Material preparado para el curso MA-0270 Geometría I

Transcripción

1 Proposiciones matemáticas 1 1. Nociones básicas Definición 1. Proposición o enunciado (simple): es una afirmación que es falsa o verdadera pero no ambas. Ejemplos 1. Luis vino a clases hoy. 2. Amaneció lloviendo = Leibniz es un matemático famoso. 5. En un triángulo isósceles todos los lados miden distinto. La veracidad o falsedad de una proposición se llama valor de verdad. Así por ejemplo, si hoy amaneció lloviendo, entonces el valor de verdad de la proposición (2) es verdadero, de lo contrario su valor de verdad es falso. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas p, q, r, No son proposiciones o enunciados expresiones como: una orden, una pregunta o bien una expresión que involucra variables no definidas. Ejemplos 1. Debes tener listo el material para mañana. 2. Cuánto tiempo vas a estar aquí? 3. x y = y x 4. El cuadrilátero ABCD. Definición 2. Proposición compuesta: es la combinación de dos o más proposiciones simples ligadas mediante conectivas. Son ejemplos de conectivas y; o ; si, entonces, etc. Las proposiciones compuestas se denotan con letras mayúsculas P, Q, R, A continuación se detallarán algunas de las conectivas lógicas: 1. Negación Negar una proposición es afirmar otra. Si p es una proposición, entonces no p es la negación de p. La negación de una proposición también es posible expresarla anteponiendo la frase es falso que o no se cumple que. La negación de un enunciado resulta verdadera si el valor de verdad del enunciado original es falso, y la negación de un enunciado resulta falsa si el enunciado es verdadero. Así por ejemplo: 1 Este documento está formado por extractos del libro Mora, M. y Arias, F. (2004). Elementos de Matemática Computacional Escuela de Matemáticas, UCR. Sin embargo, se han modificado algunos ejemplos y se han agregado más ejercicios fuera de los presentados en el libro mencionado. La enumeración de este documento, difiere con la del documento original. 1

2 Si p: Por dos puntos pasa una única recta, entonces la negación de p, que se denota p, es p: Por dos puntos no pasa una única recta. Note que si p es falsa, p es verdadera. En otras palabras p y p siempre tienen valores de verdad opuestos. Note además que para negar una proposición, se antepone el símbolo a la letra que denota la proposición original. 1. Si p es falso, cuál es el valor de verdad de p?. 2. Conjunción Cuando dos enunciados se combinan con la palabra y, el enunciado resultante se llama conjunción. Para denotar la conjunción se utiliza el símbolo. Así por ejemplo si: Se tendrá: p: Dos rectas perpendiculares se intersecan q: Una recta tiene punto medio Dos rectas perpendiculares se intersecan y una recta tiene punto medio: p q Dos rectas perpendiculares se intersecan y una recta no tiene punto medio: p q Dos rectas perpendiculares no se intersecan, ni tampoco una recta tiene punto medio: p q El valor de verdad de una proposición de la forma p q depende de los valores de verdad de p y de q. Una conjunción es verdadera si ambas componentes son verdaderas y es falsa si alguna de las componentes es falsa. 2. Si la proposición p q resulta verdadera, cuáles son los valores de p y q?. 3. Considere la proposición X: El PQR es obtusángulo y escaleno. Trace un triángulo PQR para el cual X sea verdadera. Justifique su respuesta. 2

3 4. Trace dos triángulos PRQ, para los cuales X sea falsa. Justifique su respuesta. 3. Disjunción La proposición resultante de dos proposiciones conectadas con la palabra o se llama disjunción. Debe distinguirse entre dos tipos de disjunción, la inclusiva y la exclusiva. Una disjunción inclusiva es aquella en la que la proposición resulta verdadera si al menos una de las proposiciones involucradas es verdadera. La proposición T: El ABC es isósceles o es acutángulo, es falsa sólo sí el triángulo no es ni isósceles ni acutángulo, de lo contrario es verdadera. La disjunción inclusiva se denota con el símbolo. 5. Si p s es una proposición falsa, cuáles son los valores de verdad de las proposiciones simples? 6. Trace dos triángulos ABC distintos, para los cuales la proposición T: El ABC es isósceles o es acutángulo sea falsa. Justifique su respuesta. 3

4 7. Podría trazar otro triángulo que haga falta la proposición T? Justifique. 8. Para ese mismo ejemplo, trace tres triángulos ABC distintos, para los cuales la proposición T sea verdadera. Justifique su respuesta. Una disjunción exclusiva es aquella en la que la proposición resulta verdadera cuando exactamente una de las proposiciones es verdadera y la otra es falsa. Por ejemplo: E: El A es obtuso o agudo. La disjunción exclusiva se denota con el símbolo. 9. Trace un ángulo A, de manera tal que la proposición E sea falsa. Justifique su respuesta. 4

5 EJERCICIOS 1 1. Determine el valor de verdad de cada proposición, según los valores de verdad dados: p: falso, q: verdadero, r: falso. (a) p q (b) (p q) r (c) (p q) (d) p q 2. Suponga que p q es verdadero, proporcione los valores de verdad para: (a) p q (b) p q (c) (p q) (d) p q (e) p q 4. Escriba tres proposiciones simples (p, q, r) falsas. Con ellas elabore tres proposiciones compuestas cuyos valores de verdad sean: 1. Falsa, 2. Verdadera, 3. Verdadera. 4. Condicional Un enunciado condicional se obtiene al colocar la palabra si antes de la primera proposición y la palabra entonces antes de la segunda. La proposición que se encuentra entre el si y el entonces se llama antecedente y la proposición que aparece luego del entonces, consecuente. Se denota p q. Ejemplos 1. Si en un papel de tornasol azul se coloca un ácido, entonces el papel se volverá rojo. 2. Si ABC es equilátero, entonces es isósceles. 3. Si el motor está funcionando, entonces tiene combustible. 4. Si llueve, entonces hay nubes. 10. Escriba dos condicionales que se refieran a algún contenido geométrico En una proposición p q es usual llamar a q la condición necesaria y a p la condición suficiente. Observe: Es suficiente que llueva para que haya nubes. Es necesario que haya nubes para que llueva (pero no suficiente). Es necesario que el motor tenga combustible para que trabaje (no es suficiente). Es suficiente que el motor trabaje para saber que tiene combustible. 5

6 Un condicional es también llamado una implicación. El antecedente implica el consecuente de manera que el consecuente resultará verdadero, si el antecedente lo es. Al igual que las conectivas anteriores, el valor de verdad de una implicación está determinado por los valores de verdad de sus proposiciones simples (antecedente y consecuente). El condicional es falso únicamente en el caso en el que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Es decir, para que p q sea falso debe ser verdadera la proposición compuesta: p q, puesto que p q es verdadero sólo si p es verdadero y q es falso y es precisamente en este caso donde p q es falso. En conclusión, la negación de p q es p q. A partir de un condicional p q, es posible formular otros condicionales que involucran a p y a q, por ejemplo q p. Esta proposición se llama la recíproca de p q. 11. Considere las siguientes proposiciones t: Si un triángulo es isósceles entonces es acutángulo. w: Si dos rectas m y l son perpendiculares a otra recta, entonces las dos rectas m y l son paralelas. i: Si WXYZ es un cuadrado, sus diagonales se bisecan. a: Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto solamente. n: Si dos ángulos son congruentes, entonces son opuestos por el vértice. Escriba la proposición recíproca de cada una de ellas. Recíproca de t: Recíproca de w: Recíproca de i: Recíproca de a: Recíproca de n: 12. Determine el valor de verdad de cada uno de los condicionales recíprocos enunciados en el ejercicio anterior. Ilustre, con un ejemplo, dicho valor de verdad. 6

7 PROPOSICIÓN VALOR DE VERDAD ILUSTRACIÓN t: Si un triángulo es isósceles entonces es acutángulo w: Si dos rectas m y l son perpendiculares a otra recta, entonces las dos rectas m y l son paralelas. i: Si WXYZ es un cuadrado, sus diagonales se bisecan. a: Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto solamente. n: Si dos ángulos son congruentes, entonces son opuestos por el vértice. 7

8 Con respecto a los valores de verdad que toman la recíproca de una proposición, debe decirse que: El valor de verdad de p q no determina el valor de verdad de su recíproco q p. Así por ejemplo: La proposición Si dos ángulos son alternos externos entre paralelas, entonces son congruentes ; es verdad mientras que su recíproca es falsa. Sin embargo, la proposición si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo es verdadera y su recíproca también lo es. A partir del p q, también puede formularse el condicional q p. A esta proposición se le llama la contrapositiva de p q. 13. Considere las proposiciones enunciadas en el ejercicio 11. Escriba la contrapositiva de cada una de ellas. Contrapositiva de t: Contrapositiva de w: Contrapositiva de i: Contrapositiva de a: Contrapositiva de n: 14. Determine el valor de verdad de cada una de las contrapositivas anteriores: PROPOSICIÓN VALOR DE VERDAD Contrapositiva de t Contrapositiva de w Contrapositiva de i Contrapositiva de a Contrapositiva de n 15. Compare el valor de verdad de cada condicional dado en el ejercicio 12, con el valor de verdad de su contrapositiva, qué podría inducir? 8

9 El valor de verdad de p q determina el valor de verdad de su contrapositiva. Es decir las proposiciones p q y q p poseen los mismos valores de verdad para los mismos valores de verdad en sus proposiciones simples. 5. Bicondicional La última conectiva de interés es el bicondicional, que se simboliza. Un enunciado bicondicional es la conjunción de dos condicionales, donde el antecedente de uno es el consecuente del otro y viceversa. Simbólicamente: p q (p q) (q p) (**) que se lee p sí sólo sí q es equivalente a p implica q y q implica p. Ejemplos 1. La proposición: Aumentar la producción implica bajar la pobreza y bajar la pobreza implica aumentar la producción es equivalente a la afirmación: Aumentar la producción sí sólo sí bajar la pobreza. 2. Un triángulo es equilátero sí y sólo sí es equiángulo. 3. a = 0 b = 0 a b = 0; a, b IR Estas proposiciones pueden leerse así: 1. Aumentar la producción es necesario y suficiente para bajar la pobreza. 2. Para que un triángulo sea equilátero es necesario y suficiente que sea equiángulo. 3. Para que a b = 0 (a, b IR) es necesario y suficiente que a = 0 ó b = 0. Para determinar los valores de verdad de una proposición bicondicional, debemos considerar que un bicondicional es verdadero cuando sus dos proposiciones poseen el mismo valor de verdad, de lo contrario es falso. 15. Identifique la forma que tiene cada una de las siguientes proposiciones PROPOSICIÓN 1. Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está en el mismo plano. FORMA p q 2. Un segmento tiene exactamente un punto medio. Dos rectas son paralelas si y solo si todos los puntos de cada recta equidistan de la otra recta. 4. El segmento más corto que une un punto a una recta es el segmento perpendicular a la recta. 5. Dos ángulos son rectos si y solo si son a la vez congruentes y suplementarios. 9

10 PROPOSICIÓN FORMA 6. Por un punto dado para una recta y solamente una, perpendicular a un plano dado. 7. Si dos triángulos tiene la misma base b y la misma altura h, entonces tienen áreas iguales. 8. Dos lados de un triángulo son congruentes si y solamente si los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. 9. Dos rectas paralelas están exactamente en un plano. 10. Los ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es Reescriba los bicondicionales de la tabla anterior, utilizando la equivalencia (**), según la cual p q (p q) (q p). EJERCICIOS 2 1. Si la proposición p q es falsa, determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones (a) p q (b) p q (c) q p 2. Proporcione los valores de verdad de h, i, k de manera que se satisfagan las siguientes tres condiciones: h k es falso, k i es verdadero, i h es verdadero 10

11 método axiomático 2 Hace cerca de 2000 años Euclides recogió y organizó en secuencias lógicas prácticamente todos los hechos que se conocían sobre geometría. Esta Geometría Euclidiana es solo un ejemplo de un sistema lógico. En un sistema lógico, un conjunto de elementos está dado, algunos de estos elementos están sin definir y se establecen ciertos hechos o enunciados, llamados axiomas, a partir de estos términos indefinidos. La conclusión se obtiene por razonamiento lógico a partir de estos axiomas y definiciones, de manera que sea posible establecer una serie de resultados siempre verdaderos que denominamos teoremas. Si una rama de la matemática se desarrolla de esta manera, recibe el nombre de axiomática y el método empleado se llama método axiomático. El razonamiento juega un papel importante en la vida diaria. De hecho, de no haber sido por la capacidad humana de razonar, es posible que no se hubiera podido avanzar mucho desde el estado primitivo. Esta capacidad se puede ver en la capacidad del hombre de moldear su entorno de modo que satisfaga sus necesidades. Por ejemplo, las inundaciones del Nilo y la necesidad de restablecer límites permitieron a los antiguos egipcios desarrollar propiedades simples de triángulos rectángulos. En general, en las investigaciones se usan muchos tipos de razonamiento. Un doctor, por ejemplo, debe ser muy cuidadoso para diagnosticar una enfermedad específica. Debe hacer una investigación sistemática de todos los factores que pueden influir en la enfermedad. Debe anotar todos los síntomas, aun los triviales, sin excluir nada, hasta que haya probado que es irrelevante. El doctor clasifica, examina y combina adecuadamente los hechos hasta que finalmente obtiene el diagnóstico que lo capacita para curar al paciente. Un razonamiento de esta clase es inductivo. Generalmente, para verificar una conclusión lograda por razonamiento inductivo, el investigador hace repeticiones del experimento. Algunas veces esto toma muchos años y de los enunciados que se obtienen sólo se puede estar más o menos seguro. El científico puede usar leyes de probabilidad para hacer predicciones reales, pero si se encuentra una excepción debe descartar la conclusión. En el proceso deductivo la forma es más importante que el contenido mismo de los enunciados. No hay diferencia en la validez de la conclusión cuando se está hablando de cohetes en la luna o del significado físico de x y y. Las conclusiones obtenidas por un razonamiento deductivo son independientes de la naturaleza de los elementos relacionados y están completamente desconectadas de las opiniones, creencias, hechos, sentimientos o emociones que de cualquier manera estén relacionados con estos elementos. De manera introductoria, podemos trabajar los razonamientos deductivos que se derivan del método axiomático con El acertijo del MU 3. 2 Seguimos la lectura de Gómez, P & Gómez, C. (1997). Sistemas formales, informalmente. Colombia: Grupo Editorial Iberoamérica (p ). 3 Gómez, P. (1993). Matemática Básica. Colombia: Una empresa docente. 11

12 Como todo juego el acertijo de MU está compuesto por tres elementos: los ingredientes (los objetos con los que se juegan), las reglas del juego y el propósito del juego (casi siempre es ganar!) Los ingredientes del acertijo de MU son las palabras formadas únicamente por las letras M, U e I. El sentido de palabra aquí es sencillamente una hilera o sucesión de letras. Una palabra del juego no tiene que ser una palabra con significado para que sea aceptada. Por ejemplo, MI y MUI son palabras del juego, mientras que PAB y SOL no son palabras del juego. Las reglas del acertijo de MU son cinco y establecen lo permitido a realizar con los ingredientes del juego. Éstas son: R1. Toda palabra se puede triplicar. MI MIMIMI R2. Una U se puede remplazar por II. MUI MIII R3. Cuatros Ies seguidas se pueden eliminar. UIIIIM UM R4. Después de una M se puede insertar una U. MI MUI R5. Si en una palabra aparece IMU puede quitarse la M. MIMUM MIUM Como usted habrá podido imaginarse, la idea es partir de una palabra y llegar a otra, aplicando las reglas adecuadas tantas veces como sea posible. Por ejemplo, si se parte de MI, se puede llegar a MMI con la siguiente sucesión de aplicaciones de las reglas: EJERCICIOS 3 MI MIMIMI MIMUIMI MIUIMI MIIIIMI MMI 1. Utilizando la notación del ejemplo, escriba el proceso que permite obtener, a partir de MI, cada una de las siguientes palabras: (a) MUIUIIIMUI (b) MIM (c) MUMI (d) MIMUU 12