TEMA 2 MODELOS DE ATMÓSFERA Y DE AVIÓN

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1 TEMA 2 MODELOS DE ATMÓSFERA Y DE AVIÓN En este tema se van a modelar las fuerzas aerodinámica y propulsiva, así como el consumo de combustible del avión, esto es, se van a definir las funciones L = L(h, V, α), D = D(h, V, α), T = T (h, V, π) y c = c(h, V, π) para el caso de vuelo simétrico. Estas funciones dependen de la altitud a través de la densidad, la temperatura y la presión del aire, por lo que resulta necesario disponer también de un modelo de atmósfera que defina dicha dependencia. 2.1 Modelo de atmósfera El modelo de atmósfera proporciona la temperatura, la presión y la densidad del aire en función de la altitud. En este curso se considera el modelo de atmósfera estándar internacional, modelo ISA (Internacional Standard Atmosphere), ya estudiado en otros cursos. Se resumen a continuación las funciones mencionadas, basadas en la hipótesis de considerar el aire como un gas perfecto. 1) En la troposfera, esto es, para 0 < h < h 11, siendo h 11 =11000 m la altitud de la tropopausa, se tiene Θ = Θ 0 α T h p = p 0 ( 1 α T h Θ 0 ρ = ρ 0 ( 1 α T h Θ 0 ) g Raα T ) g Raα T 1 donde los valores al nivel del mar son Θ 0 = K, p 0 = N/m 2 y ρ 0 =1.225 kg/m 3, α T = K/m y R a = J/(kgK) es la constante del aire. Además g = m/s 2. 2) En la estratosfera (en la parte baja de la misma), para h > h 11, se tiene Θ = Θ 11 ( p = p 11 exp g(h h ) 11) R a Θ 11 ( ρ = ρ 11 exp g(h h ) 11) R a Θ 11 donde los valores en la tropopausa son Θ 11 = K, p 11 = N/m 2 y ρ 11 = kg/m 3. (2.1) (2.2) 2.2 Modelo aerodinámico Los coeficientes de sustentación (C L ) y de resistencia (C D ) se definen a partir de las expresiones L = 1 2 ρ(h)v 2 SC L D = 1 2 ρ(h)v 2 SC D (2.3) siendo S la superficie alar del avión. Mediante análisis dimensional se obtiene la siguiente dependencia funcional C L = C L (α, M, Re) C D = C D (α, M, Re) (2.4) 19

2 donde M es el número de Mach y Re el número de Reynolds. Estos coeficientes se suponen funciones conocidas, obtenidas en general mediante ensayos en túnel y ensayos en vuelo. El número de Mach es M = V/a, siendo a = κr a Θ(h) la velocidad del sonido (con κ=1.4 para el aire), que depende de la temperatura del aire, por lo que depende del modelo de atmósfera. La dependencia con el número de Mach puede despreciarse a bajas velocidades (M <0.6), mientras que es importante a altas velocidades, cuando son importantes los efectos de compresibilidad. Para M y Re fijos, la variación de C L con α es lineal para valores pequeños de α, y tiene un valor máximo C Lmax que corresponde al ángulo de ataque de entrada en pérdida (stall) α max. En general el vuelo está restringido a α < α max, y en consecuencia C L < C Lmax. A bajas velocidades C Lmax es constante (independiente de M) mientras que a altas velocidades, en régimen subsónico alto (para aviones comerciales), disminuye al aumentar M, y disminuye drásticamente al acercarse a M = 1. Más allá de la entrada en pérdida C L depende fuertemente de Re. C Lmax influye de forma muy importante en la definición de la envolvente de vuelo (flight envelope) del avión. El coeficiente de resistencia puede descomponerse en dos partes C D = C D0 + C Di siendo C D0 el coeficiente de resistencia parásita (con sustentación nula) y C Di el de resistencia inducida (inducida por la sustentación). En general, la dependencia de C Di con Re es despreciable, mientras que la de C D0 no es despreciable, ya que el coeficiente de fricción en la superficie del avión depende del número de Reynolds. En este curso, por simplicidad, no se considera la dependencia con el número de Reynolds. Dado que C L depende de α y de M, y M depende de V y de h, las expresiones (2.3) proporcionan la dependencia buscada L = L(h, V, α) y D = D(h, V, α). Nótese que también se tiene D = D(h, V, L). Para h y L fijos, existe una V que da resistencia mínima, y para V y L fijos, existe una h que da resistencia mínima, como puede verse en las figuras 2.1 y 2.2. Figura 2.1: Resistencia aerodinámica en función de V y h 20

3 Figura 2.2: Resistencia aerodina mica en funcio n de V y h (cont.) Polar Una vez despreciada la dependencia con el nu mero de Reynolds, a partir de las expresiones (2.4) se tiene CD = CD (CL, M ), expresio n que recibe el nombre de polar del avio n, ver figura 2.3. Figura 2.3: Polar del avio n Una buena aproximacio n a la polar real de un avio n es la polar parabo lica, CD = CD0 (M ) + CD1 (M )CL + CD2 (M )CL2 (2.5) cuya validez se muestra en la figura 2.4; CD0 es el coeficiente de resistencia para sita y el resto el de resistencia inducida. Un modelo ma s sencillo es el de polar parabo lica sime trica CD = CD0 (M ) + k(m )CL2 (2.6) En el caso de vuelo a bajas velocidades (M <0.6) los coeficientes de la polar CD0, CD1, CD2 o bien CD0, k son constantes (independientes del nu mero de Mach). A altas velocidades, en re gimen subso nico 21

4 alto (para aviones comerciales), los coeficientes aumentan al aumentar M; en este caso los efectos de compresibilidad son importantes. Figura 2.4: Región de validez de la polar parabólica En las figuras 2.5 y 2.6 se presentan ejemplos de polares para diversos tipos de avión. Figura 2.5: Polar en régimen subsónico bajo Figura 2.6: Polar en régimen subsónico alto 22

5 2.2.2 Eficiencia aerodina mica La eficiencia aerodina mica se define como el cociente entre la sustentacio n y la resistencia aerodina mica CL L E= = (2.7) D CD y es por tanto tambie n funcio n de CL y M, esto es, E = E(CL, M ). Para M fijo, E presenta un ma ximo en la variable CL, como se describe en el esquema de la figura 2.7, siendo la eficiencia aerodina mica ma xima Emax un para metro importante del avio n. El valor de CL que da lugar a dicho ma ximo es el coeficiente de sustentacio n o ptimo CLopt. Figura 2.7: Coeficientes de resistencia y sustentacio n y eficiencia aerodina mica En aviones superso nicos Emax puede variar entre 5 y 10; en aviones subso nicos, entre 10 y 20; y en veleros, puede llegar hasta 50. En el caso de bajas velocidades (M <0.6) Emax es constante (independiente de M ), mientras que a altas velocidades, en re gimen subso nico alto (para aviones comerciales), disminuye al aumentar M. En la figura 2.8 se presentan esquemas de la dependencia con M de diversos para metros en el caso de aviones comerciales. Figura 2.8: Influencia del nu mero de Mach en re gimen subso nico 23

6 2.2.3 Velocidad de entrada en pérdida La velocidad de entrada en pérdida V s es la velocidad de vuelo que corresponde a C Lmax. Si se define el factor de carga n = L/W siendo W el peso del avión, se tiene de donde se obtiene nw = 1 2 ρ(h)v 2 s SC Lmax (2.8) 2nW V s = (2.9) ρ(h)sc Lmax Para n y ρ dados, V s es la mínima velocidad de vuelo; esta velocidad limita la envolvente de vuelo del avión a bajas velocidades. Dado que C Lmax depende de la configuración aerodinámica del avión (despegue, aterrizaje, configuración limpia), también V s depende de dicha configuración. Además depende del factor de carga, del peso del avión y de la altitud de vuelo; V s aumenta al aumentar estos tres factores Velocidad equivalente La velocidad equivalente se define como donde ρ 0 es la densidad ISA al nivel del mar. Así pues, se verifica ρ V e = V (2.10) ρ ρv 2 = 1 2 ρ 0V 2 e (2.11) de manera que si la presión dinámica (q = 1 2 ρv 2 ) se mantiene constante durante el vuelo, entonces la velocidad equivalente es constante independientemente de la altitud. En el cálculo de actuaciones del avión, si se considera la velocidad equivalente, se elimina el efecto de la altitud. Por tanto, se verifica 1 2 ρ 0Ve 2 SC L = nw (2.12) y, entonces, la velocidad equivalente de entrada en pérdida viene dada por V es = 2nW ρ 0 SC Lmax (2.13) que es independiente de la altitud. Así, para una maniobra determinada (n conocido) V es es función sólo del peso del avión, de manera que, para un peso dado, el avión siempre entra en pérdida a la misma velocidad equivalente. 2.3 Modelo propulsivo En esta sección se van a obtener las funciones T = T (h, V, π) y c = c(h, V, π) para el empuje disponible y el consumo de combustible. Para modelar el consumo de combustible, se define el consumo específico mediante la relación c E = gc T 24 (2.14)

7 de modo que tiene dimensiones de 1/tiempo. Se tiene pues c E = c E (h, V, π). Se definen a continuación los coeficientes adimensionales de empuje (K T ) y de consumo específico (K c ) K T = T ps R K c = c Ea 2 11 ga = c Ea 11 Θ11 g Θ (2.15) siendo S R el área de referencia del motor (el área frontal máxima). Si se toma como variable de control del motor las revoluciones del rotor, es decir π N, y si se define el parámetro adimensional (parámetro de vueltas corregido) N c = N a 11 N max a = N Θ11 N max Θ (2.16) siendo N max las revoluciones máximas permitidas del rotor, entonces mediante análisis dimensional se obtiene la siguiente dependencia funcional (despreciando los efectos del número de Reynolds) K T = K T (M, N c ) K c = K c (M, N c ) (2.17) funciones que se suponen conocidas (análogamente al caso de C L y C D ). En la figura 2.9 se presentan unas curvas típicas para el caso de un turbofán, donde puede verse que la dependencia de K c con N c es pequeña y que la variación con M es aproximadamente lineal. Figura 2.9: Coeficientes de empuje y de consumo específico para un turbofán Se tiene por tanto T = p(h)s R K T (M, N c ) c E = ga(h) a 2 K c (M, N c ) 11 (2.18) expresiones que definen la dependencia funcional buscada T = T (h, V, N) y c E = c E (h, V, N). Nótese que también se tiene c E = c E (h, V, T ). 25

8 La obtención de las funciones K T y K c es compleja, por lo que se suele utilizar la siguiente aproximación ( ) ρ x T = T 11 (V, π) ρ 11 ( ) ρ y (2.19) c E = c E11 (V, π) donde los valores x e y se obtienen mediante un ajuste de los datos proporcionados por el fabricante, y en general satisfacen las siguientes relaciones ρ 11 Nótese que también se verifica en la troposfera en la estratosfera { 0.5 < x < 1 0 < y < 0.2 { x = 1 y = 0 (2.20) (2.21) ( ρ T = T 0 (V, π) ρ 0 ( ρ c E = c E0 (V, π) ρ 0 ) x ) y (2.22) 2.4 Modelo ISJ En este curso, con objeto de obtener soluciones de forma sencilla a los distintos problemas de actuaciones, se va a considerar un modelo de avión simplificado, llamado modelo ISJ (Ideal Subsonic Jet) Modelo aerodinámico El modelo aerodinámico está definido por una dependencia lineal de C L con α y por una polar parabólica simétrica de coeficientes constantes Así pues, la eficiencia aerodinámica es función sólo de C L C D = C D0 + kc 2 L (2.23) E = C L C D0 + kc 2 L (2.24) La ecuación de = 0 define el valor de C L que da lugar a eficiencia aerodinámica máxima, esto dc L es, el coeficiente de sustentación óptimo siendo la eficiencia aerodinámica máxima C Lopt = E max = CD0 k (2.25) 1 2 kc D0 (2.26) 26

9 El coeficiente de resistencia que corresponde a C Lopt es La resistencia aerodinámica es por tanto C D (C Lopt ) = 2C D0 (2.27) D = 1 2 ρ(h)v 2 SC D0 + k 2n2 W 2 ρ(h)v 2 S Para n, W y h fijos, la velocidad que corresponde a E max está definida por la relación y su valor es (2.28) nw = 1 2 ρ(v E max ) 2 SC Lopt (2.29) V Emax = 2nW ρs ( k C D0 ) 1/4 (2.30) Para n, W y h fijos, la resistencia aerodinámica tiene un mínimo a la velocidad ( ) 2nW k 1/4 V Dmin = = V Emax (2.31) ρs y para n, W y V fijos, tiene un mínimo a la altitud dada por ρ Dmin = 2nW k V 2 (2.32) S C D0 En ambos casos se tiene el mismo valor de la resistencia aerodinámica D min = nw E max (2.33) que es independiente de h y de V. La eficiencia aerodinámica que corresponde a resistencia mínima es Si se considera la velocidad equivalente (ρ 0 V 2 e C D0 E Dmin = L D min = E max (2.34) = ρv 2 ), la resistencia aerodinámica viene dada por D = 1 2 ρ 0Ve 2 SC D0 + k 2n2 W 2 ρ 0 V 2 e S (2.35) Para n y W fijos, D tiene un mínimo a la velocidad equivalente ( ) 2nW k 1/4 V e Dmin = (2.36) ρ 0 S estando D min definida por la ecuación (2.33). C D Modelo propulsivo El modelo propulsivo ISJ es un modelo simplificado en el que se supone que el empuje disponible es independiente de la velocidad y el consumo específico independiente de la velocidad y de la posición de palanca. Así pues, se tienen las siguientes expresiones ( ) ρ x T = T 11 (π) ρ 11 ( ) ρ y (2.37) c E = c E11 ρ 11 27

10 siendo c E11 constante, y donde x e y toman los siguientes valores en la troposfera en la estratosfera { x = 0.7 y = 0.2 { x = 1 y = 0 (2.38) (2.39) Para una altitud dada, el empuje máximo disponible viene dado por ( ) ρ x T max = T 11 (π max ) (2.40) siendo π max el valor máximo del parámetro de control del motor (máxima posición de palanca). ρ Medida de la velocidad En navegación es necesario disponer a bordo de una medida de la velocidad del avión. En esta sección se describe cómo se mide la velocidad. La medida de la velocidad aerodinámica, esto es, la velocidad del avión con respecto al aire (airspeed) está basada en la ecuación de Bernoulli, que para flujo compresible viene dada por κ p κ 1 ρ ρv 2 = κ p t (2.41) κ 1 ρ t que presupone que el aire es llevado a las condiciones de remanso de forma isentrópica, por lo que también se verifica ( ) ρ 1/κ t ρ = pt (2.42) p De ambas ecuaciones se obtiene [ V 2 = 2κ (pt ) p κ 1/κ 1] κ 1 ρ p (2.43) A bordo del avión la toma de Pitot-estática mide la diferencia p = p t p, por lo que en función de esta diferencia de presiones se tiene [ ( p V 2 = 2κ ) p κ 1/κ κ 1 ρ p + 1 1] (2.44) Así pues, la medida de la velocidad aerodinámica requiere medir además de p la presión y la densidad del aire. La velocidad aerodinámica también se llama velocidad verdadera o TAS (True AirSpeed). Nótese que la ecuación (2.44) también puede escribirse en la forma V 2 = 2a2 κ 1 [ ( p ) κ 1/κ p + 1 1] (2.45) es decir, se tiene [ ( p M 2 = 2 ) κ 1/κ κ 1 p + 1 1] (2.46) expresión que permite medir el número de Mach de vuelo a partir de las medidas de p y p. 28

11 2.5.1 Velocidad calibrada (CAS) Sin embargo, a bordo del avión el anemómetro indica una velocidad obtenida con la única medida de la diferencia de presiones p. Se trata de la velocidad calibrada o CAS (Calibrated AirSpeed) definida como sigue [ ( p CAS 2 = 2κ ) p κ 1/κ ] (2.47) κ 1 p 0 ρ 0 siendo p 0 y ρ 0 la presión y la densidad ISA al nivel del mar. En realidad el anemómetro indica la velocidad que se conoce como velocidad indicada o IAS (Indicated AirSpeed), que coincide con la CAS salvo por los errores del instrumento. En este curso se supone que no existen tales errores, por lo que IAS y CAS coinciden. En la práctica las operaciones de vuelo se definen en función de la CAS. Nótese que para un valor de CAS dado, la ecuación (2.47) define p y la ecuación (2.44) el valor correspondiente de V, dado por ( V 2 = 2κ p κ 1 ρ 1 + p 0 p [ ( 1 + κ 1 ) ]) ρ κ/(κ 1) κ 1/κ 0 CAS (2.48) 2κ p 0 Por tanto, la condición CAS = const define una ley de velocidades V = V C (h), pudiendo comprobarse que V aumenta al aumentar la altitud. Análogamente, la condición M = const define una ley de velocidades V = V M (h). Si se desprecian los efectos de compresibilidad, la ecuación de Bernoulli para flujo incompresible es de donde se obtiene p ρv 2 = p t (2.49) V 2 = 2 p ρ En tal caso, la velocidad calibrada se define como sigue (2.50) CAS 2 = 2 p ρ 0 (2.51) (también se tiene esta expresión como aproximación de la función dada por las ecuaciones (2.46) y (2.47) para M 2 1), por lo que se obtiene ρ0 V = CAS (2.52) ρ donde se ve claramente que para vuelo a CAS = const la velocidad aumenta al aumentar la altitud. La expresión anterior también indica que en vuelo a bajas velocidades, en régimen incompresible, la velocidad calibrada coincide con la velocidad equivalente. 29

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