Tema 1: Los números naturales

Transcripción

1 Tema 1: Los números naturales Qué vamos a estudiar en este tema? 1. Sistemas numéricos. La notación posicional. 2. Aritmética elemental. Algoritmos y propiedades. 3. Divisibilidad. Números primos. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. 1

2 N = {1, 2, 3, 4, 5...} Los números naturales Origen: necesidad de contar. Problema: representación (oral y escrita) de números grandes. 2

3 1. Sistemas aditivos Tipos de sistemas de numeración El número se obtiene sumando el valor de los símbolos que lo componen. 3 Imágenes de jgodino/edumat-maestros/welcome.htm Numeración griega: I = 1, Π = 5, = 10, H = 100, X = 1000 y M = (la romana procede de ella).

4 Sistemas de numeración 2. Sistemas aditivo-multiplicativos Si hay que repetir varias veces un número, eso se indica con otro número. Un ejemplo: el sistema chino 4

5 Sistemas de numeración 3. Sistemas multiplicativos (como el nuestro) Tiene su origen en el sistema hindú. Los símbolos del sistema hindú eran (y unos símbolos adicionales para las potencias de 10). Entre los siglos V y VIII se prescinde de los símbolos para las potencias de 10, pero se utilizan unas barras: 5

6 El cero. Sistemas de numeración El nombre proviene del sánscrito shunya (vacío), en árabe se llamó sifr Nuestra palabra cifra viene de ahí. Nuestro sistema de numeración llega a Europa a través de los árabes. Al-Jwarizmi escribió el libro Acerca de los cálculos con los números de la India alrededor del año 825. A partir de la introducción del nuevo sistema de numeración, la aritmética se desarrolla de forma muy rápida. 6

7 La introducción del número de dos cifras Enfoque tradicional (1 o de primaria): - Tema 0: repaso de los números del 0 al 9. - Tema 1: los números del 10 al Tema 2: los números del 20 al Inconveniente: Falta de sentido numérico. 7

8 Decenas y unidades en los libros de texto Casi siempre, el enfoque de la figura: 8 Es mejor, durante un tiempo, mostrar las decenas como grupos de diez, expĺıcitamente, como en la figura: (El ejemplo es de la segunda mitad del primer curso de un libro de Singapur).

9 Una comparaci on Comparemos estos dos ejemplos: Un libro de Singapur de 3o Un libro espa nol de 2o 9 Pedro Ramos, Dpto. de Matem aticas (UAH). Matem aticas I. Grado de Educaci on Primaria. Curso

10 La introducción del número de dos cifras Enfoque alternativo: contamos haciendo grupos de 10. Hay dos grupos de diez y 6 (o diez, diez y 6). Además, se puede practicar el recuento con ejemplos que ayudan a profundizar en ese sentido numérico. 10

11 La introducción del número de dos cifras Una vez practicado el recuento de manera intensiva, ya se puede: - 3 grupos de diez y 5 se escribe el grupo de diez se llama decena. - introducir el cero. Un alumno que ha seguido este proceso está en condiciones de contestar a la pregunta: cuántas son ? Estos temas serán ampliados en la asignatura de didáctica de las matemáticas (3 o ). 11

12 La base b Por qué contamos en base 10 (haciendo grupos de 10 )? Cómo representaríamos la cantidad de la figura si tuviéramos 8 dedos? Como 26 = , en base 8 el número 26 se representa como 32 (8. 12

13 La base b Expresión de un número en base b: dado un número natural b > 1 (la base), cualquier número n se puede expresar de forma única como n = a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0. donde los dígitos a i toman los valores 0, 1,..., b 1. n se representa en base b como a k a k 1 a 1 a 0(b. Por qué estudiar la base b? - Interés didáctico. - Conexión de las matemáticas con el mundo más próximo: informática. 13

14 Base b: ejercicios Ejercicios: 1. Escribe los 5 primeros números en base 2 y los 10 primeros en base Efectúa la operación 3504 ( (7 Ejercicio: cómo se pasa de base 10 a base b, y al revés? 1. Escribe 354 (7 en base Escribe 928 en base 5. 14

15 Números cardinales. 15 El sistema de numeración oral Escribe en letra Expresa en forma numérica veintitres mil cuarenta y tres billones, doscientos cuatro mil dos millones, veinte mil cuatro. Más información, por ejemplo, aquí: Números ordinales. (Wikipedia) Escribe en letra los ordinales 37 o, 76 o, 85 o, 94 o, 101 o.

16 La recta numérica Una ayuda excelente para desarrollar el sentido numérico (a todos los niveles). Por ejemplo: a final de 1 o Sitúa (de forma aproximada) los números 87, 6, 25, Hacia el final de primaria: sitúa (de forma aproximada) los números , 6005, ,

17 Aritmética elemental: suma y resta La suma es una operación interna en N. Propiedades: conmutativa, asociativa. Una vez definida la suma, la resta es fácil: Se dice que a b = c si b + c = a. Comentario: entender la resta así desde el principio tiene importantes ventajas didácticas. Por ejemplo, deja claro el papel análogo de b y c ( sustraendo y diferencia ). Más en didáctica. La resta no es una operación interna en N. La resta nos permite definir un orden en N: 17 diremos que a < b si b a N.

18 Suma y resta - Algoritmos El principal error en España: introducir demasiado pronto los algoritmos en columna (los tradicionales). Mejor: trabajar antes el cálculo pensado o cálculo inteligente (creo que son nombres más apropiados para la variante más útil de lo que se suele llamar cálculo mental). Más en la asignatura de didáctica. 18

19 Algoritmos tradicionales Todos conocemos las técnicas escritas. Somos capaces de justificar las llevadas? ( ( ( (8 National library of virtual manipulatives: 19 Numbers and operations Base blocks substraction

20 La multiplicación Cómo introducirla en primaria? Tenemos 3 platos con 4 rosquillas en cada plato. Cuántas rosquillas tenemos en total? Tenemos rosquillas, es decir, 3 veces 4 rosquillas. En los libros de texto 3 veces 4 3 4? 20

21 La multiplicación Veamos qué ocurre si asumimos que: a) 3 4 significa 3 veces 4. b) en la tabla del 2, contamos de dos en dos. La tabla del 2, con veces en vez de por, quedaría... Conclusión: el orden tradicional de las tablas no concuerda con la introducción natural de la multiplicación. Más en didáctica. 21

22 Propiedades de la multiplicación Conmutativa: a b = b a. Ojo: no es nada intuitivo que 4 veces 7 sea igual que 7 veces veces veces La geometría puede ayudar en la introducción y comprensión de las propiedades

23 Propiedad distributiva Propiedad distributiva: a (b + c) = (a b) + (a c) (a + b) c = (a c) + (b c) Qué sentido tiene en primaria? En los libros de texto... 7 (3 + 5) = Para qué?

24 Propiedad distributiva Sirve para dos cosas: i) manipulaciones algebraicas: 2(x + 3) = 2x + 6 ii) cálculo pensado (inteligente, mental): 13 8 = (10 + 3) 8 = = 104 También en este caso, la geometría puede ayudar (2 + 5) =

25 Una última propiedad Propiedad asociativa: a (b c) = (a b) c (3 5) = (2 3) 5 2 Más sobre cómo introducir la multiplicación en didáctica. 25

26 La división Un primer comentario: es importante distinguir la idea de división y el algoritmo de la división. Si un niño de 6 años lleva 8 caramelos al cole y quiere repatirlos (por igual) con un amigo, sabe hacerlo? Esta idea de reparto es la mejor para introducir la división: se trata de la división partitiva. Si repartimos 20 caramelos en 4 bolsas iguales, cuántos caramelos habrá en cada bolsa?? 26

27 27 La división Existe otra interpretación de la división: Si repartimos 20 caramelos en bolsas con 5 caramelos cada 5? una, cuántas bolsas necesitaremos? Esta es la división cuotativa (y no se trabaja lo suficiente). Relación con medida: cuántas veces cabe 5 en 20? Dos observaciones: i) Una forma sencilla de distinguirlas: pensar en cómo resolvería el problema una persona sin conocimientos matemáticos. ii) En la división cuotativa, el divisor puede ser un número no entero: Un grupo de amigos compra 6 pizzas, y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, cuántos amigos son en el grupo?

28 La división Un buen ejercicio para proponer en clase (en primaria), para entender los dos tipos de divisiones: Inventa dos problemas (uno de cada tipo) cuya solución contenga la división Otra idea importante, que hay que trabajar con calma, es la división como inversa de la multiplicación: Como 5 4 = 20, 20 5 = 4 y 20 4 = 5. Por qué no se puede definir la división por 0? 5 0 =?? 0 = =?? 0 = 0 no hay solución infinitas soluciones Más en didáctica. 28

29 División con resto División entera (con resto, o eucĺıdea) Dados dos números naturales D (dividendo) y d (divisor), existen unos únicos números naturales q (cociente) y r (resto) tales que D = q d + r y 0 r b 1. Idea de cualquier algoritmo de división: Aproximar por defecto el dividendo por múltiplos del divisor. Otro aspecto que no se trabaja lo suficiente: problemas donde el resto sea lo importante. Un astronauta hizo un viaje de 505 horas. Si despegó a las 8 de la mañana, qué hora era cuando aterrizó? 29

30 La división en N Algoritmos tradicionales para la división: Algoritmo extendido Algoritmo usual ( comprimido )

31 La enseñanza de los algoritmos en primaria Hasta hace poco, saber calcular, de forma rápida y fiable, era una competencia profesional muy valorada. Diría que los alumnos españoles de primaria dedican al menos 1/3 del tiempo de la asignatura de matemáticas a hacer cuentas. Tiene esto sentido? Sin entrar en el debate de fondo (espero que al menos lo exploréis en didáctica), dos ideas fundamentales: 1. En el BOE aparecen el cálculo mental, la aritmética tradicional, y la calculadora ideas, cuentas.

32 Divisibilidad (en N {0}) Dados dos números enteros a y c, se dice que c divide a a si existe un entero q tal que a = q c (es decir, si en la división a c el resto es 0). c a significa que c divide a a (c es un divisor de a). Si c a, también decimos que a es múltiplo de c. Denotamos por ċ al conjunto de los múltiplos de c. Ejemplo: 3 = {0, 3, 6, 9, 12,...}. Si c no divide a a, escribiremos c a. 32

33 Divisibilidad Ejemplos: a) 2 36 (porque 36 = 2 18), b) 5 19 (porque 19 = ). c) Para cualquier número entero a, 1 a. d) 8 0? Sí: 8 0 = 0. Cualquier número natural (distinto de 0) es divisor de 0. 33

34 Divisibilidad Ejercicio: escribe todos los divisores de 20. Dado cualquier número natural n, los números 1 y n son siempre divisores de n. Al resto de divisores, se les llama divisores propios. Def: Un número primo es un número natural mayor que 1 que no tiene divisores propios (es decir, sus únicos divisores son el 1 y el propio número). 34

35 Es n primo? Números primos: preguntas básicas a) Es 97 primo? b) Es primo ? Encuentra todos los números primos menores que n: la criba de Eratóstenes. Ejemplo (animado) en Cuántos números primos hay? Para qué sirven los números primos? 35

36 36 Descomposición en factores primos Teorema fundamental de la aritmética: Todo número entero se puede descomponer, de manera única, en producto de factores primos. Demostrar que se pueden descomponer es muy sencillo: Si n es primo, hemos terminado. Si no, tiene algún divisor a, y tenemos que n = a b. Ahora podemos repetir el razonamiento con a y b. Que hay solo una descomposición (salvo el orden, claro) no es tan inmediato, y no lo vamos a demostrar. Obs: el teorema fundamental de la aritmética no sería cierto si consideramos 1 como número primo.

37 37 Descomposición en factores primos: algoritmo Por tanto, 5544 = A partir de la descomposición en factores primos, se pueden escribir todos los divisores, utilizando el siguiente resultado: Si a k y b l aparecen en la descomposición en factores primos de n, entonces a i b j es divisor de n, para cualesquiera 0 i k, 0 j l. (Y lo mismo se generaliza a más de dos factores).

38 38 Construcción de divisores Ejercicio: encuentra todos los divisores del número 84. Cuántos son impares? Cuáles son múltiplos de 14? Una fórmula para el número de divisores: Si entonces n tiene divisores. n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k (a 1 + 1) (a 2 + 1) (a k + 1) Ejercicio: encuentra 3 números de 3 cifras que tengan 20 divisores.

39 Números primos: preguntas básicas Teorema (Euclides, 300 ac): Existen infinitos números primos. Demostración: Supongamos que hubiera un número finito. Entonces, podríamos hacer una lista de todos ellos: L = {p 1, p 2,..., p n } es la lista de todos los números primos. Consideremos el entero q = p 1 p 2 p n q no es un número primo (no está en la lista). 2. q no se puede poner como producto de factores primos (no tiene divisores en la lista). Imposible!

40 Comentarios sobre números primos Dos impares consecutivos que son ambos números primos se llaman primos gemelos. Ejemplos: 3 y 5 son primos gemelos, 11 y 13 también. No se sabe si hay una cantidad finita de primos gemelos. Los mayores conocidos son p = y p dígitos El mayor número primo conocido (hasta hoy ) es p = ( digitos).

41 Y todo esto, sirve para algo (práctico)? Buena parte de la seguridad en informática (Internet) depende de que no se sabe descomponer en factores primos números grandes. Clave pública de uno de los sistemas criptográficos más utilizados: el RSA. (Es un número entero, de unos 600 dígitos, expresado en base hexadecimal). Para leer algo más: 41

42 Dos propiedades de la divisibilidad Si c a, entonces c (k a) (para cualquier entero k). Es decir, si c es un divisor de a, también lo es de cualquier múltiplo de a. Si c a y c b, entonces c (a + b). Combinando las dos propiedades anteriores, tenemos: Si c a y c b, entonces c (k a + j b) (para cualesquiera enteros k y j). Ej: como 7 49 y 7 63, 7 ( ). 42

43 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números a y b, mcd(a, b), es el mayor entero positivo que es divisor de a y de b. Por qué pueden aparecer aquí dificultades de aprendizaje? Quizá porque no se pone el suficiente cuidado en diferenciar el concepto en sí mismo del algoritmo para su cálculo. Ejercicios: a) mcd(40, 15) b) mcd(38478, 1) c) mcd(384787, 0) 43

44 Cálculo de mcd(a, b) I) A partir de la descomposición en factores primos. Sabiendo que = = calcula mcd(17640, 12474). El máximo común divisor de a y b es el producto de los factores comunes de las descomposiciones en factores primos correspondientes. 44 Y la coletilla usual del menor exponente? No hace falta: si en la descomposición de a aparece el factor 4 2 y en la de b el factor 4 5, el factor común es 4 2.

45 Cálculo de mcd(a, b) Obsérvese que de la descomposición en factores primos también se pueden obtener todos los divisores comunes de dos números a y b. Encuentra todos los divisores comunes de y Con la misma idea, se obtiene la siguiente propiedad: Los divisores comunes de dos números a y b son los divisores de mcd(a, b). 45

46 Cálculo de mcd(a, b) II) Algoritmo de Euclides. Basado en el siguiente resultado: Teorema: Si a = q b + r, entonces (a, b) y (b, r) tienen los mismos divisores comunes. Un ejemplo: a = 78, b = 42. La demostración. Tenemos que ver dos cosas: 1. Si c es divisor de a y de b, entonces es divisor de b y de r. 2. Si c es divisor de b y de r, entonces es divisor de a y de b. Aplicación al cálculo del maximo común divisor: Si queremos calcular mcd(a, b), hacemos la división y obtenemos la relación a = q b + r. Ahora, sabemos que mcd(a, b) = mcd(b, r). Calcula mcd(78, 42) aplicando el algoritmo de Euclides. 46

47 Comparación de los algoritmos Se puede demostrar que el algoritmo de Euclides es mucho mejor que el algoritmo que utiliza la descomposición en factores primos. Un ordenador puede calcular el máximo común divisor de dos números de, por ejemplo, 500 dígitos, en cuestión de segundos. Sin embargo, factorizar números así requeriría miles de años de cálculo. Un ejemplo pequeño, para hacer la comparación a mano. Calcula el máximo común divisor de y 9991 (puedes utilizar la calculadora). 47

48 Máximo común divisor de varios números La definición es exactamente igual: mcd(a 1, a 2,..., a k ) es el mayor de sus divisores comunes. El algoritmo de la descomposición en factores primos también es exactamente el mismo: Sabiendo que = = = = calcula mcd(17640, 12474, 3591, 4998). 48

49 Máximo común divisor de varios números El algoritmo de Euclides se puede adaptar fácilmente: Supongamos que a k es menor o igual que el resto de los a i, para i = 1,..., k 1, y supongamos que hacemos las divisiones Entonces, a i = q i a k + r i para i = 1,..., k 1. mcd(a 1, a 2,..., a k 1, a k ) = mcd(r 1, r 2,..., r k 1, a k ). Ejemplo: calcula el máximo común divisor de los enteros 616, 1155, 308 y

50 Cálculo mental del mcd Por qué es útil calcular a ojo ejemplos como... a) mcd(9, 24) b) mcd(17, 284) c) mcd(8, 68) La siguiente propiedad puede ser útil: Si k es un divisor de a y de b, entonces mcd(a, b) = k mcd(a/k, b/k). 50

51 Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos enteros a y b, en adelante mcm(a, b), es el menor entero (mayor que cero) que es múltiplo tanto de a como de b. Las dificultades de aprendizaje son del mismo tipo que las que aparecen con el máximo común divisor. Ejercicios: a) mcm(6, 10) b) mcm(29834, 1) 51

52 Algoritmo para el cálculo del mcm Queremos calcular el mínimo común múltiplo de 3591 y 4998 sabiendo que 3591 = = ) El entero m = = es múltiplo de los dos. 2) Si dividimos m por un divisor común de ambos, el entero resultante sigue siendo múltiplo de los dos. 3) Por tanto, mcm(a, b) = a b mcd(a, b). 52

53 Algoritmo para el cálculo del mcm También hemos obtenido el algoritmo clásico : El mínimo común múltiplo de a y b es el producto de los factores de las descomposiciones en factores primos correspondientes, tomando los factores comunes elevados al exponente mayor. Ejemplo: calcula mcm(3591, 4998) sabiendo que 3591 = = Este algoritmo sigue siendo válido para calcular el mínimo común múltiplo de más de dos enteros. 53 Ojo: no es cierto que mcd(a, b, c) mcm(a, b, c) sea igual al producto a b c.

54 Una propiedad del mínimo común múltiplo Los múltiplos comunes de dos (o más números) son los múltiplos de su mínimo común múltiplo. Dos faros emiten una señal especial cada 16 y 12 minutos, respectivamente. Sabiendo que emiten la señal a la vez a las 0 horas y que empezamos a contemplarlos a las 5 de la tarde, en qué momento los veremos coincidir por primera vez? 54

55 Reglas de divisibilidad Aritmética con restos. Un primer ejemplo: par/impar. Sea r(a, n) el resto que se obtiene al dividir a entre n. Pregunta: si conocemos r(a, n) y r(b, n), podemos determinar r(a + b, n)? Si r(a, 3) = 2 y que r(b, 3) = 2, cuánto vale r(a + b, 3)? Con este tipo de razonamientos, vamos a encontrar las reglas de divisibilidad (de hecho, reglas para calcular restos), para el 3, 4, 5, 6, 8 y 9. 55