Andrés Zarabozo Martínez. Mecánica de Vuelo 2. Problemas

Transcripción

1 Ingeniería Aeronáutica ETSEIAT 2012

2 Acerca de estos apuntes Estos apuntes se han realizado para cubrir el temario de problemas de la segunda parte de la asignatura Mecánica de Vuelo 2, que se imparte en el quinto curso de Ingeniería Aeronáutica, en intensificación en Aeronaves, en la Escola Tècnica Superior d Enginyeries Industrial i Aeronàutica de Terrassa, de la Universitat Politècnica de Catalunya (ETSEIAT UPC). Una gran parte del material empleado para estos apuntes está basada de apuntes escritos por el profesor Josep Oriol Lizandra Dalmases. Se agradece también la contribución de compañeros de clase como Alejandro Roger Ull y Oriol Ferret Gasch. Licencia Esta obra está bajo una licencia Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite: En líneas generales: Es libre de: Compartir Copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra. Transformar la obra y crear obras derivadas. Hacer un uso comercial de esta obra. Bajo las condiciones siguientes: Reconocimiento Debe reconocer al autor de la obra original (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoya el uso que hace de su obra). Compartir bajo la Misma Licencia Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada, sólo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idéntica a ésta

3 0. Índice 0. Índice Recordatorio de mecánica de vuelo Problema Problema Problema Problema Vuelo de alta velocidad Problema Problema Problema Estabilidad del movimiento no controlado Problema Problema Problema Problema Problema Problema Respuesta en lazo abierto y cerrado Problema Problema Problema Problema Problema

4 1. Recordatorio de mecánica de vuelo 1 Problema 1. Un avión con motor alternativo desarrolla un ascenso simétrico describiendo una espiral de radio. Utilizando la hipótesis de eficiencia del motor constante, y asumiendo que se conocen todos los datos geométricos, de masa y aerodinámicos (en particular la polar parabólica) del avión se pide: a. Escribir las ecuaciones que definen completamente el movimiento de la aeronave, e indicar el número de grados de libertad del sistema (para un radio de giro fijado). b. Encontrar las velocidades que maximizan, respectivamente, el régimen de ascenso y el ángulo de ascenso para una potencia máxima. Figura 1.1. Trayectoria seguida por el avión en el problema - 4 -

5 Resolución a. Escribir ecuaciones y encontrar los grados de libertad Al ser una trayectoria en espiral, se puede dividir la trayectoria en un movimiento circular en un plano y un movimiento rectilíneo. Hay que buscar el movimiento particularizado en los ejes cuerpo, el movimiento encontrado arriba están en ejes horizonte local, por lo que es necesario hacer el cambio de sistema de referencia mediante la matriz de cambio. Por lo que se obtienen las dos primeras ecuaciones (2) (1) Según la ley de Newton Donde el vector de la velocidad se puede escribir como La derivada en base móvil es La primera derivada es cero por lo que la derivada queda La velocidad angular es Pero los dos últimos términos son nulos. Y la χ se puede renombrar como ω. Se hace la derivada respecto al tiempo para encontrar la aceleración

6 [ ] [ ] ( ) Ahora lo que se buscan son las fuerzas. En los diferentes ejes se encuentran las siguientes fuerzas La ecuación dinámica queda (3) (4) (5) Aquí se obtienen tres ecuaciones más. Además si se le puede añadir la ecuación polar parabólica que relaciona el coeficiente de resistencia y el de sustentación, por lo que se tienen seis ecuaciones. Las variables del problema son: y. Son 8 variables. Una sexta ecuación seria la relación entre la potencia y el empuje y la velocidad El problema por lo tanto tiene dos grados de libertad. b. Encontrar las velocidades que maximizan La cuarta ecuación se puede simplificar a (6) De la quinta se obtiene [ ] Juntando con lo obtenido justo antes queda [ ] - 6 -

7 A parte de las seis ecuaciones obtenidas para el movimiento también se tienen estas tres Asumiendo que la aeronave es una aeronave convencional (no es un avión acrobático), se puede simplificar las ecuaciones con ya que este es un ángulo pequeño. Se quiere aislar todas las variables y dejarlas en función de la velocidad. [ ] [ ] Donde [ ] Para una potencia dada [ ] Hay que maximizar ahora - 7 -

8 Andrés Zarabozo Martínez Se debe resolver esta ecuación por métodos iterativos. ( ) - 8 -

9 Problema 2. Un avión de combate está dotado de toberas con geometría variable y empuje vectorial. Bajo las hipótesis de que el empuje es independiente de la velocidad de vuelo y asumiendo que se conocen todos los datos geométricos, de masa y aerodinámicos, y que además la polar aerodinámica es independiente del número de Mach (pero no necesariamente parabólica) se pide lo siguiente a. Escribir las ecuaciones que describen un vuelo simétrico en un plano vertical e indicar los grados de libertad del sistema b. Encontrar el ángulo de deflexión del empuje relativo al plano de vuelo y la velocidad en vuelo horizontal que minimice el empuje necesario en crucero. c. Comparar los valores obtenidos en el apartado b con los correspondientes a un avión sin empuje vectorial Figura 2.1. Caza con empuje vectorial Resolución a. Ecuaciones y grados de libertad Se pueden ver las fuerzas sobre la aeronave en la Figura 1.2. Las variables del problema son: y. Se tienen dos ecuaciones, por lo que en total se tienen dos grados de libertad. b. Ángulo de empuje y velocidad de vuelo Se quiere poner las variables y. Se buscan los valores de y para que el empuje sea mínimo. Para eso Se deriva la primera ecuación y la segunda ecuación respecto a

10 Combinándolas dividiendo ambas expresiones Esto es la inversa de la condición de máxima eficiencia. Ahora se derivan respecto al coeficiente de sustentación Dividiéndolas otra vez se obtiene Esto implica máxima fineza. Partiendo de igualdades trigonométricas ( ) ( )

11 De la combinación de las ecuaciones [ ] c. Comparación con empuje no vectorial Partiendo de la ecuación Se sustituye la velocidad [ ] En el caso de la tobera sin empuje vectorial La diferencia entre los dos empujes queda [ ] La ganancia se puede simplificar como

12 Problema 3. El efecto de la elasticidad de la estructura del fuselaje en la estabilidad longitudinal puede estimarse considerando una relación lineal entre la sustentación en el estabilizador horizontal y la variación de su ángulo de incidencia Donde (flexibilidad) es una constante conocida. Asumiendo también conocidos todos los datos del avión, se pide lo siguiente a. Encontrar una expresión para el coeficiente de sustentación del estabilizador horizontal como una función del ángulo de ataque del estabilizador, la flexibilidad y otros parámetros de vuelo del avión original (estructura infinitamente rígida) b. Indicar como la estabilidad estática longitudinal con mandos fijos se ve afectada por la elasticidad de la estructura del fuselaje c. Como se ve modificada la efectividad del estabilizador debido a la elasticidad Nota: La efectividad del estabilizador se define como un factor que, multiplicado por el ángulo de deflexión, da un incremento del coeficiente de sustentación de cola. Δα t L t Figura 3.1.Diagrama del avión del problema

13 Resolución a. Expresión de Por definición El ángulo de ataque del estabilizador se ve modificado por la deformación del fuselaje en. b. Como afecta la elasticidad a la estabilidad La derivada de estabilidad más importante para el caso de estabilidad estática longitudinal es. La contribución del estabilizador a la derivada de estabilidad es Similarmente para el caso de que no haya flexibilidad El efecto de la flexibilidad disminuye el módulo de ( ) por lo que hace el avión menos estable. c. Variación de la efectividad Por definición Asumiendo que el es igual para ambos aviones, se puede ver que la efectividad aumenta

14 Problema 4. Un fabricante da los ejes principales de inercia y la inercia en esos ejes. Se pide encontrar el valor de los momentos de inercia respecto a otros ejes. Se hace la suposición que el momento de inercia en se mantiene constante ya que los ejes coinciden (faltan saber tres momentos de inercia e ). Resolución Los ejes principales de inercia son Se busca primero el sistema de cambio de base Se calcula primero el momento en Por definición la integral del producto de dos ejes principales es cero [ ] Para el momento en es prácticamente lo mismo. El momento es (

15 2. Vuelo de alta velocidad Problema 1. Considerando un vuelo de planeo en una atmosfera isoterma. La relación de presión altitud viene dada por la siguiente expresión, donde es constante. Demostrad que el alcance y la autonomía puede expresarse como Resolución a) Alcance El alcance es función del ángulo de descenso. El ángulo de descenso es Por lo tanto la función solo depende de y. Utilizando la relación entre la presión y la altitud se tiene Por lo que el alcance queda La carga alar adimensional es

16 Nota: la que aparece en la ecuación de no es la misma que se utiliza en la ecuación del alcance. En la ecuación del alcance es el ángulo de descenso, mientras que la otra es el coeficiente de dilatación adiabática del aire. Finalmente el alcance queda b) Autonomía De forma similar el tiempo de vuelo se puede definir de la siguiente forma Del apartado anterior La velocidad de descenso es

17 Problema 2. Considerando el vuelo de ascenso exacto de un turbofán de polar parabólica, demostrad que el coeficiente de sustentación de equilibrio asociado viene dado con la siguiente ecuación Donde los coeficientes, y dependen de los valores del régimen de giro corregido del rotor, la carga alar adimensional y el número de Mach: Resolución Las ecuaciones de ascenso, de un vuelo rectilíneo y uniforme, son Se puede aislar de la primera ecuación y de la segunda ecuación el ángulo de ascenso, Se adimensionalizan las variables, y utilizando el peso. La última adimensionalización se obtiene fácilmente ya que Por lo tanto las ecuaciones de ascenso adimensionalizadas quedan Se utiliza la siguiente igualdad trigonométrica y se le introduce la primera ecuación

18 Además el cuadrado de la segunda ecuación también contiene. Igualando las dos expresiones de y reordenando los términos se obtiene ya la demostración. ] [ ] [ ]

19 Problema 3. Un caza tiene la siguiente polar parabólica Donde las funciones y son conocidas. También se conoce el coeficiente de empuje adimensional. Se pide a) Dada una altitud y un número de Mach, encontrad la carga alar que permita un giro constante y horizontal con radio de curvatura y que tenga la mínima relación ( ). b) Utilizando la carga alar altitud y factor de carga obtenidos en el apartado anterior, encontrad una expresión con la que se pueda obtener el número de Mach teniendo la relación ( ) Resolución a) Carga alar que tenga mínima relación ( ) Al tener un vuelo con un giro en un plano horizontal se sabe que: mínimo de la relación empuje peso.. Se debe buscar el Al tener los parámetros y constantes, el factor de carga, el coeficiente de resistencia parásita y la constante también son constantes. Para obtener el mínimo se deriva la expresión respecto al único parámetro variable que es la carga alar adimensional. b) Expresión para obtener el número de Mach que tenga mínima relación ( ) Se fija la carga alar (que es la que se ha obtenido en el apartado anterior) pero en cambio el número de Mach es variable. Hay que recordar que los parámetros y dependen del número de Mach por lo que hay que tener cuidado al hacer la derivada respecto al coeficiente de Mach

20 ]

21 3. Estabilidad del movimiento no controlado Problema 1. Considera un globo con masa y volumen, en equilibrio estático en una atmosfera en calma. Asumiendo que se conocen todos los valores aerodinámicos del globo se pide lo siguiente a. La altitud de equilibrio b. La ecuación del movimiento vertical alrededor de la altitud de equilibrio para pequeñas perturbaciones c. El tiempo característico del movimiento (despreciando la resistencia aerodinámica) d. Una expresión adimensional para la ecuación del movimiento vertical e. Las condiciones que deben satisfacerse para que la resistencia aerodinámica tenga que considerarse como un término de segundo orden Resolución a. Altitud de equilibrio La fuerza recibida es igual al peso de aire desplazado. De la ecuación de la isa De forma más genérica se puede escribir [ ] b. Ecuación del movimiento vertical La resistencia generada por el globo depende de hacia donde se mueve el globo

22 Si no fuese por el término de la resistencia esta ecuación se podría linealizar. Se linealizará el resto de la ecuación y además haciendo la hipótesis que la resistencia es un diferencial de segundo orden por lo que es muy pequeño. Se empieza linealizando la densidad. Donde [ ] De la ecuación del equilibrio.. Además se puede hacer un cambio de variable Volviendo a la ecuación de ISA [ ] Siempre tiene el mismo signo, positivo. Volviendo a la derivada [ ] Esto es una EDO de segundo orden cuya solución es del tipo c. Tiempo característico Es un movimiento harmónico sin amortiguamiento. En la práctica sí que se amortigua ya que está la resistencia del aire que se ha despreciado en la linealización

23 Andrés Zarabozo Martínez El tiempo característico es d. Expresión adimensional de la ecuación del movimiento Adimensionalizando Volviendo a considerar el término de la resistencia e. Condiciones para la resistencia aerodinámica Para despreciar el término de la resistencia se tiene que cumplir Si el globo fuese muy ligero o bien la superficie fuese grande o una densidad de equilibrio grande, el movimiento se amortiguaría muy rápidamente. De la ley de Arquímedes la masa es igual a la densidad por el volumen de aire desplazado. ( )

24 Problema 2. Asumiendo como condiciones de referencia vuelo recto, simétrico y horizontal con velocidad constate, el movimiento de largo que sigue una pequeña perturbación puede ser analizado a través de un modelo matemático simplificado basado en las siguientes hipótesis - Peso constante - Régimen incompresible - Ángulo de ataque constante - Variaciones de velocidad pequeñas comparado con la velocidad de referencia: - Resistencia aerodinámica se equilibra con el empuje en todo momento. - Densidad del aire constante dentro del rango de altitudes a considerar Se pide lo siguiente a. Identificar las variables y las ecuaciones que se usaran, y los grados de libertad b. Utilizando el teorema Buckingham, indicar las formas posibles de la expresión que dan la altitud y velocidad en función del tiempo c. Dar una hipótesis adicional que podría ser consistente con d. Encontrar la altitud y velocidad como función del tiempo e. Verificar si la hipótesis se satisface realmente Resolución a. Variables, ecuaciones y grados de libertad L T γ D W Figura 2.1.Diagrama de fuerzas del problema Se empieza buscando el equilibrio de fuerzas en coordenadas de ejes cuerpo, de la figura se obtiene

25 Andrés Zarabozo Martínez Del enunciado se sabe que Las ecuaciones aerodinámicas no se utilizan ya que ambas son función de coeficientes. y se conocen los Las variables del problema son grado de libertad. y. Al haber cuatro ecuaciones, el problema no tiene ningún b. Teorema de Buckingham El teorema Π de Buckingham dice como agrupar en paquetes ecuaciones adimensionales para poder ver como es una variable en función de las otras. Se adimensionaliza utilizando las variables y. c. Hipótesis adicional De la segunda ecuación obtenida Se ve que una hipótesis que sea consistente para es. d. Altitud y velocidad La variación de la altitud es Sabiendo que Se tiene

26 [ ] La energía específica que tiene el avión es De las condiciones de referencia: y Del equilibrio de fuerzas de la Figura 3.1 y con la condición de. Se consideran ángulos pequeños. El primer término es

27 ( ) Esta ecuación muestra un movimiento harmónico. Donde la frecuencia natural es La solución general del problema es [ ] Dependiendo de las condiciones iniciales se obtiene el desfase. [ ] De la constante solo se puede decir que tiene que ser pequeña. La velocidad finalmente queda [ ] [ ]

28 Problema 3. El modo fugoide de un avión puede ser analizado, según el mismo modelo simplificado del ejercicio 6, pero sin la hipótesis de que el empuje es igual a la resistencia sino que se utiliza un sistema de dos ecuaciones linealizadas en las variables dependiente y. Se pide lo siguiente a. Escribir el sistema de ecuaciones dinámicas de forma no dimensional b. La frecuencia del movimiento, y compararlas con las obtenidas en el ejercicio 6 c. El coeficiente de amortiguación Nota: a diferencia del ejercicio 6 en el equilibrio de fuerzas utilizar la ecuación vertical de ejes tierra, y la ecuación en en ejes viento. Resolución a. Sistema de ecuaciones dinámicas adimensionales L T γ D W Figura 3.1.Diagrama de fuerzas del problema Aunque no lo diga el enunciado se hace la suposición de que el empuje es constate y no cambia de dirección. También se considera que el ángulo de ataque es constante. Del equilibrio de fuerzas (siguiendo el consejo del enunciado) es Se simplifica considerando ángulos pequeños y se linealizan las dos ecuaciones. Se recuerda que si una variable es nula en las condiciones estacionarias se omite el prefijo de la perturbación

29 Andrés Zarabozo Martínez En el momento de referencia. La segunda ecuación queda En el momento de referencia y. El termino ya que se considera un infinitesimal de segundo orden. Las dos ecuaciones quedan Como se conocen los coeficientes aerodinámicos y además se hizo la suposición de que constante los coeficientes también lo son es La variación de la altitud es, por lo tanto el ángulo de cabeceo de la velocidad Pero se puede despreciar el término ya que es un infinitesimal de segundo orden

30 Andrés Zarabozo Martínez Aplicando las expresiones obtenidas para el ángulo de cabeceo de la velocidad y las cargas aerodinámicas en las ecuaciones linealizadas, se obtiene Debido a que el peso se puede escribir como Se define y se puede definir un tiempo característico como A partir de la velocidad y tiempo adimensional se pueden crear nuevos números adimensionales Las ecuaciones adimensionales quedan En forma matricial queda

31 Andrés Zarabozo Martínez b. Frecuencia de movimiento [ ] } } La solución a ensayar es una función compleja exponencial que se puede relacionar con funciones trigonométricas. Se hace el cambio de variable siguiente } } Se sabe que las derivadas de la exponencial son La ecuación matricial queda [ ] } } La exponencial es una función que nunca se anula por lo que para que se cumpla la ecuación se tiene que cumplir que el producto de matriz y vector sea cero. Para que eso se cumpla se tiene que cumplir que el determinante de la función sea cero. El determinante de la función es ] } } ] [ ] Las soluciones posibles son El polinomio de segundo orden se puede resolver para conseguir dos soluciones más

32 Se omite la primera solución trivial ( ), la solución queda pues ( ) ( ) La solución final de las perturbaciones es igual a la suma de las soluciones de todos los autovalores ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]} [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]} ( ) ( ) El movimiento definido por estas ecuaciones se denomina fugoide. Volviendo a la ecuación, se puede rescribir la ecuación dejarla de la siguiente forma La frecuencia natural es, que también es el módulo de para el caso en que. En el ejercicio 6 se obtiene una frecuencia natura, que es la misma si se adimensionaliza de la misma forma que se hizo al adimensionalizar las ecuaciones del movimiento en este ejercicio. c. Coeficiente de amortiguación La relación de amortiguamiento es

33 Problema 4. Se pretende estudiar el movimiento no controlado que experimenta un avión caza bombardero después de soltar una bomba, partiendo de una condición de vuelo horizontal, rectilíneo y con velocidad constante. Considerando conocidas todas las características aerodinámicas geométricas y másicas del avión se hacen las siguientes hipótesis - La masa del avión es mucho más grande que la de la bomba - El centro de gravedad del avión no cambia después de soltar la bomba - El empuje del motor no varía con la velocidad de vuelo Se pide a. Describir cualitativamente el movimiento del avión posterior a soltar la bomba, e indicar si hay alguna aproximación adecuada para resolver el movimiento b. Razonar que condición de referencia conviene tomar para estudiar el movimiento y las condiciones iniciales c. Plantear las ecuaciones del movimiento y las condiciones iniciales d. Resolver el sistema anterior y determina el movimiento y el tiempo que transcurre para tener un ángulo de asiento Para la aplicación numérica del último apartado se toma: Resolución a. Descripción cualitativa Al soltar la bomba, el avión tendrá una sustentación ligeramente superior al peso, por lo tanto ascenderá. Debido a que el movimiento no será suficientemente rápido como para ser modo de corto periodo, el movimiento puede aproximarse por un modo fugoide. Se recuerda que en el modo fugoide se impone que y son nulos. b. Condición de referencia La condición de referencia corresponde al estado final, una vez el movimiento transitorio se haya amortiguado y esté en régimen estacionario. En esta condición se tiene velocidad uniforme con un ángulo de ascenso. Se consideran ángulos pequeños. Antes de lanzar la bomba se tiene (del equilibrio de fuerzas)

34 Se puede ver que en el movimiento de referencia se tendrá Sabiendo que Dado que los coeficientes aerodinámicos estacionarios no varían si el centro de gravedad no varía se puede considerar Para calcular la inclinación de la trayectoria Del equilibrio de fuerzas horizontales se tiene c. Ecuaciones del movimiento y condiciones iniciales Al tener modo fugoide el sistema reducido de ecuaciones del movimiento (ya incluyendo las hipótesis de que el empuje no varía con la velocidad y despreciando efectos de compresibilidad) se tiene como

35 [ ] } } Debido a que el empuje no varía con la velocidad y se desprecian los efectos de compresibilidad se tiene que. Además se puede despreciar la componente de respecto a es decir Se calcula la derivada de estabilidad Sabiendo que Del apartado b. se tiene Obteniendo Finalmente el sistema reducido de ecuaciones del movimiento queda [ ] } } Se estudian soluciones exponenciales } } Por lo que el sistema queda [ ] } } Los autovalores se obtienen resolviendo el sistema que queda al igualar el determinante a

36 Se aplica ahora la aproximación. Se puede hacer una aproximación más al considerar que. El polinomio simplificado queda Esta es la expresión simple del modo fugoide cuando el movimiento de referencia es horizontal y rectilíneo. Por lo tanto el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural son Las dos raíces del polinomio característico son El módulo de este fasor es Se ha despreciado la contribución de respecto a ya que suele ser de unos cuatro órdenes de magnitud. La solución general para las variables dependientes es ( ) ( )

37 Las amplitudes y son los módulos de los fasores complejos de y que deben satisfacer por ejemplo la segunda ecuación del sistema (pero despreciando el termino respecto a. Como se ha dicho que y son los módulos de los fasores complejos de y, se debe obtener el módulo de la parte fasorial. El desfase entre los ángulos de fase, definidos como es ( ) Resulta que. De hecho en casos típicos de aviones con fineza de, se ve que el desfase es de un ángulo. En las condiciones iniciales se tiene ( ) ( ) Este sistema sirve para resolver las únicas variables incógnitas y. Se debe de resolver de forma iterativa. Con las expresiones analíticas de y obtenidas se podrían integrar fácilmente las ecuaciones de la trayectoria, que, para el caso particular de son Se recuerda que al ser el ángulo de ataque constante se tiene. a. Tiempo para

38 Andrés Zarabozo Martínez b. Ejemplo numérico Se utilizan los siguientes valores numéricos Primero se obtienen los valores de referencias para el ángulo de cabeceo y la velocidad El sistema queda [ ] } } [ ] } } El polinomio característico queda El módulo de este fasor es En el tercer apartado se obtuvo la siguiente relación El desfase es ( ) Donde puede ser ó, dependiendo de las soluciones, ya que las amplitudes deben ser positivas. De las ecuaciones de las condiciones iniciales

39 Andrés Zarabozo Martínez Este sistema se resuelve de forma numérica resultando Las otras dos variables quedan Por lo tanto la solución del sistema es ( ) ( ) El tiempo hasta conseguir la mitad de la amplitud es Para una cuerda y una velocidad, se obtiene un tiempo en de

40 Problema 5. Un avión de transporte tiene las siguientes características: - Masa - Envergadura - Superficie alar - Momentos de inercia Se pretende estudiar el modo oscilatorio lateral a una velocidad de y a ISA, partir de un modelo simple, considerando movimiento horizontal y rectilíneo, y únicamente el movimiento de guiñada con único grado de libertad, forzando que sea nulo el ángulo. Las derivadas de estabilidad lateral son De acuerdo con las hipótesis indicadas, se pide: Tabla 3.1. Derivadas de estabilidad lateral a. Razonar que ecuaciones se deben eliminar b. Encontrar la ecuación característica c. Determinar la frecuencia y amortiguamiento Las ecuaciones generales del movimiento lateral son [ ] } ( ) ( ) ( ) ( ) }

41 Andrés Zarabozo Martínez Resolución a. Ecuaciones para eliminar Para empezar los parámetros de control son todos cero. Las ecuaciones de la fuerza lateral (primera ecuación) y del momento (segunda ecuación) se descartan debido a que se especifica que únicamente se debe de considerar el grado de libertad de guiñada. Estas ecuaciones vienen impuestas. Dado que se considera el balance es nulo además el ángulo de inicial se obtiene que. La cuarta ecuación se descarta. Queda entonces únicamente la tercera ecuación b. Ecuación característica Como el movimiento es rectilíneo se puede igualar el ángulo de guiñada con el ángulo de resbalamiento. Se recuerda que son derivadas respecto al tiempo. Obteniendo Se estudian las soluciones exponenciales Se recuerda que el tiempo está adimensionalizado con la envergadura debido a que es un modo lateral direccional. La ecuación característica queda

42 La solución de los autovalores es c. Frecuencia y amortiguamiento La ecuación característica se puede escribir de la forma Por lo tanto

43 Problema 6. Se pretende estudiar el comportamiento dinámico longitudinal de un avión de transporte para la condición de referencia de vuelo horizontal, simétrica y rectilínea a y. El avión tiene las siguientes características másicas y geométricas: - Masa - Superficie alar - Cuerda media aerodinámica - Momentos de inercia Para esta condición, las derivadas de estabilidad son las siguientes Se pide Tabla 3.2. Derivadas de estabilidad a. Representar gráficamente en el plano complejo (parte real y parte imaginaria) el lugar geométrico de las raíces del polinomio característico, cuando el parámetro varía entre y (con el resto de parámetros iguales a las de la tabla) y cuando el parámetro varía entre y (con el resto de parámetros iguales a los de la tabla). b. Comparar las gráficas anteriores con los que se obtienen haciendo uso de las expresiones aproximadas de los modos fugoides y de corto periodo c. Para los valores indicados en la tabla, encontrar las raíces y los autovalores asociados, y determinar y representar gráficamente la respuesta en función del tiempo cuando inicialmente la velocidad es un 10% inferior a la de referencia y el resto de variables y son nulas

44 Andrés Zarabozo Martínez Resolución Para Cálculo de parámetros numéricos: en atmósfera ISA se tiene: La velocidad y la presión dinámica de referencia son: La masa adimensional es: El momento de inercia adimensional es: Finalmente, en las condiciones de referencia, el coeficiente de sustentación es: Obtención de los autovalores para el sistema completo: El sistema de ecuaciones del movimiento longitudinal es: [ ( ) [ ] ( ) ] } } Se ensayan soluciones de tipo exponencial: Aplicando los operadores de derivación se obtiene:

45 Andrés Zarabozo Martínez [ ( ) [ ] ( ) ] } } Este sistema es de la forma. Separando en dos matrices los términos con se puede escribir, donde: [ ] [ ] Multiplicando por la izquierda por se obtiene: De modo que los valores de son los autovalores de la matriz El polinomio característico en función de, reemplazando los demás valores numéricos, es: 0.04 c mα c mα Figura 6.1. Autovalores en función de

46 El polinomio característico en función de, reemplazando los demás valores numéricos, es: 0.04 c mu c mu Figura 6.2. Autovalores en función de. Obtención de los autovalores para la aproximación de modo de corto periodo: El sistema reducido para aproximar el modo de corto periodo es: ( ) [ ] } ( ) } Del mismo modo se obtiene el polinomio característico en función de demás valores numéricos, es:, que, reemplazando los Obtención de los autovalores para la aproximación de modo fugoide: El sistema reducido para aproximar el modo fugoide es: [ ] } }

47 Este modo no incluye la ecuación del momento de cabeceo, por lo que los autovalores son constantes respecto a y. Reemplazando los valores numéricos el polinomio característico es: Y por lo tanto las raíces son: 0.04 c mα c mα Figura 6.3. Autovalores de la aproximación de corto periodo (rojo y naranja) y del modo fugoide (azul y verde) en función de. Comparación de los resultados: Comparando las gráficas se ve que para el sistema completo, si, el modo se hace dinámicamente inestable, mientras que en la aproximación no depende de, y siempre es estable. Para el caso de corto periodo, cuando, la frecuencia disminuye tanto en el sistema completo como en el aproximado, pero la parte real de la aproximación (tiempo característico) difiere ligeramente

48 Condiciones iniciales: La perturbación inicial de la velocidad es de un 10% de la velocidad de referencia,. Para el resto de variables las condiciones iniciales son iguales a las de referencia. Obtención de los autovalores: Los autovalores para el caso de la tabla 1 son: Obtención de los autovectores: Los autovectores se obtienen a partir del sistema. Los autovectores normalizados a partir del módulo son } } } } } } } } Obtención de las amplitudes: La solución de cada variable será una combinación lineal de cada una de las soluciones obtenidas: Donde la amplitud representa el peso del autovalor en la solución. Si se considera el instante inicial las exponenciales son, por lo tanto: ( )

49 Entonces se puede escribir el sistema: ] } } Donde ] es la matriz formada por los autovectores en columna. Este sistema se puede resolver invirtiendo la matriz ]: } } } Cada coeficiente de la solución de vale entonces, escrito en coordenadas polares: Módulo Fase Módulo Fase Módulo Fase Módulo Fase Tanto los autovalores como los coeficientes correspondientes forman pares de números complejos conjugados. Por ello se puede escribir: ( ) ( ( ) ( )) Al ser complejos conjugados se duplican los términos con ( ) y se eliminan los términos con ( ): ( ) ( ) Las ecuaciones quedan entonces:

50 En forma dimensional: ] ] ] ] Se muestra a continuación la variación de las condiciones de vuelo a lo largo del tiempo, y también se separan los modos de corto periodo y fugoide. Comentarios. Se puede ver en las gráficas que el tiempo característico de corto periodo es mucho menor que el modo fugoide. Las frecuencias de ambos también difieren en un orden de magnitud. Además se puede comprobar que la velocidad casi no se ve afectada en el modo de corto periodo (se ha tenido que ampliar veces para poder observar el modo) y por tanto la aproximación de que para el modo de corto periodo es aceptable. Comparando los coeficientes de las ecuaciones adimensionales para el modo fugoide se ve claramente que la magnitud de y son mucho mayores que las de y. Por lo tanto la simplificación del modo fugoide puede considerarse válida

51 Figura 6.4. Evolución de la velocidad con el tiempo Figura 6.5. Evolución de la velocidad con el tiempo. Ampliación y separación de los modos de corto periodo (ampliado ) y fugoide

52 8.E-03 6.E-03 4.E-03 2.E-03 0.E+00-2.E-03-4.E-03-6.E-03-8.E-03-1.E Figura 6.6. Evolución del ángulo de ataque con el tiempo. 1.E-02 1.E-02 8.E-03 6.E-03 4.E-03 2.E-03 0.E+00-2.E-03-4.E-03-6.E-03-8.E Figura 6.7. Evolución del ángulo de ataque con el tiempo. Ampliación y separación de los modos de corto periodo y fugoide

53 2.E-01 1.E-01 5.E-02 0.E+00-5.E-02-1.E-01-2.E-01-2.E E-02 Figura 6.8. Evolución del ángulo de cabeceo con el tiempo. 0.E+00-2.E-02-4.E-02-6.E-02-8.E-02-1.E-01-1.E-01-1.E-01-2.E Figura 6.9. Evolución del ángulo de cabeceo con el tiempo. Ampliación y separación de los modos de corto periodo y fugoide

54 Figura Evolución de la velocidad angular de cabeceo con el tiempo Figura Evolución de la velocidad angular de cabeceo con el tiempo. Ampliación y separación de los modos de corto periodo y fugoide

55 Andrés Zarabozo Martínez 4. Respuesta en lazo abierto y cerrado Problema 1. Se pretende analizar la respuesta longitudinal de un avión cuando, partiendo de una condición de vuelo horizontal, simétrica, rectilínea y velocidad constante, el piloto acciona rápidamente el mando longitudinal, manteniéndolo durante un tiempo breve, y devolviéndolo acto seguido a la posición original. Se pide: a) Indicar si hay alguna simplificación adecuada para estudiar el movimiento b) Determinar las variables para c) Discutir si el resultado obtenido tiene sentido Nota: se puede modelar la acción como una función impulso Resolución Se analiza la formulación matricial para el movimiento longitudinal. [ ( ) [ ] ( ) } ] [ ] } Solo se acciona el mando longitudinal por lo que. Al ser vuelo horizontal. [ ( ) ( ) ] } [ ] De la cuarta ecuación se obtiene Sustituyendo esto en la segunda ecuación y haciendo la simplificación de que la velocidad no se ve afectada inmediatamente por la variación del timón de profundidad se obtiene la aproximación de corto periodo. ( ) [ ] ( ) } Se hace la transformada de Laplace } ( ) [ ] } ( ) }

56 Andrés Zarabozo Martínez Se hace la inversa de la matriz del sistema ( ) [ ] ( ) ( ) ]( ) ( ) [ ( ) ] El denominador definido como la función se puede simplificar de la siguiente manera ( ) ]( ) ( ) ( ) [ ( ) ] Este polinomio se puede escribir de la siguiente forma ( ) Donde ( ) ( ) ( ) El polinomio tiene dos soluciones y su conjugado. ( ) ( )( ) Obteniendo el sistema siguiente } ( )( ) [ ( ) ] } La respuesta en el espacio de Laplace es ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ] ( )

57 ( ) ( ) ]( ) ( )( ) [( ) ] [ ( ) ] [ ] ( ) ( ) Se desprecia el término. Para la entrada impulso la transformada de Laplace Se tiene ( ) ( ) [ ] ( ) [ ( ) ] [ ] Se aplica el teorema del valor inicial. ] [ ( ) [ ] ] Utilizando dos veces el teorema de l Hôpital el límite queda ( ) Se resuelve el limite para de forma similar ( ) ( ) La respuesta final en forma vectorial es } ( ) ( ) }

58 Andrés Zarabozo Martínez Problema 2. Se pretende analizar la respuesta longitudinal de un avión propulsado por motor a reacción cuando, partiendo de una condición de vuelo horizontal, simétrica, rectilínea y velocidad constante, el piloto avanza rápidamente la palanca de gases, manteniéndola en la nueva posición. Considerando negligible el tiempo de retraso en la respuesta del motor (aunque en la realidad pueda tener un retraso), se pide: d) Indicar si hay alguna simplificación adecuada para estudiar el movimiento e) Determinar las variables para f) Discutir si el resultado obtenido tiene sentido Nota: se puede modelar la acción como una función escalón Resolución Se analiza la formulación matricial para el movimiento longitudinal. [ ( ) [ ] ( ) } ] [ ] } Solo se acciona la palanca de gases por lo que, además al ser vuelo horizontal. [ ( ) ( ) ] } } Considerando que el ángulo de ataque no se ve modificado inmediatamente por la variación del empuje, utilizando las dos primeras ecuaciones se obtiene la aproximación fugoide. [ ] } } Se hace la transformada de Laplace. Se hace la inversa de la matriz del sistema [ ] } } [ ] [ ] Donde es

59 Andrés Zarabozo Martínez El sistema queda } [ ] } } } Para la entrada escalón la transformada de Laplace es El sistema queda ( ) } } Se aplica el teorema del valor final. } } } }

60 Problema 3. A partir de la respuesta a un accionamiento impulsivo del timón de profundidad (obtenida en el primer problema de respuestas de lazo abierto), mediante el teorema integral de convolución y bajo la hipótesis de que el tiempo es suficientemente pequeño como para que la velocidad del avión prácticamente no haya variado, se pretende estudiar la respuesta a la siguiente entrada: δ e δ e t t t Figura 3.1. Entrada Se pide: a) Encontrar la transformada de y la de la respuesta b) Cuál sería la respuesta del sistema para? Tiene sentido el resultado obtenido? c) Encontrar la respuesta en el dominio del tiempo

61 Andrés Zarabozo Martínez Resolución La respuesta a un accionamiento impulsivo del timón de profundidad de forma general (habiendo ya impuesto la suposición de modo de corto periodo y ) es } [ ] ( ) [ ( ) ] [ ] } Se debe buscar la transformada de Laplace de la entrada ( ). Esta integral se puede dividir en tres más sencillas ( ) [ ] Sumando las tres integrales queda ] Por lo tanto la respuesta es ( ) [ ] ( ) [ ( ) ] [ ]

62 Andrés Zarabozo Martínez Los exponenciales del numerador solo generan un desplazamiento en la respuesta ya que Donde es una función escalón. ( ) Por lo tanto solo hace falta determinar la forma general sin tener en cuenta las exponenciales y después hacer las correcciones por desfase. Se define con asterisco las soluciones simplificadas. ( ) [ ] ( ) [ ( ) ] [ ] Para hacer la transformada inversa conviene descomponer el polinomio del denominador. Se recuerda que las raíces del polinomio de segundo grado son conjugados y son ( ) ( ) Se descompone el denominador. Obteniendo el siguiente sistema ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Obteniendo ( ) ( ) ( ) Para simplificar la expresión de la respuesta se van a utilizar las constantes,, y. Para conseguir

63 Andrés Zarabozo Martínez Donde ( ) ( ) ( ) ( ) Haciendo la simplificación del polinomio se tiene ( ) ( ) Expandiendo las dos respuestas ( ) ( ) Con estos factores elementales ya es trivial obtener la transformada inversa de Laplace. Donde ( ) Similarmente para la otra respuesta se obtiene [ ] ] A partir de la solución elemental, ya se puede escribir la respuesta total, teniendo en cuenta el desfase que introducen las exponenciales en. ] ]

64 Andrés Zarabozo Martínez Como estudio a parte se presenta una simplificación del estudio a partir del momento en que se tienen las respuestas antes de hacer la transformada inversa de Laplace. Para, se ve que presenta una indeterminación del tipo. No obstante desarrollando las exponenciales en serie de Mclaurin hasta orden dos se obtiene Utilizando esta simplificación se obtiene una solución parecida a un impulso, aunque en la práctica la aplicación de una deflexión infinitesimal no pueda existir esta simplificación da resultados bastante parecidos a los obtenidos antes

65 Problema 4. Se pretende diseñar un piloto automático para un avión comercial con un modo supresor de fugoide, de acuerdo con la teoría de pequeñas perturbaciones, con una entrada de velocidad controlada por (en lugar del ángulo ), y actuando únicamente sobre el timón de profundidad. Con el fin de tener en cuenta las variaciones del ángulo de ataque, se considerará una aproximación fugoide modificada, respecto a la simplificación habitual. La velocidad angular és pequeña, con una variación temporal negligible, es decir, despreciando el momento total. Y también se desprecian las contribuciones de y en y, pero manteniendo la dependencia de en y. Partiendo de la condición de vuelo simétrico horizontal y rectilíneo con velocidad constante, y con las derivadas de estabilidad de la Tabla 4.1, y suponiendo que el controlador es del tipo proporcional (con una constante ), se pide: a) Representar el diagrama de bloques correspondiente a este modo b) Escribir el sistema de ecuaciones simplificado y obtener la ecuación característica c) Obtener la solución estacionaria ( ) correspondiente a una entrada. Discutir el resultado obtenido Se tienen además los siguientes parámetros Tabla 4.1. Derivadas de estabilidad longitudinal

66 Andrés Zarabozo Martínez Resolución a) Diagrama de bloques Se sabe que el controlador es de tipo proporcional con una constante velocidad (es decir ). y que la entrada es la Se pretende diseñar un controlador supresor del modo fugoide pero con entrada de velocidad. Normalmente los controladores supresores de fugoides son como el que se muestran en la Figura 4.2. Controlador Avión θ c e J δ e G θδe θ Figura 4.1.Controlador de lazo cerrado supresor de modo fugoide El controlador que se quiere diseñar debe tener como entrada. El controlador únicamente actúa sobre el timón de profundidad aunque además se pueda mover la palanca de gases. δ p Δu c e J δ e G uδe Δu Figura 4.2.Diagrama de bloques del controlador b) Ecuaciones generales simplificadas y ecuación característica Se analiza la formulación matricial para el movimiento longitudinal. [ ( ) [ ] ( ) } ] [ ] } Al ser vuelo horizontal, se considera que la velocidad de deflexión del timón de profundidad causa un efecto despreciable ( ) y a falta de más información se considera que la línea de empuje pasa por el centro de gravedad

67 [ ( ) ( ) ] } [ ] } Según el enunciado, la velocidad angular de cabeceo es pequeña por lo que se pueden despreciar y la variación del ángulo de ataque. Por lo tanto de la tercera ecuación se obtiene ( ) Sustituyendo este resultado en las dos primeras ecuaciones se obtiene un sistema reducido de dos ecuaciones. Se desprecian además las contribuciones de y. [ ] } [ ] } Como se tiene un controlador proporcional, donde es la velocidad deseada, es ( ) Por lo tanto el sistema de ecuaciones queda [ [ ] ] } [ ] } c) Respuesta a una entrada escalón Al tener solo como entrada la otra entrada es nula. [ [ ] ] } [ ] } Se hace la transformada de Laplace. [ [ ] ] [ ]

68 Andrés Zarabozo Martínez [ ] } Se resuelve el sistema, multiplicando por la inversa de la matriz. } [ ] [ ] } [ ] } } De acuerdo con el teorema del valor final, el límite para corresponde al límite para. } } [ }] }

69 Problema 5. El amortiguador de guiñada de un avión de transporte comercial presenta el siguiente diagrama de bloques. r c e J(s) δ r G rδr (s) r z W(s) Figura 5.1. Diagrama de bloques del control de guiñada El timón de dirección, incluido en su servo actuador, tiene como función de transferencia El bloque corresponde a un filtro que impide que pasen por el canal de realimentación velocidades angulares de guiñada estacionarias, o de muy baja frecuencia. Su función de transferencia es Tomando como condición de referencia el vuelo simétrico, horizontal y rectilíneo, se pide: a) Razonar que inconvenientes puede tener la elección de un valor muy bajo o muy alto de la constante de tiempo del filtro. b) Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales correspondientes al diagrama de bloques anterior, considerando el sistema completo de ecuaciones para el movimiento lateral. c) Obtener la función de transferencia global haciendo la aproximación de que el único grado de libertad es la guiñada

70 Andrés Zarabozo Martínez Resolución a) Razonar inconvenientes de bajo El bloque es un filtro pasa altos, donde es la frecuencia de corte. Cuanto menor sea menor será el rango de frecuencias filtradas, pero si es muy grande se puede estar filtrando información importante. Como casos extremos si no se filtra ninguna frecuencia y si se filtran todas las frecuencias por lo que no hay realimentación. b) Sistema de ecuaciones diferenciales Se desarrolla el diagrama de bloques desde la salida hacia atrás. ( ) ( ) Despejando la La función de transferencia obtenida a partir de se denomina ganancia en lazo abierto. Esta función depende de la frecuencia de corte que se haya seleccionado y que determina la estabilidad del sistema, que se puede analizar por ejemplo mediante el diagrama de Nyquist o el diagrama Nichols. El sistema de ecuaciones diferencial para el movimiento lateral direccional es [ ( ) ( ) ] } [ ] } En un caso general se aplicaría la transformada de Laplace: [ ( ) ( ) ] } [ ] } Invirtiendo la matriz : } [ ( ) ( ) ] [ ] }

71 Andrés Zarabozo Martínez El resultado es de la forma: } } [ ] Finalmente se obtendría la función de transferencia. c) Función de transferencia Se realizan las siguientes simplificaciones: No se tiene en cuenta la deflexión de los alerones Se desprecia el efecto de la velocidad de deflexión Se considera despreciable la fuerza lateral generada por el timón de dirección Se considera despreciable el momento de balance generado por el timón de dirección Se considera que el único grado de libertad es la guiñada ( ) Al tener vuelo horizontal rectilíneo y uniforme, se tiene Al hacer estas simplificaciones se puede dejar directamente la tercera ecuación (guiñada) en función de una sola variable. Se deja la ecuación en función de antes de hacerle la transformada de Laplace para luego hacer el cambio de variable. ( ) La transformada de Laplace es ( ) ( ) ( ) Por lo tanto es

72 En el apartado b, se dedujo que Por lo tanto la función de transferencia global es Simplificando esta expresión se obtiene [ ( )]

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