Sea 8 Ö! Þ Vamos a definir inductívamente 8x (se lee 8 factorial) mediante. "Ñ!x œ " #Ñ Ð8 "Ñx œ 8x a8 " b

Transcripción

1 Capítulo Teorema del inomio.1. Factoriales Definición 1 Sea Ö! Þ Vamos a definir inductívamente x (se lee factorial) mediante Ejemplo 1 "Ñ!x œ " Ñ Ð "Ñx œ x a " $xœx $œ"x $œ!x " $œ" $œ' xœa"x œ ax a"œ"x $ a a" xœ" $ a".. Coeficientes inomiales Definición 1 Sean ß Ö! Þ Se define el símolo Š ß (se lee " sore ") mediante Ú x si Ÿ Š œ Û axx Ü! si Ejemplo 1 & &x " $ % & Œ œ œ œ "!, Œ œ! $ x$x " " $ $

2 x x Š œ œ "ß Š œ œ "ß! x!x!x x x a" x Š œ œ œ " Ð"Ñx "x a" x Notación. Tamien es usual denotar al coeficiente inomial ˆ ß por C Propiedad 1 a" a " aÿß Š œ " $ Nótese que, en ésta fracción hay en el numerador factores decrecientes a partir de ß y en el denominador, los mismos factores crecientes a partir de "Þ x " $ aa " a" Š œ œ axx " $ a " $ Ejemplo 2 œ a" a " " $ Œ & œ & % $ œ "! $ " $ a " " Œ œ œ a " " Propiedad 2 1) Š œ Š 2) Š Œ œ Œ " " " " 3) Š œ Œ ß " " a ß 1) Š œ x œ x œ Š axx ÒaÓxax

3 2) Š Œ œ x x " a xx a " xð"ñx " x" a œx œ axð"ñx Ò"a" Óxa" x œ Œ " " x a" x 3) Š œ œ axx axa" x a" x " œ œœ axa"x " a ß es inmediato. El cuadro de números que aparece a continuación se llama triángulo de Pascal, que, como veremos se puede expresar mediante los coeficientes inomiales ˆ!! ˆ " ˆ "! " ˆ ˆ ˆ! " ˆ $ ˆ $ ˆ $ ˆ $! " $ ˆ % ˆ % ˆ % ˆ % ˆ %! " $ % ˆ & ˆ & ˆ & ˆ & ˆ & ˆ &! " $ % & Oservemos que las propiedades de los coeficientes inomiales se cumplen en éste último cuadro, tales como la propiedad "Ñ como la 2) por ejemplo: la propiedad 1) se encuentra en cada linea del triángulo y la propiedad 2) para construir una fila en ase a la anterior, exceptúandose el primer y último elemento de la fila, es decir supongamos construído el triángulo hasta la cuarta fila, cada elemento de la quinta

4 fila (excepto el primero y último que son 1) lo construímos sumando los dos números inmediatos a él en la fila precedente, así: Þ % % & % % & % % & Œ Œ œœ ß Œ Œ œœ ß Œ Œ œœ ßÞÞÞ! " " " $ $ Ejemplo 3 Demostrar que Š Š Œ œœ " " " Partiendo del primer miemro, se tiene Š Š Œ œòš Š ÓÒŠ Œ Ó " " " " " " œ Œ Œ œ Œ " " Ejemplo 4 i) Š Œ " œ Œ " Œ " œ Œ " " ii) Š Œ " Œ œ Œ Œ œ Œ $ " " El ejemplo 4, nos sugiere la siguiente propiedad Propiedad 3 " " Œ œ Œ " œ! " " " Œ œš Œ Œ Œ Œ œ! " " " œœ Œ Œ Œ Œ "

5 Propiedad 4 " œœ Œ Œ Œ " $ $ " œœ Œ Œ Œ " % % " œœ Œ Œ Œ " " œ Œ Œ Œ Œ " " " " œ Œ Œ Œ œ Œ Œ œ Œ " " " " " Œ œ Œ < <" œ! " Œ œ " Œ pués Œ œ! cuando < < < < œ! œ< " Entonces vamos a demostrar por inducción que " Œ œ Œ < <" " " i) Para œ"ßse tiene " Œ œ Œ Í Œ œ Œ lo que es < <" " œ< verdadero. Note que < en éste caso no puede tomar otro valor que no sea 1. ii) Sea válido para ß con < luego se cumple œ< " " Œ œ Œ alþmþ < <" œ< Por demostrar para En efecto "ß o sea que + " " Œ œ Œ axþ < <" œ<

6 + " " " " " Œ œ " Œ Œ œ Œ Œ œ Œ Þ < < < <" < <" œ< œ<. $. Teorema del inomio Teorema. Sea ß y +ß, reales. Entonces, Por inducción. a+, œ " Š +, " œ! i) Para œ"ß a+, œ " " " +, Í +, œ " + " Œ a Œ Œ,! " que es verdadero. ii) Sea válido para Por demostrar para En efecto, œ! o sea se cumple que, a " +, œ Š +, alþmþ ", esto es œ! " " " a " " +, œ Œ +, axþ œ! " a+, œ a+, " Š +, œ! " " œ " Š +, " Š +, œ! œ! " " " " " œ+ " Š +, " Š +,, œ" œ! " " Ð"Ñ " œ+ " Š +, " Š +,, " œ" œ"

7 " " " œ+ " ÒŠ Š Ó+,, " œ" " " " " œ+ " Œ +,, " œ" " œ " Œ +, œ! " Propiedad 1) a+, œ" a" Š +, œ! 2) "Š œ! œ 1) a+, œò+a, Ó œ "Š + a, œ! œ "a" Š +, œ! 2) Eligiendo +œ,œ" se tiene a"" œ " Š " " Í" Š œ œ! œ!.4. Ejercicios Resueltos $ " * 1. En el desarrollo Ð Ñ Þ Hallar: $ a) El quinto términoþ & ) El término que contiene a Þ c) El término independiente de Þ Solución. El término de orden "ßen éste caso está dado por

8 X œ * $ * " * $ * " " Œ Ð Ñ Ð Ñ œ Œ Ð Ñ Ð Ñ ")$, a" $ $ Por tanto: * $ " a) El quinto término Ê"œ&Íœ%ÊX& œœ Ð ÑÐ Ñ % $ & % ' ) En a"ß se dee tener que ")$œ&íœ "$ lo que nos indica que no $ existe tal término pués no puede ser fraccionario. c) De igual forma que en ), se dee tener ")$œ!íœ' lo que en este caso si existe tal término que resulta ser X œ * $ $ " ' ( ( Œ Ð Ñ Ð Ñ œ ' $ ") 2. Encontrar el coeficiente de ßen Solución. Note que ˆ " a" " " " " " a" a" œ a" a" a" Deemos uscar el coeficiente de:, y en a" ß así " " " " " " El coef. de en a" es Œ ß el coef. de es Œ " y el de es " Œ Þ Por tanto el coeficiente de " " " resulta: Œ Œ Œ " < " 3. Si se encuentra en el desarrollo de Ð Ñ ß hallar su coeficiente. Solución. " " Como Ð Ñ œ " Š Ð Ñ œ " Š œ! œ! El exponente de tomará el valor cuando < œ < Í œ <

9 luego el coeficiente pedido resulta Œ ß solo hay solución si < es par o cero. < 4. Proar que los coeficientes de y en el desarrollo de a son: " " " y $ a " Þ Pruea. $ 4 4 ˆ œ " Š ˆ œ "" Š Œ 4 œ! œ! 4 œ ""Š Œ 4 œ! 4œ! Para otener el coeficiente de se dee tener 4œà 4Ÿesto es para: 4œ!ßœ y 4œ"ßœ" por tanto dicho coeficiente resulta ser 4 4œ! " Š Œ Š Œ œ! " " " " De igual manera para el coeficiente de 4œ!ßœ$ y 4œ"ßœ por tanto $ ß 4œ$à 4Ÿ esto es: $ " Š Œ Š Œ œ ˆ " $! " $ " ". Demuestre que Solución. " ˆ ˆ ˆ " " œ ˆ ˆ ˆ Œ! " " x a ˆ " xx " " a ˆ œ œ " x œ" " œ" a" xa" x œ" " " œa" "œ" œ a œœ œ" 6. Encuentre el valor de ß si Š œ"! Solución.

10 Por la propiedad simétrica ˆ ˆ " a œ œ œ"! Í!œ!Ê œ & y œ %, entre estas dos soluciones solo se considera œ &Þ " 7. Encuentre el término central de Œ " " Solución. Notemos que Œ " " séptimo es decir para œ' tiene 13 términos, luego el término central resulta el en X œ " Ð " Ñ œ " " por tanto X œ " " Œ Œ ( Œ '. Hállese la relación que dee existir entre < y ß para que los coeficientes de los términos de lugares $< y < en el desarrollo de a" ß sean iguales. Solución. En el desarrollo a!ˆ " œ ; el término de lugar $< es para œ! œ$<" y el término de lugar < es para œ<" luego se dee cumplir que ˆ ˆ ˆ Š ˆ œ Í œ œ Í$<"œ<" $<" <" $<" Ð$<"Ñ <" de donde œ<þ 9. Demuestre que " $ & a" Œ œ x Œ a x " $ " a a " œ œ xx xx " $ & a" % ' œ x x " $ & a" " $ œ x x

11 " $ & a" œ x 10. Demostrar para a ß " " a) " a œš Š Š " ) 1 Š Š Š œ " a " " c) " Š Š $ Š a" aš œ! " $ " " " " a) a" œ" Œ œ! " " " " a œ" Œ œ! " "x œ " a Ð"Ñxx œ! "x a x œ " " œ " Ò"Ð"ÑÓxÐ"Ñx ÐÑxx œ" œ" œ" Š œš Š Š " œ" ) " Š " ˆ œ Š œ " Š " a " Š a œ" œ" œ" œ" Para la primera sumatoria, haciendo œ" en la parte a) se otiene! ˆ œ " œ" Para la segunda sumatoria! a ˆ " " a Š " œ " œ a a" Œ œ" œ œ! "

12 Luego, remplazando en x œ "a a " a xx a œ! " a ax œ "a a " axx a œ! a x œ" a " œ" a " Œ a xax œ" a a resulta "Š œ a" œ" " œ! œ! " " " c) " a œ" Œ " œ" Œ " " œ! œ" "x a x œ " œ " axa" x axx œ" œ" œ " Š œ" " " " Haciendo œ " se tiene;!œ! ˆ " a" de donde œ" " ˆ ˆ $ ˆ " a" aˆ œ! " $ œ œ! œ! 11. Demostrar! ˆ! ˆ Se sae que! ˆ! ˆ! ˆ œ Í œ œ œ! œ! œ! 12. Usando la identidad a" œ a" a" ßdemuestre que ax Š Š Š œ! " a x

13 Como a " œ " Œ a el coeficiente de es Œ œ x a ax " œ! Por otra parte el coeficiente de en a a " Š " 4 " " œ Œ œ" " Š Œ 4 4 œ! 4œ! œ! 4œ! se otiene para œ4ß con y 4œ!ß"ßßÞÞÞß por tanto dicho coeficiente en este caso resulta Š Š Š a! " Como a" y a amos, son coeficientes de entonces ax Š Š Š œ! " a x Demostrar: a) 1Š Š Š œœ " " ) Š Š Š œš Š Š! % " $ & " " " " a) a" œ " œ " " œ " " Œ Œ Š a" " por otra parte a " 4 " œ Œ a 4 4œ! œ! œ" œ" multiplicando miemro a miemro a" y a resulta " " a œ"" Š Œ 4 œ" 4œ! " " Ahora, el coeficiente de en a" es 4" " " Œ œ Œ a$ "

14 en "" 4" Š Œ se otiene para 4"œ" Í 4œ 4 œ" 4œ! esto es: œ 4œ!à œ" 4œ"à ßœ" 4œ". luego dicho coeficiente es Š Š a" Š Š " Š Š! " " " " y por la propiedad simétrica Š Š a" Š Š " Š Š " " " " es decir: 1 Š Š Š a% " finalmente a$ y a% representan al mismo coeficiente, en este caso de " entonces 1Š Š Š œœ " " ) De inmediato Ò"Ð"ÑÓ œ" Š a" Í!œ" Š a" œ" œ" de aquí: Š Š Š Š Š œ! " $ % & finalmente Š Š Š œš Š Š! % " $ & 14. Proar que: Š $ Š & Š œ Š % Š ' Š œ " $ & % ' Pruea. Previo estaleceremos que: " W œš Š $ Š a" Š œ!ßpara lo cuál " $ " " " W œ " a" Š œ " a" Œ œ " Œ a" " " " œ" œ" œ! œò"a"ó " œ!ß por tanto

15 Š $ Š & Š œ Š % Š ' Š œeß " $ & % ' y de aquí: Š Š $ Š % Š œepero saemos que " $ % Š Š Š Š " " $ œ Š œ Ðejercicio 10) " $ entonces Eœ, luego Š $ Š & Š œ Š % Š ' Š œ " $ & % ' œ" 1. Demuestre que: " " " "" " Œ Œ a "" 3 œ " œ $ Š 3 4 3œ! 4œ" œ" 3œ! " " " " "" Œ Œ " Œ " " œ Œ œ Ò" Œ Š Ó ! 3œ! 4œ" 3œ! 4œ" 4œ! " œ a " " "" 3 $ " " Š " Š " $ œ Ð Ñ œ Ö Š $ " Š $" œ" 3œ! œ" œ" œ" " " " œ Ö a"$ "Ð "Ñ œ Ð% Ñœ a " 16. Demuestre que: Š Š Š a a a Š $ " œ " x! " xa" x Notemos que Š Š Š a Š $ " œ! "

16 Š Š $ Š Š ÒŠ Š Š Ó " $! " " œœ Œ Oservemos que se han ocupado los resultados de los prolemas 13. a) y Demuestre que el coeficiente del término central de a" ßes igual a la suma de los coeficientes de los dos términos centrales de a" " El término central de a" se otiene para œê Œ es el coef. del término central. Analogamente en a" " los términos centrales se otienen para œ " " œ" y para œ " " œßcon lo que sus coeficientes son respectívamente: Œ " y Œ " luego Œ " + Œ " œ Œ Þ " " 1. Demostrar que: " a) "a" Š œ a" Ò"a" Ó œ! " ) "a " Š & œ ' a"! ' œ! a) " a" Š œ" Š " Š œ! œ! œ! " œ " Œ a" " œ" " " œ" Œ a" œ! "

17 " œ" a a" " œ a" Ò"a" Ó ) " a " Š & œ " a " Š & " Š & œ! œ! œ! Para la primera sumatoria se hace œ&ßen el resultado de la parte a) " " œ' a&' " Œ & " œ" " " " " œ' a&' " Œ & œ! " " " œ' a&' & a"& œ' a"!' 19. Demostrar que "a+. Š œ a+. œ! " a Š " Š " " +. œ+. Š œ+.ò" Œ Ó " " œ! œ! œ! œ" " " " " œ+." Œ œ+. œ a+. " œ! 20. Demuestre que Š Š a Š Š Š Š œ x! " " " a" xa" x 3 3 a" a" œ" Š " Š œ" " Š Š 3 3 œ! 3œ! œ! 3œ! 3 a" œ ""Š Š àen esta expresión por una parte el 3 œ! 3œ!

18 " coeficiente de es Œ ß por otra parte el mismo coeficiente se otiene " para 3œ" Í 3œ" lo que se dá para los siguientes casos de 3 y À œ! 3œ"ß œ" 3œßÞÞÞÞß œ" 3œ de donde resulta queßéste coeficiente es Š Š Š Š Š Š! " " " como amos números son el coeficiente de ", entonces deen ser iguales, así Š Š a Š Š Š Š œ x! " " " a" xa" x 21. Demuestre que " " " " Š œ a" a œ! " xa" a a " " Š œ " a axxa" a" a œ! œ! " œ " a" a " Œ a œ! œ œ œ " a" a " Œ a Œ œ! " a" a " Œ a " Œ œ! œ! " " a" a " Œ a " Œ " œ! œ! " " " œ a" a a " Œ " Œ œ" œ " œ " a" a a ˆ " Œ Œ "! " " œ Ò "Ó a" a

19 22. Demuestre que % % % % Œ Œ Œ Œ Œ Œ œ%! " Usando la identidad [ a" "Ó œ a se tiene % [ a" "Ó œ " Œ a" a" œ! % œ " a" Œ " Œ % 4 œ! Para otener el coeficiente de ß se dee tener 4 œ con lo que resulta % "a" Œ Œ œœ Œ % Œ Œ %! " œ! note que ŸÞ 4œ! 4 Por otra parte el coeficiente de ß en [ a" "Ó œ a œ " ß se otiene para 4 œ! y esto dá Œ Œ œ % 4! 4œ! 4 4 Por tanto % % % % Œ Œ Œ Œ Œ Œ œ%! ".. Ejercicios Propuestos "Þ Sinplificar: x ˆ " $ % $ a) ) c) Ð "Ñx ˆ Œ Œ Œ $

20 ˆ " <" d) e) ˆ < a" xa" x x " a%x " " $ ax % <" a) ) a" c) d) e) " 2. En el desarrollo $ $ È * Determine: a) El séptimo término. ) El término que contiene a (. c) La suma de los coeficientes de los dos términos centrales. &'( "%( a) ) No existe. c) "' "' 3. Determinar el coeficiente de "& en el desarrollo )$Þ& $ * Œ$ ' 4. Encuentre el término independiente de en los desarrollos: $ $ & (!! a) Œ " ) Œ " Œ " c) a" Œ" a) a " a$x ) 0 c) x ax )!" ". Encuentre el coeficiente de en el desarrollo de a" Œ" "

21 ax a " x Ð "Ñx 6. Determine el valor de si los coeficientes de y de " en el desarrollo a$ "* son iguales. œ"" 7. Encuentre el coeficiente de % en: & a) a" a" ) a" a" a) & ) " a" a a( %. Encuentre el coeficiente de en el desarrollo Œ Œ " 9. Encuentre el término central en el desarrollo Œ Œ " 10. Demuestre que el término independiente de en el desarrollo de esta dado por Œ " Œ" a" < 11. Encuentre el coeficiente de en: a) a" a" ) a" a"

22 xa<" a x a) ) <xa<1x <xa< x 12. Demuestre que: a) Š $ Š $ Š Š œœ $ " $ 3 3 ) "" Œ 4 3œ! 4œ! " œ " ( 13. Si a$ œ+ ++ +ßentonces! " + " "$ œ + y de aquí demuestre que: +! + " + + $ y + % + & + ' + ( 14. Calcular el valor de +ß + à tal que la suma de los coeficientes centrales sea igual al término independiente de, en +œ É " "" " Š + * 1. Determine el coeficiente de en el desarrollo "(%)Þ 16. Demuestre que 17. Demostrar que a" Œ" " " " " " " Š Š Š Š œ " 1! " $ " " "ˆ " " "%% % Š œ a& $ œ" %

23 1. Determine el valor de ß para que los términos de los desarrollos Œ " y $ Œ " sean igualesþ œ% " 19. Pruee que el producto de los primeros números impares es Œ Œ x 20. Demostrar a7ß que Š 7 Š 7 a Š 7 Œ 7 Š 7 Š 7 œ 7 x! " " 7 7 a7xa7x 21. Demostrar que " Š Š a" Š œ $ " a! " 22. Pruee que " " Š Š $ Š a" Š œ"a " $ % 23. Encuentre el valor de % a " % % % Š È Š È 24. Sean 7ß y < números naturales tales que: < Ÿ 7 y < Ÿ Þ Ocupe la identidad 7 7 a" a" œ a" para proar que Š 7 Š Š 7 Š Š 7 Š Š 7 Š œœ 7 <! <" " <! < < 2. Demuestre que 26. Demuestre que " " " Œ Œ œ a" a%( " œ

24 " " Š Š " Š a" " Š œ " "! " $ " " 27. Proar que Š Š a Š Š Š Š Š Š œ x! " $ % a xa x 2. Demuestre que "a" Œ œa" Œ œ! Sugerencia:determine el coeficiente de identidad y luego iguale. a" a" œ a" en cada uno de los miemros de la 29. Si el término del centro del desarrollo de a" es el mayor término, proar que: " " " " " 30. Sea a" a" œg! GG " y si GßGßG! " están en TÞEÞentonces hay sólo dos valores posiles para ß encuéntrelos. œ œ$ 31. Considerando el desarrollo demuestre i) + œ + " ii)! + œ $ + œ! œ! a" œ! +