CIRCUITOS COMBINACIONALES

Transcripción

1 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Bilbao Universidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitatea ELECTRONICA INDUSTRIAL CIRCUITOS COMBINACIONALES SANCHEZ MORONTA, M - UGALDE OLEA, U.

2 Circuitos combinacionales m.s.i 1.1. Introducción 1.2. Clasificación de los C.I. digitales 1.3. Clasificación de los C.I. combinacionales 1.4. Codificadores 1.5. Codificadores sin prioridad 1.6. Codificadores con prioridad 1.7. Decodificadores 1.8. Multiplexores 1.9. Demultiplexores Circuito semisumador Circuito sumador total Circuitos restadores Comparadores binarios Actividad no presencial 2

3 Introducción Se denominan circuitos digitales combinacionales a un conjunto de circuitos en los cuales se cumple la condición de que sus salidas son exclusivamente función de sus entradas, sin que intervenga para nada el último valor en el que se encontrarán dichas salidas. 3

4 Clasificación de los circuitos integrados digitales En función de su densidad de integración se clasifican en: - Circuitos S.S.I (Circuitos de baja escala de integración). Son aquellos que contienen un máximo de 10 puertas lógicas o 100 transistores. - Circuitos M.S.I (Circuitos de media escala de integración). Contienen entre10y100puertaslógicasode100a1.000transistores. - Circuitos L.S.I (Circuitos de alta escala de integración). Contienen entre 100 y puertas lógicas yo de a transistores. - Circuitos V.L.S.I (Circuitos de muy alta escala de integración). Contienen más de puertas lógicas o más de transistores. 4

5 Clasificación de los circuitos integrados combinacionales CIRCUITOS DE COMUNICACIÓN : Sirven tanto para transmitir información por una línea como para codificar, decodificar o modificar la estructura de dicha información. - Codificadores: con prioridad y sin prioridad - Decodificadores: no excitadores y excitadores ( ánodo común, catodo común) - Convertidores de código - Multiplexores y Demultiplexores CIRCUITOS ARITMETICOS : Realizan operaciones aritméticas con los datos binarios que procesan. Entre ellos tenemos: Comparadores, sumadores, restadores. 5

6 Codificadores Son circuitos combinacionales que poseen n salidas y 2 n entradas y cuya estructura es tal que al activarse una de las entradas (adoptando un estado lógico determinado 0 ó 1) en la salida aparece la combinación binaria(o su complementaria) correspondiente al número decimal asignado a la entrada. La función habitual de un codificador es la de convertir cualquier información digitalizada que entra al sistema digital en su equivalente en binario natural o en cualquiera de los códigos binarios existentes. 6

7 Codificadores sin prioridad Son circuitos en los que no pueden activarse simultaneamente más de una entrada porque, si se activan, aparecen códigos binarios erróneos en las salidas. 7

8 Codificadores con prioridad Son codificadores que en el caso de producirse la activación simultanea de varias entradas del codificador, en la salida aparecerá el código de la entrada de mayor prioridad (normalmente entrada de peso más significativo). La tabla siguiente muestra el funcionamiento de un codificador con prioridaddedecimalabinariobcdyactivoanivelbajo. 8

9 Codificadores con prioridad CodificadorconprioridaddedecimalabinarioBCDyactivoanivelbajo 9

10 Decodificadores Son circuitos combinacionales provistos de n entradas y un nº de salidas menor o igual a 2 n. Funcionan de manera que al aparecer una combinación binaria en sus entradas, se activa una sola de sus salidas. Normalmente, la salida activada presenta un 0 (en TTL), mientras que las demás permanecen a 1. No todos los decodificadores tienen la misma asignación de estados lógicos; algunos toman un nivel alto 1 como nivel activo. Los decodificadores se emplean en los sistemas digitales para convertir las informaciones binarias, con los cuales trabajan, en otros tipos de información digitalizadas, pero no binarias, empleadas por otros dispositivos, por ejemplo, los visualizadores alfanuméricos. 10

11 Decodificadores La fig. siguiente muestra el funcionamiento de un decodificador de dos a cuatro líneas con entrada de inhibición que activa la salida en nivel bajo. 11

12 Decodificadores Decodificadores no excitadores: Son aquellos cuyas salidas solo pueden acoplarse a otros circuitos digitales de la misma familia integrada, pues dan una corriente muy pequeña en dichas salidas. Decodificadores excitadores: Son aquellos que dan suficiente corriente como para atacar a otros circuitos integrados de la misma familia; a dispositivos tales como displays, relés, transductores, etc. Los decodificadores más comunes son los que excitan a visualizadores de siete segmentos. Estos visualizadores pueden ser de ánodo común o cátodo común. 12

13 Multiplexores Son circuitos combinacionales que poseen las siguientes entradas y salidas: - N entradas de información o canales -nentradasdeselecciónocontrol - Una salida de información - Una entrada de autorización Los canales de entrada están relacionados con las entradas de selección por la siguiente expresión Númerodecanales=2 Númerodeentradasdeselección N=2n 13

14 Multiplexores El funcionamiento del multiplexor es el siguiente: Cuando una combinación binaria aparece en las entradas de selección, la información de entrada presente en el canal por ella definido aparece a la salida. Por tanto, se puede considerar a un multiplexor como un conmutador de múltiples entradas y cuya única salida se controla electrónicamente mediante las entradas de selección. 14

15 Demultiplexores Son sistemas combinacionales con una entrada de datos, m salidas deinformación,y n entradasdeselección,detalmaneraquem=2n 15

16 Circuito semisumador Elsemisumadoresuncircuitodigitalqueefectúalasumabinariadelos dos dígitos de entrada, proporcionando en su salida el resultado de la suma y el posible acarreo(carry) producido. TABLA DE VERDAD DE UN SEMISUMADOR 16

17 Circuito sumador total El circuito sumador es un circuito aritmético que efectúa la suma binaria de los dos dígitos de entrada con el acarreo de entrada procedente de la etapa anterior. Posee las mismas salidas S y C que el semisumador, pero tiene una entrada más. TABLADEVERDAD DEUNSUMADORTOTAL 17

18 Circuitos restadores La estructura de estos circuitos es muy similar a la de los sumadores, con las únicas diferencias de realizar la resta binaria entre los dígitos de entrada. El acarreo tanto de salida como de entrada, recibe el nombre de préstamo. TABLADEVERDAD DEUNRESTADOR Resta de a -b 18

19 Comparadores binarios Los circuitos comparadores binarios son circuitos combinacionales que indican la relación de igualdad o desigualdad existente entre dos números binarios A y B de n bits cada uno. Además suelen disponer de una serie de entradas de acoplamiento en cascada para poder comparar palabras con mayor número de bits que los permitidos por el comparador que utilizamos. 19

20 CIRCUITOS SECUENCIALES Sistemas secuenciales: - Su salida depende de las entradas presentes en el sistema, y de la secuencia de entradas anteriores - Necesitan memoria para almacenar la historia del sistema - Elementos básicos: puertas lógicas y biestables Biestables: - Poseen dos estados estables ( 0 y 1 ) en los que se puede mantener indefinidamente - Son adecuados para almacenar un bit (memoria) 20

21 CIRCUITOS SECUENCIALES (Biestables) Biestable R-S (latch) 21

25 ACTVIDAD NO PRESENCIAL 1) Consulta la bibliografía propuesta e internet sobre lo comentado en esta unidad temática al objeto de ampliar la información suministrada. 25

26 HOJAS DE DATOS 26

31 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) CIRCUITOS COMBINACIONALES M.S.I Se denominan circuitos digitales combinacionales a un conjunto de circuitos en los cuales se cumple la condición de que sus salidas son exclusivamente función de sus entradas, sin que intervenga para nada el último valor en el que se encontrarán dichas salidas CLASIFICACION DE LOS C.I. DIGITALES En función de su densidad de integración se clasifican en: - Circuitos S.S.I (Circuitos de baja escala de integración). Son aquellos que contienen un máximo de 10 puertas lógicas o 100 transistores. - Circuitos M.S.I (Circuitos de media escala de integración). Contienen entre 10 y 100 puertas lógicas o de 100 a transistores. - Circuitos L.S.I (Circuitos de alta escala de integración). Contienen entre 100 y puertas lógicas yo de a transistores. - Circuitos V.L.S.I (Circuitos de muy alta escala de integración). Contienen más de puertas lógicas o más de transistores CLASIFICACION DE LOS CIRCUITOS COMBINACIONALES M.S.I. Estos se clasifican según la función que desempeñan en los siguientes grupos: * CIRCUITOS DE COMUNICACIÓN : Sirven tanto para transmitir información por una línea como para codificar, decodificar o modificar la estructura de dicha información. Entre ellos tenemos: - Codificadores ( Codificador con prioridad, codificador sin prioridad) - Decodificadores (Decodificadores no excitadores, Decodificadores excitadores: ánodo común, catodo común) - Convertidores de código - Multiplexores y Demultiplexores * CIRCUITOS ARITMETICOS : Son circuitos que realizan una serie de operaciones aritméticas con los datos binarios que procesan. Entre ellos tenemos: Comparadores, sumadores, restadores. 1

32 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 1.3. CODIFICADORES Son circuitos combinacionales que poseen n salidas y 2 n entradas y cuya estructura es tal que al activarse una de las entradas (adoptando un estado lógico determinado 0 ó 1) en la salida aparece la combinación binaria (o su complementaria) correspondiente al número decimal asignado a la entrada. La función habitual de un codificador es la de convertir cualquier información digitalizada que entra al sistema digital en su equivalente en binario natural o en cualquiera de los códigos binarios existentes CODIFICADORES SIN PRIORIDAD Son circuitos en los que no pueden activarse simultaneamente más de una entrada porque, si se activan, aparecen códigos binarios erroneos en las salidas. La tabla de la fig. siguiente muestra un codificador sin prioridad y con entrada de inhibición. Entradas Salidas I E 0 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 A 2 A 1 A 0 1 X X X X X X X X

33 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) CODIFICADORES CON PRIORIDAD Son codificadores que en el caso de producirse la activación simultanea de varias entradas del codificador, en la salida aparecerá el código de la entrada de mayor prioridad (normalmente entrada de peso más significativo). La tabla siguiente muestra el funcionamiento de un codificador con prioridad de decimal a binario BCD y activo a nivel bajo. Entradas Salidas A 3 A 2 A 1 A 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Al ser activo a nivel bajo, las salidas están invertidas, es decir los 1 son cero y los 0 son unos, tal y como podemos observar en la tabla de la fig. 3

34 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) Ejercicio Realizar un codificador de cuatro a dos líneas en binario natural, con prioridad a la entrada de menor peso. Solución: Los codificadores de prioridad responden, en el caso de que se active más de una entrada, como si solo se hubiera activado la de mayor prioridad de ellas, en nuestro caso será la de peso menos significativo. Entradas Salidas a 3 a 2 a 1 a 0 S 1 S 0 x x x x x x Término indiferente x En esta tabla podemos observar que si se activa la entrada a 0, y siendo indiferente que se activen o no otras entradas, en la salida aparece el equivalente en binario natural del cero; esto es, S 1 = 0 y S 0 = 0. Igualmente, para que en la salida aparezca el valor binario 10, es necesario que se active la entrada a 2 y que no se activen las entradas a 1 ni a 0, ya que si esto sucediera, cualquiera de ellas tendría prioridad sobre a 2, sin embargo es indiferente que se active o no a 3. S 1 = a 2 a 1 a 0 + a 3 a 2 a 1 a 0 = a 1 a 0 (a 2 +a 3 a 2 ) = a 1 a 0 (a 2 +a 3 ) S 0 = a 1 a 0 +a 3 a 2 a 1 a 0 = a 0 (a 1 +a 3 a 2 a 1 ) = a 0 (a 1 +a 3 a 2 ) a 0 a 1 a 2 a 3 S 0 S 1 4

35 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 1.4. DECODIFICADRES Son circuitos combinacionales provistos de n entradas y un nº de salidas menor o igual a 2 n. Funcionan de manera que al aparecer una combinación binaria en sus entradas, se activa una sola de sus salidas. Normalmente, la salida activada presenta un 0 (en TTL), mientras que las demás permanecen a 1. No todos los decodificadores tienen la misma asignación de estados lógicos; algunos toman un nivel alto 1 como nivel activo. Los decodificadores se emplean en los sistemas digitales para convertir las informaciones binarias, con los cuales trabajan, en otros tipos de información digitalizadas, pero no binarias, empleadas por otros dispositivos, por ejemplo, los visualizadores alfanuméricos. La tabla de la fig. siguiente muestra el funcionamiento de un decodificador de dos a cuatro líneas con entrada de inhibición que activa la salida en nivel bajo. Entradas Salidas I A 1 A 0 S 0 S 1 S 2 S 3 1 X X Decodificadores no excitadores: Son aquellos cuyas salidas solo pueden acoplarse a otros circuitos digitales de la misma familia integrada, pues dan una corriente muy pequeña en dichas salidas. Decodificadores excitadores: Son aquellos que dan suficiente corriente como para atacar a otros circuitos integrados de la misma familia; a dispositivos tales como displays, relés, transductores, etc. Los decodificadores más comunes son los que excitan a visualizadores de siete segmentos. Estos visualizadores pueden ser de ánodo común o cátodo común. 5

36 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) Ejercicio Diseñar un decodificador de modo que: b a Acción 0 0 Parada 0 1 Marcha 1 0 Marcha y Avance 1 1 Marcha, avance y lubricación b a P M A L Cada salida del decodificador iría conectada al relé adecuado para cada acción. P = a b M = ab A = a b L = ab b a P M A L 6

37 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) IMPLEMENTACION DE FUNCIONES CON DECODIFICADORES Una de las aplicaciones de los decodificadores es la posibilidad de implementar la ecuación booleana de funcionamiento correspondiente a una función lógica. Ejercicio Implementar la función lógica correspondiente a la siguiente tabla de verdad, mediante un decodificador. Decimal c b a F La función lógica que representa esta tabla es: F = c b a +c ba+cb a +cba Para implementar dicha función utilizando un decodificador, seguiremos el siguiente proceso. 1) Emplearemos un decodificador del mismo o mayor número de líneas de entrada que variables tenga la función. (En nuestro caso emplearemos un decodificador de cuatro a diez lineas con las salidas activas a nivel bajo, conectando a masa la entrada de mayor peso). 2) Buscaremos cada una de las salidas del decodificador que se correspondan con combinaciones de las variables de entrada que hacen 1 la salida de la tabla de verdad de la función. En nuestro ejemplo S 1 = 001 S 3 = 011 S 4 = 100 S 7 = 111 7

38 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 3) Para conseguir la suma de términos de la función conectaremos todas las salidas del decodificador anteriormente seleccionadas a una puerta lógica cuyo tipo dependerá del decodificador empleado. Esta puerta será: Puerta OR para decodificadores con salidas activas en nivel alto, ya que la función deberá ser activa siempre que se haga 1 uno o varios de los términos que constituyen la función. Puerta NAND para decodificadores con salidas activas en nivel bajo, ya que al encontrarse negado cada término activo de la función por el decodificador, la salida se deberá activar sólo cuando uno o varios términos valgan 0. En nuestro ejemplo, por partir de un decodificador activo en el nivel bajo, emplearemos una puerta NAND. El circuito final de la implementación es el de la fig. siguiente a A 3 b B 4 F c C 5 D Como podemos apreciar, si a la entrada aparece un valor que activa la función, por ejemplo el 3 en decimal (011), en la salida 3 del decodificador se obtendrá un 0 (por ser un decodificador con salidas activas a nivel bajo). Sin embargo, cuando se introduce un 0 a la entrada de una puerta NAND, aparecerá a su salida un 1, activando la salida del circuito. Si, por el contrario, en la entrada aparece una combinación de las que hacen 0 la función, por ejemplo el 5 (101), en la salida 5 del decodificador aparecerá un 1, pero todas las entradas de la puerta NAND estarán a 1, por lo que en la salida del circuito habrá un 0. 8

39 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 4) En el caso de que una o varias de las combinaciones de la tabla de verdad que hacen 1 la salida de la función no tuviera correspondencia con las salidas del decodificador, se añadirían puertas que representarán las combinaciones correspondientes. Las salidas de estas puertas serian llevadas, junto a la del circuito implementado, a una puerta sumadora final. Otra forma de implementar un circuito con decodificadores es empleando el mismo decodificador y una puerta AND; la diferencia, en este caso, es que se deben tomar las salidas del decodificador que hacen 0 la función. Para el ejemplo anteriormente descrito el circuito sería el siguiente: a A 3 b B 4 F c C 5 D

40 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 1.5. MULTIPLEXORES Son circuitos combinacionales que poseen las siguientes entradas y salidas: * N entradas de información o canales * n entradas de selección o control * Una salida de información * Una entrada de autorización Los C.I. más utilizados son: 1 entrada de selección MUX de 2 canales 2 MUX 4 3 MUX 8 4 MUX 16 Los canales de entrada están relacionados con las entradas de selección por la siguiente expresión Número de entradas de selección Número de canales = 2 N = 2 n En los esquemas se suele denominar a las entradas y salidas con los siguientes símbolos: * D 0 ó I 0 a D n ó I n a las entradas de información * S 0 a S n a las entradas de direccionamiento o control * E a la entrada de autorización o Strobe * W o Z a la salida del circuito El funcionamiento del multiplexor es el siguiente: Cuando una combinación binaria aparece en las entradas de selección, la información de entrada presente en el canal por ella definido aparece a la salida. Por tanto, se puede considerar a un multiplexor como un conmutador de múltiples entradas y cuya única salida se controla electrónicamente mediante las entradas de selección. Z. Salida.. Z... N. Z. n de selección o control. N de información o canales n 10

41 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) REALIZACION DE FUNCIONES LOGICAS CON MULTIPLEXORES a) Empleo de multiplexores de igual número de entradas de selección que de variables a implementar. Supongamos que queremos implementar la siguiente función: F = a b c d + a b cd + a bcd + a bcd + a bc d + a bc d + abcd + abc d + ab c d La función tiene cuatro variables de entrada a, b, c y d, que combinadas, dan lugar a 16 posibilidades. Si empleamos un multiplexor de cuatro entradas de selección, este dispondrá de 16 canales de entrada, es decir uno para cada posible combinación de las variables de la función. Como la función está expresada en forma de minterms (es decir, como suma de productos), significa que cada término que la compone corresponde a aquellas combinaciones de las variables de entrada que hacen 1 dicha función, es decir: 0001 a b c d 1 D0 D a b cd 3 D a bcd 6 D3 D a bcd 7 D5 D a bc d 5 F S 0100 a bc d abc d ab c d abcd 14 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15 A B C D E 0 1 a b c d Entradas de selección Si aplicamos las variables de la función a las entradas de selección y conectamos a 1 los canales de entrada que se corresponden con las combinaciones que intervienen en la función, poniendo a 0 el resto de los canales, tendremos la función implementada. La fig. anterior muestra dicho circuito. 11

42 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) b) Empleo de multiplexores con un número de entradas de selección inferior en una unidad al de variables de la función a implementar. Es posible implementar funciones lógicas de n variables con multiplexores de n-1 entradas de selección, lo que producirá el consiguiente ahorro económico. Representación de la función a implementar bcd a D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 Si queremos implementar la función anterior utilizando un multiplexor de tres entradas de selección, comenzaremos por realizar una tabla como la anterior, en la cual se representan con un 1 las combinaciones de las variables de entrada que intervienen en la función. En dicha tabla se agrupan por columnas todas las posibles combinaciones de tres de las variables de entrada, dejando en las filas las posibilidades de la variable que falta. * De la tabla anterior se deduce que la función se hace activa en los siguientes casos: Independientemente del valor de la variable a, si se produce alguna de las siguientes combinaciones de las variables b, c y d b c d bc d bcd Si valiendo 0 la variable a se produce alguna de las siguientes combinaciones de las variables b, c y d b cd bc d bcd 12

43 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) bcd a D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 * También se deduce que la función no se activa en los siguientes casos: Independientemente del valor de a cuando las variables b, c y d valen b c d b cd Si valiendo 1 la variable a se produce alguna de las siguientes combinaciones de b, c y d b cd bc d bcd Por tanto, la implementación del circuito se consigue aplicando las variables b, c y d a las tres entradas de selección del multiplexor y conectando las entradas de los canales de la forma siguiente: Canales 0 y 2 a 0 Canales 1, 4 y 6 a 1 Canales 3, 5 y 7 a través de un inversor a la variable a, ya que su valor es siempre el contrario del de dicha variable. La fig. siguiente muestra el conexionado descrito. 1 0 a d c b D0 D1 Z D2 D3 D4 D5 Z D6 D7 A B C F E

44 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 1.6. DEMULTIPLEXORES Son sistemas combinacionales con una entrada de datos, m salidas de información, y n entradas de selección, de tal manera que m = 2 n Ejemplo Utilización del decodificador decimal como multiplexor de n = 3 (m = 8 ) n D A 0 A 1 A 2 A 3 Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 Q 9 Q 8 y Q 9 no se utilizan, pues m = 8 Podemos comprobar como el valor de D saldrá por el terminal indicado con A 0, A 1, A 2 14

45 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 1.7. CIRCUITO SEMISUMADOR El semisumador es un circuito digital que efectúa la suma binaria de los dos dígitos de entrada, proporcionando en su salida el resultado de la suma y el posible acarreo (carry) producido. a b s c S = Resultado de la suma binaria de los dos dígitos C = acarreo de salida a y b = dígitos a sumar Tabla de verdad de un circuito semisumador Entradas Salidas a b s c Las ecuaciones de salida del circuito son: S = a b + ab = a / b C = a.b El circuito que cumple estas ecuaciones es el de la fig. siguiente. a b s c Circuito semisumador 15

46 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 1.8. CIRCUITO SUMADOR TOTAL El circuito sumador es un circuito aritmético que efectúa la suma binaria de los dos dígitos de entrada con el acarreo de entrada procedente de la etapa anterior. Posee las mismas salidas S y C que el semisumador, pero tiene una entrada más. La tabla de verdad del circuito sumador total es la mostrada seguidamente. Entradas Salidas C a a b S C Circuito sumador total a b C a a S b C a C S C Las ecuaciones correspondientes a este circuito sumador son las siguientes: S = a b C a + ab C a + a b C a + a b C a = a / b / C a C = abc a + a bc a + a b C a + abc a = ab + C a (a b + a b ) = a b + C a (a / b) Existen en el mercado circuitos comerciales que realizan la suma binaria de: 1 bit (7480) 2 bits (7482) 4 bits (7483) 16

47 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 1.9. CIRCUITOS RESTADORES La estructura de estos circuitos es muy similar a la de los sumadores, con las únicas diferencias de realizar la resta binaria entre los dígitos de entrada. El acarreo tanto de salida como de entrada, recibe el nombre de préstamo. Realicemos la resta de a-b Entradas Salidas P a a b D P a b P a D P a b P a D P En la práctica, los circuitos restadores suelen realizarse con sumadores, haciendo la resta por complementación. 17

48 (CIRCUITOS COMBINACIONALES) 1.10 COMPARADORES BINARIOS Los circuitos comparadores binarios son circuitos combinacionales que indican la relación de igualdad o desigualdad existente entre dos números binarios A y B de n bits cada uno. Además suelen disponer de una serie de entradas de acoplamiento en cascada para poder comparar palabras con mayor número de bits que los permitidos por el comparador que utilizamos. Número A Número B A 0 A 1 A 2 A 3 A>B A= B A<B B 0 B 1 B 2 B 3 A>B A=B A<B Esquema de un comparador de cuatro bits Salidas del comparador Entradas de cascada 18

49 (SISTEMAS DE NUMERACION) SISTEMAS DE NUMERACION INTRODUCCION El número de dígitos de un sistema de numeración es igual a la base del sistema. Sistema Base Dígitos del sistema Binario 2 0,1 Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7 Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F. Cada dígito dentro de un número tiene un valor absoluto y un valor relativo. El valor absoluto es el valor asignado a cada dígito, y el mismo es constante. Ejemplo: Dígitos Valor absoluto El valor relativo, es un valor variable que depende de la posición del dígito dentro del número, y de la base del sistema de numeración. Existiendo la siguiente relación entre valor absoluto y valor relativo. Valor Relativo = (Valor Absoluto) x (Base del sistema) (Posición del dígito) Ejemplo: Base del sistema de numeración = 10 Dígitos Valor absoluto Posición Valor relativo

50 (SISTEMAS DE NUMERACION) Ejemplo: Base del sistema de numeración = 2 Dígitos Valor absoluto Posición Valor relativo

51 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.1. SISTEMA BINARIO El sistema binario es aquel en el cual los números se representan con dos cifras o dígitos. Estos son el 0 y el 1. A las cifras de un número binario se las denomina bit. Un bit es una celda individual de memoria donde solo puede haber en cada momento uno de los dos estados posibles, representados normalmente con símbolos 0 y 1. Por tanto es usual decir que el número binario tiene 6 bits. Los valores posicionales de un número en el sistema binario son potencias de dos. Recordemos que un número decimal representa en realidad una suma, por ejemplo: x x x x = = 1x x x = 1x x x x10 0 Como podemos ver, en este número, el dígito menos significativo (dígito más a la derecha) está multiplicado por la base del sistema elevado a la potencia cero, a continuación, el dígito que le sigue multiplicado por la base del sistema elevado a la primera potencia, a continuación el dígito que le sigue multiplicado por la base del sistema elevado a la segunda potencia y así sucesivamente. Aplicando la expresión anterior a cualquier número de cualquier base se obtendrá como resultado el equivalente del número en el sistema decimal. Para convertir un número binario a decimal, sumamos el producto de cada una de las cifras del mismo por el factor 2 n, donde n es la posición de la cifra considerada empezando por la derecha y comenzando la cuenta por 0, es decir, n puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,... 3

52 (SISTEMAS DE NUMERACION) Ejemplo: Convertir el número binario a decimal = 1x x x x x x x x x2 0 Por lo tanto el número = Ejemplo: Covertir el número a decimal Podemos utilizar el método general visto anteriormente, o bien lo podemos realizar por Rufini Por lo tanto el número =

53 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.2. SISTEMA OCTAL Como su nombre lo indica, la base fija de este sistema es el 8, por tal motivo posee 8 dígitos que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ejemplo: Sea el número Aplicando la expresión general, tenemos que: = 5 x x x8 0 = 5 x x x 1= =

54 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.3. SISTEMA HEXADECIMAL El sistema hexadecimal, tiene como base del mismo 16, y como es un sistema de base fija, también tiene 16 dígitos que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. DÍGITOS VALORES DÍGITOS VALORES HEXADECIMALES ABSOLUTOS HEXADECIMALES ABSOLUTOS A B C D E F 15 La siguiente tabla expresa una serie de números decimales y su equivalente hexadecimal DEC-HEX DEC-HEX DEC-HEX A 42 2A 10 A 27 1B 43 2B 11 B 28 1C 44 2C 12 C 29 1D 45 2D 13 D 30 1E 46 2E 14 E 31 1F 47 2F 15 F

55 (SISTEMAS DE NUMERACION) Analicemos el siguiente ejemplo en el sistema hexadecimal 7E E3 16 = 7x Ex x16 0 = 7x x16 + 3x1 = = Como en los casos anteriores, al aplicar la expresión general de un número de base fija, el resultado obtenido es el número en el sistema decimal. Ejemplo: Convertir al sistema decimal los siguientes números. a ) b ) c ) 37A 16 a ) = 1 x x x x x2 0 = 1x16 + 1x8 + 1x x1 = b ) = 5 x x x x8 0 = 5x x64 + 6x8 + 2x1 = c) 37A 16 = 3x x Ax16 0 = 3x x x1 = =

56 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.4. CONVERSION DEL SISTEMA DECIMAL A BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL Para la conversión de un número del sistema decimal a los sistemas binarios, octal y hexadecimal, es necesario la división del número decimal de forma sucesiva entre la base a la que se quiere convertir el número. Los restos obtenidos, junto con el cociente de la última división, son los dígitos del número en la nueva base. Ejemplo: Convertir al sistema binario el siguiente número Por lo tanto, el número = Darse cuenta, que el último cociente es el dígito más significativo, y que el número se ordena como indica la flecha; de tal forma que, el primer resto es el dígito menos significativo del número en la nueva base. Ejemplo: Convertir al sistema octal el siguiente número Por lo tanto, el número = Ejemplo: Convertir al sistema hexadecimal el siguiente número Por lo tanto, el número = 2A3 16 8

57 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.5. CONVERSION OCTAL A BINARIO La conversión de un número del sistema octal al binario, es muy sencilla puesto que 8 es una potencia de 2, así tenemos que 8 = 2 3, esto permite escribir los dígitos octal en su equivalente binario como sigue : Octal Binario Octal Binario De forma práctica, podemos plantear que, para convertir un número octal a su equivalente binario, basta con escribir por cada dígito octal su equivalente de tres dígitos binarios como en la tabla anterior y después de hacer esto agruparlos. Ejemplo: Convertir el número a binario. De acuerdo con la tabla de equivalencias Octal-Binario vista anteriormente, tenemos que: 3 8 = = = Por lo tanto, =

58 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.6. CONVERSION HEXADECIMAL A BINARIO La conversión de un número del sistema hexadecimal al sistema binario, es también muy sencilla y similar a la conversión octal-binario, con la particularidad en este caso, de que la base 16 también es una potencia de dos (16 = 2 4 ), lo que permite escribir los dígitos del sistema hexadecimal en su equivalente binario como sigue. HEXADECIMAL BINARIO HEXADECIMAL BINARIO A B C D E F 1111 Ejemplo: Convertir el siguiente número hexadecimal a su equivalente binario. 7A = A 16 = = Por tanto: 7A3 16 =

59 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.7. CONVERSION BINARIO A OCTAL Para convertir un número binario al sistema octal, se toma el número binario y se divide en grupos de tres dígitos, comenzando la división por la derecha y hacia la izquierda, si al último grupo le faltan dígitos binarios para completar tres, se le añaden ceros y por último, se sustituye cada grupo por su equivalente octal. Ejemplo : Convertir al sistema octal el número binario se le añade el 0 para completar los tres dígitos = = = =

60 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.8. CONVERSION BINARIO A HEXADECIMAL Para convertir un número del sistema binario al sistema hexadecimal, se procede de forma similar que para la conversión del sistema binario al octal, pero en este caso el número binario en vez de agruparlo en grupos de tres dígitos se agrupan cada cuatro dígitos binarios, comenzando siempre por la derecha, y completando con ceros si le falta algún dígito al último grupo. Ejemplo: Convertir el siguiente número binario a su equivalente en el sistema hexadecimal se le añade el 0 para completar los 4 dígitos = = = = Ejemplo: Convertir el siguiente número binario a su equivalente en el sistema hexadecimal = = = B = = A = 2B5A 16 12

61 (SISTEMAS DE NUMERACION) 1.9. SUMA EN EL SISTEMA BINARIO En el sistema binario, solo tenemos dos dígitos. A los dígitos del sistema binario le llamamos bit. Veamos la siguiente tabla, en la que planteamos la suma de todas las combinaciones posibles de dos dígitos binarios A y B. Tabla de la suma binaria Dec. A B Suma A +B Acarreo A y B sumandos. Como podemos observar en la tabla anterior, la suma de las tres primeras combinaciones no ofrecen dificultades, pero la cuarta es el resultado de la suma de 1+1, que es igual a la base del sistema, (2 10 =10 2 ), por tal razón el resultado de la suma es igual a 0 y se produce un acarreo a la siguiente posición, o sea: Ejemplo: Sumar en el sistema binario a) b) En el caso de sumar dos números binarios, se puede presentar la situación de tener que sumar el acarreo, en una posición donde haya dos dígitos iguales a 1; veamos como resolver este caso. 13

62 (SISTEMAS DE NUMERACION) Ejemplo: En este ejemplo, sumamos los dos primeros 1 y el resultado como ya sabemos es igual a 0, y se produce un acarreo a la siguiente posición, en la siguiente posición tenemos que sumar ahora tres 1 Cómo resolvemos este caso?. Primero sumamos dos 1 y obtenemos como resultado parcial 0 en esa posición, y un acarreo a la posición siguiente, y por último sumo el 0 obtenido, con el 1 que me quedaba en esa posición, obteniéndose como resultado final un 1 en esa posición, y un acarreo a la posición siguiente. Ejemplo: Sumar 14 y 57 en base 10 y pasarlo a binario

63 (SISTEMAS DE NUMERACION) RESTA EN EL SISTEMA BINARIO Al igual que la suma, la resta binaria, es más simple que la decimal, por el hecho de tener solamente dos dígitos el sistema binario. Veamos a continuación, la siguiente tabla que refleja todas las combinaciones posibles de la resta de dos dígitos binarios. A B A-B Préstamo A : minuendo B : sustraendo Como podemos ver, de la tabla anterior, las combinaciones 1, 3 y 4 son muy sencillas, por ser el sustraendo igual o menor que el minuendo, esto hace posible el proceso de la resta binaria sin ninguna dificultad. Pero como vemos, en la segunda combinación, el minuendo es menor que el sustraendo y esto dificulta el proceso de la resta binaria, pues es necesario, en tal caso, pedir un uno prestado a la posición siguiente para poder efectuar la resta binaria. Ejemplo: Ejemplo: Realizar la siguiente resta en binario

64 (SISTEMAS DE NUMERACION) CODIGOS BINARIOS El sistema binario recibe el nombre de código binario natural. No obstante, existen sistemas digitales en los que se utilizan otros códigos binarios diferentes del binario natural debido a sus características peculiares CODIGO BCD El código BCD (Decimal Codificado en Binario), consiste en una forma de representar los números decimales con cuatro dígitos binarios o bits por cifra. El código más utilizado es el BCD 8421 o BCD simplemente. En este código cada cifra decimal se representa por cuatro dígitos binarios. Como con estos cuatro dígitos se pueden representar números del 0 al 15, lo que se hace es no tener en cuenta las representaciones del 10 al 15. Por ejemplo, si queremos representar en BCD el número 37, convertimos cada cifra decimal en su número binario equivalente. DEC. BINARIO y después agrupamos los números, obteniendo el = Números binarios como por ejemplo el no corresponde al código BCD, pues aunque la primera cifra (1001) es un 9, la segunda cifra (1100) corresponde al 12, el cual no es una cifra del 0 al 9. 16

65 (SISTEMAS DE NUMERACION) CODIGO GRAY Es un código continuo porque las combinaciones correspondientes a números decimales consecutivos son adyacentes (se denominan combinaciones binarias adyacentes a aquellas combinaciones que difieren solamente en un bit). Además, es un código cíclico porque la última combinación es adyacente a la primera. En la tabla siguiente se presenta este código para cuatro bits. DEC. COD. GRAY DEC. COD. GRAY CODIGO BCD EXCESO DE TRES 17