APÉNDICE A GRÁFICAS Y TABLAS EMPLEADAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS

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1 APÉNDICE A GRÁFICAS Y TABLAS EMPLEADAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS 48

2 GRÁFICAS Y TABLAS EMPLEADAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS Para determinar el modelo que se ha empleado para las estimaciones, se han utilizado diversos gráficos así como tablas las cuales se adjuntan a continuación por cada medicamento. A. Albendazol En el medicamento Albendazol con clave diferencial 344 se mostrará amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Albendazol en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual Ago-98 Feb-99 Ago-99 Feb- Ago- Feb- Ago- Feb- Ago- Feb-3 Ago-3 Feb-4 Ago-4 Feb-5 Figura A Comportamiento de la Demanda del medicamento Albendazol 49

3 Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A muestra la media varianza y desviación estándar para el medicamento Albendazol. Tabla A Media varianza y desviación estándar del medicamento Albendazol media var desv Fuente: Elaboración propia Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A. valores grupos desv media Figura A Comportamiento de Media y Varianza 5

4 Tanto media como varianza no se comportan de manera constapnte. Para volver estacionaria la varianza se debe de elaborar una transformación, mientras que para volver estacionaria la media se debe de elaborar una diferenciación. Sin embargo, no se afirmará nada hasta no visualizar la Función de Autocorrelación Simple y Parcial. desv media Figura A3 Media contra desviación estándar Falta por analizar las Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. Los datos arrojados por las Autocorrelaciones nos indicaron que no se deben de utilizar las observaciones para emplear el pronóstico, pues no están dentro de los intervalos permitidos. Como se puede observar en la figura A3 los datos están relacionados, pues tienen tendencia positiva, así que se elabora una transformación, misma que tampoco es estacionaria, enseguida se calcula la primera diferencia de la transformación más es necesario elaborar una segunda diferencia cada periodos tal y como se observa en la Figura A4 y se calcula la media contra la varianza. No se adjuntan todas las iteraciones utilizadas por falta de espacio. La transformación que logra una estacionariedad en este medicamento es la raíz 5

5 cuadrada de las observaciones con doble diferenciación. La siguiente figura muestra el comportamiento de la serie transformada Figura A4 Comportamiento de la nueva serie Fuente: Elaboración propia En la siguiente figura se muestra la media contra la varianza de la segunda diferencia de la transformación. 6 5 desviación media Figura A5 Media contra desviación de la segunda diferencia de la transformación Empíricamente se observa que la diferencia de la transformación es estacionaria, sin embargo, no se puede afirmar nada hasta no analizar la Función de Autocorrelación Simple así como la Función de Autocorrelación Parcial. 5

6 Las Funciones de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial nos fueron de utilidad para determinar la estacionariedad en los datos, pues el comportamiento es muy similar a los modelos de promedio móvil. Lo anterior se muestra en la Figura A Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A6 Función de Autocorrelación para la transformación del Albendazol La figura A6 muestra claramente el modelo de un AR(), donde el coeficiente del modelo AR()<, sin embargo, tanto como en 5 como en se manifiesta un retraso significativo, por tanto el patrón estacional conveniente sería S=, o bien S=5, por tanto, se puede pensar en un modelo ARIMA(,,)*SARIMA(,,) con S= o S=5 ahora visualicemos la Función de Autorcorrelación Parcial 53

7 Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A7 Función de Autocorrelación Parcial para la transformación del Albendazol Una vez más se presenta el patrón estacional tanto en 5 como en, sin embargo, después de varias iteraciones, se comprobó que el modelo que mejor se ajusta a la demanda del medicamento Albendazol es con S= y se muestra a continuación el comportamiento. En la Figura A9 se muestra de color negro el comportamiento de la transformación, mientras que de rojo se observa el comportamiento del modelo para S= y de azul se pueden apreciar los intervalos de confianza. 54

8 Figura A8 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la transformación La siguiente gráfica muestra el comportamiento de las estimaciones para los primeros 6 meses a pronosticar Figura A9 Estimación de la transformación del Albendazol Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus 55

9 residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se aprecia en las Figuras A y A Figura A Función de Autocorrelación de los Residuales En la Figura A continúa manifestándose un alto valor en el quinto retrazo, sin embargo, esto puede ser debido a outliers. Como se puede observar en la figura A y A, los residuales se comportan como ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo anterior. Ho: Los errores no son ruido blanco Ha: Los errores son ruido blanco Se rechaza Ho si Q< χ r k = Q = N k ( r i ( aˆ )) i= Donde: N = Número de residuales k = Número de Autocorrelaciones ( ( â) ) r i 56

10 ( ( a) ) r i ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales r = Número de parámetros en el modelo Por tanto para el medicamento Albendazol se tiene: N=7; r=, k=7 7 ( r i ( aˆ )) Q = 7 =.7 χ 5 i= 5 = Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco Figura A Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales. Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de confianza de.5 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera normal, pues el P-Value es de.869 Ho: Los residuales no tienen distribución normal Ha: Los residuales tienen distribución normal P-Value =

11 Valor en Tabla es.757 para un α =.5.869>.757 por tanto: Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal Average: StDev: N: 7 Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 5 P-Value: 69 Figura A Prueba de Normalidad a los Residuales Los valores pronosticados así como sus límites inferior y superior para la transformación del medicamento Albendazol, es el siguiente: Tabla A Pronósticos del medicamento Albendazol así como sus límites inferior y exterior Periodo Pronóstico Limite Inferior Limite Superior Jiulio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Los valores presentados en la Tabla A no nos expresan el pronóstico deseado, para obtener los valores en términos reales es necesario regresar a la serie original e interpretar los resultados anteriores. Recordemos que a principio del presente Apéndice se determinó 58

12 elaborar una transformación para volver estacionaria la serie, por tanto, ahora se debe de elaborar la operación inversa a dicha transformación, es decir, se debe de elevar al cuadrado los resultados, pues la transformación inversa a la raíz cuadrada es la elevación de los valores al cuadrado y elaborar la diferencia del valor en z t - z t-, así como de z t -z t-. Los resultados a dichas diferencias así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto. A. Dicloxacilina En el medicamento Dicloxacilina con clave diferencial 98 se mostrará amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A3 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Dicloxacilina en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual Aug-98 Feb-99 Aug-99 Feb- Aug- Feb- Aug- Feb- Aug- Feb-3 Aug-3 Feb-4 Aug-4 Feb-5 Figura A3 Comportamiento de la Demanda del medicamento Dicloxacilina 59

13 Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A3 muestra la media varianza y desviación estándar para el medicamento Dicloxacilina. Tabla A3 Media varianza y desviación estándar del medicamento Dicloxacilina media var desv Fuente: Elaboración propia Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A desv media Figura A4 Comportamiento de media y desviación 6

14 Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza, desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. Solo se adjunta una gráfica empleada para determinar la estacionariedad, las demás no se han anexado por falta de espacio. desviación media Figura A5 Media contra desviación estándar de las observaciones De manera a priori se puede sospechar estacionariedad en los datos, sin embargo, falta por analizar las funciones de Autocorrelación Simple y función de Autocorrelación Parcial, nos indican que se trata de un modelo Autorregresivo de primer orden, que los datos son estacionarios, es decir, no es necesario elaborar transformación alguna Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A6 Función de Autocorrelación del medicamento Dicloxacilina 6

15 En la gráfica A7 se puede observar que en el primer retraso tiene la forma de un modelo autorregresivo que decae rápidamente a cero Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A7 Función de Autocorrelación Parcial Una vez que se tiene estacionariedad en los datos se comparan las Autocorrelaciones a los modelos, por tanto se afirma de un modelo AR(). El modelo empleado ha sido evaluado antes de realizar el pronóstico para así compararlo con la serie original, en la siguiente figura se puede observar el comportamiento de la serie original así como el posible modelo que será utilizado. 6

16 Figura A8 Modelo propuesto en comparación con los datos reales Ahora que se ha decidido el modelo que se ajusta a la demanda del medicamento Dicloxacilina, es necesario elaborar el pronóstico. En la siguiente figura se muestra el pronóstico para el segundo semestre del Time Figura A9 Estimación de la Demanda de la Dicloxacilina 63

17 El comportamiento de los residuales nos indica que este modelo es adecuado para emplear los pronósticos, se muestra a continuación la prueba de Anderson-Darling : Ho: Los residuales no tienen distribución normal Ha: Los residuales tienen distribución normal P-Value =.88 Valor en Tabla es.757 para un α =.5.88>.757 por tanto: Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal Probabilidad Residuales Anderson-Darling Normality Test A-Squared:.7 P-Value: 8 Figura A Comportamiento de los Residuales del medicamento Dicloxacilina 64

18 Figura A Función de Autocorrelación de los Residuales Como se puede observar en la figura A y A, los residuales se comportan como ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo anterior. Ho: Los errores no son ruido blanco Ha: Los errores son ruido blanco Se rechaza Ho si Q< χ Q = N Donde: k ( r i ( aˆ )) i= r k = N = Número de residuales k = Número de Autocorrelaciones ( ( â) ) ( ( a) ) r i ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales r = Número de parámetros en el modelo r i 65

19 Por tanto para el medicamento Dicloxacilina se tiene: N=83; r=, k= 9 ( r i ( aˆ )) Q = 8 =.95 χ i= 9 =.95<8.87 Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco Figura A Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales En la figura A se aprecia el comportamiento de los residuales, los cuales se encuentran dentro de los intervalos de confianza. Los resultados así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto. A3. Bencilpenicilina Procainica En el medicamento Bencilpenicilina Procainica con clave diferencial 94 se mostrará amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la 66

20 Figura A3 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Bencilpenicilina Procainica en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual Aug-98 Feb-99 Aug-99 Feb- Aug- Feb- Aug- Feb- Aug- Feb-3 Aug-3 Feb-4 Aug-4 Feb-5 Figura A3 Comportamiento de la Demanda del medicamento Bencilpenicilina Procainica Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A4 muestra la media varianza y desviación estándar para el medicamento Bencilpenicilina Procainica. Tabla A4 Media varianza y desviación estándar del medicamento Bencilpenicilina Procainica media var desv Fuente: Elaboración propia 67

21 Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A valores 5 desv media grupos Figura A4 Comportamiento de Media y Varianza desviación media Figura A5 Comportamiento de Media y Varianza Tanto media como varianza no se comportan de manera constante. Para volver estacionaria la varianza se debe de elaborar una transformación, mientras que para volver estacionaria la media se debe de elaborar una diferencia. Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza, desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. De las gráficas empleadas para determinar la estacionariedad solo se anexan la de la media contra varianza, así como las autocorrelaciones. 68

22 Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A6 Autocorrelación Simple de las observaciones del medicamento Bencilpenicilina procainica Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A7 Autocorrelación Parcial de la demanda de Bencilpenicilina Para lograr estacionariedad se han desarrollado diferentes transformaciones, la que más se ajusta al modelo es la logarítmica. A continuación se muestran las Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial de la transformación, donde los estadísticos aprueban dicha transformación. Sin embargo, se puede observar que al elaborar la transformación, 69

23 tanto media como varianza se vuelven constantes en el tiempo, por tanto no se elaborará ninguna diferenciación. La Tabla A5 muestra los valores tanto de la media, varianza y desviación estándar de la transformación logarítmica. Tabla A5 Media varianza y desviación estándar de la transformación del medicamento Bencilpenicilina Procainica media var desv Fuente: Elaboración propia Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A8. desviación media desv media Figura A8 Comportamiento de media y desviación de la transformación 7

24 desviación media Figura A9 Media contra desviación estándar de la transformación logarítmica De manera a priori se tiene que la transformación logarítmica ofrece estacionariedad tanto en media como en varianza. Ahora será necesario visualizar las Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A3 Autocorrelación Parcial de la transformación de Bencilpenicilina La transformación logarítmica ofrece estacionariedad en la serie, pues los primeros 3 retrasos en el estadístico T son mayores a.5. En la función de Autocorrelación se observa un patrón estacional cada, y se observa que la transformación se comporta 7

25 como un AR(). Ahora se visualizará la Función de Autocorrelación Parcial para poder determinar el modelo Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A3 Autocorrelación Parcial de la transformación de Bencilpenicilina En la Función de Autocorrelación Parcial se puede observar que los retrasos decaen rápidamente a cero, por tanto es conveniente utilizar dicha transformación. Ahora bien, es necesario visualizar el comportamiento del modelo sugerido. Sin embargo, después de varias iteraciones, el mejor modelo para este medicamento no contiene un patrón estacional de sino de 4. Pese a que cada se observa un comportamiento similar, cada 4 dicho comportamiento es aún más palpable. El primer retrazo positivo sugiere un modelo AR(), ahora bien, el retrazo negativo en sugería un modelo MA, no se debe de olvidar que en diversas ocasiones un modelo AR se puede ajustar al comportamiento ofrecido por los MA, es decir, puede ser explicado. Después de varias iteraciones para inferir el modelo adecuado, se ha logrado determinar un modelo ARIMA(,,)*SARIMA(,,) 4 A continuación se aprecia el comportamiento de la transformación así como el modelo sugerido. 7

26 Figura A3 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la transformación Una vez que se ha determinado que el modelo es el adecuado, se deben de elaborar las estimaciones pertinentes así como calcular el error del modelo que no se ajusta perfectamente al comportamiento de la transformación Figura A33 Estimación de la transformación del medicamento Bencilpenicilina 73

27 Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se aprecia en las Figuras A34 y A Figura A34 Función de Autocorrelación de los Residuales Como se puede observar en la figura A34 y A35, los residuales se comportan como ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo anterior. Ho: Los errores no son ruido blanco Ha: Los errores son ruido blanco Se rechaza Ho si Q< χ Q = N Donde: k ( r i ( aˆ )) i= r k = N = Número de residuales 74

28 k = Número de Autocorrelaciones ( ( â) ) ( ( a) ) r i ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales r = Número de parámetros en el modelo Por tanto para el medicamento Dicloxacilina se tiene: N=83; r=, k= 9 ( r i ( aˆ )) Q = 8 = 3.69 χ i= r i 9 = 3.69<8.87 Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco Figura A35 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales. Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de confianza de.5 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera normal, pues el P-Value es de

29 Ho: Los residuales no tienen distribución normal Ha: Los residuales tienen distribución normal P-Value =.75 Valor en Tabla es.735 para un α =..75>.735 por tanto: Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal Average: -43 StDev: N: 83 Anderson-Darling Normality Test A-Squared:.5 P-Value:.75 Figura A36 Prueba de Normalidad en los Residuales Los valores pronosticados así como sus límites inferior y superior para la transformación del medicamento Bencilpenicilina, es el que se aprecia en Tabla A6 que se encuentra a continuación. Tabla A6 Pronósticos del medicamento Bencilpenicilina así como sus límites Periodo Pronóstico Limite Inferior Limite Superior Jiulio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

30 Los valores presentados en la Tabla A6 no nos expresan el pronóstico deseado, para obtener los valores en términos reales es necesario regresar a la serie original e interpretar los resultados anteriores. Recordemos que a para el presente medicamento se determinó elaborar una transformación para volver estacionaria la serie, por tanto, ahora se debe de elaborar la operación inversa a dicha transformación, es decir, se debe de obtener e x donde x serán los resultados de las estimaciones, pues la transformación inversa a la logarítmica es la elevación de e. Los resultados en términos reales así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto. A.4 Amikacina En el medicamento Amikacina con clave diferencial 98 se mostrará amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A37 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Amikacina en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual. 77

31 Aug-98 Feb-99 Aug-99 Feb- Aug- Feb- Aug- Feb- Aug- Feb-3 Aug-3 Feb-4 Aug-4 Feb-5 Figura A37 Comportamiento de la Demanda del medicamento Amikacina Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A7 muestra la media varianza y desviación estándar para el medicamento Amikacina. Tabla A7 Media varianza y desviación estándar del medicamento Amikacina. media var desv Fuente: Elaboración propia Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A38. 78

32 valores grupos desv media Figura A38 Comportamiento de media y desviación del medicamento Amikacina desviación media Figura A39 Comportamiento de media y desviación del medicamento Amikacina Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza, desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. 79

33 Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A4 Función de Autocorrelación de la demanda de la Amikacina El estadístico T es superior a.5 para los primeros 3 retrasos, por tanto se tiene que la serie es estacionaria. Es importante recalcar que en el retraso 8 se observa un comportamiento clásico de un MA con un patrón estacional de Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A4 Función de Autocorrelación Parcial de la demanda de Amikacina 8

34 Al analizar las funciones de Autocorrelación Simple y Función de Autocorrelación Parcial, nos indican que los datos son estacionarios, es decir, no es necesario elaborar transformación alguna. El modelo empleado ha sido evaluado antes de realizar el pronóstico para así compararlo con la serie original, en la siguiente figura se puede observar el comportamiento de la serie original así como el posible modelo que será utilizado. El modelo que mejor se ajusta al comportamiento de la serie es el ARIMA(,,)*SARIMA(,,) 8 el patrón estacional para S=8 es el que mejor se ajusta al comportamiento de la serie Time Figura A4 Modelo propuesto en comparación con los datos reales Ahora que se ha decidido el modelo que se ajusta a la demanda del medicamento Amikacina, es necesario elaborar el pronóstico. En la siguiente figura se muestra el pronóstico para el segundo semestre del 5. 8

35 Figura A43 Estimación de la Demanda de Amikacina El comportamiento de los residuales nos indica que este modelo es adecuado para emplear los pronósticos, pues la prueba de Anderson-Darling fue de.89 Ho: Los residuales no tienen distribución normal Ha: Los residuales tienen distribución normal P-Value =.89 Valor en Tabla es.757 para un α =.5.89>.757 por tanto: Rechazo Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal 8

36 Average: -693 StDev: N: 83 Anderson-Darling Normality Test A-Squared:.94 P-Value: 9 Figura A44 Comportamiento de los Residuales del medicamento Amikacina Ahora es importante ver que los residuales se encuentren dentro de los parámetros estipulados, es decir, dentro de los intervalos de confianza tal y como se observa en la siguiente figura Figura A45 Función de Autocorrelación de los Residuales 83

37 Como se puede observar en la figura A45 y A46, los residuales se comportan como ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo anterior. Ho: Los errores no son ruido blanco Ha: Los errores son ruido blanco Se rechaza Ho si Q< χ Q = N Donde: k ( r i ( aˆ )) i= r k = N = Número de residuales k = Número de Autocorrelaciones ( ( â) ) ( ( a) ) r i ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales r = Número de parámetros en el modelo Por tanto para el medicamento Dicloxacilina se tiene: N=83; r=3, k= 7 ( r i ( aˆ )) Q = 8 =.4 χ 6 i=.4<6 r i 7 = Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco. 84

38 Figura A46 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales Los resultados así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto. A5. Paracetamol En el medicamento Paracetamol con clave diferencial 4 se mostrará amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A47 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Paracetamol en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual. 85

39 Aug-98 Feb-99 Aug-99 Feb- Aug- Feb- Aug- Feb- Aug- Feb-3 Aug-3 Feb-4 Aug-4 Feb-5 Figura A47 Comportamiento de la Demanda del medicamento Paracetamol Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A8 muestra la media varianza y desviación estándar para el medicamento Paracetamol. Tabla A8 Media varianza y desviación estándar del medicamento Paracetamol media var desv Fuente: Elaboración propia Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A48. 86

40 valores grupos desv media Figura A48 Comportamiento de Media y Varianza valores grupos Figura A49 Comportamiento de Media y Varianza Tanto media como varianza no se comportan de manera constante. Para volver estacionaria la varianza se debe de elaborar una diferenciación, mientras que para volver estacionaria la media se debe de elaborar una transformación. Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza, desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. Los datos arrojados por las Autocorrelaciones nos indicaron que no se deben de utilizar las observaciones para emplear el pronóstico, pues no están dentro de los intervalos permitidos. A continuación se muestran las funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. 87

41 Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A5 Autocorrelación Simple del medicamento Paracetamol Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A5 Autocorrelación Parcial de la demanda del Paracetamol La figura A5 y A5 que representan las Funciones de Autocorrelación tanto simple como parcial manifiestan un comportamiento similar al que se observa con el modelo ARIMA(,,), pues ambas funciones decáen rápidamente a cero. 88

42 Como se puede observar en las gráficas A43, A44, A45 y A46 se observa que no se puede trabajar con esos datos, así que se elabora una transformación, misma que tampoco es estacionaria, enseguida se calcula la media contra la varianza. No se adjuntan todas las iteraciones utilizadas por falta de espacio. La transformación que logra una estacionariedad en este medicamento es el logaritmo natural de las observaciones, lo cual vuelve a la serie estacionaria en varianza, para volverla estacionaria en media se elaboró una diferenciación, la cual no fue suficiente, pues se observaba un patrón estacional que se pudo eliminar con otras diferencias. La Tabla A9 muestra los valores tanto de la media, varianza y desviación estándar de las diferencias de la transformación logarítmica Tabla A9 Media varianza y desviación estándar de la transformación del Paracetamol Media varianza desviacion Fuente: Elaboración propia Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A valores grupos desviacion media Figura A5 Comportamiento de media y desviación de la transformación 89

43 .5 desviación media Figura A53 Media contra desviación estándar de la transformación logarítmica De manera a priori se tiene que la transformación logarítmica ofrece estacionariedad tanto en media como en varianza. Ahora será necesario visualizar las Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A54 Autocorrelación Simple de la transformación de Paracetamol Claramente se observa que la Función de Autocorrelación decae rápidamente a cero, ahora bien será necesario analizar la Función de Autocorrelación Parcial para este medicamento, y así poder determinar el modelo 9

44 Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A55 Autocorrelación Parcial de la transformación de Paracetamol En la figura A54 y A55 se aprecia que las Funciones tanto de Autocorrelación Simple como Parcial se van rápidamente a cero, por tanto se comienza a sospechar de un modelo ARIMA(,,). Ahora bien, es necesario visualizar el comportamiento del modelo sugerido. El mejor modelo para este medicamento contiene un patrón estacional de esto puede ser debido a que la información es anual. El primer retrazo positivo sugiere un modelo AR(), ahora bien, el retrazo negativo en sugería un modelo MA, no se debe de olvidar que en diversas ocasiones un modelo AR se puede ajustar al comportamiento ofrecido por los MA, es decir, puede ser explicado. Después de varias iteraciones para inferir el modelo adecuado, se ha logrado determinar un modelo ARIMA(,,)*SARIMA(,,) no debemos olvidar que al elaborar diferenciaciones para volver estacionaria la media, se puede caer en una sobrediferenciación. Para evitar la sobrediferenciación se debe de calcular la varianza, si ésta aumenta al incrementar las diferenciaciones, entonces se cuenta con una sobrediferenciación. 9

45 A continuación se aprecia el comportamiento de la transformación así como el modelo sugerido Figura A56 Modelo propuesto en comparación con los datos reales Figura A57 Estimación de la transformación de la demanda del Paracetamol 9

46 Una vez que se ha determinado que el modelo es el adecuado, se deben de elaborar las estimaciones pertinentes así como calcular el error del modelo que no se ajusta perfectamente al comportamiento de la transformación. Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales. Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de confianza de.5 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera normal, pues el P-Value es de.757 Ho: Los residuales no tienen distribución normal Ha: Los residuales tienen distribución normal P-Value =.76 Valor en Tabla es.757 para un α =.5.76>.757 por tanto: Se rechaza Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal Average: 999 StDev:.38 N: 58 Anderson-Darling Normality Test A-Squared:.37 P-Value:.76 Figura A58 Comportamiento de los Residuales del medicamento Paracetamol 93

47 Los valores pronosticados así como sus límites inferior y superior para la transformación del medicamento Paracetamol, es el siguiente: Tabla A Pronósticos del medicamento Paracetamol así como sus límites inferior y exterior Periodo Pronóstico Limite Inferior Limite Superior Jiulio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se aprecia en las Figuras A59 y A Figura A59 Función de Autocorrelación de los residuales para el Paracetamol 94

48 Como se puede observar en la figura A59 y A6, los residuales se comportan como ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo anterior. Ho: Los errores no son ruido blanco Ha: Los errores son ruido blanco Se rechaza Ho si Q< χ Q = N Donde: k ( r i ( aˆ )) i= r k = N = Número de residuales k = Número de Autocorrelaciones ( ( â) ) ( ( a) ) r i ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales r = Número de parámetros en el modelo Por tanto para el medicamento Paracetamol se tiene: N=58; r=4, k=4 ( r i ( aˆ )) Q = 58 = 7.94 χ 8. 3 i= 7.94<8.3 r i 9 = Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco. 95

49 Figura A6 Función de Autocorrelación Parcial de los residuales para el Paracetamol Los valores presentados en la Tabla A no expresan el pronóstico deseado, para obtener los valores en términos reales es necesario regresar a la serie original e interpretar los resultados anteriores. Recordemos que a principio del presente medicamento se determinó elaborar una transformación para volver estacionaria la serie, por tanto, ahora se debe de elaborar la operación inversa a dicha transformación, es decir, se debe de obtener e x donde x serán los resultados de las estimaciones, pues la transformación inversa a la logarítmica es la elevación de e y elaborar la diferencia del valor en z t - z t-, así como de z t -z t-. Los resultados en términos reales así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto. A6. Cloruro de Sodio En el medicamento Cloruro de Sodio con clave diferencial 368 se mostrará amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A6 96

50 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Cloruro de Sodio en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual Ago-98 Feb-99 Ago-99 Feb- Ago- Feb- Ago- Feb- Ago- Feb-3 Ago-3 Feb-4 Ago-4 Feb-5 Figura A6 Comportamiento de la Demanda del medicamento Cloruro de Sodio Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A muestra la media varianza y desviación estándar para el medicamento Cloruro de Sodio. Tabla A Media varianza y desviación estándar del medicamento Cloruro de Sodio media var desv Fuente: Elaboración propia 97

51 Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A valores 5 5 desv media grupos Figura A6 Comportamiento de media y desviación del medicamento Cloruro de Sodio desviación media Figura A63 Comportamiento de media y desviación del medicamento Cloruro de Sodio Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza, desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. 98

52 Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A64 Autocorrelación Simple para el medicamento Cloruro de Sodio Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A65 Autocorrelación Parcial para el Cloruro de Sodio Las Funciones de Autocorrelación tanto simple como parcial mostradas en las Figuras A66 y A63, manifiestan un comportamiento similar al modelo ARIMA(,,), pues la Función de Autocorrelación simple se va rápidamente a cero, mientras que la Función de Autocorrelación parcial se corta después del primer rezago. Pese a que también la Función 99

53 de Autocorrelación tanto simple como parcial se comportan como los modelos de promedio móvil, al momento de elaborar el pronóstico y verificar el comportamiento de los residuales se puede observar que el promedio móvil no se ajusta para el presente medicamento, es ahora cuando no se debe de olvidar que un modelo autorregresivo en ciertas ocasiones se puede ajustar a los promedios móviles, por tanto, después de diversas iteraciones, se ha encontrado el modelo que mejor se ajusta al comportamiento de los datos. Tal modelo es el ARIMA(,,)*SARIMA(,,). A continuación se observa el modelo sugerido en comparación con las observaciones Figura A66 Modelo propuesto en comparación con los datos reales Ahora que se ha decidido el modelo que se ajusta a la demanda del medicamento Cloruro de Sodio, es necesario elaborar el pronóstico. En la siguiente figura se muestra el pronóstico para el segundo semestre del 5.

54 Figura A67 Estimación de la Demanda del Cloruro de Sodio Un buen pronóstico se mide a partir de los residuales, por tanto, ahora se debe analizar el comportamiento de los residuales. Se desea que los residuales se comporten de manera normal. Ho: Los residuales no tienen distribución normal Ha: Los residuales tienen distribución normal P-Value =.867 Valor en Tabla es.757 para un α =.5.867>.757 por tanto: Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal

55 Average: 5 StDev: N: 8 Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 6 P-Value: 67 Figura A68 Comportamiento de los Residuales del medicamento Cloruro de Sodio Las Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial de los residuales deben de ser analizadas el comportamiento de estas debe permanecer dentro de los límites de confianza. La figura A69 y A7 que se muestran a continuación muestran un alto rezago en el doceavo retraso, por tanto, se recomienda un patrón estacional de Figura A69 ACF de Residuales

56 Como se puede observar en la figura A69 y A7, los residuales se comportan como ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo anterior. Ho: Los errores no son ruido blanco Ha: Los errores son ruido blanco Se rechaza Ho si Q< χ Q = N Donde: k ( r i ( aˆ )) i= r k = N = Número de residuales k = Número de Autocorrelaciones ( ( â) ) ( ( a) ) r i ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales r = Número de parámetros en el modelo Por tanto para el medicamento Cloruro de Sodio se tiene: N=8; r=, k= 8 ( r i ( aˆ )) Q = 8 =.56 χ i=.56<8.87 r i 9 = Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco. 3

57 Figura A7 PACF Residuales Los valores presentados con anterioridad expresan el pronóstico en términos reales. Recordemos que a principio del presente medicamento se determinó elaborar una diferenciación para volver estacionaria la serie, por tanto, ahora la ecuación contiene dicha diferencia, es decir, z t - z t-. Los resultados en términos reales así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto. A7. Naproxeno En el medicamento Naproxeno con clave diferencial 347 se mostrará amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A7 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Naproxeno en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si 4

58 se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual Aug-98 Feb-99 Aug-99 Feb- Aug- Feb- Aug- Feb- Aug- Feb-3 Aug-3 Feb-4 Aug-4 Feb-5 Figura A7 Comportamiento de la Demanda del medicamento Naproxeno Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A muestra la media varianza y desviación estándar para el medicamento Naproxeno. Tabla A Media varianza y desviación estándar del medicamento Naproxeno media var desv Fuente: Elaboración propia 5

59 Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A valores desv media grupos Figura A7 Comportamiento de media y desviación del medicamento Naproxeno desviación media Figura A73 Comportamiento de media y desviación del medicamento Naproxeno Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza, desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. 6

60 Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Figura A74 Autocorrelación del medicamento Naproxeno Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Figura A75 Autocorrelación Parcial del medicamento Naproxeno En la gráfica 74 y 75 se puede observar que los valores caen rápidamente a cero, por tanto, es conveniente utilizar dicha serie sin elaborar transformación alguna. Sin embargo, después de diversas iteraciones, se ha comprobado que al elaborar una diferenciación con un patrón estacional de S=, las estimaciones se acercan más a los reales. Esto puede ser 7

61 debido a que los datos se han registrado de manera mensual, y no se debe olvidar que el presente proyecto trata de medicamentos, los cuales dependen de enfermedades, mismas que a su vez en ocasiones dependen del clima particular de algún mes en específico, es por ello, que no nos debe sorprender que cada enero se manifieste una demanda en especial de cierto medicamento. En la figura que se muestra a continuación se aprecia el comportamiento del medicamento en comparación del modelo propuesto Figura A76 Modelo propuesto en comparación con los datos reales En la figura A77 se observa el comportamiento de las estimaciones para el segundo semestre del año 5. 8