2. La herramienta de matemática simbólica

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1 UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCIÓN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA APLICADA Laboratorio 6 Franco A. Milanese Introducción a MATLAB R: Álgebra Computacional y Cálculo Simbólico. 1. Introducción Por álgebra computacional nos referimos a todos los cálculos hechos en computador donde se involucran símbolos en vez de números. En la modelación matemática y en análisis, se trabaja con d variables simbólicas como x, y, f(x), dx, y otros tipos de símbolos, donde se escriben relaciones entre ellos y se intenta obtener soluciones que los involucran. El Álgebra Computacional está pensada para este tipo de cálculos. Internamente en el computador se utilizan métodos muy distintos que a los procedimientos numéricos. Existe software dedicado sólamente al Álgebra Computacional, como lo son: Mathematica, Maple, Macsyma (casi extinto) y MuPAD. Como MATLAB está orientado al cálculo numérico, no es capaz de hacer Álgebra Computacional sin la ayuda de un software adicional que le ayude. Las herramientas para cálculo simbólico de MATLAB hacen precisamente esto, crean un puente entre MATLAB y un software de Álgebra Computacional. Hasta el 2007 el software para Álgebra Computacional dentro de MATLAB era Maple; actualmente es MuPAD. 2. La herramienta de matemática simbólica Estas herramientas permiten que se ejecuten comandos de MuPAD en MATLAB. MATLAB está orientado a realizar aritmética y MuPAD está orientado a realizar álgebra y cálculo. MATLAB casi siempre trabaja con salidas que son vectores o arreglos de números, MuPAD está diseñado para dar salidas de forma simbólica. Por ejemplo, MATLAB dice que 2 = 1,41415, mientras que MuPAD dice que las soluciones de x 2 = c son x = ± c. MATLAB sigue la tradición del cálculo numérico que viene de Fortran, Basic y C, mientras que MuPAD utiliza inteligencia articial creada por Macsyma y después imitada por Maple y otros programas. Para manejar bien las herramientas de Cálculo Simbólico en MATLAB, debes manejar bien el Cálculo Simbólico en MuPAD, lo cual es por lo menos tanto trabajo como aprender a usar MATLAB. Tambien debes aprender como correr MuPAD desde MATLAB sin desordenarnos Dos herramientas muy útiles Antes de que nos involucremos más en el Cálculo Simbólico, se presentan dos herramientas muy útiles dentro de MATLAB. 1. ezplot() Esta función es una forma rápida de realizar grácas en MATLAB. Hemos visto sus variaciones a lo largo de los laboratorios anteriores. 2. funtool 1

2 Si ejecutas este chero aparecerá una calculadora gráca de dos pantallas que nos permite realizar algunas operaciones simbólicas con funciones. Utiliza esta calculadora cuando necesites una ayuda rápida con alguna función. 3. Cálculo numérico versus simbólico ¾Cual es la diferencia entre el cálculo numérico (sólo MATLAB) y simbólico (usando las herramientas simbólicas)?. Supongamos que deseamos conocer la derivada de la función f(t) = t 2 sin(3t 1/4 ). La denición de la derivada nos da una forma rápida para aproximarla numéricamente, digamos f (x) f(x+h) f(x) h, cuando h sea sucientemente pequeño. Los comandos de MATLAB que aproximan esta derivada en un conjunto de puntos es h=.1; %tamaño del paso para las diferencias t=-pi:h:pi; %la region de interés f=t.^2.*sin(3*t.^(1/4)); %la funcion en todos los valores de t df=diff(f)/h; %aproximacion numerica de la derivada plot(t(1:end-1),df); %grafica de la derivada La derivada de la función f está representada por las componentes de t y df. En el sentido que la derivada de f en el punto t(5) es el valor df(5). Realizemos lo anterior usando las herramientas de Cálculo Simbólico incrustadas en MATLAB. >> t=sym('t','real'); %Se define la variable simb\'olica t, cuyo simbolo %es t y puede tomar valores reales f=t^2*sin(3*t^(1/4)); %Se introduce una nueva variable simbolica f a partir de t derv=diff(f) %Se deriva simbolicamente derv = 2*t*sin(3*t^(1/4)) + (3*t^(5/4)*cos(3*t^(1/4)))/4 Así la herramienta simbólica de MATLAB nos retorna la simbología de la derivada de f. En efecto, podemos hacer los cálculos a mano y vericar que d ( ) t 2 sin(3 t 1/4 ) = t 2 sin(3t 1/4 ) + 3 dt 4 t5/4 cos(3t 4 ) La gráca de las curvas calculadas simbólica y numéricamente es casi la misma (ver gura 1). Además, si ejecutamos en la ventana de comandos : >> int(derv) %integral simbolica ans = (4480*sin(3*t^(1/4)))/ *cos(3*t^(1/4))*((560*t^(1/4))/243 - (280*t^(3/4))/81 + (14*t^(5/ 2

3 Figura 1: Comparación de las curvas obtenidas numérica y simbolicamente. >> simplify(int(derv)) %simplificamos simbolicamente lo obtenido ans = t^2*sin(3*t^(1/4)) recuperamos la función f, tal como lo garantiza el Teorema Fundamental del Cálculo. Hacemos notar aquí que la función diff() opera de dos formas distintas. Una de ellas trabaja en MATLAB, haciendo diferencias a lo largo de un vector y retornando un vector; mientras que la otra trabaja en MuPAD, calculando simbólicamente una derivada. Que la respuesta de diff() la haga MATLAB o MuPAD, dependerá de que lo que ingrese a la función esté correctamente escrito para MATLAB o MuPAD. Cuando se agrupan varias funciones dentro de una función, se dice que está función está sobrecargada. El sobrecargo de funciones es algo muy común en la programación Precisión aritmética variable Todos los software de álgebra computacional, incluyendo MuPAD, pueden realizar cálculos aritméticos con una precisión variable; esto es, calcular números, teoricamente, hasta cualquier precisión. Esto es una gran diferencia con los cálculos en MATLAB, los cuales están limitados a la precisión de un número de formato double. Sin embargo, el aumento de la precisión signica un aumento en el tiempo de cálculo. El comando para aumentar la precisión es increiblemente sencillo, debemos hacer vpa(sym_exp,n_digitos) 3

4 para calcular la expresión simbólica sym_exp con hasta n_digitos. Por ejemplo >> vpa('pi',33) ans = mientras que directamente en MATLAB >> pi ans = En consecuencia, tenemos por lo menos dos opciones diferentes para trabajar con números. La primera es la precisión de un número double, la cual es la por defecto de MATLAB, y la segunda es una precisión variabel usando vpa(). Es necesario ser cuidadoso cuando se utilizan funciones como sqrt() en números, las cuales por defecto llevan a números con precisión double. Para una evaluación más precisa tu debes pasar ese número como una cadena a vpa(). 4. Obteniendo ayuda para el cálculo simbólico Hay muchas formas para obtener ayuda en MuPAD. Lo que a continuación se expone es sólo la punta de un iceberg. Para entrar aún mas en el tema, sin entrar a una librería, podemos obtener ayuda desde MATLAB con su laberinto de opciones en help. 1. Si conoces el nombre del comando que quieres usar, puedes consultarlo directamente con help. Por ejemplo, >> help solve solve Symbolic solution of algebraic equations. solve(eqn1,eqn2,...,eqnn) solve(eqn1,eqn2,...,eqnn,var1,var2,...,varn)... nos retorna un extenso texto que incluye propósito, formas de llamar y ejemplos, para usar la función solve(). Debes estar conciente eso si, que algunas funciones tienen sentido tanto para variables simbólicas como para numéricas. Por ejemplo, si ejecutamos el comando help diff, obtendremos una descripción de como usar di() en un vector y al nal de la ayuda, dirá: Overloaded methods help sym/diff. m help char/diff. m 4

5 o algo parecido, dependiendo de la versión de MATLAB que uses. Overloaded signica que la misma función diff() está sobrecargada y lo que sigue nos dice que diff() cambia si lo que le enviamos es una variable simbólica. Si ejecutamos help sym/diff obtendremos la ayuda de diff() cuando entran variables simbólicas. 2. Otra opción es entrar al menú de ayuda de MATLAB. Para esto ejecuta el comando helpdesk, este comando está disponible hasta la versión MATLAB2013. Se abrirá una ventana para navegar en todas las ayudas de funciones en MATLAB, en particular si entramos a la sección Symbolic Math Toolbox se enlistarán todas las funcionalidades del cálculo y álgebra simbólica incrustadas en tu versión de MATLAB. 3. Para ver una lista organizada de todos los comando de MuPAD, junto con una breve descripción, puedes ejecutar help symbolic. 5. Usando la herramienta de cálculo simbólico A continuación se detallan procedimientos que permiten calcular simbólicamente y observar grácamente, distintas situaciones propias del curso de cátedra Manipulaciones básicas Expandir expresiones, hacer que se vean bien, resolverlas y chequear que la solución sea correcta, es lo básico que hacemos cuando realizamos cálculos simbólicos. Ingrese las siguientes líneas de comando a MATLAB y siga lo que MATLAB responde. syms x a f=(x-1)*(x-a)*(x+pi)*(x+2)*(x+3) g=expand(f) h=collect(f) raices=solve(h,x) check=subs(f,x,raices(5)) La declaración a través de syms puede ser evitada. Algunas veces MATLAB entiende que en cirto contexto, queremos que una letra sea una variable simbólica. Existen dos formas de crear variables simbólicas, con el comando sym y el uso de comas simples y syms el cual lo hace explicitamente. solve() es un comando muy poderoso, el cual intenta todo tipo de métodos para encontrar una solución. En este caso solve() encuentra las cinco raices del ponomio de grado cinco f, pero algunas veces solve() no es capaz de encontrar todas las raices. subs() es un comando muy utilizado si hacemos aritm tica. En el uso anterior cada aparición del simbólico x en f es reemplazada con la supuesta quinta raíz encontrada. Si la raíz es correcta, el resultado de esta sustitición debe ser cero. 5

6 5.2. Volviendo a MATLAB Una confusión muy común es pensar que las salidas de los comando simbólicos son número que MATLAB puede entender. Algunas veces una expresión simbólica se ve exactamente igual a su expresión numérica, pero para MATLAB no son lo mismo. Por ejemplo, >> sym=vpa('sin(pi/4)',4) sym = >> num=sin(pi/4) ans = Existen algunos trucos para hacer que expresiones simbólicas se conviertan en expresiones de MATLAB. Los comandos mas importantes son double(), el cual permite convertir arreglos simbólicos en arreglos de números, eval(), que permite ejecutar texto que parece un comando de MATLAB, y vectorize(), el cual reescribe una fórmula para que pueda ser usada sobre vectores. Ejecuta los siguientes comandos: syms x t y a %Declara simbolicos f=x+sin(x) %Declara una funcion simbolica q=3*t^2-7*t %idem g=subs(f,x,q); %Sustituye el simbolico x por q en f h=subs(g,t,'exp(y/a)') %Sustituye el simbolico t por... en g pretty (h) %Muestra de forma agradable h res=subs(h,{y,a},{7,9}); %Substituye los simbolicos y,a por 7,9 en h un_numero_porfavor=double(res) %Transforma de simbolico a numerico y=0:0.1:1 %Un vector llamado y a=pi %Una variable numerica llamada a y=sym(y) %Redefino las variables como simbolicos a=sym(a) hvec=vectorize(h) %Convierte el simbolico h en una cadena que trabaja con vectores result=eval(hvec) %Evaluo esta cadena result_num=double(result) %Convierto el resultado exacto de MuPAD en numeros de MALTAB plot(double(y),result_num) %Dibujo la funcion h 5.3. Cálculo de puntos críticos de una función Supongamos que nos interesa calcular los puntos críticos de un campo escalar. El código disponible en la siguiente url busca puntos cr ticos de una función y los identica usando el comando text(), No debe olvide que solve() podría no retornar todos los puntos críticos. 6

7 5.4. Calculo de integrales Si deseamos integrar una función de una o varias variables simbólicamente, podemos hacer uso del comando int(), como se ilustra a continuación. x=sym('x'); y=sym('y'); f=sin(x); g=subs(f,x,x*y); int1=double(int(f,x,0,pi)); int2=double(int(f,x,pi,2*pi)); area(0:0.1:pi,double(subs(f,x,0:0.1:pi)),'facecolor','b'); hold on; area(pi:0.1:2*pi,double(subs(f,x,pi:0.1:2*pi)),'facecolor','r'); text(pi/2,0.5,['area: ',num2str(int1)],'backgroundcolor','w'); text(3*pi/2,-0.5,['area: ',num2str(int2)],'backgroundcolor','w'); axis([0,2*pi,-1,1]); lo cual genera una imagen como la de la gura 2. Figura 2: Areas bajo la curva cos(x) sobre distintos intervalos. 6. Solución simbólica de EDO's A pesar de que MATLAB es principalmente una colecciíon de software numérico, es capaz de resolver simbólicamente problemas de ecuaciones diferenciales. Supongamos, por ejemplo, que nos interesa resolver la ecuación diferencia ordinaria de primer orden: Hallar y C 1 (R) tal que y (x) = xy. Podemos utlizar la función dsolve(), las entradas y salidas de esta función deben ser como sigue: 7

8 >> y=dsolve('dy=y*x','x') y = C2*exp(x^2/2) Donde hacemos notar que la variable y es simbólica y que tiene en su denición dos variables, representadas por los símbolos C2 y x. Además, que en la entrada de dsolve(), la primera cadena contiene la estructura de la EDO a resolver, donde la D mayúscula representa el operador de derivación y la segunda entrada es la variable independiente del problema, la cual debe ser explicitada puesto MATLAB considera que t es la variable por defecto. Para resolver problemas de valores iniciales, por ejemplo, consideremos el problema anterior con la condición y(1) = 1. Tal problema puede ser resuelto rápidamente según >> ec='dy=y*x'; vi='y(1)=1'; y=dsolve(ec,vi,'x') y = exp(-1/2)*exp(x^2/2) Notarán que y es simbólico, entonces para dibujarlo hacen falta los siguientes pasos. x=0:0.1:1; plot(x,eval(vectorize(y))) Figura 3: Solución del PVI planteado. 8

9 6.1. Ecuaciones y PVI de orden superior Supongamos que deseamos encontrar una solución de la EDO de segundo orden: Hallar y C 2 (R) tal que y (x) + 8y (x) + 2y(x) = cos(x), y(0) = 0, y (0) = 1 el siguiente código es suciente para lograrlo ec ='D2y + 8*Dy + 2*y = cos(x)'; ci ='y(0)=0, Dy(0)=1'; y=dsolve(ec,ci,'x'); x=0:0.1:1; z = eval(vectorize(y)); plot(x,z); Notar que la cadena D acompañado de un número determina el orden de la derivada Sistemas de EDO's Supongamos que nos interesa resolver el sistema de EDO's: Hallar x, y, z C 1 (R) tal que x (t) y (t) z (t) = x(t) + 2y(t) z(t) = x(t) + z(t) = 4x(t) 4y(t) + 5z(t) El procedimiento es exactamente igual al de la sección anterior. Introducimos el sistema de ecuaciones como una sucesión de cadenas al comando solve(). x = >> [x,y,z]=dsolve('dx=x+2*y-z','dy=x+z', 'Dz=4*x-4*y+5*z') - (C10*exp(t))/2 - (C8*exp(2*t))/2 - (C9*exp(3*t))/4 y = (C10*exp(t))/2 + (C8*exp(2*t))/4 + (C9*exp(3*t))/4 z = C10*exp(t) + C8*exp(2*t) + C9*exp(3*t) Si utilizas MATLAB para chequear tus cálculos, manten siempre en mente que la elección de las constantes no corresponderá inmediatamente con las del problema. Afortunadamente, cuando incorporamos las sucientes condiciones de contorno desaparece la ambiguedad de las constantes. Por ejemplo, para resolver el sistema anterior con las condiciones de contorno x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3, hacemos simplemente 9

10 >> in='x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3'; [x,y,z]=dsolve('dx=x+2*y-z','dy=x+z', 'Dz=4*x-4*y+5*z',in) x = 6*exp(2*t) - (5*exp(3*t))/2 - (5*exp(t))/2 y = (5*exp(3*t))/2-3*exp(2*t) + (5*exp(t))/2 z = 10*exp(3*t) - 12*exp(2*t) + 5*exp(t) 7. Ejercicios. 1. Graque las siguientes funciones, sus derivadas y sus integrales si existen. a. f(x, y) = sin 2 (x) + cos 2 (y). b. s(x) = 2x 2 + x 1, c. h(x, y) = f(s(x), x), d. m(x, y) = f(s(x), s(x)). Recomendación: use el comando subs() para componer funciones. 2. Construya una función MATLAB que calcule todos los puntos críticos de una función dada en variables simbólicas, que la graque a ella y sus puntos críticos y grabe la gráca en un archivo.jpg. 3. Construya una función MATLAB que determine si un punto crítico es máximo, mínimo o punto de silla de una función en variable simbólica. 4. Resuelva los siguienes PVI's con la ayuda de MATLAB. a. y (x) = y(x), y(0) = 1, y (π) = 1 a. 2y (x) = y(x), y(0) = 0 b. 4y (4) (x) + y (x) = y(x), y(0) = y (3) (x) = 1, y (π) = y (π)1 c. xy (x) = y(x), y(0) = 1 d. y (x) = y(x), y(0) = 1, y (π) = 1 5. El PVI x (t) + 20x (t) + 64x = 0, x(0) = 1/3, x (0) = 0, modela el movimiento de un sistema de masa-resorte con una fuerza de amortiguación. Las condiciones iniciales indican que la masa se ha estirado de su posición de equilibrio y que inicialmente está en reposo. 10

11 Exprese este PVI como un sistema de dos ecuaciones de primer orden, con las condiciones iniciales apropiadas. Resuelta el sistema de ecuaciones anterior usando dsolve(). Resuelva el problema origina usando dsolve(). Anime las dos soluciones encontradas para un tiempo t [0, 10]. 6. Considere el sistema masa-resorte donde c R + es un parámetro. x (t) + cx (t) + 0,25x(t) = 0, x(0) = 0,5, x (0) = 7 4, Exprese este PVI como un sistema de dos ecuaciones de primer orden, con las condiciones iniciales y el parámetro. Resuelva este sistema de PVI para los parámetros c {0,1, 0,5, 1, 1,5}. Anime las soluciones obtenidas para un tiempo razonable. 7. La ecuación θ (t) + k 2 sin(θ) = 0 describe el movimiento de un péndulo no amortiguado, donde θ(t) es el ángulo que forma el péndulo con la verticual en el instante t. Resuelva esta ecuación considerando que k = 1 y las condiciones iniciales θ(0) = 1, θ (0) = Encuentre las trayectorias x, y, z que son solución del sistema x (t) = 0,1x y y (t) = x 0,1y z (t) = 0,2z con las condiciones iniciales x(0) = 0, y(0) = 5, z(0) = 5. Utilize el comando comet3() para animar la curva de trayectoria. 9. Observemos que en el sistema lineal x (t) = 7y 4x 13 y (t) = 2x 5y + 11 las funciones x, y podrían representar la disposición a la guerra de dos naciones. En concreto, si una nación aumenta su dispoción a la guerra, la otra también. Mientras que si una nación tiene poca diposición a al guerra su variación será poca, pero siempre existe una tendencia residual a la guerra. Encuentra las curvas x e y bajo el supuesto de que al principio las naciones no tienen tendencia a la guerra. Dena la curva z(t) = x(t) + y(t) como el nivel de tendencia a la guerra entre las naciones y calcule su máximo. Referencias Rudra Pratap, Getting Started with MATLAB Department of Mechanical Engineering Indian Institute of Science, Bangalore. New York, Oxford University Press de enero de 2014