TEMA 3 ACTUACIONES DE PUNTO

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1 TEMA 3 ACTUACIONES DE PUNTO En este curso se analizan las actuaciones de punto de aviones con turborreactor o turbofán. En el estudio de las actuaciones de punto static performance) se considera el problema casi estacionario, esto es, se desprecian las aceleraciones tangencial y normal, y se estudian las ecuaciones dinámicas, que para el vuelo en un plano vertical con ε = 0 se reducen a T h, V, π) Dh, V, L) sin γ = 0 L cos γ = 0 3.1) En estas ecuaciones hay 6 variables, por lo que dadas 4 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las ecuaciones. 3.1 Actuaciones en vuelo horizontal En el caso de vuelo horizontal h = const) se tiene γ = 0, por lo que las ecuaciones que permiten estudiar las actuaciones de punto se reducen a T h, V, π) Dh, V, L) = 0 L = 0 3.2) En este caso se tiene n = 1. Sustituyendo la 2 a en la 1 a se tiene T h, V, π) Dh, V, ) = 0 3.3) En esta ecuación hay 4 variables, por lo que dadas 3 de ellas, la otra queda definida por la ecuación. Por ejemplo, V = V h,, π). En este caso la ecuación define 2 velocidades de vuelo ver figura 3.1): los puntos de intersección de las curvas T V ) y DV ), para h, y π dados. Las actuaciones de punto que se van a estudiar son el techo teórico y la velocidad máxima. El techo teórico Vinh lo llama propulsive ceiling) es la altitud máxima a la que es posible el vuelo horizontal, para y π fijos, en concreto para π max. Se verifica que el techo es la altitud a la cual el empuje disponible máximo es igual al empuje necesario mínimo esto es, igual a la resistencia aerodinámica mínima). La velocidad máxima es la máxima de las velocidades máximas que se tienen a cada altitud. Figura 3.1: Velocidad de vuelo 31

2 El techo teórico y la velocidad máxima son los elementos más relevantes del diagrama h V o envolvente de vuelo ver figura 3.2). Figura 3.2: Envolvente de vuelo En lo sucesivo se considera el modelo ISJ, y se definen las variables adimensionales u = V/V R ) 1 2 k 4 y z = T/T R, siendo la velocidad de referencia V R =, y el empuje de referencia ρs C D0 T R = Velocidad de vuelo La ecuación T = D en variables adimensionales es z 1 u 2 + 1u ) 2 2 = 0 3.4) de donde se obtienen las 2 velocidades de vuelo ver figura 3.3) u 1 = z + z 2 1 u 2 = z z ) Figura 3.3: Velocidad de vuelo adimensional La ecuación L = = 1 2 ρv 2 SC L define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de 32

3 ataque. Se tiene C L = 1 u 2 C L opt 3.6) Techo teórico En variables adimensionales el techo teórico viene definido por z = 1, y la velocidad que se tiene en el techo por u = 1. El techo H se define en función de la densidad a) dicha altitud ρ H. ρ x Para π max se tiene el empuje máximo adimensional z max = zmax ρ, siendo zmax = T maxe max. Haciendo z max = 1 se tiene el siguiente resultado: ) 1 1/0,7 Si zmax < 1, entonces ρ H = ρ zmax, y el techo está en la troposfera. Si zmax > 1, entonces ρ H = ρ 1, y el techo está en la estratosfera. z max Para que el techo sea grande, interesa que zmax sea grande, esto es, interesa que Tmax y sean grandes y que sea pequeño. ) 1/2 ρ0 La velocidad en el techo viene dada por V H = V R = V R0, que toma distintos valores según ρ H ) 2 k 1/4 que el techo esté en la troposfera o en la estratosfera, siendo V R0 = : ρ 0 S C D0 ) 1/2 ρ0 Troposfera V H = V R0 ρ z max) 1/x Estratosfera V H = V R0 ρ0 ρ z max ) 1/2 3.7) Velocidad máxima A cada altitud la velocidad máxima es u 1 la mayor de las dos posibles). Se tiene pues V 1 ρ) = ) 1/2 ρ0 [ V R u 1 ρ) = V R0 u 1 ρ), siendo, para z = z max, u 1 ρ) = z max ρ) + 1/2. z ρ maxρ) 2 1] La altitud a la cual se tiene la velocidad máxima de las máximas se define en función de la densidad a dicha altitud ρ M. La ecuación d ) 2 V1 1 = 0 tiene como solución z max = que sólo es válida en la troposfera dρ V R0 1 x 2 ) 2 V1 x < 1). Por otro lado, en la estratosfera es una función creciente con ρ decreciente con la V R0 altitud) por lo que su máximo se tiene en la tropopausa. Por tanto, se tiene el siguiente resultado: ) Si zmax 1 < 1.4, entonces ρ M = ρ 1 1/x, y está en la troposfera, siendo 1 x 2 zmax 1 x 2 x =0.7. Si zmax 1 > 1.4, entonces ρ M = ρ, esto es, está en la tropopausa, siendo x = x 2 33

4 ]1/2 ρ )1/2 0 La velocidad m axima viene dada por VM = VR0 zmax ρm ) + 1, que ρm toma distintos valores seg un que la velocidad m axima tenga lugar en la troposfera o en la tropopausa: [ )1/x ]1/2 1 + x ρ0 2 Troposfera VM = VR0 z 1 x max 1 x2 ρ 3.8) [ )]1/2 ρ0 2 Estratosfera VM = VR0 zmax + zmax 1 ρ [ 2 zmax ρm ) Envolvente de vuelo De forma cualitativa se pueden definir los tres casos siguientes de envolvente de vuelo, seg un el valor del par ametro zmax : Si zmax >1.4, el techo est a en la estratosfera y la velocidad m axima en la tropopausa. Si 1 < zmax <1.4, el techo est a en la estratosfera y la velocidad m axima en la troposfera. Si zmax < 1, el techo y la velocidad m axima est an en la troposfera. La envolvente de vuelo te orica que se acaba de estudiar est a sujeta, entre otras, a limitaciones por entrada en p erdida y por compresibilidad ver figuras 3.4 y 3.5). Figura 3.4: Velocidades l ımite Figura 3.5: Envolvente de vuelo: limitaci on por p erdida y por compresibilidad 34

5 3.2 Actuaciones en planeo En la práctica los aviones comerciales descienden con los motores al ralentí idle rating), esto es, con un empuje mínimo. En este curso se va a estudiar el descenso con empuje nulo T = 0), es decir, el vuelo de planeo. Si se define el ángulo de planeo en inglés, glide angle) γ d = γ, las ecuaciones que permiten estudiar las actuaciones de punto en planeo son Dh, V, L) sin γ d = 0 L cos γ d = 0 3.9) En esta ecuación hay 5 variables, por lo que dadas 3 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las ecuaciones. Por ejemplo, γ d = γ d h,, V ) y L = Lh,, V ). En general se tiene n = cos γ d. Además se tiene la ecuación que define la velocidad de descenso en inglés, rate of descent) V d = V sin γ d 3.10) Ángulo de planeo y velocidad de descenso En lo sucesivo se hace la hipótesis simplificadora γ d 1. Se tienen las siguientes expresiones para el ángulo de planeo y la velocidad de descenso Dh, V, ) γ d = Dh, V, )V V d = 3.11) El ángulo de planeo mínimo es aquel que minimiza la resistencia aerodinámica D). La velocidad de descenso mínima es la que minimiza el producto DV. Se considera a continuación el modelo ISJ. En variables adimensionales u = V/V R ), se tienen los siguientes resultados γ d = 1 u 2 + 1u ) 2E 2 max V d = 1 V R 2 u ) 3.12) u Optimización Ángulo de planeo mínimo La velocidad adimensional que define el ángulo de planeo mínimo es u γd) min = 1 y por tanto γ d ) min = ) que no depende de la altitud. La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar un planeo con γ d ) min, es ) 2 k 1/4 V γd ) min = V R = 3.14) ρs 35 C D0

6 que disminuye al disminuir la altitud ver esquema en la figura 3.6). Con esta ley de velocidades se obtiene el planeo conocido como flattest glide. También se tiene ) 2 k 1/4 V e γd) min = V R0 = 3.15) ρ 0 S C D0 que es independiente de la altitud. Para tener γ d ) min pequeño interesa que sea grande. En los veleros puede llegar a ser = 50. La ecuación L = = 1 2 ρv 2 SC L define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de ataque. Se tiene C L γd ) min = C Lopt 3.16) Figura 3.6: Ángulo de planeo y velocidad de descenso en planeo h 1 > h 2 > h 3 ) Velocidad de descenso mínima La velocidad adimensional que define la velocidad de descenso mínima es u γd ) min = 3 1/4 y por tanto ) k 1/4 V d ) min = 3 3/4 V R = 3 3/4 3.17) ρs C D0 que disminuye al disminuir la altitud. La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar un planeo con V d ) min, es ) V Vd ) min = 3 1/4 V R = 3 1/4 2 k 1/4 3.18) ρs que disminuye al disminuir la altitud ver esquema en la figura 3.6). Con esta ley de velocidades se obtiene el planeo conocido como slowest sink. 36 C D0

7 También se tiene que es independiente de la altitud. ) V e Vd) min = 3 1/4 V R0 = 3 1/4 2 k 1/4 3.19) ρ 0 S C D0 Para tener V d ) min pequeña interesa que la carga alar S sea pequeña, que sea grande y que k sea pequeño o bien, tomando k 1, que el alargamiento Λ sea grande). En los veleros puede llegar Λ a ser Λ = 25. El ángulo de ataque correspondiente es mayor que el que corresponde a ángulo de planeo mínimo, y viene definido por C L Vd) min = 3C Lopt 3.20) 3.3 Actuaciones en subida Las ecuaciones que permiten estudiar las actuaciones de punto en subida son las ecuaciones 3.1) T h, V, π) Dh, V, L) sin γ = 0 L cos γ = ) En esta ecuación hay 6 variables, por lo que dadas 4 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las ecuaciones. Por ejemplo, γ = γh,, V, π) y L = Lh,, V, π). En general se tiene n = cos γ. Además se tiene la ecuación que define la velocidad de subida en inglés, rate of climb) V c = V sin γ 3.22) Ángulo de subida y velocidad de subida En lo sucesivo se hace la hipótesis simplificadora γ 1; en este caso se tiene n = 1. Las expresiones para el ángulo de subida y la velocidad de subida se reducen a T h, V, π) Dh, V, ) γ = T h, V, π) Dh, V, ) V c = V 3.23) En función de las variables adimensionales u = V V R y z = T T R se tiene γ = 1 [ V c V R = 1 u Recuérdese que para el modelo ISJ se tiene z 1 2 [ z 1 2 u 2 + 1u 2 )] u 2 + 1u 2 )] 3.24) z = z 0 ρ ρ 0 ) x, c E = c E0 ρ ρ 0 ) y, z 0 = T 0π), c E0 = const 3.25) 37

8 3.3.2 Optimización Ángulo de subida máximo La velocidad adimensional que define el ángulo de subida máximo es u γ)max = 1 y por tanto γ max = z ) que disminuye al aumentar la altitud ver esquema en la figura 3.7). Nótese que cuando z 1 se tiene γ max 0; en el techo se tiene γ max = 0 ver figura 3.8). Para tener γ max grande interesan T/ y grandes. La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar una subida con γ max, es ) 2 k 1/4 V γmax = V R = 3.27) ρs que aumenta al aumentar la altitud ver figura 3.7). Con esta ley de velocidades se obtiene la subida conocida como steepest climb. También se tiene ) 2 k 1/4 V e γ)max = V R0 = 3.28) ρ 0 S C D0 que es independiente de la altitud. La ecuación L = = 1 2 ρv 2 SC L define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de ataque. Se tiene C D0 C L γ)max = C Lopt 3.29) Figura 3.7: Ángulo de subida y velocidad de subida h 1 < h 2 < h 3 ) 38

9 Figura 3.8: Ángulo de subida y velocidad de subida máximos Velocidad de subida máxima La velocidad adimensional que define la velocidad de subida máxima es u Vc) max = y por tanto z + ) 1/2 z V c ) max = V R z + ) 1/2 z z ) z ) que disminuye al aumentar la altitud ver esquema en la figura 3.7). Nótese que cuando z 1 se tiene V c ) max 0; en el techo se tiene V c ) max = 0 ver figura 3.8). Para tener V c ) max grande interesan T/, y /S grandes. La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar una subida con V c ) max, es V Vc ) max = V R z + ) 1/2 z ) 3 que aumenta al aumentar la altitud ver figura 3.7). Con esta ley de velocidades se obtiene la subida conocida como fastest climb. Se verifica V Vc) max > V γmax ver figura 3.9). El ángulo de ataque correspondiente es menor que el que corresponde a ángulo de subida máximo, y viene definido por C L Vc ) max = 3 z + z C L opt 3.32) 39

10 Figura 3.9: Velocidades correspondientes a ángulo de subida y velocidad de subida máximos 40