Teoría de las superficies

Transcripción

1 Capítulo VI Teoría de las superficies. Fórmulas de Gauss y de Weingarten Consideremos una parametrización regular ϕ : U R 3, ϕ = ϕu, v, de clase C de una superficie S = Im ϕ de R 3. Del mismo modo a como sobre una curva parametrizada de modo regular de R 3 de clase C y con curvatura no nula en todo punto tenemos su triedro de Frenet, sobre la superficie S tenemos también un triedro móvil que en cada punto de S es una base de R 3 : ϕ u, ϕ v y N. En el caso de una curva σ = σt parametrizada por su longitud de arco, las fórmulas de Frenet expresan la derivada de los vectores T, N, B como combinación lineal de la base {T, N, B}, obteniéndose que los coeficientes de dichas combinaciones dependen únicamente de la curvatura y de la torsión. Para la superficie S, las derivadas parciales de los vectores ϕ u, ϕ v y N también tienen sus coordenadas en la base que dichos vectores forman: existen funciones Γ k ij, α ij, β j i, γ i sobre el abierto U tales que ϕ uu = Γ ϕ u + Γ ϕ v + α N ϕ uv = Γ ϕ u + Γ ϕ v + α N ϕ vv = Γ ϕ u + Γ ϕ v + α N N u = β ϕ u + β ϕ v + γ N N v = β ϕ u + β ϕ v + γ N ;. ϕ uu, ϕ uv, ϕ vv, N u, N v son continuas porque ϕ es de clase C en general, si ϕ es de clase C r con r, entonces ϕ uu, ϕ uv, ϕ vv, N u, N v son de clase C r. Las fórmulas. son las análogas para las superficies a las de Frenet para las curvas, y veremos que los coeficientes que aparecen en ellas dependen únicamente de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie. Calculemos los coeficientes de las dos últimas, las cuales se conocen como fórmulas de Weingarten, que expresan el valor del operador de Weingarten sobre la base {ϕ u, ϕ v } de vectores tangentes a S y por tanto determinan totalmente dicho operador: φϕ u = ϕ u N = N u, φϕ v = ϕ v N = N v ; en particular N u y N v son tangentes a S porque φ transforma campos tangentes a S en campos 97

2 98 Capítulo VI. Teoría de las superficies tangentes a S y por tanto γ = 0 = γ N u y N v no tienen componente normal a S. De lo dicho se sigue que las fórmulas de Weingarten se expresan como N u = β ϕ u + β ϕ } v β β matriz de φ en N v = β ϕ u + β ϕ donde =. v β β la base {ϕ u, ϕ v } Sabemos que dicha matriz es g ij L ij = g ij = g ij g g L L g g L L g L g L g L g L g L g L g L g L, por lo que obtenemos β = g L g L g ij β = g L g L g ij, β = g L g L g ij, β = g L g L g ij Respecto a las tres primeras fórmulas de., comencemos observando que L = ϕ uu N = Γ ϕu N + Γ ϕv N + α N N = α, L = ϕ uv N = Γ ϕu N + Γ ϕv N + α N N = α, L = ϕ vv N = Γ ϕu N + Γ ϕv N + α N N = α,,. de modo que dichas fórmulas se expresan como ϕ uu = Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N ϕ uv = Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N ϕ vv = Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N.. Las ecuaciones. se conocen como fórmulas de Gauss, y la familia de funciones { Γ k ij} se denominan símbolos de Christoffel de la superficie S respecto de la parametrización ϕ = ϕu, v. Calculemos los símbolos Γ k que aparecen en la primera ecuación, para lo cual multipliquemos escalarmente dicha ecuación por ϕ u y por ϕ v : ϕ uu ϕ u = Γ ϕu ϕ u + Γ ϕv ϕ u + L N ϕu = g Γ + g Γ } ϕ uu ϕ v = Γ ϕu ϕ v + Γ ϕv ϕ v + L N ϕv = g Γ + g ; Γ el anterior sistema de ecuaciones con las incógnitas Γ y Γ podemos expresarlo matricialmente como Γ ϕuu ϕ u gij =, ϕ uu ϕ v Γ

3 . Teorema fundamental de las superficies 99 y resolviendo por Cramer obtenemos Γ = ϕuu ϕ u g ij. ϕ uu ϕ v Γ Procediendo de modo análogo con las otras dos fórmulas de Gauss obtenemos Γ = ϕuv ϕ u Γ g ij, = ϕvv ϕ u g ij. ϕ uv ϕ v ϕ vv ϕ v Γ Según todo lo anterior, para ver que los símbolos de Christoffel de S sólo dependen de su primera forma fundamental, debemos comprobar que las seis funciones ϕ uu ϕ u, ϕ uu ϕ v, ϕ uv ϕ u, ϕ uv ϕ v, ϕ vv ϕ u, ϕ vv ϕ v sólo dependen de la primera forma fundamental: g u = u ϕu ϕ u = ϕuu ϕ u + ϕ u ϕ uu = ϕ uu ϕ u ϕ uu ϕ u = g u, Γ g v = v ϕu ϕ u = = ϕuv ϕ u ϕ uv ϕ u = g v, g u = ϕ uv ϕ v ϕ uv ϕ v = g u, g v = ϕ vv ϕ v ϕ vv ϕ v = g v, g u = u ϕu ϕ v = ϕuu ϕ v + ϕ u ϕ uv = ϕ uu ϕ v + g v ϕ uu ϕ v = g u g v, g v = = ϕ vv ϕ u + g u ϕ vv ϕ u = g v g u.. Teorema fundamental de las superficies Dadas funciones diferenciables κ, τ : I R, con I intervalo abierto de la recta real, podemos ver las fórmulas de Frenet T = κn N = κt + τb B = τn como un sistema de nueve ecuaciones diferenciales ordinarias con incógnitas T = T, T, T 3, N = N, N, N 3, B = B, B, B 3. El teorema fundamental de las curvas afirma que cuando κt > 0 para todo t I, dicho sistema tiene soluciones que son el triedro de Frenet de alguna curva σ = σt parametrizada por su longitud de arco; como consecuencia se obtiene además que κ y τ son la curvatura y la torsión de σ. Podemos expresar lo anterior diciendo que las fórmulas de Frenet son integrables cuando la función κ es siempre positiva. Ahora, dadas funciones diferenciables g, g, g, L, L, L definidas sobre un abierto U de R tales que g g g > 0, g > 0 para que la matriz simétrica g ij sea definida positiva, consideramos sobre U las funciones { Γ k ij, βj i } obtenidas a partir de { gij, L ij } como

4 00 Capítulo VI. Teoría de las superficies hemos descrito en la anterior sección, y obtenemos que las fórmulas de Gauss-Weingarten definen un sistema de dieciocho ecuaciones en derivadas parciales, F u = Γ F + Γ G + L H G u = F v = Γ F + Γ G + L H G v = Γ F + Γ G + L H H u = β F + β G H v = β F + β G,. con incógnitas F = F, F, F 3, G = G, G, G 3, H = H, H, H 3. Diremos que el sistema de Gauss-Weingarten. es integrable cuando existen soluciones F, G, H de clase C ; en ese caso se cumple F v = G u y por lo tanto es fácil encontrar una aplicación ϕ = ϕu, v que cumple ϕ u = F y ϕ v = G. Si la solución se ha determinado fijando unas condiciones iniciales convenientes por ejemplo, que para cierto u 0, v 0 U, Hu 0, v 0 sea un vector unitario ortogonal a F u 0, v 0 y Gu 0, v 0, entonces para la superficie S que define la parametrización ϕ = ϕu, v tenemos que H es un vector unitario normal sobre todo S, y por tanto el sistema de ecuaciones. se convierte en las fórmulas de Gauss-Weingarten de S ; en particular, las funciones { g ij, L ij } de partida cumplen que gij es la primera forma fundamental de S y L ij es la segunda forma fundamental de S. El problema clásico de integrabilidad de las fórmulas de Gauss-Weingarten se expresa abreviadamente del siguiente modo: dadas una métrica simétrica definida positiva g y una métrica simétrica φ, existe alguna superficie de R 3 cuya primera forma fundamental sea g y cuya segunda forma fundamental sea φ? En general la respuesta es negativa, a no ser que se cumplan ciertas condiciones de compatibilidad que resultan de la siguiente observación: si ϕ = ϕu, v es la parametrización de una superficie para la que queremos asegurar que los coeficientes {L ij } de su segunda forma fundamental sean de clase C, entonces ϕ debe ser de clase C 3, en cuyo caso ϕ u y ϕ v serán de clase C y por lo tanto sus derivadas cruzadas coincidirán, ϕ u uv = ϕ u vu y ϕ v uv = ϕ v vu, es decir ϕ uu v = ϕ uv u, ϕ vv u = ϕ uv v.. Utilizando las fórmulas de Gauss podemos expresar las ecuaciones. como Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N v = Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N u, Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N u = Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N v. Si primero derivamos respecto de u y v, luego sustituimos ϕ uu, ϕ uv, ϕ vv, N u, N v en función de ϕ u, ϕ v, N utilizando las fórmulas de Gauss-Weingarten, y por último igualamos coordenadas teniendo en cuenta que {ϕ u, ϕ v, N} forman base, entonces llegamos a seis igualdades que se reducen a las tres siguientes: L v L u = L Γ + L Γ Γ L Γ L v L u = L Γ + L Γ Γ L Γ,.3

5 . Teorema fundamental de las superficies 0 Γ L ij = g u Γ v + Γ Γ + Γ Γ Γ Γ Γ Γ + g u Γ v + Γ Γ Γ Γ. Las ecuaciones de compatibilidad.3 y.4 relacionan los coeficientes de la primera forma fundamental con los coeficientes de la segunda forma fundamental; las.3 se conocen como ecuaciones de Codazzi-Mainardi, y.4 se llama ecuación de Gauss. Por tanto, si queremos que unas métricas dadas g ij y L ij sean las formas fundamentales de alguna superficie, entonces es necesario que las funciones { g ij, L ij } cumplan las ecuaciones de Codazzi-Mainardi y la ecuación de Gauss. El teorema fundamental de las superficies afirma que el cumplimiento de dichas ecuaciones es también una condición suficiente; por este motivo, las ecuaciones de compatibilidad.3 y.4 se conocen también como condiciones de integrabilidad de las fórmulas de Gauss-Weingarten.. Teorema fundamental de las superficies Sea U un abierto de R sobre el que hay definidas funciones g, g, g de clase C y funciones L, L, L de clase C tales que: i g > 0, g g g > 0 ;.4 ii g, g, g, L, L, L cumplen las ecuaciones de Codazzi-Mainardi.3 y la ecuación de Gauss.4. Entonces, para cada u 0, v 0 U existe una parametrización regular ϕ = ϕu, v de clase C 3 definida en un entorno abierto de u 0, v 0 dentro de U para la cual g ij es la primera forma fundamental y L ij es la segunda forma fundamental. Además, la superficie que define la parametrización ϕ = ϕu, v es única salvo su posición en el espacio esto es, salvo un movimiento directo. La demostración del teorema fundamental de las superficies se obtiene como consecuencia de los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ciertos sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, y es por eso que no la haremos. Recuérdese que para probar el teorema fundamental de las curvass se aplicaba la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una consecuencia de la ecuación de Gauss es el siguiente resultado muy importante:. Teorema egregio de Gauss La curvatura de Gauss de una superficie de clase C 3 de R 3 depende solamente de su primera forma fundamental. Demostración. Sea ϕ = ϕu, v una parametrización regular de clase C 3 de una superficie S, y sean g = ϕ u ϕ u,..., L = ϕ vv N las funciones coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales de S donde N = ϕ u ϕ v / ϕ u ϕ v. Entonces la curvatura de Gauss K G de S cumple la igualdad L ij K G = g ij = L L L g g g. Para terminar la demostración basta tener en cuenta que según la ecuación de Gauss.4 el numerador de la igualdad anterior puede expresarse como función de las funciones {g ij } y sus derivadas.

6 0 Capítulo VI. Teoría de las superficies.3 Geometría intrínseca Consideremos una parametrización regular ϕ : U R 3, ϕ = ϕu, v, de clase C de una superficie S de R 3. Recordemos que por definición suponemos que el abierto U es conexo, de modo que la superficie S también es conexa. Por lo tanto todo par de puntos suyos se pueden unir por una curva que yace sobre S : dados P 0, P S, existe una curva σ : I S tal que σt 0 = P 0 y σt = P para ciertos t 0, t I, esta afirmación se deja como ejercicio. Sabemos que la primera forma fundamental de S determina las longitudes de las curvas que están sobre S, por lo que la primera forma fundamental define la siguiente distancia : dados P, Q S, dp, Q := ínfimo de las longitudes de los arcos de curva sobre S que van de P a Q. Es inmediato comprobar que la aplicación d : S S R definida es una distancia en el sentido de la topología. No es fácil, pero puede probarse que si se conoce la distancia d sobre S, entonces puede construirse a partir de ella la primera forma fundamental g de la superficie. La geometría intrínseca de S es el estudio de las propiedades de la superficie que permanecen invariantes cuando se deforma S sin estirarla ni romperla, es decir, conservando las distancias entre sus puntos. Según lo dicho en el párrafo anterior, las propiedades intrínsecas de S son aquellas que dependen únicamente de su primera forma fundamental g. Un ser bidimensional que habitara la superficie S ajeno al espacio R 3 del que S forma parte, podría determinar todas las propiedades intrínsecas de la superficie sin más que saber medir las distancias entre los puntos de S esto es, las longitudes de los arcos de curvas sobre S: áreas de regiones, el ángulo formado por dos direcciones en un punto, la curvatura de Gauss teorema egregio, el tipo de un punto elíptico, hiperbólico ó parabólico/plano. La segunda forma fundamental φ no es una propiedad intrínseca de la superficie porque no está determinada por la primera forma fundamental g, si bien está lejos de ser independiente de g porque se deben cumplir las ecuaciones de Gauss y de Codazzi-Mainardi. Para entender el papel de la segunda forma fundamental hay que tener en cuenta que al deformar S sin alterar las distancias entre sus puntos, podemos obtener otra superficie de aspecto o forma muy diferente. Por ejemplo, una pequeña región de un cilindro circular puede desplegarse para dar lugar a una región plana; ambas superficies tienen la misma primera forma fundamental a pesar de tener formas distintas; la diferencia entre ellas viene dada por la diferencia entre sus segundas formas fundamentales. Así pues, la segunda forma fundamental determina el modo en que la superficie se sumerge en R Curvatura normal y curvatura geodésica Fijemos una parametrización regular ϕ : U R 3, ϕ = ϕu, v, de clase C de una superficie S = Im ϕ de R 3. Tenemos la base {ϕ u, ϕ v } de campos tangentes a S y el vector unitario N = ϕ u ϕ v / ϕ u ϕ v normal a S. También tenemos, respecto de dicha base, la matriz g ij de la primera forma fundamental g y la matriz L ij de la segunda forma fundamental φ. Definición 3. Sea σ : I R 3 una curva regular que yace sobre S ; esto es, σt = ϕ ut, vt u,v con I U diferenciable tal que u t, v t 0, 0 para todo t I. El

7 3. Curvatura normal y curvatura geodésica 03 vector tangente unitario a la curva es T = σ / σ. Se define la curvatura normal de la curva σ sobre la superficie S como la función K n := φ T, T ; es decir, dado t I, en el punto σt la curvatura normal es Nótese que K n puede tomar valores negativos. K n t := φ,σt T t, T t. 3. Recordemos que K n t es salvo el signo la curvatura en el punto σt de la sección plana de la superficie S en σt según la dirección tangente a la curva σ en dicho punto véase la interpretación geométrica V.6.9. Por lo tanto es claro que la curvatura normal de σ en un punto depende solamente de la dirección tangente a la curva en el punto. Es decir, se cumple: Teorema de Meusnier Si dos curvas sobre S son tangentes en un punto P, entonces tienen en P la misma curvatura normal. 3.3 Veamos la expresión de K n en coordenadas. Como σt = ϕ ut, vt tenemos σ = u ϕ u + v ϕ v es decir, las coordenadas de σ en la base {ϕ u, ϕ v } son u, v. Por lo tanto φ σ, σ = u v L u ij = L u + L u v + L v, por lo tanto σ = gσ, σ = u v g ij v σ K n = φ T, T = φ σ, σ σ u = g u + g u v + g v, v = σ φ σ, σ = φ σ, σ gσ, σ ; K n = L u + L u v + L v g u + g u v + g v. 3. Definiciones 3.4 Sean un punto P S y un vector no nulo D P T P S. Se dice que D P es una dirección asintótica de la superficie S en el punto P si φ,p D P, D P = 0 esto es, si el vector D P es isótropo para la métrica φ,p. Equivalentemente, D P es una dirección asintótica si la curvatura en P de la sección plana de S en P según la dirección D P es nula. Se dice que la curva σ = σt es una línea asintótica de la superficie S si el vector tangente en cada punto de la curva es una dirección asintótica de la superficie en ese punto. Equivalentemente, σ = σt es una línea asintótica si su curvatura normal es constantemente nula. 3.5 De la expresión 3. obtenida para la curvatura normal se sigue que la condición necesaria y suficiente para que σt = ϕ ut, vt sea una línea asintótica es que su vector tangente σ = u, v cumpla L u + L u v + L v = De otro modo, las líneas asintóticas de S son las curvas sobre la superficie dadas por las soluciones u, v de la ecuación diferencial 3..

8 04 Capítulo VI. Teoría de las superficies Definición 3.6 Veamos la curva σ = σt como curva en R 3 independiente de la superficie S. Un campo a soporte en la curva consiste en dar un vector de R 3 en cada punto de la curva. Un tal campo se expresará en la forma D = f, f, f 3 con f i = f i t, i =,, 3, de modo que para cada t I, Dt = f t, f t, f 3 t es un vector de R 3 en el punto σt. Supondremos en lo que sigue que los campos a soporte en σ son diferenciables, esto es, que las funciones f, f, f 3 son diferenciables. Como ejemplo de campo a soporte en σ tenemos: el vector tangente unitario T, el vector normal principal N y el vector binormal B los dos últimos definidos donde la curvatura de σ no se anula. Un campo a soporte a σ puede ser tangente a σ como T, o puede ser no tangente a σ como N o B. 3.7 Igual que derivamos covariantemente campos a soporte en la superficie S respecto de campos tangentes a S, podemos también derivar covariantemente campos a soporte en σ respecto de campos tangentes a σ. Basta tener en cuenta que la derivada covariante se definía en cada punto P respecto de un vector e en ese punto: para calcular e P D se elegía cualquier curva α = αt que cumpliera αt 0 = P y α t 0 = e para algún valor t 0 del parámetro, y entonces e P D = f α t 0, f α t 0, f 3 α t 0, D = f, f, f 3. Cuando D es un campo en R 3 la curva α no tiene más restricciones; cuando D es un campo sobre la superficie S la curva α debe yacer sobre S. Ahora, para un campo a soporte en σ la curva α deberá estar dentro de la curva σ. Sea entonces D = f, f, f 3 un campo a soporte en σ. Si en el punto P = σt 0 consideramos el vector e = σ t 0, entonces para calcular la derivada covariante e P D bastará tomar α = σ, en cuyo caso será f i αt = f i σt = f i t, i =,, 3, y obtenemos σ t 0 P D = f t, f t, f 3t. Haciendo abstracción del punto P = σt 0 tenemos σ D = f, f, f 3 = D, es decir, derivar covariantemente campos a soporte en σ respecto del vector tangente σ es igual a derivar respecto del parámetro t. Cualquier otro campo tangente a la curva σ será de la forma D = hσ para alguna función diferenciable h = ht, y por lo tanto será basta comprobarlo punto a punto: D D = hσ D = h σ D = hd = hf, hf, hf 3. Es fácil ver que esta manera de derivar covariantemente campos a soporte en la curva respecto de campos tangentes a la curva cumple las mismas propiedades que la derivada covariante sobre una superficie véanse V.5.3 y V.5.4. Con esta notación, las fórmulas de Frenet de la curva σ se escriben como: T T = κn T N = κt + τb. T B = τn

9 3. Curvatura normal y curvatura geodésica Volvamos de nuevo a ver la curva σ = σt sobre la superficie S fijada al comienzo de la sección. Ya sabemos que el vector σ = σ σ no es, en general tangente a la curva, e incluso puede no ser tangente a la superficie. Dados campos tangentes D, D a la superficie S, D D es un campo de vectores sobre S que tendrá su componente tangente a S y su componente normal a S. La parte tangente a S la denotaremos D D. La parte normal debe ser de la forma hn para cierta función h = hu, v. Así, D D y hn son campos a soporte en S tales que D D = D D + hn, D D N = 0. Por lo tanto φ D, D = D D N = D D + hn N = D D N + hn N = h, y obtenemos la fórmula D D = D D + φ D, D N. 3.3 En particular, para el vector σ tangente a la curva tenemos σ = σ σ + φ σ, σ N Interpretemos geométricamente la fórmula 3.4. Si entendemos σ = σt como la trayectoria de un móvil en el tiempo t, entonces σ y σ son, respectivamente, los vectores velocidad y aceleración del móvil, y se dice que σ = σt es una trayectoria inercial si su aceleración es constantemente nula: si σ = σ, σ, σ 3 es tal que σ = σ, σ, σ 3 = 0, 0, 0, entonces integrando se obtiene fácilmente que existen escalares a, a, a 3, b, b, b 3 R tales que σt = a t + b, a t + b, a 3 t + b 3 = ta, a, a 3 + b, b, b 3, es decir, σ = σt es un segmento de la recta de R 3 que pasa por el punto b, b, b 3 con la dirección del vector a, a, a 3. Como ya sabíamos, las trayectorias inerciales de R 3 son las rectas. Pero nótese que son las rectas parametrizadas afínmente, no vale parametrizarlas de cualquier manera: σt = t 3 + t, 0, 0 = t 3 + t, 0, 0 es una parametrización regular de la recta y = 0 = z, pero no es una trayectoria inercial porque su aceleración σ = 6t, 0, 0 no es idénticamente nula. Ahora, si la curva está sobre S, para un ser bidimensional que habitara la superficie sería σ = σt una trayectoria cuya aceleración es la parte tangencial σ σ del vector σ la parte normal φ σ, σ N es ajena a un tal habitante; es decir, la aceleración de la trayectoria σ = σt sobre S que vería un habitante de la superficie es σ σ. Calculemos esta última aceleración y veamos que es una propiedad intrínseca de la superficie. Como viene siendo habitual, utilizaremos el triedro móvil {ϕ u, ϕ v, N} sobre S y las fórmulas de Gauss-Weingarten: σt = ϕ ut, vt, σ = u ϕ u + v ϕ v,

10 06 Capítulo VI. Teoría de las superficies σ = u ϕ u + v ϕ v = u ϕ u + u [ u ϕ uu + v ϕ uv ] + v ϕ v + v [ u ϕ uv + v ϕ vv ] = u ϕ u + u [ Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N = ] + u v [ ] Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N + v ϕ v + v u [ ] Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N + v [ ] Γ ϕ u + Γ ϕ v + L N [u + u Γ + u v Γ + v ] Γ ϕ u + [v + u Γ + u v Γ + v ] Γ ϕ v [ + L u + L u v + L v ] N ; por lo tanto la componente de σ que es tangente a S es σ σ = [u + u Γ + u v Γ + v Γ ] ϕ u + [v + u Γ + u v Γ + v ] Γ ϕ v. 3.5 Como puede verse, las coordenadas del vector σ σ en la base {ϕ u, ϕ v } dependen solamente de los símbolos de Christoffel de S, es decir, de la primera forma fundamental de la superficie. Definición 3.0 Con la notación de los puntos anteriores, diremos que la curva σ = σt es una geodésica de la superficie S si se cumple σ σ = 0, es decir, si el vector σ es normal a S a lo largo de toda la curva. Las geodésicas de S son las trayectorias inerciales propias de la superficie. 3. De la fórmula 3.5 se sigue que la condición necesaria y suficiente para que σt = ϕ ut, vt sea una geodésica es que se cumplan u + u Γ + u v Γ + v Γ = 0 v + u Γ + u v Γ + v Γ = De otro modo, las geodésicas de S son las curvas sobre la superficie dadas por las soluciones u, v del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden Aunque ya lo hemos dicho, insistimos porque es importante: las geodésicas de S son curvas parametrizadas, es decir, puede ocurrir que σ = σt sea una geodésica de S, pero que después de hacer un cambio de parámetro t = ts obtengamos una nueva parametrización σs = σts de la misma curva que ya no sea geodésica de la superficie. Sin embargo, también es importante conocer cuáles son las geodésicas de la superficie S en el siguiente sentido: cuáles curvas de S admiten una parametrización con la que resultan ser geodésica? Por ejemplo, si S es un plano de R 3, entonces las únicas geodésicas de S son sus rectas. En efecto, el plano S tendrá un vector normal unitario constante N 0, y existirá un escalar λ R tal que la ecuación de S es X N 0 = λ; si σ = σt es una curva que está sobre el plano cumplirá σ N 0 = λ, y derivando dos veces tenemos σ N 0 = 0; si σ es geodésica de

11 3. Curvatura normal y curvatura geodésica 07 S, entonces σ es proporcional a N 0 y por lo tanto debe ser σ = 0, es decir, existen vectores e 0, v 0 R 3 tales que σt = tv 0 + e 0. Otro ejemplo: las geodésicas de una esfera son sus círculos máximos lo veremos un poco más adelante. El siguiente resultado simplifica el problema de obtener las geodésicas de la superficie S. Lema 3.3 Sea σ = σt una geodésica de S. Se cumplen: i El módulo del vector tangente σ es constante. ii Si σ = σs es otra parametrización de la curva dada cuyo vector tangente dσ ds módulo constante, entonces σ = σs también es geodésica de S. tiene Demostración. El apartado i es sencillo: si el vector σ es proporcional al vector normal unitario N a la superficie, entonces σ y σ son ortogonales y por lo tanto σ σ = σ σ + σ σ = 0, es decir, la función σ = σ σ es constante. Probemos ii. Sea t = ts un cambio de parámetro y consideremos la nueva parametrización σs = σts para la curva. Supuesto que el vector dσ ds tiene módulo constante, veamos que d σ ds es proporcional a σ en ese caso d σ ds sería normal a la superficie, porque σ lo es, y por tanto σ = σs sería geodésica de S. Sean λ, µ R constantes tales que σ = λ y tenemos dσ ds = dσ dt dt ds = dt ds σ µ = dσ ds = dt ds σ = dt ds λ, y por lo tanto la función dt ds es constante: dt = α = ±µ/λ. Entonces obtenemos ds d σ ds = d dσ = d α σ = α dσ dσ ds ds ds ds = α dt = α σ, dt ds que es lo que queríamos demostrar. dσ ds = µ; Corolario 3.4 Una curva sobre S es una geodésica i.e., tiene una parametrización con la que es una geodésica si y sólo si al parametrizarla por su longitud de arco es geodésica. Ejemplo 3.5 Veamos que las geodésicas de una esfera S de R 3 son sus círculos máximos = circunferencias sobre S que tienen su centro en el centro de S. Consideremos una geodésica σ = σt sobre S ; según el anterior corolario podemos suponer que está parametrizada por su longitud de arco. Sabemos que por ser una curva esférica tiene curvatura no nula en todo punto, y por tanto está definido su triedro de Frenet {T, N, B} a lo largo de toda la curva, siendo en este caso σ = T y σ = κ N. Como σ N por ser geodésica, la condición σ = κ N implica que la recta normal principal a σ en un punto σt tiene la dirección normal a la esfera en dicho punto; por las propiedades de la esfera, lo anterior significa que todas las rectas normales principales de la curva pasan por el centro de la esfera. Por lo tanto σ = σt es un arco de circunferencia cuyo centro es el centro de S véase el problema III.5..

12 08 Capítulo VI. Teoría de las superficies 3.6 Terminaremos esta sección dando otra definición equivalente de geodésica. Sea σ = σt una parametrización natural de una curva que yace sobre la superficie S. Según la fórmula 3.3 que hemos probado en la página 05, para el vector tangente unitario T = σ se cumple T T = T T + φ T, T N = T T + K n N, y como los vectores T T y N son ortogonales podemos aplicar el teorema de Pitágoras para obtener T T = T T + Kn. La función T T = σ = κ es la curvatura de σ como curva de R 3 es independiente de que se considere σ dentro de la superficie S. La función T T se denota K g y se llama curvatura geodésica ó curvatura tangencial de la curva σ como curva sobre la superficie S; K g es la curvatura de σ que vería un habitante de la superficie. Tenemos la fórmula κ = K g + K n. Por definición, σ es un geodésica de S cuando el vector T T es idénticamente nulo, es decir, una curva sobre una superficie es una geodésica cuando su curvatura geodésica es idénticamente nula. 4. Superficies de curvatura constante 4. Las superficies de curvatura constante nula son las llamadas superficies desarrollables. Como ejemplo hemos visto los cilindros, los conos y las desarrollables tangenciales. Puede probarse que cualquier superficie desarrollable es localmente como uno de los tres casos mencionados. Como ejemplo de superficie de curvatura constante positiva tenemos la esfera. Se cumple el siguiente resultado: 4. Teorema de Liebmann Las únicas superficies compactas conexas de R 3 de curvatura constante positiva son las esferas. Más adelante veremos cómo construir superficies de R 3 de curvatura constante positiva que no son parte de una esfera véase el punto 4.8; no serán compactas. Hemos mencionado dos ejemplos de superficies de curvatura constante que tienen además la propiedad de que todos sus puntos son umbílicos: el plano y la esfera. Tenemos: Teorema 4.3 Sea S una superficie conexa de R 3. Si todos los puntos de S son umbílicos, entonces S es un abierto de un plano ó es un abierto de una esfera. Todos los resultados enunciados hasta ahora en esta sección tienen demostraciones que podríamos hacer con las herramientas con las que contamos. Sin embargo no los demostraremos por falta de tiempo.

13 4. Superficies de curvatura constante Teorema de Hilbert No existe en R 3 ninguna superficie cerrada de curvatura constante negativa. La demostración del anterior teorema es difícil y no está a nuestro alcance. Un resultado más débil que sí podríamos probar nosotros es el siguiente: Teorema 4.5 Toda superficie compacta de R 3 tiene curvatura positiva en alguno de sus puntos. Como consecuencia, no existe en R 3 ninguna superficie compacta de curvatura constante negativa. 4.6 Veamos cómo construir superficies de revolución de curvatura constante véase el problema IV.5.4. Dada en el semiplano {y = 0, x > 0} la curva regular σt = ft, 0, ht con f, h : I R funciones de clase C m definidas en un intervalo abierto I, siendo ft > 0 para todo t I, haciéndola girar alrededor del eje z obtenemos la superficie de revolución S de clase C m parametrizada como ϕ : I R R 3 t, θ ft cos θ, ft sen θ, ht. En la resolución del problema V.7.0 se obtiene que la curvatura de Gauss de S es K G = h f h f h f f + h. Vamos a considerar curvas que son la gráfica de una función z = hx, es decir, σt = t, 0, ht con t > 0, en cuyo caso tenemos K G = h h t + h. 4. Supongamos que queremos obtener una función z = hx tal que la superficie de revolución S definida por ella tenga curvatura de Gauss constantemente igual a un número real K G fijado; entonces hay que encontrar una solución de la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden 4.; si imponemos a dicha ecuación condiciones iniciales ht 0 = a 0 y h t 0 = b 0, entonces la teoría de ecuaciones diferenciales nos asegura que existe una única solución. z a 0 recta de pendiente igual a b 0 t 0 x Es decir, fijados un punto y una recta que pasa por él, existe una única gráfica que pasa por ese punto, cuya recta tangente en el punto es la recta fijada, y tal que la superficie de revolución que genera tiene curvatura constante igual al valor K G prefijado. 4.7 Utilizando los cálculos del punto anterior, podemos preguntarnos cómo son las superficies de revolución obtenidas a partir de la gráfica de una función z = hx que son desarrollables. Si K G = 0, entonces h h = 0 y por tanto h = 0, es decir, hx = ax+b, de modo que la gráfica es una recta y la superficie de revolución es un cono. El cilindro también es una superficie de revolución desarrollable, pero la recta x =cte no es la gráfica de una función.

14 0 Capítulo VI. Teoría de las superficies 4.8 Veamos, como consecuencia de lo dicho en el punto 4.6, que existen superficies de revolución de curvatura constante positiva que no son parte de una esfera. Fijemos números reales t 0 y R tales que t 0 > R > 0, y sea K G = /R > 0. Si la superficie de revolución S obtenida con estos datos fuera parte de una esfera S, entonces S tendría su centro en el eje z, y por tanto su radio R sería mayor o igual que la distancia del punto t 0, a 0 S S a dicho eje, esto es, R t0 > R. Pero entonces tendríamos z a 0 curvatura de Gauss de S = curvatura de Gauss de S t 0 > R = / R < /R = K G = curvatura de Gauss de S, lo cual es absurdo. Por lo tanto S es una superficie de revolución de curvatura constante positiva igual a /R que no es parte de una esfera. Según el teorema de Liebmann 4., la superficie S no puede ser compacta. Terminaremos dando un ejemplo de superficie de curvatura constante negativa, la seudoesfera, que es la superficie de revolución generada por la curva plana llamada tractriz. 4.9 Tractriz En el plano de las coordenadas x, z, consideremos un carrito que está sobre la parte positiva del eje x a una distancia R > 0 del origen, y supongamos que en el origen hay un niño que tiene agarrada una cuerda no elástica de longitud R que está atada al carrito. La tractriz es la curva que describe el carrito cuando el niño comienza a andar en la dirección positiva del eje z sin soltar la cuerda. Calculemos la función z = hx cuya gráfica es la tractriz. Fijemos un valor x 0 en el intervalo abierto I = 0, R. z Consideremos el punto P 0 = x 0, hx 0 de la tractriz, y Q 0 sea Q 0 el punto corte de la tangente a la tractriz en P 0 con el eje z. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función z = hx en el punto P 0 es z hx 0 = h x 0 x x 0, hx 0 P 0 de modo que con un cálculo sencillo obtenemos la igualdad Q 0 = 0, hx 0 x 0 h x 0. Obsérvese que en cada momento la cuerda que une al niño con el carrito es tangente a la trayectoria cuando el carrito está en el punto 0 R x x P 0 el niño se encuentra en el punto Q 0, y que la distancia entre el carrito y el niño es constantemente igual a R la distancia de P 0 a Q 0 es R. Por lo tanto tenemos R = [ dp 0, Q 0 ] = x 0 + x [ 0 h x 0 ]. Haciendo abstracción del valor x 0 I obtenemos la igualdad R = x + x h, y como es claro que la pendiente de la función z = hx es negativa, concluimos que h cumple la ecuación x

15 5. Problemas diferencial Integrando obtenemos R h = x = R x. x hx = R x R t t dt + cte, x 0, R ; 4. como la función h es continua en el intervalo 0, R] si definimos hr = 0, concluimos que la constante que aparece en la igualdad 4. debe ser nula. 4.0 Seudoesfera Sea h = ht, 0 < t < R, la función que se ha obtenido en el punto anterior, y cuya gráfica es la tractriz. La seudoesfera es la superficie de revolución que se genera al girar alrededor del eje z la curva σt = t, 0, ht véase el punto 4.6. Para calcular la curvatura K G de la seudoesfera utilizaremos la fórmula 4.: h = R t t, h = R t R t K G = h h t + h = R < 0. Por analogía recordemos que una esfera de radio R tiene curvatura constante positiva igual a /R, se dice que R es el seudoradio de la seudoesfera. 5. Problemas 5. Sea C una curva sobre una superficie S de R 3. a Si C es una recta, entonces C es línea asintótica de S y también es geodésica de S. b Si C es línea asintótica y es geodésica de S, entonces C es una recta. c La condición necesaria y suficiente para que C sea línea asintótica de S es que en cada punto de C de curvatura no nula coincidan el plano osculador a C y el plano tangente a S. d La condición necesaria y suficiente para que C sea geodésica de S es que en cada punto de C de curvatura no nula el plano osculador a C sea perpendicular al plano tangente a S. 5. Sean S y S superficies de R 3 que son tangentes a lo largo de una curva C. a Si C es línea asintótica de una de las superficies, entonces también lo es de la otra. b Si C es geodésica de una de las superficies, entonces también lo es de la otra.

16 Capítulo VI. Teoría de las superficies 5.3 Pruébese que la condición necesaria y suficiente para que la curvatura media k m := k + k de una superficie S de R 3 se anule en un punto P S, es que exista una base ortogonal de T P S formada por vectores isótropos. Además, si k m P = 0 y K G P 0, entonces hay exactamente dos direcciones asintóticas en T P S, que son otogonales. 5.4 Sean C y C curvas que yacen sobre una superficie S de R 3 y que se cortan ortogonalmente en un punto P S. Pruébese que la suma de las curvaturas normales de C y C en P es constante no depende de las curvas C y C. Claramente, dicha constante debe ser la suma de las curvaturas principales de S en P i.e., el doble de la curvatura media. 5.5 Sea S una superficie de R 3 con curvatura de Gauss no nula en todo punto y con curvatura media nula en todo punto en particular todo punto de S es hiperbólico. Pruébese que por cada punto de S pasan dos, y sólo dos, curvas asintóticas, que además son ortogonales. 5.6 Sea ϕ = ϕu, v una parametrización de una superficie S de R 3. a Pruébese: las curvas paramétricas son líneas de curvatura g = 0 = L en los puntos no umbílicos. b Pruébese: las curvas paramétricas son líneas asintóticas L = 0 = L. c Qué debe ocurrir para que las curvas paramétricas sean geodésicas? 5.7 Sea S el cilindro circular de radio r > 0 centrado en el eje z, cuya ecuación es x +y = r. a Estúdiesen las líneas asintóticas de S. b Estúdiesen las geodésicas de S. 5.8 Considérese en R 3 la superficie S parametrizada del siguiente modo: ϕ : U R 3 u, v u cos v, u sen v, v, siendo U = R {0, 0}. a Estúdiesen las líneas asintóticas de S. b Son geodésicas las curvas paramétricas? 5.9 Sea S la superficie de R 3 dada por la ecuación z = y x. Pruébese que el lugar geométrico de los puntos parabólicos de S es una curva que es línea asintótica de S. 5.0 Teorema de Beltrami-Enneper: Sea C una línea asintótica de una superficie S de R 3. En los puntos de C donde está definida su torsión donde la curvatura de C no se anula se cumple τ = ± K G. 5. Teorema de Meusnier: Sean P un punto de una superficie S de R 3 y sea D P T P S una dirección no asintótica. Si se considera el haz de planos determinado por la recta P + D P que es una recta tangente a S, entonces los círculos osculadores de la intersección de S con dichos planos están sobre una esfera. Así como el ser ortogonales se refiere siempre a la métrica euclídea g la primera forma fundamental de S, el ser isótropo se referirá a la métrica simétrica φ la segunda forma fundamental de S.

17 5. Problemas 3 5. Sea σ = σt una curva sobre una superficie S de R 3 y sea N el vector normal unitario a la superficie. La curva es una geodésica de S si y sólo si se cumple [σ, σ, N] = 0 en todos los puntos de la curva. 5.3 Considérese una función diferenciable F sobre R 3 de clase suficientemente alta y denotemos J = F R 3, que será un intervalo de R. Supóngase que el campo de vectores grad F sobre R 3 no tiene puntos singulares, en cuyo caso tenemos en R 3 la familia de superficies {S α F x, x, x 3 = α} α J. Pruébese que las geodésicas de dicha familia de superficies están dadas por las ecuaciones diferenciales 3 x if xi = 0, i= x x F x x x F x x 3 x 3 F x3 = 0. Es decir, una curva σ : I R 3, σt = σ t, σ t, σ 3 t, es geodésica de S α para algún α J, si y sólo si para todo t I se cumplen 3 σ itf xi σ t, σ t, σ 3 t σ t σ t F x σt = 0, σ t σ t F x σt = 0. i= σ 3 t σ 3 t F x 3 σt 5.4 Obténganse, aplicando el problema 5.3, las geodésicas de una esfera de R 3 centrada en el origen. 5.5 Sea σ = σt una curva sobre una superficie S de R 3 y sea N el vector normal unitario a la superficie. La curva σ es línea asintótica de S si y sólo si se cumple σ N = 0 sobre toda la curva. 5.6 Con la notación fijada en el problema 5.3, pruébense: a Las líneas asintóticas de la familia de superficies {S α } α J están dadas por las ecuaciones 3 x if xi = 0, i= 3 x ix jf xi x j = 0. i,j= b Las líneas asintóticas de la familia de superficies {S α } α J están dadas por las ecuaciones 3 x if xi = 0, i= 3 i= x i F xi = Considérese en R 3 la superficie S de ecuación z = x4 a 4 y4. Pruébese que las líneas b4 asintóticas de S son las curvas en que la superficie es cortada por las familias de cilindros { } { } x a + y x b = λ, a y b = µ. λ µ

18 4 Capítulo VI. Teoría de las superficies TIRANDO DEL TREN SURGE UNA GEOMETRÍA La pasada semana conocimos a la cicloide. Vimos que era una curva muy especial que se dibuja mecánicamente al moverse una rueda. Hoy te traemos otra importantísima curva que también se genera de un modo mecánico. Nació de la imaginación de Huygens en 69, quien le puso de nombre tractriz o tractrix. Después, Leibniz y los Bernoulli siguieron estudiando sus propiedades en profundidad. A finales del siglo XIX, Beltrami encontró una aplicación insospechada de ella en la seudoesfera. por Lolita Brain ASÍ SE GENERA LA TRACTRIZ U n modo mecánico y sencillo de generar la tractriz es como sigue: si alguien tira de un tren de juguete al que lleva sujeto por una cadena tensa y comienza a caminar por el borde de una acera rectilínea, el trenecito de juguete se desplazará tal y como ves en el diagrama. El juguete dibujará una tractriz. E sta es la imagen de la tractriz. Como ves tiene dos ramas, según el movimiento se realice hacia la izquierda o hacia la derecha. La recta en rojo se denomina asíntota de la tractriz, ya que la curva se aproxima a ella pero nunca llega a contactarla. En el caso del tren de juguete, la asíntota sería la acera por la que se desplaza la persona que tira de él. Esta curva se hizo famosa por el problema propuesto por Leibniz: Cuál será la curva que dibuje un reloj de bolsillo sobre una mesa, cuando, manteniendo tensa su cadena, se desplaza el otro de sus extremos por una recta? 8 AULA DE EL MUNDO TÚ TAMBIÉN PUEDES HACERLO 3 4 S i quieres dibujar mecánicamente una tractriz, sólo necesitas cinta adhesiva, una chincheta con cabeza grande, un bolígrafo, una tira de cartón con dos agujeros, uno en cada uno de sus extremos, y una hoja de papel imagen. Coloca la hoja de papel en la que se dibujará la tractriz sobre una mesa, cuidando de ajustar sus bordes con la hoja. Sujétala a la mesa con cinta adhesiva. Coloca la tira de cartón perpendicularmente sobre el papel. Pincha la chincheta en uno de sus agujeros e introduce el bolígrafo en el otro imagen. Desliza suavemente la chincheta hacia la derecha sin permitir que se separe del borde de la mesa. Al hacerlo, no presiones con el bolígrafo, déjalo deslizar suavemente según mueves la chincheta imagen 3. Conforme deslizas la chincheta, ésta arrastrará la tira de papel y el bolígrafo dibujará en la hoja una tractriz imagen 4. LA TRACTRIZ Y LA CATENARIA L a catenaria y la tractriz están íntimamente ligadas. Se dice que la tractriz es la evoluta de la catenaria: si en cada punto de la tractriz trazas su tangente y una recta perpendicular a ella, la llamada normal, la curva que envuelve esas normales es una catenaria. Al revés, si por cada punto P de la catenaria trazas su tangente y sobre ella llevas la distancia que separa a P del vértice de la catenaria -el extremo inferior-, se traza una tractriz, que es la involuta de la catenaria. LA SEUDOESFERA DE BELTRAMI D esde que Lobachevski demostrara que la Geometría Euclídea, en la que la suma de los ángulos de un triángulo es de 80 o, no era la única posible, sino que perfectamente podía existir la Geometría Hiperbólica en la que los tres ángulos de un triángulo suman menos de 80 o, los matemáticos se pusieron a buscar modelos reales en los que la nueva geometría funcionara. No fue un camino fácil. El italiano Beltrami encontró, en 868, que la seudoesfera era un espacio para la geometría hiperbólica. Más EUGENIO BELTRAMI tarde, Klein encontró otro modelo. S i hacemos girar una tractriz alrededor de su asíntota, obtenemos una superficie de revolución que tiene curvatura negativa se curva hacia adentro en todos sus puntos. Es la seudoesfera. AL CORTAR UNA CADENA S i colgamos una cadena por sus extremos, la forma que adopta es de una catenaria. Cortando la cadena por el punto inferior, su punto medio, el extremo de cada brazo de la misma dibujará precisamente una tractriz. Ello se produce porque la tractriz es la evoluta de la catenaria. La asíntota de la tractriz es por tanto la máxima altura que la cadena no alcanza cuando se corta. [email protected]