Coeficientes 43 X = 43 X partes literales 7 a 3 = 7 a 3

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1 APU TES Y EJERCICIOS DEL TEMA 6 1-T 6--1ºESO EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Son combinaciones de n os y letras unidos con operaciones matemáticas (aritméticas), que generalmente suelen ser sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Por tanto, una expresión algebraica tiene dos partes: a) Los coeficientes, que son los números que aparecen acompañando a las letras y que suelen ir a la izquierda de ellas multiplicando. b) La parte literal, que son las letras, y suelen aparecer a la derecha. Coeficientes 43 X = 43 X partes literales 7 a 3 = 7 a 3 TÉRMINOS: A la unión de un coeficiente (nº) con una o varias partes literales (letras) multiplicando se la denomina término. Por ello, arriba estamos viendo dos términos diferentes: uno es 43X y el otro es 7a 3 (que es lo mismo que 7 a a a). Se diferencian los dos términos en las letras que acompañan a los coeficientes. Las expresiones algebraicas no sólo constan de un único término. Pueden aparecer expresiones algebraicas con varios términos unidos mediante sumas o restas, y por ello encontramos: a) Monomios, que son las ex. alg. que tienen un solo término. (43X,, 8w,, 7a 3 bh,, ) 6 b) Binomios, que son las ex. alg. que tienen dos términos. (x + 3,, 4b 2 + 7x,, 66p 12k) c) Trinomios,... tres términos. (ax 4 + 6c 5,, b + y + 21s,,...) d) Polinomios,... cuatro o más términos. (a 5 + 2w 7z 2 15,, 6m 2 3p 9t 8 + 9y,...) Importante es, como todas las cosas, que si en un término no aparece un coeficiente estamos diciendo que es el nº 1 ya que es el único nº que al multiplicarlo por cualquier letra sale esa misma letra. X = 1 X,, a 3 = 1 a 3,, X = 1 X,, w 5 = 1 w 5 También es importante saber que si un coeficiente no va acompañando a ninguna parte literal (letra) se le llama término independiente. Se puede apreciar uno de estos términos en una de las páginas siguientes, pero aquí va un adelanto: 7x 2 + 9x - 12 (es el que tenéis en negrita y grande) Un monomio que nos debe sonar b h = bh = 1 b h = 1 bh = 1b h. El primero de ellos y más conocido es la fórmula que nos sirve para averiguar el área de un rectángulo. Sabiendo cuánto vale la base (b) y la altura (h) si multiplicamos los dos valores nos da el área. Y cuánto nos puede salir el área de una rectángulo? Es decir, cuánto vale el monomio bh o b h? Me imagino que habrás dicho que depende de lo que valgan la b y la h, es decir, las letras de esa expresión algebraica (las letras de ese monomio). Todo esto nos lleva a decir que para saber el valor de una expresión algebraica (lo que vale) hay que saber cuánto valen las letras, cambiarlas por el nº que nos dicen que valen y hacer una serie de cálculos para llegar al resultado final. Ejemplo: 3b + 5c 2w 2, si b = 2 c = 4 w = 5 al cambiar las letras por los valores que nos dan y hacer los cálculos correspondientes comprobamos que el resultado es. TÉRMINOS SEMEJANTES: Se les llama así a los términos que tienen exactamente la misma parte literal (letras). Pueden parecerse en la letra, pero como no tengan exactamente la misma cantidad no serán semejantes. Ejemplos: a) Semejantes 4X con 5X,, 3a 4 con 9a 4,, 34bw 2 con 5bw 2,, q 6 con 22q 6 b) No semejantes 4X no con 5X 3,, 21ab 2 no con 34ab ni con 9a 5 b 2 ni con 3ab 3 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Para comenzar quiero que sepáis algo muy interesante y un tanto complicado (según se mire). Lo explico con un ejemplo más o menos claro: - Si a 4 tomates (4t) le sumo 5 tomates (5t) nos saldría 9 tomates (9t) 4t + 5t = 9t - Si a 6 tomates (6t) le resto 2 tomates (2t) nos saldría 4 tomates (4t) 6t 2t = 4t - Si a 8 xilófonos (8x) le sumo un xilófono (x) nos saldría 9 xilófonos (9x) 8x + x = 9x - Si a 2 xilófonos (2x) le resto 5 xilófonos (5x) nos saldría -3 xilófonos (-3x) 2x 5x = 3x

2 2-T 6--1ºESO Como habéis observado, sois todos/as muy listos/as. Antes de ver el resultado ya sabíais el resultado. A qué ha venido esta pamplina? Pues sigamos con las sumas y las restas: - Si a 5 tomates (5t) le sumo 6 xilófonos (6x), qué nos saldría? 11 tomáfonos? Existe esa unión? - Y si a 7 tomates (7t) le resto 4 xilófonos (4x), saldrían también 3 tomáfonos? Ó 3 xilómates? Todo esto nos lleva, como no puede ser de otra manera, a la siguiente afirmación de vital importancia: para poder sumar o restar términos, éstos deben ser semejantes. Por ello, los términos que no lleven exactamente la misma parte literal (letra) no se podrán ni sumar ni restar por mucho que nos empeñemos en ello. Ejemplos: 2x + 5x = 7x,, 10x + x = 11x,, 7v + 8v = 15v,, 4c 9c = 5c,, 8h 4h = 4h,, 9m 12m = 3m,, 7k + 7k = 14k,, 8r 2r = 10r,, 8ab 4 7ab 4 = ab 4,, 4d 9k y 8u 3 + 3u 4 no se podrían hacer por no llevar exactamente la misma parte literal. Supongo que ya sabéis, y no ha hecho falta que yo os lo diga, que los términos que lleven parte literal (letras) no se pueden sumar ni restar con los términos independientes (aquellos que no llevan letras). Por ejemplo: 12x + 4x + 7x 8x 5 = 16x + 7x 8x 5 = 23x 8x 5 = 15x 5, y ya no podemos agruparlo más. Si cambiamos de operación y pasamos a la multiplicación de términos podemos observar que estas multiplicaciones se pueden hacer siempre, da igual cómo sean los términos (semejantes o no). Valgan estos ejemplos: 10 4w = 40 w,, 2 5 d = 10d,, 3x 9 = 27x,, 8 6h = 48h,, 6 ( 5j) = 30j,, q 7 = 7q 4 2 ( 9) 2a = 144a,, y ( 1) = y En las multiplicaciones hay más variantes, como esta expresión: 4 (2x + 7) A qué os recuerda? Os doy una pista. Un nº multiplicando a un paréntesis, y dentro de él hay dos términos que están sumando. Os ha servido la pista para algo? No? Pues está claro que podemos hacer esa expresión de dos formas distintas. La 1ª forma será hacer el paréntesis y lo que salga se lo multiplicamos al nº de fuera. Pero, Se puede hacer la operación del paréntesis? Muy bien, NO. Por lo tanto, estamos obligados a hacerlo de la 2ª forma que es aplicar la propiedad distributiva, y nos daría 4 (2x + 7) = 4 2x = 8x + 28 y ya no podríamos continuar al no ser semejantes los dos términos que aparecen. También nos podemos encontrar delante del paréntesis un signo de sumar. Si echamos la vista atrás hacia los n os enteros, qué es lo que hace un signo de sumar delante de un paréntesis? Pues sí, efectivamente no hace nada, es decir, se puede quitar el paréntesis y dejar todo tal y como está. En cambio, si delante de un paréntesis hay un signo menos ya sabemos que le cambia el signo a todo lo que haya en su interior. Veamos estos ejemplos: 3 + (5 7x) = x = 7x + 8,, 9 + d + ( 5d 6) = 9 + d 5d 6 = 4d (6x 6) = 1 6x + 6 = 6x + 7,, 4b 2 ( 6b 4) = 4b 2 + 6b + 4 = 10b + 2 EJERCICIOS 1.- Explica qué es un término y las partes que tiene. Luego, indica los coeficientes da cada uno de los siguientes términos: 3v,, 12x 3,, p 2,, -6b,, 9ñ,, 1 2h,, 77k,, 82y,, ag,, 4 5x,, 10m 6 np,, ñ. 2.- De los términos anteriores, hay alguno que sean semejantes? Si los hay, cópialos. 3.- Invéntate 10 términos semejantes a 3w 5. Intenta cambiar un poco, no te lo pongas fácil. 4.- Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en función del nº de términos que tienen: ad 3 5r,, 6b c + 12,, a + b + c 4 d + 4,, 12abcde,, d 2 8d + 5r,, 3a + 7 8a,, 7y,, 9p 4 + 6p 3 p 5.- Pon un ejemplo de una expresión algebraica con 1 término, otro con 2, otro con 3 y otro con Si en la expresión algebraica 2ab + b 2 1 la a = 3 y la b = 2, cuánto vale dicha ex. alg.? 7.- Calcula las siguientes sumas y restan con estos términos: 3x + 5x x = x + 6x 9x = 7x 15x + 2x = 4x 5x = 10x 20x 10x = 6x 45x 3 = 41x 10x 10x = 6a 9a a = 3a a a = 2x 30x 7a = x = 75b 124b 2b = 14m 12m 2m = 34t 12t 95t = t 4t t = 6y 2y 3y =

3 8.- Calcula estas otras sumas y restan con los términos siguientes: 3-T 6--1ºESO 5x 7x + 2x = x 10x 5x = 4q 6q + q 2q = 3a 7a + 2a = 15k 10k 16k = 9x 7b + x = b + 2b 6b = 5x 6x x = 4e 6e e = 9h 8h + h = d d 5d + 2d = p 6p 2p = 3y + 3y 7y = 7b + 4b b b = 8m 9m 7m = 2as + 3as 9as = 9.- Realiza estas multiplicaciones de términos: 3 4x = 6 2x = 4x 9 = 5x ( 5) = 4b ( 2) = 6m 5 = 5 ( 7b) = 4k ( 9) = 3 2 c ( 6) = 3 8 d h 2 = 2b 5 = 9 ( 2) 10 y = 7 5p ( 2) = 6 0 m 3 = 7 7 ( 7) c = 6 ( 8) q 3 = 10.- Resuelve las siguientes expresiones que llevan paréntesis: 3 ( 4m + 1) = 7 ( 2 + 7b) = 2 (5x + 7b) = 4 (8p 4) = 9 ( x 6f) = 11a (7 5) = 6 + (5x 9) = 1 + (6 + 3x) = 2x (8x 7) = 5x + 4 (3 9x) = 2 ( 3x) (2x + 1) = 5x (4 9) + 3 = 3 3 (2x + 5) + 4x = 2 6 (4 20x) + 1 = 6 (x + 9) + (7x 1) = (4b + 9) + 84b = 2w (5 + 4w) 1 = 3x 7x + (6 3x) = IGUALDAD: Es la relación que hay entre dos expresiones algebraicas iguales, por ejemplo: 3x + 2x = 5x.También valen 3x + 2x = 4x + x, o bien, x = 5 + 3x ECUACIÓN: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas diferentes. Es una igualdad porque las dos ex. alg. están separadas por un igual. Por ejemplo: 2x + 5 = x 9,, 3x + 8 (4x 8) + 1 = x 7x (5 75x),, 8b 2 = 5 Las ecuaciones tienen dos partes bien diferenciadas llamadas miembros, y las separa el igual. Cada una de las dos partes tiene un nombre un tanto complicados. La ex. alg. de la izquierda se llama Miembro de la Izquierda o de las Letras y la ex. alg. de la derecha se llama Miembro de la Derecha o de los Números. Todas las ecuaciones tienen una o varias letras, generalmente la misma (suele ser la X ) y van acompañadas de n os, sumas, restas, paréntesis,... A las letras se las llama I CÓG ITAS ya que suelen ser n os de los que no conocemos su valor (por eso es una incógnita) Las ecuaciones que vamos a ver este año van a ser de primer grado porque la/s incógnita/s están elevadas a exponente 1, el cual ya se sabe que no se pone. Las ecuaciones sirven para solucionar problemas de los que no conocemos un dato. A este dato se le suele poner la letra X, es decir, la incógnita. La gran mayoría de las ecuaciones tienen una única solución. CUÁL ES LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN?: Como ya hemos dicho más arriba las ecuaciones nos llevan a encontrar la solución de un problema. Esa solución será aquel nº que cuando se cambie a las incógnitas por él y se hagan las cuentas correspondientes nos salga el mismo nº en los dos miembros. Por ejemplo: x + 1 = 7 Solución: x = 6. Si cambiamos a la x por 6 y le sumamos el 1 está claro que nos sale 7. Por lo tanto, si nos dan una ecuación con sus dos ex. alg. diferentes separadas por un igual (con esa/s bonita/s incógnita/s) y también nos dicen la solución de la incógnita, para comprobar si la solución es o no correcta deberemos cambiar a todas las incógnitas por el nº que nos dan y haremos los cálculos necesarios para llegar al final. Si en los dos miembros nos ha salido el mismo nº querrá decir que la solución es correcta. Si no es así, la solución es incorrecta.

4 4-T 6--1ºESO Vamos a trabajar un buen rato con la ecuación que sacamos de un problema un tanto complejo. Dice así: PROBLEMA He pensado un nº, lo he multiplicado por 7 y le he restado 5. Me ha salido 19. Qué nº he pensado? Pues si analizáis la situación habréis llegado a la conclusión de que el nº pensado es el. Y lo sabéis porque si lo multiplicáis por 7 y le restáis 5 os sale 19. En esta ocasión, la solución es y la habéis encontrado por un método llamado por tanteo, es decir, probando hasta dar con él. Finalmente, diremos que la solución de la ecuación 7 x 5 = 19 es x = 2. PROPIEDADES DE UNA ECUACIÓN: Partiendo de la ecuación del problema anterior (7x 5 = 19, cuya solución es x = 2) le vamos a sumar un nº cualquiera a los dos miembros de la ecuación (cópialo): Comprobamos que sigue saliendo la misma solución. Por lo tanto, la primera propiedad de las ecuaciones dice así: al sumar un mismo nº a los dos miembros de una ecuación, la solución no varía. Pero, y si en vez de sumar un mismo nº se lo restamos? (cópialo): Vuelve a salir la misma solución. Entonces, la segunda propiedad dice que si le restamos un mismo nº a los dos miembros de una ecuación, la solución no varía. Y si en vez de sumar o restar multiplicamos a los dos miembros por el mismo nº? (cópialo): Qué pesado! Sigue saliendo la misma solución inicial. Nos lleva a la tercera y cuarta propiedad, que dice que al multiplicar o dividir a los dos miembros de una ecuación por un mismo nº la solución no varía. A estas alturas ya os habréis hecho una pregunta, para qué nos puede valer esto? Vaya chorrada!. Pues no, no es así. Todo lo anterior nos sirve para poder encontrar la solución de una ecuación en concreto, sin tener que buscarla por tanteo. Para ello, es preciso que sepas un poquito más. Presta mucha atención: en la ecuación del problema 7x 5 = 19 le vamos a sumar a los dos miembros el nº 5 y así no cambia la solución. Qué ha pasado? No te has dado cuenta? No? Pues copia esto : Muy bien, ya te has dado cuenta. Sí, efectivamente, si un nº está sumando en un miembro pasa al otro miembro restando. Y si ese nº está restando? Cómo pasa al otro miembro? Pero mira que sois inteligentes. Muy bien, si un nº está restando en un miembro pasa al otro sumando. Y si...? Genial, si un nº está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y si un nº está dividiendo pasa al otro miembro multiplicando. Perfecto. Lo has pillado muy bien.

5 EJERCICIOS 5-T 6--1ºESO 11.- Indica si las siguientes expresiones son Igualdades o Ecuaciones : = (3 + 4) = = 6 (7 7) 3x 2 = x = x = x + x = (2x + 8) = 10x e 7 = 5e (6 4) = 6 a + 2a = 9 2 (y 8) = 67 x + x + 5x = 3 8 5b + 5 = 5 (b + 1) 2 ( ) : 5 = 3 25 : Encuentra por tanteo la solución de estas ecuaciones: 2t + 5 = 11 2 (y + 1) = 20 x + 6 = 3 y 3 = 5 t + 13 = 11 3 s 9 = Dada las ecuaciones siguientes y sus soluciones, comprueba si te estoy diciendo la verdad o no. Explica, en cada caso, cómo lo sabes: 7 15x = 68,, Sol. x = 5 x 4x + 3 = 3x 9,, Sol. x = 2 2x 8 = 6x + 16,, Sol. x = 1 7d + 4 = 24,, Sol. d = 4 5 (y 11) = y,, Sol. y = 3 3 p = 2p 17,, Sol. p = 20 MÉTODO GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES: Finalmente, os voy a enseñar cómo se encuentra la solución de una ecuación que no sea por tanteo. Para ello, se siguen una serie de pasos, como son: 1º.- Si hay paréntesis, se realizan los paréntesis. 2º.- Se pasan los términos con parte literal a su sitio, y los números al suyo. 3º.- Se suman los términos de cada miembro por separado. 4º.- Se pasa el nº que está multiplicando a la incógnita al miembro de la derecha, dividiendo al nº que ya está allí (ten cuidado porque dividir siempre es debajo, nunca arriba). 5º.- Como ya tenemos la x sola en el miembro de la izquierda, sólo nos queda dividir la fracción del miembro de la derecha para encontrar la solución. En caso de que la división no salga exacta, intentaremos simplificar la fracción, y si no se puede simplificar, nos ha salido directamente la solución. Ejemplo a copiar: 4x 5 = x + 2 (1 + 5x) NOTA: En el libro aparecen ecuaciones con denominadores y también cómo se resuelven problemas utilizando ecuaciones. Este año nos conformaremos con saber todo lo que hemos visto anteriormente, por lo que en el curso venidero seguiremos ampliando conocimientos relacionados con este tema. EJERCICIOS DEL LIBRO - De la página 115, los n os 6 y 7. - De la página 116 haréis los n os 10, 11, 12 y 13. De la página 118, el nº De la página 120 haréis los n os 23 bcdfgh y De la página 121 se harán los ejercicios 27 y De la página 123 haremos los 3 ejercicios a modo de prueba para comprobar que realmente se pueden solucionar problemas utilizando ecuaciones. MÁS EJERCICIOS 14.- Comprueba si las soluciones de las ecuaciones que doy a continuación son o no son correctas. Explica por qué y no vale resolverlas: a) 3x 7 = x 3 Sol. x = 2? b) 4 (x 5) + 8 = 2x 10 Sol. x = 1? c) (2x + 7) = 2x 24 Sol. x = 5? d) 7 x + 6 = 4 (4x + 5) + 13 Sol. x = 2?

6 6-T 6--1ºESO 15.- Resuelve las siguientes ecuaciones siguiendo los pasos en su orden correcto. Os doy la solución para que comprobéis si está bien hecha, no para ponerla directamente: 16.- Resuelve estas ecuaciones amplias: 6x + 1 = 5x + 3 Sol. x = 2 x 8 = 2x + 7 Sol. x = 15 2x = 4 Sol. x = 2 7x = Sol. x = 7 5 2x = 3 8x 2 Sol. x = 1 2x 5x = 6 Sol. x = 2 6 (x + 1) = x 1 Sol. x = 3 4 (x 2) + 5 (7 x) = 22 Sol. x = 5 3 (x 1) 2 (x + 1) + x 2 = 0 Sol. x = 7/2 6 (x 3) (x 8) = 3 (5 x) 4x + 3 Sol. x = 7/3 4x 5 = x x Sol. x = 1 3 5x + 1 = x + 15 Sol. x = 17/6 3x + 6 = 5x + 9 Sol. x = 3/2 2 (x 6) = x + 9 (4x + 6) 2 3x 2 (4x 7) + 3 = 2 (4x 6) 3x 9 ( x + 6) 5 = 5 ( 2 2x) (3x + 5) 7 (2x + 1) 5 = (4x 3) (4 2x) 0 25 (8x 1) = 0 75 (es un poco rara, pero se resuelve igual) EJERCICIOS DEL TRABAJO: En este tema el trabajo que vais a hacer os lo doy a continuación. No son ejercicios de las últimas hojas del tema, tal y como estamos acostumbrados, sino que serán varios ejercicios de los temas anteriores y otros muchos del tema 6 actual. Aquí van: I.- Realiza estas operaciones variadas: a) A numeración romana h) de menor a mayor 3/4,, 1/5,, 9/8,, 6/10,, 15/20 b) :(3 2 7) 49 x ( : ) i) Como los antiguos egipcios 7/ c) j) + ( : ) d) :? = 5.901, resto = 1 k) 6 8 [ (8 15) + 1] 1 e) 5 6 x x 5 x 25 0 l) [( 4) + ( 9)] [( 7) ( 15)] ( 4) f) Cuadrado perfecto más cercano a m) : g) Simplifica por el MCD 330 n) : 0 3 II.- En un mes, una gasolinera de Ayamonte ha vendido litros de distintas gasolinas. Se sabe que las 3 décimas partes ha sido gasolina sin plomo 98, el 45 % del resto fue de sin plomo 95, y el resto de gasoil. Cuántos litros de gasoil logró vender en ese mes dicha gasolinera? III.- Qué es una expresión algebraica? Y un término? Y un trinomio? Y una ecuación? Cuál es el valor de una expresión algebraica? Luego, haz: a) Invéntate una expresión algebraica de 2 términos, uno de ellos independiente. b) Di cuatro términos semejantes a 6 a 3 m.

7 5x T 6--1ºESO c) Indica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los términos 8 ab,, 7x,,,, w 5,, b 5,, t,, 84. d) Halla el valor de 5 m 2 + m 4 para m = 2. IV.- Demuestra, sin resolver, si la solución de estas ecuaciones son correctas o no: a) X + 8 = 6X 2 X = 2? b) 5X + 9 = 3X (1 + 2X) + 2 X = 2? c) 15 X + 3 (9 4X) = 10X + 57 X = 5? V.- Resuelve estas ecuaciones: a) 2X 5 = 11 g) 15 = 6 (4X + 3) + 7 (X + 2) 2 b) 7X + 8 = 8X 9 h) X + 6 = 3X + 18 c) 4X + 6 (X 2) = X 1 i) 4 (5X 1) = 7 (2 + 3X) 9 d) 40 = X (2X 5) (10X + 8) 8 j) 1 = 4X 15 e) 3X 9 + (5X 3) 4 = 0 k) 5 + X = 7 (8 + X) 5X f) 2X + 3 (X + 1) = 2X + 10 l) 4X X = 3 Sin nada más, y esperando este tema no haya sido del todo complicado, nos vemos en el siguiente. Gracias por la atención prestada. A que no ha sido tan difícil? Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez Profesor de matemáticas de 1º de ESO