GUIA DIDACTICA DE GEOMETRIA

Transcripción

1 GUIA DIDACTICA DE GEOMETRIA HISTORIA DE LA GEOMETRIA Por mucho tiempo hubo dos instrumentos esenciales que permitieron a las personas que accedían a la educación poder educarse, los dos libros más editados en la historia de la civilización: la Biblia, con la que se aprendía a leer y escribir, y "Los elementos" de Euclides (siglo III a.c.), con los que se enseñaba a razonar. Euclides, más que un creador, fue un compilador de la geometría existente hasta ese momento. Se ubica en Alejandría, la ciudad más importante de la época y la primera que fue construida como tal, en forma geométrica (de damero). Esa geometría de Euclides es la que nuestros niños aprenden hoy en la escuela. No hay nada nuevo desde el punto de los contenidos, ni siquiera en la universidad: todo estaba allí hace 23 siglos La Geometría es una de las ramas de las matemáticas con mas antigüedad. La geometría ha tenido tres semilleros, tres lugares desde donde se ha desarrollado: a) En Egipto y en Mesopotamia los antiguos pensadores tuvieron que resolver problemas netamente prácticos (la división de las tierras, formar parcelas iguales, crear instrumentos para trazar ángulos rectos en un espacio grande). En estos ejemplos vemos que la geometría sirve para solucionar problemas prácticos, y este hecho es trasladable a la enseñanza. b) Otro semillero de la geometría son las preguntas que se formulan desde las otras ciencias o disciplinas (química, física, economía, biología, astronomía, sicología). Recurren a la matemática como instrumento de modelización. En el Renacimiento surgió así una gran cantidad de conceptos matemáticos con Copérnico, Galileo, Newton. c) El tercer semillero es la propia matemática, las preguntas que sólo tienen sentido dentro de ella. La matemática no siempre debe responder a una demanda exterior. Hay cuestiones geométricas que se deben desarrollar, que sólo tienen que ver con el futuro. La palabra geometría se deriva de las palabras griegas geos, que significa tierra y metron que significa medida. Alrededor del 2000 A. C. Los planificadores de esos pueblos usaban los principios de geometría para restablecer los linderos y fronteras perdidas. De hecho los antiguos egipcios, babilonios, chinos, romanos y griegos aplicaban la geometría en la topografía, navegación, astronomía y otras actividades practicas. Los griegos iniciaron la sistematización del conjunto de datos y conocimientos que tenían de esta ciencia relacionándolos por medio de procedimientos lógicos que establecieron.

2 El trabajo de hombres como Tales (600 A.C.), Pitágoras (540 A.C.), Platón (390 A.C.), y Aristóteles (350 A.C.), para organizar los datos geométricos y sus principios culminaron en el libro llamado Elementos, escrito por Euclides alrededor del año 325 A.C. Esta obra se ha usado por mas de 2000 años y siempre se le ha considerado como clásica. Geometría: Ciencia que estudia el espacio y las figuras en el espacio. Rama de la matemáticas que estudia figuras bidimensionales y tridimensionales. Geometría plana: Estudia las figuras planas, esto es, figuras que pueden trazarse sobre una superficie plana o lisa. En el contexto de este contenido se considera, a menos que se indique otra cosa, que una figura es una figura plana. Por qué es importante el estudio de la geometría? El estudio de la geometría es esencial para la preparación de los ingenieros, científicos, arquitectos, y aun del hombre común. Los carpinteros, albañiles, constructores, hojalateros, cortadores de piedra, escultores, artistas y dibujantes también aplican los conceptos de la geometría en sus respectivos trabajos. En este curso aprenderá un gran número de conceptos básicos referentes a figuras geométricas como rectas, ángulos, triángulos, círculos, y algunas otras figuras bidimensionales. Para un estudio analítico de la geometría es necesario familiarizarse con los siguientes conceptos: Proposición: Es toda oración o enunciado respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsa. Postulado: Es una proposición aceptada como verdadera sin necesidad de demostración. Teorema: Es una proposición aceptada como verdadera que requiere una demostración. Términos no Definidos En geometría se aceptan ciertos términos como indefinidos. Dado que no es posible definir estos términos básicos en forma precisa, podemos dar su significado por medio de descripciones. Sin embargo, estas descripciones no pueden considerase formales. Punto: tiene únicamente posición. No tiene longitud, extensión ni espesor. Se representa por un, y se denota con una letra mayúscula. P Indica ubicación. Curva: tiene únicamente longitud, pero carece de espesor y extensión. El hecho de que existen muchos tipos de curvas puede entenderse mejor si se piensa que cada curva se genera por un punto en movimiento. Una línea recta es una curva generada por un punto moviéndose en la misma dirección. Una línea curvada es una curva generada por un punto moviéndose y que cambia continuamente de dirección.

3 La recta se considera como una curva básica. Se denota por letras mayúsculas para dos puntos cualesquiera, o por una letra minúscula. Recta: una recta se traza entre dos puntos pero en realidad su extensión es ilimitada; es decir, se extiende en ambas direcciones indefinidamente. Una propiedad importante de la recta es la de ser la distancia más corta entre dos puntos. Notación simbólica: TQ T Q m Plano El plano es uno de los términos indefinidos de la geometría. Los planos se extienden indefinidamente en cualquier dirección y no tienen espesor. Un plano esta representado por una figura de cuatro lados y se lo nombra con una letra mayúscula o por tres puntos en el plano que no estén en la misma línea. Un plano está determinado por: a. tres puntos que no están sobre la misma recta. b. una recta y un punto que no esta en la recta. c. las rectas que se intersecan Algunos postulados sobre planos: 1. Si dos puntos están en un plano, entonces la recta determinada por ellos también están en el plano. 2. Por una recta pasa un conjunto infinito de planos. 3. Tres puntos no alineados determinan un plano 4. Dos rectas que se intersecan determinan un plano 5. Una recta que no está en el plano interseca al plano cuando más en un punto. P

4 6. Si dos planos en el espacio se intersecan, la intersección es una recta. Z k W Puntos colineales Los puntos son colineales si y solamente si ellos yacen en la misma línea. Puntos no colineales Los puntos son no colineales si y solamente si ellos no yacen en la misma línea. Puntos coplanares Los puntos son coplanares si y solamente si yacen en el mismo plano. Segmento Un segmento es parte de una línea que consiste de dos puntos, llamados puntos extremos, y todos los puntos entre medio de ellos. Notación: TS ANGULOS Angulo Una figura es un ángulo si y solamente si consiste de dos rayas nocolineales con un extremo en común. Los rayos son los lados del ángulo. El

5 extremo es el vértice del ángulo. Un ángulo separa al plano en tres partes, la parte interna, la parte externa, y el propio Angulo. Medidas de ángulos: para medir ángulos se utilizan dos sistemas, el sexagesimal y el circular. Sexagesimal: su unidad es el grado Circular: su unidad es el radian. Un grado es la medida de un ángulo positivo determinado que puede dividirse en sesenta partes iguales llamados minutos 60 y un minuto a su vez puede dividirse en sesenta partes iguales llamados segundos 60. De manera que 1 o = 60 minutos y 1 60 segundos. Un radian es la medida de un ángulo positivo que intercepta un arco de longitud k en un circulo de radio k. Circulo: Es una curva cerrada formada por todos los puntos que equidistan (estan a una misma distancia) de un punto dado llamado centro. El símbolo utilizado para denotar un circulo es O. Mide 360 o (grados). Circunferencia de un circulo es la distancia medida alrededor de el. El radio de un circulo es el segmento que une al centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro del circulo. Su longitud es dos veces la del radio es mayor que cualquier cuerda que no pasa por el centro. Un arco es una parte de la circunferencia de un circulo. El símbolo para un arco es AB. Un arco de 1 grado es 1/360 parte de la circunferencia. Un semicírculo es un arco igual a la mitad de la circunferencia de un circulo. Un semicírculo comprende 180 o. T R Fig. 1 A O B S

6 Un ángulo central es un ángulo formado por dos radios e interseca un arco de la circunferencia. La medida de un ángulo central es igual a la medida en grados o radianes del arco que interseca. P Fig.2 O Q Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si y solamente si la suma de sus ángulos es de 90 grados.. Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si y solamente si la suma de sus grados es 180 grados.. Ángulos congruentes Dos ángulos son congruentes si y solamente si tienen la misma medida. Angulo obtuso Un ángulo obtuso es un ángulo cuyo medida en grados es mayor que 90 y menor que 180 grados. Ángulos adyacentes Dos ángulos en el mismo plano son adyacentes, si y solamente si los ángulos tienen un lado y un vértice en común, pero ningún punto interior en común.

7 Ángulos correspondientes. En la figura, la transversal t intercepta las líneas l y m. <5 y <1, y <9 y <4, <6 y <2 y <7 y <3 son ángulos correspondientes. Bisectriz del ángulo El rayo, QS, es la bisectriz del ángulo PQR si y solamente si S esta en el interior del ángulo y el ángulo PQR es congruente al ángulo RQS. POLÍGONOS Polígono. Una figura es un polígono si y solamente si esta reúne las siguientes tres condiciones: 1.Esta formada por tres o mas segmentos coplanares, llamados los lados. 2.Los lados que tienen un punto extremo en común son no colineales. 3. Cada lado intercepta exactamente otros dos lados, pero solamente en los puntos extremos llamados vértices. Un polígono es una figura cerrada acotada o limitada por segmentos de rectas como lados. Existen diferentes tipos de polígonos, probablemente los mas conocidos son las figuras de cuatro lados (cuadriláteros), entre los cuales se encuentran el rectángulo, el cuadrado, el paralelogramo, el rombo y el trapecio. Polígono convexo Un polígono es convexo si y solamente si cualquier línea que contiene un lado del polígono no contiene un punto en el interior del polígono.

8 TRIANGULOS Un triangulo es un polígono que tiene tres ángulos. El símbolo para un triangulo es. Los triángulos se clasifican de acuerdo a la congruencia de sus lados o de acuerdo a las clases de ángulos que tienen. Un triangulo es isósceles si tiene dos lados congruentes. Un triangulo es equilátero si tiene todos los lados congruentes. Triangulo escaleno es aquel que no tiene lados congruentes. Triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. Cateto hipotenusa Cateto Triangulo equiángular es aquel cuyos ángulos son congruentes.

9 Triangulo acutángulo es aquel que tiene todos sus ángulos agudos. Triangulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso. Angulo exterior Un Angulo es un ángulo exterior de un polígono si y solamente si forma un par lineal con uno de los ángulos del polígono. Alturas del triangulo Un segmento es la altura de un triangulo si y solamente si las siguientes condiciones se mantienen: 1. Sus extremos son el vértice del triangulo y un punto en la línea contiene el lado opuesto. 2. Es perpendicular a la línea que contiene el lado opuesto. Paralelogramo Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Rombo Un cuadrilátero es un rombo si y solamente si es un paralelogramo con los cuatro lados congruentes. Rectángulo Un cuadrilátero es un rectángulo si y solamente si es paralelogramo con cuatro ángulos rectos..

10 Trapecio isósceles Un trapecio isósceles es un cuadrilátero en el cual los lados laterales son congruentes. Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y solamente si ellas yacen en el mismo plano y no se interceptan.