ECUACIONES INTEGRALES LINEALES

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1 ECUACIONES INTEGRALES LINEALES José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colomia. Aril Una vez más pongo en el cierespacio para compartir con mis amigos ciernautas mis notas de clase con las cuales creo firmemente que cumplo con mi propósito de llevarles asignaturas que contriuyan en la formación del matemático virtual y con el contenido estoy siendo fiel a mi propósito inicial de un aprendizaje por medios virtuales. CONTENIDO PROLOGO 1. INTRODUCCIÓN Y PRELIMINARES 1.1. Ecuaciones integrales de primera especie Ecuación de Ael Ecuación integral de segunda especie Prolema que lleva a ecuaciones integrales Reducción de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales Ejercicios. 2. TEORIA CUALITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES Método de los determinantes de Fredholm Núcleos iterados Ejercicios. 3. TEORIA CUANTITATIVA. ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO DEGENERADO Ecuaciones de Fredholm Ecuaciones de Hammerstein Raíces características y funciones propias Ejercicios. 4. TEORIA CUALITATIVA PARA LAS FUNCIONES INTEGRALES Conceptos Fundamentales Operadores integrales de Fredholm Ecuaciones de núcleo simétrico..5. ALTERNATIVA DE FREDHOLM

2 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales Caso de las ecuaciones integrales Teoremas de Fredholm. Caso de los núcleos degenerados Teoremas de Fredholm para ecuaciones de núcleo no degenerado Demostración de los Teoremas de Fredholm Ejercicios. BIBLIOGRAFIA. P R Ó L O G O Al igual que el estudio de la geometría en nuestro país el estudio de las ecuaciones integrales presenta un gran desinterés dentro de nuestro medio matemático no ostante su notale aplicación especialmente en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales. Alguna vez el Dr. Yu Takeuchi me invitó a estudiar algunos planteamientos sore el prolema de Dirichlet; entonces sentí una sensación que me llevaa a una ampliación sore la teoría de integración y en especial sore las ecuaciones integrales y me dije; en los distintos coloquios en los cuales he participado nunca mencionan esta gigantesca rama del análisis funcional ésta es la razón que me lleva a presentar en un coloquio estas notas de clase con el ánimo de extender lo que ya haía hecho en otros coloquios relativa a las ecuaciones diferenciales y en la misma dirección divulgativa. Quiero enfocar estas notas como una herramienta para traajar en dirección a los operadores de Fredholm y en particular mostrar la famosa Alternativa de Fredholm tópico del cual tengo algunos resultados generalizados hacia operadores monótonos y de los cuales ya he hecho algunas notas divulgativas en el Boletín de Matemáticas del año Estas notas constan de 5 parágrafos; el primero está dedicado a la presentación de la teoría con su motivación historica; los dos parágrafos siguientes los dedico al estudio cuantitativo de las ecuaciones integrales lineales y los dos últimos a la parte cualitativa de la teoría finalizando con un reve estudio de los operadores integrales punto de contacto con el análisis espectral. Para el lenguaje he usado la palara degenerado en lugar de separale y no degenerado en lugar de inseparale pues históricamente Fredholm usaa este lenguaje.

3 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 3 1. INTRODUCCIÓN Y PRELIMINARES. Dada una función continua a tramos y de orden exponencial 0aB entonces podemos halar de su transformada de Laplace la cual está dada por _ P0 a œ / => 0> a.>œj a= Ahora ien si conocemos la transformada de Laplace J a = de una función y deseamos recuperar la función la hallamos mediante la transformada inversa de Laplace usando la fórmula de inversión < 3 _ =B < 3 _ 0aB œ / J a=.=. En el caso de transformada de Fourier para la función 0aBestá dada por 0aB œ 1 0 /[email protected] _ _ la cual puede escriirse en la forma donde _ È 1 _ 3AB 0aB œ -aa /.A _ È 1 _ 3A@ -A a œ 0@/ a.@. llamada transformada inversa de Fourier de manera de recuperar a la función dada. 0aB y nos rinda una Estas fórmulas de inversión son exactamente ecuaciones integrales y como en el álgera la resolución de una ecuación es un proceso de inversión. Por otra parte la fórmula integral de Poisson muy conocida al estudiar el potencial dada por donde? a<ß ) œ T a> )? aß >.> T <a> œ < < 1 < cos > <

4 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 4 es una de las ecuaciones integrales más conocidas Ecuaciones integrales de primera especie. Una ecuación de la forma OaBß > 9a>.> œ 0aB aþþ es llamada Ecuación integral lineal de primera especie. Las funciones OBß>ß0B a a son conocidas lo mismo que los límites y son números dados. El ojeto del prolema es la determinación de la función desconocida 9a> la cual dee tener por dominio al intervalo cerrado ÒßÓ. La función OBß> a es universalmente conocida como el núcleo de la ecuación integral. Un caso especial se presenta cuando el límite superior es la variale independiente B y el límite inferior es cero en ese caso la integral B OaBß > 9a>.> œ 0aBß 0 a œ aþþ es conocida como ecuación integral de Volterra. En el caso de esta ecuación de Volterra se otienen hechos interesantes `OaBß> w suponiendo que OBß>ß a `B ß0B a y 0aB son funciones continuas en una región H œöðbß>ñîÿbÿßÿ>ÿb y derivando la ecuación de Volterra con respecto a B se otiene B `OaBß> `B OaBß B9aB 9a>.> œ 0 ab aþþ$ Nótese que cualquier solución 9aB de la ecuación aþþ es solución de su ecuación derivada aþþ$ y tamién se tiene la validez de la recíproca esto es cualquier solución 9aB continua en ŸBŸ de la ecuación aþþ$ satisface tamién a la ecuación de Volterra aþþ. Esta nota nos rinda un método para la determinación de la solución 9aB de la ecuación de Volterra aþþ y a modo de ejemplo consideremos la ecuación integral siguiente: B B > / 9a>.> œ sinb. w Las funciones 0B a œsin BßOBß> a œ/ teniéndose las condiciones deseadas. B > son continuas y derivales

5 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 5 Derivando amos miemros con respecto a B se otiene de donde / B B 9aB `/ B B B > B > 9a `B >.> œ cos B 9aB / 9a>.> œ cos B Aplicando la transformada de Laplace se tiene B Pa9 ab PŠ / B > 9a>.> œ Pacos B B = = Pa9aB P a/ Pa9aB œ = = = Pa9aB Pa9aB œ Pa9aBˆ œ Ê Pa9aB œ = = = = = = 9a ˆ = B œ P œ P ˆ = P ˆ œ cos B sin B = = = 1.2. Ecuación de Ael. Presentamos el planteamiento histórico de esta ecuación. Una partícula puntual se mueve ajo la acción de la fuerza de la gravedad y descrie una curva suave en un plano vertical. Se pide determinar esta curva de modo que la partícula puntual que comienza su movimiento sin velocidad inicial en un punto de la curva cuya ordenada es B luego alcance el eje 0 al cao de un tiempo > œ 0 ab donde 0 abes una función dada. La velocidad del punto en movimiento está dada È1B a ( sin donde es el ángulo de inclinación de la tangente respecto al eje 0.

6 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 6 Entonces tenemos De aquí que. (.> œ È1aB ( sin.> œ.( È1aB ( sin. Integrando desde hasta B y denotando con 9( a œ sin Se otiene la ecuación de Ael B 9( a. ( È B ( œ È 10 a B. Designando con 0aB œ 10 ab se otiene definitivamente È B 9( a. ( ÈB ( œ0ab donde 9aB es la función incógnita y 0aBes una función dada. Hallando 9( a se puede escriir la ecuación de la curva deseada. En efecto Ahora sin 9( a œ Ê ( œ 9 a

7 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 7 de donde.( F a. tan tan. 0 œ œ F w a. tan 0 œ œ F a y por consiguiente la curva uscada se determina por la ecuación paramétrica 0 œ F a œ ( œ F a De este modo el prolema de Ael se reduce a la resolución de una ecuación integral del tipo B 0aB œ OaBß> 9a>.> Ecuaciones integrales de segunda especie. La ecuación integral 9aB œ OaBß> 9a>.> 0aB donde 0aB y OaBß> son funciones dadas y 9aB es la función que deemos encontrar las variales B y > recorren aquí un intervalo prefijado Òß Ó ; es llamada ecuación integral de segunda especie. La particularidad de la ecuación 9aB œ OaBß> 9a>.> 0aB es la linealidad en el sentido de que la función incógnita 9aB entra en ella de modo lineal. Sin emargo muchos prolemas conducen a la necesidad de considerar tamién ecuaciones integrales no lineales como es el caso de la integral 9aB œ OaBß> 1 a9a > ß>.> conocida como ecuación de Hammertein donde como de costumre O y 1 son funciones dadas. No ostante ello nos limitaremos en lo sucesivo a las ecuaciones integrales lineales.

8 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 8 Algunas ecuaciones integrales fueron estudiadas ya al principio del siglo XIX. Por ejemplo Ael consideró en 1823 la ecuación que lleva ahora su nomre B 9a > ab > 0aB œ.> a ß 0 a œ donde 0 es una función dada y 9 es la función incógnita la teoría general de ecuaciones integrales lineales fue elaorada sólo en el límite de los siglos XIX y XX en las oras fundamentales de Volterra de Fredholm y de Hilert. Justamente la ecuación 9aB œ OaBß> 9a>.> 0aB es llamada Ecuación de Fredholm de segunda especie mientras que la ecuación OBß> a 9a >.> 0> aœ (donde la función incógnita figura solo ajo el signo integral) se llama ecuación de Fredholm de primera especie. La ecuación de Ael mencionada anteriormente pertence a las así llamadas Ecuaciones de Volterra ya mencionadas en. La ecuación de Volterra puede ser considerada como una ecuación de Fredholm en la que la función O verifica la condición OBß> a œ para > B Sin emargo conviene destacar las ecuaciones de tipo Volterra como una clase especial ya que ellas poseen una serie de propiedades que no tienen lugar para ecuaciones aritrarias de Fredholm. Si en las ecuaciones 9aB œ O a=ß> 9a>.> 0aB ó OBß> a 9a>.> 0B a œ B OBß> a 9a>.>œ0B a

9 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 9 la función 0aB es igual a cero entonces estas ecuaciones se llaman homogéneas. En el caso contrario la ecuación se llama no homogénea Prolemas que llevan a ecuaciones integradas. A. Equilirio de una cuerda cargada. Consideremos una cuerda esto es un hilo material de longitud 6ß que flexiona liremente pero ofrece una resistencia a la dilatación proporcional a la magnitud de ésta. Manteniendo fijos los extremos de la cuerda en los puntos Bœ y Bœ6. Entonces en la posición de equilirio la cuerda coincide con el segmento B 6del eje B. Supongamos ahora que en el punto Bœ0 se ha aplicado una fuerza vertical TœT 0. Bajo el efecto de esta fuerza la cuerda tomaría evidentemente la forma querada indicada en la figura. Busquemos la magnitud $ de la flecha de la cuerda (máxima elongación de resistencia de la cuerda) en el punto 0 de su posición de equilirio ajo la acción de la fuerza T 0 aplicada en este punto. Si la magnitud de la fuerza T0 es pequeña en comparación con la tensión X de la cuerda sin carga podemos aceptar que la tensión de la cuerda cargada sigue siendo X. Entonces de la condición de equilirio de la cuerda encontramos la igualdad siguiente: $ $ T0a $ X 6 X X œ T de donde œ. Sea ahora?b a la flecha de la cuerda en el punto Bajo la acción de la fuerza T. Tenemos? ab œ T KaBß0 donde 0 0 Ú KBß a 0 œû Ü B6 a 0 X6 a6 B0 X6 para para ŸBŸ0 0 ŸBŸ6 En particular de estas fórmulas se ve inmediatamente que KBß a 0 œka0 ßB. Supongamos ahora que sore la cuerda actúa una fuerza distriuida continuamente a lo largo de la cuerda con densidad T a 0. Si esta fuerza es pequeña la deformación otra vez dependerá linealmente de la fuerza

10 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 10 entre 0 y 0?0; es aproximadamente Ta 0? Ð0Ñy la forma de la cuerda cargada de este modo por el principio de superposición será descrita mediante la función 6? ab œ KaBß 0T a0. 0 aþ%þ Luego si está dada la carga que actúa sore la cuerda la fórmula aþ%þ permite encontrar la forma que toma la cuerda ajo la acción de la carga. Consideremos ahora el prolema recíproco. Hallar la distriución de la carga T ajo la cual la cuerda toma la forma prefijada? ab. Para encontrar la función T a partir de la función dada? ab otenemos una ecuación que coincide salvo notaciones con la ecuación OBß> a 9a>.> 0B a œ es decir una ecuación de Fredholm de primera especie. B. Oscilaciones lires y forzadas de una cuerda. Supongamos ahora que la cuerda no se encuentra en reposo y realiza ciertas oscilaciones. Sea?Bß> a la posición en el momento > de aquel punto de la cuerda cuya ascisa es B y sea 3 la densidad lineal de la cuerda. Entonces sore un elemento de la cuerda de longitud.b actúa una fuerza de inercia igual a `?Bß> a `? a0ß> 3.B de donde Ta 0 œ 3. `> `> Tomando aþ%þ y sustituyendo T a0 se recie que 6 `? a0ß> `>? abß > œ KaBß aþ%þ Supongamos que la cuerda realiza oscilaciones armónicas de una frecuencia prefijada A y de una amplitud? ab que depende de B. En otras palaras sea?bß> a œ?b a sin A>. Introduciendo esta expresión en aþ%þ y dividiendo amos miemros de la igualdad por sin A> otenemos la siguente ecuación integral para?: 6?B a œ3a KBß a 0? a0. 0. Si la cuerda no oscila liremente sino ajo la acción de la fuerza exterior se realizan oscilaciones forzadas es fácil comproar que la

11 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 11 correspondente ecuación de las oscilaciones armónicas de la cuerda es de la forma 6?B a œ3a KBß a 0? a0. 0 0B a es decir se representa una ecuación no homogénea de Fredholm de segunda especie Reducción de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales. La solución de una u otra ecuación diferencial conviene reducirla en varios casos a la solución de una ecuación integral. Por ejemplo la demostración de la existencia y unicidad de la solución del prolema de Cauchy w C œ 0aBßC œ CB a œc por el método de Piccard se reduce a la ecuación integral no lineal siguiente B CœC 0a0ßC. 0. B Las ecuaciones de orden superior en principio tamién pueden ser reducidas a una ecuación integral. Consideremos por ejemplo la ww ecuación de segundo orden C 0aBC œ. Tomando en particular 0aB œ 3 5aB donde 3 es constante podemos transformarla en la forma ww C 3 C œ 5aBC aþ&þ Como se sae la solución de la ecuación representada en la forma ww C 3 C œ 1aB puede ser B 3 CB a œcos 3aB sin 3aB 01 a0. 0. Luego la solución de ecuación ecuación integral aþ&þ se reduce a la solución de la CB a 3 50 asin 3aB 0C a 0. 0œcos 3aB. B

12 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales EJERCICIOS. Resolver las siguientes ecuaciones integrales de primera especie reduciéndolas previamente a ecuaciones integrales de segunda especie: B Þ $ B > 9a >.> œ B B Þ B > 9a >.>œ0abß 0 a œ B B $Þ a B > 9a>.> œ B %Þ a B > 9a> œ B B BÎ &Þ sinab > 9a>.> œ /. ww Þ Demuestre que la solución de la ecuación C 3 C œ 5aBC es CB a 3 50 asin3ab 0C a 0. 0œcos3aB. B 2. TEORIA CUANTITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES. Dedicamos este parágrafo a indicar metodologias conducentes a la determinación de la solución de ecuaciones integrales según la forma que tenga su núcleo y esto lo iniciamos considerando técnicas dadas por Fredholm las cuales consisten en transformar las ecuaciones integrales a ecuaciones del algera lineal Método de los determinantes de Fredholm. La solución de la ecuación de Fredholm de segunda especie 9aB - OaBß > 9a>.> œ 0aB aþþ viene dada por la fórmula de inversión siguiente: aþþ 9aB œ 0aB - VaBß>à-0 a>.> donde la función VBß>à a -es llamada resolvente de Fredholm de la ecuación aþþ y viene dada por la igualdad

13 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 13 HBß>à a - Ha- VaBß >à - œ aþþ$ con la condición de que Ha- Á. Aquí HaBß>à- y Ha- son series de potencias de -: _ a 8 8x 8 8œ HaBß>à œoabß> 8 - F abß> - aþþ% _ a 8 8x 8 8 8œ Ha- œ G - aþþ& cuyos coeficientes se determinan por las fórmulas OBß> a OBß> a â OBß> a 8 O>ß> O>ß> â O>ß> 8 F8 abß> œ â a a a ðñò.> â.> 8 aþ Þ ã ã ä ã 8 -@/-/= âo>ß> a 8 O>ß> a 8 â O>ß> a 8 8â siendo FaBß> œ OaBß> O>ß> a O>ß> a â O>ß> a 8 O>ß> O>ß> â O>ß> G8 œ â a a a 8.> â.> 8 ÞÞ( a ã ã ä ã âo>ß> a 8 O>ß> a 8 â O>ß> a 8 8â La función HBß>à a -se llama menor de Fredholm y Ha- determinante de Fredholm. En el caso en que el núcleo OBß> a sea acotado o que la integral O abß >.B.> tenga un valor finito las series aþþ% y aþþ& serán convergentes para todos los valores de - y por lo tanto serán funciones analíticas enteras de -. La resolvente VBß>à a - œ HBß>à a - Ha- es una función analítica de - a excepción de los valores de - que anulan la función Ha-. Los últimos son polos de la resolvente VaBß>à-. EJEMPLO. Hallar mediante los determinantes de Fredholm la resolvente > del núcleo OaBß > œ B/ à œ ß œ. Solución: Tenemos F abß> œ B/. A continuación >

14 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 14 > > B/ B/ F abß> œ.> œ º > > >/ >/ º > > > B/ B/ B/ F abß> œ > > > >/ >/ >/.>.> œ > > â>/ >/ >/ â > puesto que los determinantes ajo el signo integral son iguales a cero. Es evidente que tamién todas las ulteriores F8aBß> œ. Hallamos los coeficientes : G 8 G œ O > ß>.> œ > a > /.> œ > > >/ >/ G œ.>.> œ º > > >/ >/ º Es evidente tamién que todos los siguientes aþþ% y aþþ& en nuestro caso tenemos De este modo HaBß>à- œoabß> œb/ à Ha- œ -. HBß>à a - > B/ H a- - VBß>à a - œ œ >. G8 œ. Según las fórmulas Apliquemos el resultado otenido a la solución de la ecuación integral Según la fórmula aþþ > 9aB - B/ 9a>.> œ 0aB a- Á. > B/ - 9aB œ 0aB - 0 a>.>. En particular para B 0aB œ / se otiene B - - 9aB œ / B El cálculo de los coeficientes F8aBß > y G 8 de las ecuaciones aþþ% y aþþ& por las fórmulas aþþ y aþþ( es prácticamente posile sólo en casos muy raros pero de estas fórmulas se otienen las siguientes relaciones de recurrencia

15 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 15 F abß> œg OaBß> 8 OaBß= F a=ß>.= aþþ) G œ F a=ß =.= aþþ* 8 8 Saiendo que los coeficientes G œ y FaBß> œ OaBß> por las fórmulas aþþ* y aþþ) se hallan sucesivamente G ß F abß > ß G ß F abß > ß G ß etc. $ EJEMPLO. Hallar aplicando las fórmulas aþþ) y aþþ* la resolvente del núcleo OaBß> œb > donde ŸBŸß Ÿ>Ÿ. Solución: Tenemos G œ ß FaBß > œ B >. Aplicando la fórmula aþþ* se halla G œ a =.= œ Por la fórmula aþþ) se otiene B > F abß> œ ab = a= >.=œ B > B> $ Ahora tenemos G œ ˆ = =.= œ Por consiguiente:. $ $ F œ ab > ab = ˆ = > =>.=œ $ $ G$ œ G% œ â œ ß F$ abß> œ F% abß> œ â œ Ha œ a - 8 G G - œ G - - œ - - 8œ 8 8x 8 a 8 8x 8 8œ HaBß>à œoabß> 8 - F abß> - œab > F abß> - œb > ˆ B > B> La resolvente del núcleo dado será $ -.. HBß>à a - Ha- VBß>à a - œ œ B > ˆ B > B> $ - - -

16 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales Núcleos iteradosþ Sea dada la ecuación integral de Fredholm 9aB - OaBß > 9a>.> œ 0aB aþþ Como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias la ecuación integral aþþ puede resolverse por el método de las aproximaciones sucesivas. Para esto hagamos donde Aquí < 8 ab y en general _ 9 a a 8 B œ 0 B < ab - aþþ 8œ 8 se determina mediante las fórmulas ab œ OaBß> 0 a>.> < < ab œ OaBß> < a>.>œ O abß> 0 a>.> < ab œ OaBß> < a>.>œ O abß> 0 a>.> $ $ O abß> œ OaBßDO adß>.d O abß> œ OaBßDO adß>.d $ O abß > œ OaBß DO adß >.D aþþ$ œ ß $ß á siendo O Bß > œ a OaBß >. Las funciones O8aBß > que se determinan mediante las fórmulas aþþ$ se llaman nucleos iterados. Para éstas es válida la fórmula O abß > œ O abß = O a=ß >.= aþþ% donde 7 es un número natural cualquiera menor que 8.

17 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 17 La resolvente de la ecuación integral aþþ se determina a partir de los núcleos iterados por la fórmula _ VaBß >à œ 8 - O abß > - aþþ& 8œ 8 La serie del segundo miemro se llama Serie de Neumann del núcleo. Esta converge para l- l donde F œ É O abß >.B.>. aþþ F La solución de la ecuación de Fredholm de segunda especie expresa por la fórmula de inversión aþþ se 9aB œ 0aB - VaBß >à -0 a>.> aþþ( La cota aþþ es esencial para la convergencia de la serie aþþ&. Sin emargo la solución de la ecuación aþþ puede tamién existir para valores de - tales que l-l F. Veamos un ejemplo consideremos 9aB - 9a>.> œ aþþ) Aquí OBß> a œ y por lo tanto F œ O abß >.B.> œ.b.> œ. De este modo la condición aþþ da que la serie aþþ& converge para l- l. Resolviendo la ecuación aþþ) como ecuación con núcleo degenerado o separale (ver 3) se otiene a -G œ donde Gœ 9a >.>. Esta ecuación no es solule para - œ lo que significa que para - œ la ecuación integral aþþ) no tiene solución. De aquí se deduce que en un círculo de radio mayor que la unidad las aproximaciones sucesivas para la ecuación aþþ) no pueden converger. Sin emargo para l-l la ecuación aþþ) es solule. En efecto si - Á la ecuación 9aB œ es solución de la ecuación dada lo cual es fácilmente comproale por verificación directa. Dados dos núcleos OaBß> y PaBß> diremos que ellos son ortogonales si se cumplen las dos condiciones siguientes: OaBßDPaDß>.D œß PaBßDOaDß>.D œ aþþ*

18 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 18 para cualesquiera valores admisiles de B y de >. EJEMPLO. Los núcleos OBß> a œb> y PBß> a œb> son ortogonales en Ò ßÓ. En efecto $ abdad >.D œ B> D.D œ $ ab D ad>.d œ B > D.D œ Existen núcleos que son ortogonales a sí mismos. Para tales núcleos O abß> œ donde O abß> es el segundo núcleo iterado. En este caso evidentemente todos los núcleos iterados susiguientes son tamién iguales a cero y la resolvente coincide con el núcleo OBß> a. EJEMPLO. OaBß> œsin ab >à Ÿ>Ÿ 1ß Ÿ>Ÿ 1. Tenemos sin ab Dsin ad >.D œ Òcos ab > $D cos ab > DÓ.D œ sin ab > $D sin ab > D ¹ œ. $ Dœ 1 De este modo en este caso la resolvente del núcleo es igual al propio núcleo VBß>à a - œ sin ab > de manera que la serie de Neumann aþþ& está formada por un solo término y evidentemente converge para cualquier -. Dœ Los núcleos iterados O8aBß> dado OBß> a por la fórmula pueden expresarse directamente del núcleo O abß> œ â OaBß= O a= ß= áo a= ß>.=.= á.= aþþ 8 8 8

19 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 19 Todos los núcleos iterados O8 abß> a partir de O abß> serán funciones continuas en el cuadrado ŸBŸ Ÿ>Ÿ si el número inicial OaBß> es de cuadrado sumale en dicho cuadrado. Damos algunos ejemplos para la determinación de núcleos iterados. EJEMPLO 1. Hallar los núcleos iterados para OaBß > œ B > si œ ß œ. Solución. Aplicando la fórmula aþþ se halla sucesivamente O abß> œb >ß O abß> œ B > ab = a= >.=œ B> $ $ = > B > $ O abß> œ ab = Š =>.=œ % = > B > $ O abß > œ ab =.= œ O abß > œ Š B> & = > B > $ $ O abß> œ ab = Š =>.=œ O abß> œ O abß> œ ab = a= >.= œ œ Š B> O abß> B > $ De aquí se deduce que los núcleos iterados tienen la forma a 8 œ 5 O abß> œ ab > para 5 a 5 a a para 8 œ 5 O5 œ Š B> 5 5 donde 5 œ ß ß $ß á EJEMPLO 2. Hallar los núcleos iterados O abß> y O abß> si œ ß œ y B >ß si ŸB > OBß> a œœ B >ß si > BŸ Solución. Tenemos que OaBß> œ OaBß> donde 5 B > O abß> œ OaBß= O a=ß>.= $

20 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 20 B =ß ŸB = = >ß Ÿ= > OBß= a œœ O=ß> a œ B =ß = BŸ œ = >ß > =Ÿ Como el núcleo dado OaBß> no es simétrico al hallar O abß> consideramos dos casos: a B > y a B >. a Sea B >. Entonces O abß> œm M M $ donde $ M œ a B = a = >.= œ B B B > > $ $ M œ a B = a = > &> &B $ $.= œ B> B > B $ M œ a B = a = >.=œ B> > B> B > $ > $ Sumando estas integrales se otiene O abß > œ > B B > B> B> ab > a Sea B >. Entonces O $ $ B > $ $ abþ> œm M M $ donde > $ M œ a B = a $ &> = >.= œ B> B $ $ M œ a B > B > B> B = a = >.= œ > M œ a B = a = > $.= œ B B > B> & $ B > $ B $.

21 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 21 Sumando estas integrales otenemos O abß> œ B > B > B> B> ß ab >. $ $ B > $ $ De este modo el segundo núcleo iterado tiene la forma O abß> œ $ $ B > $ B > B > B> B> $ ß B > $ $ B > B > B > B> B> ß > BŸ $ $ Análogamente se hallan los núcleos iterados restantes O8aBß> a8 œ $ß %ß á. Citemos ahora un ejemplo de construcción de la resolvente de una ecuación integral mediante los núcleos iterados. Consideramos la ecuación integral aþþ 9aB - B> 9a>.> œ 0aB Aquí OaBß > œ B>à œ ß œ sucesivamente se halla: O abß> œ B> O abß> œ abdad>.d œ B> $ B> $ $ O$ abß> œ abdad>.d œ âââââ B> O abß> œ 8 $ 8 Según la fórmula aþþ& para la resultante se tiene _ VaBß>à œ 8 - O abß> - œb> ˆ œ - 8 $B> $ $ donde l-l $. _ 8 8œ 8œ En virtud de la fórmula se escrie en la forma aþþ( la solución de la ecuación integral aþþ 9aB œ 0aB -.> $B> $ - $B $ - En particular para 0aB œbse otiene 9aB œ donde - Á$.

22 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 22 Si QaBß> y RaBß> son dos núcleos ortogonales la resolvente VaBß>à- correspondiente al núcleo OaBß> œqabß> RaBß> es igual a la suma de las resolventes V abß>à- y V abß>à- que corresponden a cada núcleo. EJEMPLO. Hallar la resolvente del núcleo OaBß > œ B> B > ß œ ß œ. Solución. Como ha sido demostrado anteriormente los núcleos QaBß> œb> y RaBß> œb > son ortogonales en Ò ßÓ. Por esto la resolvente del núcleo OBß> a es igual a la suma de las resolventes de los núcleos QaBß> y RaBß>. Aplicando resultados conocidos se halla donde l l. V abß>à- œv abß>à- V abß>à- œ O Q R $ - $B> &B > $ - & - La propiedad que acaamos de indicar se puede generalizar a cualquier número finito de núcleos. a a a 8 Si los núcleos Q abß> ßQ abß> ßáßQ abß> son ortogonales dos a dos la resolvente que corresponde a su suma 8 OaBß > œ a7 Q abß > aþþ 7œ es igual a la suma de las resolventes correspondientes a cada sumando. Llamaremos 8-ésima traza del núcleo OaBß> a la magnitud E œ O abß B.B a8 œ ß ß á aþþ$ 8 8 donde O8aBß> es el 8-ésimo núcleo iterado para el núcleo OaBß>. Para el determinante Ha- de Fredholm tiene lugar la siguiente fórmula: H w a- Ha _ - œ E 8-8 a ÞÞ% 8œ

23 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 23 El radio de convergencia de la serie de potencias módulo de las raíces características Ð ver $Þ$Ñ. aþþ% es igual al menor 2.3. EJERCICIOS En los siguientes núcleos aplicando los determinantes de Fredholm halle las resolventes.. OaBß> œb >à ŸBŸß Ÿ>Ÿ Þ OaBß> œb> B>à ŸBŸß Ÿ>Ÿ $Þ OaBß> œsin B cos >ß ŸBŸ 1ß Ÿ>Ÿ 1 %Þ OaBß> œsin B sin >à ŸBŸ 1ß Ÿ>Ÿ 1. Aplicando las fórmulas aþþ) y aþþ* halle las resolventes de los siguientes núcleos: &Þ OaBß> œb > à ŸBŸß Ÿ>Ÿ Þ OaBß> œ $B>à ŸBŸß Ÿ>Ÿ (Þ OaBß> œ%b> Bà ŸBŸß Ÿ>Ÿ B > )Þ OaBß> œ/ à ŸBŸß Ÿ>Ÿ *Þ OaBß> œsin ab >à ŸBŸ 1ß Ÿ>Ÿ 1 Þ OaBß> œb sinh >à ŸBŸß Ÿ>Ÿ. Aplicando la resolvente resolver las siguientes ecuaciones integrales: 1 Þ 9aB - sin ab > 9a>.> œ Þ $Þ %Þ &Þ 9aB - B ab > 9a>.> œ 1 9aB sin B cos > 9a>.> œ cos B 9aB B > B / 9a>.> œ / 9aB - a%b> B 9 a>.> œ B.

24 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 24 Hallar los núcleos iterados de los núcleos indicados a continuación para los valores de y dados: Þ OaBß > œ B >à œ ß œ 1 (Þ OaBß> œsinab >àœß œ a8œß$ )Þ OaBß > œ ab > à œ ß œ a8 œ ß $ > *Þ OaBß > œ B/ à œ ß œ Þ OaBß > œ B sin >à œ 1ß œ 1 Þ OaBß > œ / B cos >à œ ß œ 1 En los prolemas siguientes halle OaBß> lb >l Þ OaBß> œ/ à œß œ lbl > $Þ OaBß > œ / à œ ß œ Usando núcleos iterados construir la resolvente de los siguientes núcleos: B > %Þ OaBß> œ/ à œß œ 1 &Þ OaBß > œ sin B cos >à œ ß œ > Þ OaBß> œb/à œ ß œ (Þ OaBß> œ a B a > à œ ß œ )Þ OaBß> œb>à œ ß œ *Þ OaBß> œb>à œ ß œ $Þ OaBß > œ sin B cos > cos B sin >; œ ß œ 1 $Þ OaBß > œ ab a> à œ ß œ.? f?

25 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales TEORÍA CUANTITATIVA. ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO DEGENERADO 3.1. Ecuaciones de Fredholm. El núcleo OBß> a de la ecuación integral de Fredholm de segunda especie se llama degenerado o separale si éste es la suma de un número finito de productos de una función sólo de B por una función sólo de > es decir si él tiene la forma 8 OaBß > œ ab a> a$þþ 5œ 5 5 las funciones 5aB y 5a> a5 œ ß ß á ß 8 son funciones continuas del espacio PaÒßÓ y linealmente independientes. La ecuación integral con núcleo degenerado a$þþ 8 9aB - 5aB 5a> 9a>.> œ 0aB a$þþ 5œ se resuelve del siguiente modo: Escriamos a$þþ del siguiente modo 8 9aB œ 0aB - ab a> 9a>.> a$þþ$ 5œ 5 5 e introduzcamos las notaciones siguientes a > 9a >.>œ- a5 œßßáß8 a$þþ% 5 5 Entonces a$þþ$ toman ahora la forma 8 9aB œ 0aB - - ab a$þþ& 5œ 5 5 donde -5 son constantes desconocidas (puesto que la función 9aB no es conocida). De este modo la solución de una ecuación integral con núcleo degenerado se reduce a hallar las constantes -5 a5 œßßáß8. Sustituyendo la expresión a$þþ& en la ecuación integral a$þþ y despues de sencillas transformaciones se otiene

26 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales œ-7 7a > 0 a > a >.> 7aBœ. 7œ 5œ En virtud de la independencia lineal de las funciones 7aB a7 œ ß ß á ß 8 ; de aquí se deduce que o ien -7 7a > 0 a > a >.> œ 8 8 5œ a > a >.> œ a > 0 a >.> a7 œ ß ß á ß œ Introduciendo para simplificar la escritura las notaciones œ a > a >.>ß 0 œ a > 0 a >.> así se otiene el siguiente sistema œ 0 a7 œ ß ß á ß œ o en forma desarrollada: a â -8-8 œ0 - - a - - â - - œ 0 ââââââââââ â a - - œ a$þþ Para hallar las incógnitas -5 tenemos un sistema lineal de 8 ecuaciones algeraicas con 8 incógnitas. El determinante de este sistema es igual a - - â â -8?- a œ a$þþ( ã ã ä ã â â - 88 â Si?- a Á el sistema a$þþ tiene solución única - ß- ßáß-8 que se otienen por las fórmulas de Crammer.

27 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 27 - â â -8 - â â -8 5?- a ã ä ã ã ã ä ã â - 8 â â - 88 â a5œßßáß8 - œ a$þþ) La solución de la ecuación integral a$þþ será la función 9aBdeterminada por la igualdad 9aB œ 0aB - - ab 8 5œ 5 5 donde los coeficientes a$þþ). -5 a5 œßßáß8 se determinan por las fórmulas OBSERVACIÓN. El sistema a$þþ se puede otener si amos miemros de la igualdad a$þþ& se multiplican sucesivamente por abß abß á ß 8aB y se integra desde hasta o ien si se sustituye la expresión a$þþ& para 9aB es la igualdad a$þþ% camiando B por >. EJEMPLO. Resolver la ecuación integral 1 1 9aB - ab cos > > sin B cos B sin > 9a>.> œ B a$þþ* Solución: Escriamos la ecuación en la siguiente forma: 1 1 9aBœ -B > 9a >.> - B 1 cos sin > 9a >.> -cos B sin > 9a >.> B Introduzcamos las notaciones: œ 9a > cos >.>à - œ > 9a >.>à - œ 9a > sin >.> a$þþ 1 1 $ 1 donde -ß-ß- $ son constantes desconocidas por determinar. Entonces la ecuación a$þþ* toma la forma 9aB œ - -B - -sin B - -cos B B a$þþ $ Sustituyendo la expresión a$þþ en las igualdades a$þþ se otiene o ien 1 - œ a- -> --sin > - $ -cos > > cos >.> œ a- -> --sin > - $ -cos > > >.> œ a- -> - -sin > - -cos > > sin >.> $ 1 $

28 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales Š - > cos >.> - - sin > cos >.> - $ - cos >.>œ > cos >.> >.> - $ 1 - Š - > 1..> - $ - > 1 sin cos >.>œ >.> $ > sin >.> - - sin >.> - Š - cos > sin >.> œ > sin >.> 1 1 $ 1 1 Calculando las integrales que figuran en estas ecuaciones se otiene el sistema de ecuaciones algeraicas para hallar las incógnitas - ß-ß- $ - -$ -1 œ - - $ -% 1 œ œ 1 $ a$þþ El determinante del sistema es 1-?- a œ % 1- œ a 1- % 1- œ 1- Á â 1-1- â El sistema a$þþ tiene solución única; dada por -1 ) $ -1 - œ à- œ à- œ sustituyendo los valores hallados - ß - y - $ en a$þþ se otiene la solución de la ecuación integral dada: aB œ a-1b % -1sin B cos B B Ecuación de Hammerstein Muchos prolemas de la física se reducen a ecuaciones integrales no lineales de Hammerstein. La forma canónica de la ecuación de Hammerstein (ver 1 1.3) es: 9aB œ OaBß > 0 a>ß 9a >.> a$þþ donde OBß>ß0>ß? a a son funciones dadas; 9aB es la función incógnita. Tamién las ecuaciones de la forma

29 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 29 9aB œ OaBß > 0 a>ß 9 a >.> < ab a$þþ donde <ab es una función conocida pueden reducirse con facilidad a la ecuación del tipo a$þþ de modo que la diferencia entre las ecuaciones homogéneas y no homogéneas (de importancia en el caso lineal) en el caso no lineal no tiene casi ningún valor. La función OBß> a la llamaremos como siempre núcleo de la ecuación a$þþ. Sea OBß> a un núcleo degenerado es decir 7 OaBß > œ ab a>. a$þþ 3œ 3 3 En este caso la ecuación a$þþ toma la forma Hagamos 7 9aB œ ab a> 0 a>ß 9a >.> a$þþ$ 3œ œ a > 0 a>ß 9a>.> a3 œ ß ß á ß 7 a$þþ% 3 3 donde - 3 son constantes desconocidas por ahora. Entonces en virtud de a$þþ$ tendremos 7 9aB œ - ab a$þþ& 3œ œ< 3 a- ß- ßáß-7 a3œßßáß7 a$þþ En el caso en que 0 a>ß? sea un polinomio con respecto a? es decir 0 a>ß? œ : a > : a >? â : a >? a$þþ( 8 Sustituyendo en las ecuaciones a$þþ% la expresión a$þþ& para 9aB se otienen 7 magnitudes desconocidas - ß- ßáß- : donde : a > ß: a > ßáß: 8a > son por ejemplo funciones continuas de en el segmento Òß Ó el sistema a$þþ se transforma en un sistema de ecuaciones algeraicas con respecto a -ß-ßáß- 7. Si existe una solución del sistema a$þþ es decir si existen números 8 w

30 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 30 -ß-ßáß- 7 tales que al ser sustituídos en el sistema a$þþ reducen sus ecuaciones a identidades entonces existe una solución de la ecuación integral a$þþ$ que se determina por la igualdad a$þþ& : 7 9aB œ - ab. 3œ 3 3 Es evidente que el número de soluciones (en general complejas) de la ecuación integral a$þþ$ es igual al número de soluciones del sistema a$þþ. EJEMPLO. Resolver la ecuación integral Solución: Hagamos Entonces 9aB œ - B> 9 a>.> a- es un parámetro a$þþ) - œ > 9 a >.> a$þþ* 9aB œ --B a$þþ Sustituyendo 9aB por el segundo miemro de a$þþ en la relación a$þþ* se tendrá de donde -œ > - ->.> La ecuación a$þþ tiene dos soluciones: - - œ -. a$þþ % - œ ß - œ % -. Por lo tanto la ecuación integral cualquier - Á a$þþ) tiene tamién dos soluciones para 9 ab œ ß 9 ab œ BÞ % -

31 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 31 Existen ecuaciones integrales no lineales simples que no tienen soluciones reales. Veamos por ejemplo la ecuación hagamos Entonces a B > Î 9aB œ / a 9 a >.> a$þþ > - œ / a 9 a >.> a $ÞÞ$ B 9aB œ -/. a$þþ% Para determinar la constante - se otienen las ecuaciones -œ / >Î a -/ >.> ˆ $Î - - $- $ Š / œ a$þþ& No es difícil comproar que la ecuación a$þþ& no tiene raíces reales y que por lo tanto la ecuación integral a$þþ no tiene soluciones reales. Por otro lado consideremos la ecuación sin 9a > > a 9aB œ B> a a 9a> Š.> a$þþ Ð a > para todo > Òß ÓÑ. Para la determinación de la constante - se otiene la ecuación œ a >.> sin - a$þþ( Si a >.> entonces la ecuación a$þþ( y por consiguiente tamién la ecuación integral inicial a$þþ tiene un número infinito de soluciones reales.? f?

32 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales Raíces características y funciones propias. La ecuación integral homogénea de Fredholm de segunda especie 9aB - OaBß > 9a>.> œ a$þ$þ tiene siempre la solución trivial 9aB œ que se llama solución nula. Los valores del parárametro - para los cuales esta ecuación tiene soluciones no nulas 9aB œ Î se llaman raíces características de la ecuación a$þ$þ o del núcleo OaBß > y cada solución no nula de esta ecuación se llama función propia correspondiente a la raíz característica -. El número - œ no es raíz característica puesto que para - œ en a$þ$þ se sigue que 9aB œ. Si el núcleo OaBß> es continuo en la región H œöðbß>ñîÿbß>ÿ o de cuadrado sumale en H y además los números y son finitos entonces a cada raíz característica - le corresponde un número finito de funciones propias linealmente independientes; el número de estas funciones se denomina rango de la raíz característica. Distintas raíces características pueden tener diferente rango. Para las ecuaciones con núcleos degenerado o separale 8 9aB - 5aB 5a> 9a>.> œ a$þ$þ 5œ las raíces características son las raíces de la ecuación algeraica - - â â -8?- a œ œ a$þ$þ$ ã ã ä ã â â - 88 â cuya potencia es :Ÿ8. Aquí?- a es el determinante del sistema lineal homogéneo

33 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 33 a â -8-8 œ -- a - - â -8-8 œ ââââââââ â a - œ a$þ$þ% donde las magnitudes 75 y -7 a5ß 7 œ ß ß á ß 8 tienen el mismo sentido que en el parágrafo precedente Ðver 33.1 Ñ. Si la ecuación a$þ$þ$ tiene : raíces a Ÿ : Ÿ 8 la ecuación integral a$þ$þ posee : raíces características; a cada raíz característica - 7 a7œßßáß: le corresponde una solución no nula. a a a 8 - ß- ßáß- Ä - a a a - ß- ßáßâââââââ Ä - a: a: a: - ß- ßáß- Ä : del sistema a$þ$þ%. Las soluciones no nulas de la ecuación integral a$þ$þ correspondientes a estas soluciones es decir las funciones propias tendrían la forma : 9 a a a 9 a a a 9 a a B œ - B ß B œ - B ßáß B œ - ab : 5 5 5œ 5œ 5œ La ecuación integral con núcleo degenerado tiene a lo más raíces 8 características y funciones propias correspondientes a estas. En el caso de un núcleo aritrario (no degenerado o inseparale) las raíces características son ceros del determinante de Fredholm Ha- es decir polos de la resolvente VBß>à a -. De aquí se deduce en particular que la ecuación de Volterra B 9aB - OaBß> 9a>.> œ donde OBß> a P ah no tiene raíces características (para esta E B Ha- œ / - siendo E œ OaBß>.> ). OBSERVACIÓN. Las funciones propias se determinan salvo un factor constante es decir si 9aB es una función propia que corresponde a cierta raíz característica - entonces -9aB donde - es una constante aritraria será tamién una función propia correspondiente a la misma raíz característica -.

34 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 34 EJEMPLO. Hallar las raíces características y las funciones propias de la ecuación integral $ 1 9aB - a cos B cos > cos $B cos > 9a>.> œ a$þ$þ& Solución: Se tiene 1 1 9aBœ -cos B cos> 9a >.> -cos$b $ cos > 9a >.> Introduciendo las notaciones tenemos œ $ 9a > cos>.>ß - œ 9a > cos >.> 9aB œ - -cos B - -cos$b a$þ$þ Sustituyendo a$þ$þ en a$þ$þ& se otiene un sistema lineal de ecuaciones homogéneas: Š - cos > cos>.> - - cos$> cos >.> œ 1 & 1 $ - - cos >.> - Š - cos > cos$>.> œ a$þ$þ( Pero como cos > cos>.> œ % ß cos$> cos>.> œ 1 & 1 $ 1 cos >.>œß cos > cos$>.>œ ) El sistema a$þ$þ( toma la forma ˆ -1 - œ ˆ -1 % - œ ) a$þ$þ) La ecuación para hallar las raíces características será -1 %» -1» œ ) % ) 1 1 Las raíces características son - œ - œ.

35 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 35 Para œ 1 el sistema a$þ$þ) toma la forma - % - œ - œ de donde - œ - es constante aritraria. La función propia será 9 ab œ - -cos B o ien haciendo - - œ se otiene 9 ab œ cos B. Para œ 1 el sistema a$þ$ß) toma la forma - ) a - œ - œ de donde - œ - es aritraria y por consiguiente la función propia será 9 ab œ -- cos $B o ien haciendo - - œ se otiene 9 ab œ cos$b. De este modo las raíces característericas son: % œ ) œ - las funciones propias correspondientes a estas son: 9 ab œ cos Bß 9 ab œ cos $B. Una ecuación integral homogénea de Fredholm puede no tener raíces características y funciones propias o ien no tener raíces características reales y funciones propias. EJEMPLO. La ecuación integral homogénea 9aB - a$b > 9a>.> œ no tiene raíces características y funciones propias. En efecto tenemos Haciendo se otiene 9aB œ -a$b > 9a>.>. - œ > 9a >.> a $Þ$Þ*

36 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 36 Sustituyendo a$þ$þ en a$þ$þ* otenemos 9aB œ --a$b. a$þ$þ - a$> >.> - œ a$þ$þ Pero como a$> >.> œ la ecuación a$þ$þ da - œ y por consiguiente 9aB œ. De este modo la ecuación homogénea dada tiene sólo la solución nula 9aB œ para un - cualquiera; por lo tanto ésta no posee raíces características y funciones propias. EJEMPLO. la ecuación 9aB Š ÈB> È>B 9a>.> œ características reales y funciones propias. no tiene raíces Tenemos que 9aB œ - -ÈB - -B donde - œ > 9a >.>ß - œ È> 9a >.>. Haciendo la sustitución 9 en - y - se tiene de donde - œ > Š - -È> - ->.>ß - œ È> Š - -È> - ->.> - œ - - > $.> - - >.>ß - œ - - >.> - - > $.> oteniéndose el sistema de ecuaciones algeraicas ˆ - &- - $ - œ - - ˆ - - œ. & a$þ$þ El determinante del sistema es &- $?- a œ» - -» œ - & - &.

37 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 37 Para - real éste no se anula por lo que a$þ$þ se otiene - œ y - œ por lo tanto para todas las - reales la ecuación dada tiene sólo la solución trivial: 9aB œ. De esta manera la ecuación dada 9aB - Š È È B> >B 9a>.> œ no posee raíces características reales y funciones propias. Si el 8-ésimo núcleo iterado O8aBß > del núcleo OaBß > es simétrico entonces se puede afirmar que OBß> a tiene por lo menos una raíz característica (real o compleja) y que las potencias 8-ésimas de todas las raíces características son números reales. En particular para un núcleo antisimétrico OBß> a œ O>ßB a todas las raíces características son imaginarias puras: - œ 3 donde d. El núcleo OBß> a de una ecuación integral se llama simétrica si se cumple la condición OaBß> œo a>ßb aÿbß>ÿ. Para la ecuación integral de Fredholm 9aB - OaBß > 9a>.> œ a$þ$þ$ con núcleo simétrico OBß> a tienen lugar los teoremas siguientes que son análogos del análisis espectral: TEOREMA 1. La ecuación 9aB - OBß> a 9a>.>œ tiene por lo menos una raíz característica real. TEOREMA 2. A cada raíz característica - le corresponde un número finito ; de funciones linealmente independiente de la ecuación 9aB - OBß> a 9 a>.>œ siendo donde sup ;Ÿ - F F œ O abß >.B.> El número ; se llama rango o multiplicidad de la raíz característica.

38 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 38 TEOREMA 3. Cada par de funciones propias 9 ab 9 ab que corresponde a raíces características diferentes - Á - son ortogonales es decir 9 ab9 ab.b œ. TEOREMA 4. En cada intervalo finito del eje - hay un número finito de raíces características. La cota superior para el número 7 de raíces características situadas en el intervalo 6-6 se determina por la desigualdad 7 6 F. En el caso en donde el núcleo OaBß > de la ecuación a$þ$þ$ sea la función de Green de cierto prolema homogéneo de Sturm-Lioville la determinación de las raíces características y las funciones propias se reducen a la solución de dicho prolema. EJEMPLO. Hallar las raíces características y las funciones propias de la ecuación homogénea donde 1 9aB - OaBß> 9a>.> œ cos B sin >ß ŸBŸ> OBß> a œœ cos > sin Bß > Ÿ B Ÿ 1. Solución. Escriamos la ecuación dada en la forma o ien B 1 9aB œ- OBß> a 9a>.> - OBß> a 9a>.> B 1 9aBœ-sin B 9a > cos >.> -cos B 9a > sin >.B a$þ$þ% B con el fin de otener el prolema de Sturm-Liouville derivamos amos miemros de a$þ$þ% se halla w B 9 ab œ -cos B 9a> cos >.> -sin Bcos B9aB 1 B -sin B 9a > sin >.> -sin Bcos B9aB o sea

39 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 39 w B 9 abœ-cos B 9a > cos >.> -sin B 1 9a > sin >.>. a$þ$þ& Derivando una vez más se otiene B ww B 1 9 ab œ -sin B 9a> cos>.> -cos B9aB -cos B 9a> sin>.> -sin B9aB B B 1 œ -9aB -sin B 9a > cos>.> -cos B 9a > sin >.> Þ La expresión entre corchetes es igual a B 9 ww ab œ -9aB 9aB. 9aB de forma que De este modo la ecuación integral dada se reduce al siguiente prolema de frontera: Aquí son posiles los tres casos siguientes: a - œß ó - œ. 9 ww ab a- 9aB œ a$þ$þ w 91 a œ 9a œ a$þ$þ( La ecuación a$þ$þ toma la forma ab œ su solución general será 9aB œ - B -. Usando las condiciones de frontera a$þ$þ( para determinar las constantes - y - otenemos el sistema 9 ww œ - œ el cual tiene la única solución - œ ß - œ y por consiguiente la ecuación integral tiene sólo la solución trivial 9aB œ. a - ó -. La solución general de la ecuación a$þ$þ tiene la forma 9aB œ- coshè- B - sinhè- B. Para determinar los valores de - y - las condiciones de frontera dan el sistema

40 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 40 - cosh1è- - sinh1è- œ - œ. Éste tiene la solución única - œ ß - œ. La ecuación integral tiene la solución trivial 9aB œ. De este modo para - la ecuación integral no posee raíces características y por lo tanto tampoco tiene funciones propias. a$ - ó sea -. La solución general de la ecuación a$þ$þ será De aquí hallamos que 9aB œ - cosè -B - sinè -B. w 9 ab œ È -Š - sinè -B - cosè -B. En este caso para la determinación de - y - las condiciones de fronteras a$þ$þ( dan el sistema - cos 1È - - sin 1È - œ È -- œ a$þ$þ) el determinante de este sistema es cos 1-1 -?- a È sin È œ» È» - Igualando a cero otenemos la ecuación para la determinación de las raíces características cos 1È - sin 1È -» È» œ - a$þ$þ* o sea È -cos 1 È - œ. Por hipótesis È - Á por lo tanto cos1è - 1È 1. De aquí se halla que - œ 18 donde 8. Todas las raíces de la ecuación a$þ$þ* vienen dadas por la fórmula ˆ - 8 œ 8 Para valores de - œ -8 el sistema a$þ$þ) toma la forma.

41 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales a œ - œ Éste tiene un conjunto infinito de soluciones no nulas - œ -ß - œ 8 donde - es una constante aritraria. Esto significa que tamién la ecuación integral original tiene un conjunto infinito de soluciones de la forma 9a ˆ B œ -cos 8 B las cuales son funciones propias de dicha ecuación. De este modo las raíces características y las funciones propias de la ecuación dada serán donde 8 es un entero cualquiera œ ˆ 8 9 ab œcosˆ 8 B 3.4. EJERCICIOS. Resolver las siguientes ecuaciones integrales con núcleos degenerados: Î 1. 9aB % sin B 9a>.> œ B 1 B Þ 9aB / arcsin 9a >.> œ tan B 1Î% $Þ 9 a B - 1 Î% tan > 9a>.> œ cot B %Þ 9aB - cosa; ln > 9a>.> œ &Þ 9aB - arccos > 9a>.> œ È B Þ 9aB - ˆ ln 9 a >.> œ a: > :

42 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 42 Resolver las siguientes ecuaciones integrales: (Þ 9aB œ B> 9 a>.> ). 9aB œ ab> B > 9 a>.> $ $ *Þ 9aB œ B > 9 a>.> B> Þ 9aB œ 9 >.> a Þ 9aB œ a 9 a >.>Þ ÞDemostrar que la ecuación integral 9aB œ B> a a a 9 a >.> Ð ab para todo B Òß ÓÑ no tiene soluciones reales si ab.b. Hallar las raíces características y las funciones propias de las siguientes ecuaciones integrales homogéneas con nucleo degenerado: Î% 1 $Þ 9aB - sin B 9a>.> œ 1 %Þ 9aB - sin B cos > 9a>.> œ 1 &Þ 9aB - sin B sin > 9a>.> œ 1 Þ 9aB - cos ab > 9a>.> œ $ (Þ 9aB - a&b> %B > 9a>.> œ $ )Þ 9aB - a&b> %B > $B> 9a>.> œ *Þ 9aB - ab cosh > > cosh B 9a>.> œ Hallar las raíces características y las funciones propias de las ecuaciones integrales homogéneas si sus núcleos tienen la forma B> ß ŸBŸ> Þ OaBß > œ œ a >B ß a >ŸBŸ

43 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 43 Þ Þ $Þ B > ß ŸBŸ> OaBß > œ œ a a a> ab ß >ŸBŸ sin B cos >ß ŸBŸ> OaBß > œ œ sin > cos Bß > Ÿ B Ÿ 1 sin B sina> ß 1 ŸBŸ> OaBß > œ œ sin > sinab ß > Ÿ B Ÿ 1 %Þ OaBß > œ œ > / sinh Bß ŸBŸ> > / sinh >ß >ŸBŸ. &Þ Demostrar que si OaBß > es núcleo simétrico entonces el segundo núcleo iterado OaBß> tiene sólo raíces características positivas. 4. TEORÍA CUALITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES 4.1. Conceptos Fundamentales Se llama ecuación integral lineal de Fredholm de segunda especie a una ecuación del tipo 9aB - OaBß > 9a>.> œ 0aB a%þþ donde 9aB es la función incógnita; OaBß> y 0aB son funciones conocidas; B y > son variales reales que varían en un intervalo ÒßÓ; - es un factor numérico. La función OBß> a se denomina núcleo de la ecuación integral se supone que está definida en la región cuadrada H œöbß>îÿbÿß a y ŸBŸ en el plano abß > y es continua en H o ien sus discontinuidades son tales que la integral dole loabß > l.b.> tiene un valor finito. Si 0aB œ Î la ecuación a%þþ se llama no homogénea; si en camio 0 a œ la ecuación a%þþ toma la forma y se denomina homogénea. 9aB - OaBß > 9a>.> œ a%þþ

44 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 44 Los límites de integración y en las ecuaciones a%þþ y a%þþ pueden ser finitos o infinitos. Se llama solución de las ecuaciones a%þþ y a%þþ a cualquier función 9aB que al ser sustituida en dicha ecuación la reduce a identidades con respecto a B ÐßÑ esto se pudo oservar en la parte cuantitativa de los parágrafos y $ Operador integral de Fredholm. En este numeral estudiaremos las ecuaciones de Fredholm de segunda especie esto es las ecuaciones del tipo 9aB œ OaBß > 9a>.> 0aB a%þþ$ Respecto a la función O llamada como se ha dicho en muchísimas ocasiones núcleo de esta ecuación la supondremos que es medile y verifica la condición lo abß > l.b.> _ a%þþ% El término independiente 0aBde esta ecuación es una función dada de P aòßó y 9 es la función incógnita perteneciente tamién a P aòßó. Pongamos en correspondencia a la ecuación a%þþ$ E À P aòßó P aòßó definido del modo siguiente: con el operador E9 œ < donde ae9ab œ OaBß > 9 a>.> œ < ab a%þþ& El estudio de la ecuación a%þþ$ se reduce por supuesto al estudio de las propiedades de este operador E llamado operador de Fredholm de núcleo O. Se sae del análisis funcional que un operador entre espacios de Hilert es totalmente continuo si transforma conjuntos déilmente compactos en conjuntos relativamente compactos según la topología fuerte pero esto es completamente equivalente a demostrar que el operador transforma toda sucesión déilmente convergente en una sucesión fuertemente convergente (entendiendo fuertemente como la topología definida por la norma del espacio). Tenemos a continuación el siguiente resultado fundamental en la teoría cualitativa de las ecuaciones integrales.

45 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 45 TEOREMA 1. La igualdad <ab œ OBß> a 9a>.> donde OaBß> es una función de cuadrado integrale es decir en el espacio PaÒßÓ un operador lineal totalmente continuo E cuya norma satisface la desigualdad lel É lo abß > l.b.> a%þþ Demostración: Oservemos ante todo que la integral lo abß > l.> existe deido al teorema de Fuini y a la condición a%þþ% (vea el numeral 74 del fascículo de resultados de mi traajo [6] sore teoría de Integración en el cierespacio) para casi todo B. En otras palaras OaBß> pertenece como función de > a PaÒßÓ para casi todo B. Como el producto de dos funciones de cuadrado sumale es sumale la integral que figura en el miemro derecho de a%þþ& existe para casi todo B es decir la función < está definida en casi todos los puntos. Proemos que < PaÒßÓ en virtud de la desigualdad de Cauchy tenemos para casi todo B < ablœ ¹ OaBß> 9a>.> ¹ Ÿ lo abß> l.> l 9 a> l.> œl9l lo abß> l.>. Integrando respecto a B y sustituyendo la integral iterada de lo abß> l por una integral dole otenemos la desigualdad le9 l œ l< abl.b Ÿ l9l lo abß > l.b.> que además de proar la integrailidad de l< abl se demuestra la estimativa a%þþ para la norma del operador E. Resta proar que el operador E es totalmenmte continuo. Sea Ö < 8 un sistema ortogonal completo de P aòßó. Entonces todos los productos del tipo < 7aB < 8a> forman un sistema completo en el espacio PaÒß Ó Òß Ó y por consiguiente Demostremos ahora OBß> a œ < ab < a> 7 8 R R O abß> œ < ab < a> R œ 8œ

46 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 46 y sea ER el operador correspondiente al núcleo OR. Este operador es totalmente continuo ya que transforma todo el espacio PaÒßÓen un suespacio de dimensión finita (los operadores de este tipo han sido llamados degenerados o separales). En efecto si 9 PaÒßÓse tiene donde R R E 9 œ O abß> 9 a >.> œ < ab 9 a > < a >.> R R œ 8œ R R œ < ab œ 8œ œ 9 a > < a >.> 8 8 es decir todo elemento 9 P aòßó es transformado por el operador ER en un elemento del suespacio de dimensión finita generado por los vectores < ß< ßáß<. R Ahora ien como función O tenemos O R es la suma parcial de la serie de Fourier de la aobß> a O para. R abß>.b.> Ä R Ä _ Aplicando la estimativa a%þþ al operador E E R encontramos de aquí le E R l Ä para R Ä _. Empleando ahora un teorema que afirma que el límite de una sucesión convergente de operadores totalmente continuos es un operador totalmente continuo otenemos la continuidad total del operador E. El teorema queda proado. OBSERVACIONES. 1) Al demostrar el teorema 1 hemos proado que todo operador de Fredholm puede ser representado como límite (en el sentido de la convergencia según la norma) de una sucesión de operadores integrales degenerados (ver $ No $. ). 2) Sean E y E dos operadores del tipo a%þþ& y sean O y O sus núcleos correspondientes. Si los operadores E y E son iguales es decir E 9 œ E9 para todo 9 P aòßó entonces O abß> œ O abß> casi en todos los puntos. Veamos esta afirmación si E 9 E 9 œ a O a Bß> O a Bß> 9 a >.> œ

47 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 47 para todo 9 PaÒßÓ entonces para casi todo B ÒßÓse tiene lo abß > O abß > l.> œ es decir lo abß > O abß > l.b.> œ de donde se desprende nuestra afirmación. Luego podemos decir que la correspondencia entre los operadores integrales y los núcleos es iunívoca. En la teoría cualitativa de las ecuaciones integrales una vez estalecido el operador asociado inmediatamente se estalecen los operadores conjugados los cuales permiten la solución de ecuaciones mediante procedimientos de inversión. TEOREMA 2. Sea E un operador de Fredholm con núcleo OaBß>. Entonces el operador conjugado E se define por el núcleo conjugado OBß> a. Demostración. Empleando el teorema de Fuini tenemos de donde ae0ß1 œ š OaBß> 0 a>.> 1aB.Bœ OaBß> 0 a> 1aB.>.B œ š OaBß > a 1 B.B 0 a >.> œ 0 a > š OaBß > a 1 B.B.> œ a0ße 1 E1œ OBß> a 1B a.b y de aquí se deduce la afirmación del teorema. En particular un operador E de tipo < ab œ OaBß> 9a>.> es autoconjugado en P aòßó es decir E œ E si y sólo si OaBß> œ O a>ßb. En el caso en que se considere el espacio de Hilert real (y por lo tanto núcleos reales O) la condición de autoconjugación está dada por la igualdad OBß> a œo>ßb a.

48 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 48 OBSERVACIÓN. Hemos considerado operadores integrales que actúan en el espacio PaÒßÓ. No ostante todo lo expuesto se extiende sin modificaciones al caso en que se considere en lugar del segmento Òß Ó un espacio cualquiera provisto de medida Ecuaciones de núcleo simétrico. Consideremos una ecuación integral de Fredholm de segunda especie cuyo núcleo verifica las condiciones 9aB œ OaBß > 9a>.> 0aB a%þ$þ a 3 lo abß> l.b.> _ a33 OaBß > œ OaBß > Estas ecuaciones serán llamadas de núcleo simétrico. En virtud de los teoremas 1 y 2 del numeral %Þ anterior el operador de Fredholm correspondiente E9 œ OaBß > 9a>.> Ð%Þ$ÞÑ es totalmente continuo y autoconjugado. Luego es válido para él el teorema de Hilert-Schmidt que dice: Para cualquier operador lineal E autoconjugado y totalmente continuo en un espacio de Hilert Lß existe un sistema ortonormal Ö 9 8 de vectores propios correspondientes a valores propios Ö -8 tal que cada elemento 0 L se puede escriir de manera única en la forma 0 œ w w donde E0 œ Aplicando este teorema a la solución de la ecuación a%þ$þ como lo que importa no es la forma integral del operador a%þ$þ sino el hecho de que este operador es totalmente continuo y autoconjugado es natural escriir la ecuación a%þ$þ en la forma 9 œ E9 0. a%þ$þ$ De acuerdo con el teorema de Hilert-Schmidt existe para el operador E un sistema ortogonal Ö 9 8 de funciones propias correspondientes a los valores propios Ö para los cuales tenemos - 8

49 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 49 0 œ < 0 ae0 œ a%þ$þ% w w y usquemos la solución 9 de la ecuación a%þ$þ$ en la forma 9 œ w w ; < 9 ae9 œ a%þ$þ& Introduciendo los desarrollos Ð%Þ$Þ%Ñ y a%þ$þ& en a%þ$þ$ otenemos w w ;< 9 œ ;-< < Esta igualdad se cumple si y sólo si es decir cuando w w 0 œ 9 y ; a - œ a8 œ ß ß á w 0 œ 9 ; 8 œ 8 - para -8 Á 8 œ para - œ. 8 8 La última igualdad es una condición necesaria y suficiente para que la ecuación a%þ$þ$ tenga solución. Teniéndose así el siguiente resultado: Si no es valor propio del operador E la ecuación 9 œe9 0 tiene una solución y sólo una cualquiera que sea 0 ; en camio si es valor propio del operador E la ecuación 9 œ E9 0 tiene solución si y sólo si el término independiente 0 es ortogonal a todas las funciones propias del operador E correspondiente al valor propio ; si esta última condición se cumple la ecuación 9 œe9 0 tiene un conjunto infinito de soluciones. w 5. ALTERNATIVA DE FREDHOLM Caso de las ecuaciones integrales. De la última afirmación del 4 se sigue: los teoremas de Fredholm tratan de hecho sore la posiilidad de invertir el operador E M y significa que - œ es o ien un punto regular del operador E o ien un valor

50 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 50 propio de multiplidad finita. Por supuesto todo lo que se afirma en estos teoremas sigue siendo válido tamién para operadores E -M donde - Á. Luego todo punto distinto de del espectro de un operador totalmente continuo es un valor propio suyo de multiplicidad finita. Además como se sae el conjunto de estos valores propios es a lo sumo numerale. Recordemos de paso que el punto siempre pertenece al espectro de un operador totalmente continuo en un espacio de dimensión infinita; pero en general no es necesariamente un valor propio. Los operadores totalmente continuos para los cuales es el único punto del espectro son llamados operadores de Volterra u operadores astractos. Los teoremas de Fredholm fueron originalmente presentados para ecuaciones integrales y ajo este aspecto los presentamos a continuación; sus demostraciones no las damos pues las daremos después cuando presentemos estos mismos teoremas para operadores totalmente continuos. TEOREMA 1. ( Altermativa de Fredholm) homogénea de segunda especie O ien la ecuación integral no 9aB - OaBß> 9a>.> œ 0aB tiene una única solución para cualquier función 0aB homogénea correspondiente o la ecuación 9aB - OaBß> 9a>.> œ tiene por lo menos una solución no trivial. TEOREMA 2. Si para la ecuación 9aB - OaBß> 9a>.> œ 0aB tiene lugar el primer caso de la alternativa éste tiene lugar tamién para la ecuación conjugada < ab - O a>ßb < a>.> œ 1aB La ecuación integral homogénea ecuación conjugada 9aB - OBß> a 9 a>.>œ y su < ab - O a>ßb < a>.> œ tienen el mismo número finito de soluciones linealmente independientes.

51 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 51 TEOREMA 3. La condición necesaria y suficiente para la existencia de una solución 9aB de la ecuación no homogénea es que 9aB - OaBß> 9a>.> œ 0aB 0aBDaB.B œ donde DB a es cualquier solución de la ecuación homogénea 9aB - OaBß> 9a>.> œ. Es justamente el Teorema 3 el que nos permite calcular soluciones de las ecuaciones integrales mediante las funciones propias en el Teoremas de Fredholm. Caso de los núcleos degenerados. Pasamos ahora a estudiar las ecuaciones de Fredholm de segunda especie con núcleos que verifican la condición lo abß > l.b.> _ (lo cual garantiza la continuidad total del operador correspondiente) pero que no son simétricos supongamos primero que se considera la ecuación 9aB œ OaBß > 9a>.> 0aB a&þþ cuyo núcleo es degenerado es decir de la forma 8 OaBß > œ T abu a> a&þþ 3œ 3 3 donde T3ß U3 son funciones de PaÒß Ó. El operador con núcleo a&þþ transforma toda función 9 PaÒßÓen la suma 8 T ab U a>.> 3œ 3 3 es decir es un elemento del suespacio de dimensión finita generado por las funciones T ß 3 œ ß ß á ß 8. 3

52 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 52 Notemos que en la expresión a&þþ las funciones T ß T ß á T8 pueden ser consideradas linealmente independientes. En efecto si esto no fuese así podríamos expresar cada una de las funciones T 3 como cominación lineal de las funciones independientes y representar este mismo núcleo µ µ OBß> a como suma de un número menor de sumandos de tipo T 4 abuð>ñ 4 de manera que las funciones T µ 4 sean linealmente independientes. Busquemos pues la solución de la ecuación a&þþ con núcleo degenerado a&þþ en el que las funciones T ßT ßáßT8 son linealmente independientes. Tomando en la ecuación a&þþ en lugar de OaBß > la suma correspondiente otenemos 8 9aB œ T ab U a>.> 0aB a&þþ$ 3œ 3 3 Denotando por ; œ U a > 9a >.> podemos escriir aB œ ; T ab 0aB. 3œ 3 3 Tomando en la ecuación a&þþ esta expresión para 9 otenemos ; 3T3aB 0aB œ T3aB U 3a> ; 4T 4a> 0 a>.> 0aB. 3œ 3œ 4œ Haciendo (ver 3 No.3.1) U a > T a >.> œ U a > 0 a >.> œ La igualdad anterior resulta ;T 3 3aB œ T3aB 34; œ 3œ 4œ Como las funciones T 3 son por hipótesis linealmente independientes esta igualdad implica la igualdad de los respectivos coeficientes de T3aB 8 ; œ ; 3 œ ß ß á ß 8 a&þþ% œ

53 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 53 Hemos otenido para los coeficientes ; 3 un sistema de ecuaciones lineales. Resolviéndolo otenemos la función deseada 8 9aB œ ; T ab 0aB 3œ 3 3 esta función satisface la ecuación integral a&þþ ya que todos los razonamientos mediante los cuales hemos pasado de la ecuación a&þþ al sistema a&þþ% pueden ser reemplazados en orden contrario. Luego la solución de una ecuación integral de núcleo degenerado se reduce a la solución del correspondiente sistema a&þþ% de ecuaciones lineales algeraicas. Para sistemas de ecuaciones lineales son conocidas las condiciones de existencia y de unicidad de la solución los teoremas de Fredholm se enunciarán así: M. Un sistema de ecuaciones lineales algeraicas XB œ C ( X œ a 35ß BœaBßBßáßB 8 ßCœaCßCßáßC 8 ) tiene solución si y sólo si el vector C es ortogonal a toda solución del sistema homogéneo conjugado X D œ ax œ a MM. Si el determinante de una matriz X es diferente de cero la ecuación XB œ C tiene solución única para cualquier C. En camio si el determinante de la matriz X es igual a cero la ecuación XB œ tiene solución no nula. MMMÞ Como la matriz X y la matriz conjugada X son del mismo rango los sistemas homogéneos XBœ y X Dœ tienen el mismo número de soluciones linealmente independientes. Deido a la relación que como hemos visto existe entre ecuaciones integrales de núcleo degenerado y sistemas de ecuaciones algeraicas lineales estas proposiciones pueden ser consideradas como teoremas referentes a las soluciones y de hecho estos mismos teoremas tienen lugar tamién para ecuaciones de núcleo aritrario (no degenerados). Sin emargo puesto que para operadores integrales con núcleos no degenerados no tienen sentido conceptos como rango y determinante de una matriz los teoremas correspondientes deen ser enunciados de manera que en ellos no figuren estos conceptos. 34.

54 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales Teoremas de Fredholm para ecuaciones integrales de núcleo no degenerado. Volvamos a considerar la ecuación 9aB œ OaBß > 9a>.> 0aB a&þ$þ suponiendo ahora que su núcleo verifica sólo la condición lo abß > l.b.> _ (esta desigualdad garantiza la continuidad total del operador correspondiente) es decir no suponemos ahora el núcleo ni degenerado ni simétrico. Nos interesan las condiciones en las que la ecuación a&þ$þ tiene solución y las propiedades de sus soluciones. Además para nosotros será esencial sólo la propiedad de continuidad total del operador correspondiente a la ecuación a&þ$þ y no su forma integral. Por lo tanto realizaremos todas las consideraciones sucesivas para la ecuación con operadores 9 œ E9 0 a&þ$þ donde E es un operador aritrario totalmente continuo definido en un espacio de Hilert L. Tomando XœM E (donde M es el operador unidad) escriamos la ecuación 9 œe9 0 en la forma X 9 œ 0Þ a&þ$þ$ Además de esta ecuación consideraremos la ecuación homogénea y las ecuaciones conjugadas X 9 œ a&þ$þ% X < œ 1 a&þ$þ& X < œ a&þ$þ ax œ M E. La relación que existe entre las soluciones de estas cuatro ecuaciones viene expresada en los siguientes teoremas de Fredholm.

55 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 55 M. La ecuación no homogénea X9 œ 0 tiene solución para aquellas 0 y sólo para aquellas que son ortogonales a todas solución de la ecuación homogénea conjugada X < œ. MMÞ ( Alternativa de Fredholm ). O ien la ecuación X9 œ 0 tiene una solución y sólo una cualquiera sea 0 L o ien la ecuación homogénea X9 œ tiene solución no nula. MMM. Las ecuaciones homogéneas de X9 œ 0 y X < œ 1 tienen el mismo número además finito de soluciones linealmente independientes. Antes de pasar a demostrar estos teoremas oservemos que son válidos (en virtud de lo dicho en el 4. No.3) para ecuaciones con núcleo simétrico. Además como E y E coinciden en este caso el Teorema MMM resulta trivial. Por otro lado si E es un operador integral degenerado las ecuaciones correspondientes se reducen como hemos visto a sistemas de ecuaciones lineales algeraicas; los teoremas de Fredholm se convierten evidentemente en este caso a los teoremas sore sistemas lineales que hemos enunciado en el punto anterior y que hemos estudiado en la alternativa de Roche-Froenius (ver [7]). Aprovechando que todo operador integral es límite de una sucesión convergente de operadores degenerados podríamos demostrar los teoremas de Fredholm mediante el correspondiente paso al límite (de núcleos degenerados a núcleos no degenerados). Sin emargo escogemos otro camino y daremos una demostración de estos teoremas que no está relacionada con la consideración de ecuaciones con núcleo degenerado. 5.4 Demostración de los Teoremas de Fredholm. Sea RF a el conjunto de los ceros de un operador FÀL L lineal continuo (el núcleo de F) es decir el conjunto de aquellos B L para los cuales FB œ. Es conocido que RaF es un suespacio lineal cerrado. Sea VF a œöcœfbîb L el recorrido del operador F VF a como es saido es un suespacio vectorial o variedad lineal pero en general no es cerrado. Sea EÀL L un operador lineal continuo consideremos el operador XœM E y sea VX a su recorrido en este caso se tiene que VX a es cerrado esto lo veremos en el siguiente Lema 1.

56 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 56 La demostración de los teoremas de Fredholm sigue los siguientes lemas: LEMA 1. El suespacio VX a es cerrado. Demostración. Sea C8 VaX una sucesión tal que lim C8 œ C. Por 8Ä_ hipótesis existen vectores B8 L tales que C8 œ X B8 œ B8 EB 8 a&þ%þ Podemos suponer sin perder generalidad que estos vectores son ortogonales al núcleo RX a. Además podemos aceptar que lb 8 l es una sucesión acotada pues de lo contrario tendríamos que l B 8l Ä _ y dividiendo por l B l deduciremos de a&þ%þ que Pero como el operador una susucesión 8 B8 B8 lb l lb l E š E Ä 8 8 es totalmente continuo podríamos encontrar E B 8 convergente. Por lo tanto tamién B 8 lb l lb l 8 8 convergerá digamos a un vector D L. Es claro que ldl œ y XaD œ es decir D RaX. Hemos supuesto sin emargo que los vectores B8 son orgogonales a RX a ; luego tamién Ddee ser ortogonal a RX a esto es imposile puesto que si D¼RaX y D RaX entonces ØDßDÙœ y ldl œ una clara contradicción. Esta contradicción nos permite suponer que l B 8 l es una sucesión acotada. Al mismo tiempo la sucesión ÖEB 8 puede suponerse en este caso convergente entonces como C8 œ XB8 œ B8 EB8 se sigue que la sucesión ÖC 8 es tamién convergente. Si B es el límite de esta sucesión se desprende que CœXBœlim XB. El lema queda demostrado. 8Ä_ 8 LEMA 2. El espacio L es la suma directa ortogonal de los suespacios cerrados RX a y VX a es decir y por analógia RaX Š VaX œ L a&þ%þ RaX Š VaX œ L a&þ%þ$ Demostración. Saemos que RX a y VX a son suespacios cerrados. Además son ortogonales ya que si 2 RaX se tiene

57 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 57 a2ß X B œ ax2ß B œ para todo B L. Falta por demostrar que no existe ningún vector no nulo ortogonal simultáneamente a VX a y RX a. Pero si el vector D es ortogonal a VaX entonces para cualquier B L tenemos axdßb œ adßx B œ es decir D RaX. En esta forma el lema queda demostrado. Del Lema 2 se desprende inmediatamente el primer teorema de Fredholm. En efecto 0¼RX a si y sólo si 0 VX a es decir existe un 9 tal que X9 œ 0. 5 Pongamos ahora L œ Vˆ 5 X para cada 5 entero de manera que en particular L œ VaX. Está claro que los suespacios forman una cadena de suespacios encajados. L ª L ª L ª â a&þ%þ% y en virtud del Lema 1 todos estos suespacios son cerrados. Además Xˆ L 5 œ L LEMA 3. Existe un 4 tal que L œ L para todo 5 4. Demostración. Si no existiera tal 4 es evidente que todos los L 5 son distintos. En este caso podemos construir una sucesión ortogonal ÖB 5 tal 5 5 que B L y son ortogonales a L. Sea 6 5 entonces 5 EB EB œ B ab XB XB y por lo tanto leb EB l ya que B XB XB L Luego de la sucesión ÖEB5Ó no se puede extraer ninguna susucesión convergente lo que contradice a la continuidad total del operador E. Con esto queda demostrado el lema. LEMA 4. Si RaX œ Ö se tiene VaX œ L. Demostración. Si RaX œ Ö entonces el operador X es uno a uno; de manera que suponiendo VaX Á L la cadena a&þ%þ% no sería estacionaria (o sea constaría de infinitud de suespacios) y esto contradice el lema 3. Luego VX a œl. 5

58 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 58 Análogamente VaX œl si se tiene RaX œö. LEMA 5. Si VX a œl se tiene RaX œ Ö. Demostración. Como VX a œl tenemos en virtud del Lema 2 RaX œ Ö ; pero entonces en virtud del Lema 4 VaX œ L y por consiguiente del lema 2 se sigue RaX œ Ö. Los lemas 4 y 5 constituyen en conjunto el contenido del segundo teorema (la alternativa) de Fredholm. Con esto queda demostrado el Teorema II. Demostremos finalmente el tercer teorema de Fredholm. Supongamos que el suespacio RX a es de dimensión infinita. Entonces existe en este suespacio un sistema ortonormal infinito ÖB 5. Además EB5 œ B5 de manera que para 5 Á tenemos leb5 EB6l œ È. Pero esto significa que de la sucesión ÖEB 5 no se puede extraer ninguna susucesión convergente lo que contradice a la continuidad total del operador E. Sea. la dimensión de RX a y sea / la dimensión de RX a. Supongamos que. /. Sea Ö9 ß9 ßáß 9. una ase ortonormal en RaX y sea < ß< ßáß< / una ase ortonormal de RaX. Tomemos WB œ XB abß9 <. 4œ 4 4. Como el operador W se otiene del operador X agregándole un operador degenerado todos los resultados demostrados más arria para el operador X son válidos tamién para el operador W. Proemos que la ecuación efecto; supongamos que WB œ tienen solamente solución trivial. En. X B abß 9 < œ a&þ%þ& 4œ 4 4 Como los vectores < 4 son ortogonales en virtud del Lema 2 a todos los vectores del tipo X B de a&þ%ß & se deduce que X B œ y abß 9 4 œ para Ÿ4Ÿ..

59 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 59 Luego el vector B dee ser por un lado una cominación lineal de los vectores 9 4 y por otro lado dee ser ortogonal a ellos. Por consiguiente Bœ. De modo que la ecuación WBœ tiene solamente la solución trivial. Existe entonces de acuerdo con el teorema MM un vector C tal que. XC acß9 < œ <. 4œ 4 4 Está claro que multiplicando esta igualdad escalarmente por <. otenemos en el lado izquierdo y en el lado derecho. Esta contradicción ha surgido por que hemos supuesto. /. Luego. / por lo tanto. œ /. El Teorema MMM queda demostrado completamente. OBSERVACIÓN. Hemos demostrado los teoremas de Fredholm para ecuaciones del tipo 9 œe9 0 donde E es un operador totalmente continuo en un espacio de Hilert L. Estos teoremas pueden ser extendidos sin modificaciones sustanciales al caso de un espacio de Banach aritrario. En este caso es claro que la ecuación conjugada < œe< 1será una ecuación en el espacio la condición de ortogonalidad a0ß< œ dee comprenderse en el sentido de que toda función del suespacio R de soluciones de la ecuación E < œ se anula en el elemento 0 etc. Una exposición de los teoremas de Fredholm para el caso de ecuaciones en espacios de Banach se puede ver en artículos como los de L. A. Lusternik y otros y en las notas de clase de Luis Ortega sore elementos de Análisis Funcional EJERCICIOS 1. Consideremos en un segmento ( o un intervalo ) una ecuación integral de Fredholm de segunda especie con núcleo continuo. Demuestre para esta ecuación los teoremas de Fredholm en el espacio de funciones continuas. Este es el caso el papel de ecuaciones conjugadas lo desempeña la ecuación integral de núcleo transpuesto y la ortogonalidad se comprende en el sentido de P. 2. Sean - y - raíces características distintas constantes del núcleo OBß> a. Pruee que las funciones propias de las ecuaciones 9aB - OaBß> 9a>.> œ < ab - OaBß> < a>.> œ.

60 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 60 son acotadas y que a9< ß œ. 3. Pruee que el operador integral X9 œ EBß> a 9a>.> lb >l lln lb =ll donde lebß>lÿgœ-98=>8 a es completamente continuo. 4. Pruee que un operador completamente continuo transforma cualquier conjunto acotado en un conjunto compacto. 5. Sea E un operador acotado y supongamos que la ecuación E9 œ 0aB es solule. Pruee que las ecuaciones E9 œ 0 y E E9 œ E 0 son equivalentes. 6. Sea E un operador acotado cualquiera. Pruee que los operadores EE y EE son simétricos. 7. Sea X un operador completamente continuo. Pruee que las ecuaciones 9 œ -X X9 y < œ - XX < tienen una y la misma raíz caracteristica constante.? f? BIBLIOGRAFIA [1] V. Volterra Theory of functionals and of integral and Integrodifferential equations. Dover Pulications INC. New York (1959). [2] W.V.Lovitt Linear Integral Equations. Dover Pulications INC. New York (1950). [3] S.G.Mikhlin Linear Integral Equations. Hindustan Pulishong Corp. (India) Delhi (1960). [4] S.G.Mikhlin Integral Equations and their applications to Certain Prolems in Mechanic Mathematical Physics and Technology. The MacMillan Company New York (1964). [5] I.G.Petrovskii.. Lectures on the Theory of Integral Equations Graylock Press Rochester New York (1957)

61 J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 61 [6] J.D.Sánchez H Teoría de la Medida e Integración. Curso para ciernautas [7] J.D.Sánchez H Alternativa de Rouche-Froenius. Aportes para ciernautas junio del 2006.? f? Espero que el lector haya otenido algún provecho de este traajo en el aprendizaje de las Ecuaciones Integrales Quiero agradecer a mi hijo Juan Armando quien ha sido un animador permanente de este proyecto de aprendizaje en matemática y que sin él haría sido imposile realizarlo. Tamién a mi esposa Nohora y a Esperanza quienes leyeron los originales y cuidaron del uen manejo del lenguaje español. Exitos y ienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo llegar a: [email protected] [email protected] [email protected] Copyright Darío Sánchez Hernández