8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

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1 8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007 DETECCIÓN DE DEFECTOS MEDIANTE REDES NEURONALES ARTIFICIALES EN EVALUACIONES HECHAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. Luna Avilés A. 1, Hernández Gómez L. H. 1, Durodola J.F. 3, Urriolagoitia Calderón G. 1, Urriolagoitia Sosa G. 2, Villa y Rabasa G. 1 1 Instituto Politécnico Nacional. ESIME-SEPI. Unidad Profesional Adolfo López Mateos Edificio 5, 3º Piso, Colonia Lindavista. Gustavo A. Madero México D.F., México Teléfono (55) ext alex_la2000@yahoo.com.mx 2 Instituto Politécnico Nacional. Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Sección de Estudios de Posgrado e Investigación. Unidad Profesional Azcapotzalco. Av. de las Granjas 682, Col. Sta. Catarina C.P , México, D.F. México. 3 School of Technology, Oxford Brookes University, Headington Campus, Gipsy Lane, Oxford OX3 0BP U.K. RESUMEN Las redes neuronales artificiales (R.N.A.) se aplican para la detección de defectos. En el presente desarrollo se analizan unas placas con defectos postulados mediante un análisis acoplado entre las frecuencias naturales y las redes neuronales, con el siguiente procedimiento: Se simula el modelo físico con el programa ANSYS de elementos finitos, obteniéndose un seudo código y, posteriormente, con un macro, se estudian doscientos casos. En cada uno de ellos se evalúan las cinco primeras frecuencias naturales de la placa con un solo defecto postulado a la vez. La información sintética obtenida integra una base de datos y se divide en dos partes. La primera consta de ciento cincuenta casos, que se emplea como patrón de referencia para entrenar una red neuronal de varias capas con el algoritmo de retropropagación, cuyas principales características son: red robusta poco sensible al ruido, de fácil entrenamiento, se utiliza un arreglo con la siguiente estructura de neuronas por capa. La información de entrada son las cinco primeras frecuencias, los datos de salida son las coordenadas de los defectos. La segunda parte consta de cincuenta casos que se sirven para verificar la precisión de la red neuronal propuesta, con la que estima la localización de los defectos. Los resultados obtenidos se analizan estadísticamente, en general no muestran una dispersión grande. El procedimiento descrito con anterioridad es sencillo de implementar y permite una localización rápida de defectos. En forma general y en términos estadísticos, hay un buen grado de precisión en la localización de los defectos. PALABRAS CLAVE: Detección de defectos, Frecuencias naturales, Posición de defectos, Redes Neuronales Artificiales.

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3 INTRODUCCIÓN La mente humana es un conjunto complejo de emociones y pensamientos, a través de estos últimos ha creado y desarrollado tecnología y ciencia que ha permitido avances nunca antes imaginados. En un esfuerzo por comprender y simular los procesos biológicos del cerebro, los investigadores han desarrollado las redes neuronales artificiales (R.N.A.). Son utilizadas por primera vez en el año 1943, cuando McCulloch y Pitts [1] proponen el primer modelo simple. Muchas formas de R.N.A. y estructuras se han desarrollado desde entonces, sin embargo, las investigaciones sobre este tema fueron retrasadas debido a la aparición de un libro que lleva por nombre Perceptrones publicado por Minsky y Papert [2]. En este, se describe la imposibilidad de una R.N.A. para generalizar los resultados buscados y uno de los principales argumentos utilizados son las compuertas lógicas. Sin embargo, un matemático ruso de nombre Kolmogorov [3] probó que una R.N.A. de 3 capas era capaz de aprender y generalizar resultados, previendo que esta tenga las suficientes neuronas por capa, de esta manera los trabajos de investigación se reactivaron. En la práctica, hay dos formas básicas para implementar las R.N.A. en forma física y en simulación, siendo la más común de estas, la última, que se desarrolla a través de la programación o bien de programas especializados. Las R.N.A. han encontrado un amplio campo de aplicación en el área técnica y científica, así se puede citar casos como la detección de defectos en la fundición asistidos por redes R.N.A. [4], donde se caracterizan las interdependencias de factores, como el vapor de agua que puede producir porosidad en el material, entre otros. Otro caso es el análisis de las superficies sometidas a presión de flechas [5]. Aquí uno de los principales aspectos considerados es la película de aceite en la superficie, la red neuronal demostró que puede caracterizar este tipo de aplicación. En otro orden de ideas, un modelo de redes neuronales para la identificación estratigráfica subsuperficial no invasiva se muestra en [6]. Se aplicaron R.N.A. para modelar superficies bajo hielo, utilizando una onda electromagnética disparada desde un satélite artificial. La red ayudó a identificar los patrones y a medir las capas a través de la superficie. Otra aplicación importante es la identificación de daño en la estructura de un barco [7]. Considerando lo difícil y costoso que es analizar el casco de un barco en todos y cada uno de sus segmentos, se desarrolla una red neuronal que analiza la dispersión de una onda y modela los daños que dicho casco ha sufrido. En este contexto, también, se puede mencionar la clasificación inteligente de modelos de redes neuronales para la fundición de acero [8], aquí se utiliza tanto la R.N.A., como la lógica difusa, para interrelacionar las múltiples variables que intervienen en el proceso del formado en caliente. Se demuestra que existe interdependencia entre los resultados y la cantidad de neuronas en el proceso de cálculo. Estos son algunos casos que se pueden mencionar con respecto al uso de las R.N.A. en la detección de defectos, aunque su aplicación es muy amplia. Una de las más grandes preocupaciones de la ingeniería se centra en la evaluación de materiales no destructiva. A través del uso de la propagación de ondas elásticas se pretende determinar la forma, tamaño y localización de defectos dentro de los materiales. En la literatura abierta se reportan casos como la evaluación no destructiva en la detección de grietas horizontales en vigas utilizando impacto transversal [9]. En este estudio se explica con todo detalle como se elaboran las pruebas experimentales y su aplicación dirigida a entrenar la red neuronal. Se observa como los datos numéricos obtenidos poseen una fuerte interrelación con la parte física del desarrollo. Un desarrollo más reciente es el presentado por Hernández-Gómez et. al. [10], en donde se presentan la localización de defectos en barras con y sin muescas a través de la propagación de ondas elásticas. En este estudio el 80% de los datos se utilizaron para entrenar una red neuronal compuesta de funciones tangentes sigmoidales y lineales, los resultados muestran un 2.5% de precisión y demuestran la versatilidad de las R. N. A. para la detección de defectos. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En el desarrollo presente, se propone la localización de defectos en placas a través del cálculo de frecuencias naturales, las cuales se obtienen de dos modelos de simulación numérica utilizando ANSYS. A los modelos se les asignan las propiedades mecánicas del acero. En la figura 1 se aprecian las dimensiones de la barra y en la figura 2 se muestra el modelo de elementos finitos con el detalle del defecto. Estos últimos se postularon uno a la vez. La malla generada y las condiciones de frontera son: barras empotradas en un extremo y libres en el otro, sin excitación externa para el desarrollo de un análisis modal. Se obtienen los datos para analizar a través de un macro que permite un manejo rápido y eficiente; en el primer caso la placa solo presenta un defecto de 1mm X 1mm (figura 1 (A)) y en el segundo caso se utiliza el mismo modelo, introduciendo una muesca de 4mm por 3mm en la posición indicada en la figura 1(B). El origen del sistema de coordenadas se localiza en la esquina inferior izquierda de la barra. De esta forma, los defectos se ubican en una zona acotada entre 51 y 76 mm en el eje X y en el eje Y entre 1 y 8 mm (área sombreada). Además, las coordenadas de los defectos son normalizadas (entre 0 a 1), tanto para los datos de entrada, como los de salida, porque la red neuronal de retropropagación logarítmica sigmoidal trabaja adecuadamente en ese rango.

4 Figura 1. Esquema de las barras analizadas: (A) barra plana sencilla, (B) barra plana con muesca. Figura 2. Modelo de simulación numérica, con detalle del defecto postulado y condiciones de frontera. A través de las condiciones del problema planteado, se obtienen las cinco primeras frecuencias naturales de 200 casos por cada placa, mismos que se utilizan para entrenar la R.N.A. creada a través de una herramienta especializada dentro de MATLAB [11]. Los resultados obtenidos son revisados y comparados a través de una técnica estadística conocida como análisis de varianza o por sus siglas en ingles ANOVA (Analysis of Variance). El presente trabajo es una extensión del presentado por Hernández et. al. [10], en donde se hizo el mismo análisis en el dominio del tiempo. MARCO TEÓRICO Los principios utilizados para el desarrollo de las R.N.A. surgen de la biología, los atributos básicos pueden ser divididos en dos tipos: la arquitectura y la neurodinámica. La primera define la estructura de la red, esto es, el número de neuronas artificiales y su interconectividad. La segunda establece sus propiedades, esto es, cómo aprende, asocia, compara, clasifica, etc. Una neurona en forma general está constituida por un conjunto de entradas. A cada una de estas se le asigna un peso específico dentro del cálculo, además de un bias (ajuste o corrección) que le permite producir una señal de salida. La figura 3 muestra esquemáticamente lo anterior, cuya forma generalizada es: En el presente estudio se utiliza una R.N.A. de retropropagación, debido a que esta aprende a través de ejemplos y es ideal para el reconocimiento de patrones. Existen tres funciones básicas a través de las cuales puede aprender: Función de transferencia logarítmica sigmoidal: esta red multicapa genera salidas entre cero y uno. Función de transferencia tangente sigmoidal: esta red multicapa genera salidas entre menos uno y más uno. Función de transferencia lineal: esta red multicapa es utilizada cuando se necesita que los valores de salida adquieran cualquier valor. Ejemplos de estas funciones de transferencia son mostrados en las figuras 4, 5 y 6. (1)

5 Figura 3. Estructura esquemática de una neurona de retropropagación. Figura 4. Función de salida de una neurona de retropropagación logarítmica sigmoidal. Figura 5. Función de salida de una neurona de retropropagación tangente sigmoidal. Figura 6. Función de salida de una neurona de retropropagación lineal. Para ilustrar el proceso de retropropagación, se asume que el nodo i de la (l+1) ésima capa recibe señales de el nodo j en la capa l ésima a través de los pesos. Los N l nodos en la l ésima capa, la señal de salida del nodo i del (l+1) ésimo nodo y el k ésimo patrón de entrada a la red neuronal se expresa por: (2) (3) Donde el término se ha incluido en la sumatoria de la Ec. 3. Si la función sigmoidal es derivada se tiene: El error total E para la red neuronal y para todos los patrones k se define como la suma del cuadrado de las diferencias entre la salida de la red neuronal actual y el objetivo deseado. (4) (5)

6 La meta es evaluar el conjunto de pesos en todas las capas de la red neuronal que minimicen E. La regla de aprendizaje es específica cuando se calcula la variación proporcional de los pesos con respecto a la derivada negativa del error. (6) Se calcula la dependencia del error E k en el nm ésimo peso de una neurona en la l ésima capa. (7) (8) Se introduce la función sigmoidal y su derivada en la relación anterior y para (9) Así el proceso para ajustar los pesos es: Sin embargo si, entonces aun depende de, y el error depende de los pesos, aplicando la regla de la cadena: (10) (11) Si se continúa desarrollando la serie para los términos de l se obtiene el procedimiento para ajustar los pesos de la capa oculta final (12) Lo anterior se puede resumir en: (13) (14) (15) La Ec.(14) representa los pesos en las capas de salida y la (15) los pesos en las capas ocultas dentro de la red neuronal. CASOS DE ANÁLISIS Con base a lo descrito con anterioridad, se calcularon las cinco primeras frecuencias naturales a través de ANSYS. Las propiedades mecánicas del material considerado son: módulo de elasticidad 200 Gpa, módulo de elasticidad cortante 76 GPa, relación de Poisson 0.3 y densidad 7800 kg/m 3. El proceso de análisis es el siguiente: Con un macro se calculan con ANSYS las frecuencias naturales, utilizando las siguientes consideraciones para las dos placas:

7 1. Se define la posición del defecto que se encuentra ubicado entre los 51 y 76 mm en el eje X y en el eje Y entre los 1 a 8 mm (área sombreada de las figuras 1 a y b). 2. Se calculan las frecuencias naturales y sus modos de de vibración para cada placa. Los datos que se obtienen son empleados para entrenar a la R.N.A. tomando en consideración lo siguiente: se postulan y resuelven 200 casos individuales, para cada placa. De estos, 150 se utilizan para entrenar dicha red con el algoritmo de retropropagación y 50 son empleados para verificar la precisión del modelo. De esta manera, los datos de entrada son las cinco primeras frecuencias naturales y los de salida son las coordenadas del defecto en el eje X y Y. Para el análisis neuronal con MATLAB se seleccionó la función de transferencia logarítmica sigmoidal para cada neurona, después de algunas pruebas. La estructura de la R.N.A. es de tres capas ( neuronas). Con esta se estiman las coordenadas del defecto (datos de salida). ANÁLISIS DE RESULTADOS Los parámetros que se utilizaron en la R.N.A. para obtener los resultados son: función de entrenamiento Levenberg Marquardt (TRAINLM), función de adaptación de aprendizaje LEARNGDM, función de mejora MSE, épocas, objetivo de error 0, valores equivocados permitidos 1. Los cálculos se desarrollaron en una computadora con las siguientes características: procesador Intel Celeron M, 1.5 GB de memoria RAM y 60 GB de disco duro. Los datos que se obtienen con la R.N.A. son regresados a sus valores originales ya que están normalizados para el análisis neuronal. Para verificar la precisión y veracidad de estos últimos, se realiza el análisis de varianza (ANOVA) que permite: comparar dos o más medias aritméticas en forma indirecta, mediante la comparación directa de sus respectivas varianzas. Es una técnica a través de la cual, la variación total presente en un conjunto de datos, sin considerar a que tratamiento le corresponde, se divide en varias componentes. Asociado a cada una de ellas, hay una fuente específica de variación, de modo que, en el análisis es posible averiguar la magnitud de las contribuciones de cada una de estas fuentes de la variación total. La estructura de la técnica del análisis de varianza tiene que ver con el diseño de los experimentos que se están realizando en una investigación, en este caso se aplica para las pruebas de hipótesis que tienen que ver con la confiabilidad de la detección de los defectos utilizando las R.N.A. Para este caso se considera que los resultados son precisos con un nivel de confiabilidad o significancia del 5% (valores de P) porque la entidad estadística de prueba de Fisher Snedecor (valor de F) está calculada a partir de esta consideración. Bajo este esquema la hipótesis nula será: los defectos son localizados con un nivel de confiabilidad adecuado (P < 0.05) y la alternativa: la localización de los defectos utilizando R.N.A. no es confiable (P 0.05), ambos se desarrollan utilizando un análisis unidireccional (por que no existen valores negativos) y empleando la prueba de Tukey (debido a que las medias son diferentes), se obtienen los resultados que se muestran a continuación. Tabla 1. ANOVA unidireccional placa sin muesca: Coordenada simulada en el eje X contra la real. Origen GL SC CM F P Coordenada real en X Error Total Figura 7. Histograma de residuos: placa sin muesca coordenada X Figura 8. Errores absolutos: placa sin muesca coordenada X

8 Los grados de libertad (GL) de la tabla 1 están determinados a través del número de veces que se repiten los tratamientos menos uno (a-1) en este caso son 23 valores diferentes, el error está determinado por el número de muestras menos los tratamientos (N-a), por último el total es el número de muestras menos uno (N-1) y este valor coincide con la suma de los dos anteriores. Estos datos se utilizan como referencia para la entidad estadística de prueba (F) y se obtiene el valor crítico con una combinación de 22 grados de libertad en el numerador y 27 en el denominador (F 22, 27 ). Así el valor de P se interpreta como la probabilidad de encontrar un valor F a la derecha de 9.99 con los grados de libertad mencionados con anterioridad, dado que la hipótesis nula se cumpla. Así se concluye que la hipótesis nula se acepta y la probabilidad de cometer un error es pequeña. Las tablas 2, 3 y 4 se calculan utilizando el procedimiento descrito con anterioridad. Tabla 2.ANOVA unidireccional placa sin muesca: Coordenada simulada en el eje Y contra la real. Origen GL SC CS F P Coordenada real en Y Error Total En este caso, el valor de P se interpreta como la probabilidad de encontrar un valor F a la derecha de con 7 GL en el numerador, y 42 en el denominador dado que la hipótesis nula se cumple. Así que la probabilidad de cometer un error es baja. Figura 9. Histograma de residuos: placa sin muesca coordenada Y Figura 10. Errores absolutos: placa sin muesca coordenada Y Como se observa en las gráficas anteriores, los histogramas de residuos detectan diversos valores que son máximos, atípicos y con anormalidades. Hay que tomar en cuenta que la longitud de la barra es de 200 mm y los defectos se ubican con una precisión de ±3 mm en la dirección X. Por otra parte, en el eje Y, la barra tiene una altura de 10 mm. La localización del defecto está entre ±0.3 mm. Con base a lo anterior, es evidente que la dispersión en X es mayor que en Y (figura 8 y 10). El diagrama es aproximadamente simétrico con forma de campana y el valor de P proporciona suficiente evidencia para ratificar la veracidad de los datos simulados. A manera de ejemplo se toman diez valores al azar y se calculan los errores absolutos en los que incurrió la R.N.A. P ara la coordenada X = % y en Y = %. A continuación se realiza el mismo desarrollo para la placa con muesca. Tabla 3.ANOVA unidireccional placa con muesca: Coordenada simulada en el eje X contra la real. Origen GL SC CM F P Coordenada real en X Error Total Considerando lo desarrollado, el valor de P se interpreta como la probabilidad de encontrar un valor F a la derecha de 2.09 con 22 GL en el numerador, y 27 en el denominador dado que la hipótesis nula se cumple. Así que la probabilidad de cometer un error es de 3.5%.

9 Figura 11. Histograma de residuos: placa con muesca coordenada X Figura 12. Errores absolutos: placa con muesca coordenada X Tabla 4.ANOVA unidireccional placa con muesca: Coordenada simulada en el eje Y contra la real. Origen GL SC CM F P Coordenada real en X Error Total De esta manera, el valor de P se interpreta como la probabilidad de encontrar un valor F a la derecha de con 7 GL en el numerador, y 42 en el denominador dado que la hipótesis nula se cumpla. Así que la probabilidad de cometer un error es mínimo. Figura 13. Histograma de residuos: placa con muesca coordenada Y Figura 14. Errores absolutos: placa con muesca coordenada Y En los histogramas de residuos (figura 11 y 13) se muestra la asimetría de las campanas, se aprecia con mayor claridad en la coordenada Y ; esto indica una diferencia marcada entre los valores reales y los simulados, aun cuando los valores P de y 0.00, para X y Y respectivamente, también dan evidencia de la veracidad de los resultados al calcular los errores relativos se obtiene lo siguiente % y % respectivamente, lo que indica una perturbación en la simulación de la R.N.A. debida a la introducción de la muesca. A manera de ejemplo se grafican diez valores aleatorios donde se ilustra el error absoluto. CONCLUSIONES En este trabajo se muestra la versatilidad de las R.N.A. y el potencial que tienen para complementar la evaluación con técnicas no destructiva, posicionando defectos en los materiales mediante el reconocimiento de patrones definidos por las frecuencias naturales. Además, se demuestra a estadísticamente, la precisión que la R.N.A. alcanzó. Cabe mencionar que la arquitectura propuesta demostró tener un excedente de neuronas debido a que en análisis posteriores, con diferentes arreglos, por ejemplo , ó , se obtuvieron resultados semejantes. Las arquitecturas pueden ser muy variadas, así como los tipos de neuronas utilizadas. Por lo tanto, cada combinación se adecua para fines específicos. Su selección depende de la experiencia acumulada por el analista.

10 A partir de los análisis de varianza se determina, que para la placa sin muesca, los resultados son satisfactorios. Sin embargo, para la placa con muesca, aún cuando estadísticamente, los resultados son admisibles, se aprecian un tanto dispersos. Es claro que la geometría juega un papel protagónico. De ahí que siempre será importante tomar en cuenta a este factor en los análisis a realizar. Si se toma esto en consideración, queda como pregunta para un trabajo futuro, la definición de la formulación matemática qué permita encontrar la arquitectura óptima de la R.N.A. para alcanzar niveles de certidumbre y precisión adecuados para cada aplicación, así como los procedimientos que permitan una diferenciación entre valores para minimizar los efectos del error de medición y numéricos. La R.N.A. que se utilice con ese propósito, deberá ser capaz de mantener su condición, degradarse lentamente y permanecer poco sensible al ruido a medida que se utiliza. REFERENCIAS 1. W. McCulloch y W. Pitts, A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity, Bulletin of mathematical biophysics, Vol. 5, pp , M. L. Minsky y S. A. Papert, Perceptrons, MIT Press, A. N. Kolmogorov, On the representation of continuous functions of many variables by superposition of continuous functions of one variable and addition, Doklady Akademii, Vol. 144, pp , M. Perzyk y A. Kochanski, Detection of causes of casting defects assisted by artificial neural networks, Instn Mech. Engrs vol. 217 part B: J. Engineering Manufacture, pp , A. O. Kurban, Analysis of shafts surface pressures using neural networks, Industrial lubrication and tribology, vol. 56, no. 4, 2004, pp , J. M. Sullivan, R. Ludwig y L. Qiang, A neural network model for non invasive subsurface stratigraphic identification, Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation American Institute of Physics, pp , A. Zubaydi, M. R. Haddara y A. S. J. Swamidas, Damage identification in a ship s structure using neural networks, Ocean Engineering 29, pp , R. Teti y D. D Addona, Intelligent classification of neural networkmodels for mild steel behavior in hot forming, Instn Mech. Engrs vol. 218 part B: J. Engineering Manufacture, pp , S. I. Ishak, G. R. Liu, H. M. Shang y S. P. Lim, Non destructive evaluation of horizontal crack detection in beams using transverse impact, Journal of Sound and Vibration, pp , L. H. Hernández Gómez y J. F. Durodola, Locating Defects Using Dynamic Strain Analysis and Artificial Neural Networks, Applied Mechanics and Materials Vols. 3-4, pp , H. Demuth y M. Beale, Neural Network Toolbox for Use with MATLAB, the Math Works, UNIDADES Y NOMENCLATURA p k w k b f a x k g k α k L N l W l,j,i O l,j (x p ) T l,j (x p ) α l,j (x p ) P η GL SC CM F P datos de entrada (adimensional) peso especifico (adimensional) bias (adimensional) función de transferencia (adimensional) datos de salida (adimensional) vector con los pesos y bias actuales (adimensional) gradiente actual (adimensional) rango de aprendizaje o entrenamiento (adimensional) capas (adimensional) nodos en la capa l (adimensional) peso entre el nodo i y la capa l 1 y nodo j de la capa l (adimensional) salida actual (adimensional) salida esperada u objetivo (adimensional) salida de activación (adimensional) patrones de entrenamiento (adimensional) factor de proporcionalidad conocido como rango de entrenamiento (adimensional) grados de libertad (adimensional) suma de cuadrados (adimensional) cuadrado medio (adimensional) razón de variación (adimensional) probabilidad de cometer el error (adimensional)