Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial

Transcripción

1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales mediante cálculo variacional. Autor: Javier Pachón Álvarez Tutor: Damián Rivas Rivas Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Sevilla, 2014

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3 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales mediante cálculo variacional. Autor: Javier Pachón Álvarez Tutor: Damián Rivas Rivas Catedrático Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2014

4 Trabajo Fin de Grado: Optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales mediante cálculo variacional. Autor: Tutor: Javier Pachón Álvarez Damián Rivas Rivas El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2014 El Secretario del Tribunal

5 A mi familia y amigos A mis maestros

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7 5 Resumen En este proyecto se analiza la optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales mediante cálculo variacional, de tal forma que se maximiza el alcance. El trabajo se estructura en tres partes. En las dos primeras partes se sigue un esquema común, pues en cada una de ellas se reserva un capítulo para la optimización del planeo estacionario, otro para la del planeo no estacionario, y un último capítulo en el que se presenta una comparación entre los resultados obtenidos al tener o no tener en cuenta respectivamente el término de la aceleración tangencial en la ecuación dinámica. Para cada uno de estos tres capítulos, se hace uso de un modelo típico de aeronave civil de pasajeros, Boeing ER y los resultados se comparan con los que proporciona un modelo aerodinámico de avión más simple, esto es el caso incompresible de una polar parabólica de coeficientes constantes. De esta forma se recoge una amplia gama de particularizaciones, simplificaciones y modelos que, tras la resolución de la Ecuación de Euler-Lagrange, permiten la comparación bajo distintos puntos de vista de las funciones óptimas que maximizan el alcance: CL, M, V, Ve /CAS, γ ; las variables globales y el perfil de vuelo para una trayectoria que empieza a 10 km de altitud y termina a 3 km sobre el nivel del mar. No obstante, hay un importante matiz que diferencia las dos primeras partes, ya que mientras que en la primera se trabaja en el planeo sin viento y se analiza la influencia del peso de la aeronave (que se mantendrá constante a lo largo del vuelo de planeo), en la segunda parte los esfuerzos se concentran en los efectos que tienen sobre los resultados óptimos diferentes perfiles de viento horizontal dependientes de la altitud (caracterizados por dos parámetros, la velocidad del viento medio y la pendiente del perfil más conocida como parámetro de wind-shear). Finalmente, en la última parte concerniente al presente proyecto se elabora un resumen de cómo afectan el peso de la aeronave, las condiciones de viento, el modelo dinámico y aerodinámico mediante la comparación entre los resultados del problema óptimo. De esta forma, el lector puede percatarse de las repercusiones que los diferentes modelos y simplificaciones tienen en los resultados. Asimismo, se hace un balance de los objetivos logrados y el posible trabajo futuro.

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9 Índice general 1. Introducción Contexto Objetivos Formulación I Planeo sin viento Optimización del planeo estacionario Polar parabólica de coeficientes constantes Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Comparación con polar parabólica de coeficientes constantes Optimización del planeo no estacionario Polar parabólica de coeficientes constantes Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Comparación con polar parabólica de coeficientes constantes Comparación de planeo no estacionario con planeo estacionario Polar parabólica de coeficientes constantes Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach II Planeo con viento Optimización del planeo estacionario con viento Polar parabólica de coeficientes constantes Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Comparación con polar parabólica de coeficientes constantes Optimización del planeo no estacionario con viento Polar parabólica de coeficientes constantes Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Comparación con polar parabólica de coeficientes constantes Comparación de planeo no estacionario con planeo estacionario con viento Polar parabólica de coeficientes constantes Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach

10 III Resumen y conclusiones Resumen de resultados Planeo sin viento Planeo con viento Conclusiones y trabajo futuro. 165 Apéndices 169 A. Modelo de aeronave 171 A.1. Modelo aerodinámico B. Modelo de atmósfera. 173 B.1. Troposfera B.2. Estratosfera Bibliografía 175

11 Notación Símbolo a V e CAS C D C L D g h h L M m p S t t f V W w w r Nombre Velocidad del sonido Velocidad equivalente Velocidad calibrada Coeficiente de resistencia Coeficiente de sustentación Resistencia Aceleración de la gravedad Altitud Altitud media Sustentación Número de Mach Masa de la aeronave Presión Superficie alar de referencia Tiempo Tiempo de vuelo Velocidad aerodinámica Peso de la aeronave Viento Viento medio Distancia horizontal

12 R max γ w Θ ρ Alcance máximo Ángulo de trayectoria Parámetro de wind-shear Temperatura Densidad

13 Capítulo 1 Introducción 1.1. Contexto El sector del transporte aéreo juega un papel fundamental en la economía de los países desarrollados, prueba de ello es el exponencial crecimiento al que ha estado sometido en los últimos años. Puesto que los pronósticos estiman que así seguirá ocurriendo, surge un gran interés porque se haga un buen uso del espacio aéreo mediante trayectorias óptimas que reduzcan el coste de las aerolíneas. Es por ello que desde 2005 el Departamento de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla ha llevado a cabo numerosos trabajos relacionados con este tema. La disciplina de la optimización de trayectorias abarca todas las fases de vuelo, aunque es cierto que cada una está más ligada a un criterio de optimización. Así, para el crucero Rivas et al. [1] estudian el vuelo de mínimo combustible sin restricciones y Bernad y Rivas [2] analizan el vuelo de mínimo coste y sin restricciones. Por otro lado el problema del planeo de máximo alcance ha sido estudiado por diferentes autores, que si bien han propuesto soluciones basándose en diferentes métodos, todos comparten las mismas pretensiones de maximizar el alcance de la aeronave para que el descenso sin empuje pueda iniciarse lo antes posible, de esta forma se minimizan los impactos económicos y ambientales. Por ejemplo Franco et al. [3] emplean la teoría del control óptimo singular, que permite imponer los valores de la altitud y la velocidad con los que se empieza y con los que se termina, ya que de forma óptima empalma el tramo inicial con el arco singular y, una vez recorrido dicho arco, otro segmento engancha con la condición final. Pueden obtenerse resultados similares empleando el cálculo variacional (utilizado en este proyecto), que presenta la posibilidad de analizar el mismo problema con una técnica distinta, más limitada, pues se empieza y termina en la misma curva. Básicamente esta técnica consiste en encontrar una serie de funciones que optimizan un funcional. Asimismo, la teoría de la optimización paramétrica utilizada en Valenzuela et al. [4] consiste en encontrar un conjunto de parámetros que optimizan una función y permite imponer restricciones al vuelo con facilidad Objetivos Los objetivos generales del presente documento son: 11

14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 12 Analizar la exactitud de los resultados obtenidos con diversos modelos, con distintos grados de simplificación. Estudiar la influencia del viento en el planeo. Para ello este trabajo ha sido estructurado en tres partes, las cuales a su vez están subdivididas de acuerdo a los distintos modelos aplicados para estudiar un vuelo de planeo ( planeo estacionario/no estacionario; polar incompresible/compresible) En la primera parte se trabaja sobre el planeo sin viento, en concreto se hace uso del cálculo variacional para hallar la ley óptima de vuelo que maximiza el alcance. Para poder emplear cálculo variacional las funciones han de ser continuas. Por ello, el planeo empezará por debajo de la tropopausa, de tal forma que se evite así la falta de regularidad que hay al pasar de la estratosfera a la troposfera. También ha de tenerse en cuenta que debe realizarse el planeo hasta una altitud que no sea lo suficientemente pequeña como para que el Mach esté por debajo de 0.4, ya que el modelo de polar descrito en el apéndice A presentaría una discontinuidad que imposibilitaría la aplicación de cálculo variacional a este problema. En la segunda parte se trabaja sobre el planeo con viento con el mismo objetivo y las mismas herramientas que se presentaban en la primera parte. Para el modelo de viento utilizado se ha considerado la aproximación más general de suponer el viento lineal con el valor absoluto de la velocidad aumentando con la altitud, pero en la realidad no tienen por qué darse siempre esas características. En la tercera parte se presenta un resumen de los resultados obtenidos, permitiendo así una visión más global del conjunto, de la que extraer conclusiones sobre los diferentes parámetros (peso de la aeronave, viento medio y wind-shear), modelos y simplificaciones realizadas en cada parte, en cuanto a su forma de afectar a los resultados. De modo que sirva además como un análisis que permita ver de qué forma los objetivos del proyecto han sido satisfechos, así como posibles avances futuros. El principal atractivo y la motivación de este proyecto residen en que la filosofía que subyace a lo largo del mismo puede extrapolarse a la hora de resolver cuaquier problema de ingeniería que provenga tanto de fenómenos naturales, como de fenómenos artificiales, ciencia y técnica. Ya que en cualquier caso se pretende alcanzar una solución en la que se mantenga un compromiso entre la calidad y los recursos utilizados (tiempo y coste). Para la consecución de soluciones exitosas se requiere el uso de una metodología que permita modelar el problema y el proceso de resolución del mismo. El modelado de sistemas grandes y complejos es importante porque no es posible abarcarlos en su totalidad. Además, el hecho de modelar ayuda a comprender mejor el sistema en desarrollo y permite saber hasta qué nivel de precisión merece la pena refinar los resultados, pues el hecho de reducir las simplificaciones se ve penalizado con un mayor esfuerzo temporal. Maximizar el alcance de un vuelo de planeo no es más que un claro ejemplo de un problema con una gran utilidad, porque aunque en la práctica las soluciones óptimas no suelen estar permitidas por las regulaciones del tráfico aéreo, su estudio puede servir como una referencia de la optimalidad de las trayectorias usadas en la realidad Formulación Sea cual sea el método de resolución es frecuente que en la formulación del problema se consideren las siguientes hipótesis generales: 1.3. FORMULACIÓN

15 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 13 La aeronave es considerada un cuerpo rígido, por lo que no se tienen en cuenta las deformaciones. De modo que el estudio de las actuaciones del avión se reduce al movimiento del centro de masas del avión, el cual es considerado como una masa puntual. La aeronave presenta un plano de simetría. Tierra plana. Para cualquier sistema inercial fijo que se considere con respecto a ella pueden despreciarse las fuerzas de inercia causadas por la Tierra, coriolis y centrífuga. Empuje paralelo a la velocidad aerodinámica de la aeronave. Aunque en este proyecto se hará la hipótesis adicional de empuje nulo. Gravedad constante, esto es, no varía a pesar de que sí lo haga la altitud de vuelo. De esta forma, se considera el planeo desde una altitud inicial h i hasta una altitud final h f < h i. Se van a hacer las siguientes hipótesis adicionales: Empuje nulo (T = 0) Peso constante (W = cte) Viento horizontal dependiente sólo de la altitud. Vuelo simétrico en un plano vertical. A continuación se formula el caso más general de las ecuaciones del vuelo de planeo con las hipótesis anteriores (ver Rivas [5]) : Teniendo en cuenta que m dv dt = mẇ cosγ D(h, V, L) m g sinγ (1.1) mv dγ = m ẇ sinγ + L m g cosγ dt (1.2) dr = (V + w(h))cosγ dt (1.3) dh = V sinγ dt (1.4) ẇ = dw dh dh dt = dw V sinγ (1.5) dh La segunda ecuación podría expresarse: Así que al añadir las hipótesis: mv dγ dt = m sin2 γ V dw + L m g cosγ (1.6) dh Ángulo de trayectoria muy pequeño: γ 1 γ 2 0 Aceleración normal a la trayectoria despreciable: dγ dt FORMULACIÓN

16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 14 Se consigue la siguiente formulación W g ( dv dt = D W γ 1 + V g ) dw dh (1.7) L = W (1.8) dr = V + w(h) dt (1.9) dh dt = V γ (1.10) A partir de aquí, a lo largo de este proyecto, se obtendrán los diferentes casos particulares. Como principal limitación del cálculo variacional cabe destacar que, para todas las casuísticas contempladas en este problema, no se pueden imponer las condiciones de contorno. Es decir, con esta teoría tan simple es imposible la obtención de una ley óptima que pase por los puntos de velocidad final V (h f ) = V f y velocidad inicial V (h i ) = V i deseados, ya que al operar en la Ecuación de Euler- Lagrange no se llega a una ecuación diferencial. Además de la velocidad se van a presentar también resultados para el número de Mach, la velocidad equivalente y la velocidad calibrada (CAS). Por lo que se hará uso de las siguientes definiciones: M = V a (1.11) CAS = ρ V e = V = V σ (1.12) ρ 0 ((((( ) V 2 κ ) ) κ 1 ) κ 1 κ (κ 1)ρ p κp p 0 2κp 0 (κ 1)ρ 0 ) 1 2 (1.13) Los resultados se van a representar desde una altitud inicial h i = m hasta una altitud final h f = 3000 m El modelo de aeronave empleado para las aplicaciones numéricas se especifica en el apéndice A. En cuanto al modelo de atmósfera se emplea la Atmósfera Estándar Internacional ISA, descrito en el apéndice B FORMULACIÓN

17 Parte I Planeo sin viento. 15

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19 Capítulo 2 Optimización del planeo estacionario Si en las ecuaciones del vuelo de planeo se hace: Se llega a: Aceleración tangencial despreciable: dv dt 0, Ausencia de viento: w = 0 D + W γ = 0 (2.1) L = W (2.2) dr dt = V (2.3) dh dt = V γ (2.4) Así pues, de las dos últimas ecuaciones se obtiene : dr dh = 1 γ (2.5) Mientras que mediante las dos primeras ecuaciones 1 : γ = D(h, V ) W (2.6) Por tanto, se puede expresar el alcance como: R = R 0 dr = hf h i dh hf γ = W dh (2.7) h i D(h, V ) Donde W es una constante y h es la variable independiente. Es decir, se procede a la búsqueda de la ley óptima de velocidad en función de la altitud que hace que el alcance sea máximo, o lo que es lo mismo, se va a minimizar el opuesto: mín R = hf h i W dh (2.8) D(h, V ) 1 Nótese que al ser la sustentación igual al peso, la resistencia pasa a depender únicamente de h y V. 17

20 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 18 Al ser el integrando,f = W D(h,V ), independiente de V, queda una expresión muy sencilla de la Ecuación de Euler-Lagrange (ver Rivas [5]): F V d dh ( F D ) = 0 V V = 0 (2.9) Así, puede obtenerse la función óptima V (h). Como no aparece una ecuación diferencial, no se pueden imponer las condiciones V (h i ) = V i, V (h f ) = V f. Es decir, con este modelo, es imposible la obtención de una ley óptima que pase por esos dos puntos. Para el desarrollo de D V en términos de la polar, que a su vez depende de M y de C L, se tendrá en cuenta: D = 1 2 ρv 2 SC D (M, C L ) ; M = V a(h) ; C L = W 1 C D (M,C L ) V = C D M M V + C D C L C L V ; M V = 1 a(h) ; 2 ρv 2 S C L V = 2 V C L Al final se llega a la siguiente función de M y C L : D V = 1 ( 2 ρv S 2C D + M C ) D M 2C C D L C L Se hace pues: Que junto con: D V = 0 (2.10) 2C D + M C D M 2C C D L = 0 (2.11) C L C L = W q 0 δm 2 (2.12) Constituyen el sistema de dos ecuaciones que hay que resolver para obtener la ley óptima de Mach en función de δ, es decir M (δ). Nótese que: δ = p p 0 ; q 0 = κ 2 p 0S ; 1 2 ρv 2 S = q 0 δm 2 Siendo S la superficie alar del avión; p 0 la presión ISA al nivel del mar; a(h) = κr a Θ(h) la velocidad del sonido (con κ = 1,4 para el aire). A continuación, se procederá al estudio de la solución para dos tipos de polar del avión, pues mediante análisis dimensional se obtiene la siguiente dependencia funcional del coeficiente de resistencia: C D = C D (α, M, Re) (2.13) Donde M es el número de Mach y Re es el número de Reynolds. Aunque en este proyecto no se va a considerar la dependencia con el número de Reynolds por simplicidad, sí se va a hacer un análisis de la dependencia con el número de M ya que,como se verá más adelante, puede despreciarse a bajas velocidades (M < 0,6), mientras que es importante a altas velocidades, cuando los efectos de compresibilidad son importantes Polar parabólica de coeficientes constantes Es un modelo sencillo de polar parabólica simétrica que,en el caso de vuelo a bajas velocidades (M < 0,6),es una buena aproximación a la polar real de un avión. El coeficiente de resistencia puede descomponerse en dos partes: C D = C D0 + kc 2 L (2.14) 2.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

21 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 19 Siendo C D0 el coeficiente de resistencia parásita (con sustentación nula) y kcl 2, el de resistencia inducida (inducida por la sustentación). Así pues: C D M = 0 (2.15) C D C L = 2kC L (2.16) Para más adelante poder ver la diferencia de tener una polar compresible en lugar de una polar incompresible, será necesario un valor de k y un valor de C D0, por lo que se establecen los coeficientes de la polar parabólica incompresible: k = C D2,i C D0 = C D0,i. Las funciones óptimas se hallan a continuación tras haber resuelto el sistema de ecuaciones (2.11) y (2.12). En concreto, la particularización de la ecuación (2.11) conduce a C L = CD0 k = cte = 0,469 Figura 2.1: CL (h) para polar incompresible. El coeficiente de sustentación permanece invariable ante el peso de la aeronave y el descenso de la misma. No será éste el caso del número de Mach, el cual comienza a decrecer a medida que avanza el planeo, pues esto se traduce en un aumento de la presión, que se presenta en el denominador de la expresión de M (h), al ser δ = p p 0. Además, se alcanzan valores menores para pesos menores del avión, tal y como queda reflejado en la siguiente expresión y su respectiva figura: ( M W (h) = q 0 δ(h) k C D0 ) 1 4 (2.17) 2.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

22 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 20 Figura 2.2: M (h) para polar incompresible. Se representa la velocidad a partir de la relación V (h) = 2W ρ(h)s ( k C D0 ) 1 4 Figura 2.3: V (h) para polar incompresible. El comportamiento que se observa en la velocidad es análogo al del número de Mach, esto es, valores inferiores para altitudes y pesos más pequeños. Lo cual se desprende inmediatamente de su fórmula, 2.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

23 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 21 al estar el peso en el numerador y la densidad, que disminuye con la altitud, en el denominador. ( ) 1 4 Por otro lado, la definición de la velocidad equivalente permite llegar a Ve = 2W ρ 0 S = cte Entiéndase constante para cualquier altitud de planeo de una aeronave, no obstante, otra aeronave provista con más carga, y por ende, más peso, tendría una velocidad equivalente mayor. k C D0 Figura 2.4: V e (h) para polar incompresible. Finalmente: γ = D(h, V (h)) W = 2 kc D0 = 1 E max = cte = 0,0563rad = 3,227 o (2.18) Donde la eficiencia aerodinámica máxima E max = 1 2 kc D0 se obtiene a partir del valor de C L. De hecho, las gráficas del coeficiente de sustentación y del ángulo de trayectoria presentan el mismo comportamiento, esto es, permanecen invariables ante el peso de la aeronave y el descenso de la misma POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

24 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 22 Figura 2.5: γ (h) para polar incompresible. Además, conviene calcular las variables globales 2,esto es, el alcance máximo R max y el tiempo de vuelo asociado t f. R max = R 0 dr = hf h i dh hf γ (h) = E max dh = E max (h i h f ). (2.19) h i En el cálculo del tiempo de vuelo influirá el modelo de atmosfera, además, se define V ref = 2W ρ 0 S de tal modo que V (h) = V ref σ C, con lo que resulta: L t f = tf 0 dt = hf h i dh V (h)γ = E max C L V ref hf h i ( σ)dh (2.20) Al considerar el modelo de atmósfera estándar internacional 3, modelo ISA, la densidad del aire en función de altitud en la troposfera viene dado por: σ = ρ ρ 0 = ( 1 α T h Θ 0 ) g Raα T 1 (2.21) Teniendo todo ello en cuenta, para un planeo desde h i = 10000m hasta h f = 3000m, se obtiene: Para W = 1400kN: R max = 124,273 km; t f = 11,312 minutos 2 En este caso no hay consumo de combustible. En caso de haberlo también se calcularía. 3 Explicado con más detalle en el apéndice POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

25 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 23 Para W = 1300kN: R max = 124,273 km; t f = 11,739 minutos Para W = 1200kN: R max = 124,273 km; t f = 12,219 minutos Así pues, para el caso de polar parabólica de coeficientes constantes, el alcance máximo es independiente del peso, a diferencia del tiempo de vuelo asociado, el cual aumenta al disminuir el peso de la aeronave. (a) Tiempo de vuelo en función del peso de la aeronave. (b) Alcance máximo en función del peso de la aeronave. Figura 2.6: Variables globales para polar incompresible. Por otro lado, resulta de interés representar el perfil de vuelo h(r), que puede obtenerse integrando hasta una h genérica, en vez de integrar hasta la altitud final,esto es: r 0 dr = h h i dh γ (h) r = 1 γ (h h i) = E max (h i h). (2.22) Es decir, en el caso incompresible, al ser γ constante, se obtiene una recta POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

26 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 24 Figura 2.7: Perfil de vuelo para polar incompresible. Esta trayectoria resulta independiente del peso de la aeronave para el caso incompresible Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach En este caso, el coeficiente de resistencia aerodinámica tiene en cuenta los efectos de compresibilidad. El modelo aerodinámico, explicado con detalle en el apéndice A, establece: C D = C D (M, C L ) Análogamente al apartado anterior, los esfuerzos radican en maximizar el alcance, por lo que es necesario plantear un funcional, aplicar ( la Ecuación ) de Euler-Lagrange y resolverla. Todo ello en términos de la polar y sus derivadas C D M ; C D C L. Resolviendo las ecuaciones numéricamente (en concreto, usando la función fsolve de Matlab, que permite resolver sistemas algebraicos) se obtienen las funciones óptimas para un peso dado. De la misma forma que en el apartado anterior, se va a proceder a resolver el problema con diferentes pesos, para ver su influencia en las distintas funciones a lo largo del vuelo de planeo POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

27 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 25 Figura 2.8: CL (h) para polar compresible. Para pesos mayores que los representados en la gráfica anterior, a altitudes elevadas se estarían rozando los límites de funcionamiento de la aeronave, pues sería necesario un C L muy grande para volar. Esto no supondrá ningún problema para modelar un vuelo comercial, en el que el planeo se realiza al final del vuelo,y por ende, se ha consumido la mayor parte de combustible, por ello las curvas representadas son como máximo para un peso de 1400 kn. En caso de un fallo de motor que obligue al avión a planear cargado de combustible, éste se vería obligado a tirar combustible, ya que si quiere aterrizar no puede superar el peso máximo al aterrizaje 4 (Maximum Landing Weight). En concreto,para el modelo de aeronave presentado en el apéndice A, Boeing [6] establece un MLW = 1422,47kN. 4 MLW es el peso máximo con el que se autoriza al avión aterrizar. Depende normalmente de la resistencia a los impactos en el aterrizaje de ciertas partes de la estructura POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

28 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 26 Figura 2.9: M (h) para polar compresible. Tanto el número de Mach como la velocidad disminuyen a medida que avanza el planeo. Además ambos alcanzan valores superiores cuando el peso de la aeronave es mayor. Figura 2.10: V (h) para polar compresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

29 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 27 Figura 2.11: CAS (h) para polar compresible. Para la CAS también se observa una tendencia creciente con el peso de la aeronave. Como aclaración, la velocidad calibrada (CAS) es una velocidad obtenida con la única medida de la diferencia de presiones p. El anemómetro a bordo del avión indica la velocidad que se conoce como velocidad indicada o IAS, que coincide con la CAS salvo por los errores del instrumento. En vuelo a bajas velocidades, en régimen incompresible, la velocidad calibrada coincide con la velocidad equivalente. En cuanto al ángulo de trayectoria se emplea la expresión obtenida para el planeo estacionario: γ = D(h, V ) W (2.23) 2.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

30 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 28 Figura 2.12: γ (h) para polar compresible. Lógicamente el valor del ángulo de trayectoria es negativo, al estar el avión descendiendo. Nótese que podría haberse definido el ángulo de planeo (glide angle) γ d = γ. De cualquier forma, en valor absoluto, la variación que sigue esta función a lo largo de toda la trayectoria es de poco más de una décima de grado. Siendo levemente más acusada para un mayor peso de la aeronave. Para el cálculo de las variables globales, se hará uso de la función trapz de Matlab que permite hacer las integrales presentadas en la sección anterior, esto es, R max = h f dh h i γ (h) ; t f = h f dh h i V (h)γ Así, para un planeo desde h i = 10000m hasta h f = 3000m, se obtiene: Para W = 1400kN: R max = 136,236 km; t f = 12,790 minutos Para W = 1300kN: R max = 136,663 km; t f = 13,284 minutos Para W = 1200kN: R max = 137,082 km; t f = 13,838 minutos Para el caso compresible se tiene menor alcance máximo cuanto más pese el avión, a diferencia del caso incompresible en el que el alcance máximo resultaba independiente del peso de la aeronave. No obstante, el tiempo de vuelo asociado, tiene la misma tendencia, es decir, aumenta al disminuir el peso de la aeronave POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

31 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 29 (a) Tiempo de vuelo en función del peso de la aeronave. (b) Alcance máximo en función del peso de la aeronave. Figura 2.13: Variables globales para polar compresible. Ahora el peso también tiene influencia en el perfil de vuelo h(r), aunque de forma muy leve: Figura 2.14: Perfil de vuelo para polar compresible. Lógicamente, a 3 km de altitud se recogen los resultados anteriormente obtenidos para el alcance máximo POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

32 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO Comparación con polar parabólica de coeficientes constantes Se van a comparar las funciones óptimas para los distintos pesos estudiados, ya que aunque éste no afecte a C L ni a γ en el caso de polar incompresible, sí tiene influencia en M (h); V (h); CAS (h) como se observa a continuación: Figura 2.15: Comparación CL (h) polar compresible con polar incompresible. En el eje de ordenadas se aprecia la leve variación de CL con la altitud. Conforme aumenta el peso de la aeronave mayor es el desvío entre los resultados aportados con polar compresible y el resultado constante dado con polar incompresible. En cuanto a la comparación hecha a continuación para M, puede observarse que cuanto menor es éste, más aproximados son los resultados entre los dos tipos de polar. En caso contrario, llevado al extremo del inicio del planeo y para W = 1400 kn parece que los resultados divergen POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

33 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 31 Figura 2.16: Comparación M (h) polar compresible con polar incompresible. Figura 2.17: Comparación M (h) polar compresible con polar incompresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

34 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 32 Figura 2.18: Comparación M (h) polar compresible con polar incompresible. Con la velocidad ocurre exactamente lo mismo que lo que se ha observado anteriormente con el número de Mach. Figura 2.19: Comparación V (h) polar compresible con polar incompresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

35 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 33 Figura 2.20: Comparación V (h) polar compresible con polar incompresible. Figura 2.21: Comparación V (h) polar compresible con polar incompresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

36 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 34 Figura 2.22: Comparación CAS (h) polar compresible con polar incompresible. Para polar incompresible la CAS es monótona decreciente. Mientras que en el caso de polar compresible se alcanza un máximo al principio de vuelo de planeo, para luego disminuir y volver a aumentar muy levemente, pues dado un peso, se produce una variación de apenas 3 m s a lo largo de toda la trayectoria POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

37 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 35 Figura 2.23: Comparación γ (h) polar compresible con polar incompresible. En el caso de polar compresible, el ángulo de trayectoria respecto de la altitud no permanece constante, sin embargo, su variación no resulta ser muy acusada. Finalmente, mencionar que para polar compresible se alcanzan mayores valores de las variables globales, así por ejemplo, para W = 1200 kn, el alcance máximo llega a ser hasta un 13,25 % superior que para polar incompresible, mientras que el tiempo de vuelo asociado presenta un incremento del 10,31 %. (a) Tiempo de vuelo en función del peso de la aeronave. (b) Alcance máximo en función del peso de la aeronave. Figura 2.24: Comparación de variables globales POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

38 CAPÍTULO 2. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO 36 Con el perfil de vuelo se ratifica que se adquiere un mayor alcance para la polar compresible con una leve dependencia con el peso de la aeronave. Figura 2.25: Comparación perfil de vuelo polar compresible (rojo) con polar incompresible (azul) para W = 1200, 1300, 1400 kn POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

39 Capítulo 3 Optimización del planeo no estacionario En las ecuaciones del vuelo de planeo ahora se mantiene la aceleración tangencial, con lo que se llega a: W g dv dt = D W γ (3.1) L = W (3.2) dr dt = V (3.3) dh dt = V γ (3.4) Así pues, de las dos últimas ecuaciones se deduce : dr dh = 1 γ (3.5) Ahora, la ecuación 1 que define γ viene dada por: W g dv dh = D(h, V ) + W γ V γ γ = D W ( 1 + V g ) 1 dv (3.6) dh De modo que el ángulo de trayectoria resulta ser el que se tenía para planeo estacionario, pero con un factor nuevo, que es el término no estacionario. Por tanto, el alcance puede expresarse como: R hf ( ) dh hf R = dr = γ = W 1 + V h i D(h, V ) g V dh (3.7) 0 h i Ya ha sido puesto de manifiesto que en este problema de optimización se busca una función que haga que la integral anterior sea un máximo, esto es, ha de minimizarse: min R = hf h i V W (1 + V g ) dh (3.8) D(h, V ) 1 Nótese que al ser la sustentación igual al peso, la resistencia pasa a depender únicamente de h y V. 37

40 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 38 El nuevo funcional, F = W (1+ V V ) g D(h,V ), queda con un factor que depende de V. Así,en principio, no se anula ningún término de la Ecuación de Euler-Lagrange: ( ) F V d F dh V = 0 (3.9) Siendo: ( ) F V = W 1 1 D 2 g V D (1 + V g V ) D V F V = W V D g (3.10) (3.11) Aunque todo parece indicar que se va a obtener una ecuación diferencial, operando se llega a una ecuación algebraica, que nos da la ley óptima V (h): D V V D g h = 0 V (h) (3.12) Por lo que con esta teoría tan simple, vuelve a aparecer la casuística de un problema en el cual no se pueden imponer condiciones de contorno en velocidad, de manera que lo único que se saca es un arco que,si se desea mantener la trayectoria óptima, no hay forma de imponer que pase por los puntos de velocidad final y velocidad inicial deseados. Para modelar un vuelo comercial, en el que cuando se va a aterrizar la velocidad inicial es la que se lleva en crucero y la velocidad final está impuesta en la normativa, existe una teoría más avanzada que de forma óptima empalma el tramo inicial con el arco obtenido en este problema,y una vez recorrido dicho arco,otro segmento (que puede ser a altitud constante) engancha con la condición final. D V La función de M y C L : = 1 2 ρv S(2C D + M C D M 2C L C D C L ) fue obtenida ya en planeo estacionario, pero ahora además, hay que hacer D h, para lo que se tendrá en consideración: D = 1 2 ρv 2 SC D (M, C L ) ; M = V a(h) ; C L = W 1 C D (M,C L ) h = C D M M h + C D C L M C L h ; h 2 ρv 2 S = M a a ; C L h = C L ρ ρ Con lo que se llega a que: ( ) D h = 1 2 ρv 2 ρ S ρ C D a a M C D M ρ ρ C C D L C L (3.13) Así, la ecuación de Euler-Lagrange se sustituye por: ( ) ( C D 2 M 2 a 2 ρ + M C D 1 + M 2 a 2 a g ρ M ga La cual depende de M, C L, h. Además, junto con: C L = ) C L C D C L ( 2 M 2 a 2 g ) ρ = 0 (3.14) ρ W q 0 δm 2 (3.15) Constituyen el sistema de dos ecuaciones que hay que resolver para obtener la ley óptima M (h) para los dos tipos de polar.

41 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO Polar parabólica de coeficientes constantes Para k y C D0 constantes, se define la polar incompresible C D = C D0 + kcl 2, de la que se obtiene: C D M = 0 (3.16) C D C L = 2kC L (3.17) Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (3.14) y (3.15) se llega a los siguientes valores óptimos: CD0 C L = k = cte = 0,469 (3.18) Figura 3.1: CL (h) para polar incompresible. El coeficiente de sustentación no depende del peso de la aeronave ni de la altitud a la que ésta se encuentra. Por lo que permanecerá, en cualquier caso, con un valor constante de 0,469 para este apartado de polar incompresible. El número de Mach y la velocidad pueden ser analizados conjuntamente al presentar un comportamiento análogo, esto es, para un mismo peso, M y V disminuyen conforme lo hace la altitud. Mientras que para una misma altitud, M y V son mayores cuanto mayor sea el peso de la aeronave. Estas conclusiones se deducen fácilmente mediante las expresiones: M (h) = W q 0 δ(h) ( k C D0 ) 1 4 y V (h) = 2W ρ(h)s ( k C D0 ) POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

42 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 40 Figura 3.2: M (h) para polar incompresible. Figura 3.3: V (h) para polar incompresible. A continuación se representa la velocidad equivalente: V e = ( 2W ρ 0 S k C D0 ) 1 4 = cte (3.19) 3.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

43 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 41 Figura 3.4: V e (h) para polar incompresible. Da la coincidencia de que hasta el momento se han obtenido las mismas expresiones que en planeo estacionario. Sin embargo, esto no ocurre para el ángulo de trayectoria óptimo, que en planeo estacionario era constante mientras que ahora con el término no estacionario aparece una variación con la altitud. Así, partiendo de: Y teniendo en cuenta: ( γ (h) = D(h, V ) 1 + V W g W 2 ) 1 dv (3.20) dh D(h, V ) = 1 2 ρv 2 SC D0 + k 1 2 ρv 2 S = 2W kc D0 (3.21) V dv dh = 1 dv 2 2 dh = 1 2 d dh ( 2W ρs k C D0 ) = 1 ρ 2 ρ V 2 (h) (3.22) Se llega a: ( γ (h) = E max 2g ) 1 dv (h) 2 = 1 dh E max ( 1 ρ ρ ) 1 V (h) 2 (3.23) 2g 3.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

44 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 42 Figura 3.5: γ (h) para polar incompresible. Por lo que el ángulo de trayectoria pasa a disminuir a lo largo del planeo. Siendo los resultado más negativos para menores pesos de la aeronave. El cálculo de las variables globales queda de la siguiente forma: R max = R 0 dr = hf h i ( dh γ (h) = E max (h i h f ) + V ref 2 2gCL ( = E max ( 1 σ i 1 σ f )) (h i h f ) + V i 2 Vf 2 2g = ) (3.24) Donde se ha hecho uso de V ref = 2W ρ 0 S, de tal modo que V (h) = V ref σ C. De manera que queda L una expresión que relaciona la distancia horizontal recorrida con la pérdida de energías potencial y cinética durante el planeo. Para el tiempo de planeo se tiene: t f = tf 0 dt = hf h i dh V (h)γ = E max C L V ref hf h i ( σ)dh + E maxv ref g CL ( ) 1 1 = σi σf = E max C L V ref hf h i ( σ)dh + E max V i V f g (3.25) Cabe resaltar que el primer sumando de R max y de t f coincide con el valor que tenían estas variables globales en el capítulo de planeo estacionario. Los resultados obtenidos para un planeo desde h i = 10000m, hasta h f = 3000m son: 3.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

45 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 43 Para W = 1400kN : R max = 149,489 km; t f = 13,536 minutos Para W = 1300kN : R max = 147,688 km; t f = 13,882 minutos Para W = 1200kN : R max = 145,887 km; t f = 14,277 minutos En esta ocasión, el alcance máximo es mayor cuanto mayor es el peso de la aeronave, ya que mayor es la pérdida de energía cinética. El tiempo de vuelo sigue manteniendo la misma tendencia que había en el caso estacionario. (a) Tiempo de vuelo en función del peso de la aeronave. (b) Alcance máximo en función del peso de la aeronave. Figura 3.6: Variables globales para polar incompresible. En cuanto al perfil de vuelo h(r), se va a llevar a cabo un procedimiento análogo al realizado en el planeo estacionario. No obstante, hay que tener en cuenta que, ahora el peso influye en el perfil de vuelo. r ( ) h dh dr = γ (h) r = E max (h i h) + V i 2 V 2 (3.26) 2g 0 h i 3.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

46 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 44 Figura 3.7: Perfil de vuelo para polar incompresible. Efectivamente, puede comprobarse que a una altitud de 3 km se tienen los alcances máximos hallados previamente Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Para tener en cuenta los efectos de compresibilidad, se trabajará con el coeficiente de resistencia aerodinámica definido en el apéndice A. Esto afectará a la ecuación de Euler-Lagrange, pues en algunos términos aparecen la polar y sus derivadas. Todo ello permitirá obtener las funciones óptimas para distintos pesos. Se observa que para los tres pesos estudiados, son similares los valores de CL relativo y el máximo de la figura. que hay en el mínimo 3.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

47 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 45 Figura 3.8: CL (h) para polar compresible. El número de Mach y la velocidad vuelven a presentar el mismo comportamiento. De modo que disminuyen al hacerlo la altitud y el peso de la aeronave. Figura 3.9: M (h) para polar compresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

48 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 46 Figura 3.10: V (h) para polar compresible. En la velocidad calibrada se observa un máximo al inicio del vuelo, teniendo una variación máxima de 4 m s a lo largo de toda la trayectoria para un peso dado. Según este peso sea mayor o menor, las gráficas se trasladan hacia arriba o hacia abajo respectivamente. Figura 3.11: CAS (h) para polar compresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

49 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 47 Figura 3.12: γ (h) para polar compresible. En cuanto al ángulo de trayectoria, se aprecia en el eje de ordenadas que la variación con la altitud es muy leve. El cambio de tendencia que ocurre a altitudes elevadas se debe a que las curvas de V (h) dejan de crecer tan rápido en este rango. Es menester recordar que el ángulo de trayectoria ( ahora tiene un factor que incluye el efecto no estacionario: γ (h) = D(h,V ) W 1 + V g dv dh ) 1 En el cálculo de las variables globales se tendrá en cuenta la expresión anterior de γ (h) para hacer : R max = h f h i dh γ (h) ; t f = h f h i dh V (h)γ Así, para un planeo desde h i = m, hasta h f = 3000 m, se obtiene: Para W = 1400kN: R max = 161,133 km; t f = 14,992 minutos Para W = 1300kN: R max = 160,563 km; t f = 15,468 minutos Para W = 1200kN: R max = 159,183 km; t f = 15,939 minutos De modo que el alcance máximo aumenta de forma no lineal con el peso de la aeronave, justo al contrario que el tiempo de vuelo asociado, que disminuye POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

50 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 48 (a) Tiempo de vuelo en función del peso de la aeronave. (b) Alcance máximo en función del peso de la aeronave. Figura 3.13: Variables globales para polar compresible. De nuevo resulta satisfactoria la verificación del alcance máximo a nivel del mar para cada uno de los pesos de la aeronave mediante el perfil de vuelo h(r), Figura 3.14: Perfil de vuelo para polar compresible Comparación con polar parabólica de coeficientes constantes. Se procede a continuación a la comparación de las funciones óptimas obtenidas para distintos pesos con los dos tipos de polar considerados POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

51 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 49 Figura 3.15: Comparación CL (h) polar compresible con polar incompresible. El valor constante de CL para la polar incompresible permamece siempre inferior a los alcanzados para polar compresible, habiendo una desviación máxima de hasta Respecto a la velocidad y el número de Mach, para cualquier peso que tenga la aeronave y dada una altitud, los resultados de la polar compresible pasan siempre por debajo de los de la polar incompresible,aunque llegan a ser muy similares e igualmente aceptables para bajas velocidades. La máxima diferencia entre las siguientes curvas aparece a 10 km de altitud en el caso de W = 1400 kn, mientras que cuando los pesos de la aeronave son menores, la mayor separación se presenta a altitudes algo inferiores POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

52 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 50 Figura 3.16: Comparación M (h) polar compresible con polar incompresible. Figura 3.17: Comparación M (h) polar compresible con polar incompresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

53 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 51 Figura 3.18: Comparación M (h) polar compresible con polar incompresible. Figura 3.19: Comparación V (h) polar compresible con polar incompresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

54 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 52 Figura 3.20: Comparación V (h) polar compresible con polar incompresible. Figura 3.21: Comparación V (h) polar compresible con polar incompresible. La velocidad calibrada para polar incompresible disminuye a lo largo de la trayectoria, quedando siempre por encima de la correspondiente a polar compresible, la cual presenta un cambio de 3.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

55 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 53 curvatura. Figura 3.22: Comparación CAS (h) polar compresible con polar incompresible. El ángulo de trayectoria para polar compresible aumenta hasta alcanzar un máximo al inicio del planeo, y así comenzar a disminuir, mientras que la curva correspondiente a polar incompresible es monótona decreciente. Conforme el avión se aproxima al nivel del mar, no convergen los valores obtenidos para cada polar POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

56 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 54 Figura 3.23: Comparación γ (h) polar compresible con polar incompresible. (a) Tiempo de vuelo en función del peso de la aeronave. (b) Alcance máximo en función del peso de la aeronave. Figura 3.24: Comparación de variables globales. Al comparar los alcances de la polar de coeficientes constantes y la polar de coeficientes variables, se aprecia una diferencia que para W = 1200 kn es de más de un 9 % atribuible a la imprecisión de la polar incompresible. De la misma forma, para polar compresible el tiempo de vuelo asociado a W = 1200 kn es un 11,64 % superior al de la polar de coeficientes constantes. A la hora de comparar los perfiles de vuelo puede apreciarse que las curvas se cruzan ligeramente. De modo que si bien es cierto que la polar compresible proporciona un mayor valor del alcance máximo, 3.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

57 CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 55 si se fija una altitud y un peso al comienzo del planeo la distancia horizontal recorrida con la polar incompresible es levemente superior. Figura 3.25: Comparación perfil de vuelo polar compresible (rojo) con polar incompresible (azul) para W = 1200, 1300, 1400 kn POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

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59 Capítulo 4 Comparación de planeo no estacionario con planeo estacionario. Con este capítulo se pretende discutir cómo de buena es la simplificación que se hace al eliminar los factores que incluyen el efecto no estacionario. Para ello, se dividirá el capítulo en dos secciones que traten por separado cada polar estudiada hasta el momento Polar parabólica de coeficientes constantes Puesto que el ángulo de trayectoria óptimo es la única expresión que difiere debido al término no estacionario, será la que aquí se represente: Figura 4.1: Comparación γ (h) planeo estacionario con planeo no estacionario. Señalar la falta de precisión aportada por la solución estacionaria, que permanece totalmente 57

60 CAPÍTULO 4. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO. 58 invariable, mientras que en el planeo no estacionario se registran valores superiores que aumentan con la altitud y peso de la aeronave. Para las variables globales se tiene: Figura 4.2: Comparación t f (W ) planeo estacionario con planeo no estacionario. Figura 4.3: Comparación R max (W ) planeo estacionario con planeo no estacionario POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

61 CAPÍTULO 4. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO. 59 El tiempo de vuelo asociado presenta la misma tendencia, mientras que el alcance máximo para planeo no estacionario deja de ser constante para aumentar con el peso, consecuencia ligada a que se tiene en cuenta la mayor pérdida de energía cinética. De modo que para W = 1400 kn, en planeo no estacionario llega a haber un 20, 29 % más de alcance máximo, así como un aumento del 19, 66 % del tiempo de vuelo asociado. Esta desviación se reduce cuando los pesos de la aeronave son menores, así pues, para W = 1200 kn, éstos incrementos son sólo del 17,392 % y 16,84 % respectivamente. Con el perfil de vuelo se aprecia que a cualquier altitud de vuelo la distancia horizontal recorrida para planeo no estacionario es superior a la correspondiente para planeo estacionario. Figura 4.4: Comparación perfil de vuelo planeo estacionario (azul) con planeo no estacionario (rojo) para W = 1200, 1300, 1400 kn Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Empezando por el coeficiente de sustentación, se observa que las curvas correspondientes a planeo estacionario, para una altitud dada, se encuentran por encima de las correspondientes a planeo no estacionario. Ambas curvas tienen el mismo comportamiento, salvo este gap que va disminuyendo conforme avanza el vuelo de planeo. Por otro lado, salta a la vista que a 10 km hay un desmesurado aumento de C L para W = 1400 kn cuando no se tienen en cuenta efectos no estacionarios POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

62 CAPÍTULO 4. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO. 60 Figura 4.5: Comparación CL (h) planeo estacionario con planeo no estacionario. Tanto para el número de Mach como para la velocidad, aunque las respectivas curvas de planeo no estacionario y planeo estacionario no llegan a superponerse, las discrepancias entre ellas van menguando hasta llegar a existir apenas una tenue diferencia. Figura 4.6: Comparación M (h) planeo estacionario con planeo no estacionario POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

63 CAPÍTULO 4. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO. 61 Figura 4.7: Comparación V (h) planeo estacionario con planeo no estacionario. Figura 4.8: Comparación CAS (h) planeo estacionario con planeo no estacionario. En cuanto a la CAS, al igual que ocurría en la velocidad y el M, el planeo estacionario está por debajo del planeo no estacionario, aunque ahora las diferencias entre ambas curvas son más notables 4.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

64 CAPÍTULO 4. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO. 62 en toda la trayectoria. Cuando se tienen pesos adecuados para el aterrizaje se presenta un planeo con CAS prácticamente constante. Para planeo no estacionario se observa que una vez pasado el máximo del ángulo de trayectoria que hay al principio, el valor absoluto de éste aumenta conforme avanza el vuelo. Resultado opuesto al obtenido en el caso de planeo estacionario. Además, es justo en este máximo donde se acentúan las diferencias entre estacionario y no estacionario. Figura 4.9: Comparación γ (h) planeo estacionario con planeo no estacionario. Finalmente, para un mayor peso de la aeronave se aprecia un aumento adicional de los valores que tienen las variables globales para planeo no estacionario respecto a los correspondientes de planeo estacionario. Así, por ejemplo, para W = 1400 kn los incrementos que se presentan son de un 18,275 % y un 17,216 % en el alcance máximo y el tiempo de vuelo, respectivamente POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

65 CAPÍTULO 4. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO. 63 Figura 4.10: Comparación t f (W ) planeo estacionario con planeo no estacionario. Figura 4.11: Comparación R max (W ) planeo estacionario con planeo no estacionario. El perfil de vuelo permite observar que a lo largo de toda la trayectoria está presente la superioridad de los valores de la distancia horizontal recorrida para planeo no estacionario respecto a los de planeo 4.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

66 CAPÍTULO 4. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO. 64 estacionario dada una altitud. Además las tendencias de ambos casos con el peso son opuestas. Figura 4.12: Comparación perfil de vuelo planeo estacionario (azul) con planeo no estacionario (rojo) para W = 1200, 1300, 1400 kn POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

67 Parte II Planeo con viento. 65

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69 Capítulo 5 Optimización del planeo estacionario con viento. El peso de la aeronave, que resultaba ser el único parámetro con el que hasta ahora se había estudiado el descenso del avión, permanecerá fijo con un valor de W = 1200kN, para así poder rehacer todos los cálculos de los capítulos anteriores poniendo especial énfasis en dos efectos del viento que suscitan un gran interés, como son: La influencia del viento medio sin presencia de wind-shear. La influencia del wind-shear cuando tenemos un viento de cara o un viento de cola. Para ello, se empleará un modelo de viento que establece un viento horizontal dependiente sólo de h con una función conocida que en valor absoluto aumenta linealmente con la altitud, tal y como sigue a continuación: w(h) = w + w h (h h) (5.1) Donde w es el viento medio, w es el parámetro de cizalladura o wind-shear, h = h 2 h, h = (h 1 + h 2 )/2 es la altitud media, y h 1, h 2 > h 1 son altitudes de referencia. Para valores dados de h 1 y h 2, w define dw dh, y, en particular, w = 0 define un perfil de viento uniforme. Una mayor aclaración de este modelo será ilustrada con los dos ejemplos mostrados a continuación, en los que se considera tanto el caso de viento de cola (tailwinds, TW ) como el de viento de cara (headwinds, HW ). Para TW se tiene w > 0 y w 0, mientras que para HW w < 0 y w 0. En particular, se establece h 1 = 0 m y h 2 = m. 67

70 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 68 Figura 5.1: Ejemplo con viento de cola. Figura 5.2: Ejemplo con viento de cara. Estos perfiles variarán ante una modificación en el wind-shear, w, lo cual se traduce en un cambio de la pendiente. Nótese que para cada uno de los casos anteriores w debe ser menor o igual que

71 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 69 w, de modo que puede garantizarse que el viento sigue el mismo sentido desde abajo hasta arriba, esto es, con viento de cola o con viento de cara siempre, pues éste es el modelo más extendido. Las ecuaciones del vuelo de planeo son ahora: ( D + W γ 1 + V g ) dw = 0 (5.2) dh L = W (5.3) dr = V + w(h) (5.4) dt dh dt = V γ (5.5) El viento aparece en la ecuación dinámica (5.2), así como en el segundo término de la ecuación (5.4), que no es más que la velocidad respecto de tierra. Sin embargo, en la ecuación (5.5) no aparece el viento, al ser éste horizontal. Además, de estas dos últimas ecuaciones se deduce: dr dh = V + w(h) V γ (5.6) Siendo: γ = W ( D 1 + V g dw dh ) (5.7) El viento jugará un importante papel en el alcance: R = R 0 dr = hf h i V + w(h) dh = V γ h f h i ( V + w(h) )( 1 + V g V D(h, V ) Tal y como se llevó a cabo en el problema sin viento, se minimizará el opuesto del alcance: El funcional, F = W ( mín R = V + w(h) )( h ( )( f V + w(h) 1 + V g h i 1 + V g dw dh )( V D(h, V ) con lo que la Ecuación de Euler-Lagrange resulta: ( )( F V d dh ( F D ) = w(h) 1 + V V V V g dw dh ) W dw dh ) W dh (5.8) dh (5.9) V D(h, V )) 1, no presenta una dependencia con V, ) dw D dh g dw dh + w(h)d V 2 = 0 (5.10)

72 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 70 Que expresada en términos de M, C L, h se convierte en: ( )( )( ) 2C D + M C D M 2C C D L 1 + w(h) 1 + Ma dw MaC D dw C L Ma g dh g dh + w(h)c D Ma Por lo que proporciona la ley óptima M (h) al resolverse conjuntamente con: C L = 5.1. Polar parabólica de coeficientes constantes. = 0 (5.11) W q 0 δm 2 (5.12) Para el coeficiente de resistencia C D = C D0 + kcl 2 se tiene la particularización C D M = 0 ; C D C L = 2kC L en la ecuación de Euler-Lagrange. Sin embargo, ello no será suficiente para la directa obtención de C L a partir de dicha ecuación, a diferencia de lo que ocurría en ausencia de viento. Es decir, ahora C L será una función variable con la altitud,cl (h) que, junto con M (h), se obtiene mediante la resolución del sistema algebraico anteriormente definido. De cualquier forma, está claro que el C L es una consecuencia de la ecuación dinámica L = W, por lo que se tiene que cumplir C L = W, o expresado de otra forma C 1 2 ρv 2 S L = W q 0, de modo que resultan C δm 2 L mayores con viento de cola porque el avión no necesita volar con tanta velocidad respecto del aire como necesitaría con viento de cara. Todo se reduce a una cuestión de mantener esa ecuación de equilibrio modificando el ángulo de ataque para controlar el avión, esto es, cambiando C L. Figura 5.3: C L (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

73 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 71 Figura 5.4: C L (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s Figura 5.5: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Queda justificado el comportamiento del coeficiente de sustentación, al obtener, efectivamente, un 5.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

74 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 72 M de vuelo más pequeño con vientos de cola. Por lo que las curvas de M (h) bajo la influencia del viento medio sin wind-shear se desplazan hacia abajo conforme aumenta w, mientras que las curvas de CL (h) bajo la influencia del viento medio sin wind-shear tienen justo el comportamiento opuesto, se desplazan hacia arriba conforme aumenta w. Además puede observarse que ante la presencia de un viento de cara a altitudes elevadas, se invierte la variación con w,tanto de CL (h) como de M (h), lo cual, a su vez, provocará el mismo efecto en V (h) y Ve (h), tal y como puede constatarse más adelante. Sin embargo, esto no ocurre nunca con vientos de cola. En concreto, puede comprobarse a lo largo de las figuras de esta sección que, para TW, un incremento de w siempre se traduce en un aumento de M, V, Ve y γ, así como de una reducción de CL. Tampoco se da el caso de que se invierta la variación con w de las curvas sin wind-shear. Figura 5.6: M (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s La inmediata obtención de la velocidad a partir del número de Mach, resulta de: V (h) = a(h)m (h). Obviamente con viento de cola son necesarias velocidades de vuelo respecto del aire más pequeñas que con viento de cara POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

75 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 73 Figura 5.7: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Figura 5.8: V (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s 5.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

76 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 74 Haciendo Ve (h) = V (h) ρ(h) ρ 0 se consiguen las curvas correspondientes a la velocidad equivalente. Figura 5.9: V e (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Figura 5.10: V e (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s 5.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

77 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 75 Como fue hallado al principio del capítulo: γ (h) = W D(h, V (h)) ( ) (5.13) 1 + V (h) dw g dh Figura 5.11: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. En la figura anterior se aprecia que una variación de w afecta en mayor medida a γ (h) cuando se vuela a más altitud. Justo al contrario de lo que ocurre en el resto de funciones óptimas halladas en esta sección, que son más sensibles a variaciones de w a bajas altitudes. A continuación se muestra γ (h) bajo la influencia del viento medio sin wind-shear. Se ha decido separar w < 0 de w > 0 para mayor claridad de las figuras, pues al fijarse en los valores obtenidos puede afirmarse que en ausencia de wind-shear γ (h) es prácticamente constante POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

78 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 76 Figura 5.12: γ (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0 m s Figura 5.13: γ (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s Como es lógico, en todas las curvas en las que se han reunido simultáneamente las condiciones 5.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

79 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 77 w = 0 m s y w = 0 m s, se han recuperado los resultados respectivos obtenidos en la optimización del planeo estacionario sin viento, entre ellos, los valores constantes de CL = 0,469[ ];V e = 121,3786 m s ; γ = 3,227 o Haciendo uso de las funciones óptimas para el cálculo de las variables globales: R max = R 0 dr = hf h i V (h) + w(h) V (h)γ dh (5.14) (h) t f = tf 0 dt = hf h i dh V (h)γ (h) (5.15) En la sección de polar incompresible del capítulo 2, en la que el viento no fue considerado, para un planeo desde h i = m hasta h f = 3000 m, se llegó a los siguientes resultados con W = 1200 kn : R max = 124,273 km t f = 733,140 s= 12,219 minutos Estos puntos de no wind (NW ) aparecen indicados en negro en las figuras de abajo correspondientes. A partir de ellos, al disminuir o aumentar w se llega a los puntos rojo y azul respectivamente. Los cuales coinciden con los puntos de partida de las gráficas que representan las variables globales en función del wind-shear. Así pues, para w = 25 m s, se tiene R max = 106,330 km (decremento de un 14,438 % del NW ); t f = 700,524 s = 11,675 minutos (decremento de un 4,449 % del NW ); mientras que para w = 25 m s, se logra R max = 142,909 km (incremento de un 14,996 % del NW ); t f = 756,386 s= 12,606 minutos (incremento de un 3,171 % del NW ). Una vez se llega a los puntos de partida de las gráficas que representan las variables globales en función del wind-shear, es posible obtener un incremento/decremento adicional con el efecto de w, permitiendo alcanzar valores tan favorables con viento de cola como R max = 154,021 km y t f = 797,694 s = 13,295 minutos, es decir un incremento adicional de hasta un 7,776 % y un 5,461 % respectivamente. Por el contrario, con viento de cara los resultados pueden llegar a reducirse a R max = 97,615 km y t f = 662,560 s= 11,043 minutos, es decir, un decremento adicional de hasta un 8,196 %, y un 5,419 % respectivamente POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

80 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 78 Figura 5.14: Alcance máximo en función del viento medio con w = 0. Figura 5.15: Alcance máximo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

81 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 79 Figura 5.16: Tiempo de vuelo en función del viento medio con w = 0. Figura 5.17: Tiempo de vuelo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Los siguientes perfiles de vuelo permiten observar que en ausencia de wind-shear y a una altitud fija la distancia horizontal recorrida aumenta con valores de w mayores POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

82 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 80 Figura 5.18: Perfil de vuelo sin wind-shear con w = 25, 0, 25 m s. Figura 5.19: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s y con viento de cara Cuando el perfil de vuelo incluye la influencia del wind-shear, a bajas altitudes se aprecia que al fijarse un valor de ésta, se recogen mayores valores de la distancia horizontal recorrida conforme 5.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

83 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 81 aumenta w, aunque por supuesto la influencia del viento medio es más significativa Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Nuevamente se procede a dilucidar el problema con la particularización del modelo aerodinámico planteado en el apéndice A. La resolución del sistema algebraico expuesto aporta: Figura 5.20: C L (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

84 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 82 Figura 5.21: C L (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s En la figura de arriba se ha marcado con una línea más gruesa el coeficiente de sustentación que se obtuvo ya en el planeo sin viento, por encima de esta línea se encuentran todos los CL hallados con un viento de cola, ya sea con wind-shear o sin él; por otro lado, por debajo de esta curva están los CL obtenidos con viento de cara. No resulta casualidad que esta característica coincida con la de polar parabólica de coeficientes constantes, pues como ya se comentó, es una consecuencia de la ecuación dinámica L = W que establece que C L se presente con la tendencia contraria a la del M, la cual, como se puede ver más adelante, es tal que para un viento de cara en general se necesita un número de Mach aerodinámico más elevado. De la misma forma, las curvas de V y CAS para HW están por encima de las de TW. De modo que en ausencia de wind-shear, las curvas de CL se desplazan hacia arriba conforme aumenta w. Justo al contrario sucede con M,V,CAS las cuales se desplazan hacia abajo al aumentar el valor del viento medio. Del análisis de la influencia del wind-shear, se tiene que dada una altitud fija: Para TW, un aumento de w se traduce en un decremento de C L. Mientras que M, V, CAS, γ son mayores cuando mayor sea w Para HW, al inicio del planeo un aumento de w supone un aumento de M,V,CAS y un decremento de CL. Aunque a lo largo de la trayectoria se invierte la tendencia de estas curvas con w, excepto para γ que a cualquier altitud disminuye para un mayor w POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

85 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 83 Figura 5.22: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Figura 5.23: M (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s Con HW la velocidad de vuelo respecto del aire ha de ser mayor de lo que es con TW POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

86 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 84 Figura 5.24: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Figura 5.25: V (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s 5.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

87 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 85 Figura 5.26: CAS (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Figura 5.27: CAS (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s Hasta ahora, a altitudes bajas todas las funciones óptimas han sido más sensibles a variaciones de 5.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

88 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 86 w que a altitudes elevadas, sin embargo con γ ocurre justo lo contrario, esto es, al inicio del planeo hay una mayor sensibilidad con variaciones de w. γ (h) = W D(h, V (h)) ( ) (5.16) 1 + V (h) dw g dh Figura 5.28: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. En ausencia de wind-shear, los valores de γ (h) para vientos medios positivos son bastante similares a los respectivos valores para vientos medios negativos, por lo que se ha optado por representarlos en figuras separadas, que como se puede observar varían en algo más de una décima a lo largo de toda la trayectoria del avión POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

89 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 87 Figura 5.29: γ (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0 m s Figura 5.30: γ (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s 5.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

90 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 88 Los resultados obtenidos con W = 1200 kn, en términos de las variables globales, para un planeo desde h i = m hasta h f = 3000 m con polar compresible y ausencia de viento, fueron: R max = 137,082 km t f = 830,28 s= 13,838 minutos A partir del punto de no wind (NW), la introducción de valores negativos de w lleva hasta el punto rojo de w = 25 m s con R max = 116,706 km y t f = 797,772 s= 13,296 minutos, es decir, un decremento respecto del NW de un 14,864 % y un 3,915 % respectivamente. Por el contrario, un aumento de w conduce hasta el punto azul de w = 25 m s con R max = 158,134 km y t f = 852,398 s= 14,207 minutos, es decir, un incremento respecto del NW del 15,357 % y 2,664 % respectivamente. Partiendo de los puntos azul/rojo es posible un incremento/decremento adicional de las variables globales al modificar w. Así, para vientos de cola se llega hasta R max = 170,164 km y t f = 900,673 s=15,011 minutos, esto es, un incremento adicional del 7,607 % y 5,663 % respectivamente.mientras que para los vientos de cara, los valores pueden llegar a reducirse hasta R max = 107,413 km y t f = 752,465 s= 12,541minutos, de modo que se tiene un decremento adicional de hasta un 7,963 % y un 5,679 % respectivamente. R max = R 0 dr = hf h i V (h) + w(h) V (h)γ dh (5.17) (h) t f = tf 0 dt = hf h i dh V (h)γ (h) (5.18) Figura 5.31: Alcance máximo en función del viento medio con w = POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

91 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 89 Figura 5.32: Alcance máximo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Figura 5.33: Tiempo de vuelo en función del viento medio con w = POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

92 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 90 Figura 5.34: Tiempo de vuelo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. El perfil de vuelo muestra que dada una altitud, se tiene una distancia horizontal recorrida mayor conforme aumenta el valor de w. Figura 5.35: Perfil de vuelo sin wind-shear con w = 25, 0, 25 m s. De forma algo menos significativa, se puede apreciar a bajas altitudes que la distancia horizontal 5.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

93 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 91 recorrida correspondiente a una altitud fija aumenta cuando lo hace w. Figura 5.36: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s y con viento de cara Comparación con polar parabólica de coeficientes constantes. Para los dos tipos de polar de avión analizadas, C L, M, V y CAS presentan valores similares a bajas altitudes, ya que al ser allí los valores de M menores no aparecen efectos de compresibilidad. A altitudes elevadas aparece un máximo en el coeficiente de sustentación de la polar compresible, el cual no se recoge en la polar parabólica de coeficientes constantes, por lo que se alejan los resultados. Otra característica apreciable es que, dada una altitud, los valores de C L y γ obtenidos para polar compresible están por encima de los correspondientes valores que se obtendrían con polar incompresible. Para el resto de funciones óptimas M, V, CAS,sucede precisamente lo contrario, es decir, que el valor de una de estas funciones asociado a la polar compresible, a una altitud determinada, está por debajo del valor que presenta si está asociado a la polar incompresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

94 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 92 Figura 5.37: CL (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 5.38: CL (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

95 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 93 Figura 5.39: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 5.40: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

96 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 94 Figura 5.41: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 5.42: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

97 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 95 Figura 5.43: CAS (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 5.44: CAS (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. El ángulo de trayectoria presenta ciertas peculiaridades respecto al resto de funciones óptimas, como 5.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

98 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 96 que los valores a bajas altitudes ya no son semejantes entre la polar incompresible y compresible, así como que deja de suceder el hecho de que para ambas polares en ausencia de wind-shear todas las curvas de HW estén por un lado, mientras que las de TW por otro. Ahora se intercalan las curvas de HW con las de TW. Figura 5.45: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. La polar incompresible recoge un γ prácticamente constante con la altitud de vuelo, mientras que con la polar compresible se avanza suavemente a lo largo del planeo hacia menores valores absolutos del ángulo de trayectoria POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

99 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 97 Figura 5.46: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 5.47: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. En todas las figuras siguientes, las variables globales halladas con la polar compresible presentan valores superiores a los respectivos obtenidos con la polar parabólica de coeficientes constantes. Por lo tanto, se va a especificar el máximo y el mínimo incremento de cada figura y en qué condiciones 5.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

100 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 98 del viento se obtienen. Figura 5.48: Alcance máximo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. TW: máximo incremento de un 10,637 % para w = 25 m s ; w = 0 m s mínimo incremento de un 10,520 % para w = 25 m s ; w = 25 m s HW: máximo incremento de un 10,030 % para w = 25 m s ; w = 25 m s mínimo incremento de un 9,784 % para w = 25 m s ; w = 0 m s 5.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

101 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 99 Figura 5.49: Alcance máximo en función del viento medio con w = 0. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Máximo incremento de un 10,637 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Mínimo incremento de un 9,784 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Figura 5.50: Tiempo de vuelo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

102 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 100 TW: máximo incremento de un 12,912 % para w = 25 m s ; w = 25 m s mínimo incremento de un 12,692 % para w = 25 m s ; w = 0 m s HW: máximo incremento de un 13,890 % para w = 25 m s ; w = 0 m s mínimo incremento de un 13,568 % para w = 25 m s ; w = 25 m s Figura 5.51: Tiempo de vuelo en función del viento medio con w = 0. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Máximo incremento de un 13,890 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Mínimo incremento de un 12,692 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Una última característica es que para polar compresible todas las figuras siguen la misma tendencia con w y w que la que tienen con polar parabólica de coeficientes constantes. El perfil de vuelo muestra que para cualquier altitud que se fije de todo el rango de la trayectoria, la distancia horizontal recorrida que se experimenta para polar compresible es superior a la que se obtiene para polar incompresible con las mismas condiciones de viento POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

103 CAPÍTULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 101 Figura 5.52: Comparación del perfil de vuelo sin wind-shear con w = 25, 0, 25 m s.polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 5.53: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s y con viento de cara w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

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105 Capítulo 6 Optimización del planeo no estacionario con viento. Ahora se retiene la aceleración tangencial dv dt igual que en el planeo estacionario: W g de la primera ecuación, quedando el resto exactamente ( dv dt = D W γ 1 + V g dr dt ) dw dh (6.1) L = W (6.2) = V + w(h) (6.3) dh dt = V γ (6.4) A partir de las ecuaciones del problema se llega a las dos importantes expresiones siguientes: dr dh = V + w(h) V γ (6.5) γ(h) = W ( D(h, V (h)) ( 1 + V (h) g dv (h) dh + dw dh )) (6.6) Donde se ha utilizado la expresión dv dt = dv dh V γ Mediante las ecuaciones (6.5) y (6.6) se puede hallar el alcance como: R = R 0 dr = hf h i V + w(h) dh = V γ h f h i ( V + w(h) )( Nuevamente el interés radica en minimizar el opuesto del alcance. 1 + V g ( V D(h, V ) dv dh + dw dh )) W dh (6.7) 103

106 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 104 mín R = Operando el nuevo funcional, F = h ( )( ( f V + w(h) 1 + V g h i W V D(h,V ) ( ( F V = D 1 + w(h) dv V g dh + dw dh ( ) d F dh V = )) (( + ( F V = W g ( V D V V + w(h) V D(h, V ) ( dv dh + dw dh V D(h, V ) + D h + D V V ) )( dv dh + dw dh 1 + V g ( ) D V D V g w(h) D(h, V ) ) + dw dh D w(h) g )) W dv dh + dw dh ( w(h) dh (6.8) ))) D h + D V V se obtiene: ( ) D + V D ) V V 2 (6.9) (6.10) (6.11) De modo que se rehace la Ecuación de Euler-Lagrange ( ) F V d F dh V = 0 (6.12) ( )( D 1 + w(h) V V 1 + V dw dh g ) ( ) D V + w(h) + D w(h) h g V 2 = 0 (6.13) Expresada en términos de M, C L, h presenta la siguiente forma: ( )( )( ) Ma 2C D + M C D M 2C C D L 1 + w(h) 1 + Ma dw C L Ma g dh ( )( ) (Ma) 2 ρ ρ C D a a M C D M ρ ρ C C D Ma + w(h) L + w(h)c D = 0 (6.14) C L g No se pueden imponer las condiciones inicial y final ya que no queda una ecuación diferencial. De hecho al eliminar las componentes del viento se obtendría el mismo resultado que se consiguió en el planeo no estacionario sin viento. Así pues, la expresión anterior junto con C L = W q 0 δm 2 (6.15) constituyen el sistema de dos ecuaciones del que extraer la ley óptima M (h) que hace que el alcance sea máximo. Con ello, dos tipos de polar de avión son objeto de estudio.

107 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO Polar parabólica de coeficientes constantes. Se introducirán las siguientes particularizaciones en el sistema a resolver: C D = C D0 + kc 2 L C D M = 0; C D C L = 2kC L (6.16) Algunos de los resultados que se obtienen en esta sección son esperados, por ejemplo, ya se explicó que con un viento de cara se necesita un M aerodinámico mayor que para viento de cola, consecuentemente sucede los mismo con V y Ve.Por otro lado, La relación C L = W q 0 establece el δm 2 comportamiento contrario para el coeficiente de sustentación, por lo que las curvas de CL se desplazan hacia arriba conforme aumenta w. A la hora de analizar la influencia del wind-shear hay que tener presente que para C L,M,V y V e invierte la tendencia con w a partir de la mitad del vuelo de planeo, en concreto para TW antes que para HW. se Figura 6.1: C L (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. En la figura de abajo, la línea más gruesa representa el planeo en ausencia de viento. Las curvas superiores corresponden a w positivos que dejan de dar un C L constante para aumentar ligeramente a lo largo del vuelo. Al contrario, las curvas inferiores resultan de w negativos que disminuyen levemente su valor a lo largo de la trayectoria POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

108 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 106 Figura 6.2: C L (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s Figura 6.3: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

109 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 107 Figura 6.4: M (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s A continuación se representa la velocidad de vuelo: Figura 6.5: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

110 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 108 Figura 6.6: V (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s La velocidad equivalente y el coeficiente de sustentación guardan la relación C L = que tener presente a la hora de interpretar sus respectivas figuras. W 1 2 ρ 0Ve 2 S, que hay Figura 6.7: V e (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

111 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 109 Figura 6.8: V e (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s Efectivamente, la figura anterior es sumamente parecida a la que se tiene en esta sección para C L, con la diferencia en la tendencia con w, es decir, ahora las curvas por debajo de la línea gruesa son las que corresponden a w positivos y disminuyen levemente a lo largo del vuelo,mientras que las curvas por encima se obtienen con w negativos y aumentan ligeramente conforme avanza la trayectoria. El ángulo de trayectoria aumenta su valor absoluto a medida que disminuye la altitud del vuelo. En la figura en la que se analiza la influencia del wind-shear, las líneas de HW y TW se intercalan cuando w = 0, por ello no es de extrañar que en la figura bajo la influencia del viento medio sin wind-shear no se guarde una tendencia fija con w, sino que se cortan las curvas para distintos w γ (h) = W ( D(h, V (h)) ( 1 + V (h) g dv (h) dh + dw dh )) (6.17) 6.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

112 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 110 Figura 6.9: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. γ (h) es más sensible ante modificaciones del wind-shear que ante variaciones del viento medio. Figura 6.10: γ (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s 6.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

113 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 111 Una vez halladas las funciones óptimas se procede al cálculo de las variables globales, que casualmente tienen la misma expresión que en planeo estacionario. R max = t f = R 0 tf 0 dr = dt = hf h i hf h i V (h) + w(h) V (h)γ dh (6.18) (h) dh V (h)γ (h) En la sección de polar parabólica de coeficientes constantes del capítulo de optimización del planeo sin viento no estacionario, para un planeo desde h i = m hasta h f = 3000 m, se llegó a los siguientes resultados con W = 1200 kn: R max = 145,887 km t f = 856,620 s = 14,277 minutos (6.19) Lógicamente coinciden con el punto de no wind (NW) indicado en las figuras de abajo. A partir de este punto, pueden introducirse valores negativos de w con los que se llega al punto rojo de w = 25 m s con R max = 125,211 km y t f = 826,404 s = 13,773 minutos, lo cual supone una reducción respecto del NW de un 14,173 % y un 3,527 % respectivamente. De la misma manera, con vientos medios positivos se alcanza el punto azul de w = 25 m s con R max = 167,155 km y t f = 877,516 s = 14,625 minutos, o lo que es lo mismo, un incremento respecto del NW de un 14,578 % y un 2,439 % respectivamente. Además, una vez en estos puntos, puede producirse un incremento/decremento adicional al entrar en juego el efecto del wind-shear, capaz de presentar en vientos de cola hasta un R max = 177,097 km y t f = 920,830 s= 15,347 minutos, es decir, un incremento adicional de un 5,948 % y un 4,936 % respectivamente. De igual forma, en vientos de cara los resultados pueden reducirse hasta R max = 118,454 km y t f = 786,899 s = 13,115 minutos, de modo que se alcanzaría un decremento adicional del 5,396 % y 4,780 % respectivamente. Figura 6.11: Alcance máximo en función del viento medio con w = POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

114 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 112 Figura 6.12: Alcance máximo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Figura 6.13: Tiempo de vuelo en función del viento medio con w = POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

115 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 113 Figura 6.14: Tiempo de vuelo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. El perfil de vuelo refleja que a una altitud dada la distancia horizontal recorrida es mayor cuando aumenta el valor del viento medio. Figura 6.15: Perfil de vuelo sin wind-shear con w = 25, 0, 25 m s.. La influencia del wind-shear es más leve que la del viento medio, no obstante a bajas altitudes puede 6.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

116 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 114 apreciarse un aumento de la distancia horizontal recorrida con w para una altitud fija Figura 6.16: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s y con viento de cara 6.2. Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Se presentan algunas características comunes con las analizadas para polar parabólica de coeficientes constantes. Así en las curvas de CL, M,V,CAS bajo la influencia del wind-shear se invierte la tendencia con w cuando se ha recorrido más de la mitad de la trayectoria, en concreto a más bajas altitudes para HW que para TW. Otra propiedad común con la sección anterior es la tendencia con el viento medio en las figuras de CL,M,V,CAS con ausencia de wind-shear, pues para vientos de cara se desplazan hacia arriba las curvas de M,V,CAS mientras que CL se desplaza hacia abajo POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

117 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 115 Figura 6.17: C L (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Poco después del inicio del vuelo de planeo el coeficiente de sustentación alcanza un máximo. Para ser más precisos, el máximo aparece antes cuando mayor sea el valor de w y de w. Figura 6.18: C L (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

118 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 116 El número de Mach y la velocidad de vuelo son simplemente funciones monótonas decrecientes a medida que avanza la trayectoria. Figura 6.19: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Figura 6.20: M (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

119 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 117 Figura 6.21: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Figura 6.22: V (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s El planeo comienza con el máximo valor de CAS para HW. No ocurre lo mismo con TW bajo la influencia del wind-shear, pues sucede que en algunos casos al invertirse la tendecia de las curvas con 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

120 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 118 w se alcanzan mayores valores a menores altitudes. Figura 6.23: CAS (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Figura 6.24: CAS (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

121 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 119 En ausencia de wind-shear, para cualquier valor del viento medio, la velocidad calibrada inicia el planeo con su máximo valor. Bajo la influencia del wind-shear, las curvas del ángulo de trayectoria para TW están en su mayor parte por encima de las de HW, aunque hay una zona en la que se mezclan. Esta zona se caracteriza porque surge un máximo de γ (h) con HW, mientras para TW la función está decreciendo pues tuvo su máximo a 10 km. γ (h) = W ( D(h, V (h)) ( 1 + V (h) g dv (h) dh + dw dh )) (6.20) En ausencia de wind-shear, las curvas se mezclan y no mantienen la misma tendencia con w en toda la trayectoria, esto sólo ocurre en el rango que queda indicado en la figura. Por otro lado, a altitudes elevadas el ángulo de trayectoria presenta un máximo. γ (h) es menos sensible ante modificaciones del viento medio que ante variaciones de wind-shear. Figura 6.25: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

122 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 120 Figura 6.26: γ (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, w = 0 m s, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s Finalmente se hará un estudio de las variables globales. R max = R 0 dr = hf h i V (h) + w(h) V (h)γ dh (6.21) (h) t f = tf 0 dt = hf h i dh V (h)γ (h) (6.22) En la sección de polar compresible del capítulo de optimización del planeo sin viento no estacionario, para un planeo desde h i = m hasta h f = 3000 m, se llegó a los siguientes resultados con W = 1200 kn: R max = 159,183 km t f = 956,340 s = 15,939 minutos Valores que obviamente coinciden con el punto de no wind (NW) indicado en las siguientes figuras. La presencia de un viento medio negativo provocará el alejamiento del NW hasta llegar al punto rojo de w = 25 m s con R max = 136,397 km y t f = 928,664 s = 15,478 minutos, de modo que aparece un decremento respecto de NW de un 14,314 % y un 2,894 % respectivamente. Si el viento medio aumenta positivamente, se alcanzará el punto azul de w = 25 m s con R max = 182,430 km y t f = 973,890 s = 16,232 minutos, lo que puede suponer un incremento respecto de NW de un 14,604 % y un 1,835 % respectivamente. Ya alcanzado estos puntos, se puede conseguir un incremento/decremento adicional, a partir del efecto del wind-shear. Proporcionando así, para TW hasta un R max = 193,228 km y un t f = 1022,679 s = 17,045 minutos, es decir, un incremento adicional de hasta un 5,919 % y un 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

123 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO ,009 % respectivamente. Por otro lado, para HW los resultados pueden llegar a reducirse hasta R max = 128,861 km y t f = 881,827 s = 14,697 minutos, lo cual supone un decremento adicional de hasta un 5,525 % y un 5,043 % respectivamente. Figura 6.27: Alcance máximo en función del viento medio con w = 0. Figura 6.28: Alcance máximo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

124 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 122 Figura 6.29: Tiempo de vuelo en función del viento medio con w = 0. Figura 6.30: Tiempo de vuelo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. El perfil de vuelo muestra que al fijar una altitud cualquiera de la trayectoria se logra una mayor distancia horizontal recorrida cuando aumenta el viento medio POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

125 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 123 Figura 6.31: Perfil de vuelo sin wind-shear con w = 25, 0, 25 m s. Figura 6.32: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s y con viento de cara El perfil de vuelo bajo la influencia del wind-shear pone de manifiesto que w sólo aporta una 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

126 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 124 variación apreciable cuando el avión ha descendido lo suficiente, en concreto se puede distinguir una distancia horizontal recorrida que ligeramente aumenta conforme lo hace el valor de w. Algunos resultados similares a los de esta sección pueden encontrarse en Franco et al. [3], que analiza el mismo problema con una técnica distinta, en concreto mediante la teoría del control óptimo singular, que permite imponer la altitud y la velocidad con la que se empieza y con la que se termina. Mientras que mediante cálculo variacional se empieza y termina en la misma curva Comparación con polar parabólica de coeficientes constantes. En todas las figuras en las que hay un cambio de tendencia con w, éste se produce a altitudes similares para los dos tipos de polar de avión analizadas. Es importante destacar que las curvas de CL correspondientes a polar compresible están a lo largo de toda la trayectoria por encima de sus respectivas curvas con polar incompresible. Hecho contrario al obtenido en M,V,CAS para los cuales están por encima las curvas de polar incompresible. Bajo la influencia de wind-shear CL,M,V,CAS presentan las curvas con TW por un lado para ambas polares, mientras que las que tienen HW aparecen por otro. Una última consideración general para CL,M,V,CAS es que a 3 Km los resultados entre ambas polares son más próximos, mientras que los resultados se alejan en mayor medida en la zona de la trayectoria en la que más se pronuncia la curvatura de las gráficas para polar compresible, ya que las gráficas correspondientes a polar parabólica de coeficientes constantes son prácticamente rectas. Figura 6.33: CL (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. El coeficiente de sustentación para polar compresible sufre mayores variaciones con la altitud que para polar incompresible POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

127 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 125 Figura 6.34: CL (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 6.35: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

128 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 126 Figura 6.36: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 6.37: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

129 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 127 Figura 6.38: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 6.39: CAS (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

130 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 128 Figura 6.40: CAS (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Los ángulos de trayectoria hallados para polar compresible tienen valores superiores que los correspondientes a polar incompresible. Es más, en general la polar compresible está por encima haya un viento de cara o un viento de cola. Por otro lado, para polar incompresible el comportamiento de γ (h) es el de decrecer a menores altiudes durante toda la trayectoria, sin embargo para polar compresible existe un máximo poco después del inicio del planeo en caso de ausencia de wind-shear, o cuando éste está presente y hay vientos de cara POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

131 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 129 Figura 6.41: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 6.42: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

132 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 130 Con la polar compresible se logran mayores valores de las variables globales que los resultados correspondientes que se consiguen con polar incompresible. Se va a indicar el máximo y el mínimo incremento que hay para cada una de las figuras a continuación. Figura 6.43: Alcance máximo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. TW: máximo incremento de un 9,139 % para w = 25 m s ; w = 9 m s mínimo incremento de un 9,069 % para w = 25 m s ; w = 15 m s HW: máximo incremento de un 8,946 % para w = 25 m s ; w = 0 m s mínimo incremento de un 8,776 % para w = 25 m s ; w = 25 m s 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

133 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 131 Figura 6.44: Alcance máximo en función del viento medio con w = 0. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Máximo incremento de un 9,116 % para w = 0 m s ; w = 0 m s Mínimo incremento de un 8,946 % para w = 25 m s ; w = 0 m s 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

134 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 132 Figura 6.45: Tiempo de vuelo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. TW: máximo incremento de un 11,099 % para w = 25 m s ; w = 25 m s mínimo incremento de un 10,986 % para w = 25 m s ; w = 0 m s HW: máximo incremento de un 12,379 % para w = 25 m s ; w = 0 m s mínimo incremento de un 12,061 % para w = 25 m s ; w = 25 m s 6.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

135 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 133 Figura 6.46: Tiempo de vuelo en función del viento medio con w = 0. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Máximo incremento de un 12,379 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Mínimo incremento de un 10,986 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Finalmente, mencionar que para polar compresible todas las figuras siguen la misma tendencia con w y w que la que tienen con polar parabólica de coeficientes constantes. En las siguientes dos figuras de comparación del perfil de vuelo resulta evidente que para una altitud dada la distancia horizontal recorrida que proporciona la polar compresible es mayor que la correspondiente de polar incompresibe con las mismas condiciones de viento POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

136 CAPÍTULO 6. OPTIMIZACIÓN DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 134 Figura 6.47: Comparación del perfil de vuelo sin wind-shear con w = 25, 0, 25 m s.polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua. Figura 6.48: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s y con viento de cara w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s. Polar incompresible en línea continua, polar compresible en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

137 Capítulo 7 Comparación de planeo no estacionario con planeo estacionario con viento. En primer lugar cabe resaltar una serie de características comunes encontradas para las dos polares del avión analizadas. Para vuelo con TW, en las curvas C L,M,V,V e / CAS bajo la influencia del wind-shear, para planeo no estacionario se invierte la tendencia con w, mientras que esto no sucede en planeo estacionario. Para vuelo con HW, en las curvas C L,M,V,V e / CAS bajo la influencia del wind-shear, para planeo no estacionario se invierte la tendencia con w a menos altitud de la que ocurre en planeo estacionario. Las curvas C L,M,V,V e / CAS bajo la influencia del wind-shear, a altitudes elevadas son más sensibles ante variaciones de w en planeo no estacionario que en planeo estacionario; mientras que a bajas altitudes éstas curvas son más sensibles ante variaciones de w en planeo estacionario que en planeo no estacionario. Las curvas C L,M,V,V e / CAS en ausencia de wind-shear, son ligeramente más sensibles ante variaciones de w en el planeo estacionario que en planeo no estacionario. De cualquier forma, las curvas son bastante similares. Para el ángulo de trayectoria y las variables globales aparece una mayor discrepancia en los resultados, por lo que serán analizados con mayor profundidad en las dos secciones siguientes. 135

138 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO Polar parabólica de coeficientes constantes Figura 7.1: CL (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s..planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.2: CL (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

139 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 137 Figura 7.3: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.4: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

140 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 138 Figura 7.5: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.6: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

141 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 139 Figura 7.7: Ve (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.8: Ve (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

142 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 140 Figura 7.9: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.10: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

143 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 141 El ángulo de trayectoria en planeo no estacionario disminuye ligeramente conforme avanza el planeo, mientras que permanece prácticamente constante en planeo estacionario. Los resultados se acercan en mayor medida para menores altitudes, aunque durante todo el vuelo el ángulo de trayectoria en planeo no estacionario está por encima del que se obtiene en planeo estacionario. Se observa que el ángulo de trayectoria es más sensible ante variaciones de w que a variaciones de w. Las variables globales alcanzan mayores valores en planeo no estacionario que los correspondientes en planeo estacionario. Así pues, se va a indicar el incremento máximo y mínimo que existe para cada una de las figuras siguientes. Figura 7.11: Alcance máximo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. TW: máximo incremento de un 17,005 % para w = 25 m s ; w = 0 m s mínimo incremento de un 15,011 % para w = 25 m s ; w = 25 m s HW: máximo incremento de un 21,402 % para w = 25 m s ; w = 25 m s mínimo incremento de un 17,780 % para w = 25 m s ; w = 0 m s 7.1. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

144 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 142 Figura 7.12: Alcance máximo en función del viento medio con w = 0. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Máximo incremento de un 17,780 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Mínimo incremento de un 17,005 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Figura 7.13: Tiempo de vuelo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

145 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 143 TW: máximo incremento de un 16,010 % para w = 25 m s ; w = 0 m s mínimo incremento de un 15,432 % para w = 25 m s ; w = 25 m s HW: máximo incremento de un 18,759 % para w = 25 m s ; w = 25 m s mínimo incremento de un 17,973 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Figura 7.14: Tiempo de vuelo en función del viento medio con w = 0. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Máximo incremento de un 17,973 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Mínimo incremento de un 16,010 % para w = 25 m s ; w = 0 m s En las siguientes dos figuras del perfil de vuelo, se cumple el hecho de que para las mismas condiciones de viento, a una altitud dada, con el planeo no estacionario se recorre más distancia horizontal que con el planeo estacionario POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

146 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 144 Figura 7.15: Comparación del perfil de vuelo sin wind-shear con w = 25, 0, 25 m s. Planeo no estacionario en línea continua, planeo estacionario en línea discontinua. Figura 7.16: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s y con viento de cara w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s. Planeo no estacionario en línea continua, planeo estacionario en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES

147 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO Polar parabólica de coeficientes dependientes del número de Mach Figura 7.17: CL (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s..planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.18: CL (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

148 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 146 Figura 7.19: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.20: M (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

149 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 147 Figura 7.21: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.22: V (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

150 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 148 Figura 7.23: CAS (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.24: CAS (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

151 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 149 Figura 7.25: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, T W w = 25 m s,hw w = 25 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Figura 7.26: γ (h) para distintas condiciones de viento, w = 25, 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25 m s, w = 0 m s. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

152 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 150 γ (h) en planeo estacionario aumenta ligeramente a lo largo de la trayectoria, mientras que disminuye en planeo no estacionario a partir del máximo que se alcanza a altas altitudes. Los resultados se acercan en mayor medida para menores altitudes, aunque durante todo el vuelo el ángulo de trayectoria en planeo no estacionario está por encima del que se obtiene en planeo estacionario. γ (h) es menos sensible ante modificaciones del viento medio que ante variaciones de wind-shear. Por otro lado, cabe destacar que las curvas de las variables globales que están siempre por encima corresponden al planeo no estacionario. Para cada una de las siguientes gráficas se específica el incremento máximo y mínimo sobre las respectivas curvas de planeo estacionario. Figura 7.27: Alcance máximo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. TW: máximo incremento de un 15,370 % para w = 25 m s ; w = 0 m s mínimo incremento de un 13,514 % para w = 25 m s ; w = 25 m s HW: máximo incremento de un 20,019 % para w = 25 m s ; w = 25 m s mínimo incremento de un 16,881 % para w = 25 m s ; w = 0 m s 7.2. POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

153 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 151 Figura 7.28: Alcance máximo en función del viento medio con w = 0. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Máximo incremento de un 16,881 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Mínimo incremento de un 15,371 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Figura 7.29: Tiempo de vuelo en función del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

154 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 152 TW: máximo incremento de un 14,254 % para w = 25 m s ; w = 0 m s mínimo incremento de un 13,578 % para w = 25 m s ; w = 25 m s HW: máximo incremento de un 17,183 % para w = 25 m s ; w = 25 m s mínimo incremento de un 16,408 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Figura 7.30: Tiempo de vuelo en función del viento medio con w = 0. Planeo estacionario en línea discontinua, planeo no estacionario en línea continua. Máximo incremento de un 16,408 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Mínimo incremento de un 14,254 % para w = 25 m s ; w = 0 m s Resulta interesante señalar que las diferencias obtenidas entre las curvas de planeo estacionario y planeo no estacionario son mayores que las diferencias entre las curvas comparativas de polar compresible y polar incompresible. Los siguientes perfiles de vuelo muestran que al fijar una altitud y las mismas condiciones de viento en planeo no estacionario que en planeo estacionario, con el primero se recorre una mayor distancia horizontal que con este último POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

155 CAPÍTULO 7. COMPARACIÓN DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 153 Figura 7.31: Comparación del perfil de vuelo sin wind-shear con w = 25, 0, 25 m s. Planeo no estacionario en línea continua, planeo estacionario en línea discontinua. Figura 7.32: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s y con viento de cara w = 25 m s ; w = 0, 15, 25 m s. Planeo no estacionario en línea continua, planeo estacionario en línea discontinua POLAR PARABÓLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NÚMERO DE MACH

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157 Parte III Resumen y conclusiones. 155

158

159 Capítulo 8 Resumen de resultados Planeo sin viento. En el camino a recorrer durante el problema de optimización, se presentan unas disyuntivas simplificativas de gran repercusión en el resultado buscado, el cual consiste en el hallazgo de la ley óptima de vuelo que maximiza el alcance. Estas distintas opciones han sido el objeto de análisis de los capítulos anteriores, argumentando pues las siguientes conclusiones: Sea un peso de la aeronave dado, las variables globales asociadas a la polar parabólica en función del coeficiente de sustentación y del número de Mach presentan valores superiores que las correspondientes a polar parabólica de coeficientes constantes. Esto sucede tanto si el planeo es estacionario como si no lo es. Sea un peso de la aeronave dado, las variables globales proporcionadas por el planeo no estacionario superan en magnitud a las pertinentes en el planeo estacionario. Esto ocurre con independencia de la polar del avión utilizada. Por tanto, el mayor alcance máximo se tiene para polar compresible y planeo no estacionario, resultando ser R max = 161,133 km con W = 1400 kn. Para ese mismo peso, el menor valor del alcance máximo R max = 124,273 km se recoge efectivamente en el planeo estacionario para la polar parabólica de coeficientes constantes, tal y como muestra la tabla comparativa siguiente, en la que el modelo más pobre es en torno a un 77 % el valor del modelo más completo 157

160 CAPÍTULO 8. RESUMEN DE RESULTADOS. 158 Figura 8.1: Tabla comparativa de alcances máximos. En la figura anterior, aparece en rojo la relación porcentual que guardan las celdas unidas por una misma flecha. Así por ejemplo, el alcance máximo para un peso de 1400 kn y polar compresible en planeo estacionario resulta ser un 84,55 % del R max correspondiente a polar compresible en planeo no estacionario. Análogamente, el alcance máximo para un peso de 1400 kn y polar incompresible en planeo no estacionario resulta ser un 92,77 % del R max correspondiente a polar compresible en planeo no estacionario. De modo que, tras el análisis de todas las casuísticas de la figura, se extrae que los valores referentes a polar incompresible son en media un 91,53 % de sus respectivos valores correspondientes para polar compresible. De igual forma, los valores referentes a planeo estacionario son en media un 84,71 % de sus respectivos valores correspondientes en planeo no estacionario. Esta última diferencia media del 15,29 % es razón más que suficiente para aducir que el hecho de despreciar la aceleración tangencial conlleva un impacto en el resultado más significativo que el hecho de despreciar los efectos de compresibilidad, que sólo producen una diferencia media del 8,47 % respecto al resultado correspondiente de polar compresible. La razón fundamental radica en que únicamente se registran M superiores a 0.6 en menos de la mitad de la trayectoria, por lo que aunque la polar parabólica de coeficientes constantes proporcione peores resultados, no da lugar a valores disparatados. Las conclusiones del párrafo anterior quedan respaldadas gracias a los similares resultados porcentuales indicados en la siguiente tabla comparativa de los tiempos de vuelo asociados PLANEO SIN VIENTO.

161 CAPÍTULO 8. RESUMEN DE RESULTADOS. 159 Figura 8.2: Tabla comparativa de tiempos de vuelo. También resulta interesante destacar que el tiempo de vuelo muestra siempre una tendencia decreciente con el peso de la aeronave, incluso cuando el alcance máximo aumente con dicho peso. La simple razón por la que se recorren mayores distancias en menos tiempo es, obviamente, porque las curvas de velocidad se desplazan hacia arriba para un mayor peso, tal y como se puede apreciar en todas las figuras que representan V (h). Por otro lado, como se dedujo en los capítulos para planeo estacionario y no estacionario: R max = R 0 dr = hf h i dh γ (h) Lo cual resulta ser una expresión simple al mismo tiempo que informativa, pues permite conocer de antemano las tendencias del alcance máximo con el peso de la aeronave, con sólo analizar el comportamiento del valor absoluto de γ (h) ante una variación de W. Así por ejemplo, tal y como se verifica en los resultados obtenidos, si las curvas de γ (h) se desplazan hacia mayores valores absolutos cuando mayor es el peso, el R max tiene una tendencia decreciente con el W. En el caso contrario, es decir, cuando las curvas de γ (h) se desplazan hacia menores valores absolutos conforme aumenta el peso, se tendrá una tendencia creciente del R max con W. Como caso particular, cuando γ (h) es una constante independiente del peso y de la altitud de vuelo, el R max también es constante. (8.1) 8.1. PLANEO SIN VIENTO.

162 CAPÍTULO 8. RESUMEN DE RESULTADOS. 160 En cualquier caso, el efecto del peso de la aeronave no juega el mismo papel en todos los resultados, pues su influencia en el alcance máximo es muy inferior a su influencia en el tiempo de vuelo Planeo con viento. Hay una serie de comportamientos comunes para los dos tipos de polar de avión estudiadas, así como para cuando se consideran los efectos no estacionarios y para cuando éstos no están presentes: Tal y como era de esperar, con viento de cola las variables globales siempre alcanzan valores superiores a los obtenidos en el planeo sin viento, los cuales son a su vez mayores que los valores de las variables globales que se tienen con viento de cara. Para un vuelo de planeo en ausencia de w, las variables globales aumentan conforme lo hace el viento medio. Para un vuelo de planeo con un w dado, las variables globales aumentan conforme lo hace el wind-shear. El alcance máximo es más sensible ante cambios de w y w de lo que es el tiempo de vuelo. El alcance máximo es más sensible ante cambios de w en ausencia de wind-shear, de lo que es ante cambios de wind-shear para un viento medio dado. El tiempo de vuelo y el ángulo de trayectoria son más sensible ante cambios de w para un viento medio dado, de lo que son ante cambios de w en ausencia de wind-shear. Es decir, que de los dos últimos puntos se extrae que unas veces el efecto del viento medio es lo que tiene mayor influencia en los resultados, mientras que otras veces las variaciones más acusadas son debidas a la presencia del wind-shear. Por otro lado, la elección del tipo de polar o de si se tienen en cuenta o no los efectos no estacionarios, tiene las mismas repercusiones que en el planeo sin viento. Es decir, para unas condiciones de viento dadas, continúa el mismo orden indicado en la siguiente lista, desde los menores hasta los mayores valores de las variables globales: Planeo estacionario con polar incompresible. Planeo estacionario con polar compresible. Planeo no estacionario con polar incompresible. Planeo no estacionario con polar compresible. Sin embargo, en una comparativa en la que las condiciones de viento no sean las mismas para cada caso, puede darse el hecho de que, por ejemplo, un planeo estacionario con polar compresible tenga un mayor valor en las variables globales que un planeo no estacionario con polar compresible, tal y como se muestra en las siguientes tablas que resumen los resultados PLANEO CON VIENTO.

163 CAPÍTULO 8. RESUMEN DE RESULTADOS. 161 Figura 8.3: Tabla resumen de alcance máximo con distintas condiciones de viento. w = 25, 0, 25 m s, w = 25, 0, 25 m s. Figura 8.4: Tabla resumen de tiempo de vuelo con distintas condiciones de viento. w = 25, 0, 25 m s, w = 25, 0, 25 m s 8.2. PLANEO CON VIENTO.

164 CAPÍTULO 8. RESUMEN DE RESULTADOS. 162 Las tablas anteriores están ordenadas acorde a la última columna, que presenta las variables globales de menor a mayor valor con un degradado de rojo a azul. En el resto de la tabla no se sigue la misma escala de colores, sino que cada una de las combinaciones posibles entre las dos primeras columnas están rellenas del mismo color. De esta forma, al elegir un color para las dos primeras columnas puede sacarse en claro el papel que el viento ejerce. Por ejemplo, si se hace un análisis sujeto a la condición de mantener el color rojo en las dos primeras columnas, se obtiene que el orden en el que aumentan las variables globales es: w = 25 m s ; w = 25 m s w = 25 m s ; w = 0 m s w = 0 m s ; w = 0 m s w = 25 m s ; w = 0 m s w = 25 m s ; w = 25 m s Esta secuencia coincide con la que se obtiene al fijar cualquier otro color en las dos primeras columnas. Por lo tanto, resulta de interés hacer una recopilación,tanto para el caso estudiado más completo como para el que se asumen las hipótesis más simplificativas, que recoja los resultados con viento más favorable y desfavorable, así como en ausencia de viento. De esta manera, se identifica a continuación el nivel en el que las diferentes casuísticas afectan a los resultados. Figura 8.5: Tabla comparativa de alcances máximo Figura 8.6: Tabla comparativa de tiempos de vuelo Se extraen los siguientes puntos: 8.2. PLANEO CON VIENTO.