Grado en Ingeniería Aeroespacial 4 o curso

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1 Grado en Ingeniería Aeroespacial 4 o curso MECÁNICA DEL VUELO Damián Rivas Rivas Catedrático de Ingeniería Aeroespacial Departamento de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Universidad de Sevilla Sevilla, septiembre de

2 TEMARIO Tema 1. Ecuaciones del movimiento. Hipótesis generales. Sistema de referencia y sistemas de ejes. Modelo de 3 grados de libertad. Ecuaciones generales. Vuelo simétrico. Tema 2. Modelos de atmósfera y de avión. Modelo de atmósfera. Modelo aerodinámico. Polar. Eficiencia aerodinámica. Velocidad de entrada en pérdida. Velocidad equivalente. Modelo propulsivo. Velocidad calibrada (CAS). Tema 3. Actuaciones de punto. Techo teórico. Velocidad máxima. Envolvente de vuelo. Ángulo de subida. Velocidad de subida (rate of climb). Factor de aceleración. Ángulo de descenso. Velocidad de descenso (rate of descent). Actuaciones en planeo. Tema 4. Actuaciones integrales. Alcance. Cruise climb. Diagrama alcance-carga de pago. Autonomía. Costes de operación. Cost index. Efecto del viento. Aceleración en vuelo horizontal. Distancia horizontal y tiempo de subida/descenso. Actuaciones en planeo. Tema 5. Actuaciones en viraje. Viraje en un plano vertical. Pull up / Push down. Viraje horizontal uniforme. Virajes óptimos. Diagrama de maniobra (V -n). Viraje uniforme en planeo. Viraje horizontal no estacionario. Tema 6. Despegue y aterrizaje. Despegue. Carrera de despegue. Velocidad V1. Aterrizaje. Frenado con reversa. Recorrido en el aire. Tema 7. Estabilidad y control estáticos. Movimiento longitudinal. Sustentación y momento de cabeceo del avión. Estabilidad estática longitudinal. Punto neutro con mandos fijos. Control estático longitudinal. Equilibrado del avión. Tema 8. Estabilidad y control estáticos. Movimiento lateral-direccional. Fuerza lateral y momentos de balance y guiñada del avión. Estabilidad estática lateral-direccional. Control estático lateral-direccional. Tema 9. Respuesta dinámica del avión. Ecuaciones del movimiento. Modelo de 6 grados de libertad. Respuesta dinámica longitudinal. Respuesta dinámica lateral-direccional. Sistema de control de vuelo (FCS). 2

3 PRÁCTICAS 1. Velocidad de entrada en pérdida del avión MD-81, y estimación del C Lmax del avión. 2. Velocidad de vuelo del avión MD-81 en planeo, fijada una velocidad de descenso, y estimación de los coeficientes C D0 y k de la polar del avión. BIBLIOGRAFÍA Mecánica del Vuelo, 2 a edición, M.A. Gómez Tierno, M. Pérez Cortés y C. Puentes Márquez, Garceta, Fundamentals of Airplane Flight Mechanics, David G. Hull, Springer-Verlag, Flight Mechanics of High-Performance Aircraft, Nguyen X. Vinh, Cambridge Univ. Press, An Introduction to Aircraft Performance, Mario Asselin, AIAA Education Series, Performance, Stability, Dynamics, and Control of Airplanes, 2nd Ed., Bandu N. Pamadi, AIAA Education Series, Introduction to Aircraft Flight Dynamics, Louis V. Schmi, AIAA Education Series, Dynamics of Flight, Stability and Control, 3rd Ed., B. Etkin y L.D. Reid, John Wiley & Sons,

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5 TEMA 1 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO 1.1 Hipótesis generales En el estudio de las actuaciones del avión se considera el movimiento del centro de masas del avión, considerado como un cuerpo puntual de masa variable con 3 grados de libertad. En la formulación del problema se consideran las hipótesis generales siguientes: 1. avión cuerpo rígido, 2. avión simétrico (tiene un plano de simetría), 3. motor fijo respecto al avión, 4. Tierra plana, 5. gravedad constante, 6. atmósfera en calma (no hay viento). 1.2 Sistema de referencia y sistemas de ejes La Mecánica del Vuelo utiliza distintos sistemas inerciales de referencia, según la misión de que se trate. Para vuelos interplanetarios debe considerarse un sistema inercial heliocéntrico. Para vuelos en las proximidades de la Tierra debe considerarse un sistema inercial geocéntrico (fijo con respecto a la eclíptica), pudiendo hacerse la hipótesis de que la Tierra es esférica. Para vuelos a baja altitud y baja velocidad (vuelos de aviones), puede considerarse un sistema inercial fijo con respecto a la Tierra, que gira con respecto al sistema inercial geocéntrico con la velocidad angular de la Tierra ( w), que puede suponerse constante; también puede suponerse que las fuerzas de inercia de Coriolis y centrífuga son despreciables. Para vuelos cortos, y en particular para el estudio de actuaciones, se puede hacer la hipótesis de Tierra plana, en la cual la superficie terrestre se supone plana y cualquier sistema de referencia fijado a ella (topocéntrico) se supone inercial. Para obtener las ecuaciones escalares del movimiento se consideran las ecuaciones vectoriales en forma matricial. Para ello los vectores deben proyectarse en un sistema de ejes determinado. En este curso se utilizan distintos sistemas de ejes, que se describen a continuación. Para obtener las componentes de un vector a en ejes Y conocidas sus componentes en ejes X, se considera la matriz asociada a la transformación X Y que permite escribir [a] Y = [T] Y X [a] X (1.1) Sistema inercial topocéntrico El sistema inercial topocéntrico I(O, x, y, z) se define como sigue: O cualquier punto de la superficie terrestre; x en dirección norte; y en dirección este; z completa un triedro a derechas (dirigido hacia abajo). 5

6 El plano xy es el plano horizontal Sistema de ejes horizonte local El sistema de ejes horizonte local H(O h, x h, y h, z h ) se define como sigue (ver figura 1.1): O h centro de masas del vehículo; x h paralelo al eje x del sistema inercial topocéntrico; y h paralelo al eje y del sistema inercial topocéntrico; z h completa un triedro a derechas (paralelo al eje z del sistema inercial topocéntrico). El plano x h y h es el plano horizontal local. Orientación de los ejes horizonte local (H) respecto de los ejes del sistema inercial topocéntrico (I). Transformación I H : la orientación de los ejes horizonte local coincide en todo momento con la de los ejes del sistema inercial topocéntrico. La matriz de transformación es pues la identidad Sistema de ejes viento El sistema de ejes viento W (O w, x w, y w, z w ) se define como sigue (ver figuras 1.2 y 1.3): O w centro de masas del avión; x w dirigido según el vector velocidad aerodinámica V y en su mismo sentido; z w contenido en el plano de simetría del avión, y dirigido hacia abajo en la actitud normal de vuelo; y w completa un triedro a derechas (dirigido según el ala derecha del avión). Figura 1.1: Sistema de ejes horizonte local 6

7 Figura 1.2: Sistema de ejes viento Orientación de los ejes viento (W ) respecto de los ejes horizonte local (H). Ángulo de asiento de velocidad γ (en inglés, aerodynamic flight-path angle): ángulo formado por el vector velocidad aerodinámica V con el plano horizontal local; positivo cuando el avión sube. Ángulo de guiñada de velocidad χ (en inglés, aerodynamic heading angle): ángulo formado por la proyección del vector velocidad V sobre el plano horizontal local con la dirección norte; positivo hacia el este. Ángulo de balance de velocidad µ o ángulo de alabeo (en inglés, bank angle): ángulo formado por el eje y w con la intersección del plano y w z w con el plano horizontal; positivo en el sentido de bajar el ala derecha. Transformación H W : los ejes viento se obtienen a partir de los ejes horizonte local mediante una rotación de ángulo χ alrededor del eje z h, seguida de una rotación de ángulo γ alrededor del eje intermedio y, seguida de una rotación de ángulo µ alrededor del eje x w (ver figuras 1.1 y 1.2). La matriz de transformación es [T] W H = = cos µ sin µ 0 sin µ cos µ cos γ 0 sin γ sin γ 0 cos γ cos χ sin χ 0 sin χ cos χ cos γ cos χ cos γ sin χ sin γ sin µ sin γ cos χ cos µ sin χ sin µ sin γ sin χ + cos µ cos χ sin µ cos γ cos µ sin γ cos χ + sin µ sin χ cos µ sin γ sin χ sin µ cos χ cos µ cos γ (1.2) Este sistema de ejes permite orientar de forma natural la fuerza aerodinámica (ver figura 1.3), siendo, por definición, la resistencia (D) la componente según x w, la fuerza lateral (Q) la componente 7

8 según y w y la sustentación (L) la componente según z w. Nótese que en general la velocidad V no está contenida en el plano de simetría del avión (en el caso de vuelo simétrico sí lo está); se llama ángulo de resbalamiento (en inglés, sideslip angle) β al ángulo formado por el vector V con el plano de simetría. Figura 1.3: Orientación de la fuerza aerodinámica Para orientar el empuje respecto de los ejes viento, se definen el ángulo de ataque del empuje (ε) y el ángulo de resbalamiento del empuje (ν), tal y como se indica en la figura 1.4. Figura 1.4: Orientación del empuje 8

9 1.2.4 Sistema de ejes cuerpo El sistema de ejes cuerpo B(O b, x b, y b, z b ) se define como sigue (ver figura 1.5): O b centro de masas del avión; x b contenido en el plano de simetría del avión, según una línea de referencia longitudinal, y dirigido hacia el morro; z b contenido en el plano de simetría del avión, ortogonal a x b, y dirigido hacia abajo en la actitud normal de vuelo; y b completa un triedro a derechas (es ortogonal al plano de simetría, dirigido según el ala derecha del avión). Figura 1.5: Sistema de ejes cuerpo Orientación de los ejes cuerpo (B) respecto de los ejes viento (W ). Ángulo de resbalamiento (en inglés, sideslip angle) β: ángulo formado por el vector V con el plano de simetría; positivo cuando el aire le entra al avión por la derecha. Ángulo de ataque (en inglés, angle of attack) α: ángulo formado por el eje x b con la proyección del vector V sobre el plano de simetría; positivo cuando el aire le entra al avión por abajo. Transformación W B : los ejes cuerpo se obtienen a partir de los ejes viento mediante una rotación de ángulo β alrededor del eje z w, seguida de una rotación de ángulo α alrededor del eje y b (ver figura 1.5). La matriz de transformación es 9

10 [T] BW = cos α 0 sin α sin α 0 cos α = cos β sin β 0 sin β cos β cos α cos β cos α sin β sin α sin β cos β 0 sin α cos β sin α sin β cos α (1.3) Orientación de los ejes cuerpo (B) respecto de los ejes horizonte local (H). Ángulo de asiento (en inglés, pitch angle) θ: ángulo formado por el eje x b con el plano horizontal local; positivo hacia arriba. Ángulo de guiñada (en inglés, yaw angle) ψ: ángulo formado por la proyección del eje x b sobre el plano horizontal local con la dirección norte; positivo hacia el este. Ángulo de balance (en inglés, roll angle) φ: ángulo formado por el eje y b con la intersección del plano y b z b con el plano horizontal; positivo en el sentido de bajar el ala derecha. Cuando φ = 0 se dice que el avión vuela con las alas a nivel. Transformación H B : los ejes cuerpo se obtienen a partir de los ejes horizonte local mediante una rotación de ángulo ψ alrededor del eje z h, seguida de una rotación de ángulo θ alrededor del eje intermedio y 1, seguida de una rotación de ángulo φ alrededor del eje x b. La matriz de transformación es [T] BH = = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ cos θ 0 sin θ sin θ 0 cos θ cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ sin φ cos θ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ cos φ cos θ (1.4) Esta matriz verifica la siguiente relación [T] BH = [T] BW [T] W H (1.5) la cual permiten relacionar los ángulos (θ, ψ, φ) con los ángulos (α, β) y (γ, χ, µ). 1.3 Modelo de 3 grados de libertad Se analiza aquí el movimiento del centro de masas del avión bajo la acción de diversas fuerzas. Este movimiento está definido en cada instante por la posición, la velocidad y la masa del avión (considerado como una masa puntual). En cada instante el avión está sujeto a una fuerza total compuesta por la fuerza gravitatoria m g, la fuerza aerodinámica F A y la fuerza propulsiva F T. Las ecuaciones del movimiento respecto de un sistema inercial de referencia (en este curso se 10

11 considera el sistema inercial topocéntrico) son ( ) d r ( dv m ) I I I = V I = F A + F T + m g dm = c donde r = OOh es el vector de posición, t el tiempo, V I la velocidad absoluta del vehículo (velocidad respecto del sistema inercial), m la masa del vehículo y c el gasto másico de combustible (en general la masa es una función del tiempo, como consecuencia del consumo de combustible); las derivadas de los vectores r y V I se efectúan en el sistema inercial de referencia. Se tiene un sistema de 7 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, para las 3 componentes del vector de posición, las 3 de la velocidad y la masa. El estudio aerodinámico y propulsivo del avión permitirá definir F A, F T y c. Nótese que la velocidad absoluta V I coincide con la velocidad respecto de tierra (en inglés, ground speed) V g, que puede expresarse como V g = V + V w, siendo V la velocidad aerodinámica y V w la velocidad del viento. Dado que no se considera viento, se tiene V I = V g = V. (1.6) 1.4 Ecuaciones escalares Para obtener las ecuaciones escalares del movimiento se van a considerar las ecuaciones vectoriales en forma matricial. Para ello los vectores deben proyectarse en un sistema de ejes determinado. Se verá más adelante que resulta necesario proyectar vectores definidos por un producto vectorial, por ejemplo A = ω a. Para ello se utiliza el resultado siguiente: si en el sistema de ejes dado es ω = p q r (1.7) el tensor dado por permite escribir por tanto, se tiene siendo Ω = [Ω] E = 0 r q r 0 p q p 0 (1.8) ω a = Ω a (1.9) [A] E = [Ω] E [a] E (1.10) 0 r q r 0 p q p 0 (1.11) la matriz asociada a ω. 11

12 1.4.1 Ecuaciones cinemáticas En primer lugar se van a obtener las ecuaciones cinemáticas escalares. Para ello se proyecta la ecuación vectorial en los ejes del propio sistema de referencia topocéntrico. Se tiene [( ) ] dr I = [V ] I (1.12) I Las ecuaciones escalares se obtienen a partir de las siguientes expresiones x [r] I = y z (1.13) [( ) ] dr I = I ẋ ẏ ż (1.14) [V ] W = V 0 0 (1.15) [V ] I = [T] HW [V ] W = V cos γ cos χ V cos γ sin χ V sin γ (1.16) siendo [T] HW la matriz traspuesta de [T] W H, que viene dada por la ecuación (1.2). Se tienen las siguientes ecuaciones cinemáticas, tomando h = z, dx = V cos γ cos χ dy = V cos γ sin χ dh = V sin γ (1.17) Ecuaciones dinámicas A continuación se van a obtener las ecuaciones dinámicas escalares. Para ello se escribe en primer lugar la derivada de V en ejes viento, que son unos ejes móviles que giran con respecto al sistema inercial con velocidad angular ω W I, para lo cual será necesario utilizar el siguiente resultado de Mecánica correspondiente al movimiento angular relativo: Sea un sistema de referencia fijo F y otro móvil M que gira respecto del fijo con velocidad angular ω MF constante. La relación entre las derivadas temporales de un vector A en ambos sistemas viene dada por la siguiente relación: ( da ) F = ( da ) + ω MF A (1.18) M 12

13 Por tanto, dado que ( dv ) ( d = ) V + ω W I V (1.19) I W se tiene ( dv ) + ω W I V = 1 F m A,T + g (1.20) W A continuación se proyecta la ecuación dinámica vectorial en ejes viento, se tiene [( ) ] dv W + [Ω W H] W [V ] W = 1 W m [F A,T ] W + [g] W (1.21) donde [Ω W H ] W es la matriz asociada a ω W H = ω W I, que viene dada por ω W H = χ k h + γ j x + µ i w (1.22) siendo j x la dirección y de los ejes intermedios X que se obtienen al girar los ejes H el ángulo χ alrededor del eje z h. Las ecuaciones escalares se obtienen a partir de la ecuación (1.21) y de las siguientes expresiones [( ) ] dv W = W [g] H = 0 0 g [g] W = [T] W H [g] H = [Ω W H ] W [V ] W = V 0 0 (1.23) (1.24) g sin γ g cos γ sin µ g cos γ cos µ 0 V ( χ cos γ cos µ γ sin µ) V ( χ cos γ sin µ + γ cos µ) (1.25) (1.26) Finalmente, se tiene el siguiente resultado dv = 1 m (F A,T ) xw g sin γ V ( dχ dγ cos γ cos µ sin µ) = 1 m (F A,T ) yw + g cos γ sin µ V ( dχ dγ cos γ sin µ + cos µ) = 1 m (F A,T ) zw + g cos γ cos µ (1.27) donde (F A,T ) xw, (F A,T ) yw, (F A,T ) zw son las componentes de las fuerzas aerodinámica y propulsiva en los ejes viento. 13

14 Combinando las ecuaciones 2 a y 3 a anteriores se obtienen las siguientes ecuaciones dinámicas dv = 1 m (F A,T ) xw g sin γ V cos γ dχ = 1 [ ] (F A,T ) m yw cos µ (F A,T ) zw sin µ V dγ = 1 [ ] (F A,T ) m yw sin µ + (F A,T ) zw cos µ + g cos γ (1.28) 1.5 Ecuaciones generales Las componentes de las fuerzas aerodinámica y propulsiva en ejes viento vienen dadas por T cos ε cos ν D [F A,T ] W = T cos ε sin ν Q (L + T sin ε) (1.29) Las ecuaciones generales, con todas las hipótesis indicadas, son pues las siguientes dx = V cos γ cos χ dy = V cos γ sin χ dh = V sin γ m dv = T cos ε cos ν D mg sin γ mv cos γ dχ = (T cos ε sin ν Q) cos µ + (L + T sin ε) sin µ mv dγ = [(T cos ε sin ν Q) sin µ (L + T sin ε) cos µ] mg cos γ dm = c En estas ecuaciones se tiene la siguiente dependencia funcional L = L(h, V, α, β) D = D(h, V, α, β) Q = Q(h, V, α, β) T = T (h, V, π) c = c(h, V, π) ε = ε(α, β) ν = ν(α, β) (1.30) (1.31) siendo π el parámetro de control del motor. Se tiene pues un sistema de 7 ecuaciones diferenciales ordinarias con 11 variables dependientes: 7 variables de estado (variables derivadas), x, y, h, V, χ, γ, m; y 4 variables de control (variables no derivadas), α, β, π, µ. Se tienen por tanto 4 grados de libertad matemáticos, es decir, se deben especificar 4 condiciones adicionales para poder integrar el sistema junto con sus condiciones iniciales. 14

15 Obtención de los ángulos ε y ν. La orientación del empuje respecto de ejes cuerpo es conocida. Sea T = T t, y sea k 1 [t] B = k 2 k 3 (1.32) donde k 1, k 2, k 3 son los cosenos directores del vector unitario t, que cumplen k1 2 + k2 2 + k2 3 = 1. Las componentes de t en ejes viento son, por definición (ver Fig. 1.4), [t] W = cos ε cos ν cos ε sin ν sin ε (1.33) A partir de la igualdad [t] B = [T] BW [t] W (1.34) se obtienen las siguientes relaciones que definen ε(α) y ν(α, β) sin ε = k 1 sin α k 3 cos α cos ε sin(β + ν) = k 2 (1.35) 1.6 Vuelo simétrico Se dice que el vuelo es simétrico cuando los vectores V y T están contenidos en el plano de simetría y Q = 0. Como consecuencia, también se tiene β = ν = k 2 = 0. Las ecuaciones del vuelo simétrico son pues dx = V cos γ cos χ dy = V cos γ sin χ dh = V sin γ m dv = T cos ε D mg sin γ mv cos γ dχ = (L + T sin ε) sin µ mv dγ = (L + T sin ε) cos µ mg cos γ dm = c En estas ecuaciones se tiene la siguiente dependencia funcional L = L(h, V, α) D = D(h, V, α) T = T (h, V, π) c = c(h, V, π) ε = ε(α) (1.36) (1.37) 15

16 Se tiene ahora un sistema de 7 ecuaciones diferenciales ordinarias con 10 variables dependientes: 7 variables de estado (variables derivadas), x, y, h, V, χ, γ, m; y 3 variables de control (variables no derivadas), α, π, µ. En vuelo simétrico se tienen por tanto 3 grados de libertad matemáticos. En vuelo simétrico se tienen además los siguientes resultados: 1) el plano x w z w (plano LD) coincide con el plano de simetría del avión; 2) los ejes y w e y b coinciden; 3) α es el ángulo formado por el eje x b con el vector V ; 4) ε es el ángulo formado el vector T con el vector V. En este caso de vuelo simétrico la ecuación (1.34) se reduce a k 1 cos α 0 sin α cos ε 0 = k 3 sin α 0 cos α sin ε (1.38) de donde se obtiene Es decir, se puede poner ε = α artan k 3 k 1 (1.39) ε = α + ε 0 (1.40) siendo ε 0 un parámetro de diseño conocido (ver figura 1.6). Figura 1.6: Vuelo simétrico 16

17 1.6.1 Vuelo simétrico en un plano vertical El vuelo en un plano vertival está definido por la condición χ = const. Por comodidad se puede tomar χ = 0 y por tanto y = const (ver figura 1.7). De las ecuaciones dinámicas se deduce µ = 0. Las ecuaciones del vuelo simétrico en un plano vertical son pues dx = V cos γ dh = V sin γ m dv = T cos ε D mg sin γ mv dγ = L + T sin ε mg cos γ dm = c junto con las relaciones funcionales definidas en la ecuación (1.37). (1.41) Se tiene ahora un sistema de 5 ecuaciones diferenciales ordinarias con 7 variables dependientes: 5 variables de estado (variables derivadas), x, h, V, γ, m; y 2 variables de control (variables no derivadas), α, π. En vuelo simétrico en un plano vertical se tienen por tanto 2 grados de libertad matemáticos. Figura 1.7: Vuelo simétrico en un plano vertical Caso particular: vuelo horizontal (rectilíneo). El vuelo horizontal está definido por h = const. De las ecuaciones cinemáticas se deduce γ = 0. Las ecuaciones del vuelo simétrico horizontal en un plano vertical son pues dx = V m dv = T cos ε D 0 = L + T sin ε mg dm = c 17 (1.42)

18 junto con las relaciones funcionales definidas en la ecuación (1.37). Se tiene ahora un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias y 1 ecuación algebraica con 5 variables dependientes: 3 variables de estado (variables derivadas), x, V, m; y 2 variables de control (variables no derivadas), α, π. En vuelo simétrico horizontal en un plano vertical se tiene por tanto 1 grado de libertad matemático Vuelo simétrico en un plano horizontal El vuelo horizontal está definido por h = const (ver figura 1.8). De las ecuaciones cinemáticas se deduce γ = 0. Las ecuaciones del vuelo simétrico en un plano horizontal son pues dx = V cos χ dy = V sin χ m dv = T cos ε D V dχ = g tan µ 0 = (L + T sin ε) cos µ mg dm = c junto con las relaciones funcionales definidas en la ecuación (1.37). (1.43) Se tiene ahora un sistema de 5 ecuaciones diferenciales ordinarias y 1 ecuación algebraica con 8 variables dependientes: 5 variables de estado (variables derivadas), x, y, V, χ, m; y 3 variables de control (variables no derivadas), α, π, µ. En vuelo simétrico en un plano horizontal se tienen por tanto 2 grados de libertad matemáticos. Figura 1.8: Vuelo simétrico en un plano horizontal 18