS DE ESCALAMIENTO Introducción Materiales y Métodos Procesamiento y selección de las imágenes Análisis de escalamiento y fractales Validación del Método Resultados y Discusión CAPITULO V: MODELO REACCIÓN-DIFUSIÓN EN SISTEMA NERVIOSO CENTRAL Introducción Materiales y Métodos Modelo matemático... 95

9 viii Escogencia de parámetros Tasa neta de proliferación celular Adquisición de las imágenes y crecimiento del tumor Segmentación de las imágenes y selección de contornos Validación del Método Resultados y Discusión CAPITULO VI: CONCLUSIONES REFERENCIAS

10 ix ÍNDICE DE TABLAS Tablas Pág Las primeras cinco causas de mortalidad en ambos géneros en Venezuela en el año 2005[15] Mortalidad por Cáncer de ambos géneros año 2005 [9] Grados de designación de la Organización Mundial de la Salud (OMS) de acuerdo a criterios histológicos [24] Clasificación de los gliomas teniendo en cuenta el grupo, tipo y grados de malignidad de acuerdo a los parámetros fijados por la OMS [24] Tumores Humanos. Interfaz tumor - anfitrión caracterizada por la dimensión fractal, determinada por el método de conteo por cajas, y el exponente de rugosidad local,, con sus respectivos errores y coeficientes cuadráticos de correlación Parámetros propuestos para el modelo reacción - difusión Tumores Simulados. Interfaz del tumor - anfitrión caracterizada por la dimensión fractal, determinada por el método de conteo por cajas, y el exponente de rugosidad local,, con sus respectivos errores y coeficientes cuadráticos de correlación

11 x ÍNDICE DE FIGURAS Figuras Pág Ubicación en el cerebro de las distintas células gliales que dan origen a los gliomas [24] Ubicación en el cerebro de los distintos gliomas [24] Glioblastoma ocupando una gran porción del hemisferio derecho. Foco de necrosis y contribuciones hemorrágicas a la apariencia multiforme [29] Glioblastoma con un alto grado de densidad celular y algunas células multinucleadas [29] Glioblastoma con múltiples focos de necrosis tumoral serpentina dando la apariencia de necrosis geográfica [29] Proliferación microvascular con formación de estructuras glomeruloides [29] Esquema de la genética molecular del conjunto de gliomas del sistema nervioso central [29] Imagen de resonancia magnética de un glioblastoma multiforme [32] Formación de metástasis a través del sistema sanguíneo [29] Metástasis infiltrante [32] Meningioma [32] Neurinomas del acústico [32] Modelo de Crecimiento de Eden para un aglomerado de 5000 partículas a partir de una sola semilla mediante la ocupación de sitios, seleccionados al azar, del perímetro [44, 45, 46] Modelo de Malthus o Exponencial Modelo de Crecimiento Logístico definido por la ecuación (2.7) con y Modelo de Crecimiento Logístico... 31

12 xi 2.5. Modelo de Crecimiento Gompertz Ancho local del tumor vs Tamaño del píxel a diferentes tiempos [1] Ancho global del tumor utilizando transformadas de Fourier [1] Representación del momento dipolar magnético de una partícula cargada y su analogía con una barra imantada[61] Representación de un grupo de protones en ausencia de campo magnético externo [61] Movimiento de precesión de un espín alrededor de un campo magnético [61] (A) Orientación de espines en presencia de un campo magnético (b) Vector magnetización del tejido en presencia de un campo magnético Representación de la excitación de los espines y su transferencia al otro estado de energía permisible [61] Aplicación de la radiofrecuencia al vector magnetización [61] (A) Magnetización neta del tejido humano, (B) Aplicación del pulso de RF (frecuencia de Larmor) para girar la magnetización del tejido y sacarla de la dirección de, y dentro del plano transversal (perpendicular a ) donde la precesión de la magnetización se mide, (C) Precesión de la magnetización alrededor de con una frecuencia de precesión fija [62] Esquema del proceso de adquisición de imágenes y espectros de resonancia magnética Imagen tridimensional constituida por unidades elementales de volumen o vóxeles[63] Curva característica de la relajación en la proyección longitudinal Representación de la evolución temporal de la proyección de los espines sobre el plano transversal, después de aplicar un pulso de 90 [61] Curva característica de la relajación en la proyección transversal (2) Precesión de protones a diferentes frecuencias (3) Después de un tiempo transcurrido (4 y 5) una pequeña coherencia transversal (6) Sin coherencia transversal [61] Representación de y Representación de una imagen digital Geometrías características de elementos estructurantes... 62

13 xii Erosión de por el elemento estructurante Dilatación de por el elemento estructurante Esquema de funcionamiento del método -medias, las curvas cerradas definen las Clases y los puntos rojos corresponde a los centroides Selección del volumen que contiene la lesión tumoral en un corte axial de una imagen contrastada de un glioblastoma multiforme Histograma de la imagen de un glioblastoma multiforme. La línea punteada Corresponde al umbral óptimo que separa las dos clases Diagrama de flujo correspondiente al algoritmo -medias Segmentación de la imagen de un glioblastoma usando el método de -medias Aplicación de la morfología matemática a la imagen del glioblastoma Diagrama de flujo para el algoritmo especial para detectar la interfaz tumor-anfitrión. Los pixeles son aceptados cuando: el píxel central de filtro de máscara 3x3, 0, pertenece a la imagen segmentada y la suma es inferior a Selección de contornos de la interfaz tumor-anfitrión, mediante el algoritmo desarrollado para éste trabajo (A) Imagen tridimensional de alto contraste de un glioblastoma, (B) cálculos de los puntos de interfaz obtenidos por el algoritmo desarrollado en éste trabajo. La orientación del tumor es diferente en ambas imágenes (a) Interfaz tumor-anfitrión (b) puntos de la interfaz muestreada en un casquete esférico de superficie o área (c) ángulo sólido, subtendido por la superficie del casquete esférico (d) esfera de muestreo con la cual se analiza toda la interfaz tumor-anfitrión (e) radio promedio de la región muestreada (f) cálculo de la interfaz total de tumor-anfitrión utilizando la ecuación Comportamiento de W(s), para los glioblastomas multiformes, descrito por la ecuación 4.4. La pendiente, que corresponde a la región que describe la ley de potencia, determina el exponente de rugosidad mientras que la región de saturación determina ( ) o (4 ) Cálculo de la dimensión fractal para los glioblastomas mediante el algoritmo de conteo por cajas, es el número de cajas y es el tamaño de la caja. El valor promedio obtenido para la dimensión fractal es... 83

14 xiii Variación de con las superficie del casquete esférico subtendido por los puntos muestreados de la interfaz. El radio mínimo de la esfera muestreada esta dado en unidades de : Círculos 1, triángulos hacia arriba 2, triángulos hacia abajo 3, cuadrados 4 y diamantes Variación de con (a) el ángulo sólido(b) la superficie del casquete esférico subtendido por los puntos muestreados en la interfaz Determinación del umbral del tamaño de la muestra para el cálculo del exponente de rugosidad. es el número de puntos en la interfaz y (4 ) es el ancho de la interfaz para la máxima escala Dependencia de (4 ) con la anisotropía,, de la interfaz tumor-anfitrión Comportamiento de la ley de potencias para glioblastomas multiformes Comportamiento de la ley de potencias para astrocitomas Comportamiento de la ley de potencias para metástasis Comportamiento de la ley de potencias para tumores benignos cerebrales Correlación entre el exponente de rugosidad y el grado de malignidad del tumor Diagrama de flujo para la tasa neta de proliferación celular o crecimiento tumoral (A) Imagen tomada del atlas Brainweb [20], (B) crecimiento virtual del tumor mediante el modelo reacción - difusión en un corte axial Umbral de detección basado en la concentración de células del tumor en todo el volumen de cálculo Segmentación de la imagen y determinación de contornos mediante el algoritmo propuesto en un corte sagital Cálculo de la dimensión fractal para los gliomas de alto grado mediante el algoritmo de conteo por cajas, es el número de cajas y es el tamaño de la caja. El valor obtenido para dimensión fractal es: Simulación del crecimiento tumoral cerebral mediante el método reacción difusión en un plano coronal de la IRM Simulación del crecimiento tumoral cerebral mediante el método reacción difusión en un plano sagital de la IRM Simulación del crecimiento tumoral cerebral mediante el método

15 xiv reacción difusión en un plano axial de la IRM Simulación de los crecimientos tumorales cerebrales mediante el método reacción difusión para (A) Alto grado de malignidad, 7 años (B) Bajo grado de malignidad, 20 años. Usando la base de datos BrainWeb [20] Comportamiento del ancho de la interfaz tumor - anfitrión, (s), para los gliomas de alto grado de malignidad descrito por la ecuación 4.4 que corresponde a la región que describe la ley de potencia, cuya pendiente corresponde al exponente de rugosidad local Comportamiento del ancho de la interfaz tumor-anfitrión,, para los gliomas de bajo grado de malignidad descrito por la ecuación 4.4 que corresponde a la región que describe la ley de potencia, cuya pendiente corresponde al exponente de rugosidad local

16 1 INTRODUCCIÓN En décadas pasadas, se encontró que muchos sistemas exhiben interfases rugosas en sus procesos de desarrollo y han sido exitosamente descritos por medio del análisis de escalamiento [1], lo que lo convierte en una herramienta poderosa usada en el estudio de la geometría fractal, la cual nos permite determinar algunas de sus propiedades morfológicas. En esta dirección procesos tales como fluidos invadiendo medios porosos y crecimientos de cristales [2, 3], han sido entendidos. Además, una hipótesis básica que se asume es que exhiben auto similitud, ya que sus propiedades estadísticas no cambian bajo variaciones de escalas isotrópicas. La ausencia de algunas longitudes características es una propiedad común de los objetos fractales [4, 5]. En estudios recientes, teóricos y experimentales de autoafinidad, se han descubierto una gran variedad de rugosidades cinéticas de características nuevas [6]. En particular, la existencia de rugosidades anómalas ha recibido mucha atención. En el campo de la biología podemos encontrar una gran variedad de sistemas que desarrollan interfaces rugosas, siendo el más importante el crecimiento tumoral. La forma del perfil del tumor nos permite clasificar y estudiar el tipo de tumor de acuerdo a su geometría y dinámica, como también se ha observado que la forma del contorno da una indicación valiosa del comportamiento dinámico del tumor [7, 8, 9]. Además, si se tiene en cuenta la morfología de algunas células, se puede determinar su naturaleza maligna [10]. El análisis y la comprensión del crecimiento tumoral han sido objeto de investigaciones multidisciplinarias. Recientemente un gran número de modelos físicos matemáticos, muy complejos, se han publicado con diferentes enfoques debido a su naturaleza multi-escala, siendo en principio utilizados modelos teóricos simples los cuales involucran solamente el número total de células en el tumor, lo que conduce a un tipo de crecimiento usualmente supuesto como exponencial, gompertziano o logístico [11, 12]. Estos modelos no tienen en cuenta el arreglo espacial de las células en una localización anatómica específica, o la extensión espacial de las células cancerosas. Estos aspectos espaciales son esenciales en la estimación del crecimiento del tumor, ya que determinan la invasión del mismo.

17 2 El escalamiento dinámico es una técnica que explota las propiedades geométricas de los frentes de crecimiento usando diferentes conceptos de la teoría de procesos estocásticos y geometría fractal [2, 13]. Se han realizado estudios de la interfase del tumor anfitrión, que indican que el comportamiento de las fluctuaciones conduce a ecuaciones de evolución estocásticas, que son analizadas bajo simetría radial [14]. El crecimiento del tumor es un proceso complejo que depende de la proliferación de las células correspondientes y su proliferación en el tejido anfitrión. Recientes estudios de colonias de células tumorales in vitro y resecciones de tumores [1, 14] muestran que algún tipo de universalidad en la dinámica del crecimiento tumoral puede ser determinada mediante la evaluación de las propiedades geométricas de sus contornos a través de exponentes críticos, tales como los exponentes de crecimiento, rugosidad global y local y el exponente dinámico. El exponente de crecimiento ( ) caracteriza la dependencia temporal de la dinámica de la proliferación celular en el tumor, mientras que los exponentes de rugosidad local ( ) y global ( ), respectivamente, caracterizan la rugosidad de la interfaz del tumor anfitrión. El cociente entre los exponentes rugosidad y de crecimiento, se denomina exponente dinámico (Z). A pesar del creciente trabajo teórico - experimental sobre el crecimiento tumoral, su comprensión todavía sigue siendo una tarea desafiante que requiere elementos de diversas áreas de la física moderna; se necesita entonces una forma distinta, de las propuestas hasta el momento, para el estudio y análisis del crecimiento tumoral basado en los exponentes de rugosidad y por consiguiente de la interfaz del tumor anfitrión. Por ejemplo hacer un estudio in vivo con imágenes en 3D para determinar los exponentes de rugosidad y el grado de malignidad del tumor, constituye un ingrediente sustancial para entender la evolución en un ser vivo de las neoplasias, que bien pueden ser malignas, benignas o en el peor de los casos metástasis, y aún más si se encuentran localizadas en el sistema nervioso central, caso que nos atañe en este trabajo.

18 3 Los tumores que estudiaremos son los glioblastomas, astrocitomas, metástasis y tumores benignos del sistema nervioso central. Los gliomas son los tumores cerebrales primarios más agresivos que puedan existir, ya que producen el mayor índice de muerte por cáncer en pacientes de cualquier edad; pero presentándose con mayor frecuencia en hombres que en mujeres. Los astrocitomas por su parte son neoplasias cerebrales de alto grado de malignidad, pero de menos agresividad que los glioblastomas, ellos se caracterizan por ser invasivos e infiltrantes. En cuanto a los tumores benignos, como su nombre lo indica no revisten ningún tipo de peligrosidad para las personas que los poseen y por consiguiente su diagnóstico es curativo. Finalmente las metástasis se caracterizan por ser tumores secundarios, los cuales son oriundos de cualquier tumor primario distante del sistema nervioso central. Las metástasis tienen la facilidad de que emigran a través del torrente sanguíneo, la vía linfática y del líquido cefalorraquídeo, siendo la más frecuente la primera. En Venezuela, según estudios realizados en los últimos 25 años por Capote [15], el cáncer ocupa el segundo lugar entre las diversas causas de muerte, con un porcentaje del 14, 93% y dentro de éste los cánceres del sistema nervioso central contribuyen con un porcentaje de alrededor del 2,3 %. En este trabajo se hará un estudio detallado del comportamiento del escalamiento del crecimiento de los tumores cerebrales in vivo y en 3-D mediante la evaluación del exponente de rugosidad local de la interfaz del tumor anfitrión. El enfoque utilizado en éste trabajo para el estudio del crecimiento tumoral se basa en dos aspectos: el primero se fundamenta en la fractalidad y en la invariancia de escala de los contornos de la colonia celular. Las células tumorales forman colonias que se caracterizan por una dimensión fractal, que es una medida del grado de complejidad, lo que nos permite el uso del análisis de escalamiento, en ese sentido y mediante el uso del exponente de rugosidad local podemos estadiar el grado de la lesión o tumor [1, 16, 17, 18]. Para éste fin utilizamos imágenes de resonancia magnética (IRM) tomadas en pacientes del Centro de Diagnóstico Docente las Mercedes (Caracas - Venezuela), procesadas con un algoritmo que fue elaborado especialmente para éste trabajo. El segundo aspecto se basa en el hecho de que el crecimiento

19 4 tumoral se presenta como combinación de procesos de difusión y proliferación, los cuales no necesariamente ocurren simultáneamente, por tanto se hace necesario cuantificar dichos procesos. Para ello se ha propuesto el modelo de reacción difusión, un modelo que parece ser muy pertinente en el proceso de crecimientos tumorales [19]. En éste modelo la parte correspondiente a la proliferación (reacción) será definida por el modelo de crecimiento de Verhulst. El modelo reacción difusión se estudiará con técnicas de simulación numérica con el programa Matlab, a partir de las imágenes tomadas del atlas BrainWeb [20]. El resto de este trabajo se plantea en los siguientes capítulos como se detalla a continuación: en el capítulo I, se hace un estudio de las neoplasias malignas y benignas del sistema nervioso central, haciendo referencia a las primeras, es decir, astrocitomas, glioblastomas y metástasis, mientras que para las segundas se incluye a los meningiomas y los neuromas del acústico o schwannoma; estas neoplasias son las más frecuentes dentro del mencionado sistema. Se dedica el capítulo II al estudio de los diferentes tipos de crecimientos tumorales, como son: Eden, Malthus o Exponencial, Verhulst o Logístico, Modelo de Gompertz, Entrópico de C. P. Calderon y T. A. Kwenbe y Crecimiento Epitaxial mediante Haces Moleculares (MBE). La adquisición y procesamiento digital de las imágenes de resonancia magnética se hace en el capítulo III. En el capítulo IV, para el estudio in vivo en 3-D de la dinámica del crecimiento tumoral cerebral mediante el análisis de escalamiento, se utiliza el algoritmo elaborado para éste trabajo para el análisis de las imágenes de resonancia magnética (IRM). En el capítulo V se hace un análisis del modelo reacción - difusión, propuesto para crecimientos tumorales, cuyos resultaros serán comparados con el método propuesto en el capítulo IV y con algunos resultados publicados sobre el tema. Finalmente en el capítulo VI se plantean las conclusiones del trabajo.

20 5 CAPÍTULO I NEOPLASIAS MALIGNAS Y BENIGNAS DEL SISTEMA NERVIOSO CENTRAL 1.1. Introducción Durante las últimas décadas enormes avances de investigación se han realizado en los ámbitos de la prevención, detección y manejo de tumores primarios. A pesar de esto, el cáncer sigue siendo una de las principales causas de muerte en el mundo, principalmente debido a la falta de una gestión clínica eficaz de la enfermedad. Cuando el tumor primario es detectado y eliminado antes de que ocurra la metástasis, bien sea por quimioterapia, cirugía o radioterapia, el pronóstico es bueno y las posibilidades de supervivencia sin cáncer es alto. La mayoría de los tipos de cáncer se origina desde una única célula por medio de un proceso secuencial evolutivo de múltiples pasos que reflejan alteraciones genéticas que conducen a una transformación progresiva de células del individuo normal en tumores altamente malignos. Este proceso se denomina evolución clonal [21]. El desarrollo tumoral es un proceso análogo a la evolución Darwiniana, en el cual los fenotipos o resultados físicos adquiridos por estas mutaciones incluyen ventajas proliferativas, invasivas y migratorias, pérdidas por apoptosis o lo que es lo mismo la muerte celular programada. Si las células cancerosas han empezado a difundir del tumor primario y a diseminarse a otras partes del cuerpo, hay entonces que utilizar las actuales estrategias terapéuticas que dependen en gran medida del uso de terapias citotóxicas sistémicas, como la quimioterapia, que frecuentemente produce efectos secundarios graves para el paciente y, en muchos casos, a menudo no ofrecen éxito a largo plazo [22].

21 6 Por otra parte, si se produce la difusión después de la extirpación de un tumor primario puede ser difícil identificar su localización, lo que crea incertidumbre en los pacientes con respecto a la posible recurrencia del cáncer. La identificación y caracterización molecular de los factores que contribuyen a la proliferación celular, podrían proporcionarnos el potencial para el desarrollo de nuevos pronósticos y/o estrategias terapéuticas para combatir esta neoplasia maligna. En el presente capítulo, enmarcado dentro de las neoplasias del sistema nervioso central, nos referiremos de manera muy precisa, a los gliomas, metástasis y tumores benignos. Los gliomas son tumores cerebrales primarios en los que participan las células gliales, que son aquellas que brindan nutrientes, oxígeno y otro tipo de soporte a las neuronas (células nerviosas). Los gliomas malignos (que se caracterizan por un crecimiento progresivo y descontrolado) son los tumores cerebrales primarios más comunes, responsables de la causa más frecuente de muerte por cáncer en personas de cualquier edad, afectando más a los hombres que a las mujeres. Los tumores benignos se caracterizan por mantener sus células juntas, y a menudo son rodeadas por una membrana de contenido o cápsula, crecen muy lentamente, con frecuencia a lo largo de muchos años, no son invasivos ni infiltrantes y su diagnóstico completo es curativo. Como se sabe las células cancerosas de un sitio primario pueden viajar hasta el cerebro a través del sistema circulatorio, la vía linfática y del líquido encefalorraquídeo, siendo la forma más común la circulatoria, éste movimiento de células da origen a las metástasis o tumores secundarios Gliomas En Venezuela, de acuerdo al trabajo realizado por Capote [15], que entre otras cosas es el único referente estadístico que se tiene a la fecha de hoy, señala que el cáncer constituye una de las primeras causas de mortalidad, que una de cada cuatro personas, si alcanza la edad de 74 años, puede padecer alguna de sus variedades y una de cada siete tiene el riesgo de morir

22 7 por dicha enfermedad. Este estudio indica que el cáncer ocupa el segundo lugar con un 14,93% entre las diversas causas de muerte después de las enfermedades cardíacas tal como se muestra en la tabla 1.1, posición que ha mantenido en los últimos 25 años. Tabla 1.1. Las primeras cinco causas de mortalidad en ambos géneros en Venezuela en el año 2005 [15]. N Causa de Muerte Mortalidad % 1 Metástasis ;71 2 MAV ;93 3 Neurinoma ;40 4 Meningioma ;31 5 Tumor glial ;19 6 Meduloblastoma ;05 Total Este estudio también muestra las tasas crudas y especifica de los cánceres recurrentes entre la población venezolana, las cuales se muestra en la tabla 1.2 Tabla 1.2. Mortalidad por Cáncer de ambos géneros año 2005 [15]. Localizaciones Total Tasa Cruda Tasa Tasa Acumulativa % Especifica (74 años) Bronquios y Pulmones Próstata Estómago Cuello uterino Glándula mamaria Colon, recto y ano Leucemia Hígado Páncreas Linfomas no Hodgkin Sist. Nerv. Central Ovarios Resto de localizaciones Como se puede observar en las estadísticas antes mencionadas, se puede decir que los gliomas corresponden al 2.23% de todos los tipos de cánceres, los gliomas son un tipo de neoplasia que se produce en el cerebro, o en la médula espinal, los cuales surgen a partir de células gliales. Su ubicación más frecuente es el cerebro.

23 8 Con el término genérico de gliomas malignos se incluyen una serie de tumores como son: Glioblastomas Multiforme (GBM), Astrocitoma Anaplásico (AA), Oligodendroglioma Anaplásico (OA), con una localización predominante supratentorial, alta capacidad de infiltrar el tejido cerebral circundante e imposibilidad de ser controlados, en la mayoría de los casos, con los tratamientos actuales que, hasta hace poco tiempo eran los mismos para todos ellos. El GBM es el tumor más frecuente y el más agresivo con una sobrevida media de meses, mientras que los AA y OA suelen aparecer en edades más tempranas, menos de 50 años, y tener una sobrevida media de alrededor de 24 meses. La incidencia de los gliomas malignos es de 4 casos por cada habitante/año. Por causas poco claras, su incidencia parece haber aumentado, sobre todo en la población mayor de 65 años [23]. Los gliomas son clasificados de acuerdo al tipo de células, grado de malignidad y ubicación en el tejido humano tal como aparece a continuación: 1. CLASIFICACIÓN DE GLIOMAS POR TIPO DE CÉLULAS: la cual se lleva de acuerdo al tipo específico de células que más se asemejan. Los principales tipos de gliomas son: Ependinomas células ependimarias. Astrocitomas y glioblastomas multiformes astrocitos. Oligodendroglioma oligondendrocitos. En la figura 1.1 se muestran los sitios donde se encuentran localizadas los tipos de células gliales antes citadas.

24 9 Figura 1.1. Ubicación en el cerebro de las distintas células gliales que dan origen a los gliomas [24]. 2. CLASIFICACIÓN POR GRADO DE MALIGNIDAD: Este es determinado por la evaluación patológica del tumor y corresponden a: DE BAJO GRADO: son gliomas bien diferenciados (no anaplásico); éstos son benignos y auguran un mejor pronóstico para el paciente. DE ALTO GRADO: son gliomas no diferenciados o anaplásico; éstos son malignos y tienen un peor pronóstico. De numerosos sistemas de clasificación de gliomas, el más común es el de la Organización Mundial de la Salud (OMS), el cual designa los grados de malignidad de acuerdo a criterios patológicos tal como aparecen en la tabla 1.3.

25 10 Tabla 1.3 Grados de designación de la Organización Mundial de la Salud (OMS) de acuerdo a criterios histológicos [24]. Grado Tipo de gliomas Características I Astrocitoma pilocitíco II Astrocitoma difuso Mínima hipercelularidad y anaplasia. Poca o ninguna mitosis. III Hipercelularidad moderada con Astrocitoma anaplásico anaplasia y mitosis frecuentes. Proliferación microvascular posible. IV Glioblastoma multiforme Hallazgos de astrocitoma anaplásico más necrosis. En la tabla 1.4 mostramos en una forma más desglosada la clasificación de los gliomas teniendo en cuenta el grupo, tipo y grados de malignidad de acuerdo a los parámetros fijados por la OMS. Tabla 1.4: Clasificación de los gliomas teniendo en cuenta el grupo, tipo y grados malignidad de acuerdo a los parámetros fijados por la OMS [24]. Grupo Tipo Grado I Grado II Grado III Grado IV Subepedimario de células X gigantes Pilocitíco X Astrocitoma Pilomixoide X Xantoastrocitoma X pleomórfico Desomoplástico infantil X Difuso X Anaplásico X Glioblastoma X Oligodendroglioma De bajo grado X Anaplásico X Oligoastrocitoma De bajo grado X Anaplásico X

26 11 3. CLASIFICACIÓN POR UBICACIÓN: Los gliomas se pueden clasificar en función de dos aspectos fundamentalmente, si están por encima o por debajo de la estructura meníngea llamada tentorio que delimita dos partes dentro de la cavidad craneana, esto es: supratentoriales o sobre el tentorio: El 70% se da en adultos. Infratentoriales o debajo del tentorio: Esta tiene una incidencia del 70% en niños. Las anteriores ubicaciones las mostramos en la figura 1.2. Figura 1.2: Ubicación en el cerebro de los distintos gliomas [24]. De acuerdo a la pertinencia en ésta tesis, nos referiremos sólo a los siguientes gliomas: Gliomas del tronco cerebral Corresponden a un grupo de patología poco frecuente. Suponen cerca del 8% de las neoplasias del sistema nervioso central, los cuales tienen trascendencia por su mayor incidencia en la infancia y su difícil manejo [25], y el 20% de los tumores de la fosa craneal posterior [26]. La sobrevida de los pacientes es diferente según la localización del tumor: 80% a los cinco años en tumores mesencefálicos y menor al 20% para los localizados en el puente y la médula oblonga [27]. En los tumores intrínsecos del tallo de tipo difuso la sobrevida es menor a un año. Se han clasificado tres tipos de tumores que comprometen el tronco cerebral:

27 12 1. Unión cervicomedular: representan un 10 %, crecen en forma exofítica desde el dorso del tallo cerebral. 2. Mesencéfalo: hay una afectación frecuente de la placa tectal, que se extiende hacia el diencéfalo. 3. Tumores intrínsecos del tallo cerebral tipo infiltrativo difuso: representan entre el 80% y el 90 %. Los hallazgos clínicos globales comprenden signos de compromiso de los pares craneanos bajos y haces nerviosos largos córtico-espinales. Cualquier par craneal puede ser afectado, pero los más frecuentes son el sexto y séptimo par Glioblastoma multiforme El glioblastoma multiforme (GBM) es una neoplasia de los astrocitos y el más maligno de todos los tumores primarios del cerebro adulto, por desgracia, es el más frecuente de todos los tumores primarios del cerebro. A pesar de los recientes avances en la terapia del cáncer y la cirugía neurológica, el pronóstico de GBM se mantiene grave. La mayoría de los pacientes con esta enfermedad sucumben a la muerte dentro de 1 año de diagnóstico [28], estos tumores se presentan principalmente en adultos y con un ligero predominio en el sexo masculino. Como en la mayoría de los tumores supratentoriales, las células tumorales del GBM se infiltran difusamente en el parénquima cerebral y por lo tanto, el tumor no está bien delimitado del parénquima cerebral adyacente. El tumor está formado por células neoplásicas con núcleos muy pleomórfico mostrando un alto índice proliferativo. Sin embargo, los criterios diagnóstico, según la Organización Mundial de la Salud (OMS), dependen de la presencia de necrosis de las células tumorales y/o proliferaciones microvasculares (angiogénesis) en el tumor [29].

28 Características generales A pesar de que el GBM puede ocurrir a cualquier edad, los adultos suelen ser por lo general los más afectados (rango de edad años), teniendo una ligera prelación en el sexo masculino. Por lo general, implican el compartimiento supratentorial, sin embargo, todo el sistema nervioso central (SNC) es vulnerable. Cualquier lóbulo cerebral puede estar implicado y la participación contigua de más de un lóbulo no es inusual. Como habíamos mencionado anteriormente en el grupo de edad pediátrica, el glioblastoma del tronco cerebral es el más común de los astrocitomas malignos. La historia clínica se relaciona con la localización del tumor, con dolor de cabeza, náuseas, vómitos y convulsiones epilépticas, éstas son algunas de las quejas más comunes. Cambios en la personalidad también pueden ocurrir, historia que suele ser de corta duración y en algunos casos puede ser de un par de semanas. Esto se debe a la naturaleza rápida y expansible del patrón de crecimiento. Los pacientes pueden presentar aumento de la presión intracraneal que requiere una intervención inmediata médica o quirúrgica [30]. El aspecto radiológico de los glioblastomas es a menudo único. En las imágenes postcontrastadas adquiridas por resonancia magnética (RM), aparecen con un borde realzado alrededor del centro de las células tumorales Macroscopía Este tipo de lesiones, cuando se detectan, generalmente son grandes, a menudo con más de un lóbulo implicado. Aunque en su mayoría unilateral, la participación de ambos hemisferios no es rara. Esto se logra mediante la participación progresiva del cuerpo calloso y así puede cruzar al otro hemisferio lo que se le denomina "mariposa GBM". Debido a la naturaleza difusa de la infiltración, el crecimiento del tumor no está bien delimitado. En las secciones transversales, el tumor muestra un aspecto variado, regiones necróticas de color gris y blancas amarillentas, a menudo se presentan focos de decoloración rojo-marrón debido a recientes y viejas hemorragias. Históricamente, el término "multiforme se utilizó debido a su única apariencia gruesa u ordinaria de la lesión tal como se puede apreciar en la figura 1.3.

29 14 Figura 1.3: Glioblastoma ocupando una gran porción del hemisferio derecho. Foco de necrosis y contribuciones hemorrágicas a la apariencia multiforme [29] Microscopía El GBM es un tumor densamente celular y pobremente diferenciado que se compone de elementos pleomórficos y astrocíticos. Las células individuales pueden ser muy monomórficas muy variables en tamaño y forma, y muestran un núcleo hipercromático. Formas multinucleadas (células gigantes) no son raras en este tipo de lesión tal como se muestra en la figura 2.4. Como regla general, la periferia del tumor muestra en forma individual la infiltración de células tumorales que circulan por el tracto de sustancia blanca en el parénquima cerebral. Debido a esto, no hay una delimitación clara entre el cerebro normal y el tumor, lo que hace imposible la resección quirúrgica completa. El diagnóstico de glioblastoma no se basa en la identificación de los elementos celulares, pero si en el patrón del tejido.

30 15 Figura 1.4: Glioblastoma con un alto grado de densidad celular y algunas células multinucleadas [29]. Los glioblastomas siempre muestran mayor pleomorfismo celular con actividad mitótica enérgica. Sin embargo, la presencia de necrosis abundante de células tumorales como se pueden apreciar en la figura 1.5 y/o focos de prominentes "glomeruloides" de proliferación microvascular o la angiogénesis como se muestran en la figura 1.6, es una característica esencial para hacer el diagnóstico. Por lo general, la necrosis del tumor se encuentra en el centro del tumor. Figura 1.5: Glioblastoma con múltiples focos de necrosis tumoral serpentina dando la apariencia de necrosis geográfica [29].

31 16 Figura 1.6: Proliferación microvascular con formación de estructuras glomeruloides Diagnóstico diferencial [29]. Aunque la mayoría de los glioblastomas se pueden diagnosticar fácilmente por sus características histológicas e immunohistoquímicas de alto grado, la precaución radica en la confusión de ellos con algunos astrocitomas de calidad inferior como astrocitoma pilocítico o xantoastrocitoma pleomórfico [31]. Los astrocitomas pilocíticos no son infiltrantes, son neoplasias de crecimiento lento. Estos tumores son en su mayoría infratentoriales, a diferencia de los GBM. Sin embargo, la proliferación microvascular se considera rutinaria y dentro del pleomorformismo nuclear de muchos de ellos es equivalente a la de los glioblastomas. Pero, estos tumores no son mitóticamente activos y generalmente no exhiben las estructuras únicas como las fibras de Rosenthal y los cuerpos granulares eosinófilos, siendo éste último lo que marca la diferencia con los GBM. En la figura 1.7 se muestra esquemáticamente la genética molecular del conjunto de gliomas del sistema nervioso central.

32 17 Figura 1.7: Esquema de la genética molecular del conjunto de gliomas del sistema nervioso central [29]. En la imagen de resonancia magnética que presentamos en la figura 1.8 vemos un glioblastoma multiforme en estado muy avanzado de evolución. Figura 1.8: Imagen de resonancia magnética de un glioblastoma multiforme [32].

33 Metástasis La metástasis es la propagación de las células cancerosas desde una lesión primaria dando origen al establecimiento de tumores secundarios en lugares distantes [33]. En el pasado, se han hecho importantes avances para dilucidar los pasos físicos que intervienen en la metástasis. Es ampliamente aceptado que el proceso de metástasis se compone de una serie de pasos secuenciales, y las células cancerosas deben completar con éxito cada paso con el fin de dar lugar a un tumor metástasico [34]. Pasos en la cascada metástasico durante la progresión del cáncer: La población de las células en un tumor primario debe alcanzar un tamaño de (1-2) mm 3 y comienza a requerir del crecimiento de nuevos vasos sanguíneos (angiogénesis) para suministrarle al tumor los factores necesarios para su metabolismo y continuar la proliferación [35]. Esta vascularización del tumor primario aumenta las posibilidades de que células tumorales puedan entrar en el torrente sanguíneo, un proceso llamado intravasación como se puede ver en la figura 1.9. La intravasación requiere interacciones heterotípicas entre las células endoteliales y las células tumorales que conducen a su migración.

34 19 Figura 1.9: Formación de metástasis a través del sistema sanguíneo [29]. Las metástasis cerebrales (MC) constituyen una manifestación única y diferenciada en el cáncer diseminado, no sólo por su frecuencia, ya que superan en este sentido a los tumores primarios de esta localización, sino también por su severa morbi-mortalidad. El tratamiento de estos procesos habitualmente es paliativo dentro del entorno general de la enfermedad, aunque con radiocirugía se controla localmente un alto porcentaje de las metástasis cerebrales. Se ha considerado que, sin tratamiento, la supervivencia media tras la detección de la metástasis puede llegar a ser un mes. La medicación esteroidea puede prolongar esta supervivencia hasta los dos meses. La resección quirúrgica de la lesión puede ser efectiva en algunos casos, pero en estudios no controlados se obtienen tasas de supervivencia de sólo el 20% o el 25% al cabo de un año. Los tiempos de supervivencia dependen mucho del tipo de cáncer primario. Las metástasis son típicamente bien circunscritas más que infiltrativas y tienden a ser esféricas. Estas características las hacen candidatas ideales para el tratamiento radioquirúrgico.

35 20 Se ha considerado que las metástasis cerebrales constituyen hasta el 20% de todos los procedimientos de radiocirugía estereotáctica realizados. La figura 1.10, corresponde a la imagen de una metástasis infiltrante tomada mediante una resonancia magnética. Figura 1.10: Metástasis infiltrante [32] Tumores benignos Crecen muy lentamente, con frecuencia, a lo largo de muchos años. La exéresis completa es curativa. La radioterapia estará indicada cuando quede residuo tras la cirugía o ésta no sea posible, para las cuales son recomendables técnicas de planificación y tratamiento 3D (tridimensional) para radioterapia estereotáxica fraccionada y lesiones cuyo volumen tumoral esté entre (1-2)cm, para aplicarles dosis finales de radiación de (50-55) Gy(Gray). Ahora bien, si los márgenes de la lesión son menores de 1cm, es decir, 0.5cm o menos se podrá emplear radiocirugía, con dosis de radiación única entre (10-15) Gy. Al ser tumores de lento crecimiento, como dijimos inicialmente, la respuesta al tratamiento será muy lenta (meses o años), destacando entre ellos los siguientes:

36 Meningiomas Los meningiomas son tumores benignos de crecimiento lento no infiltrantes que proceden de la transformación de las células aracnoideas de las meninges, especialmente de las vellosidades aracnoideas, adhiriéndose a la duramadre, cómo se observa en la figura Los meningiomas constituyen el 15-20% de todos los tumores intracraneales primarios. Solo el 1 o 2% de ellos son malignos. Estos tumores son más frecuentes en mujeres que en hombres. Algunos meningiomas son asintomáticos y tan solo son detectados cuando se realiza algún procedimiento diagnóstico con imágenes, que por otra indicación. Si el meningioma se hace muy voluminoso, la resección quirúrgica es el procedimiento de elección. La tasa de aciertos en la resección completa de un meningioma depende de su localización, de esta manera, la probabilidad de recurrencia del tumor depende de su ubicación; sin embargo, algunos meningiomas se hallan localizados en áreas de difícil abordaje quirúrgico o engloban los senos cavernosos, lo que limita las posibilidades de resección total. La comorbilidad y la edad avanzada de muchos de los pacientes hacen plantearse la indicación de radiocirugía como método de control del crecimiento del tumor o de reducción de su tamaño. Figura 1.11: Meningioma [32].

37 Neurinomas del acústico o schawnnomas Se origina en el conducto auditivo interno. Generalmente provoca la disminución o pérdida auditiva del lado afectado. Cuando no se hace el diagnóstico temprano puede pasar del conducto auditivo y ocupar una región que se la denomina ángulo ponto-cerebeloso y en casos extremos comprime el tronco cerebral. Generalmente deben ser extraídos quirúrgicamente o evaluado su crecimiento con monitoreo periódico con imágenes de resonancia magnética nuclear (IRMN) sobretodo en pacientes con riesgo quirúrgico elevado. El neurinoma crece en el 95% de los casos de un solo lado y no son hereditarios. El 5% restante son tumores bilaterales, hereditarios; que corresponden a una enfermedad llamada neurofibromatosis central. La velocidad de crecimiento es un atributo personal, pero se ha visto que crecen porcentualmente con mayor velocidad en las personas jóvenes, y menos en los más adultos. La transformación maligna de los neurinomas es muy rara. Figura 1.12: Neurinomas del acústico [32].

38 23 CAPÍTULO II CRECIMIENTO TUMORAL 2.1. Introducción En éste capítulo haremos una breve disertación sobre algunos de los modelos matemáticos, aplicados a la biología, que han intentado describir de la mejor manera la dinámica de las poblaciones en general, lo que conlleva inevitablemente a la modelación matemática del crecimiento tumoral. Debido a que éste está en la etapa inicial de su crecimiento, sus células constitutivas se reproducen a una tasa proporcional al volumen que ocupa en ese momento [36, 37]. El crecimiento del tumor está limitado por la capacidad máxima del tejido. Ésta se refiere al tamaño máximo por unidad de volumen que puede alcanzar un tumor en un órgano [38]. Estudios recientes han propuesto hipótesis para entender este complejo proceso el cual se señala como característico en la progresión de un tumor. Diversos modelos asumen que al principio el crecimiento del tumor es rápido, luego, después de mucho tiempo, la proliferación de células alcanza un máximo asintóticamente. Otros, sin embargo, sostienen que la dinámica de crecimiento depende de la relación entre las células activas y las que están en estado latente [39]. Se sabe que en un tumor una cantidad considerable de células están en estado latente, debido a que se encuentran alejadas de los vasos sanguíneos, esto implica que la probabilidad de que las células lleguen a un estado latente aumente cuando el tumor aumenta de tamaño. Esto fue verificado por A.C. Burton, quien en 1966 [40] mostró el crecimiento de un tumor mediante la

39 24 difusión de oxígeno y nutrientes. M. Tubiana en 1971 [41] señaló que muchos experimentos de esa época mostraron que la fracción promedio de crecimiento de células disminuye cuando aumenta el tamaño del tumor. Las células en estado latente no pierden la capacidad de dividirse. Se ha encontrado que algunas células tumorales humanas pueden empezar a activarse después de años de estado latente. Al parecer la fracción promedio de crecimiento de las células en estado latente, cuando empiezan a proliferar en ciertas regiones, el promedio de éstas disminuye y a su vez incrementan el tamaño del tumor. Gavosto y Pileri en 1979 [42], encontraron que el promedio de las células en estado latente aumentaba cuando un tumor era reducido con tratamiento. A continuación se presentan dichos modelos Modelos de Crecimiento Tumoral. Los modelos de crecimiento tumoral se pueden clasificar en dos categorías dependiendo de su escala de observación: 1. Modelos Celulares: describen la velocidad de la división celular. Básicamente considera el comportamiento de células aisladas, lo cual corresponde a los modelos de Eden, exponencial, logístico, Gompertz. entrópico de C.P. Calderon y T.A. Kwenbe. 2. Modelos Espacio - Temporales: Describen la evolución espacio temporal de la densidad celular tumoral. Dentro de éste trabajo discutiremos los modelos de crecimiento epitaxial mediante haces moleculares (MBE), por sus siglas en inglés, y el modelo de reacción - difusión, siendo éste último tratado en el capítulo VI. Teniendo en cuenta la anterior clasificación describimos a continuación los modelos antes mencionados:

40 Modelo de Eden Fue introducido en 1961 por M. Eden como un modelo para la formación de colonias celulares, tales como cultivo de bacterias o tejido [43]. El modelo considera una red y una semilla colocada en un sitio u origen. Una nueva partícula es adicionada aleatoriamente escogiendo un sitio del perímetro de la semilla, formando así un aglomerado de dos sitios. Cuando iteramos, el modelo de Eden genera un aglomerado, generalmente de forma compacta, pero con un perímetro rugoso. Debido a la ligera anisotropía de la red, el aglomerado rugoso y circular es ligeramente distorsionado semejándose a un diamante para un número grande de partículas, tal como se observa en la figura 2.1 [44, 45, 46]. Figura 2.1: Modelo de crecimiento de Eden para un aglomerado de 5000 partículas a partir de una sola semilla mediante la ocupación de sitios, seleccionados al azar, del perímetro [44, 45, 46]. Finalmente es posible definir un método en que todos los sitios ocupados de la superficie del cluster tengan la misma probabilidad de tener un nuevo vecino cercano en el próximo paso, en este sentido un sitio en la superficie es escogido con una probabilidad donde es el número de sitios de la superficie. Por tanto la nueva partícula o célula es adicionada a uno de los sitios vacíos adyacentes escogido aleatoriamente.

41 Modelo de Malthus o Exponencial Sea el número de individuos de una población a un tiempo. La evolución temporal de se obtiene a partir del cambio de la población en el intervalo lo cual viene dado por la siguiente expresión [36, 37]. (2.1) donde y representan las tasas de natalidad y mortalidad por individuo, respectivamente. Por tanto y representan en su orden la cantidad de individuos que nacen y mueren en el intervalo. La anterior ecuación la podemos escribir como: (2.2) donde es la tasa neta de crecimiento de la población por individuo. Tomando, la cual la suponemos constante, podemos entonces escribir la ecuación 2.2 como: (2.3) La ecuación 2.3 es la ley de Malthus, propuesta en 1789, la cual es proporcional al número de individuos de dicha población [47]. Si en la población es por tanto viene dada por: (2.4) De acuerdo con este modelo, la población de células crece exponencialmente en el tiempo, como se muestra en la figura 2.2, de lo que podemos inferir que el modelo no es útil para estimar el crecimiento de cualquier población a tiempos largos, por tanto existe la necesidad de adicionar un término al modelo exponencial que permita considerar las limitaciones físicas del problema, es decir, limitaciones de espacio.

42 27 Figura 2.2: Modelo de Malthus o Exponencial Modelo de Verhulst o Logístico Con el objetivo de superar las limitantes presentes en el modelo exponencial, Pierre François Verhulst en 1838 [48], propuso que el crecimiento poblacional se encuentra limitado por la capacidad del medio para sustentar a la población, por lo tanto el modelo se puede expresar como sigue: (2.5) donde es la tasa de crecimiento malthusiana (positiva o negativa) y, es un coeficiente de fricción que se introduce para evitar que el crecimiento de vaya al infinito, además y son independientes. El modelo logístico es un caso particular de una familia de modelos que suponen que la tasa de crecimiento depende de la densidad de población, es decir, modelos en los que la ecuación de evolución de la población es de la forma: (2.6)

43 28 La función es dada, y si la tomamos igual a tendríamos el caso malthusiano. El modelo logístico considera que varía directamente de un máximo, cuando, hasta un valor cero que se obtiene cuando alcanza la máxima población sostenible ; para valores la tasa de crecimiento es negativa, por tanto. con (2.7) La ecuación 2.7 involucra dos parámetros independientes y (positivos o negativos). Si determina la tasa de crecimiento mientras que si define la tasa de extinción de la población. Si el parámetro se interpreta como la capacidad del ambiente o la densidad de equilibrio, esto es: K lim p( t) para (2.8) t Ahora bien, si tomamos la ecuación 2.5 y consideramos que: y y teniendo en cuenta que para y las funciones convergen a cero, luego la capacidad del ambiente es: si si (2.9) Por lo general, es una función de la disponibilidad de nutrientes o del espacio físico. Llámese, la máxima capacidad de suministros de nutrientes y la producción para una población. Supóngase que la tasa de crecimiento de la población es proporcional a la diferencia entre la capacidad máxima de producción de nutrientes y la producción necesaria, esto es:

44 29 (2.10) Si y, se reproduce la ecuación 2.7. Los puntos de equilibrio cuales: de la ecuación 2.7 son aquellos valores de la población para los (2.11) Hay dos puntos de equilibrio, el origen que es inestable y la población que es estable. Esta afirmación se verifica con la matriz del jacobiano, que en este caso solo tiene un elemento. (2.12) Como, el origen es inestable, pero como, el punto es estable, este comportamiento se ilustra en la figura 2.3 donde los puntos sólidos representan los puntos de equilibrio y las flechas describen su estabilidad. Si, la tasa de crecimiento es negativa la población decrece y se acerca asintóticamente a. Figura 2.3: Modelo de crecimiento Logístico definido por la ecuación (2.7) con. y

45 30 Para valores de, cercanos a, entonces, así que la población crece en forma exponencial. Por otro lado la tasa máxima de crecimiento se obtiene cuando, es decir,. De acuerdo a la ecuación 2.7, tenemos que: (2.13) Integrando a ambos lados de la ecuación 2.13 y teniendo en cuenta que en el instante población inicial es, se tiene entonces lo siguiente: la (2.14) Por tanto despejando de la ecuación 2.14 a tenemos: ; con (2.15) En la figura 2.4 se aprecia el incremento continuo de la población celular hasta alcanzar el punto de saturación dado por lo cual ocurre por la escasez de nutrientes o por insuficiencia espacial.

46 31 Figura 2.4: Modelo de crecimiento Logístico Modelo de Gompertz Fue propuesto por B. Gompertz en 1825 para relacionar la tasa de mortalidad humana con la edad [49] y ha sido exitosamente usado para describir el crecimiento de distintos fenómenos naturales, por ejemplo, crecimiento de poblaciones de individuos, órganos y tumores. Cabe anotar que este modelo se ha propuesto empíricamente basado en observaciones. La ecuación que rige este tipo de crecimiento viene dada por (2.16) donde y la población inicial, luego la solución de la ecuación anterior viene dada por: (2.17) Para tiempos largos, es decir, la figura 2.5. el crecimiento es máximo, tal como se puede observar en

47 32 Figura 2.5: Modelo de crecimiento Gompertz Modelo Entrópico de C. P. Calderon y T. A. Kwenbe Muchos modelos matemáticos han sido usados para describir el crecimiento tumoral a partir de datos empíricos. Esos modelos usualmente describen la evolución del tamaño de un tumor, que se origina bien sea de la progenie de las células transformadas o de un implante multicelular [50, 51, 52]. El más acertado de estos modelos, de acuerdo a las referencias, es el de Gompertz. Sin embargo, el uso de éste modelo en la medición de la estructura del tamaño de un tumor presenta una limitante, la cual consiste en que cuando el tamaño detectado o el tamaño inicial del tumor es infinitesimalmente pequeño la curva Gompertziana es inalcanzable[39]. Debido al inmenso éxito del modelo de Gompertz, en cuanto al ajuste de los datos experimentales, Calderon y Kwembe, pudieron derivar este modelo de los fenómenos naturales dando por resultado el desarrollo del tumor, es decir, definieron la entropía del tumor y la difusión del estado estacionario de la concentración de metabolitos. El concepto de

48 33 entropía, como una medida del desorden del sistema, como se verá está vinculado al desarrollo del crecimiento del tumor por la relación que naturalmente existe entre el crecimiento del tumor y la probabilidad de que una célula maligna esté activa o en estado de latencia. El enlace natural de éste concepto al modelo Gompertziano podría ser claramente indicado. Uno de los hechos más notables del crecimiento tumoral es que está restringido, aparentemente, solamente por la capacidad de transporte del tejido. Así, últimamente el crecimiento de un tumor depende de la interacción entre las células activas y las que se encuentran en estado de latencia. Por tanto si se supone que es la probabilidad de que una célula tumoral esté activa y es la probabilidad de que se encuentre en reposo, luego la probabilidad total viene dada por: (2.18) Como los experimentos indican que la proporción de células en estado de latencia aumenta a medida que el crecimiento del tumor progresa. Podemos entonces suponer que: Dadas las anteriores suposiciones podemos definir la ecuación de entropía como sigue: Si, entonces, Si, entonces, Dadas las anteriores suposiciones podemos definir la ecuación de entropía como sigue: (2.19) donde es la constante de Boltzmann. Teniendo en cuenta la hipótesis de que la tasa de cambio a través del tiempo de proporcional a la entropía, tenemos: es (2.20)

49 34 donde C es constante. Reemplazando la ecuación 2.19 en 2.20, tenemos: (2.21) Utilizando la condición asintótica, si, entonces,, luego la ecuación 2.21 se reduce a: (2.22) Ahora bien, si se toma la condición expresada en 2.18, se puede reescribir la ecuación 2.22 como sigue: (2.23) cuya solución exacta viene dada por: (2.24) La cual tiene comportamiento Gompertziano si suponemos que es la población de células tumorales en estado latente, por tanto la fracción de células no necróticas para tiempos grandes puede aproximarse como: (2.25) donde es el valor asintótico para para tiempos grandes, ya que para tiempos pequeños el comportamiento de no es muy claro, basado en ello se puede obtener la siguiente aproximación: (2.26) Donde se observa nuevamente el comportamiento Gompertziano con.

50 Modelo de Crecimiento Epitaxial mediante Haces Moleculares (MBE) Este tipo de crecimiento consiste en la adición de una gran cantidad de células sobre un sustrato, lo cual conlleva a la formación de monocapas sucesivas. Este comportamiento coincide con la forma de crecer epitaxialmente cristales, en física del estado sólido, mediante haces moleculares o comúnmente llamada (MBE) por sus siglas en inglés, en consecuencia el tratamiento físico del crecimiento celular es el mismo, en ese sentido haremos la discusión incluyendo difusión de la superficie en la ecuación de crecimiento. En principio, sin perder generalidad, despreciamos el proceso de desorción por tanto, las células son depositadas en una superficie con lo cual se difunden. Para describir la dinámica del crecimiento tumoral Brú y colaboradores [1] estudiaron el comportamiento de los perfiles del tumor, mediante la invariancia de escala, para ello se tiene en cuenta la rugosidad exhibida por la interfase de los tumores la cual conlleva a la obtención de un conjunto de exponentes críticos. Lo primero que se hace es determinar el radio promedio del tumor, esto es: r N 1 r () t (2.27) N i 1 i donde es el número de puntos de la interfaz tumor - anfitrión y son las distancias de esos puntos al centro de masa del tumor. Otra cantidad que se define es el momento de segundo orden de la posición de la interfase como función de la longitud del arco ( ) y el tiempo ( ): 1 w( l, t) r t rl l ri l i i (2.28) donde la expresión, dentro del corchete, representa el promedio local de todos los subconjuntos de arcos cuya longitud es y la cantidad dentro de llaves representa el promedio de todo el sistema. l

51 36 Estas cantidades miden el ancho de la interfaz y proporcionan un promedio de las fluctuaciones locales de la interfaz alrededor del valor promedio local. Un sistema con simetría circular presenta voladizos insignificantes comparado con el tamaño del sistema, comportándose como un sistema lineal dependiente del tiempo. Este resultado ha sido probado usando diferentes métodos para determinar los exponentes críticos [1]. El ancho de la función de esa interfaz rugosa, depende de la longitud del arco y el tiempo ( ). A continuación se muestra el comportamiento de escalamiento. (2.29) Con el exponente de rugosidad, el exponente de crecimiento y el tiempo de saturación que depende del tamaño del píxel. Adicional a los exponentes antes mencionados se define el exponente dinámico, el cual caracteriza el comportamiento de escalamiento del tiempo con la longitud de correlación lateral de la siguiente manera:. Estos tres exponentes críticos están relacionados como sigue: como en geometría lineal. Aunque ésta descripción es válida para una gran variedad de sistemas físicos, existen unos casos en que no es válido [1]. Cuando el ancho local difiere del ancho global se puede definir y los exponentes de rugosidad local y global respectivamente como: ; (2.30) Con la longitud de todo el contorno de la interfase circular. Hay algunos sistemas en que la superficie tiene un exponente de rugosidad global [2, 53, 54], denominándoseles súper rugosos. En éste caso, el ancho de la superficie local no satura como ocurre en la ecuación 2.30, sino que pasa a un nuevo comportamiento en el régimen de tiempo, que es caracterizado por un exponente de crecimiento

52 37 diferente,, donde. Un escalamiento que muestra este comportamiento es conocido como escalamiento anómalo [58]. La interfaz se calcula aplicando transformadas de Fourier a la ecuación 1.28, cuya solución da un espectro de potencia, esto es: (2.31) donde es el factor de estructura que muestra el comportamiento de escalamiento. (2.32) Con base a los anteriores análisis de escalamiento aplicados a los tumores, se obtienen los resultados mostrados en las figuras (2.6 y 2.7) [1]: Figura 2.6: Ancho local del tumor vs Tamaño del píxel a diferentes tiempos [1]

53 38 Figura 2.7: Ancho global del tumor utilizando transformadas de Fourier [1]. En la figura 2.6 se tiene que la pendiente de la curva corresponde al exponente de rugosidad local para un tumor crecido in vitro y analizado bidimensionalmente, z es el exponente dinámico y el exponente de rugosidad global. La gráfica 2.7, muestra el espectro de potencia de la interfase utilizando las transformadas den Fourier, obteniéndose los valores para los exponentes de rugosidad global y dinámico. Los anteriores valores obtenidos, para los diferentes exponentes críticos, son compatibles con la teoría lineal del bien conocido crecimiento epitaxial mediante haces moleculares (MBE), modelo dominado por difusión de superficie y deposición, como se había dicho inicialmente. Esta clase universal ha sido encontrada en algunos modelos de deposición [53, 56, 57]. La ecuación de continuidad que describe esta clase universal es: (2.33)

54 39 donde es la altura de la interfase, es el coeficiente de difusión superficial, es un ruido aleatorio con y correlacionados. En el caso que nos compete representa la tasa de división celular.

55 40 Capítulo III ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES DE RESONANCIA MAGNÉTICA 3.1 Introducción La imagen médica ha revolucionado el diagnóstico de muchas enfermedades desde su inicio a finales del siglo XIX cuando Wilhelm C. Röentgen, físico alemán, descubrió en 1895 que los rayos X podían penetrar objetos opacos y proporcionar una imagen de su estructura interna. Desde entonces ésta ha sido la herramienta más importante y más ampliamente usada en medicina clínica, tanto como instrumento de diagnóstico como con propósitos terapéuticos. En la actualidad existen numerosas modalidades de imagen médica como son la tomografía por emisión de positrones (PET), la tomografía axial computarizada (TAC) y la ecografía, entre otras. Una de las herramientas más importantes para el diagnóstico clínico es, sin duda, las imágenes de resonancia magnética nuclear (IRMN). El fenómeno de RMN fue descubierto en 1946 independientemente por Felix Block en Stanford y por Edward Purcell en Harvard, por lo que fueron galardonados con el Premio Nobel de Física en Este efecto consiste en la posibilidad que tienen algunas partículas de absorber energía en forma de radiofrecuencia cuando la frecuencia de esta onda coincide con la frecuencia natural de precesión de dichas partículas. Esta característica puede utilizarse para excitar de forma selectiva el protón de los átomos de hidrógeno de un cuerpo y así poder recoger posteriormente su señal inducida en el proceso de relajación. Esta señal inducida puede utilizarse para obtener la distribución de estas partículas en el cuerpo (imagen de RM) o la concentración de distintas sustancias químicas

56 41 usando para ello su desplazamiento respecto a la frecuencia de resonancia o frecuencia de Larmor (espectro de RM). Entre 1950 y 1970 se desarrollaron las primeras aplicaciones de la RM para análisis físico y químico de moléculas. En 1971 Raymond Damadian mostraba cómo los tiempos de relajación nuclear magnética de los tejidos normales y los tumores eran diferentes, lo que motivó la aplicación de la RM a la detección de enfermedades. En la década de los 70 se obtuvieron las primeras imágenes de RM. En los últimos años el desarrollo de nuevas tecnologías para la generación de imágenes de resonancia magnética en tres dimensiones, ha permitido una mejor definición de éstas, lo que ha hecho posible la localización anatómica exacta del volumen de la lesión cerebral y de los tejidos sanos adyacentes, con lo cual se logran mejores diagnósticos y procesos de planificación de tratamientos utilizados en radiocirugía. Aunque en principio a las IRMN, el análisis que se les hace es cualitativo y como lo que se requiere es la obtención de información cuantitativa de mayor valor clínico, se necesita entonces que éstas sean sometidas a un postprocesado. Este postproceso se fundamenta en el desarrollo de técnicas de procesamiento digital de imagen con el fin de producir información cuantitativa que complementa la tradicional observación y análisis de las imágenes por parte de los radiólogos. En el presente capítulo se presentan los principios físicos básicos para la adquisición de las imágenes de resonancia magnética y su procesamiento digital. Para una más amplia descripción de la técnica se recomiendan los trabajos de Slichter [58], Callaghan [59] y de Sijbers [60]. 3.2 Resonancia Magnética La resonancia magnética (RM) se basa en la interacción entre un campo magnético, aplicado, y un núcleo que posee espín, el espín nuclear o, más precisamente, el momento angular del espín nuclear, el cual es una de las propiedades intrínsecas de un átomo y su valor depende de la composición atómica exacta.

57 42 El átomo está conformado por una densidad electrónica, la cual se encuentra distribuida alrededor de un núcleo, siendo éste constituido básicamente por nucleones, es decir, por protones y neutrones. Todas estas partículas presentan un momento angular intrínseco de valor ½ en la escala de el cual se denomina espín. Las partículas cargadas, debido a su movimiento intrínseco inducen un campo magnético, similar al de una barra imantada tal como se observa en la figura. 3.1, la cual posee un polo norte y un polo sur, lo cual se conoce como momento dipolar magnético. Figura 3.1. a) Representación del momento dipolar magnético de una partícula cargada b) Analogía con un abarra imantada [61]. Debido a esto si estas partículas son sometidas a un campo magnético externo, estas tenderán a orientarse de acuerdo al campo magnético aplicado. Dicha orientación solo puede darse de dos maneras: paralela o anti -paralelamente, en la primera el momento dipolar magnético de la partícula se orienta a favor del campo magnético aplicado y en la segunda la orientación es opuesta al sentido del campo magnético externo. [62]. Para el núcleo de un átomo otra magnitud denominada momento magnético nuclear, siendo este el resultado de los acoplamientos de los momentos magnéticos dipolares de los protones y neutrones que se encuentran en él. Tendremos entonces que cuando el número de protones (Z) y el número de neutrones (N) se encuentren ambos en cantidades pares sus momentos

58 43 magnéticos se cancelan, de manera que el momento magnético dipolar neto del núcleo es cero, en caso contrario el núcleo presenta un momento magnético dipolar neto. La resonancia magnética nuclear (RMN) es un fenómeno físico que se observa cuando núcleos atómicos que poseen un momento magnético distinto de cero, sometidos a la presencia de un campo magnético externo pueden y a su vez pueden ser estimulados o excitados de manera resonante mediante el uso de una señal de radiofrecuencia Magnetización del tejido En las imágenes por Resonancia Magnética se usa como núcleo de estudio el 1 H, ya que este es el isótopo del elemento de mayor abundancia en el universo y el cuerpo humano está compuesto en un 70% por tejidos que contienen agua. En ausencia de campo magnético intenso los núcleos de hidrógeno que conforman un tejido, se encontrarán cada uno orientados de forma aleatoria de modo que no existe un momento magnético, lo que se traduce para el tejido, en una magnetización neta igual a cero [61] tal como se muestra en la figura 3.2. Figura 3.2. Representación de un grupo de protones en ausencia de campo magnético externo [61]. Al aplicar un campo magnético B 0, cada uno de los vectores espín comenzará a precesar alrededor de dicho campo con una velocidad angular denominada velocidad angular de Larmor ( ) la cual viene dada por:

59 44 (3.1) donde γ es el cociente giromagnético, que es una constante propia para cada tipo de núcleo (por ejemplo, para el hidrógeno ). Una vez aplicado el campo y dado que el 1 H tiene espín 1/2 existen dos estados de energía correspondientes a las dos orientaciones posibles como se muestra en la figura 3.3. Figura 3.3. Precesión del espín alrededor de un campo magnético [61]. En la figura 3.3. se observan dos orientaciones de los espines: paralela y antiparalela. Orientación paralela: corresponde a un nivel energético bajo y se refiere a los núcleos que están orientados en el mismo sentido que B o. Orientación Antiparalela: corresponde a un nivel energético alto y se refiere a los núcleos que están orientados en sentido contrario a B o. Esta desigualdad de poblaciones de núcleos entre las orientaciones paralela y antiparalela se traduce en una magnetización neta (M) en el tejido [61], donde la dirección y el sentido de este vector de magnetización son los mismos que los de B o y su magnitud está definida por la ley de Curie de la siguiente forma: (3.2)

60 45 donde es la susceptibilidad magnética nuclear del tejido. En la figura 3.4 se ilustra la orientación de los espines y la magnetización por presencia de un campo magnético. Figura 3.4: (a) Orientación de espines en presencia de un campo magnético Bo (b) Vector magnetización del tejido en presencia de un campo magnético Bo [61]. De otro lado, la diferencia entre los dos estados energéticos antes mencionados, depende de la magnitud del dipolo magnético nuclear y del campo magnético aplicado, tal como vemos en la ecuación 3.3: (3.3) Esta diferencia de energía entre los únicos dos estados permisibles de energía del sistema, es fundamental para la obtención de las imágenes por resonancia magnética (IRM) ya que esto se logra mediante la aplicación de una onda electromagnética de radiofrecuencia (RF), la cual proporciona la energía suficiente para causar la excitación de los núcleos, de manera que los espines que se encuentran el estado de baja energía hacen un salto hacia el estado de energía más alto lo que significa que el átomo de hidrógeno absorbe la energía de la onda de RF,, su vez también se inducen transiciones en sentido contrario, produciendo emisiones de energía, de forma tal que los espines que están en el nivel de energía mayor experimentan una emisión de energía y realizan un salto al nivel de energía menor, lo que se esquematiza en la figura 3.5.

61 46 Figura 3.5: Representación de la excitación de los espines y su paso al otro estado de energía permisible [61]. Como la cantidad de espines en el estado de más baja energía es ligeramente mayor que la cantidad de estos en el estado de más alta energía, existe entonces una absorción de energía neta en el tejido. Como el pulso de radiofrecuencia es emitido perpendicularmente al campo magnético y con una frecuencia angular igual a la de la precesión del espín nuclear del átomo de hidrógeno ( ). La absorción de la energía de esta onda causa que el vector magnetización rote fuera de su posición de equilibrio en dirección perpendicular al campo magnético y a la radiofrecuencia. Si la amplitud y duración de la radiofrecuencia es apropiada, se puede hacer que la absorción de energía cause que el vector magnetización M rote 90 y se sitúe en el plano transversal al campo magnético, este efecto es conocido como pulso de 90 [61] como se observa en la figura 3.6.

62 47 Figura 3.6. Aplicación de la radiofrecuencia al vector magnetización [61]. Al retirar el pulso de radiofrecuencia, los espines nucleares previamente excitados tienden a regresar a su situación original, liberando la energía previamente absorbida, emitiendo fotones a la misma frecuencia que los utilizados para la excitación de los núcleos. Esto se evidencia macroscópicamente en la precesión de la magnetización nuclear alrededor del campo magnético con la misma frecuencia angular expresada en la ecuación de Larmor (ecuación 3.1), siendo éste el instante en que se produce el fenómeno de resonancia magnética. Desde el punto de vista de la física, algo importante sucede cuando se va desde un sólo dipolo magnético de un núcleo de hidrógeno a los efectos colectivos de dipolos nucleares de hidrógeno en un milímetro cúbico del tejido. Se pasa de una descripción cuántica a una clásica. Hay todo un campo de la física, la mecánica estadística, dedicada a describir la transición de la física cuántica a la física clásica. Lo único que necesitamos de la mecánica estadística es la ecuación de Boltzmann, que describe el desequilibrio de los dipolos de hidrógeno en un conjunto macroscópico de dipolos (todos los núcleos de hidrógeno contenido en un vóxel de tejido) cuando se coloca en un campo magnético fuerte. Se dice que en un vóxel de tejido, la diferencia en el número de núcleos de hidrógeno en los dos estados de energía diferentes (arriba y abajo) se determina por la relación de la diferencia de energía entre los dos estados de energía del dipolo magnético y la energía térmica del tejido. Mientras que las interacciones electromagnéticas entre los dipolos del hidrógeno y sus alrededores son responsables de los dipolos que hacen la transición energética de mayor energía a los estados de menor energía, es la tasa de movimiento de rotación de las moléculas, que está determinada por su temperatura, lo que determina la facilidad con que el entorno asume este exceso de

63 48 energía e iguala los dos estados de energía. La energía térmica del tejido es determinada enteramente por su temperatura: cuanto más caliente es el tejido, más interacciones térmicas tienden a igualar el número de núcleos en cada estado de energía. Esta diferencia de población es descrita por la ecuación de Boltzmann, esta ecuación dice que alrededor de 5 núcleos de hidrógeno por millón se alinean con el campo magnético ( ) que están alineados opuestos a B o. El efecto colectivo de este desequilibrio en la orientación de los núcleos de hidrógeno que produce la magnetización neta del tejido, como se ve en la figura 3.7(A) [62]. El reto en la IRM es medir la magnetización del tejido en presencia del campo magnético fuerte que fue aplicado para crear la magnetización del tejido. En principio esto no es fácil. El truco usado en resonancia magnética nuclear (RMN) y en la IRM para medir la magnetización del tejido es: Girar la magnetización del tejido fuera de la dirección del campo magnético estático (llamada la dirección longitudinal) y dentro del plano perpendicular a Bo (llamado el plano transversal), donde puede ser más fácil de medir (véase la figura 3.7 (B) [62]. Para aprovechar lo descrito en el ítem anterior, debemos hacer precesar la magnetización alrededor de B 0 con una frecuencia de precesión fija, como vemos en la figura 3.7(C) [62].

64 49 Figura. 3.7: (A) Magnetización neta del tejido humano, (B) Aplicación del pulso de RF (frecuencia de Larmor) para girar la magnetización del tejido y sacarla de la dirección de Bo, y dentro del plano transversal (perpendicular a Bo) donde la precesión de la magnetización se mide, (C) Precesión de la magnetización alrededor de con una frecuencia de precesión fija[62]. La medición de la precesión de la magnetización transversal se realiza haciendo uso de una de los principios básicos del electromagnetismo: la ley de inducción de Faraday, la cual establece que la variación del flujo de campo magnético a través de una superficie cerrada, tal como una espira de alambre, induce una corriente sobre esta [61]. En el caso de la precesión de la magnetización transversal, el campo magnético es creado por el efecto colectivo de los dipolos magnéticos nucleares del hidrógeno; el cambio en el flujo magnético que liga un lazo del alambre, es debido a esos dipolos que precesan en fase cercana como se ve en la figura 3.7(C) [62]. En la IRM, el campo magnético se hace dependiente de los gradientes de campo magnético. Estos gradientes son pequeñas perturbaciones superpuestas al campo magnético principal. En la presencia de un gradiente de campo, cada protón va a resonar a una frecuencia única que depende de su posición exacta dentro del gradiente de campo. IRM utiliza esta dependencia del campo para localizar las frecuencias de protones en diferentes regiones del espacio, por

65 50 tanto la imagen de RM es simplemente un mapa de frecuencia y fase de los protones generados por únicos campos magnéticos en cada punto de la imagen. En la figura 3.8 mostramos el proceso de adquisición de las imágenes y espectros de resonancia magnética. Figura 3.8: Esquema del proceso de adquisición de imágenes y espectros de resonancia magnética. El análisis de las señales inducidas en la antena de recepción nos proporciona información sobre el contenido de los distintos elementos de volumen o vóxeles que forman el objeto de estudio. El vocablo anglicista vóxel proviene de la composición entre los términos volumen y una extensión del vocablo píxel, picture element al volumen de imagen. Un vóxel es un elemento de volumen que contiene información gráfica asociada a un punto en un espacio tridimensional. Al igual que sucede con un píxel en un espacio con dos dimensiones, el vóxel es la mínima unidad de volumen que constituye un objeto en 3D. En una imagen de RM cada píxel de la imagen representa la información contenida en el vóxel al que representa. En la figura 3.9 mostramos la forma de representación de un volumen en sus vóxeles.

66 51 Figura 3.9: Imagen tridimensional constituida por unidades elementales de volumen o vóxeles [63]. La figura 3.9 se compone de elementos de imagen digital (píxeles) que representan elementos de volumen (vóxeles) de un tejido. La intensidad de un vóxel es proporcional al número de protones contenidos en el vóxel ponderado por los tiempos de relajación y de los tejidos en el vóxel Relajación del tejido Este es el proceso mediante el cual la energía que fue absorbida por los núcleos en la excitación por la radiofrecuencia es liberada. Pueden medirse dos tiempos de relajación: estos son y denominados también potenciaciones, con los cuales se pueden ponderar un determinado efecto a fin de maximizar el contraste entre tejidos específicos., ambos tiempos son consecuencia de la transferencia de energía al tejido para alcanzar el equilibrio termodinámico luego de la excitación de los núcleos; la diferencia viene dada por la deposición final de energía [61] Tiempo de relajación Es el tiempo necesario para que la componente longitudinal de la magnetización se restablezca en un 63% de su valor máximo, el cual corresponde a la condición de equilibrio termodinámico (figura 3.10). Tenemos entonces que este describe la recuperación de la

67 52 magnetización a lo largo de la dirección del campo magnético, cuando el valor de esta proyección sea idéntico al valor inicial de, el proceso de relajación habrá terminado [61]. Este proceso se describe mediante la ecuación 3.4: Figura Curva característica de la relajación en la proyección longitudinal [61]. (3.4) Donde es la magnetización neta, es el tiempo y es la magnetización en un instante de tiempo cualquiera. Existen valores de que son más cortos que otros, y esto se debe a que esta magnitud depende del tipo de moléculas con que se encuentre vinculado el 1 H. Ya que la liberación de la energía absorbida mediante la aplicación de la RF, se realiza si las estructuras moleculares de su entorno presentan diferencias de energías de rotación, vibración o traslación, que sean del mismo orden de magnitud que las que tienen que liberar los núcleos. Entonces según sea el entorno molecular existirá una mayor o menor facilidad en la liberación de dicha energía [61], produciendo así valores de más cortos o más largos respectivamente. Debido a esto si el hidrógeno se encuentra vinculado a moléculas cuya movilidad sea elevada como es el caso del

68 53 agua libre, éste tendrá dificultad para liberar su exceso de energía, ya que estas moléculas presentan un espectro de energías muy amplio, de manera que no se asegura que estén en el mismo orden de magnitud de energía a liberar por el núcleo, esto ocurre también en moléculas de gran tamaño ya que su rango de energías se encuentra por debajo del necesario en este proceso de intercambio energético. Por otra parte moléculas como las lipídicas, las cuales se caracterizan por tener energías en el mismo rango de las que el núcleo debe liberar, el proceso de relajación se facilita y el será corto Tiempos de Relajación T2 y T2 * El tiempo de relajación, también conocido como tiempo de relajación espín espín, es el tiempo necesario para que la componente transversal de la magnetización decaiga al 37% de su valor inicial. Tenemos entonces que cuando el valor de esta proyección se hace igual a cero, el vector magnetización se ha alineado con el campo magnético principal, aun cuando esto no significa que la componente longitudinal haya alcanzado su valor de equilibrio ter equilibrio termodinámico [61]. Si se representa la evolución temporal de la proyección de los espines sobre el plano transversal, después de aplicar un pulso de 90, se observa como si estuviesen en fase inmediatamente después de este pulso, a medida que pasa el tiempo, esta coherencia se va perdiendo, desfasándose progresivamente, debido a las diferencias en los campos magnéticos que individualmente perciben los núcleos de 1 H de una porción de tejido. El proceso de relajación transversal, se muestra en la figura 3.11.

69 54 Figura 3.11: Representación de la evolución temporal de la proyección de los espines sobre el plano transversal, después de aplicar un pulso de 90 [61]. Si graficamos en función del tiempo se observa que éste presenta un comportamiento tipo exponencial decreciente regida por la ecuación 3.5 y como se observa en la figura 3.12: (3.5) Donde es la magnetización neta, es el tiempo y es la magnetización en un instante de tiempo dado.

70 55 Figura 3.12: Curva característica de la relajación en la proyección transversal (2) Precesión de protones a diferentes frecuencias (3) Después de un tiempo transcurrido (4 y 5) Una pequeña coherencia transversal (6) Sin coherencia transversal [61]. Debido al movimiento de las partículas cargadas el valor del campo magnético percibido por el núcleo se ve modificado, localmente, es decir, en un determinado entorno. Existen dos tipos de situaciones: una se conoce como aquella donde la interacción espín-espín es casi nula, esta se da si los núcleos de hidrógeno se encuentran aislados y actúa sobre ellos únicamente el campo magnético externo creado por el imán, así todos los núcleos de 1 H liberan su energía a la misma frecuencia y el proceso de relajación presenta una gran coherencia. La otra situación se presenta cuando los núcleos de 1 H forman parte de radicales químicos distintos, en este caso los campos magnéticos locales son ligeramente distintos, lo que origina que cada núcleo libere la energía a frecuencias distintas originándose una relajación no sincronizada o incoherente, esta situación se conoce como interacción espín-espín no nula [61]. La sincronización en el proceso de relajación depende entonces de las heterogeneidades del campo magnético externo en el tejido y de características tisulares internas, función de la composición y estructura molecular del tejido. En particular es importante notar que la presencia de iones altera localmente el campo magnético percibido por los núcleos de 1 H creando variaciones de la susceptibilidad magnética. En el agua libre debido a la movilidad de las moléculas, el resultado promedio debido a las variaciones magnéticas locales es

71 56 prácticamente nulo, con lo que la interacción espín-espín es de escasa trascendencia y tendremos una gran coherencia en la relajación. Por el contrario, en los tejidos muy estructurados la movilidad es poca y en consecuencia los núcleos percibirán campos magnéticos ligeramente distintos en función de las diferentes estructuras bioquímicas de sus alrededores lo que implicará una gran incoherencia (interacción espín-espín elevada) en la relajación de los núcleos de 1 H. La sincronización en la relajación nuclear se observa estudiando la relajación transversal, ya que si los núcleos tienen una relajación incoherente, cada núcleo emite a frecuencias distintas. Los espines de los núcleos que emiten a frecuencias más elevadas precesan a frecuencias más elevadas y en consecuencia las proyecciones sobre el plano transversal de sus espines, se adelantan respecto a los que emiten a frecuencias más bajas. Ello origina que el plano transversal se alcance rápidamente la orientación al azar, conduciendo a una magnetización transversal cero. Por el contrario si la relajación es muy coherente, todos los núcleos liberan la energía a frecuencias similares, lo que origina una gran sincronización y muy poco desfasaje. En consecuencia se tardará mucho para que los espines alcancen la orientación al azar. La evolución de la magnetización transversal con el tiempo hasta que se anula, corresponde a una sinusoide a la frecuencia de relajación, amortiguada por una exponencial decreciente. Este decrecimiento exponencial de la envolvente está regulado por un parámetro que llamamos si se consideran todos los factores que influyen sobre el asincronismo de los núcleos o si no se consideran ni la influencia de las heterogeneidades del campo magnético externo, ni las variaciones locales magnéticas que actúan de forma fija sobre los núcleos. Por tanto nos indica el asincronismo de los núcleos durante la relajación debido a las influencias espín-espín aleatorio que dependen de la composición y estructura propia del tejido. Si suponemos un campo magnético externo perfectamente homogéneo y un tejido sin variaciones magnéticas locales fijas, el coincide con el. Por lo general el siempre es menor que el, tal como se aprecia en la figura 3.13, ya que cuando se contemplan todas las causas que pueden producir asincronismo la relajación es mucho más incoherente y más rápidamente se alcanza el valor cero.

72 57 Figura 3.13: Representación de T2 y T2 * Por otro lado se sabe que los líquidos en reposo tienen una alta señal de resonancia en imágenes potenciadas en. Una imagen en la que los líquidos aparecen en alta señal diremos que es potenciada en. Cuanto mayor sea la intensidad de imagen correspondiente a tejidos de los líquidos tanto mayor es la potenciación en. Si la imagen que obtenemos no está corregida de las heterogeneidades del campo magnético externo ni de los efectos de las variaciones de susceptibilidad fijas, obtendremos una imagen potenciada en siempre que los líquidos aparezcan muy intensos [61] Medios de contraste Existen sustancias que facilitan la relajación de los núcleos de hidrogeno, en la práctica clínica se utilizan compuestos de Gadolinio (Gd). Esto origina que la liberación de energía por parte de los núcleos sea más rápida. De manera tal que en las imágenes potenciadas en, la presencia de esta sustancia acorta el tiempo de relajación. El mecanismo de trabajo de las sustancias de contraste utilizadas en resonancia magnética comúnmente consiste en favorecer la relajación de los núcleos de 1 H (disminuir el ) y aumentar la no sincronización en dicha relajación (disminuir el ). Por lo tanto, en una potenciación dada de una imagen, las sustancias de contraste pueden aumentar (contrastes positivos) o disminuir (contrastes negativos) la señal [61].

73 58 Para estudiar las variaciones de los valores de y del tejido se utilizan los valores inversos de estas cantidades, es decir, y, conocidos como índice de relajación longitudinal e índice de relajación transversal, respectivamente. Bajo estos conceptos, una sustancia de contraste aumenta los valores de los índices de relajación. Simplemente entonces, para un cierto valor de campo magnético externo y condiciones de temperatura fijadas, el incremento de los índices de relajación puede considerarse que depende linealmente de la concentración de contraste que tiene influencia sobre el tejido. El suministro de una sustancia de contraste implica una heterogeneidad magnética añadida sobre el núcleo de 1 H y por consiguiente, un mayor desfase. Todo esto ocurre como si localmente el efecto del campo magnético se viese aumentado, es decir, que se aumenta el efecto de susceptibilidad magnética, con lo que el valor del momento magnético del contraste se determina por el cambio que produce en la susceptibilidad magnética Procesamiento Digital de Imágenes El procesamiento digital de imágenes se refiere al conjunto de técnicas y/o herramientas matemáticas que pueden ser aplicadas a las imágenes digitales, con el objetivo de mejorar la calidad de la información contenida en éstas y así facilitar su interpretación al momento de realizar cualquier tipo de análisis, que puede ser tanto cualitativo como cuantitativo. Por lo general dichos análisis consisten en la extracción de propiedades y características de las imágenes, así como también en la clasificación, identificación y el reconocimiento de patrones y/o estructuras presentes en ellas. Debido a esto la segmentación de imágenes es una de las técnicas utilizadas en lo que a este campo se refiere y según Duda y Hart definen la segmentación como la extracción de un objeto de interés de una imagen arbitraria [64]. González y Woods la definen como la subdivisión de una imagen en sus partes constituyentes [65].

74 59 Los radiólogos son capaces de analizar una imagen de RM de un paciente y reconocer las distintas partes del cuerpo, en nuestro caso el cerebro, así como identificar tumores u otras lesiones estructurales. Esta clase de análisis cualitativo se realiza basándose en el aprendizaje y la experiencia del radiólogo, y depende de su sistema de visión. Gracias a la segmentación de las estructuras neuroanatómicas de interés se puede realizar un análisis cuantitativo morfométrico que puede ayudar en el diagnóstico de distintas patologías y en la evaluación de la respuesta a un determinado tratamiento. Desde hace más de una década numerosos métodos se han desarrollado para realizar este tipo de tareas Imagen digital Una imagen digital se define matemáticamente como una función continua, la cual ha sido discretizada tanto en las coordenadas espaciales como en los valores de intensidad luminosa. Una imagen digital puede considerarse entonces como una matriz cuyos índices de filas y columnas, identifican un punto de la imagen y el valor correspondiente al elemento de matriz indica el nivel de gris en el punto como se puede observar en la figura Los elementos de un arreglo o distribución digital como la que hemos descrito, se les denomina comúnmente píxeles. Figura 3.14: Representación de una imagen digital.

75 Segmentación de imágenes En términos matemáticos, la segmentación de una imagen es una partición del dominio en conjuntos disjuntos no vacíos llamados segmentos, de tal forma que la unión de todos los segmentos es igual a [66]. La segmentación de una imagen se puede describir entonces como la partición o separación de ésta en diferentes regiones, donde cada región es medianamente homogénea con respecto a ciertas propiedades que definen a una estructura presente en dicha región, es por esto que si el dominio de la imagen viene dado por, la segmentación consiste en determinar la serie de conjuntos, cuya unión es el dominio completo [67]. Por lo tanto, se satisface que: D f N X (3.6) n 1 n Este procedimiento nos permite hacer una interpretación cuantitativa y cualitativa de los datos de la imagen. Para realizar la segmentación se debe tener un conocimiento previo de cuales son aquellas propiedades que definen a cada estructura, como por ejemplo niveles de intensidad, contornos y textura. Después de que una imagen es segmentada, ésta por lo general se representa asignándole a cada uno de los segmentos un valor particular de nivel digital, por ejemplo un nivel de gris diferente a cada segmento, en el caso de las imágenes en escala de grises. Otra alternativa es mostrar solamente los límites de cada segmento. Esto permite una representación binaria de la imagen segmentada Morfología Matemática La morfología matemática es una técnica de procesamiento digital de imágenes, la cual tiene sus bases establecidas en la teoría de conjuntos, cuyos primeros trabajos se deben a Minkowsky (1901) y Hadwiger (1959). La continuación de estos trabajos de investigación se daría posteriormente a conocer como una técnica no lineal de tratamiento de señales. La

76 61 mayor parte de esta teoría ha sido desarrollada en el Centre de Morphologie Mathématique (CMM) de l Ecole des Mines de Paris. Esta técnica de procesamiento no lineal se centra en el estudio de la geometría que poseen las estructuras presentes en las imágenes, donde las operaciones morfológicas dan como resultado la simplificación de los datos, conservando así las principales características de las formas de los objetos y eliminando los aspectos que sean irrelevantes, es decir, este sistema de operadores permite que las formas subyacentes sean identificadas y reconstruidas de forma óptima a partir de sus formas distorsionadas. Esto convierte a la morfología matemática en una gran herramienta usada con los siguientes propósitos: Supresión de ruido. Simplificación de formas. Marcar, ampliar y reducir objetos, es decir, destacar las estructuras de los objetos. Segmentación de imágenes. Determinar áreas, perímetros, etc. de los objetos, en otras palabras describir en forma cualitativa a los objetos Transformaciones morfológicas El objetivo de las transformaciones morfológicas es la extracción de estructuras geométricas en los conjuntos sobre los que se opera, mediante la utilización de otro conjunto de formas conocidas, denominado elemento estructurante (EE), que en nuestro caso corresponden a píxeles, y éste servirá como elemento referente utilizado para explorar las imágenes sometidas a estudio. El tamaño y la forma de este elemento se escoge de acuerdo al conocimiento que se tenga sobre las estructuras presentes en la imagen, ya que su forma está asociada a la topología predominante en los elementos de la imagen. En la figura 3.15 presentamos algunas geometrías básicas características de elementos estructurantes.

77 62 Figura 3.15: Geometrías características de elementos estructurantes. La morfología matemática fundamenta todas sus operaciones en dos operadores asociados con el elemento estructurante: la erosión y la dilatación Erosión La erosión de una imagen por un elemento estructurante se denota y se define como el mínimo de las traslaciones de por los elementos s de. Por tanto, el valor erosionado en un píxel dado, es el valor mínimo de la imagen en la ventana (dominio) definida por el elemento estructurante cuando su origen está en [66], esto es: ( f )( x) min f ( x s) (3.6) Y s Y En las imágenes en escala de grises, para obtener la erosión se desplaza el EE sobre toda la imagen y se reemplaza el píxel central por el mínimo de los niveles digitales que se encuentren dentro de los márgenes impuestos por el EE, para una posición específica. La erosión como resultado permite destacar las zonas oscuras presentes en la imagen, tal como mostramos en la figura 3.16.

78 63 Figura 3.16: Erosión de por el elemento estructurante Dilatación La dilatación es la operación dual de la erosión, por tanto la dilatación de una imagen por un elemento estructurante corresponde al máximo valor de las traslaciones de definida por la forma del elemento estructurante en cada punto de la imagen y se denota por. En otras palabras el valor dilatado en un píxel dado (x), es el que corresponde al valor máximo de la imagen en la zona definida por el elemento estructurante cuando el origen se encuentra posicionado en x. [66]. La anterior definición la podemos resumir en la siguiente relación funcional: ( f )( x) max f ( x s) (3.7) Y s Y En las imágenes en escala de grises, se obtiene la dilatación desplazando al EE por toda la imagen y reemplazando el píxel central por el máximo de los niveles digitales que se encuentren dentro de los márgenes impuestos por el EE, para una posición específica. Contrario a la erosión, la dilatación permite destacar las zonas claras en una imagen como se muestra en la figura 3.17.

79 Figura 3.17: Dilatación de por el elemento estructurante 64

80 65 CAPÍTULO IV ESTUDIO in vivo EN 3-D DE LA DINÁMICA DEL CRECIMIENTO TUMORAL CEREBRAL MEDIANTE EL ANÁLISIS DE ESCALAMIENTO 4.1. Introducción El crecimiento tumoral ha sido un ejemplo paradigmático de investigaciones multidisciplinarias, el cual se ha descrito en términos de modelos físico-matemáticos desde diferentes puntos de vista debido a su naturaleza multiescala. Los modelos teóricos simples involucran solamente el número total de células en el tumor cuando se han aplicado a éste problema, el crecimiento se asume que es exponencial, logístico o Gompertziano [11, 13]. Estos modelos no tienen en cuenta la disposición espacial de las células en una localización anatómica específica, o el espacio de propagación de las células cancerosas. Estos aspectos espaciales son esenciales en la estimación de crecimiento del tumor, ya que determinan la invasión del tumor. El escalamiento dinámico es una disciplina heurística, que explota las propiedades geométricas de los frentes de crecimiento usando diferentes conceptos de la teoría de procesos estocásticos y geometría fractal [13, 14]. En este sentido se han realizado estudios de la interfaz tumor - anfitrión, y se ha encontrado que el comportamiento de sus fluctuaciones conduce a ecuaciones de evolución estocástica, que son analizadas bajo simetría radial [2, 13, 14]. El crecimiento tumoral es un proceso complejo que depende de la correspondiente proliferación celular y de su propagación en el tejido anfitrión. Es por ello que la nueva aproximación usada se fundamenta en la fractalidad y en la invariancia de escala del contorno de la colonia, estas células forman colonias que pueden caracterizarse por una dimensión

81 66 fractal, una medida de su grado de complejidad, lo que permite el uso de análisis de escalamiento [1, 16, 17, 18]. Recientes estudios hechos en colonias celulares crecidas en vitro y secciones de resecciones de tumores [1, 18, 68], demuestran que algún tipo de universalidad en la dinámica de crecimiento tumoral puede ser determinada mediante la evaluación de sus propiedades geométricas a través de los exponentes críticos. En el presente capítulo realizaremos un estudio detallado del comportamiento del escalamiento de crecimiento tumoral de tumores cerebrales in vivo en 3-D por medio de la evaluación del exponente de rugosidad local [4, 25, 68] de la interfaz tumor - anfitrión por análisis de escalamiento. El estudio se realizará de la siguiente manera: En la primera sección y subsecciones presentaremos los materiales y la metodología utilizada. Resultados basados en el análisis de escalamiento son usados para determinar el exponente de rugosidad local del ancho de la interfaz tumor - anfitrión, esto es, una superficie en tres dimensiones, usando los parámetros de escalamiento apropiados, tales como ángulos sólidos, superficie del casquete esférico, etc. También, análisis y procesamiento de imágenes y la selección de la data de imágenes son discutidas. En la sección 2 presentamos la validación del método con énfasis en el tamaño de la data y muestreo de la imagen. Los resultados y discusiones son presentados en la sección Materiales y Métodos Procesamiento y selección de las imágenes La adquisición de las imágenes se hizo mediante resonancia magnética nuclear (RMN), de acuerdo al protocolo estándar usado en radioterapia y radiocirugía cerebral, que consiste esencialmente en cortes contiguos no solapados de las imágenes, potenciados con un tiempo de relajación a lo largo de uno de los planos anatómicos: axial, coronal o sagital, con los que se abarca todo el volumen tumoral.

82 67 También se le suministró vía intravenosa a los pacientes un medio de contraste, consistente de un fármaco con el elemento gadolinio (Gd), cuyo objetivo es resaltar la parte de la lesión que presenta actividad celular tumoral, aspecto importante clínicamente en la determinación del volumen tumoral y por tanto adecuado para la determinación de la interfaz tumor - anfitrión. Hecho que proporciona un elemento adicional para el registro de las imágenes, y por consiguiente una gran ventaja ante la tomografía computarizada (TC). De acuerdo al protocolo estándar mencionado inicialmente, se obtienen alrededor de 100 a 200 cortes de imágenes, con un tamaño mínimo de 256 X 256 vóxeles. La resolución en el plano de la imagen es típicamente menor a un milímetro y el espesor del corte está en el rango de 1 a 2 milímetros, así el volumen de vóxel es típicamente menor a un milímetro cúbico. Solamente glioblastomas, astrocitomas, metástasis y tumores cerebrales benignos, en su mayoría meningiomas y neurinomas del acústico (schawnnomas), fueron analizados en éste trabajo. El grado de malignidad fue determinado por resultados histopatológicos. Los tamaños de los tumores estuvieron en el rango de (1-4) centímetros de diámetro promedio. El tamaño del conjunto de datos de la imagen tridimensional es muy grande, es decir, de al menos 256 X 256 X 100 y en el orden de determinar la interfaz tumor-anfitrión, el volumen que abarca la lesión del tumor se define seleccionando solamente cortes que contienen la lesión tumoral, que después serán segmentados. En aquellos conjuntos de datos de la imagen, donde imágenes sin contraste están presentes, se podría tomar una imagen diferencia, esto es, contrastada menos sin contraste la cual podría realzar el contraste y posiblemente mejorar la segmentación de la imagen. Desafortunadamente, la mayoría de los datos disponibles carecieron de imágenes precontrastadas y en muy pocos casos el registro de las imágenes pre y post contraste no se encontraban totalmente garantizado, por el posible movimiento del paciente. En consecuencia el procedimiento de la segmentación fue realizado solamente sobre imágenes postcontrastadas incluso para esos casos para los cuales ambos conjuntos de datos estaban disponibles; de esta manera las diferencias que vienen de la manipulación de datos de imagen se evitan. Es importante notar que los procedimientos de segmentación están en dependencia general con las propiedades de la data, así que la determinación de la interfaz tumor- anfitrión

83 68 debe depender de la selección del tipo de imagen. Independientemente de su origen histológico las imágenes que presentaron un contraste pobre no se tomaron en cuenta para el análisis. La segmentación de la imagen del volumen del tumor se realizó corte por corte Método k - medias Este método también es conocido como clasificación no supervisada, el cual busca agrupaciones naturales en un conjunto de datos multidimensionales empleando una medida de similitud o diferencia. Para efectuar esta agrupación, las clases no son establecidas a priori sino establecidas a partir de los propios datos. El agrupamiento consiste en clasificar los datos dentro de varios grupos y la clasificación los asigna según los datos tengan características similares a elementos representativos de cada grupo. El agrupamiento se basa en un algoritmo heurístico de clasificación no jerárquica que, partiendo de un número concreto de centroides o grupos previamente definidos por el usuario, trata de seleccionar una configuración que minimice la dispersión de los valores de las variables utilizadas en la clasificación dentro de cada grupo, maximizando la variación entre los grupos [69]. En éste trabajo se ha utilizado este procedimiento de agrupación para delimitar un número de subregiones espaciales Correspondientes al volumen tumoral. Dadas -muestras, tales que se pueden representar por un vector característico -dimensional, el objetivo del método por particiones es agrupar las muestras dentro de grupos tales que los miembros de cada grupo compartan características similares [70]. Cada grupo es etiquetado por un vector característico n-dimensional, que es el promedio de todos los miembros en el grupo, definido como centroide. El algoritmo -medias para la segmentación de imágenes incluye los siguientes pasos: 1. Inicializar el número de clases,, y centroides.

84 69 2. Asignar un píxel o vóxel a la clase o grupo cuyo centroide es el más cercano, en el espacio -dimensional característico. 3. Después de que todos los píxeles o vóxeles, han sido asignados, se recalculan los centroides. 4. Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que todos los centroides no cambien considerablemente. Los anteriores pasos se esquematizan en la figura 4.1 Figura 4.1: Esquema de funcionamiento del método -medias, las curvas cerradas definen las clases y los puntos rojos corresponde a los centroides. El algoritmo de agrupamiento -medias minimiza la suma de la varianza intra-grupo, definida como: k m j 2 i j (4.1) j 1 i 1 Q V

85 70 donde es la -ésima muestra del -ésimo elemento de la clase del grupo y es el centroide del -ésimo grupo, definido como la media de. La aplicación del método k-medias a la segmentación de imágenes es razonablemente sencillo porque podríamos escribir nuestras imágenes 3D en un vector columna. Los cortes de las imágenes segmentadas son apilados para definir un grupo de datos binarios tridimensionales que pueden ser usados para establecer la interfaz tumor-anfitrión. Durante el proceso de segmentación se siguieron distintos pasos, los cuales tenían siempre el propósito, tanto de homogenizar los segmentos representativos de la imagen, como de disminuir la cantidad de zonas que pudieran encontrarse al realizar la segmentación inicial. Estos pasos son los siguientes: 1. Adquisición de las imágenes post- contrastada y delimitación de la región que contiene el volumen tumoral. 2. Umbralización. 3. Segmentación de las imágenes de acuerdo al método - medias. 4. Aplicación de los operadores morfológicos. 5. Obtención y selección de contornos Adquisición de las imágenes contrastadas y delimitación de la región que contiene el volumen tumoral. El volumen tumoral fue delimitado manualmente, seleccionando solamente aquellos cortes que contienen la lesión, lo cual fue realizado mediante el uso de programas convencionales de visualización de imágenes médicas y, posteriormente, se delimitó la región de interés como se muestra en la figura 4.2.

86 71 Figura 4.2: Selección del volumen que contiene la lesión tumoral, en un corte axial de una imagen contrastada de un glioblastoma multiforme Umbralización Se determinaron los umbrales que delimitan el rango de intensidades que caracterizan y discriminan los distintos objetos de la imagen, mediante el cálculo de histogramas, lo que nos permite diferenciar dos agrupaciones de datos, tal como se muestra en la figura 4.3.

87 72 Figura 4.3: Histograma de la imagen de un glioblastoma multiforme. La línea punteada corresponde al umbral óptimo que separa las dos clases Segmentación de las imágenes de acuerdo al método k - medias Con esta función se identifica, dentro de la imagen, el área que corresponde enteramente al tumor, dando así los límites exactos donde las funciones siguiente deben realizar sus correspondientes operaciones. En la figura 4.4 se muestra el diagrama de flujo correspondiente al método medias para el proceso de segmentación de las imágenes [71] y en la figura 4.5 se ve el resultado operativo del mismo, al ser aplicado a las imágenes, en este caso a un glioblastoma multiforme obteniendo una imagen binaria a la cual se puede aplicar el siguiente procedimiento.

88 Figura 4.4: Diagrama de flujo correspondiente al algoritmo k-medias. 73

89 74 Figura 4.5: Segmentación de la imagen de un glioblastoma usando el método -medias Aplicación de los operadores morfológicos Una vez las imágenes han sido binarizadas, de acuerdo al método -medias, se aplica sobre los objetos de interés una combinación de operadores morfológicos de erosión y dilatación, los cuales permiten eliminar estructuras pequeñas y llenar o cerrar huecos presentes en el volumen de interés. Figura 4.6: Aplicación de la morfología matemática a la imagen del glioblastoma.

90 75 En la figura 4.6 se muestra el efecto de aplicar los operados morfológicos (erosión y dilatación) a uno de los cortes de un glioblastoma Obtención y selección de los contornos Con la finalidad de obtener los puntos de la superficie pertenecientes a la interfaz tumoranfitrión, un algoritmo especial fue desarrollado de manera tal que preserve tanto la clasificación de los vóxeles, de acuerdo al método k-medias [72], como también las características geométricas en la interfaz. Esencialmente este algoritmo consiste en la aplicación de un filtro a la imagen por una máscara (matriz de tamaño 3x3) a las imágenes previamente segmentadas que comprende el volumen del tumor. Este filtro de imagen de máscara 3x3 actúa como sigue: si el píxel central de la máscara 3x3 es parte de la imagen segmentada entonces la suma sobre todos los píxeles incluidos en la máscara 3x3 se lleva a cabo, asignando 1 (uno) si el píxel pertenece a la imagen segmentada y 0 (cero) si no. Si la suma de la máscara es menor que 9 (nueve), el píxel central de la máscara 3x3 pertenece a la interfaz tumor-anfitrión. Lo expresado anteriormente lo sintetizamos en el siguiente diagrama de flujo de la figura 4.7 [71].

91 76 Figura 4.7: Diagrama de flujo para el algoritmo especial para detectar la interfaz tumoranfitrión. Los píxeles son aceptados cuando: el píxel central del filtro de máscara 3x3, 0, pertenece a la imagen segmentada y la suma S es inferior a 9.

92 77 Una vez aplicado el anterior algoritmo a las imágenes binarias segmentadas, éste selecciona los contornos relacionados únicamente con la interfaz tumor - anfitrión, generando imágenes como las que se observan en la figura 4.8. Figura 4.8: Selección de contornos de la interfaz tumor-anfitrión, mediante el algoritmo desarrollado para éste trabajo. En los ítems precedentes se mostró la forma cómo el método k - medias opera en el proceso de segmentación de las imágenes y a su vez lo que realiza el algoritmo desarrollado en lo referente a la determinación de los contornos de la interfaz del tumor - anfitrión, en ese sentido se mostrará lo que ocurre al aplicar los anteriores procesos a una imagen tridimensional. En la figura 4.9(A), la cual corresponde a un glioblastoma multiforme con alto contraste, se muestra la imagen obtenida una vez aplicados los procesos de segmentación k - medias y los operadores morfológicos (erosión y dilatación), mientras que en la figura 4.9 (B) se muestran los puntos calculados para la interfaz del tumor-anfitrión de la figura 4.9(A) obtenidos mediante el algoritmo desarrollado en éste trabajo [71], cabe anotar que la orientación del tumor en ambas imágenes es diferente.

93 78 Figura 4.9: (A) Imagen tridimensional de alto contraste de un glioblastoma, (B) cálculos de los puntos de la interfaz obtenidos por el algoritmo desarrollado en éste trabajo. La orientación del tumor es diferente en ambas imágenes.

94 Análisis de escalamiento y fractales Cálculo del ancho de la interfaz tumor - anfitrión La dinámica de muchos sistemas físicos exhibe una interfaz rugosa que puede ser caracterizada por un conjunto de exponentes críticos obtenidos desde las propiedades de invarianza de escala de ciertas cantidades físicas [1, 2, 18]. Una cantidad de interés en éste estudio es el radio promedio del tumor que corresponde al momento de primer orden de la posición de la interfaz, esto es: r N 1 r () t (4.2) N i 1 i donde es el número de puntos de la interfaz del tumor-anfitrión y es la distancia del - ésimo punto de la interfaz al centro de masa del tumor. La dinámica del crecimiento tumoral se presenta a través de la dependencia temporal de los puntos de la interfaz. Otra cantidad importante es el momento de segundo orden de la posición de la interfaz como función de la superficie y el tiempo, esto es: (4.3) donde representa la interfaz total del tumor-anfitrión, es la medida del promedio local tomando todos los subconjuntos de la interfaz de tamaño y es el promedio sobre. Esta cantidad define el ancho de la interfaz y proporciona una medida de las fluctuaciones locales de la interfaz alrededor de la posición promedio. Los conjuntos y están asociados al perímetro y longitud de arco respectivamente, en dos dimensiones, o como área de la superficie total y área de la superficie del casquete esférico respectivamente, en tres dimensiones. En éste trabajo se usó el conjunto de datos de la imágenes tridimensionales, para lo cual se tomó la segunda asociación, con el objetivo de evaluar el exponente de rugosidad

95 80 local para la interfaz tumor-anfitrión, es decir, la interfaz, siendo ésta última completamente muestreada con esferas idénticas tal como se presenta en la figura Figura 4.10: (a) Interfaz tumor - anfitrión, (b) puntos de la interfaz muestreada en un casquete esférico de superficie o área s (c) ángulo sólido, subtendido por la superficie del casquete esférico s, (d) esfera de muestreo con la cual se analiza toda la interfaz del tumor - anfitrión, (e) radio promedio de la región muestreada, (f) cálculo de la interfaz total tumor - anfitrión utilizando la ecuación 4.3. Para cada muestra que utilizamos, los puntos de la interfaz muestreada se circunscribieron, permanentemente, dentro de un casquete esférico de superficie de área s. El comportamiento de ley de potencia es observado a pequeños valores de s (comparando con el área de la superficie asociada a la interfaz ), en consecuencia la ecuación 4.3 se reduce a: (4.4)

96 81 donde es el exponente de rugosidad local [1, 18]. Note que la evolución temporal no es considerada en la ecuación 4.4 debido a que los datos del tumor que exhiben ésta dependencia temporal no pudieron ser estimados exactamente, y en la gran mayoría de los casos es desconocido, sin embargo una variable alternativa puede ser considerada, la cual se define histológicamente, el grado del tumor [16]. Se asume que para tumores del mismo origen histológico, grados tumorales similares corresponden a estados dinámicos similares y por lo tanto comparten un valor común de. En la figura 4.11 mostramos el comportamiento del ancho de la interfaz,, en función del área, para los glioblastomas. Figura 4.11: Comportamiento de, para los glioblastomas multiformes, descrito por la ecuación 4.4. La pendiente, que corresponde a la región que describe la ley de potencia, determina el exponente de rugosidad mientras que la región de saturación determina o. Como podemos observar en la figura 4.11 ésta presenta dos regiones claramente diferenciadas.

97 82 La primera región, o sea la correspondiente a la recta en escalas logarítmicas, donde exhibe un comportamiento de ley de potencia a pequeñas escalas, tal como lo predice la ecuación 4.4, y donde la pendiente de dicha región determina el valor del exponente de rugosidad local. En la segunda región, a partir de donde aparece una especie de rodilla en la gráfica, vemos que la curva tiende a saturarse asintóticamente lo que determina el valor de, donde es el área total de la superficie de la interfaz tumor-anfitrión o equivalentemente Cálculo de la dimensión fractal de la interfaz tumor-anfitrión Como la interfaz tumor-anfitrión exhibe geometría fractal [73], es muy importante calcular la dimensión fractal, esto es, la dimensión de capacidad o dimensión de Hausdorff,. A menudo se calcula por medio del popular y muy conocido algoritmo de conteo por cajas propuesto por Russel [74] que esencialmente cuenta el número de cajas que contiene la estructura fractal y establece una relación de ley de potencia entre éste número y el tamaño de la caja (vóxel) o escala, tales que la dimensión fractal pueda ser estimada por [2, 5, 75]. d f log( N( )) lim 0 log( ) (4.5) donde es el número de cajas necesarias para cubrir completamente la estructura fractal. De acuerdo a las referencias [2, 5, 75], hay una relación entre la dimensión fractal y el exponente de rugosidad dado por: (4.6) donde es la dimensión Euclídea del espacio donde la estructura fractal está embebida. La ecuación 4.6 en general, se utiliza para verificar la exactitud estimada de y. En la figura 4.12 se muestra la aplicación del algoritmo de conteo por cajas en la determinación de la dimensión fractal para los glioblastomas. Debido a la naturaleza discreta de la matriz imagen, los datos obtenidos a partir del algoritmo de conteo por cajas deben ser

98 83 cuidadosamente seleccionados para superar posibles artefactos, que se pueden inducir en el proceso de cálculo de la dimensión fractal debido al límite del tamaño de los vóxeles y como consecuencia el límite la ecuación 4.5 es inalcanzable. Para evitar estos problemas, todos los cálculos de la dimensión fractal fueron realizados con los puntos intermedios en las gráficas de vs para los cuales se observa un comportamiento estable de la ley de potencia. Figura 4.12: Cálculo de la dimensión fractal para los glioblastomas mediante el algoritmo de conteo por cajas, es el número de cajas y es el tamaño de la caja. El valor promedio obtenido para dimensión fractal es: Validación del Método El cálculo de la ecuación 4.3 requiere que ciertos criterios deben cumplirse para tener un sistema confiable y como sea posible una determinación exacta de. En primer lugar, se tendrá en cuenta el efecto de la discretización de la muestra de la interfaz del tumor - anfitrión en la evaluación de la ecuación 4.3. La naturaleza discreta de la matriz imagen impone un límite para el cálculo de

99 84 Los radios de las esferas de muestreo deben ser seleccionados apropiadamente para evitar algunos artefactos debido a la discretización de la matriz imagen. El tamaño de los vóxeles da la escala mínima para el muestreo de la imagen. El radio mínimo de la esfera de muestreo se elige como el que iguala el volumen del vóxel, esto es: (4.7) donde es el volumen del vóxel en la matriz imagen. La figura 4.13 muestra como fluctúa en la ecuación 4.3 cuando el radio de la esfera de muestreo cambia. Figura 4.13: Variación de con la superficie del casquete esférico subtendido por los puntos muestreados de la interfaz. El radio de la esfera muestreada está dado en unidades de : Círculos, 1, triángulos hacia arriba, 2, triángulos hacia abajo, 3, cuadrados, 4, y diamantes 5. Cuando el cálculo de la ecuación 4.3 se limita solamente al radio mínimo de la esfera de muestreo, el artefacto originario de la discretización de la matriz imagen se revela de una manera clara tal como se muestra en la figura 4.14.

100 85 Figura 4.14: Variación de con: (a) El ángulo sólido (b) la superficie del casquete esférico subtendido por los puntos muestreados de la interfaz..

101 86 Una forma de superar el efecto de la discretización de la matriz imagen es eliminar la contribución del radio de la primera esfera de muestreo del cálculo de la ecuación 4.3. Este procedimiento se llevó a cabo consistentemente para todos los cálculos presentados en este trabajo. El segundo aspecto a considerar es el efecto del tamaño de los datos en el cálculo Las pequeñas muestras exhiben en la interfaz una mayor incertidumbre en la evaluación de los promedios de la ecuación 4.3. Para determinar un tamaño crítico, el método fue aplicado sobre interfases simuladas usando esferas de diferentes diámetros como volumen tumoral, y como una consecuencia, números diferentes del conjunto de puntos, solamente el ancho de la interfaz en el máximo se calculó, es decir, el valor de saturación de la ecuación 4.3. En principio,, debe tener un valor independiente del tamaño de la interfaz, el ancho de ésta depende solamente de la discretización de la matriz imagen y las desviaciones de los valores respecto al valor asintótico para un número grande de puntos corresponde a una situación de estadística baja y en consecuencia de mucha incertidumbre en el cálculo de esta cantidad. En la figura 4.15 se muestra la dependencia de con el tamaño de la interfaz. El valor de fluctúa para un tamaño de la interfaz por debajo de 1000 puntos y se estabiliza por encima de ellos. A partir de ahora, para la selección de los datos de las imágenes que se utilizarán en éste trabajo, se considera un umbral del tamaño de la interfaz de tumor - anfitrión de puntos.

102 87 Figura 4.15: Determinación del umbral del tamaño de la muestra para el cálculo del exponente de rugosidad es el número de puntos en la interfaz y es el ancho de la interfaz para la máxima escala.. La desviación de la forma de la interfaz tumor - anfitrión respecto a la forma esférica podría causar grandes variaciones en y consecuentemente en la evaluación de. Para estimar este efecto, fue calculado para la interfaces tumor -anfitrión simuladas de forma elipsoide. Cada interfaz se supuso como una distribución de masa, a la cual se le asocia un tensor de inercia y se le calculan sus valores propios. Así como se determinó la desviación para una forma esférica, para la forma de elipsoide también se debe determinar. La desviación de una forma esférica se puede estimar con base a la ecuación 4.8 (4.8)

103 88 donde ;, son los valores propios asociados al tensor de inercia. En la figura 4.16 mostramos el cálculo de para estas interfaces para el tumor - anfitrión simuladas. Figura 4.16: Dependencia de con la anisotropía,, de la interfaz del tumor - anfitrión. Para resumir, la selección de los datos de las imágenes para la valoración del implica: 1. Muestrear solamente esferas cuyos radios estén por encima del límite de la escala mínima (que depende de las condiciones de la adquisición de las imágenes). 2. Considerar solamente interfaces de tumores - anfitrión que tengan un número de puntos por encima de Restringir el cálculo a la interfaz tumor - anfitrión relativamente esférico cuya anisotropía esté por debajo de Calcular el exponente de rugosidad, que es obtenido mediante el análisis por la regresión lineal usando la ecuación 4.4, considerando solamente los resultados cuyo coeficiente de correlación al cuadrado,, sea mayor o igual a 0.99, esto es.

104 Resultados y Discusión El análisis de escalamiento se aplicó en total a 62 lesiones tumorales cerebrales. Los tumores fueron clasificados de acuerdo a sus características histológicas dentro de cuatro grupos: astrocitomas (10 casos), glioblastomas (7 casos), metástasis (18 casos), y tumores benignos (27 casos, tales como meningiomas y schawnnomas acústicos. En todos los casos la interfaz del tumor anfitrión exhibe geometría fractal caracterizada por una dimensión no entera en el rango de [ ], lo cual es consistente con el valor esperado de la interfaz fractal encajada en un espacio Euclídeo tridimensional [2, 5, 75]. El exponente de rugosidad local fue calculado y un comportamiento de ley de potencia se obtuvo en todos los casos, con pequeñas variaciones dentro de cada grupo histológico tales como se muestra en las figuras (fig fig.4.20) para los casos de glioblastomas multiformes, astrocitomas, metástasis y tumores benignos, respectivamente. Figura 4.17: Comportamiento de ley de potencia para glioblastomas multiforme

105 90 Figura 4.18: Comportamiento de ley de potencia para astrocitomas. Figura 4.19: Comportamiento de ley de potencia para metástasis

106 91..Figura 4.20: Comportamiento de ley de potencia para tumores benignos cerebrales El análisis de las gráficas (fig fig.4.20) revelan un aumento del exponente de rugosidad local,, conforme avanzan los tumores hacia los altos grados de malignidad, tales como los glioblastomas a través de los astrocitomas y metástasis, además se puede observar una disminución de la dispersión de dicho exponente. Desde el punto de vista del exponente de rugosidad local, los tumores de alto grado, tales como grado IV, se vuelven más similares, hecho que no ocurre con los tumores de los grados I y III, o sea, los astrocitomas. En el caso de metástasis, un incremento de la dispersión era de esperarse debido a la diversa procedencia histológica y desarrollo en el cerebro. En la tabla 4.1 se presentan los resultados de la dimensión fractal, rugosidad local,, para los diferentes grupos histológicos., y el exponente de

107 92 Tabla. 4.1: Tumores Humanos. Interfaz tumor - anfitrión caracterizada por la dimensión fractal, determinada por el método de conteo por cajas, y el exponente de rugosidad local,, con sus respectivos errores y coeficientes cuadráticos de correlación. Tipo Casos Glioblastomas ± ± Astrocitomas ± ± Metástasis ± ± Tumores Benignos ± ± En la tabla 4.1 podemos apreciar que para el grupo de glioblastomas el valor del exponente de rugosidad local es: el cual está en buena concordancia con los resultados obtenidos por Brú y colaboradores [18], y generalmente asociado a la alta invasividad de la interfaz del tumor-anfitrión. Para los demás casos, o sea, astrocitomas, metástasis y tumores cerebrales benignos los valores obtenidos para los exponentes de rugosidad local son:,,, respectivamente. Estos son los primeros que se reportan en la literatura para seres humanos obtenidos in vivo [71], hasta donde se tiene conocimiento, lo que constituye un aporte valioso en el entendimiento de la geometría de los tumores y del cáncer. Como podemos ver en la tabla 4.1 el valor más bajo obtenido para el exponente crítico de rugosidad local,, corresponde a los casos de los tumores benignos lo cual tiene consistencia, porque ese hecho connota una baja invasividad de la interfaz del tumor - anfitrión. Todos los grupos histológicos estudiados se aproximan bastante bien a la condición exacta, de acuerdo a la ecuación (4.6), siendo 3 la dimensión Euclídea del espacio que contiene el tumor [2, 5, 75]. La comparación entre los valores de los exponentes de rugosidad de los diferentes grupos histológicos, claramente muestra una diferencia significativa entre los tumores malignos y benignos. Puesto que en un proceso de crecimiento de la interfaz, los exponentes de rugosidad y de crecimiento caracterizan a las clases de universalidad [2, 76], es posible concluir que los

108 93 tumores cerebrales benignos pertenecen a una clase de universalidad de crecimiento de la interfaz diferente a la de los tumores malignos, como los tumores primarios del cerebro, tales como los glioblastomas y astrocitomas o secundarios como la metástasis. Las diferencias detectadas en los exponentes de rugosidad de los tumores cerebrales malignos y benignos nos permiten hacer una clasificación clara de ellos en los diferentes estadíos, tal como se muestran en la figura Figura 4.21: Correlación entre el exponente de rugosidad local malignidad del tumor.. y el grado de

109 94 CAPITULO V MODELO REACCIÓN-DIFUSIÓN EN SISTEMA NERVIOSO CENTRAL 5.1. Introducción En los últimos 20 años se han venido realizando estudios de modelos de crecimiento tumoral basados en la ecuación de reacción - difusión, con el objetivo de modelar el crecimiento de gliomas cerebrales [77, 78]. Estos trabajos como el propuesto por Tracqui y colaboradores, es uno de los primeros modelos en integrar la información proveniente de las imágenes médicas [11], tales como la geometría del cerebro y el tamaño del tumor. En su modelo, la proliferación de las células tumorales es supuesta isotrópica con una tasa constante en el cerebro, igualmente incluyó dos términos de reacción los cuales tienen en cuenta la proliferación y la muerte celular. Su metodología fue aplicada a imágenes de tomografía computarizada (TC) en 2D, ejecutando una simulación diferente para cada corte. Cruywagen y colaboradores [79] basados en esa idea propusieron usar dos poblaciones de células tumorales. Swanson y colaboradores en [19] incluyeron la movilidad diferencial de células tumorales en modelos de reacción - difusión, basados en la observación de Giese y colaboradores [80], quienes mostraron que las células emigran más rápidamente a lo largo de vainas de mielina. Este nuevo modelo, utilizando la segmentación de los tejidos anatómicos procedentes de las imágenes [19], formula una mayor movilidad de las células tumorales en materia blanca que en materia gris, lo cual se tuvo en cuenta en la variación espacial y en un tensor de la difusión suponiéndolo isotrópico, que toma dos valores diferentes: uno en materia gris y otro mucho más alto en materia blanca. Extendiendo esta idea de movilidad diferencial, Clatz y colaboradores [81] y más tarde Jbabdi y colaboradores [82] han incluido direcciones de la

110 95 fibra (anisotropía del tensor difusión) para introducir la dirección preferencial en el mecanismo de difusión de las células tumorales. Ambos estudios se basan en modelos anatómicos obtenidos a partir de las imágenes de resonancia magnética (IRM) y el tensor de difusión (TD) de las mismas tomando en cuenta la geometría y las direcciones de la fibra. Clatz y colaboradores [81] también han acoplado su modelo difusivo con un modelo mecánico elástico lineal del cerebro para así poder describir el efecto de masa del tumor. En el orden de explicar el efecto de masa del tumor Hogea y colaboradores [83] acoplaron su modelo difusivo con uno mecánico usando elasticidad no lineal. Los modelos de reacción-difusión proporcionan un marco general que permite la integración de la información que proviene de las imágenes médicas como también describe la evolución temporal de la distribución de la densidad celular del tumor. El objetivo de este capítulo es simular el crecimiento de tumores cerebrales de alto y bajo grado de malignidad, mediante el modelo de reacción - difusión utilizando imágenes tridimensionales de resonancia magnética. Una vez que la simulación ha progresado hasta un período de crecimiento determinado, los tumores simulados, serán sometidos al proceso de análisis de escalamiento desarrollado en el capítulo V, para así determinar el ancho de la interfaz del tumor - anfitrión, el exponente de rugosidad local y la dimensión fractal. Éste capítulo se plantea de la siguiente forma: En la primera sección y subsecciones presentaremos los materiales y la metodología utilizada. Resultados basados en el modelo de reacción - difusión, análisis y procesamiento de imágenes y la selección de la data de imágenes son discutidas. En la sección 2 presentamos la validación del método. Los resultados y discusiones son presentados en la sección Materiales y Métodos Modelo matemático El modelo matemático propuesto en este capítulo para el crecimiento de gliomas de alto y bajo grado, teniendo en cuenta su proliferación celular neta e infiltración o movilidad en materia gris y blanca, corresponde a la ecuación diferencial en derivadas parciales del tipo reacción -

111 96 difusión [11, 19], la cual puede ser descrita, en palabras como: la tasa de cambio de la densidad de la población celular del tumor = difusión (movilidad) de las células tumorales en materia gris y blanca + la proliferación neta de las células tumorales (ley de Verhulst o logístico). Matemáticamente se escribe de la siguiente manera: (5.1) (5.2) donde denota la concentración celular del glioma en posición en el cerebro a tiempo. es el tensor de difusión que describe la movilidad de las células tumorales, el cual corresponde a una matriz positiva simétrica 3 x 3 y se define para el caso isotrópico como: (5.3) donde es el operador gradiente y es el máximo valor que puede alcanzar la concentración, es la tasa de proliferación celular. La proliferación es modelada por la ley de Verhulst, es el dominio del cerebro y representa los contornos del cerebro. Como podemos ver, la ecuación 5.1 describe la evolución temporal de la distribución de densidad de las células tumorales, mientras que la ecuación 4.2 representa las condiciones de contorno a través del cual no hay flujo, ésta condición garantiza que el tumor se constringe sólo al cerebro. Para resolver la ecuación 5.1 y estimar la densidad celular c, se propone el método de diferencias finitas en 3D [84], que consiste en aproximar las derivadas temporales y espaciales por sus expresiones discretas, para ello se establecen las siguientes condiciones iniciales:. Donde es la concentración de las células tumorales a. Cada parte de ésta ecuación diferencial parcial es discretizada usando como un paso de tiempo y (,, ) como pasos espaciales. Obteniéndose la siguiente ecuación discreta:

112 97 (5.4) donde es un vector que representa la densidad celular en el tiempo y es una gran matriz de escasa representación de los operadores discretos. Este es el método de Euler. En éste trabajo se usa la combinación de los métodos de Backward Euler y Crank Nicolson en lugar del método de Euler, con el fin de aumentar la estabilidad numérica. Estos métodos juntos, combinan hacia adelante y hacia atrás esquemas numéricos [84] de la siguiente manera: (5.5) Haciendo y tiempo, y llevándolos a la ecuación 5.5 tenemos: (5.6) donde es la matriz identidad, que da el valor para. Para la solución de la ecuación 5.6 se utilizó el método iterativo del gradiente conjugado (GC) como se implementa en Matlab, para obtener la concentración como: (5.7) Las condiciones iniciales están representadas por una concentración de células gliales en un vóxel seleccionado manualmente. Una simulación típica toma alrededor de 30 minutos en un procesador de 3.0 GHz con una memoria virtual de 2 GB.

113 Escogencia de parámetros Los parámetros de proliferación celular para se fijaron a valores constantes para alto y bajo grado de malignidad, donde el valor de bajo grado es de un 10% menor que el valor de alto grado, dando resultados satisfactorios [85, 86, 87]. Para el tensor D, de la difusión celular, mantenemos una diferencia de cinco veces entre la difusión promedio en materias gris y blanca esto es: D blanca = 5D gris [85]. D blanca y D gris son conocidos exactamente porque muchos tumores implican ambas materias, gris y blanca. Sin embargo, nosotros estimamos D blanca y D gris usando la difusión media observada empíricamente para tumores típicos que contienen ambas materias, gris y blanca. La difusión media total se estima basada en dos hechos fundamentales. Primero Mandonnet y colaboradores [88] en un estudio con pacientes que sufrían de gliomas de bajo grado, reportaron que el diámetro de la parte detectable del tumor se expande alrededor de 4mm por año. Segundo, se puede demostrar que el diámetro detectable obedece a la siguiente ley asintótica [11]: (5.8) donde está referido a tiempos largos, es la difusión promedio de las células y, que se asume constante, corresponde a la tasa neta de proliferación celular. Teniendo en cuenta los criterios establecidos inicialmente para escoger los parámetros que coadyuvan a resolver numéricamente la ecuación 5.1, se presentan en la tabla 5.1 los valores propuestos.

114 99 Tabla 5.1: Parámetros propuestos para el modelo reacción-difusión. PARÁMETROS DEFINICIÓN VALOR REFERENCIAS Valor máximo que puede [82] alcanzar la concentración celular Tasa de proliferación celular [85] para tumores de bajo grado Tasa de proliferación celular [85] para tumores de alto grado Coeficiente de difusión en [19] materia gris Coeficiente de difusión en [19] materia blanca Concentración inicial de células [82] Tasa neta de proliferación celular En 1995, Tracqui y colaboradores [89], estudian la evolución de la concentración celular, basados en dos características del crecimiento tumoral, la proliferación y la difusión o invasión, en ese trabajo proponen que la dinámica de la proliferación celular obedece a una ley exponencial, lo que significa que el tumor puede crecer indefinidamente, hecho que ha sido muy discutido porque no se ajusta tan evidentemente a la realidad. Más adelante Murray [90] propone que la proliferación debe estar regida por un sistema no lineal diferente al propuesto por Traqui y colaboradores, por tanto el de Verhulst o logístico, el cual ha sido ampliamente estudiado y parece ser que los resultados son muy buenos, toma en cuenta el control de la población celular en cuanto a la disponibilidad de nutrientes y oxígeno. Ante esas circunstancias en este trabajo se utiliza éste último modelo, el cual regirá la tasa neta de proliferación celular en el crecimiento de tumores. La forma en que se aborda numéricamente esta situación la resumimos en el siguiente diagrama de flujo como se muestra en la figura 5.1

115 100 Figura 5.1: Diagrama de flujo para la tasa neta de proliferación celular o crecimiento tumoral Adquisición de las imágenes y crecimiento del tumor Los modelos desarrolados por Cruywagen et al. 1995; Tracqui et al. 1995; Woodward et al. 1996; Burgess et al. 1997, consideran el cerebro como homogéneo, acotado externamente sólo por el cráneo e internamente por los ventrículos. En éste trabajo se han utilizado las imágenes del atlas BrainWeb [20], con el cual no sólo se refinaron los límites externos de los complejos surcos (colinas y valles de la corteza del cerebro humano) a una resolución de vóxel de 1mm 3, sino que también se hizo que el glioma virtual crezca y emigre dentro de una verdadera representación tridimensional del cerebro humano, esto hace que cada corte de 1mm de